当前位置： >>
高等数学 格林公式
格林 Green.G. () 英国数学家、 英国数学家、物理学家第三节 格林公式及其应用格林(Green)公式 公式 格林 平面上曲线积分与路径无关的 条件 二元函数的全微分求积 小结 思考题 作业1格林公式及其应用一、格林公式1. 区域连通性的分类 为平面区域, 设D为平面区域, 如果 内任一闭曲线所围 为平面区域 如果D内任一闭曲线所围 成的部分都属于D, 则称D为平面 单连通区域, 成的部分都属于 则称 为平面 单连通区域, 否则称为复连通区域. 否则称为复连通区域. 复连通区域DD单连通区域复连通区域2格林公式及其应用2. 格林公式 闭区域D由分段光滑的 格林定理(定理1) 格林定理(定理1) 设闭区域 由分段光滑的 曲线L围成 围成, 曲线 围成, 函数 P ( x , y )及Q ( x , y ) 在D上具有 上具有 一阶连续偏导数,则有 一阶连续偏导数,?Q ?P ∫∫ ( ?x ? ?y )dxdy = ∫L Pdx + Qdy D(1)其中L是 的取正向的边界曲线 的取正向的边界曲线. 其中 是 D的取正向的边界曲线 公式(1)称 格林公式. 公式 称 格林公式.3格林公式及其应用边界曲线L的 规定 边界曲线 的正向 当观察者沿边界行走时,区域D总在他的 左边. 当观察者沿边界行走时,区域 总在他的 左边.yLLDDxl注O(1) P、Q在闭区域 上一阶偏导数的连续性 在闭区域D上一阶偏导数的连续性 在闭区域 上一阶偏导数的连续性; (2) 曲线 是封闭的,并且取正向. 曲线L是封闭的 并且取正向. 是封闭的,4格林公式及其应用?Q ?P 证明 ∫∫ ( ? )dxdy = ∫L Pdx + Qdy ?x ?y D(1)先对简单区域证明 先对简单区域证明: 先对简单区域证明 若区域D既是 若区域 既是 X ? 型 又是 Y ? 型 即平行于坐标轴的直线 至多交于两点. 和L至多交于两点 至多交于两点yx =ψ1( y)dE y = ?2( x)DABcO aCx =ψ2 ( y) y = ?1( x)b xD = {( x , y ) ? 1 ( x ) ≤ y ≤ ? 2 ( x ), a ≤ x ≤ b}D = {( x , y )ψ 1 ( y ) ≤ x ≤ ψ 2 ( y ), c ≤ y ≤ d }5格林公式及其应用ψ2 ( y) ?Q d ?Q ∫∫ ?x dxdy = ∫c dy ∫ψ1( y) ?xdx D?Q ?P ( ? )dxdy = ∫ Pdx + Qdy ∫∫ ?x ?y L D= ∫ Q( x ,c ddψ 2 ( y) y ) ψ 1 ( y ) dydyx =ψ1( y)dE= ∫ Q(ψ 2 ( y ), y )dy ? ∫ Q (ψ 1 ( y ), y )dycDBc= ∫ Q( x , y )dy ? ∫ Q ( x , y )dyCBECBEACAEcO=∫ =Q( x , y )dy + ∫EACQ ( x , y )dyC x =ψ2( y) xQ ?P ??P dxdy = P ( x , y )dx ? ∫∫ ? 同理可证 ∫∫ ( )dxL y = ∫ Pdx + Qdy ∫d L ?y ?y D?x Do∫L Q( x , y )dy6格林公式及其应用积分区域的可加性 (2) 再对一般区域证明: 再对一般区域证明: 若区域D由按段光 若区域 由按段光 滑的闭曲线围成. 如图 滑的闭曲线围成 (如图 如图) 将D分成三个既是 X ? 型 分成三个既是 又是Y ? 型的区域 D , D2 , D3 . 1L DD1D2D3 L 3L1 ? Q ?P ( ? )dxdy = ∫∫ ( ?Q ? ?P )dxdy ∫∫ ?x ?y ?y D D + D + D ?x1 2 3L27格林公式及其应用?Q ?P ?Q ?P ∫∫ ( ?x ? ?y )dxdy = D +∫∫+ D ( ?x ? ?y )dxdy D 1 D2 3 ?Q ?P ? Q ?P ? )dxdy + ∫∫ ( ? )dxdy = ∫∫ ( ?x ? y ?y D ?x D2 1 ?Q ?P + ∫∫ ( ? )dxdy ?y D3 ?x = ∫ Pdx + Qdy + ∫ Pdx + Qdy + ∫ Pdx + QdyL1 L2L3?Q ?P ∫∫ ( ?x ? ?y )dxdy = ∫L Pdx + Qdy D= ∫ Pdx + QdyLD3 L 3(L , L2 , L3对D来说为正方向) 1LDD1L1D2 L 28格林公式及其应用(3) 对复连通区域证明: 对复连通区域证明: 若区域不止由一条闭曲线 对复连通区域D,格林公式 对复连通区域 格林公式 所围成. 所围成.添加直线段 AB 右端应包括沿区域D的 ,CE. 右端应包括沿区域 的全部边界 的曲线积分, 的曲线积分 且边界的方向对区 则D的边界曲线由 AB, L2 , BA, 的边界曲线由 来说都是正向. 域D来说都是正向及 CGA构成 来说都是正向 构成. AFC, CE, L3 , EC ? Q ?P 由(2)知 ∫∫ ( 知 ? )dxdy ? x ?y D23GDL2 BL3E CL1 FA={∫AB + ∫L + ∫BA + ∫AFC+ ∫CE + ∫L + ∫EC+ ∫CGA}? ( Pdx + Qdy )= ( ∫ + ∫ + ∫ )( Pdx + Qdy ) L L L2 3 1( ∫ + ∫ = 0, ∫ + ∫ = 0)AB BA CE EC= ∫ Pdx + Qdy ( L1, L2 , L3对D来说为正方向 )L9格林公式及其应用?Q ?P ∫∫ ( ?x ? ?y )dxdy = ∫L Pdx + Qdy D格林公式的实质 沟通了沿闭曲线的积分与二重积分 沟通了沿闭曲线的积分与 二重积分 之间的联系. 之间的联系10格林公式及其应用3. 简单应用 (1) 计算平面面积 格林公式 得?yx?Q ?P ∫∫ ( ?x ? ?y )dxdy = ∫L Pdx + Qdy D2 ∫∫ dxdy = ∫L xdy ? ydxD1 闭区域D的 闭区域 的面积 A = ∫ xdy ? ydx 2 L或A= ∫ xdy A = ∫（? y）dx = ， LL11格林公式及其应用例 求椭圆 x = a cos t , y = b sin t ,0 ≤ t ≤ 2π 所围成的面积. 所围成的面积y1 解 由公式 A = ∫ xdy ? ydx 2 L1 2π 得 A = ∫ ab(cos 2 t + sin 2 t )dt 2 0 = abπD Ox12格林公式及其应用(2) 简化曲线积分y L2?Q ?P ∫∫ ( ?x ? ?y )dxdy = ∫L Pdx + Qdy D3 y2例 计算 I = ∫ e dx + ( xy + xe ? 2 y )dy , 正向. 其中L为圆周 其中 为圆周 x + y = 2 x 的正向 解 P = e y , Q = xy 3 + xe y ? 2 yy?P ?Q y 3 y =e , = y +e ?x ?y O ?Q ?P 3 ? =y ?x ?y 对称性 由格林公式有 I = ∫∫ y 3dxdy = 0 格林公式有D. 12x13格林公式及其应用对平面闭曲线上的对坐标曲线积分 平面闭曲线上的对坐标曲线积分, 上的对坐标曲线积分 ?Q ?P 当 ? 比较简单时,常常考虑通过格林 比较简单时,常常考虑通过格林 ?x ?y 公式化为二重积分来计算 化为二重积分来计算. 公式化为二重积分来计算.14格林公式及其应用例 计算 )⌒ 其中AO是从点 其中 是从点 A(a ,0) 到点O(0,0)的上半圆周 x 2 + y 2 = ax . y ⌒ 分析 此积分路径 AO 不是闭曲线! 不是闭曲线! 但由 P = e sin y ? my , Q = e cos y ? mx∫AO(e x sin y ? my)dx + (e x cos y ? m)dy,xO?A(a ,0)x?Q = e x cos y , ?x可知? Q ?P ? =m ?x ? y?P = e x cos y ? m ?y非常简单. 非常简单15格林公式及其应用L不闭合 边L＊ 再补充一段曲线, 不闭合+边 再补充一段曲线 不闭合 为应用格林公式,使L+ L＊ 为应用格林公式再补充一段曲线 使之构成 格林公式 使 闭合,再用格林公式. 再用格林公式 闭合 再用格林公式 闭曲线.因在补充的曲线上还要算曲线积分, 闭曲线 因在补充的曲线上还要算曲线积分 所以 补充的曲线要简单, 补充的曲线要简单 通常是补充与坐标轴平行的 y 直线段. 直线段 因而这里补加直线段 OA. 解 由格林公式x) ∫AO +OA (e sin y ? my )dx + (e cos y ? m )dy 1 OA 的方程为 y = 0, 0 ≤ x ≤ a = ∫∫ m dxdy = m πa 8 0 故 ∫ (e sin0 ? my )dx + (e cos y ? m )dy = ∫ 0dx = 0 y 0 1 1 ? ∫ = m π a ? 0 = m πa . 所以, 所以 I = ∫ ) + OA OA 8 8x2?Q ?P ? =m ?x ?yO?A(a ,0) xDxxaOA022AO16格林公式及其应用(3) 简化二重积分 例 计算 ∫∫ eD ? y2?Q ?P ∫∫ ( ?x ? ?y )dxdy = ∫L Pdx + Qdy Dy B 1 Ddxdy ,其中 是 其中DA以O(0,0), A(1,1), B(0,1) 为顶点的三角形闭区域. 为顶点的三角形闭区域 ? y2 解 令 P = 0, Q = xe O ?Q ?P ? y2 ? = e 则 格林公式 ?x ? y ? y2 ? y2 ∫∫ e dxdy = ∫ xe dyD1 x= ∫ xe? y2= ∫ xe0OA 1dy + ∫ xeABOA + AB + BO ? y2xe dy + ∫ 0 BO0? y2dy17? x21 = (1 ? e ?1 ) dx + 0 + 0 2格林公式及其应用练习设L为取正向的圆周 x 2 + y 2 = 9, 则曲线积分∫L( 2 xy ? 2 y )dx + ( x 2 ? 4 x )dy = ( ?18π ).解 设P = 2 xy ? 2 y , Q = x 2 ? 4 x?P 由格林公式 = 2 x ? 2, ?y2?Q = 2x ? 4 ?x∫L ( 2 xy ? 2 y )dx + ( x ? 4 x )dy = ∫∫ ( 2 x ? 4 ? 2 x + 2)dxdy = ?2 ∫∫ dxdy = ?18πDD18格林公式及其应用例xdy ? ydx , 其中 为一条无重点 计算 ∫ 其中L为一条无重点 为一条无重点, L x2 + y2 分段光滑且不经过原点的连续闭曲线, 不经过原点的连续闭曲线 分段光滑且不经过原点的连续闭曲线L的方向为逆时针方向 的方向为逆时针方向. 的方向为逆时针方向 解 所围成的闭区域为D, 记L所围成的闭区域为 所围成的闭区域为 ?y x 令 P= 2 , Q= 2 2 x +y x + y2则当 x 2 + y 2 ≠ 0时，y2 ? x2 ?P 有 ?Q = 2 2 2 = ?y ?x ( x + y )19格林公式及其应用?Q ?P (?Q ? ?P)dxdy = Pdx + Qdy = ∫∫ ?x ?y ∫L ?x ?y D (1)当 0,0) ? D时， L为不包围原点 ( 即 为y的任一闭曲线. 的任一闭曲线 xdy ? ydx =0 由格林公式 ∫ 2 2 L x + y 闭曲线. 闭曲线 作位于D内圆周 作位于 内圆周 l : x2 + y2 = r 2 记D1由L和l所围成 , 应用由格林公式 得 应用由格林公式,得 格林公式LDO(2)当 0,0) ∈ D时， L为包围原点在内的任一 ( 即 为包围原点在内的任一yxLlOD1 Drx20格林公式及其应用?Q ?P = ?x ?y ? ?Q ?P ? 0 =∫∫ ? ? ?dxdy ?x ?y ? D? 1yLlOD 1rxxdy ? ydx xdy ? ydx =∫ ? ∫l 2 2 = 0 2 2 L x + y x +yxdy ? ydx ∫L x 2 + y 2 =∴xdy ? ydx ∫l x 2 + y 2 2 2 2 2 2π r cos θ + r sin θ dθ =∫ 2 0 r = 2π注意格林公式的条件其中l 的方向取 其中 逆时针方向l : x2 + y2 = r 2?x = r cosθ ? ? y = r sinθ21格林公式及其应用2003年研究生考题 数学一 年研究生考题(数学一 年研究生考题 数学一)(10分) 分 已知平面区域 D = {( x , y ) 0 ≤ x ≤ π ,0 ≤ y ≤ π }, L为D的正向边界 试证 的正向边界. 为 的正向边界 试证:L Lsin y(1) ∫ xe sin ydy ? ye ?sin x dx = ∫ xe ?sin ydy ?( 2) ∫ xeLdy ? ye? sin xdx ≥ 2π .20yπ证 法一 (1) 左边 =∫0ππDLππeπ0sin x yx dy ?∫ π e ?sin x dx O πx= π ∫ (e右边 =sin x+e? sin x0)dx , e sin x + e ?sin x ≥ 2sin x∫0 π ey ? sin xdy ?∫ π e x πLdx22∫Lx π xe sin ydy ? ye ?sinsindx = ?sinxe ?sin,ydy ? ye sin x dx = π ( e x + e ∫ x )dx∫0格林公式及其应用2003年研究生考题 数学一 年研究生考题(数学一 年研究生考题 数学一)(10分) 分 已知平面区域 D = {( x , y ) 0 ≤ x ≤ π ,0 ≤ y ≤ π },sin yL为D的正向边界 试证 为 的正向边界 试证: 的正向边界.(1) ∫ xeLLdy ? yedy ? ye? sin xdx = ∫ xeL? sin ydy ? yesin x( 2) ∫ xesin y? sin xdx ≥ 2π .2证 (2) 由于 e sin x + e ?sin x ≥ 2, 故由(1)得 故由 得∫L xesin ydy ? ye? sin xdx = π ∫ ( eπsin x≥ 2π .230 2+e? sin x)dx格林公式及其应用2003年研究生考题 数学一 年研究生考题(数学一 年研究生考题 数学一)(10分) 分 已知平面区域 D = {( x , y ) 0 ≤ x ≤ π ,0 ≤ y ≤ π }, L为D的正向边界 试证 的正向边界. 为 的正向边界 试证:L L sin y(1) ∫ xe sin ydy ? ye ?sin x dx = ∫ xe ?sin ydy ? ( 2) ∫ xeLdy ? ye? sin xdx ≥ 2π2?Q ?P ( ? )dxdy = ∫ Pdx + Qdy .∫∫ ?x ?y L D根据格林公式 格林公式,得 证 法二 (1) 根据格林公式 得 左边 = ∫∫ (e sin y + e ?sin x )dσ ,DyπDLπ(e ?sin y + e sin x )dσ , 右边 =∫∫DOx都化成二次积分易知∫Lsin y xe sin y dy + eye ?sinddx== ∫(exe ?y +ydsin ?)dσsin x dx ? ?sin x ) x σ ∫∫ ?sin sin e y x ye ∫∫ (eLDD24格林公式及其应用2003年研究生考题 数学一 年研究生考题(数学一 年研究生考题 数学一)(10分) 分 已知平面区域 D = {( x , y ) 0 ≤ x ≤ π ,0 ≤ y ≤ π },L为D的正向边界 试证 为 的正向边界 试证: 的正向边界.(1) ∫ xe sin ydy ? ye ?sin x dx = ∫ xe ?sin ydy ?L L( 2) ∫ xeLsin ydy ? ye? sin xdx ≥ 2π .2(1)知 证 法二 由(1)知D∫Lxe sin y dy ? ye ?sin x dxD= ∫∫ (e sin y + e ?sin x )dσ = ∫∫ (e sin x + e ?sin x )dσ= 2π 2 . ≥ ∫∫ 2 dσD∫L xe dy ? ye dx = ∫∫ (e + sin x ? sin y ∫L xe dy ? ye dx = ∫∫ (esin yD D? sin x)dσ +e + ? sin y + e sin x )dσsin y ? sin x25格林公式及其应用二、平面上曲线积分与路径无关 的条件1. 平面上曲线积分与路径无关的定义 如果在区域G内有 如果在区域 内有yL1 AO∫L Pdx + Qdy = ∫L Pdx + Qdy12或∫L +L2? 1Pdx + Qdy = 0L??B L2G则称曲线积分∫ Pdx + Qdy在G内与路径无关 内 （沿任意闭曲线积分为0） 沿任意闭曲线积分为0,x否则与路径有关. 否则与路径有关26格林公式及其应用2.平面上曲线积分与路径无关的条件 . 定理2 设开区域G是一个单连通域 函数P(x,y), 定理2 设开区域 是一个单连通域, 函数 是一个单连通域 Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数 则曲线积分 内具有一阶连续偏导数, 在 内具有一阶连续偏导数?P ?Q = 曲线的曲线积分为零)的 充要条件是 曲线的曲线积分为零 的 充要条件是 ?y ?x 内恒成立. 在G内恒成立 内恒成立或沿G内任意闭 内与路径无关 或沿 ∫L Pdx + Qdy在G内与路径无关 (或沿 内任意闭两条件缺一不可27格林公式及其应用三、二元函数的全微分求积 二元函数的全微分求积考虑表达式 P( x, y)dx + Q( x, y)dy 如果存在一个函数 u( x, y), 使得du( x, y) = P( x, y)dx + Q( x, y)dy全微分式, 则称 P ( x , y )dx + Q ( x , y )dy 为一 全微分式,并将u = u( x , y )称为 P ( x , y )dx + Q ( x , y )dy 的一个 原函数. 原函数.28格林公式及其应用例 由 d( xy ) = ydx + xdy? y ? xdy ? ydx d? x ? = ydx ? xdy . d? ? = , ? ? 2 y? y2 ? x ? x? xdy ? ydx ydx ? xdy ydx + xdy , 可知: 可知 , 2 y2 x都是 全微分式. 全微分式.y x xy , , 分别是上面的 原函数. 原函数. x y29格林公式及其应用? 判断全微分式 下面说明一般怎样 ? ? 求原函数定理3 设开区域G是一个单连通域, 函数P(x,y), 定理3 设开区域 是一个单连通域 函数 是一个单连通域 Q(x,y) 在G内具有一阶连续偏导数 则 内具有一阶连续偏导数, 内具有一阶连续偏导数P ( x , y )dx + Q ( x , y )dy 在G内为某一函数 u( x , y ) 内为某一函数的全微分的 充要条件是等式 充要条件是等式?P ?Q = ?y ?x内恒成立. 在G内恒成立 内恒成立30格林公式及其应用?P ?Q = ?y ?x必要性. 证 必要性.设存在某一函数 u( x, y), 使得du( x, y) = P( x, y)dx + Q( x, y)dy ?u ?u = Q( x , y ) = P ( x , y ), 于是 ?y ?x 2 ? 2 u ?Q ? u ?P = = , ?y?x ?x ? x? y ? y ? 2u ? 2u , 由设P 的偏导数连续, 连续. 由设 、Q的偏导数连续 所以 的偏导数连续 连续 ?x?y ?y?x? 2u ? u . = 因而 ?x?y ?y?x2P Q 即 ? =? . ?y ?x31格林公式及其应用?P ? Q 内恒成立. 在G内恒成立 则 内恒成立 充分性. 设已知条件 = 充分性. ?y ?x 定理2可知 起点为M 可知: 由定理 可知 起点为 0(x0,y0), 终点为 终点为M(x,y)的 的曲线积分在区域G内与路径无关 曲线积分在区域 内与路径无关. 内与路径无关 于是把曲线积分写作: 于是把曲线积分写作u( x, y) = ∫( x, y)( x0 , y0 )P ( x , y )dx + Q ( x , y )dy .当起点M 固定时, 当起点 0(x0,y0)固定时 此积分的值取决于终点 固定时 上述积分x, 的函数 的函数,记为 M(x,y). 上述积分 y的函数 记为 u( x, y), 即u( x , y ) = ∫( x, y)( x0 , y0 )P ( x , y )dx + Q ( x , y )dy .32格林公式及其应用下面证明函数u(x,y)的全微分就是 的全微分就是: 下面证明函数 的全微分就是P( x, y)dx + Q( x, y)dy.因为 因为P(x,y),Q(x,y)都是 都是连续的. 连续的 因此只要证明 ?u ?u = P ( x , y ), = Q( x , y ). ?x ?y 其中用到下面的知识点: 其中用到下面的知识点 (1) 偏导数定义 偏导数定义, (2) 曲线积分与路径无关 曲线积分与路径无关, (3) 积分中值定理 积分中值定理.33格林公式及其应用yD(x0 , y1)??? B( x1 , y1 )? C ( x1 , y0 )?P ?Q 若 ≡ ?y ?xOA( x0 , y0 )x则∫A( x , y ) P ( x , y )dx + Q( x , y )dy y x = ∫ P( x, y0 )dx+ ∫ Q( x1, y)dy y x0 0B ( x1 , y1 )1100或∫A( x , y ) P ( x , y )dx + Q( x , y )dy = ∫ Q( x , y)dy + ∫ P( x, y )dx0 0B ( x1 , y1 )y1x1y00x0134格林公式及其应用例 问 ( e y + x )dx + ( xe y ? 2 y )dy是否为全微分式 是否为全微分式? (x,y) 如是, 用曲线积分求其一个原函数. 如是 用曲线积分求其一个原函数 ? ?P ?Q ? y 解 法一 在全平面成立 ( x ,0 ) . =e = O ?y ?x 所以上式是全微分式 全平面为单连通域， 全微分式. 所以上式是全微分式 全平面为单连通域， 因而一个原函数是： 因而一个原函数是：u( x , y ) = ∫( x, y) ( 0,0 )y?x(e y + x )dx + ( xe y ? 2 y )dyy= ∫ (e + x )dx + ∫0 ( xe y ? 2 y )dy0 0xx = + xe y ? y 2 2352格林公式及其应用法二 这个原函数也可用下法“分组”凑出 这个原函数也可用下法“分组”凑出:(e y + x )dx + ( xe y ? 2 y )dy= (e dx + xe dy )+ ( xdx ? 2 ydy )y y? x2 2? y = d( xe ) + d? ? y ? ? 2 ? ? ? 2 u( x, y) ? y x 2? = d? xe + ?y ? ? ? 2 ? ?x2 u( x , y ) = + xe y ? y 2 236格林公式及其应用是否为全微分式? 问 (e + x )dx + ( xe ? 2 y )dy 是否为全微分式 如是, 用曲线积分求其一个原函数. 如是 用曲线积分求其一个原函数 ?u = ey + x = P 因为函数u满足 法三 因为函数 满足 ?x 2y yx 故 u = ∫ (e + x )dx = e x + + ?( y) 2yy由此得y的待定函数 的待定函数?u y ? ′( y ) = ? 2 y + ? ′( y ) =xe y ? 2 y =e x ?y 从而 ?( y ) = ? ∫2 ydy = ? y2 +C x2 所以, ? y2 + C 所以 u( x , y ) = e y x + 237格林公式及其应用其中L 例 计算 ∫ ( x 2 + 2 xy )dx + ( x 2 + y 4 )dy .其中 为 L πx 由点O(0,0)到点B(1,1)的曲线弧 y = sin . 2 ?P ? 2 = ( x + 2 xy ) = 2 x 解 ?P ?Q ? y ?y ? = ?Q ? ?y ?x 2 4 ( x + y ) = 2 x 原积分与路径无关 = 原积分与路径无关. ?x ? x原式= 原式( x 2 + 2 xy )dx + ( x 2 + y 4 )dy ∫ (0,0)(1,1)y? B(1,1)= ∫ x dx + ∫ (1 + y 4 )dy = 23 0201115O?(1,0)x38格林公式及其应用例 设曲线积分 ∫ xy dx + y? ( x )dy 与路径无关 与路径无关,2 L具有连续的导数, 其中? 具有连续的导数 且? (0) = 0,计算 ∫( 1 ,1 )( 0,0 )xy 2dx + y? ( x )dy .解 P ( x , y ) = xy 2 , Q ( x , y ) = y? ( x ) ?P ? ?Q ? = ( xy 2 ) = 2 xy , = [ y? ( x )] = y? ′( x ) ?y ? y ?x ?x ?P ?Q = 积分与路径无关 ?y ?x 即 y ? ′( x ) = 2 xy39格林公式及其应用设曲线积分 ∫ xy dx + y? ( x )dy与路径无关 与路径无关,2 L其中? 具有连续的导数 且? (0) = 0, 具有连续的导数,计算 ∫( 1 ,1 )( 0,0)xy 2dx + y? ( x )dy .? ( x) = x 2 + C 由y? ′( x ) = 2 xy ?由? (0) = 0, 知C = 0 ? ? ( x ) = x 2法一∫( 0,0) ( 1 ,1 ) = ∫ xy 2dx + yx 2dy ( 0,0) 1 + ∫ ydy = 1 = ∫ 0dx 0 21 0( 1 ,1 )xy 2dx + y? ( x )dyy? (1,1)?O(1,0)x40格林公式及其应用设曲线积分 ∫ xy dx + y? ( x )dy与路径无关 与路径无关,2 L其中? 具有连续的导数 且? (0) = 0, 具有连续的导数,计算 ∫法二( 1 ,1 )( 0,0)xy 2dx + y? ( x )dy .2∫( 0,0) xy dx + y? ( x )dy = ∫ xy dx + yx dy = ∫ y ? 0dy + ∫ x ? 1 dx( 1 ,1 ) 2 2 ( 0,0 )1( 1 ,1 )y(0,1)? (1,1)12O?x0x =0 + 22 1001 = 241格林公式及其应用2002研究生考题 数学一 8分 研究生考题(数学一 分 研究生考题 数学一) 设函数 f ( x )在( ?∞ ,+∞ )内具有一阶连续导数, 内具有一阶连续导数, L是上半平面 (y & 0)内的有向分段光滑曲线, 内的有向分段光滑曲线, 是上半平面 内的有向分段光滑曲线 其起点为(a, 终点为 终点为(c, 其起点为 b),终点为 d). 记 1 x 2 2 I = ∫ [1 + y f ( xy )]dx + 2 [ y f ( xy ) ? 1]dy , L y y (1) 证明曲线积分 与路径 无关 证明曲线积分 与路径L无关 曲线积分I 无关; (2) 当ab = cd 时,求I 的值 求 的值.(1) 证 因为?P ? 1 1 2 = { [1 + y f ( xy )]} = f ( xy ) ? 2 + xyf ′( xy ) ? y ?y y y?Q ? x 2 = = { 2 [ y f ( xy ) ? 1] } ?x ?x y 所以在上半平面内曲线积分 与路径L无关 曲线积分I 无关. 所以在上半平面内曲线积分 与路径 无关42格林公式及其应用1 x 2 2 I = ∫ [1 + y f ( xy )]dx + 2 [ y f ( xy ) ? 1]dy L y y L是上半平面 (y & 0)内的有向分段光滑曲线, 内的有向分段光滑曲线, 是上半平面 内的有向分段光滑曲线 起点(a, 终点 终点(c, 起点 b),终点 d).(2) 当ab = cd 时,求I 的值 求 的值.(2) 解 由于曲线积分I 与路径 无关 由于曲线积分 与路径L无关 无关, 曲线积分 ? (c, d ) c1 法一 所以 I = [1 + b 2 f (bx )]dx ∫a b ? ? (c , b ) (a , b ) d c + ∫ 2 [ y 2 f (cy ) ? 1]dy O x b y t d t c c c c?a = + ∫ bf (bx )dx + ∫ c f (cy )dy + ? a b b d b bc cd c a c a = ? + ∫ f ( t )dt + ∫ f ( t )dt = ? bc d b ab d b 43 0y格林公式及其应用1 x 2 2 I = ∫ [1 + y f ( xy )]dx + 2 [ y f ( xy ) ? 1]dy L y y L是上半平面 (y & 0)内的有向分段光滑曲线, 内的有向分段光滑曲线, 是上半平面 内的有向分段光滑曲线 起点(a, 终点 终点(c, 起点 b),终点 d).(2) 当ab = cd 时,求I 的值 求 的值.d x xd y (2) 解 I = ∫L y ? y 2 + ∫L yf ( xy )dx + xf ( xy )dy, 法二 ( c ,d ) ? x? x d x xd y c a ∫L y ? y 2 = ∫L d? y ? = y ( a ,b ) = d ? b ? ?的一个原函数,则 设F(x)为f(x)的一个原函数 则 为 的一个原函数 ∫L yf ( xy )dx + xf ( xy )dy = ∫L f ( xy )d( xy ) = F (cd ) ? F (ab) = 0, 由此得 I = c ? a . d b44格林公式及其应用四、小结单(复)连通区域的概念 格林公式?Q ?P ∫∫ ( ?x ? ?y )dxdy = ∫L Pdx + Qdy 注意使用条件 D格林公式的实质 沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间 的联系. 的联系 格林公式的三个应用45格林公式及其应用与路径无关的四个等价命题条件 在单连通开区域 上 P ( x , y ), Q( x , y )具有 在单连通开区域D上连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立. 连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立. 四个命题成立(1) 在D内 Pdx + Qdy与路径无关 ∫(2)∫C Pdx + Qdy = 0,闭曲线C ? DL(3) 在D内存在 ( x, y)使du = Pdx + Qdy U ?P ?Q (4) 在D内 , . = ?y ?x46格林公式及其应用xdy ? ydx . 是非题 计算曲线积分 I = ∫ 2 ( 0 , ?1 ) ( x ? y ) 其中L 其中 为自积分路径 A(0,?1)至B(1,0)的直线段 .(1, 0 )思考题?P y2 ? x2 ?Q = 解 因为 4 = ?y ( x ? y) ?xyB(1,0)?故曲线积分与路径无关. 故曲线积分与路径无关 O xdy ? ydx xdy ? ydx ? A(0,?1) I=∫ 2 + ∫OB 2 AO ( x ? y ) ( x ? y) 0 1 0dx 0dy =∫ 2 ? ∫0 2 = 0 ?1 ( 0 ? y ) ( x ? 0)x47格林公式及其应用xdy ? ydx 计算曲线积分 I = ∫ 其中L 2 . 其中 为 ( 0 , ?1 ) ( x ? y ) 自积分路径 A( 0,?1)至B(1,0)的直线段 .( 1, 0 )?P y2 ? x2 ?Q = 4 = ?y ( x ? y) ?x非 因为在曲线积分与路径无关的定理中 要求 因为在曲线积分与路径无关的定理中, 所考虑区域G是单连通的 且函数P(x,y), Q(x,y) 是单连通的, 所考虑区域 是单连通的 且函数 及其偏导数在G上连续 对本题来说, 及其偏导数在 上连续, 对本题来说 当且仅当 上连续 y ≠ x时, P、Q 及其偏导数连续 上述解法中点 、 及其偏导数连续,(0,0) 在直线 y = x上, 从而不满足曲线积分与路径无关的条件. 路径无关的条件48格林公式及其应用作 业习题11-3(213页 习题11-3(213页) 11 2.(1) (3) 3. 4.(2)(3) 6.(1)(5) 5.(1) (3)49
高等数学第六版(同济版)第十一章复习资料_理学_高等教育_教育专区。引入:在上...3.格林公式: 定理:设闭区域 D 由分段光滑的曲线围成, 若函数及在 D 偏...高等数学2(下册)试题答案以及复习要点汇总(完整版)_数学_初中教育_教育专区。高等...(2 xy ? 5x ? sin 2 y)dy 1、利用格林公式计算曲线积分 ?L ,其中 L ...华工高数作业本答案之格林公式及其应用_理学_高等教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 华工高数作业本答案之格林公式及其应用_理学_高等教育_教育专区...高等数学曲面积分与曲线积分重点难点_理学_高等教育_教育专区。高等数学曲面积分与...2.格林公式和高斯公式成立的条件和结论,正确灵活地应用格林公式和高斯 公式。 3...高数曲线积分复习_理学_高等教育_教育专区。B 1 0 A 计算 由 x ? y ? 2...2 D ? ? . 注 利用格林公式计算曲线积分常常是简便的, 但是在应用格林公式...北京航空航天大学高等数学公式集锦 - 北京航空航天大学高等数学公式集锦 高等数学公式 导数公式: (tgx)? ? sec2 x (ctgx)? ? ? csc x (sec x)? ? s...阳光大学生网-免费提供大学试题下载---www.sundxs.com 高等数学一、 填空题(...9、 利用格林公式计算 2 2 2 ? (e L x sin y ? 2 y)dx ? (e x ...高数B2 A卷答案(经管)_理学_高等教育_教育专区。 学年...1 ?y ?x ---3 分 记 L 所围区域为 D,由格林公式得, 原式 ? ?? (...高等数学授课时间 第 课程教案周 周第节 课次 课时 安排 2 授课方式 理论课...教学重点及难点:两种曲线积分曲面积分的计算方法,格林公式的应用,高斯公式的应用...高数期末复习题 第十一章 曲线积分与曲面积分_理学_高等教育_教育专区。高等数...(2 分) 0 0 3 2 x x 11.3.9.4 利用格林公式计算曲线积分: , 其中 ...
All rights reserved Powered by
www.tceic.com
copyright &copyright 。文档资料库内容来自网络，如有侵犯请联系客服。05-1502-1602-1602-1602-1602-1602-1602-1602-1602-16最新范文01-0101-0101-0101-0101-0101-0101-0101-0101-0101-0101-0101-0101-0101-0101-01}