为什么定积分可以求面积？
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为什么定积分可以求面积？
微积分的基本概念&&等，数经变化，现代的版本是最严格、最抽象的，当然也是最让初学者看不懂的。要理解现代的微积分，我觉得起码需要想想这些名词是否知道：“极限及无穷小量”、、“可数、不可数无穷”、“实分析”、“测度”、“勒贝格测度”、“微分形式”、“黎曼积分”、“达布积分”、“狄利克雷函数”......这真是一个漫长的学习过程，想想自己那些无眠的夜晚。但罗马并非一日建成。大师也是人，除非是穿越的，否则也不可能一下就把数学发展到这么完善。追根溯源你会发现，这些数学概念也是肇始于各种直观的想象甚至是臆测，虽然稚嫩却极具启发性。所以从教育和学习的角度出发，我们应该看看，大名鼎鼎的牛顿和莱布尼兹是怎么思考“为什么定积分可以求面积”这个问题？1 牛顿、莱布尼兹怎么定义定积分的？牛顿、莱布尼兹是这么思考的：顺便说下，用矩形面积近似曲线面积是二维的线性近似（一维的是用切线近似曲线）。按照现在的语言就是&&，所以定积分在最初定义的时候，就是被定义成面积的。再说下，&&和导数是什么：2 牛顿-莱布尼兹公式为什么成立？定积分可以求面积，我们已经知道了，但是用于计算定积分的最出名的牛顿-莱布尼兹公式是怎么被牛顿、莱布尼兹发现的？如果函数&&是连续函数&&在区间&&上的一个原函数，那么《高等数学》同济版为什么&&曲线下的面积和原函数（&&的不定积分）有这个关系呢？我这里尝试给出两个直观的方法（我更喜欢后一种），来帮助你理解这个问题。2.1 牛顿如何发现牛顿-莱布尼兹公式牛顿搞物理研究，就是喜欢求导数。给位移求导数得到速度，给速度求导数得到加速度。搞数学研究也这么搞，他想给面积求下导数：开始求导：&&。（注意，牛顿那时候没有极限，所以上式除以&&相当于求极限了）。所以牛顿得出结论，面积的导数就是曲线，曲线的原函数就是面积。至此牛顿推出了微积分第一基本定理（英文教材是这么命名的，《高等数学》同济版称为积分上限函数的性质）：&。为什么叫做微积分第一基本定理？因为我们通过它推出了微积分第二基本定理，也就是牛顿-莱布尼兹公式。这里我就不给出证明了，给出一个直观的说明：至此，牛顿-莱布尼兹公式得到了验证（不敢说证明，太不严格了）。不过我觉得还啰嗦了，我下面给出另外一种理解的方法。2.2 新方法至此，我们可以得到&&，之前我说过&&，所以有：&。根据之前的描述，&&表示的无限小矩形的面积，所以&&表示的是曲线&下面的面积，从而我们又一次得到了牛顿-莱布尼兹公式。2.3 彩蛋给一个“彩蛋”，以前我觉得积分上限函数很神奇，&&居然和积分下限没有关系。这里特地做个一个互动让你感受一下为什么（&&是曲线，&&是&的原函数）：
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用定积分求面积有啥要求，正的负的，咋弄啊！请细说，谢谢！
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定积分是求不规则图形面积的其中一种方法
如果只是定积分表达式的话可以有负数
如果要求面积的话，就要加上绝对值，|∫(a→b) ?(x) dx|，确保数值大于0
所以面积在x轴下方的定积分都要加上负号使其变为正数
简单的想一下嘛，面积肯定没有负值，所以要加绝对值，如果有X轴上方的又有下方的，你就用上面的减下面的
可有的 题不一样啊！，你试试这个，y=2x2，y=-2x-4，x=1围成的面积
你把图画出来
现在没笔没本，没法画啊！
这种题不管怎么样方法都一样的，上减下
可真的不一样，我试过好多次了，不对，希望你帮我解一下
你再看看原题，感觉你的方程有问题
书没在手啊
等你有了再问吧
好的，不过谢谢啊
我又看了，明白了，谢谢啊！
你的回答完美的解决了我的问题，谢谢！
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亲，对我的回答满意的话，就给个好评吧。如果还有不清楚的地方，可以跟我继续交流哦。
扫描下载二维码定积分就是求面积的嘛,为什么还有负的结果啦?
定积分就是求面积的嘛,为什么还有负的结果啦?
函数曲线在X轴上方与X轴之间的部分求积分是正的函数曲线在X轴下方与X轴之间的部分求积分则是负的对被积函数积分时,是对上下方包围面积的代数和；也就是上面正的加上下面负的之和.当被积函数曲线与X轴有交点的时候,X轴下方面积大于X轴上方面积的时候就会得出负数对函数积分不是简单意义上的求面积.好好学吧,微积分的用处很多,以后你会学到线积分、面积分、体积分等多重积分.刚开始学的时候有点难理解,等慢慢了解其真正的几何意义就简单多了.
我有更好的回答：
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与《定积分就是求面积的嘛,为什么还有负的结果啦?》相关的作业问题
如图所示：所求面积=0.653 再问： ?????鷳??????д?°ɡ?????????
1、积分的意思是累积,是accumulation,是summation,是integration,也就是累积、总和、整合的意思.2、从定积分的定义来看,∫f(x)dx = lim ∑f(xi)△x,原意应该就是将曲线下的面积分割成无数的细高的矩形,矩形的底宽是△x,当分割趋向于无穷多份时,△x变成了dx,△x是有限的小
怎么又是你啊呵呵oky = e^-xdy/dx = -e^x那么切线在 (-1,e)的斜率 = -e^1对吧公式是 y-e = -e (x+1)y = e -ex -ey= -ex求y的根,很显然是x=0那么就是说,这个切线下面的面积是个三角形对吧?也就是,边长1,eA = ab/2,也就是 e/2 ok,下一步求,积
这个问题问得好,其实我觉得课本中讲定积分时一上来不应该把定积分的记号记为∫,定积分的定义是某类求和式的极限,但不定积分是求函数的原函数,初学者很难看出这两者有什么关系（我就想了好半天）.姑且先把定积分理解为和式极限,接下来课本中讲了定积分的性质及变上限积分的理论,注意在这部分课本的证明中没有用到任何不定积分（即求原函数
围成的平面图形面积=3.98 & 如图所示：
严格来说,定积分是求面积的工具,不是说求定积分就是求面积在x轴上方时,定积分是正数,在x轴下方时,定积分为负数要是我们要求面积,就必须将上下方的定积分分开算
解题思路： 本题主要考查了定积分在求面积中的应用，以及利用导数研究函数的单调性和求函数最值，解题过程：
y&=&e^xy'&=&e^xy'(1)&=&ey&-&e&=&e(x&-&1)y&=&ex原题变为由x轴、y&=&e^x以及y&=&
解答如下：& 再问： 你这是用二重积分的方法做的，我是问像我问题里的那种方法那个式子是怎么回事 再答： 补充如下:&&
先解决你的疑惑.一般积分求面积的上限比下限大,因为面积是正值,如果上限没有下限大,则得到的结果会成负值.第二个问题,取x（或取y）为积分变量可以理解为以x（或y）为曲边梯形的底（这是较粗浅的理解）,具体表现在表达式的dx（或dy）上.做这类题必须画图,因为有的题的图形决定着到底是dx还是dy,表达式也不同.如果只知道上
积分区间 [1,4]&,被积函数是&3x-2-1/x&,原函数为&3/2*x^2-2x-lnx&,将端点值代入可得面积=24-8-ln4-3/2+2=33/2-ln4 .
/>换个角度,对y进行积分被积函数是x=e^y∴ S=∫[lna,lnb] e^y dy =e^y |[lna,lnb] =e^(lnb)-e^(lna) =b-a
x从零到二算了两次.第一次是上边的,第二次是下边的；两次相等,所以,用了乘二.
做这种题要先画图,你自己画,r≤√3*a是以原点为圆心,√3*a为半径的圆,r≤2acosΘ是一个以(a,0)为圆心,a为半径的圆.本题需要先求出两圆的交点,即方程√3*a=2acosΘ,得cosθ=√3/2,θ=±π/6图形显然关于x轴对称,因此只求上半部分,然后乘以2从图中可看出在[0-->π/6]内用r=√3*a
做变量代换,令u=x-y,那么方程变为x²+u²=a²,然后再作直角坐标系与圆之间的转换x=a*cosα,u=a*sinα,所以有x=a*cosα,y=x-u=a*(cosα-sinα).因为曲线(x-y)^2 + x^2 =a^2 (a>0)所围区域为(x-y)^2 + x^2 ≤a^2
s=(积分0.1到10)|lnx|dx=(积分0.1到1)（-lnx）dx+(积分1到10)lnxdx然后再应用分部积分法,我相信你自己就会做了吧,你会不会是没有把它分成两部分呢,如果这样算我想应该不会有问题.结果应该是9.9ln10 -8.1
img class="ikqb_img" src="http://b.hiphotos.baidu.com/zhidao/wh%3D600%2C800/sign=8a2be991d6bfae6cbfcd109b3de4929.jpg"【数学】如图高数定积分求面积问题,答案是8/3,我怎么老算的4/3啊,-学路网-学习路上 有我相伴
如图高数定积分求面积问题,答案是8/3,我怎么老算的4/3啊,
来源：互联网 &责任编辑：李志 &
高数,定积分,如图,帮我看下这个思路是否正确?不正确。原积分的值可能为负。那么用面积来看。下面的不等式是成立的。若加上负号。则不成立。楼主显然是默认了原积分为一正值了。望采纳高等数学,如图所示第二问是如何求的?解:题中是将被积函数整理后,利用了定积分的性质【一次积分即面积】,而被积函数及其积分区间又刚好是是半径为a的半圆面积。故,有这"捷径"得到答案。供参考。请问一道关于高等数学的题目,求解释,如图。定积分的几何意义是曲边梯形的面积,该无穷限积分就是底边为无穷大的曲边梯形的面积。∫&0,+∞&(2-t)e^(-t)dt=-∫&0,+∞&(2-t)de^(-t)=[-(2-t)e^(-t)]&0,+∞&+...大一高数问题如下图谁会的???用分部积分,则这个定积分可化为【x*f(x)-?f(x)dx】from1to0.其中,减号后面恰恰是曲边四边形SOABD的面积!而减号前是1*f(1)=线段OA*线段OC,这恰恰是矩形SOABC的面积!相...高数求积分面积,如图里的我不会求交点,还有二次函数的抛物线...哈哈!所谓求交点座标,也就是求直线y=2x+3和抛物线y=x^2这两个方程的联立解。先求xx^2=2x+3解得x1=-1,x2=3求的y1=1,y2=9即两个交点为(-1,1),(3,9)定积分的求法见下...如图高数定积分求面积问题,答案是8/3,我怎么老算的4/3啊,(图6)如图高数定积分求面积问题,答案是8/3,我怎么老算的4/3啊,(图13)如图高数定积分求面积问题,答案是8/3,我怎么老算的4/3啊,(图21)如图高数定积分求面积问题,答案是8/3,我怎么老算的4/3啊,(图26)如图高数定积分求面积问题,答案是8/3,我怎么老算的4/3啊,(图28)如图高数定积分求面积问题,答案是8/3,我怎么老算的4/3啊,(图31)这是用户提出的一个数学问题,具体问题为:如图高数定积分求面积问题,答案是8/3,我怎么老算的4/3啊,学路网 www.xue63.com 学路网 www.xue63.com 高数求积分面积,如图里的我不会求交点,还有二次函数的抛物线...哈哈!所谓求交点座标,也就是求直线y=2x+3和抛物线y=x^2这两个方程的联立解。先求xx^2=2x+3解得x1=-1,x2=3求的y防抓取，学路网提供内容。我们通过互联网以及本网用户共同努力为此问题提供了相关答案,以便碰到此类问题的同学参考学习,请注意,我们不能保证答案的准确性,仅供参考,具体如下:高数定积分旋转体体积如图所示:向左转|向右转用古尔金旋转体定理校核:旋转体体积V=平面面积S*面积形心至旋转轴的距离R*2π=2πRS;V=3.142*3.00*2*π=6π?=~59.10&nbsp防抓取，学路网提供内容。用户都认为优质的答案:用定积分求由抛物线y^2=4ax与过焦点的弦所围成的图形面积的...焦点F(a,0),焦点弦垂直于对称轴时所围面积最小,设焦点弦直线方程:x=a,与抛物线交点:(a,2a),(a,-2a),面积积分=防抓取，学路网提供内容。======以下答案可供参考======求由抛物线y2=4ax与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值.抛物线y^2=4axy=2√a*√x【问】:我就希望大家给我解释一下面积积分的计算过程,是怎么把数据代进去【答】:定积分方面有一个著名的公式防抓取，学路网提供内容。供参考答案1:椭圆面积如何计算的习题中作为已知公式给出过,直到高等数学的定积分学习时才给出定积分推导.现用初...时,有.显然是一种特殊情况,即直线L与两曲线C、C交于一点,此时与求椭圆C的面积无...防抓取，学路网提供内容。高数定积分旋转体体积如图所示:向左转|向右转用古尔金旋转体定理校核:旋转体体积V=平面面积S*面积形心至旋转轴的距离R*2π=2πRS;V=3.142*3.00*2*π=6π?=~59.10&&&校...用定积分求由抛物线y^2=4ax与过焦点的弦所围成的图形面积的...焦点F(a,0),焦点弦垂直于对称轴时所围面积最小,设焦点弦直线方程:x=a,与抛物线交点:(a,2a),(a,-2a),面积积分=∫ydx=2∫2√(ax)dx(x从0到a)=4√a∫x^(1/2)dx(x从0到a)=4...求由抛物线y2=4ax与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值.抛物线y^2=4axy=2√a*√x【问】:我就希望大家给我解释一下面积积分的计算过程,是怎么把数据代进去【答】:定积分方面有一个著名的公式,叫牛顿-莱布尼兹公式。它...椭圆面积如何计算的习题中作为已知公式给出过,直到高等数学的定积分学习时才给出定积分推导.现用初...时,有.显然是一种特殊情况,即直线L与两曲线C、C交于一点,此时与求椭圆C的面积无...
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比如y=1-x²,x=0,x=2,y=0围成的图像，所围图像包括红色的区域吗？？？
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