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【2017年整理】第15章 电路方程的矩阵形式 第 十 五 章 电 路 方 程 的 矩 阵 形 式重点：1．关联矩阵、基本回路矩阵及基本割集矩阵等基本概念2．熟练掌握几种基本矩阵的列写及其相互间关系3．熟练掌握基于矩阵的大规模电路分析方法的原理及应用前景难点：1．掌握各种电路分析方法的矩阵应用2．理解大规模电路分析方法对电路的计算机辅助分析与设计的作用我们以前在学习支路电流法、支路电压法以及网孔分析法、节点分析法、割集分析法、回路分析法时，都是凭观察来列出所需的独立方程组。在求解方程时可以用手算，也可以使用电子计算机。对于含元件较少的电路，这种做法是行得通的。但是现代的电子电路可以包含数百个元件，特别是集成电路技术的飞越发展，电路日益复杂。对于这类“大规模（Large scale）电路” ，不可能再凭观察来列写方程。需要有一种系统化的步骤来处理这类电路，使列写方程和求解的工作都能由电子计算机去完成。本章初步地介绍了这种分析方法。其中要用到上章所述图论的一些基本概念以及线性代数中的矩阵方法。§15-1 电网络图论的基本概念网络图论与矩阵论、计算方法等构成电路的计算机辅助分析的基础。其中网络图论主要讨论电路分析中的拓扑规律性，从而便于电路方程的列写。15.1.1 网络的图1．网络图论——网络拓扑学图论是数学中重要的分支，网络图论是图论在电路理论中的应用。主要通过电路的结构及其连接性质，对电路进行分析计算。2．支路——Branch每一个电路元件或多个电路元件的某种组合用一条线段代替，称为支路。3．节点——node每一个电路元件的端点，或多个电路元件相连接的点用一个圆点代替，称为节点。在电网络理论中，通常节点是指支路的汇集点，这一概念与数学图论中的“节点”概念略有不同。4．网络的图——graph节点和支路的集合，称为图，每一条支路的两端都连接到相应的节点上。有向图——Oriented graph 是指各个支路规定了参考方向的图反之，称为无向图。5．路径——path从图 G 的某一节点出发，沿着一些支路连续移动，从而达到一个指定的节点，这一系列支路构成图的一条路径。6．连通图——connected graph当图 G 中的任意两个节点之间至少存在一条路径时，称为连通图。7．回路——loop如果一条路径的起点和终点重合所形成的闭合路径，称为回路。8．网孔——mesh一般是指内网孔。平面图中自然的“孔” ，它所限定的区域不再有支路。如下面电路的对应的图为左图所示。注意每一个二端元件为一条支路！！ 0.01 + 19V - 2 4I1 + 4A30V 1 _ 1.5I1I1 1.5I1 4A例如：在下图中，支路数 6，节点数 4，网孔数 3，回路数 7 1a c2 b 3d e 4f1 a c2 b 3 d e4 f1 a c2 b 3 d e4 f15.1.2 树、基本回路及基本割集1．树的概念——tree一个连通图 G 的树 T 是指 G 的一个连通子图，它包含 G 的全部节点，但不含任何回路。树中的支路称为“树支”——tree branch，图 G 中不属于 T 的其他支路称为“连支”——link，其集合称为“树余” 。一个连通图的树可能存在多种选择方法。2．基本回路只含一条连支的回路称为单连支回路，它们的总和为一组独立回路，称为“基本回路” 。树一经选定，基本回路唯一地确定下来。 1a c2 b 3d e 4f1 a c2 b 3 d e4 f1 a c2 b 3 d e4 f1 a c2 b 3 d e4 f对于平面电路而言，其全部网孔是一组独立回路。3．割集——cut set一个连通图 G 的割集是指 G 的一个支路子集：1）将该支路子集中的全部支路移去（保留节点）后，余下的图彼此分离且各自连通；2）保留该支路子集中的任意一条支路时，图仍然连通；? 基本割集只含一条树支的割集称为单树支割集，它们的总和称为“基本割集” 。树一经选定，基本割集唯一地确定下来。 1a c2 b 3d e 4f1 a c2 b 3 d e4 f1 a c2 b 3 d e4 f1 a c2 b 3 d e4 f15.1.3 关联矩阵 aA与降阶关联矩阵 A给定一个定向图，各定向支路与各个节点之间的联接关系是十分清楚的，这种结构上的关系能否用代数的方法来表达呢？这对于企图用电子计算机来分析电路是个很重要的问题。运用矩阵可以解决这个问题。一 、 关 联 矩 阵 Aa（ 又 称 增 广 关 联 矩 阵 ）1．定义我们可以用定向图的各个节点组成矩阵的行，各定向支路组成矩阵的列，列表如下（其中 ,2b…等表示编号为 1,2,…的支路, ,.21n等表示编号为 1,2,…的节点）：以适当的数填入空档即可表明定向图中节点与支路的联接情况。这些数构成矩阵的元素。b 3 4b … 1 2 3n 4 即定义关联矩阵（augmented incidence matrix） ，其中， aA的行对应图的节点，列对应图的各个支路。 ][ika?A其中， 当节点 i 与支路 bk 无关联时， 0?ika当节点 i 与支路 bk 关联，且支路电流的参考方向离开节点时， 1?ik当节点 i 与支路 bk 关联，且支路电流的参考方向指向节点时， ?a在一般情况下，对一个具有 条支路和 n个节点的定向图来说，其增广关联矩阵为一个 n行和 b列的矩阵：例如： 4n b 3b 5 71n 6 2 2n式 15-1 图 15-1 定向图一例二 、 Aa 的 性 质由于每一支路都恰好与两个节点相关联，关联矩阵 Aa 中每一列都恰好有两个非零的元素，其一为+1，另一为-1。把一个矩阵中的两行相加，就是把同一列中的元素相加。以（15-1）式所示矩阵为例，若矩阵中的第 1 行和第 2 行分别记为 1R和 2，则? ??? ????????R（15-2）如果把（15-1）式所示矩阵的各行相加，可得54321RR由此可见，增广关联矩阵的各行线性相关，这就是说，该矩阵中的任一行是其余各行的线性组合。三 、 降 阶 关 联 矩 阵 A由于增广关联矩阵的各行线性相关，即矩阵中的任一行是其余各行的线性组合。——也就是说，总可以通过矩阵的代数变换，使得其中某一行全为零元素——因此，除去增广关联矩阵中的任一行，矩阵仍具有同样的信息，足以表征定向图中节点对支路的关系。我们把这种 ??bn??1矩阵称为降阶（reduced）关联矩阵或径称为关联矩阵，记为 A。在关联矩阵中有些列具有两个非零的元素（+1 及-1 ） ，有些列只有一个非零元素。仍以图 15-1 所示定向图为例，若除去第 2 行，则 ?????????10001A（15-3 ）再如：? 问题：根据关联矩阵是否能够得到唯一的图？？????????? 31aA 2 3 41 6 3 2 5 4 1???????? aA ???????????2 765432nnbbaA四 、 矩 阵 A 的 作 用 与 KCL 定 律 及 节 点 电 压 方 程 的 矩 阵 表 达 式1．关联矩阵 A 与 KCL 定律电路的独立 KCL 方程组可以用关联矩阵表示为向量方程。以上图为例，如果把节点 2选为参考节点，则由其余的 4 个节点可得独立的 KCL 方程组如下：节点 1 0521???ΙΙ节点 3 4节点 4 0652??ΙΙ （15-4）或写为0??????????????II（15-5 ）试把（15-5）式和（15-3）式加以比较，我们立即就可发现（ 15-5）式左端的系数矩阵与（15-3 ）式所示的矩阵 A完全相同。如设??TI 7654321 ΙΙΙΙb?并称 bI为支路电流向量，则（ 15-5）式 0（15-6 ）虽然，这一方程是由图 15-1 所示的定向图得出的，但对任何定向图都可得出这一结果。2．关联矩阵与支路电压、节点电压（——KVL）仍然以上图为例，设各个支路电压分别为 1u， 2，…， 6u，而以节点 2 为参考点的各个节点电压分别为 1nu， 3， 4n， nnnu?????????????????????nnuu可以推广之，设各个支路电压分别为 1， 2，…， b，用列相量表示Tb] [21?U而以节点 2 为参考点的各个节点电压分别为 1n， 2，…， )1(?n，用列相量表示nnu )1(1???n则： TA15.1.4 回路矩阵及割集矩阵一 、 增 广 回 路 矩 阵 B1．定义表明图中支路与回路之间的关系的矩阵。定义为：设给定的定向图有 b条支路， al个回路。为每一回路规定一方向后，我们可以定义一个增广回路矩阵。它是一个 ?矩阵，记为 aB，??ij?a（15-7 ）它的第 ,个元素确定如下：+1 如果支路 j在回路 i内，且它们的参考方向一致；ijb-1 如果支路 在回路 内，且它们的参考方向不一致；0 如果支路 不在回路 之内。例如，图 15-2 所示定向图，具有六条支路和三个回路，如图中所示：4b 3b 5 6 2l 1 1l 3l 图 15-2 定向图一例设三个回路的方向均为顺时针方向。这定向图的增广回路矩阵为654321bb?????????01032llaB（15-8 ）显然可见，这矩阵的各行线性相关。2．用 Ba 表示的 KVL 方程矩阵表达式如定义支路电压向量 ??TbU654321 U?则 0UB?ba（15-9 ）将表示该定向图所有回路的 KVL 方程。3．用 Ba 表示的 KVL 方程矩阵表达式设各个支路电流分别为 1i
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线性代数中A的行列式的行列式等于什么
一个矩阵的行列式就是一个数值,一个数值的行列式就是他自己.
其他补充解答：
：等于A的行列式的n次幂
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与《线性代数中A的行列式的行列式等于什么》相关的作业问题
是的不过有条件 矩阵A可逆的充要条件是其行列式的值 |A| 不等于0A^(-1)=(1/|A|)×A* ,其中A^(-1)表示矩阵A的逆矩阵,其中|A|为矩阵A的行列式,A*为矩阵A的伴随矩阵.
线性方程组的解法就是系数的增广矩阵(A,b)经过初等行变换变成阶梯形矩阵或行最简形, 现去判别它是否有解,再去写出所对应的线性方程组.这种方法是对所有的线性方程组都可以用的.如果线性方程组中方程的个数等于末知量的个数,那么就可以利用行列式来求.如果是n元齐次线性方程组AX=0, 那么有以下几个等价命题： AX=0有非零
这个需知道 A,B的列(或行) 的结构否则 |A-2B| 无法计算 再问： 这个题里是这个意思，可能是我理解的不太对吧....似乎是可以做的...谢谢老师了 再答： A=(a,b,c) B=(b,c,a) A-2B = (a-2b, b-2c,c-2a) = (a,b,c) K K= 1 0 -2 -2 1 0 0 -
不等于,AXB矩阵相乘满足A的行数与B的列数相等,反过来不一定成立,即BXA可能根本无法做乘法
将A与β同时组成一个矩阵,做初等行变换,将其化成阶梯型矩阵,如果β那个列划到最后多出一个元素的,那么两者的秩就是不一样的,否则就是一样的 再问： ?dz????????????再问： ??????????ò????
用哈密顿凯莱定理,特征多项式的常数项是方阵的行列式,再由伟达定理可知,特征值的积=特征多项式的常数项=方阵的行列式,还有不是所有的矩阵都可相似于对角矩阵的
再问： 十分感谢，能不能再证明下1:如果成线性组合那么行列式为零？2:还有这也不是充要条件吧？3;必须是其它所有行或列的线性组合么？再给你加30分，谢谢了 再答：
经济数学团队帮你解答,有不清楚请追问.满意的话,请及时评价.谢谢!
矩阵和行列式的区别是,行列式只是一个数,是一组数按一定规则进行代数运算的值,而矩阵在本质上并不单单是一个数,它是一个二维的数据表格.只有方阵才有对应的行列式!具体看下面这几点：　　1.矩阵是一个表格,行数和列数可以不一样；而行列式是一个数,且行数必须等于列数.只有方阵才可以定义它的行列式,而对于非方阵不能定义它的行列式
行列式是对矩阵的一种运算行列式计算出来是一个数 行列式=0 表示这个矩阵是不可逆的 不等于0表示这个矩阵是可逆的
|A+B|不等于|A|+|B|这是非常重要的定理.A-E的行列式等于A的行列式减1么?绝大数情况不等.不要从这个方面考虑.由于|A+B|不等于|A|+|B|,所以涉及到|A+B|,要用恒等变换,在| |中凑,然后尽量化成乘法因为|AB|=|A||B|
因为A的逆等于A*/|A|…而A的逆乘A等于E…
第一行减去4倍的第二行 第三行减去十倍的第二行 得到 0 -7 2 -41 2 0 20 -15 2 -200 1 1 7再计算-7 2 -4-15 2 -201 1 7其中第一行加上第三行的7倍 第二行加上第3行的15倍 得到0 9 450 17 851 1 7计算等于0整个行列式就等于0
1楼已经给出了做法,你同学的做法用的是拉普拉斯(Laplace)定理：在一个n阶行列式D中任意选定k行(1≤k≤k-1),由这k行元素组成的一切k阶子式与其代数余子式的乘积的和等于行列式D.这个定理在《高等代数》中有,但是在《线性代数》中已经不作要求了,教材上也没有.要得到递推公式,也可以这样来做.把第2n列和前面2n
4阶(含4阶)以上行列式不能对角线法计算(你是画不出4!=24条平行线的).你所给的例子,其实是用行列式的定义计算的(看起来象是对角线法)由定义,行列式展开的每一项是由每行每列各取一个数的乘积,其正负号由其行标和列标的逆序数之和确定.当行标是自然序时,行标的逆序数=0,正负号由其列标的逆序数确定.所以,所给的行列式 =
你确定a是行向量?a^Ta =1/4 0 1/4 0 0 01/4 0 1/4若a是列向量, 则a^Ta = (1/2)^2 + 0 + (1/2)^2 = 1/2
能,但比较麻烦.因为行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和.若化为0则不用那么麻烦计算每一个的代数余子式.
系数矩阵是3×2矩阵,前两行线性无关,所以系数矩阵的秩是2.增广矩阵是3×3矩阵,其秩大于等于系数矩阵的秩,小于等于3.方程组有解,则增广矩阵的秩也是2,所以增广矩阵的行列式等于0.行列式等于4k-15=0,所以k=15/4.－－－－－另一解法：未知量只有2个,根据前两个方程可得x1=5/3,x2=-1/3,代入第三个【数学】求做线性代数试题第一题|1 0 4||0 2 -1||4 -1 3|求这个矩阵的二次型?第二题向量组α1=（2,1,3,1） α2=（3,-1,2,0） α3=（4,2,6,-2）线性（ ）（相关还是无关）第三题设向量组α1=（2,1,4,3） α2=（-1,1,-6,6） α3=（-1,-2,2,-9） α4=（1,1,-2,7）问题（1）求该向量组的一个极大无关组,并将其余向量用此极大无关组线-学路网-学习路上 有我相伴
求做线性代数试题第一题|1 0 4||0 2 -1||4 -1 3|求这个矩阵的二次型?第二题向量组α1=（2,1,3,1） α2=（3,-1,2,0） α3=（4,2,6,-2）线性（ ）（相关还是无关）第三题设向量组α1=（2,1,4,3） α2=（-1,1,-6,6） α3=（-1,-2,2,-9） α4=（1,1,-2,7）问题（1）求该向量组的一个极大无关组,并将其余向量用此极大无关组线
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线性代数题目,为什么第三题答案是第一和第三列互换,求做题过...&线性代数题目。打勾的题目划红线的方程是怎么来的,理由是什...它与(1,-2,1)正交,也与已知的(1,1,1)正交。急求一份线性代数试卷(带答案的)大一学的,1)将用线性表出。2)求An(nN)。五、(8分)用正交相似变换把下面二次型化为标准形:C题(满分20分)试卷说明:C题是线性代数应用部分试题,是试点型考生必做内...大二上学期的线性代数期末考试题推荐去豆丁网找上届的试卷线性代数的题目,如图,第一张的题目与第二张的第六题6,n-2;因为有两列可以有其他列线性表示且系数不全为0.第一张图看不清。我大致改为a1=2a2-a3,请你理解时换一下。A*(1,0,0,0)T=a1同理A*(1,1,1,1)T=a1+a2+a3+a4.设A*...求做线性代数试题第一题|104||02-1||4-13|求这个矩阵的二次型?第二题向量组α1=（2,1,3,1）α2=（3,-1,2,0）α3=（4,2,6,-2）线性（）（相关还是无关）第三题设向量组α1=（2,1,4,3）α2=（-1,1,-6,6）α3=（-1,-2,2,-9）α4=（1,1,-2,7）问题（1）求该向量组的一个极大无关组,并将其余向量用此极大无关组线(图2)求做线性代数试题第一题|104||02-1||4-13|求这个矩阵的二次型?第二题向量组α1=（2,1,3,1）α2=（3,-1,2,0）α3=（4,2,6,-2）线性（）（相关还是无关）第三题设向量组α1=（2,1,4,3）α2=（-1,1,-6,6）α3=（-1,-2,2,-9）α4=（1,1,-2,7）问题（1）求该向量组的一个极大无关组,并将其余向量用此极大无关组线(图12)求做线性代数试题第一题|104||02-1||4-13|求这个矩阵的二次型?第二题向量组α1=（2,1,3,1）α2=（3,-1,2,0）α3=（4,2,6,-2）线性（）（相关还是无关）第三题设向量组α1=（2,1,4,3）α2=（-1,1,-6,6）α3=（-1,-2,2,-9）α4=（1,1,-2,7）问题（1）求该向量组的一个极大无关组,并将其余向量用此极大无关组线(图25)求做线性代数试题第一题|104||02-1||4-13|求这个矩阵的二次型?第二题向量组α1=（2,1,3,1）α2=（3,-1,2,0）α3=（4,2,6,-2）线性（）（相关还是无关）第三题设向量组α1=（2,1,4,3）α2=（-1,1,-6,6）α3=（-1,-2,2,-9）α4=（1,1,-2,7）问题（1）求该向量组的一个极大无关组,并将其余向量用此极大无关组线(图30)求做线性代数试题第一题|104||02-1||4-13|求这个矩阵的二次型?第二题向量组α1=（2,1,3,1）α2=（3,-1,2,0）α3=（4,2,6,-2）线性（）（相关还是无关）第三题设向量组α1=（2,1,4,3）α2=（-1,1,-6,6）α3=（-1,-2,2,-9）α4=（1,1,-2,7）问题（1）求该向量组的一个极大无关组,并将其余向量用此极大无关组线(图32)这是用户提出的一个数学问题,具体问题为:求做线性代数试题第一题|1 0 4||0 2 -1|线性代数的题目,如图,第一张的题目与第二张的第六题6,n-2;因为有两列可以有其他列线性表示且系数不全为0.第一张图看不清。我大致改为a1=2a2-a3,请你理解时换一下。A*(1,0,0,0)T=a防抓取，学路网提供内容。|4 -1 3|自考线性代数哪个试卷好就《一考通》还比较好,附有一本小册子.我把这套试卷基本做完了,线性代数考了93!祝你考试大捷!防抓取，学路网提供内容。求这个矩阵的二次型?请教一个线性代数问题请问这个线代题目怎么理解,第一个划线...B中找2两个线性无关的列都可以这里是解答错误应该是(1,-1,1)^T防抓取，学路网提供内容。第二题向量组α1=（2,1,3,1） α2=（3,-1,2,0） α3=（4,2,6,-2）线性（ ）（相关还是无关）线性代数题目:设A=第一行a-1c第二行5b3第三行1-c0-a,且...(2)根据上式列出三个方程c-a+1=1/λ0……①-2-b=1/λ0……②c-a+1=-1/λ0……③联立①③,可解出λ0=防抓取，学路网提供内容。第三题设向量组α1=（2,1,4,3） α2=（-1,1,-6,6） α3=线性代数题目!为什么答案里这个行列式的第一行都变成1了!谢...第一行加上剩余所有行就是全1防抓取，学路网提供内容。（-1,-2,2,-9） α4=（1,1,-2,7）求大神线性代数代做作业!有偿!答：如何联系你？防抓取，学路网提供内容。问题（1）求该向量组的一个极大无关组,并将其余向量用此极大无关组线性表示线代，线性代数，线性表示，这里不太明白怎么可以...答：化成非齐次线性方程组对增广矩阵做初等行变换化为最简形根据λ的不同取值讨论方程组的解的情况过程如下：防抓取，学路网提供内容。（2）求秩我们通过互联网以及本网用户共同努力为此问题提供了相关答案,以便碰到此类问题的同学参考学习,请注意,我们不能保证答案的准确性,仅供参考,具体如下:求问这到线性代数题怎么做？答：A,B是合同的，因为惯性指数一致，但不是相似的，因为特征值不同防抓取，学路网提供内容。用户都认为优质的答案:求线性代数大神问：求线性代数大神2.6题答案为什么是二分之一A啊答：这是因为XA=X+BBT则X(A-E)=BBT而A=BBT（用矩阵乘法验算，容易得知）因此X(A-E)=A下面用初等变换来求X防抓取，学路网提供内容。第一题：x^2+2y^2+3z^2+8xz-2yz 线性代数，高等数学，求教我怎么做这特征向量什么...问：线性代数，高等数学，求教我怎么做这特征向量什么的，不懂求什么，怎么...答：(4)先求矩阵的特征值λ，|λE-A|=|λ+1-10||4λ-30防抓取，学路网提供内容。第二题:秩是3.所以无关 求解线性代数问：求解线性代数第3和5答：第3题，根据题意，单位坐标向量组与这个向量组线性可以相互线性表示，因此两个向量组相互等价，从而保持相同的线性相关性，从而这个向量组也线性无关防抓取，学路网提供内容。第三题：可以化成 怎样求线性代数ax=b中的x作业帮答：(A-E)X=(B-2E)X=(B-2E)(A-E)^-1其中A^(-1)表示矩阵A的逆矩阵防抓取，学路网提供内容。1 0 -1 0 0 -1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 一个极大线性无关组是a1,a2,a4;剩余向量a3=-a1-a2+0a3 线性代数求答案答：（I）A^3[2*a+a*(a^2+1),3*a^2,-3*a][3*a^2,a^3,-3*a^2][3*a,3*a^2,a*(a^2-1)-2*a]所以：a=0A=01010-10防抓取，学路网提供内容。秩是3如有不懂联系求解线性代数问：求解线性代数只有副对角线上有数值那值等于多少答：反复按第1列展开，得到(-1)^(n+1)xn*(-1)^nxn-1*(-1)^(n-1)xn-2*...*(-1)^3x2*(-1)^防抓取，学路网提供内容。自考线性代数哪个试卷好就《一考通》还比较好,附有一本小册子.我把这套试卷基本做完了,线性代数考了93!祝你考试大捷!请教一个线性代数问题请问这个线代题目怎么理解,第一个划线...B中找2两个线性无关的列都可以这里是解答错误应该是(1,-1,1)^T线性代数题目:设A=第一行a-1c第二行5b3第三行1-c0-a,且...(2)根据上式列出三个方程c-a+1=1/λ0……①-2-b=1/λ0……②c-a+1=-1/λ0……③联立①③,可解出λ0=1,代入②式得,b=-3,c=a上述结果代入矩阵A,求矩阵A的行列...线性代数题目!为什么答案里这个行列式的第一行都变成1了!谢...第一行加上剩余所有行就是全1
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