为什么要发明和使用微积分？ - 知乎281被浏览<strong class="NumberBoard-itemValue" title="4分享邀请回答17913 条评论分享收藏感谢收起191 条评论分享收藏感谢收起为何微积分具有如此的优越性？ - 知乎657被浏览<strong class="NumberBoard-itemValue" title="5分享邀请回答12036 条评论分享收藏感谢收起35533 条评论分享收藏感谢收起一个球体容器的半径为12cm，从容器上方的小孔倒，水面高度h的上升速率为0.2cm/s。
证明水的表面积为A=(24h-h^2)π.
设球体容器是x^2+y^2=2Ry绕y轴旋转的旋转体，则水面高度为hcm时，水的表面积为
A=πx^2=π(2Rh-h^2)=(24h-h^2)π
其他答案（共1个回答）
意义上而言，微积分利用线性手段解决非线性问题的思路乃是空前绝后的
水的表面积包括球冠的面积和水面的面积。假设R为球的半径，那么球冠的面积为2πRh；水面的面积为π[R^2-(R-h)^2]=π(2Rh-h^2)。
所以水的表面...
dy/dx=(1/√tgx)*sec^2x.
=(1/√tgx)*2secx*tgxsecx+(-1/2(tgx)^(-3...
abs(x)&x*sin(1/x)&-abs(x) abs(x)表示x的绝对值所以由两边夹知极限为0
内接矩形面积是目标函数 设顶点坐标分别是x y
由于沿坐标轴对称
约束条件x^2/a^2+y^2/b^2=1
做拉格朗日函数L=4xy＋λ（x...
先看不定积分吧。。。
∫e^(-x)sinxdx
=-∫sinxd[e^(-x)]
=-[e^(-x)*sinx-∫e^(-x)d(sinx)]【分部积分法】
答: 一百元是一张，一万元是100张，一个亿是1000000张
第五套100元面值人民币票幅长155mm（毫米），宽77mm（毫米）， 高0.1mm（毫米），...
答: 对于那些有志于穷尽数学奥秘的学生，他总是循循善诱地予以启发和教育，而对于那些急功近利、在学习上不肯刻苦钻研的人，则毫不客气地予以批评
答: 数学：甲数、乙数与丙数的和是1400，甲数是乙数的2倍，丙数是乙数的二分之一，求甲、乙、丙各多少？
答: 求证类型 求解类型
B.20世纪上半叶，人类经历了两次世界大战，大量的青壮年人口死于战争；而20世纪下半叶，世界基本处于和平发展时期。
“癌症的发病率”我认为这句话指的是:癌症患者占总人数口的比例。
而B选项说是死亡人数多，即总体人数下降了，但“癌症的发病率”是根据总体人总来衡量的，所以B项不能削弱上述论证
海鸟的种类约350种，其中大洋性海鸟约150种。比较著名的海鸟有信天翁、海燕、海鸥、鹈鹕、鸬鹚、鲣鸟、军舰鸟等。海鸟终日生活在海洋上，饥餐鱼虾，渴饮海水。海鸟食量大，一只海鸥一天要吃6000只磷虾，一只鹈鹕一天能吃(2～2.5)kg鱼。在秘鲁海域，上千万只海鸟每年要消耗?鱼400×104t，它们对渔业有一定的危害，但鸟粪是极好的天然肥料。中国南海著名的金丝燕，用唾液等作成的巢被称为燕窝，是上等的营养补品。
嫌麻烦就把你洗衣机的型号或断皮带，拿到维修点去买1个，自己装上就可以了（要有个小扳手把螺丝放松，装上皮带，拉紧再紧固螺丝）。
要有经营场所，办理工商登记（办理卫生许可），如果觉得有必要还要到税务局买定额发票，不过奶茶店一般人家消费是不会要发票的巴，要买设备，要联系供应商备一些原料，就好啦，没啥难的，不过要赚钱的话就得选好开店地段。
办理手续的程序（申领个体执照）：
1、前往工商所申请办理
2、根据工商所通知（申请办理当场就会给你个小纸条）前往办理名称预核
3、拿到名称预核通知书，办理卫生许可证（前往所在地卫生监督所办理）
4、拿着名称预核通知书和卫生许可证前往工商所核发营业执照。
都可以到。 随着网上购物越来越火，国内快递行业也相应的越做越火，网点越来越全面，现在很多普通的快递都能到县城了。先看自己所在的县城有没快递网点，只需要直接在百度上输入快递官网即可查询是否有网点和属于派送区域，
一些偏僻的县城和乡镇，如果没有快递网点，也就是普通快递不到的地区，可以用邮政的EMS快递，是直接把货送到家的（非平邮）。邮政系统的EMS特快或EMS经济快递，这两个快递走的都是邮政系统，偏远地区和乡村都能到，号称是：国内有人的地方就能送到。 EMS 速度快一点，运费比较高。
货源很重要，五洲会的产品全部国外直采，100%品质保障，你可以打电话问下
好像有不少，运德物流友爱路营业厅、阿曼尼汽车运输公司、中铁特货运输、南宁创业运输公司、林业运输公司。。。。。
看你什么规模了，我是公司是65人，花了6000多。
跑步机的价格主要分三个档次：3000元以内，元，6000元以上。 3000以下是比较大众化的跑步机 定期检查跑步机的紧急制动功能，确保安全有效(如果出现问题，暂停跑步机使用，及时联系技术人员维修)。定期在跑带和跑板之间，涂抹硅油(硅油的涂抹在跑板上的表面位置，要涂抹均匀)后，调整好跑带后，要低速运行一段时间，确定跑带不会跑偏，确保跑带顺滑运转。
一般的1500左右，贵的几千，几万，几十万 一些年代久远、颇具收藏价值的老家具是古玩爱好者的“眼热之物”。不过，在这些藏品中，不乏赝品。为防止“打眼”以下5种鉴别古老家具赝品的方法不妨一试。1、看包浆是否自然:一般的老家具在使用者手经常抚摸的位置，会出现自然形成的包浆，新仿品中的包浆要么不自然，要么在家具上不常抚摸的地方也有包浆。2、看家具的底板和抽屉板:老桌子的底板和抽屉板有一股仿不像的旧气。
员工人数在126－275人，初审最低限价为21000元 文件控制无程序书;.文件核发控制未bao括质量管理体系有关的所有文件及资料;无文件审核程序或由相关权责人员审核的规定;已发行文件的审查或核准人员不符规定要求;5.已发行文件上的编写、审核、核准或发行日期栏空白;两份文件的名称或编号重复.文件fen发对象没有登记控制.使用单位所持有文件与fen发单位登记不符;使用单位仍然使用或持有作废文件;.作业场所使用非经正式发行的文件或表单;作废文件仍保留在工作档案中，且没有任何识别;受控文件上未依规定盖发行章;。
星凯农科科技的价格就很合理的，质量也好
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这不是个问题
这个问题分类似乎错了
这个不是我熟悉的地区微积分中10大经典问题(ZZ)
这里入选原则是必须配得起“经典”二字。知识范围要求不超过大二数学系水平，
尽量限制在实数范围内，避免与课本内容重复。排名不分先后。
1）开普勒定律与万有引力定律互推。绝对经典的问题，是数学在实际应用中的光辉
典范，其对奠定数学科学女皇的地位起着重要作用。大家不妨试试，用不着太多的专
业知识，不过很有挑战性。重温下牛顿当年曾经做过的事，找找当牛人的感觉吧，这
个问题是锻炼数学能力的好题！
2）最速降线问题。该问题是变分法中的经典问题，不少科普书上也有该问题。答案
是摆线（又称悬轮线），关于摆线还有不少奇妙的性质，如等时性。其解答一般变分
书上均有。本问题的数学模型不难建立，即寻找某个函数，它使得某个积分取最小值。
这个问题往深层次发展将进入泛函领域，什么是泛函呢？不好说，一个通俗的解释是
“函数的函数”，即“定义域”不是区间，而是“一堆”函数。最速降线问题通过引
入光的折射定律可以直接化为常微分方程，大大简化了求解过程。不过变分法是对这
类问题的一般方法，尤其在力学中应用甚广。
3）曲线长度和曲面面积问题。一条封闭曲线，所围面积是有限的，但其周长却可以
是无限的，比如02年高中数学联赛第14题就是这样一条著名曲线-----雪花曲线。
如果限制曲线是可微的，通过引入内折线并定义其上确界为曲线长度。但把这个方法
搬到曲面上却出了问题，即不能用曲面的内折面的上确界来定义曲面面积。德国数学
家H.A.Schwarz举出一个反例，说明即使像直圆柱面这样的简单的曲面，也可以具有
面积任意大的内接折面。
4）处处连续处处不可导的函数。长久以来，人们一直以为连续函数除了有限个或可数
无穷个点外是可导的。但是，魏尔斯特拉斯给出了一个函数表达式，该函数处处连续却
处处不可导。这个例子是用函数级数形式给出的，后来不少人仿照这种构造方式给出了
许多连续不可导的函数。现在教材中举的一般是范德瓦尔登构造的比较简单的例子。
至于魏尔斯特拉斯那个例子，可以在齐民友的《重温微积分》中找到证明。其实上面
那个雪花曲线也是一条处处连续处处不可导的曲线。
5）填满正方形的连续曲线。数学总是充满神奇与不可思议，以前人们总是以为曲线是
一维的，但是皮亚诺却发现了一条可以填满正方形的连续曲线。结果人们不得不重新
审视以往对曲线的看法。
BTW：先写到这里，明天接着写另外5个。1345中的例子可以在《数学分析新讲》中找到。
6)重积分变量替换定理。该定理可以说是数学分析中比较大的一个定理，选择它的理由
是因为其具有微积分的显著特征，即用一般化的通法代替特殊化技巧性的方法。微积分
的出现解决了不少以前从为解决的难题，使数学一般化了。比如求面积，你不再像以往
那样使用特殊的分割技巧，然后求和求极限了，而且范围也更广泛了。
7）泰勒级数和傅立叶级数是如何发现的。注意这里是发现，而不是证明。教材中对于一
个定理，往往是直接列出定理，接着证明，最后举例。但是对于数学思想阐述不够，尤其
是对定理的“发现”过程介绍甚少，而这和定理本身同样重要。泰勒级数和傅立叶级数源
自于人们这样朴素的思想，即用简单函数表示复杂函数。而人们所熟悉的简单函数要数幂
函数（整数次）和三角函数了。泰勒级数来自泰勒多项式，而后者是泰勒从牛顿差分法中
得到的，而且非常不严密。傅立叶级数是傅立叶用分离变量法解热传导方程（二阶抛物型
偏微分方程）时得到的。此前欧拉等人也曾得到过类似结果，不过他们大都持怀疑态度。
谁会想到任意一个连续函数可以用和它根本不像的三角函数表示呢？人们对于无穷的认识
还很少。关于泰勒级数和傅立叶级数是如何发现，大家可以参考《古今数学思想》二三册。
8）多项式逼近连续函数。泰勒级数提供了用简单函数研究复杂函数的方法，不过它对函数
本身要求也高（要求无穷次可导），这就限制了它的应用范围。后来人们想对于连续函数，
是否存在多项式，使得该函数与多项式之差可以任意小，即用多项式逼近连续函数。答案
是存在的，魏尔斯特拉斯最早给出了存在性的证明，后来斯通又将其推广为更一般的形式。
值得一提的是伯恩斯坦的证明，他不但证明了逼近多项式的存在性，而且给出了多项式--
---伯恩斯坦多项式的构造方法。以上证明均可以在张筑生老师的《数学分析新讲》第三册
9）格林公式、高斯公式和斯托克斯公式的统一证明。这三个公式是微积分中我最喜欢的公
式之一，形式优美，含义深刻。若将三者统一起来，就得引入外微分。外微分可以说数学分
析中最具有现代特色的内容之一了。其本身既有抽象性，又有统一性，而且可以向高维情况，
流形，微分几何，微分拓扑等进军。陈省身老先生尤其喜欢用外微分。外微分一般是数学系
的必修课程。国外比较不错的书推荐《流形上的微积分 高等微积分中一些经典定理的现代化
处理》（M.斯皮瓦克写的）。不过该书写的比较简洁、难度很大，最好大二大三去看。
10）不动点定理。布劳威尔的这个不动点定理可以说是名气大的下人，有个老外写了本科普书
叫《20世纪数学的五大指导理论》，里面就有不动点定理。而且也有专门的书，好象叫《不动
点理论》，一般需要涉及拓扑理论。据说不动点的应用范围远超出数学领域，有兴趣的可以看
看《20世纪数学的五大指导理论》这本书。不动点定理经过适当技术处理是可以放到微积分中
的，就二、三维情况的可以看看张老师的《数学分析新讲》第三册。对于一般的n维情况，米尔
诺曾给出一个比较初等的解析证明，该证明可以在齐民友的《重温微积分》（很不错的书）中找
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本帖最后由 wanghaidong918 于
16:46 编辑
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[求助]两道微积分问题
&br/&这是第一个问题。我出现的不明白的地方是，如果把X不看作未知的，那么直接对左式就可以求出结果了。但是右式直接求后面的积分得到的就是Poisson积分，但是此时两式就不相等了。&/p&&p&第二个问题：&/p&&p&&&& df(x,y) = (x&sup&2&/sup& + 2xy - y&sup&2&/sup&)dx + (x&sup&2&/sup&&- 2xy - y&sup&2&/sup&)dy&/p&&p&这个问题出在，很明显，dx之前的式子对y求导和dy之前的式子对x求导是一样的，那么就说明他们的二阶倒数是一致的，具有同一个原函数，但是分别对他们求积分，所得的结果是不一致的。为什么会这样呢？但是把他们的积分结果只要相加（但是相同的项不相加），就会发现这个函数是符合这个方程的，当然还有常数项。&/p&&p&希望有哪位高人可以指点迷津！如果可以有答案更不胜感激了！&/p&
都要沉下去了，烦高手不吝赐教！
先说第二个问题吧：这是一个很基本的常微分方程，叫做恰当方程或全微分方程。解法很简单，lz的做法是可以的，先对dx之前的部分对x积分得到一个函数：1/3x^3+x^2*y-xy^2+c,解决lz的问题关键在c，lz所说的对dy之前的部分再对y求积分所得函数与上述不同就是因为那个只含y的项在这个方程中包含在c中了，因为这项和x无关，对x来说就是常数。所以还要对dy那一部分求积分进而综合两式使函数符合方程。不知道我说清楚了吗？
多谢回复！你说的我已经明白了，但是最关键的就是“综合两式”。对X积分得到就是你所得到的式子1/3x^3+x^2*y-xy^2+c,本文来自: 人大经济论坛() 详细出处参考：，对Y积分得到的是x^2y - xy^2 - 1/3y^3 + C, 如果综合两式，那么得到原函数就是f(x,y) = 1/3x^3 + x^2y - xy^2 - 1/3y^3 + C. 不过问题在于为什么我们可以这样合并？合并的保障定理是什么？是什么让我们可以把一致的项不相加，而只把不一样的项加到里面呢？希望可以得到你的回复！再一次感谢！
都沉下去了，没有哪位高人思考过这个问题吗？
这个好像是线性积分的问题，版主能说的详细些么？一起琢磨，发到网上不方便的话写邮件，，用附件，系统不认中文
貌似不容易的样子呢~
回复parkkiseh，我已经发了一封信到你的邮箱，多谢！
第二个问题：&&& df(x,y) = (x2 + 2xy - y2)dx + (x2 - 2xy - y2)dy这个问题出在，很明显，dx之前的式子对y求导和dy之前的式子对x求导是一样的，本文来自: 人大经济论坛() 详细出处参考：根据格林公式的推论，满足这个条件说明函数的全微分是等式右边，可查阅同济版高数下册149页内容，有两个办法可以求这个函数，见151页两个例题。对X积分得到就是你所得到的式子1/3x^3+x^2*y-xy^2+c,本文来自: 人大经济论坛() 详细出处参考：这第一个c是y的函数，对Y积分得到的是x^2y - xy^2 - 1/3y^3 + C,本文来自: 人大经济论坛() 详细出处参考：这第二个c是x的函数，所以你的写法不严密。这两个表达式都是f(x,y),但带着待定的表达式。这两个式子相等，比较同类项，得第一个c即y的函数等于第二个式子中的-1/3y^3,第二个c即x的函数等于第一个式子中的1/3x^3.不知你懂了吗？第一个问题是积分上限函数，x在积分中是常量，积分后是变量，你问的问题我没大看明白，这等式哪来的，我怎麽没见过？
第一题应该是道错题，因为等式两边求导显然不相等。
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