极限计算方法总结（高等数学知识点精华总结）
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极限计算方法总结（高等数学知识点精华总结）
　　极限计算方法总结　　《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。　　一、极限定义、运算法则和一些结果　　1(定义:(各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述)。　　说明:(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的极限严格定义证　　,0，当|q|1时,bn,limqlim(3x,1),5lim,0(a,b为常数且a,0);;;等等 明，例如:,,,nx,2n,,不存在，当|q|,1时an,　　(2)在后面求极限时，(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格　　定义证明。　　2(极限运算法则　　定理1 已知 ，都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有 (1)limf(x)limg(x)　　lim[f(x),g(x)],A,B　　(2) limf(x),g(x),A,B　　f(x)A(3) lim,,(此时需B,0成立)g(x)B　　说明:极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。　　3(两个重要极限　　xsinlim,1(1) x,0x　　11xxlim(1，),elim(1，x),e(2) ; x,,,0xx　　说明:不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，　　作者简介:靳一东，男，(1964—)，副教授。　　1xxsin333,2xlim(1，),elim(1,2x),elim,1例如:，，;等等。 x,,x,0xx,0x3　　4(等价无穷小　　定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)。　　定理3 当时，下列函数都是无穷小(即极限是0)，且相互等价，即有: x,0　　xxtanxarctanxln(1，x)sinxarcsinxe,1,,,,,, 。　　g(x)g(x),0说明:当上面每个函数中的自变量x换成时()，仍有上面的等价　　23x2,xe,13xln(1,x)关系成立，例如:当时， , ; , 。 x,0　　1　　1/5页　　x,xf(x),g(x),f(x),g(x) 定理4 如果函数都是时的无穷小，且,，,，则当f(x)g(x)f(x)g(x)01111　　f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)111limlimlimlimlim存在时，也存在且等于，即=。 f(x)x,xx,xx,xx,xx,x00000g(x)g(x)g(x)g(x)g(x)1115(洛比达法则　　定理5 假设当自变量x趋近于某一定值(或无穷大)时，函数和满足:(1)和的f(x)g(x)f(x)g(x)　　极限都是0或都是无穷大;　　(2)和都可导，且的导数不为0; f(x)g(x)g(x)　　,f(x)lim (3)存在(或是无穷大); ,g(x)　　,,f(x)f(x)f(x)f(x)limlimlimlim 则极限也一定存在，且等于，即= 。 ,,g(x)g(x)g(x)g(x)说明:定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达　　0,法则就不能应用。特别要注意条件(1)是否满足，即验证所求极限是否为“”型或“”型;0,　　条件(2)一般都满足，而条件(3)则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以　　连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。　　6(连续性　　x 定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果是函数的定义去间内的一点，则有f(x)0　　limf(x),f(x) 。 0x,x0　　7(极限存在准则　　定理7(准则1) 单调有界数列必有极限。　　{x},{y},{z}为三个数列，且满足: 定理8(准则2) 已知nnn　　y,x,z,(n,1,2,3,？)(1) nnn　　limy,alimz,a (2) ， nnn,,n,,　　limxlimx,a 则极限一定存在，且极限值也是a ，即。 nnn,,n,,　　二、求极限方法举例　　1( 用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限　　3x，1,2lim例1 x,1x,1　　22xx(31)2333，,,limlim,,解:原式= 。 x,1x,14xxxx(1)(312)(1)(312),，，,，，　　注:本题也可以用洛比达法则。　　limn(n，2,n,1)例2 n,,　　分子分母同除以nnnn[(，2),(,1)]33lim,lim,解:原式= 。 n,,n,,2nn，2，,1211，，1,nn　　nn(,1)，3lim例3 nn,,n2，3　　2　　2/5页　　1n(,)，1n上下同除以33,lim,1解:原式 。 n,,2n()，13　　2( 利用函数的连续性(定理6)求极限　　1　　2xlimxe例4 ,x2　　1　　2xf(x),xex,2解:因为是函数的一个连续点， 0　　1222e,4e 所以 原式= 。 3( 利用两个重要极限求极限　　1cosx,lim 例5 2x,03x　　xx222sin2sin122limlim,,解:原式= 。 200x,x,x63x212(),　　2　　注:本题也可以用洛比达法则。　　2　　xlim(1,3sinx)例6 ,x0　　1,6sin1,6sinxx,x,6,3sinxx,3sinxlim(1,3sinx),lim[(1,3sinx)],e 。 解:原式=,0,0xx　　n,2nlim()例7 ,,nn，1　　,3n，1,3，1nnn,,3,3n，1,3，1n,3,3lim(1，),lim[(1，)],e解:原式= 。 ,,,,nnn，1n，14( 利用定理2求极限　　12xlimsin例8 x,0x　　解:原式=0 (定理2的结果)。 5( 利用等价无穷小代换(定理4)求极限　　xln(13x)，lim 例9 2x,0arctan(x)　　22arctan(x)？x,0时，ln(1，3x) 解:,，,， x3x　　xx,3？ 原式= 。 lim,32x,0x　　xsinxe,elim例10 ,x0x,sinx　　,sinxxsinxsinxeeexx(,1)(,sin)lim,lim,1解:原式= 。 ,,x0x0xxxx,sin,sin注:下面的解法是错误的:　　3　　3/5页　　xsinxeexx(,1),(,1),sinlim,lim,1 原式= 。 x,0x,0xxxx,sin,sin　　正如下面例题解法错误一样:　　xxxxtan,sin,lim,lim,0 。 33x,x,00xx　　12tan(xsin)　　xlim例11 x,0sinx　　111222解:， ？当x,0时，xsin是无穷小，？tan(xsin)与xsin等价xxx　　12xsin1xxlim,limsin,0 所以， 原式= 。(最后一步用到定理2) x,0x,0xx　　6( 利用洛比达法则求极限　　说明:当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时，　　洛比达法则还可以连续使用。　　1cosx,lim例12 (例4) 2x,03x　　sinx1lim,解:原式= 。(最后一步用到了重要极限) x,06x6　　,xcos　　2lim例13 x,1x,1　　,,x,sin,22,,lim解:原式= 。 x,112　　x,sinxlim例14 3x,0x　　1cosxsinx1,limlim,解:原式== 。(连续用洛比达法则，最后用重要极限) 2x,x,006x63x　　sinxxcosx,lim例15 2x,0xsinx　　解:　　sinxxcosxcosx(cosxxsinx),,,limlim,,原式22x,x,00xx3x,　　xsinx1lim,,2x,033x　　11,lim[]例18 x,0x，xln(1)　　11lim[,],0解:错误解法:原式= 。 x,0xx　　正确解法:　　4　　4/5页　　ln(1，x),xln(1，x),x原式,lim,limx,0xln(1，x)x,xx,0　　1 ,1x11，x,lim,lim,。x,0x,02x2x(1，x)2　　应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。　　x,2sinxlim例19 x,,3x，cosx　　1,2cosx0lim解:易见:该极限是“”型，但用洛比达法则后得到:，此极限 x,,3,sinx0　　不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下:　　x2sin1,xlim原式= (分子、分母同时除以x) x,,xcos3，x　　1 = (利用定理1和定理2) 3　　7( 利用极限存在准则求极限　　limxx,2,x,2，x,(n,1,2,？)例20 已知，求 n1n，1n,,n　　xlimxlimx,a{x}解:易证:数列单调递增，且有界(0)，由准则1极限存在，设 。对已nnnn,,,,nn　　x,2，x知的递推公式 两边求极限，得: n，1n　　a,2，aa,2a,,1 ，解得:或(不合题意，舍去)　　limx,2所以 。 nn,,　　111lim(？)，，，例21 222n,,n，1n，2n，n　　n111n,，，？，,解: 易见: 22222n，nn，1n，2n，nn，1　　nnlim,1lim,1因为 ， 22n,,n,,，1nn，n　　111lim(，，？，),1所以由准则2得: 。 222n,,n，1n，2n，n　　上面对求极限的常用方法进行了比较全面的总结，由此可以看出，求极限方法灵活多样，而且许多题目不只用到一种方法，因此，要想熟练掌握各种方法，必须多做练习，在练习中体会。另外，求极限还有其它一些方法，如用定积分求极限等，由于不常用，这里不作介绍。　　5　　5/5页全文完
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&版权所有(C)&2016考研数学：函数与极限定理汇总
　　【摘要】在暑期完成第一轮基础考点的复习之后，9月份开始需要对考研数学所考的定理定义进行必要的汇总。本文为同学们整理了高数定理定义汇总。考研帮携手2016大纲解析人第一时间解读大纲，
　　1、函数的有界性
　　在定义域内有f(x)&K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界；如果有f(x)&K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。
　　2、函数的单调性、奇偶性、周期性
　　3、数列的极限
　　定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。
　　定理（收敛数列的有界性）如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。
　　如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，（-1）n+1&该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。
　　定理（收敛数列与其子数列的关系）如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a。
　　如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，（-1）n+1&中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。
　　4、函数的极限
　　函数极限的定义中0&|x-x0|表示x&x0,所以x&x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。
　　定理（极限的局部保号性）如果lim(x&x0)时f(x)=A，而且A&0（或A&0），就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)&0（或f(x)&0），反之也成立。
　　函数f(x)当x&x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。
　　一般的说，如果lim（x&&）f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim（x&x0）f(x)=&，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。
　　5、极限运算法则
　　有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；
　　如果F1（x）&F2（x）,而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a&b。
　　6、极限存在准则
　　两个重要极限lim（x&0）（sinx/x）=1；lim（x&&）（1+1/x）x=1。
　　夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn&xn&zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。
　　单调有界数列必有极限。
　　7、函数的连续性
　　设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当x&x0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim（x&x0）f(x)=f(x0)，那么就称函数f(x)在点x0处连续。
　　不连续情形：1、在点x=x0没有定义；2、虽在x=x0有定义但lim（x&x0）f(x)不存在；3、虽在x=x0有定义且lim（x&x0）f(x)存在，但lim（x&x0）f(x)&f(x0)时则称函数在x0处不连续或间断。
　　如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称x0为函数f(x)的第一类间断点（左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点）。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点（无穷间断点和震荡间断点）。
　　有限个在某点连续的函数的和、积、商（分母不为0）是个在该点连续的函数。
　　如果函数f(x)在区间Ix上单调增加或减少且连续，那么它的反函数x=f(y)在对应的区间Iy={y|y=f(x),x&Ix}上单调增加或减少且连续。反三角函数在他们的定义域内都是连续的。
　　定理（最大值最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值。如果函数在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值和最小值。
　　定理（有界性定理）在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界，即m&f(x)&M。
　　定理（零点定理）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号（即f(a)&f(b)&0），那么在开区间（a,b）内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点&（a&&&b）使f(&)=0。
　　定理（介值定理）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点处取不同的值f(a)=A，f(b)=B，那么对于A与B之间的任一数C，在开区间（a,b）内至少有一点&使f(&)=C，（a&&&b）。
　　推论：在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值
　　（实习编辑：赵峰）
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