高等数学证明题500例解析_百度百科
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高等数学证明题500例解析
《高等数学证明题500例解析》是日高等教育出版社出版的图书。
高等数学证明题500例解析内容简介
《高等数学证明题500例解析》是为了有效地提高学生求解高等数学证明题的效率，培养训练数学思想方法与掌握数学算理，引导学生探索证明题的基本求解思路。怎样寻找有效途径可以达到证明目的？如果题目的已知条件不变化，而证明的结论发生变化，证明的思路将发生什么变化？如果已知条件变化，而证明的结论不变，证明的思路将发生什么变化？外观形式相仿的题目，证明的思路是否相同？外观形式不同的证明题，它们的证明思路是否也不同？希望能通过这种训练，有效地提高证明题的求解能力。
《高等数学证明题500例解析》选题范围较广。依据高等数学教学基本要求，参考研究生入学数学考试大纲，由多本高等数学习题集、考研试题、数学竞赛题中选择约500道证明题进行归类、分析。
《高等数学证明题500例解析》适用于理工类、经济类、管理类本科生学习，也适用于备考研究生的学生选作学习证明题的参考书。
《高等数学证明题500例解析》由高等教育出版社出版。
高等数学证明题500例解析目录
第一篇 证明题第一章 极限与连续性 1.1.1 极限 1.1.2　连续性 第二章　一元函数微分学 1.2.1　导数与微分 1.2.2　微分中值定理 1.2.3　导数的应用 1.2.4　证明不等式 第三章　一元函数积分学 1.3.1 可变限积分函数 1.3.2　定积分的性质、积分中值定理 1.3.3　换元积分法与分部积分法 1.3.4　广义积分（反常积分） 第四章　多元函数微分学 1.4.1 多元函数及其微分法 1.4.2 多元函数微分法的应用 第五章　多元函数积分学 1.5.1 重积分 1.5.2 曲线积分与曲面积分 第六章　无穷级数 1.6.1 数项级数 1.6.2　幂级数第七章　常微分方程初步 第二篇 证明题解析第一章　极限与连续性 2.1.1 极限 2.1.2　连续性 第二章　一元函数微分学 2.2.1　导数与微分 2.2.2　微分中值定理 2.2.3　导数的应用 2.2.4　证明不等式 第三章　一元函数积分学 2.3.1 可变限积分函数 2.3.2　定积分的性质、积分中值定理 2.3.3 换元积分法与分部积分法 2.3.4　广义积分(反常积分） 第四章 多元函数微分学 2.4.1 多元函数及其微分法 2.4.2 多元函数微分法的应用 第五章 多元函数积分学 2.5.1 重积分 2.5.2 曲线积分与曲面积分 第六章　无穷级数 2.6.1　数项级数 2.6.2　幂级数第七章　常微分方程初步
高等数学证明题500例解析前言
学习高等数学，要求学生掌握本学科的基本概念、基本性质和基本方法。进一步还要求学生掌握本学科的知识体系、知识框架，期望学生通过学习高等数学，提高抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想像能力、运算能力和运用所学知识分析问题和解决问题的能力。学习数学证明题是学习数学过程中的重要环节之一。数学证明问题通常是检查学生对基本知识掌握程度的重要手段，也是培养学生各种能力的有效方法之一。　有效地提高解答数学证明题的效率是学生共同的目标，也是数学教师普遍关心的问题。多年来经常看到有些数学习题集前后相隔很远的地方出现的题目，虽然外观形式差异较大，但实质是同一类题目，证明思路完全相同。学生常常是给出了前面题目的证明，但是不知道后面的题目如何下手？有些考试试题或数学竞赛题中出现的题目，是习题集中某个题目的特殊情形或推广形式，但是考生得分率很低。这从某种程度上说明学生有个共性问题：需要学习数学证明题的求解基本思想、需要学习掌握数学算理。
．豆瓣读书[引用日期]
清除历史记录关闭高等数学同济六版中函数运算一节例题的分析
在高等数学同济第六版教材中，函数运算一节，有一道例题，引起了我及很多人的困扰，原题如下：
该题目教材中的原解如下：
实际上，教材已经说得很清楚了，只不过我们由于思维惯性，误解了教材内容，具体分析如下：
本题的实际证明过程仅仅从“这就启发我们做如下证明”之后开始，解答过程作g(x)与h(x)两个函数为1/2[f(x)+f(-x)]，1/2[f(x)-f(-x)]，其实是作了这样的函数，使得g(x)和h(x)两个函数分别是偶函数和奇函数，并且满足定义域在(-l,l)，巧的是这样的偶函数和奇函数恰好是由定义域在(-l,l)上的f(x)来表达的。那么一验证，刚好g(x)+h(x)=f(x)。这属于列举证明法。
误会的人会觉得这是反证法，而反证法的要义是证明原命题的逆否命题成立，它更不是矛盾法，因为解答过程没有推导出矛盾。
教材中之前的假设成立，仅仅是引导我们想到使用1/2[f(x)+f(-x)]，1/2[f(x)-f(-x)]来表达g(x)与h(x)两个函数，这也就是题目中所说的“必存在的函数”。而引导的过程也符合根据条件和所求分析题目所给隐含条件这一解题思路。实际是教材编制者在悉心教导我们如何解题，以及数学中解决问题的思路。
希望能够帮助到与我有相同困惑的人。
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函数与极限
知识点1：函数的概念、函数定义域的求法&&&
知识点2：函数的分类、特殊类型的函数&&
知识点3：函数的基本性质&&
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知识点4：数列极限的概念与性质&&
知识点5：函数极限的概念与性质&&
知识点6：证明极限式与证明极限不存在的方法&&
知识点7：无穷小与无穷大的概念与关系&&&
知识点8：极限的四则运算法则
知识点9：复合函数的极限运算法则&&&
知识点10：极限存在的两个准则&&&
知识点11：两个重要极限&&&
知识点12：无穷小的比较&&&&
知识点13：函数连续性的概念及判断&&
知识点14：函数间断点的求法及分类&&&
手机操作不便拖曳的解决方法
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知识点15：闭区间上连续函数的性质&&&
导数与微分
知识点16：导数的概念&&
知识点17：导数的几何意义、平面曲线的切线与法线方程的求法
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题库与辅导书
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知识点23：导数的物理意义&&&
知识点24：按定义求导的题目类型&&
知识点25：可导、可微与连续三个概念之间的关系
知识点26：奇偶函数与周期函数的导数的性质
知识点27：用求导公式与法则求导数&
知识点28：函数的高阶导数&&
微分中值定理与导数的应用
知识点29：罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用&
知识点30：柯西中值定理的应用& &
知识点31：有关中值定理证明题的典型实例&
知识点32：洛必达法则求极限
知识点33：求极限的方法总结&&
知识点34：函数的零点（方程的根）存在性与唯一性的证明&
知识点35：函数的零点（方程的根）个数的讨论
知识点36：不等式的证明方法总结
知识点37：泰勒公式的求法&
知识点38：泰勒公式的应用&
知识点39：函数的单调性及判别& &
知识点40：函数的极值及判别&
知识点41：函数的最值及判别&
知识点42：渐近线的分类与求法&
知识点43：曲线的凸凹性和拐点&
知识点44：曲率、曲率圆及曲率半径（数学一、二）&
知识点45：弧微分&&
知识点46：导数在经济领域的应用（数学三）&
知识点47：不定积分的概念与性质&&
知识点48：不定积分的换元积分法&
知识点49：不定积分的分部积分法&
知识点50：有理函数与三角有理式的不定积分&
知识点51：不定积分计算技巧的典型实例&
知识点52：定积分的概念与基本性质&&
知识点53：变上限的积分及其导数&&
知识点54：奇偶函数与周期函数的积分性质&&
知识点55：涉及定积分证明题型的典型实例&&
知识点56：用牛顿-莱布尼兹定理计算定积分&&
知识点57：定积分的换元积分法&&
知识点58：定积分的分部积分法&&
知识点59：定积分的特殊计算方法的典型实例&&
知识点60：无穷限的反常积分的概念与计算&
知识点61：无界函数的反常积分的概念与计算&&
定积分的应用
知识点62：用定积分求平面图形的面积&&
知识点63：用定积分求特殊立体的体积&&
知识点64：用定积分求弧长&
知识点65：定积分的物理应用（数一、二）&
知识点66：连续函数的平均值（数一、二）&
空间解析几何与向量代数
知识点67：空间直角坐标系及相关概念（数一）&
知识点68：向量的属性、向量的长度与夹角（数一）&
知识点69：向量的各类运算及其运算法则（数一）&
知识点70：用向量解决的几何问题（数一）&
知识点71：平面的法向量与平面方程（数一）&
知识点72：直线的方向向量与直线方程（数一）&
知识点73：两个平面间的关系（数一）&
知识点74：两条直线间的关系（数一）&&
知识点75：直线与平面的关系（数一）&&
知识点76：点到平面的距离的计算（数一）&
知识点77：点到直线的距离的计算（数一）&
知识点78：旋转曲面（数一）&&
知识点79：柱面（数一）&
知识点80：二次曲面（数一）&&
知识点81：空间曲线的方程及其在坐标面上的投影（数一） && & &&&
多元函数微分法及其应用
知识点82：多元函数的概念和几何意义&&
知识点83：二元函数的极限& && & &
知识点84：二元函数的连续性&
知识点85：偏导数的概念与常规计算&&
知识点86：高阶偏导数&&
知识点87：多元函数可微与全微分&
知识点88：连续，可偏导，可微的关系&
知识点89：多元复合函数的求导法则&&
知识点91：多元隐函数的求导&
知识点92：多元函数的极值问题&
知识点93：条件极值问题、拉格朗日乘数法&&
知识点94：多元函数的最值问题&
知识点95：方向导数（数一、二）& && & &
知识点96：数量场的梯度（数一、二）&&
知识点97：空间曲线的切线与法平面（数一、二）&&
知识点98：空间曲面的切平面与法线（数一、二）&&
知识点99：二元函数的二阶泰勒公式（数一）&&
知识点100：重积分的概念与性质&&
知识点101：直角坐标下二重积分的定限与计算&&
知识点102：极坐标下二重积分的定限与计算&&
知识点103：直角坐标下三重积分的定限与计算&&
知识点104：柱面坐标下三重积分的定限与计算&&
知识点105：球面坐标下三重积分的定限与计算&&
知识点106：重积分积分次序的交换&
知识点107：利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性求重积分的技巧&&
曲线积分与曲面积分
知识点108：第一类曲线积分的概念与计算&&
知识点109：第二类曲线积分的概念与计算&& && & &
知识点110：两类曲线积分之间的联系&&
知识点111：二元函数全微分求积&&
知识点112：格林公式及其应用&&
知识点113：曲线积分与路径无关的条件&&
知识点114：第一类曲面积分的概念与计算&&
知识点115：第二类曲面积分的概念与计算&&
知识点116：两类曲面积分之间的联系&&
知识点117：高斯公式及其应用& &&
知识点118：通量与散度&
知识点119：斯托克斯公式及其应用&&
知识点120：环流量与旋度&& &&
第十一章 无穷级数
知识点122：级数的概念及性质（数一、三）& &&
知识点123：级数收敛的概念与判别法（数一、三）& &&
知识点124：正项级数的审敛法（数一、三）&& &&
知识点125：交错级数、莱布尼兹判别法（数一、三）&
知识点126：函数项级数与幂级数的概念（数一、三）& &&
知识点127：函数的幂级数展开（数一、三）&& &&
知识点128：阿贝尔判别法（数一、三）&
知识点129：幂级数的收敛域（数一、三）&
知识点130：幂级数的和函数（数一、三）& &&
知识点131：绝对收敛与条件收敛（数一、三）& &&
知识点132：傅里叶级数的展开式的求法（数一）& &&
知识点133：傅里叶级数的周期延拓（数一）&&
知识点134：傅里叶级数的奇偶延拓（数一）& &&
知识点135：微分方程的基本概念&
知识点136：可分离变量的微分方程
知识点137：齐次微分方程& && &&
知识点138：一阶线性微分方程&&
知识点139：全微分方程&&
知识点140：伯努利方程&
知识点141：用变量替换解微分方程举例
知识点142：含变限积分的方程& &
知识点143：可降阶的高阶微分方程&&
知识点144：线性微分方程解的性质和结构& &&
知识点145：二阶常系数齐次线性方程&&
知识点146：n阶常系数齐次线性方程&
知识点147：二阶常系数非齐次线性方程&
知识点148：欧拉方程（数学一）&
知识点149：差分方程（数学三）&
知识点150：微分方程应用题的典型实例&&
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本帖最后由 wanghaidong918 于
21:26 编辑
高等数学包含的内容很多很广 ，但是不够深入，而数学分析就是就微积分就行深入的探讨和研究 ，希望能帮到你
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高数主要是为非数学专业同学的课程，覆盖面广，重实际应用；而数学分析则是数学系专业学生必修课，理论性较强
一枚在书海漂流的叶子
高等数学侧重于应用 而数学分析更侧重于理论的推导 其实所讲内容差不多 只是数学分析比高等数学更专业一点 对逻辑推理能力要求更高 一般是数学专业的专业课 而非数学专业的只要学个高等数学就足够了
其实楼主不用给100论坛币 在这里交流的
这么说吧，就像练武一样，假设微积分就是一门武功（“分析”），博大精深
以同济6版为例，学完它，你的分析功力差不多是3层左右，而修完数学分析，则分析功力达到5层，修完实变函数，可望达到8层功力，再修完泛函分析，则可达到10层功力，修完拓扑，差不多达到12层功力了。再往后，就是进入专业领域学习了，什么非线性泛函，无穷维动力系统啦就不谈了，那属于研究生专业领域的范围了
呵呵，你太逗啦，不过分析的有道理！
总评分:&学术水平 + 1&
热心指数 + 1&
数学分析严格上来说比高等数学难，内容差不多，但是它是数学专业的基础课程，学的深度和其他任何的高等数学没法比的，它主要注重的是理论方面的东西，而高等数学是工科如物理，计算机，经济等专业学的，主要用于应用，如计算等方面.
数学分析主要侧重培养学生对数学的分析思想,要去掌握那些问题解决的思想工作.一般数学分析比高等数学难.至于多学的内容,其实是不好说的,因为一般数学分析的内容在高等数学中均有涉及,只是数学分析比较深入而已.而且在教学方式上,高等数学可能会注重如何去求一个问题的方法,把一堆经常用的方法给你,你去练习掌握.而数学分析则不会这么做,他更注重理论计算与分析. 《数学分析》是数学各专业的关键基础课，内容多，难度大，对后继课程：《微分方程》、《数理方程》、《复变函数》、《实变函数》、《泛函分析》等具有直接而重要的影响.
数学分析比高等数学多出实数理论、一致连续、一致收敛、积分理论、含参变量积分、多元函数极限、场论.
数学分析不含高等数学中空间立体几何、常微分方程的内容.
总体上说，数学分析偏理论推导，高等数学偏计算方法，高等数学一般是工科专业学的，经济管理专业的高等数学内容和工科的高数还是有区别的，相对更简单一些，没有空间立体几何的内容，但是对差分方程的介绍较多。
数学分析是数学专业的基础专业课，但有的学校和其他专业也有学数学在分析的。数学分析是将高等数学中的一些定理的来龙去脉讲的很清楚，比高等数学讲的要深，而且讲的广，主要侧重理论。而高等数学主要侧重于计算，主要是微积分。
如果楼主想要搞理论物理的话，我还是推荐您去学习数学分析，数学分析可以让你锻炼你的思维，由于我是数学专业的，所以我推荐两本教材，一本是由华东师范大学数学系编的，由高等教育出版社出版的《数学分析》，还有一本是复旦大学出的《数学分析》，希望对楼主有帮助。
数学分析一般是数学专业学习的，工科一般都学高等数学，而数学专业区分比较细，有数学分析和高等代数两门，数学分析注重的是证明问题，举个简单的例子：高等数学有求极限的题目，数学分析也有，但是他要求是会求解，重点是要证明它。
数学分析是数学专业的基础专业课
数学分析是将高等数学中的一些定理的来龙去脉讲的很清楚，比高等数学讲的要深，而且讲的广，主要侧重理论。而高等数学主要侧重于计算，主要是微积分。
高数偏应用，数学分析主要是数学专业的学生，偏重理论和公式推演
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