1添加评论分享收藏感谢收起赞同 1添加评论分享收藏感谢收起写回答2．当x→x0时函数f(x)的极限: 当自变量x无限趋近于常数x0(从x0两侧,但x≠x0)时.如果函数f(x)无限趋近于一个常数a.就说当x趋向于x0时, 函数f(x)的极限是a,记作,(或x→x——精英家教网——
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2．当x→x0时函数f(x)的极限: 当自变量x无限趋近于常数x0(从x0两侧,但x≠x0)时.如果函数f(x)无限趋近于一个常数a.就说当x趋向于x0时, 函数f(x)的极限是a,记作,(或x→x0时,f (1)与函数f(x)在点x0处是否有定义及是否等于f(x0)都无关. (2)“连续 函数在x0处的极限就等于 f(x0) 【】
题目列表(包括答案和解析)
当自变量x无限趋近于常数x0(但不等于x0)时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋近于x0时，函数f(x)的极限是__________，记作f(x)=_________.设C为常数,则C=___________.
函数y＝f(x)，如果自变量x在x0处有增量Δx，那么函数y相应地有增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，比值________．如果当Δx→0时，有极限，我们就说函数y＝f(x)在点x0处________，并把这个极限叫做f(x)在点x＝x0处的________，记作________或________，即(x0)＝________＝________．
导数的概念
(1)对于函数y＝f(x)，如果自变量x在x0处有增数Δx，那么函数y相应地有增量_________；比值_________就叫做函数y＝f(x)在x0到x0＋Δx之间的_________．
(2)当Δx→0时，有极限，我们就说y＝f(x)在点x0处_________，并把这个极限叫做f(x)在点x0处的导数(或变化率)记作_________或_________，即(x0)＝_________＝_________，函数f(x)的导数(x)就是当Δx→0时，函数的增量Δy与自变量的增量Δx的比的极限，即(x)＝_________＝_________．
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求x趋近于0时，(1-cosx)/x的极限求法
可以不用罗彼塔法则。lim [x→0]2x[sin(x/2)^2]/[4(x/2)^2]=lim [x→0](x/2)[sin(x/2)/(x/2)]^2=lim [x→0](x/2)*1=0.
http://.qganjue.com【求解释】 为什么我们数学老师说 0.99循环=1 | 死理性派小组 | 果壳网 科技有意思
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她说0.33循环等于1/3 ，0.33循环*3=0.99循环 ，1/3*3=1
貌似是妥妥的 但总是好奇怪
前面两位同学说的有一些不妥。至于0.9（循环） 为什么等于1，我们需要定义一下什么是0.9（循环）。首先为什么会产生循环小数：循环小数是一种十进制表示实数的一种方法，说白了是一种计数方式。按照定义，0.9（循环）定义为数列0.9，0.99，0.999，……的极限（由于这个数列是递增列，而且有上界1，由实数定理可知这个数列收敛）。我们记这个数列为{a_n}，{a_n}的极限为a，很显然，a_n & a。 （1）如果 a & 1，则必存在 0.9999...9（有限个9，设为k个9） & a从而a_k & a，与（1）矛盾。从而a &= 1。但是a_n & 1 =& a &= 1。从而a = 1。Q.E.D.以下是一种简单的考虑：10*a = 9.9（循环）a = 0.9（循环）相减：9*a = 9从而a = 1；
通信专业博士生，编程爱好者
LZ应该离大学还很远吧，以后会学习一个叫极限的东西。对于0.333333...这个无限循环小数的定义，一种合理的方法是利用极限。我们定义0.333333...为下面这个序列的极限：0.3, 0.33, 0.333, 0.3333, ......这个序列逐渐递增，每个数都小于1/3，但是会无限接近1/3。我们可以证明，这个数列的极限就是1/3（而不是近似）如果你能理解0.333333...等于1/3而不是近似于1/3的话，就不难理解0.999999...等于1了。下面这个序列：0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ......的极限就是1。因为对于任何比1小的数a(我们假设0.999999...比1小，那么我们假设它等于a)，我总能在这个序列上找到一个数，从这个数后面的每个数都大于a，并且还在逐渐增大，那么a必然不是这个序列的极限。
按照常理说1不等于0.，可是3/1x3=3/3=1,0....x3=0.,使用1=0.9？或许这像无理数以前不被承认一样，这应该是一个比较毁三观的问题。。。好吧我承认我凌乱了。。。。。。。。【三观已崩溃，正在重启。。。。。。】
关键在于0.33循环等于1/3 ，其实0.33循环只是无限接近1/3，而非绝对相等
好吧，这问题又翻出来了。0.9999循环就是等于1呀，这一点也没有问题呀，如果你不嫌麻烦的话，可以把1说成无限循环小数0.999.......。还有疑问的话，请用右上角
前面两位同学说的有一些不妥。至于0.9（循环） 为什么等于1，我们需要定义一下什么是0.9（循环）。首先为什么会产生循环小数：循环小数是一种十进制表示实数的一种方法，说白了是一种计数方式。按照定义，0.9（循环）定义为数列0.9，0.99，0.999，……的极限（由于这个数列是递增列，而且有上界1，由实数定理可知这个数列收敛）。我们记这个数列为{a_n}，{a_n}的极限为a，很显然，a_n & a。 （1）如果 a & 1，则必存在 0.9999...9（有限个9，设为k个9） & a从而a_k & a，与（1）矛盾。从而a &= 1。但是a_n & 1 =& a &= 1。从而a = 1。Q.E.D.以下是一种简单的考虑：10*a = 9.9（循环）a = 0.9（循环）相减：9*a = 9从而a = 1；
的话：前面两位同学说的有一些不妥。至于0.9（循环） 为什么等于1，我们需要定义一下什么是0.9（循环）。首先为什么会产生循环小数：循环小数是一种十进制表示实数的一种方法，说白了是一种计数方式。按照定义，0.9（循环）定义为数列0.9，0.99，0.999，……的极限（由于这个数列是递增列，而且有上界1，由实数定理可知这个数列收敛）。我们记这个数列为{a_n}，{a_n}的极限为a，很显然，a_n & a。 （1）如果 a & 1，则必存在 0.9999...9（有限个9，设为k个9） & a从而a_k & a，与（1）矛盾。从而a &= 1。但是a_n & 1 =& a &= 1。从而a = 1。Q.E.D.以下是一种简单的考虑：10*a = 9.9（循环）a = 0.9（循环）相减：9*a = 9从而a = 1；貌似是这个道理但总感觉怪怪的
通信专业博士生，编程爱好者
LZ应该离大学还很远吧，以后会学习一个叫极限的东西。对于0.333333...这个无限循环小数的定义，一种合理的方法是利用极限。我们定义0.333333...为下面这个序列的极限：0.3, 0.33, 0.333, 0.3333, ......这个序列逐渐递增，每个数都小于1/3，但是会无限接近1/3。我们可以证明，这个数列的极限就是1/3（而不是近似）如果你能理解0.333333...等于1/3而不是近似于1/3的话，就不难理解0.999999...等于1了。下面这个序列：0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ......的极限就是1。因为对于任何比1小的数a(我们假设0.999999...比1小，那么我们假设它等于a)，我总能在这个序列上找到一个数，从这个数后面的每个数都大于a，并且还在逐渐增大，那么a必然不是这个序列的极限。
的话：按照常理说1不等于0.，可是3/1x3=3/3=1,0....x3=0.,使用1=0.9？或许这像无理数以前不被承认一样，这应该是一个比较毁三观的问题。。。好吧我承认我凌乱了。。。。。。。。【三观已崩溃，正在重启。。。。。。】没省略号的，一律算错
的话：关键在于0.33循环等于1/3 ，其实0.33循环只是无限接近1/3，而非绝对相等 像反比例函数是么
的话：没省略号的，一律算错我懒嘛。。。
的话：LZ应该离大学还很远吧，以后会学习一个叫极限的东西。对于0.333333...这个无限循环小数的定义，一种合理的方法是利用极限。我们定义0.333333...为下面这个序列的极限：0.3, 0.33, 0.333, 0.3333, ......这个序列逐渐递增，每个数都小于1/3，但是会无限接近1/3。我们可以证明，这个数列的极限就是1/3（而不是近似）如果你能理解0.333333...等于1/3而不是近似于1/3的话，就不难理解0.999999...等于1了。下面这个序列：0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ......的极限就是1。因为对于任何比1小的数a(我们假设0.999999...比1小，那么我们假设它等于a)，我总能在这个序列上找到一个数，从这个数后面的每个数都大于a，并且还在逐渐增大，那么a必然不是这个序列的极限。原来如猫~~
的话：貌似是这个道理但总感觉怪怪的数学中非直观的例子很多：）Anyway，数学很大部分定理结论都是直观的，如果你看一个命题很自然，那么80-90%他就是对的。祝好~
建议去百度民科吧观摩下
0.9循环可以看做一个有理数柯西列，有理数柯西列是实数的一种表示，这种表示不是唯一的，，，
的话：前面两位同学说的有一些不妥。至于0.9（循环） 为什么等于1，我们需要定义一下什么是0.9（循环）。首先为什么会产生循环小数：循环小数是一种十进制表示实数的一种方法，说白了是一种计数方式。按照定义，0.9（循环）定义为数列0.9，0.99，0.999，……的极限（由于这个数列是递增列，而且有上界1，由实数定理可知这个数列收敛）。我们记这个数列为{a_n}，{a_n}的极限为a，很显然，a_n & a。 （1）如果 a & 1，则必存在 0.9999...9（有限个9，设为k个9） & a从而a_k & a，与（1）矛盾。从而a &= 1。但是a_n & 1 =& a &= 1。从而a = 1。Q.E.D.以下是一种简单的考虑：10*a = 9.9（循环）a = 0.9（循环）相减：9*a = 9从而a = 1；beautiful
拿1减0.9循环，得0.0循环。。永远得零
用极限来解释就简单直观了，不过中学高三以下还没学极限，可能不太能直观了解，所以只好用分数1/3X3来理解。
LZ作为一个高一新生表示压力很大
传送门在此：
令 x = 0.999...所以 10x = 9.999...两式相减得 9x = 9所以 x = 1个人感觉这个解释是无敌的，因为它的漏洞是提出这个疑问的人不能发现的，因此无懈可击
的话：按照常理说1不等于0.，可是3/1x3=3/3=1,0....x3=0.,使用1=0.9？或许这像无理数以前不被承认一样，这应该是一个比较毁三观的问题。。。好吧我承认我凌乱了。。。。。。。。【三观已崩溃，正在重启。。。。。。】荒谬之极，谁跟你说0.33循环X3=0.99循环的？
的话：令 x = 0.999...所以 10x = 9.999...两式相减得 9x = 9所以 x = 1个人感觉这个解释是无敌的，因为它的漏洞是提出这个疑问的人不能发现的，因此无懈可击哪里用这样解释。。。。。。我问你π和3.14157是不是一个数？（其实可以到后面好几百位），你只要举出个小于3.14157，大于π的数字就OK了但是在这里你举得出例子？
我再给个证明吧0.9=9*0.10.99=9*(0.1+0.01)0.999=9*(10^-1+10^-2+10^-3)……0.9999……9999(n个9)=9*(10^-1+10^-2+10^-3+...+10^-n)令S=0.9999……9999(n个9)由等比数列求和公式可得:S=1-10^(-n)当n-&∞时，S=1证毕
的话：我再给个证明吧0.9=9*0.10.99=9*(0.1+0.01)0.999=9*(10^-1+10^-2+10^-3)……0.9999……9999(n个9)=9*(10^-1+10^-2+10^-3+...+10^-n)令S=0.9999……9999(n个9)由等比数列求和公式可得:S=1-10^(-n)当n-&∞时，S=1证毕那啥。。。。结尾那个9999是不能出来的，出来的话就是个确定的值。。。
的话：那啥。。。。结尾那个9999是不能出来的，出来的话就是个确定的值。。。当n是正整数的时候，S是定值无误
的话：哪里用这样解释。。。。。。我问你π和3.14157是不是一个数？（其实可以到后面好几百位），你只要举出个小于3.14157，大于π的数字就OK了但是在这里你举得出例子？……这当然不是一个数，你想说明啥？
的话：哪里用这样解释。。。。。。我问你π和3.14157是不是一个数？（其实可以到后面好几百位），你只要举出个小于3.14157，大于π的数字就OK了但是在这里你举得出例子？pi&3.14157，如何找到数字，这是哪出？
的话：pi&3.14157，如何找到数字，这是哪出？一时脑残。。。。大于和小于搞反了
的话：一时脑残。。。。大于和小于搞反了而且pi和3.14157没一毛钱关系啊，你想说的其实是3.14159但是依然没有一毛钱说服力啊我郁闷死，把这道题19L的妙解说给别人听都说服不了人，他说:假如不乘以10呢，乘以11呢。然后被问的有理说不清，气急败坏了。真没意思。
约定好了不用极限么？
的话：前面两位同学说的有一些不妥。至于0.9（循环） 为什么等于1，我们需要定义一下什么是0.9（循环）。首先为什么会产生循环小数：循环小数是一种十进制表示实数的一种方法，说白了是一种计数方式。按照定义，0.9（循环）定义为数列0.9，0.99，0.999，……的极限（由于这个数列是递增列，而且有上界1，由实数定理可知这个数列收敛）。我们记这个数列为{a_n}，{a_n}的极限为a，很显然，a_n & a。 （1）如果 a & 1，则必存在 0.9999...9（有限个9，设为k个9） & a从而a_k & a，与（1）矛盾。从而a &= 1。但是a_n & 1 =& a &= 1。从而a = 1。Q.E.D.以下是一种简单的考虑：10*a = 9.9（循环）a = 0.9（循环）相减：9*a = 9从而a = 1；对啊我记得老师是用极限破的
管理学专业
书里面定义的原本就是0.99的无限循环就是等于1，0.33无限循环不是近似三分之一，而是就是等于三分之一，所以你那些个证明本身就是对的，莫非你能找出介于0.99无限循环和1中间还存在的数字？？找不到吧亲
的话：前面两位同学说的有一些不妥。至于0.9（循环） 为什么等于1，我们需要定义一下什么是0.9（循环）。首先为什么会产生循环小数：循环小数是一种十进制表示实数的一种方法，说白了是一种计数方式。按照定义，0.9（循环）定义为数列0.9，0.99，0.999，……的极限（由于这个数列是递增列，而且有上界1，由实数定理可知这个数列收敛）。我们记这个数列为{a_n}，{a_n}的极限为a，很显然，a_n & a。 （1）如果 a & 1，则必存在 0.9999...9（有限个9，设为k个9） & a从而a_k & a，与（1）矛盾。从而a &= 1。但是a_n & 1 =& a &= 1。从而a = 1。Q.E.D.以下是一种简单的考虑：10*a = 9.9（循环）a = 0.9（循环）相减：9*a = 9从而a = 1；well done
设an=0.999...(n个9)，则an=1-1/(10^n)，求极限lim[n-&∞]an即可。
的话：关键在于0.33循环等于1/3 ，其实0.33循环只是无限接近1/3，而非绝对相等 二者相等，0.3循环3就是1/3算出来的当牵扯到极限或者无穷大之类的概念的时候直觉会出错的
压力容器初级工程师
首先，得先定义什么是无限循环小数，无限是一个动态的过程，所以直观理解无限循环就是一个一直在变化的数字，若要定义它为一个确定的数，就需要取它的极限值。小学或初中因为没学过极限所以可能会对这个问题比较纠结，因为初中的数学都是静态的。
的话：哪里用这样解释。。。。。。我问你π和3.14157是不是一个数？（其实可以到后面好几百位），你只要举出个小于3.14157，大于π的数字就OK了但是在这里你举得出例子？我认为9.9（循环）和0.9（循环）是不能比较大小的
好像以前matrix67大神说过，两个数之间插不进其他数这两个数就相等，也是在死理性派小组里面
的话：我认为9.9（循环）和0.9（循环）是不能比较大小的前者明显比后者大......
等比数列求和，最后求个极限就是了
最让人纠结的等式：0.999...=1
NGA论坛著名版主
大概写了下，欢迎讨论！
数学帝表示，数学和现实可以没有任何关系，它的关键是定义。不同的定义，可以让他相等，也可以让他不相等。如果你停留在有理数（即分数）的定义，认定0.9999......是有理数，那么0.9999......转化为分数就是1/1，无疑是1。如果你停留在实数的定义，认定0.9999......是实数，那么0.9999......和1之间不存在其他实数，而且无论是转化为序列表示还是戴德金分割，都是等价的，因此也相等。如果你超越实数，定义出含“无限接近1的数”的新数系，那么他就不等于1.由于中学和大学的数学都还在实数范围内（复数显然和本题无关），因此说等于1是得分的。另外，你们老师的证明纯扯淡，因为既然0.999.。。=1要证明，那么0.33循环等于1/3 也要证明，不能作为根据。
就好像人家有了非欧几何的想法，你们用欧式几何的公理来解惑，显然是无济于事的。
关键在于极限这个东西，极限实际就是直接规定了有限和无限的关系，使得有限和无限生硬的达成了统一。这是比较难以理解的了
确实靠极限理解 小学的时候问数学老师说大学会讲 长大了知道其实就是微积分里面的概念 虽说严格要约等于 但数学也要重实用啊
引用 的话：确实靠极限理解 小学的时候问数学老师说大学会讲 长大了知道其实就是微积分里面的概念 虽说严格要约等于 但数学也要重实用啊不是约等于，就是等于。你用等比数列求和来算这个值得话是严格等于的。
楼上说的、、1和0.9999…之间没有数、、所以相等、看起来靠谱
这个问题已经被讨论过很多次了，我的意见是这样：首先你要确定这个0.999……到底是指那个有理数还是指那个无理数？如果是无理数，1是有理数，二者必然不相等，而且0.999……/3也不等于1/3的那个0.333……如果是有理数，就是1的另外一种写法而已，也就是（1/3）*3的理解性写法。两个数之间没有第三个数不能说明两个数相等。
引用 的话：这个问题已经被讨论过很多次了，我的意见是这样： 首先你要确定这个0.999……到底是指那个有理数还是指那个无理数？ 如果是无理数，1是有理数，二者必然不相等，而且0.999……/3也不等于1/3的那个...0.999…… 怎么可能是个无理数？
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求解无穷大乘以0到底是不是0收藏
按道理来说是后面正确，那么为什么第一个有错误呢？
那么0除以无穷大呢？是0吗
零乘无穷大不一定等于零呀
未定式，可通过倒代换化成0比0型或无穷大比无穷大型
你误解我之前跟你说的意思了 这里的sinx和x是无穷小 不是数0 我之前说得是数0
不是，这个0是无穷小的意思
0乘无穷大确实是o，但第一个式子里sinx是零吗？只不过是x趋近于0时sinx趋近于零，但不是零，因此这里sinx只不过是个无穷小，无穷小乘无穷大就不一定是零了，可能是无穷小或无穷大或非零常数，而零乘无穷大是零，因为零是最高阶的无穷小，这里不能把sinx看作零的，这是问题的关键，因为x没有取到零
o除以无穷大可以看做o乘无穷小，无穷小可以看做一个趋近于零的数，结果当然是零
1/0＞＞∞，因为0乘∞等于0，等价无穷小乘∞才等于1
这里的sinx，x趋近于0不是真正的0
数零乘无穷大为零极限为0的量(无穷小)乘无穷大不一定极限为0
虽然挖坟了，还是想解答一下，以防后来人有同样疑问。其他楼层都没说到点上，我解释一下为什么第一种方法不对：lim f1*f2 = lim f1 * lim f2
的先决条件是lim f1 和lim f2 都分别存在。而方法一中拆开后 lim 1/x
趋于无穷，即不存在，故不能拆。问题出在定义上，完毕。
Sinx和x在x趋于0时是等价，极限等于1，等价无穷小
第一个答案是错的，limf（x）g（x）＝limf（x）limg（x）的前提是两个函数在x趋于零是均有极限，第一个答案x分之一的极限是无穷也就是没有极限，所以不能拆开来，基础还不牢靠啊
你所说的0是严格意义上的0，非我们所说的无穷小，严格意义上的0乘上任何数都等于0
0乘任何数都是0，但是要区分真正意义上的0和无穷小
这个不一定 化成分式不定式再看
不同情况结果不可知,如图答案确实为1.
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