关于几何证明的几点建议广平县第二中学
马俊锋 “天呀，又要开始学几何证明了”，“几何的证明太难学”每次在上几何课的时候，总是可以听到几何证明学习困难的学生的声音．学生的这种情绪与抱怨很容易助长学习几何证明消极的心理，增加逃避学几何证明的可能性．鉴于这种实际，作为初中的一名数学老师陷入思考----是否是平常在教书的过程中对几何证明教学认识不足、重视不够，还是对几何证明教学方式方法运用不当，影响了课堂教学效果，制约了学生逻辑推理能力的发展，影响了学生的后续学习．为了更好地落实新课程的目标，培养学生的逻辑推理能力，提高学生学习几何证明的能力，笔者对几何证明的现状，学习几何证明困难的原因以及如何进行几何证明教学进行研究与思考．一、初中几何证明的现状初中几何证明不但是学习的重点，而且是学习的难点．很多同学对几何证明，不知从何着手，一部分学生虽然知道答案，但叙述不清楚，说不出理由，对逻辑推理的证明过程几乎不会写．这样，导致大部分的学生失去了几何证明学习的信心．新课程中对几何证明的内容进行了调整、难度要求降低、证明技巧淡化，但对几何证明教学的最基本能力要求其实并没有降低，课标中已明确指出：在“图形与几何”的教学中，应帮助学生建立空间观念，注重培养学生的几何直观与推理能力．虽然新的课程理念要求，推理过程不能过繁，一切从简．但证明的过程要求做到事实准确、道理严密，证明过程方能完整．二、几何证明学习困难的原因分析初中学生的几何证明学习在内容上正在经历从“直观”到“论证”的转轨．在思维方式上需要解决从“形象思维”到“演绎思维”的过渡．学生学习几何证明从直观到论证之间存在着一个思维要求上的跳跃．学生来不及适应这种高一级的思维方式．这是几何证明学习的认知障碍．因此，我个人觉得初中几何证明难，主要还难在“转轨”与“过渡”上．在事物发展的过程中，经历一种“转变”的时节，正是良好的机遇所在．有必要提醒学生把握机遇，适应转变．学生开始学习几何证明，没有适应论证数理的答题模式，语言表达方面的特别要求，作业练习常被判为错误，几次碰壁后就觉得“几何证明确实难学”．面对着这种学习的失败，几何证明学习困难的学生在讨论发言、回答问题和动手练习等方面与普通同学存在着差异．他们几乎一直处在旁听陪读的地位，作业又无法独立完成，只得抄袭，更失去了参与学习的机会．三、几何证明的几点建议怎样才能把几何证明的求解过程叙述清楚呢？下面我就这方面的问题与大家探讨．（一）几何题证明的前提-----几何语言几何教学有三种不同形式的语言即图形语言、文字语言及符号语言．教学中不仅要让学生建立三种几何语言，还要培养学生对三种语言相互转化的能力．由于三种语言的特点不同，在几何教学中各自发挥的作用也不同．图形语言形象、直观，能帮助学生认识问题和理解问题；文字语言抽象、概括，对图形本身及图形中所蕴含的结论能精确地予以的描述、解释，对几何的定义、公理、定理、命题等内容能精确地予以表达，而符号语言则是对文字语言的简化和再次抽象，具有更强的抽象性，在三种语言中符号语言是几何初学者最难掌握的一种，也是逻辑推理必备的能力基础．因此教师在教学过程中应不失时机地训练、培养学生对这三种语言相互转化的意识和能力．当你到了一个新的国家，最使你头痛的也许就是语言不通。每个国家都有自己的语言。如果你不能使用这个国家可能接受的语言，不能看懂当地的语言文字，那是一件十分苦恼的事，会使你寸步难行。“几何王国”也有自己的语言。几何中的概念；定理的叙述；作图方法的叙述，都需使用准确的几何语言。几何语言按叙述的方式分有文字语言、符号语言和图形语言；按用途分有描述语言、作图语言、推理语言。(1)正确掌握几何语言是学好几何知识的必备条件。几何是一门逻辑性十分严谨的学科，它的严谨性突出表现在语言表述上。掌握几何语言，对理解几何概念，识别几何图形，学会推理论证有着重要的作用。初中几何入门教学，首先就遇到几何语言和几何符号，正确掌握几何语言是学好几何的必备条件，也是进行正确的数学思维的关键。比如平行四边形的概念，它是这样定义的：“两组对边分别平行的四边形是平行四边形。”它强调“两组对边”因为一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形，它不是平行四边形。它强调“四边形”若是其他边形（五边形、六边形）那就根本不可能是平行四边形。这个定义可以作为判断图形是不是平行四边形的判定定理。要判断一个图形是不是平行四边形，就要看它是否满足：①是四边形②一组对边平行③另一组对边也平行。这三个条件缺一不可。条件①排除其它边形。条件②排除了没有一边平行的任意四边形，条件③排除了梯形。因此，我们说，学习几何语言“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”是了解和判断平行四边形这样一个几何事实的必备条件。学懂了几何语言，才有可能画出相应的图形并会使用符号表示。相反，当图形已知时，要能用几何语言，符号表达图形的形状、大小和位置关系。这是学几何应具备的双重能力，即能把几何语言转化为几何图形，也能把几何图形转化为几何语言。如：任意取一个三角形ABC（用符号表示为△ABC），这就表示△ABC的形状、大小和位置都是任意的（它包括一切三角形）。我们就不能把它画成特殊的形状，如等腰三角形，等边三角形或直角三角形等。在论证时，也只能应用任意三角形的性质，而不能将特殊三角的性质在论证或解题时作为已知条件而应用进去。这说明按文字要求画出相应几何图形时，对几何语言要准确理解才能画出正确的图形。(2)、学习几何语言的困难分析几何语言训练是几何教学的重要组成部分。因为几何语言和日常生活语言不尽相同，几何语言具有简洁明了，概念性强、逻辑性强的特点，所以很多学生感到难以掌握。常有学生感到“意思懂，但不知如何说，如何落笔”。如“两点确定一条直线”指的是“过两点有一条直线，而且只有一条直线。”几何语言比日常使用的语言意义更确定，且只有一种特定的解释。 错误地理解或使用几何语言都会造成概念的模糊和思维的混乱。比如“有公共端点的两条射线叫做角”。这个说法是错误的。因为角虽然是由公共端点的两条射线所形成，但角并不就是这两条射线组成的图形，在这个图形中不仅包括边和顶点，还有角的内部。又比如“平角是一条直线”也是错误的。因为一条直线和平角不是相同的概念，角必须有顶点，有从顶点出发的两条边。当这两条边互为反方向时成平角。平角和直线只有位置上的相同，但不是同一图形。产生以上错误的最主要的原因是把一些表面相似，但不属于同一范畴的概念混为一谈。几何以作图语言，告诉了画几何图形的方法，不同的几何语言，有不同的作图的方法，画出的图形也不相同。作图语句不能用错，不能说出无法完成的作图语句。例如，“延长直线”直线本来就是向两方无限延伸着的，还要怎么延长。至于推理语言，还是有它的规矩，不仅要正确叙述，而且整个过程中，不能犯逻辑上的错误。几何语言大量表述出平面图形的位置、形状和大小的关系，不仅有静态描述，更有动态描述，而且由于思路的不同，也可有不同的表达方式。让学生学会结合图形去学习和理解定义、定理，而且也能用定义、定理去解释图形。可惜很多学生只能用背诵语言文字的方法去记忆定义、定理，这是一种多慢差费的办法。教师应重视学生学会并运用几何语言的能力的培养。(3)、怎样学习几何语言首先要重视阅读课本，对几何语言需要咬文嚼字地学，但学生恰恰在这一条上很难做到，因为学生原来的学习习惯和学习方法是很不重视阅读数学课本的，咬文嚼字地阅读数学课本更是不耐烦，但是对于几何语言的学习来说这一条尤其重要，它能帮助学生领会几何语言的简洁、清晰，从中理解和掌握几何的定义、定理、公理，学会应用几何语言去叙述几何定义、定理、公理，从而提高几何语言的应用能力，进而可以模仿课本上的几何语言，解答几何的计算题或证明题。比如：“连接两点的线段的长度叫这两点间的距离。”要注意“线段”和“长度”，因连结两点的线有任意的曲线折线，但这里只能是线段，不能是其它的线，而且是线段的长度，只就说明两点间的距离比如：等腰三角形的性质1----等腰三角形的两个底角相等，教师应及时引导学生画出图形，结合图形，将文字语言符号化（如图1-1）：
在中∵AB=AC图（1-1）? ∴∠C=∠B等腰三角形的性质2----等腰三角形“三线合一”到底是哪三线重合呢？非常容易出错，而且在将其进行符号化的时候，往往会把等腰三角形“三线”中的已知身份忽视．因此应强调学生画出图形，结合图形对其进行符号化，其表达形式为（如图1-2）： （1）∵AB=AC，∠BAD=∠CAD∴BD=CD，AD⊥BC（2）∵AB=AC，BD=CD∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC（3）∵AB=AC，AD⊥BC∴BD=CD，∠BAD=∠CAD将文字语言图形化，符号化的意识应贯穿几何教学的始终，只有这样才能为学生几何证明的学习建立良好的基础．(二)证明几何题的技巧几何证明题入门难，证明题难做，是许多初中生在学习中的共识，这里面有很多因素，有主观的、也有客观的，学习不得法，没有适当的解题思路则是其中的一个重要原因。掌握证明题的一般思路、探讨证题过程中的数学思维、总结证题的基本规律是求解几何证明题的关键。在这里结合自己的教学经验，谈谈自己的一些方法与大家一起分享。1要审题。很多学生在把一个题目读完后，还没有弄清楚题目讲的是什么意思，题目让你求证的是什么都不知道，这非常不可取。我们应该逐个条件的读，给的条件有什么用，在脑海中打个问号，再对应图形来对号入座，结论从什么地方入手去寻找，也在图中找到位置。2要记。这里的记有两层意思。第一层意思是要标记，在读题的时候每个条件，你要在所给的图形中标记出来。如给出对边相等，就用边相等的符号来表示。第二层意思是要牢记，题目给出的条件不仅要标记，还要记在脑海中，做到不看题，就可以把题目复述出来。3要引申。难度大一点的题目往往把一些条件隐藏起来，所以我们要会引申，那么这里的引申就需要平时的积累，平时在课堂上学的基本知识点掌握牢固，平时训练的一些特殊图形要熟记，在审题与记的时候要想到由这些条件你还可以得到哪些结论（就像电脑一下，你一点击开始立刻弹出对应的菜单），然后在图形旁边标注，虽然有些条件在证明时可能用不上，但是这样长期的积累，便于以后难题的学习。4要分析综合法。（1）分析法①定义：要证明一个命题正确，为了寻找正确的证题方法或途径，我们可以先设想它的结论是正确的，然后追究它成立的原因，再就这些原因分别研究，看它们的成立又各需具备什么条件，如此逐步往上逆求，直至达到已知的事实，这样一种思维方法就叫做分析法。 可简单地概括为：“执果索因”。意思就是：“拿着结果去寻找原因”。②思路：举例说明其证明命题正确的思路：若要证明如下命题：“若A成立，则D成立。”用分析法思考时，其思路可如下图所示：（应从下往上看）从结论开始，即从D开始往上寻求其成立的条件，假设C、C1、C2都能使D成立，再寻求其成立的条件什么能使C、C1、C2成立，设B、B1能使C成立，B2能使C1成立，B3、B4能使C2成立，这一切原因，固然都可使D成立，但究竟哪个是题设A的结果呢？检查之后，设发现B是，这样就由未知的D上溯到已知的A，因而就获得了证明的思路：D←C←B←A，即D可由C得出，C又可由B得出，B又可由已知的A得出，至此显然命题得证。 （2）综合法：①定义：证明一个命题的正确时，我们先从已知的条件出发，通过一系列已确立的命题（如定义、定理等），逐步向前推演，最后推得要证明的结果，这种思维方法，就叫做综合法。可简单地概括为：“由因导果”，即“由原因去推导结果”。②思路：要证明定理“若A成立，则D成立”，用综合法思考时，其思路可由下图所示：从已知条件开始，故从A开始推演，寻找可以到达D的思路，但由A所得的结果往往不止一个，可能有好多个。设B、B1、B2都是A的结果，同样由B、B1、B2又可得好多结果，设由B可得C、C1，B1可得C2，B2可得C3、C4，在这些C中，只要有一个能得出D即可，思考至此便可得到：A→B→C→D这个证明的思路了。若C中还没有一个能得出D的，可如上一样，再往下寻求，直至能得出D为止。 ③分析法与综合法的特点：分析法的特点是从要证明的结论开始一步步地寻求其成立的条件，直至寻求到已知条件上。 综合法的特点是从已知条件开始推演，一步步地推导结果，最后推出要证明的结果。 ④分析法与综合法的优缺点：证几何题时，在思索上，分析法优于综合法，在表达上分析法不如综合法。分析法利于思考，综合法宜于表述，在解决问题中，最好合并使用。对于一个新问题，我们一般先用分析法寻求解决，然后用综合法有条理地表述出来。（3）. “两头凑”的证题方法。对于一些较复杂的几何问题，我们可以采用“两头凑”的方法去寻求证明的途径。“两头凑”即先从已知条件出发，看可以得出什么结果，再从要证明的结论开始寻求，看它的成立需具备哪些条件，最后看它们的差距在哪里，从而找出正确的证题途径。5要归纳总结。很多同学把一个题做出来，长长的松了一口气，接下来去做其他的，这个也是不可取的，应该花上几分钟的时间，回过头来找找所用的定理、公理、定义，重新审视这个题，总结这个题的解题思路，往后出现同样类型的题该怎样入手。以上是常见证明题的解题思路，当然有一些的题设计的很巧妙，往往需要我们在填加辅助线，下面我们再谈论一下常见填加辅助线的方法和思路。 （三）辅助线的添加人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。图中有角平分线，可向两边作垂线。角平分线平行线，等腰三角形来添。 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线加一倍。 梯形里面作高线，平移一腰试试看。 等积式子比例换，寻找相似很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，等积公式是关键。半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内切圆，内角平分线梦园。如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。若是添上连心线，切点肯定在上面。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。（四）几何证明的分析和步骤1. 证明一个命题的一般步骤（1）按题意画出图形。（2）分清命题的题设和结论，结合图形，在已知一项中写出题设，在求证一项中写出结论。（3）探求证明途径。（4）在证明一项中写出证明过程。2. 证明命题正确的关键在于找出正确的证明方法或途径，这是最困难的，也正是我们力求研究和解决的问题。 总之，初中学生的几何证明内容是不可缺少的，要使学生能够学好几何证明，教师要充分认识到初中生学几何证明的困难，并认真研究几何证明较好的教学方法，才能提高几何证明教与学的效率，才能提高学生的逻辑思维水平． 百度搜索“就爱阅读”,专业资料,生活学习,尽在就爱阅读网92to.com,您的在线图书馆
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几何定理机器证明
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jihe dingli jiqi zhengming 几何定理机器证明 mechanical theorem-proving in geometry 用计算机自动证明某一类型几何定理，甚至某一种几何全部定理的原理和方法。从理论角度看，几何定理的机器证明要经历公理化、代数化与坐标化、机械化等步骤，才能编制程序并在计算机上实现。可用机器证明的几何定理（主要是初等几何的定理）有三种不同类型，与之对应则有三种不同的机器证明方法。每一类型定理的机器证明都必须假设代数化与坐标化已经完成，而且可把几何定理的证明问题化为一些代数关系式的处理问题。
几何定理机器证明类型
几何定理机器证明①第一类型
定理的特征是假设部分的所有代数关系式对于某些特定变量都必须是线性的，包括一类构造型的纯交点定理，其对应的证明方法称为希尔伯特方法；
几何定理机器证明②第二类型定理
特征是假设和终结部分的代数关系式都可用多项式的方程来表示，其对应的机器证明方法是中国数学家首先提出的,称为吴文俊方法;
几何定理机器证明③第三类型定理
特征是假设和终结部分可以是任意的多项式等式或不等式，但其系数必须在一实闭域中，因而原来的几何必须有次序关系，其对应的机器证明方法称为塔斯基方法。这三种方法各有其适用范围，但就可以通用的那些定理证明问题来说，希尔伯特法效率最高而塔斯基法效率最低，但是前者的适用范围很窄。1980年在 HP9835A机上，用吴文俊方法成功地证明了勾股定理、西姆逊线定理、帕普斯定理、帕斯卡定理、费尔巴哈定理,并在45个帕斯卡点中发现了20条帕斯卡圆锥曲线,这种方法还推广到微分几何，将微分几何曲线论中的贝屈朗定理推广到仿射微分几何。吴文俊的研究成果引起了国际学术界的重视。
几何定理机器证明几何定理机器证明的几种主要方法
几何定理机器证明代数方法
几何定理机器证明的代数方法又包含多种不同的方法，如吴方法、Grobner 基方法、单点例证法、数值并行法等。其中，吴方法是代数方法的代表，其它几种方法都是在吴方法之后，受其思想的影响提出来的。吴方法是我国著名数学家吴文俊先生1977年提出来的一种用代数的方法来证明几何定理的新的方法。该方法适用于证明“等式型”的几何定理，而且证明的效率很高，一般可以用几分钟甚至几秒钟就可以证出不简单的定理。其中，等式型几何定理是指：将几何问题引进坐标化为代数问题后，问题的条件和结论都可以化为若干个等式的形式。
吴方法进行几何定理机器证明的第一步是几何问题代数化，建立坐标系，并将命题涉及的几何图形的点选取适当的坐标，然后把命题的条件和结论表示为坐标的多项式方程组。最后判断条件方程组的解是否满足结论方程。通常的几何命题涉及的多项式方程组都是非线形的，一般无法将约束变元求出。吴方法是利用伪除法判定条件方程组的解是否是结论方程组的解。而且利用吴方法不仅可以判断定理的正确与否，还可以自动找出定理赖以成立的非退化条件，这是传统的做法无法做到的。多项式的伪余除法可以通过计算机做符号计算进行。此外，单点例证法和数值并行法，这两种方法与吴方法进行大量符号计算不同，主要利用数值计算的方法进行定理的证明，所以有时也被单独列为一类方法，即几何定理证明的数值方法。数值方法与其它方法相比，具有效率高的优点。
几何定理机器证明几何不变量
以吴方法为代表的代数方法仅仅能够判断几何命题的成立与否，证明的过程十分复杂，而且需要进行大量的数值计算和符号计算，这与传统几何证明的简洁明了大相径庭。人们难以读懂这种方法生成的证明，往往只能得出命题真假的结论，因此很多人难以接受这种证明的风格。如何生成让人容易读懂的几何证明过程这一问题成为科学家面临的又一个严峻的挑战。 1992年，中科院院士张景中教授以其多年研究的面积法为基础，提出了几何定理机器证明的新方法，基于几何不变量的消点法。随后，它与周咸青、高小山合作完善了该方法，并编写了程序，终于成功的利用计算机对大量非平凡的几何命题生成了简洁易读的几何证明，这一杰出的工作被誉为计算机处理几何问题的里程碑。 消点法包括一组构图规则、一组几何不变量以及一组消点公式。该方法的基本思想是：利用构图规则将欲证几何命题中涉及的图形构造出来，并在构图的过程中生成关于点的约束条件，同时将欲求证的命题表示成图中几何量的等式的形式，然后利用消点公式，按照点在作图时出现的相反顺序，依次从结论等式中消去，最终结论等式会化为显然成立的等式。后来，杨路教授又将消点法拓展到非欧几何，成功的证明和发现了大量的新的非欧几何定理。李洪波博士、杨海圈博士也在面积不变量的基础上提出用向量法实现几何定理的可读证明，即Clifford代数法，也取得了很好的效果。
几何定理机器证明基于演绎数据库的搜索法
几何不变量的方法虽然实现了一大类几何定理的机器的可读证明，但是这种方法得到的证明过程常常不符合人的思维习惯。而利用演绎数据库的方法，根据几何命题所给的条件、已知的公理、定理及公式等推理规则，通过大量的试验匹配的方法进行证明似乎更符合人的思维习惯。这种方法也被誉为“大英博物馆式的推理方法”，最早有这种设想的是H.Gelernter,J.R.Hanson和D.W.Loveland。它们于1960年联合发表一篇文章中提出了从结论出发进行搜索的后推链方法。
几何定理机器证明进展
到了1975年，A.J.Nevins又提出了前推链方法，但是仍不能实现为有效的和。随后的几十年里，科学家基于这两种推理设想进行了大量的探索，但始终收效不大。直到1996年，张景中、高小山、周咸青提出了一个基于前推模式的“几何信息搜索系统” （GISS），成功的证明了161个非平凡的几何命题，收到了良好的效果。基于该方法进行了较多的研究，也成功设计了一些的定理证明系统，取得了不错的效果。演绎数据库方法的特点是：不仅给出了定理的证明，还可以生成一个性质的数据库。该数据库包含了所给几何图形中能由系统内部所用几何公理推导出来的所有几何性质。例如：证明垂心定理，最终数据库中包含下面的几何信息——6个共线关系，6个共圆关系，24个等角关系，7个三角形相似关系，105个等比关系。可见得到的信息十分丰富，但是这也成为这种方法的一个瓶颈，即中间的几何信息过度膨胀。因此针对这一问题进行了大量的改进。
清除历史记录关闭高中数学培优讲座第三讲：平面几何证明基本方法――分析法、综合法、反证法、同一法 （一）分析法、综合法分析法是由命题的结论人手，承认它是正确的，执果索因，寻求在什么情况下结 论才是正确的。这样一步一步逆而推之，直到与题设会合，于是就得出了由题设通往 结论的思维过程；综合法则是由命题的题设人手，通过一系列正确推理，逐步靠近目 标，最终获得结论. 无论是分析法还是综合法，都要经历一段认真思考的过程，分析法先认定结论为 真，倒推而上，容易启发思考，每一步推理都有较明确的目的，知道推理的依据，了 解思维的过程；综合法由题设推演，支路较多，可以应用的定理也较多，往往不知应 如何迈步，这是它的缺点，而优点在于叙述简明，容易使人理解解题的步骤.如果在从结论向已知条件追溯的过程中，每一步都是推求的等价（充分必要）条 件，那么这种分析法又叫可逆型分析法。因而，可逆型分析法是选择型分析法的特殊 情形，用可逆型分析法证明的命题用选择型分析法一定能证明，反之用选择型分析法 证明的命题，用可逆型分析法不一定能证明. 可逆型分析法的证明中，常用符号“ ? ”来表示，或用一系列“则需证……”来 表示，并最后指出“上述每步可逆，故命题成立”.a+b 例题 2：直角△ABC 中，a、b 为直角边长，c 为斜边长。求证：. ≤c 21．选择型分析法选择型分析法解题，就是从要求解的结论 B 出发，希望能一步步把问题转化，但 又难以互逆转化，进而转化为分析要得到结论 B，需要什么样（充分）的条件，并为 此在探求的“三岔口”作方向猜想和方向择优，假设有条件 C 就有结论 B，即 C 就为 选择找到的使 B 成立的（充分）条件（ C ? B ） ；同样地，再分析在什么样的条件下 能选择得到 C，即 D ? C ，最终追溯到此结论成立或原命题的某一充分条件（或充分 条件组）恰好是已知条件或已知结论 A 为止. 在运用选择型分析法解题时，常使用一系列短语： “只需……即可”来刻画，具体来说， 若可找到 C ? B ，欲证 A ? B ，只需证 A ? C 即可.3．构造型分析法如果在从结论向已知条件追溯的过程中，在寻找新的充分条件的转化“三岔口” 处，需采取相应的构造型措施：如构造一些条件，作某些辅助图等，进行探讨、推导， 才能追溯到原命题的已知条件(或稍作变形处理)的分析法又叫做构造型分析法.例题 1：如图，已知 ∠ACE = ∠CDE = 90 0 ，点 B 在 CE 上，CA = CB=CD，过 A，C，D三点的圆交 AB 于 F.求证：F 为△CDE 的内心.例题 3：如图，AD 是△ABC 的中线，任意引直线 CF 交 AB 于 F，交 AD 于 E，求证：. AE 2 AF = ED FB4．奠基型综合法 2．可逆型分析法在由已知条件着手较难时，或没有熟悉的模式可供化归推导时，我们可倾向于寻找简单的模式（特例） ， 然后将一般情形化归到这个简单的模式上来。这样的综合法称为奠基型综合法.例题 4：如图，由任一点 P 向等边△ABC 的三条高 AD、BE、CF 作垂线段，求证：这三条垂线段中最长的一条是其余两条的和.3． 托勒密定理）在圆内接四边形 ABCD 中， AC ? BD = AB ? CD + AD ? BC . （托勒密定理） （提示：在△BAD 和△BCD 中，用 cos ∠BAD = ? cos ∠BCD ；又在△ABC 和△ACD 中， 用 cos ∠ABC = ? cos ∠ADC ，分别整理出 BD2，AC2 的表达式，再相乘即证）6．解析型综合法解题时，运用解析法的思想制订解题的大体计划和方向，然后并不真用解析法来实现这 个计划，而用综合法来实现，这种综合法我们称之为解析型综合法.例题 6：如图，在四边形 ABC'D 中，已知∠B 为直角，对角线AC=BD，过 AB、CD 之中点 E、G 作中垂线交于 N；过 BC、 AD 之中点 F、H 作中垂线交于 M.求证：B、M、N 三点共直线.5．媒介型综合法当问题给出的已知条件较少且看不出与所求结论的直接联系时，或条件关系松散难以利 用时，去有意识地寻找、选择并应用媒介实现过渡，这样的综合法称之为媒介型综合法. （斯特瓦尔特定理）设 D 是△ABC 底边 BC 上任一点，求证： 例题 5：AD 2 ? BC = AB 2 ? CD + AC 2 ? BD ? BC ? BD ? CD .上面，我们分别介绍了分析法与综合法，在解题时，这两种方法可单独使，也可结合使 用，在分析中有综合，在综合中有分析，交叉使用去论证、求解问用题.类似方法可证： 1． 阿波罗尼斯定理）若 AD 是△ABC 的中线，则 AB 2 + AC 2 = 2( AD 2 + BD 2 ) . （阿波罗尼斯定理） （提示：△ADB 和△ADC 中用余弦定理） 2． 斯库顿定理）在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，则 AD = AB ? AC ? BD ? CD . （斯库顿定理）2（提示：在△CAD 和△BAD 中，用 cos ∠CAD = cos ∠BAD ）}