标准分数又简称标准分，它是以一个群体考生的平均分为常模，以标准差为单位构成的，即是以原始分与平均分之差(离差)除以标准差的商。其意义表示某人的原始分数在一个群体中所处的相对位置的一个量数。
标准分的计算公式为：
式中Z为某考生的标准分数，x为该生的原始分数，
为全体考生的原始分数的平均数。
S为全体考生原始分数的标准差
采用标准分后，能克服原始分数的许多缺点，标准分数的特点是:
1.标准分给出了个体在总体中的位置，离差(
)大体反映了考生分数在总体中的位置，但离差还需用统一尺度“标准差”来衡盆，这样离差与标准差之比，就全面地反映了个体在总体中的位置。如果Z＞0，则考生分数在平均分之上；如果Z＜O，其成绩在平均分数之下；如果Z＝0，考生成绩处在总体平均分的水平。
2.原始分数（X)转换成标准分数(Z)是线性转换，那么标准分的分布形状与原始分的分布形状是相似的。当原始分的分布是正态分布时，标准分的分布也是正态分布的。
3.在标准分数组中，都是以平均数为零，标准差为1的。这对于任何一个由原始分数转换来的标准分数组都是成立的。这样通过标准分转换将不同科(次)考试成绩调整到同参照点，同一分值单位，也就是说标准分具有相同参照点和等距性，这是其最大的优点，因而可以对考生的考试得分进行比较，各种成绩也具有可加性(合总分)。
实施标准化考试后，引起误差的各个环节能够得到最大限度的控制，那么采用标准分数纪分，由于标准分的上述特点，就改变了原始分数的不客观性，避免了从原始分数出发主观意断的错误。因此利用标准分可以比较同一人在不同考试中的分数；可以比较不同的人在同一次考试或不同次考试中的分数，同一人各科成绩可以相加等等。
总之，标准分克服了原始分数诸多的不足，它能公平、公正、客观、科学地对待群体中的每一成员，特别是在选拔性的考试中为确保“择优录取”提供了可靠依据。
标准分数转换方法
标准分数是以平均分为常膜，以标准差为单位构成的。那么什么是平均分呢?
1.平均分在统计学里又称平均数，平均数的表示方式有多种，在标准分转换中所用的平均数是算术平均数。
平均数计算中要求总体中的每位考生的分数都参加计算。它反映了总体水平的集中趋势，但未能反映出考生之问的差异。考查某生原始分数(x1)与总体平均分((R)的差值 可以大致判断这位考生在总体中的位置。如果
，则表明该考生在中等以下；如果 ，则该考生在中等以下；如果 ，那么该考生就处于中等水平。
就目前看，教师向家长提供的成绩单上除标明某科的得分之外，只有很少数标上该科全班(年级)的平均分，但这也是很可贵的了，因为他们已经看出原始分数具有某些不足了。
平均分数受两个极端值(最高分、最低分)及介于两个极端值之间分数的分布趋势的影响，从而影响了平均数的代表性，因此仅仅通过离差(X,-X)评价考生是不全面的，比如某学生的语文、数学都是80分，考生所在总体两科的平均分均为65分，通过离差计算这两科都比平均分高出15分，但难以对该生的两科成绩作同样的评价，假如总体数学成绩分布的比较分散，而语文成绩分布的比较集中，那么数学的平均分的代表性就比较小，语文的平均分的代表性就较强。那么该生语文成绩在总体中处的位置要比数学分在总体中的位置靠前，也就是说该生语文比数学学得好。可见总体中考生分数的分散程度还影响考生在总体中的位置。
2.标准差在统计学中用以反映群体内个体之间数据分散程度常用标准差。标准差是指离差的平方之算术平均数的算术平方根。
标准差反映了在总体内，考生分数分散的程度，或说分数离中的趋势。平均分代表总体的平均水平，只有在全体成员都一致时才可靠，如果不一致，可靠性就会受到影响。平均分代表总体的平均水平的代表性的可靠性程度大小可以通过标准差反映出来。标准差越大，考生分数分散的程度就越大，平均分的代表性就越小，反之，标准差越小，考生分数分散的程度就越小，平均分代表总体的平均水平的可靠性就大。
有了平均分、标准差这两个参数，再评价学生的各科成绩就较全面些，但仍无法定量反映各科成绩的差别，如将平均分、标准差统一到标准分中，则能较好地解决这一问题。
3.标准分(Z)它是原始分数（x1)与平均分( )之差与标准差(s)的商，其公式为:
标准分数综合地反映了原始分对平均分的相对位置和总体分数的离中趋势。还就前面某学生数学、语文的例子：
数学、语文成绩在总体中比平均分(零分)分明高出1. 5,
3个标准差。这样我们可以肯定地说语文比数学的成绩好。
有了标准分制度，对于任何一个总体的原始分数转换成标准分数后都具有
的特性。那么在总体中由标准分构成的次数分布曲线就是以平均数为零、标准差为1的标准正态分布。在标准正态分布中，标准分与所对应的分布次数(百分数)是一一对应着的，通过标准正态分布表即可查到标准分其相应的百分数.如某选拔性考试中，甲、乙两人的标准分分别为1. 0、1.
5，那么相应所占的百分位数就分别为89.
13 ％ , 93.
32％。就甲来说有84.
13％的考生不如甲，如果录取率在20％的话，那么，该生自然在录取之列。
实施标准分化考试，用标准正态分布理论把握分段内的人数，或根据招生数确定相应分段，指导招生工作并为招生提供预见性。至此我们看到了标准分的优点，这也正是即将在全国高考中实施标准化考试采用标准分制的目的所在。
由于标准分数带有小数、负值，计算起来很不便利，也不合乎人们表示分数的习惯，为克服这些不足，将标准分通过线性转换成另一种度量形式来表示分数，一般形式为:T = KZ＋C。
据广东省高考标准化考试试验结果，选用K=100
,C=500，来转化标准分，即T=100·Z ＋
由于是线性转换，故T分数仍是标准分数，只不过把平均分提到500，标准差扩大到100的正态分布。如某年高考平均分为500，标准差为100，全体考生成绩呈正态分布。某生总分600，而当年录取率为20，问该生能否被录取？首先求出该生的标准分
然后从正态分布表中查出标准分为1所对应的百分位数为84.13％，即全体考生中有89. 13％的人成绩低于他，自然在20％之列。
上面介绍的都是总体呈正态分布的条件下进行的。当原始分数不呈正态分布时，通过线性转换而成的标准分也将不呈正态分布，但这并不影响标准分在总体中的位置，只是标准分与所对应的分布次数不具有确定的规律，因此不宜通过标准正态分布表查相应的百分位数。对于原始分数不呈正态分布的，可以通过非线性转换变成正态分布。
已投稿到：
以上网友发言只代表其个人观点，不代表新浪网的观点或立场。以下试题来自：
填空题期中考试中，某班级学生统计学平均成绩为80分，标准差为4分。如果学生的成绩是正太分布，可以判断成绩在72分-88分之间的学生大约占总体的（）
为您推荐的考试题库
您可能感兴趣的试卷
你可能感兴趣的试题
1.填空题 95%的数据2.填空题 68%3.填空题 1.54.填空题 68%5.填空题 3500高中数学 COOCO.因你而专业 ！
你好！请或
使用次数：0
入库时间：
某班有48名同学，一次考试后数学成绩服从正态分布．平均分为80，标准差为10，问从理论上讲在80分至90分之间有多少人？
解析:设x表示这个班的数学成绩，则x服从
设则z服从标准正态分布．
查标准正态分布表，得：
如果没有找到你要的试题答案和解析，请尝试下下面的试题搜索功能。百万题库任你搜索。搜索成功率80%记录生活的点滴
正态分布（Normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution）
正态分布（Normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一个在、及等都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
若X服从一个为μ、为σ2的高斯分布，记为：
X~N(μ,σ2),
正态分布的μ决定了其位置，其σ决定了分布的幅度。因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。我们通常所说的标准正态分布是μ
= 0,σ = 1的正态分布（见右图中绿色曲线）。
正态分布是与中的定量现象的一个方便模型。各种各样的测试分数和现象比如计数都被发现近似地服从正态分布。尽管这些现象的根本原因经常是未知的，
理论上可以证明如果把许多小作用加起来看做一个变量，那么这个变量服从正态分布(在R.N.Bracewell的Fourier transform and its application中可以找到一种简单的证明)。正态分布出现在许多区域:例如, 是近似地正态的，既使被采样的样本总体并不服从正态分布。另外，常态分布在所有的已知均值及方差的分布中最大，这使得它作为一种以及已知的分布的自然选择。正态分布是在统计以及许多统计测试中最广泛应用的一类分布。在，正态分布是几种连续以及离散分布的。
常态分布最早是在发表的一篇关于文章中提出的。在1812年发表的《分析概率论》（Theorie
Analytique des Probabilites）中对棣莫佛的结论作了扩展。现在这一结论通常被称为。
拉普拉斯在试验中使用了正态分布。于引入这一重要方法；而则宣称他早在就使用了该方法，并通过假设误差服从正态分布给出了严格的证明。
“钟形曲线”这个名字可以追溯到他在首次提出这个术语"钟形曲面"，用来指代（）。正态分布这个名字还被、、在1875分布独立的使用。这个术语是不幸的，因为它反应和鼓励了一种谬误，即很多概率分布都是正态的。（请参考下面的“实例”）
这个分布被称为“正态”或者“高斯”正好是的一个例子，这个法则说“没有科学发现是以它最初的发现者命名的”。
有几种不同的方法用来说明一个随机变量。最直观的方法是，这种方法能够表示随机变量每个取值有多大的可能性。是一种概率上更加清楚的方法，但是非专业人士看起来不直观（请看下边的例子）。还有一些其他的等价方法，例如、、以及cumulant-。这些方法中有一些对于理论工作非常有用，但是不够直观。请参考关于的讨论。
四个不同参数集的概率密度函数（绿色线代表标准正态分布）
正态分布的均值为μ 为σ2 (或σ)是的一个实例：
(请看以及π.)
如果一个X服从这个分布，我们写作 X ~ N(μ,σ2).
如果μ = 0并且σ = 1，这个分布被称为标准正态分布，这个分布能够简化为
右边是给出了不同参数的正态分布的函数图。
正态分布中一些值得注意的量：
密度函数关于平均值对称平均值是它的（statistical mode）以及（median）函数曲线下68.268949%的面积在平均值左右的一个范围内95.449974%的面积在平均值左右两个标准差2σ的范围内99.730020%的面积在平均值左右三个标准差3σ的范围内99.993666%的面积在平均值左右四个标准差4σ的范围内（inflection point）在离平均值的距离为标准差之处
上图所示的概率密度函数的累积分布函数
是指随机变量X小于或等于x的概率，用密度函数表示为
正态分布的累积分布函数能够由一个叫做的表示：
标准正态分布的累积分布函数习惯上记为Φ，它仅仅是指μ = 0，σ = 1时的值，
将一般正态分布用表示的公式简化，可得：
它的被称为反误差函数，为：
该分位数函数有时也被称为函数。函数已被证明没有初等原函数。
正态分布的Φ(x)没有解析表达式，它的值可以通过、或者近似得到。
被定义为exp(tX)的期望值。
正态分布的矩生成函数如下：
可以通过在指数函数内配平方得到。
被定义为exp(itX)的，其中i是虚数单位.
对于一个正态分布来讲，特征函数是：
把矩生成函数中的t换成it就能得到特征函数。
正态分布的一些性质:
如果且a与b是，那么aX + b~N(aμ
+ b,(aσ)2) (参见和).如果与是的正态，那么:
它们的和也满足正态分布 ().它们的差也满足正态分布.U与V两者是相互独立的。如果和是独立正态随机变量，那么:
它们的积XY服从概率密度函数为p的分布
其中K0是贝塞尔函数（modified
Bessel function）它们的比符合，满足X / Y~Cauchy(0,σX /
σY).如果为独立标准正态随机变量，那么服从自由度为n的。
一些正态分布的一阶动差如下：
μ3 + 3μσ2
μ4 + 6μ2σ2 + 3σ4
正态分布的所有二阶以上的为零。
正态分布的概率密度函数，参数为μ = 12，σ = 3，趋近于n = 48、p = 1/4的的概率质量函数。
正态分布有一个非常重要的性质：在特定条件下，大量的随机变量的和的分布趋于正态分布，这就是。中心极限定理的重要意义在于，根据这一定理的结论，其他概率分布可以用正态分布作为近似。
参数为n和p的，在n相当大而且p不接近1或者0时近似于正态分布（有的参考书建议仅在np与n(1
- p)至少为5时才能使用这一近似）。
近似正态分布平均数为μ = np且方差为σ2 = np(1 - p).
一带有参数λ当取样样本数很大时将近似正态分布λ.
近似正态分布平均数为μ = λ且方差为σ2 = λ.
这些近似值是否完全充分正确取决于使用者的使用需求
正态分布是的概率分布。
正态分布是严格的概率分布。
深蓝色区域是距平均值小于一个标准差之内的数值范围。在正态分布中，此范围所占比率为全部数值之68%。根据正态分布，两个标准差之内（蓝，棕）的比率合起来为95%。根据正态分布，三个标准差之内（深蓝，橙，黄）的比率合起来为99%。
在实际应用上，常考虑一组数据具有近似于正态分布的概率分布。若其假设正确，则约68%数值分布在距离平均值有1个标准差之内的范围，约95%数值分布在距离平均值有2个标准差之内的范围，以及约99.7%数值分布在距离平均值有3个标准差之内的范围。称为"68-95-99.7法则"或"经验法则".
R~Rayleigh(σ)是，如果，这里X~N(0,σ2)和Y~N(0,σ2)是两个独立正态分布。是具有ν，如果这里Xk~N(0,1)其中是独立的。Y~Cauchy(μ = 0,θ = 1)是，如果Y = X1 / X2，其中X1~N(0,1)并且X2~N(0,1)是两个独立的正态分布。Y~Log-N(μ,σ2)是如果Y = eX并且X~N(μ,σ2).与相关：如果因而..如果，
在A以下和B以上截取X 将产生一个平均值这里，φ是一个标准正态随机变量的如果X是一个正态分布的随机变量, Y = | X | ，那么Y具有.
的的估计的推导是比较难于理解的。它需要了解（spectral
theorem）以及为什么把一个看做一个1×1 matrix的trace而不仅仅是一个标量更合理的原因。请参考（estimation
of covariance matrices）.
《饮料装填量不足与超量的概率》
某饮料公司装瓶流程严谨，每罐饮料装填量符合平均600毫升，标准差3毫升的常态分配法则。随机选取一罐，容量超过605毫升的概率？容量小于590毫升的概率
容量超过605毫升的概率 = p ( X & 605)= p ( ((X-μ) /σ) & ( (605 – 600) / 3) )= p ( Z & 5/3) = p( Z & 1.67) = 0.9525
容量小于590毫升的概率 = p (X & 590) = p ( ((X-μ) /σ) & ( (590 – 600) / 3) )= p ( Z & -10/3) = p( Z & -3.33) = 0.0004
《6-标准差(6-sigma或6-σ)的品质管制标准》
6-标准差(6-sigma或6-σ)，是制造业流行的品质管制标准。在这个标准之下，一个标准常态分配的变量值出现在正负三个标准差之外，只有2* 0.6 (p (Z & -3) = 0.0013以及p(Z & 3) = 0.0013)。也就是说，这种品质管制标准的产品不良率只有万分之二十六。假设例3-16的饮料公司装瓶流程采用这个标准，而每罐饮料装填量符合平均600毫升，标准差3毫升的常态分配法则。预期装填容量的范围应该多少？ 6-标准差的范围 = p ( -3 & Z & 3)= p (
- 3 & (X-μ) /σ & 3) = p ( -3 & (X- 600) / 3 & 3)= p ( -9 & X – 600 & 9) = p (591 & X & 609) 因此，预期装填容量应该介于591至609毫升之间。
《计算学生智商高低的概率》
假设某校入学新生的智力测验平均分数与方差分别为100与12。那么随机抽取50个学生，他们智力测验平均分数大于105的概率？小于90的概率？
本例没有常态分配的假设，还好中心极限定理提供一个可行解，那就是当随机样本长度超过30，样本平均数xbar近似于一个常态变量，因此标准常态变量Z = (xbar –μ) /σ/ √n。
平均分数大于105的概率 = p(Z& (105 – 100) / (12 /√50))= p(Z& 5/1.7) = p( Z & 2.94) = 0.0016
平均分数小于90的概率 = p(Z& (90 – 100) / (12 /√50))= p(Z & 5.88) = 0.0000
在计算机模拟中，经常需要生成正态分布的数值。最基本的一个方法是使用标准的正态累积分布函数的反函数。除此之外还有其他更加高效的方法，Box-Muller变换就是其中之一。另一个更加快捷的方法是ziggurat算法。下面将介绍这两种方法。一个简单可行的并且容易编程的方法是：求12个在（0,1）上均匀分布的和，然后减6(12的一半)。这种方法可以用在很多应用中。这12个数的和是Irwin-Hall分布；选择一个方差12。这个随即推导的结果限制在（-6,6）之间，并且密度为12，是用11次多项式估计正态分布。
Box-Muller方法是以两组独立的随机数U和V，这两组数在(0,1]上均匀分布，用U和V生成两组独立的标准正态分布随即变量X和Y:
这个方程的提出是因为二自由度的（见性质4）很容易由指数随机变量（方程中的lnU）生成。因而通过随机变量V可以选择一个均匀环绕圆圈的角度，用指数分布选择半径然后变换成（正态分布的）x,y坐标。
没有更多推荐了，
加入CSDN，享受更精准的内容推荐，与500万程序员共同成长！}