微分的定义不是很理解 谁能讲解一下_百度知道
微分的定义不是很理解 谁能讲解一下
我有更好的答案
简单理解，在一段区域里，图像的面积x的取值无限放小，图像面积上面是曲线，可以近似看成矩形，x越小，矩形就越接近原来面积，采用极限，无限多个区域累积近似就是原来图形面积了。
采纳率：60%
引用丶瑾辰的回答：简单理解，在一段区域里，图像的面积x的取值无限放小，图像面积上面是曲线，可以近似看成矩形，x越小，矩形就越接近原来面积，采用极限，无限多个区域累积近似就是原来图形面积了。
1条折叠回答
为您推荐：
其他类似问题
换一换
回答问题，赢新手礼包
个人、企业类
违法有害信息,请在下方选择后提交
色情、暴力
我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。当前位置： >>
经济数学(导数与微分习题及答案)
第三章 函数的导数与微分习题 3－1 －1. 根据定义求下列函数的导数: (1)y=1 x(2) y = cos x (4) y =(3) y = ax + b (a ,b 为常数) 解 (1) 因为xy ' = lim?y f ( x + ?x ) ? f ( x ) = lim ?x → 0 ?x ?x → 0 ?x 1 1 ? ?1 1 lim x + ?x x ?lim0 ? 2 x → ( x + ?x ) x ?x = ?x → 0 = = x所以y′ = ?1 x2 .?x →0?y cos( x + ?x) ? cos x = lim ?x → 0 ?x ?x (2) 因为 ?x ?x ?2sin( x + ) sin 2 2 = ? sin x = lim ?x → 0 ?x y ′ = ? sin x 所以 y ' = lim ?y [a ( x + ?x) + b] ? [ax + b] = lim ?x →0 ?x ?x → 0 ?x (3) 因为 a?x lim ?x →0 ?x = a = y′ = a 所以 y ' = lim(4) 因为y ' = lim?y x + ?x ? x = lim ?x →0 ?x ?x → 0 ?x ?x lim ? x → 0 ?x ( x + ?x + x) =1 x + ?x + x?x → 0= lim=1 2 x所以2 x. ' 2. 下列各题中假定 f ( x 0 ) 存在, 按照导数的定义观察下列极限, 指出 A 表示什么? f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) lim =A ?x (1) ?x→0 f ( x) lim =A ' (2) x →0 x (其中 f (0) = 0 且 f ( 0) )存在) lim(3)x →0y′ =1f (tx ) ? f (0) =A ' x (其中 f ( 0) 存在)1f ( x0 + h ) ? f ( x 0 ? h ) =A h (4) f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) lim ?x 解（1）因为 ?x→0 f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) ? lim ' ? ?x = ?x → 0 = ? f ( x0 ) limh →0故 A = ? f ( x0 ) .'(2) 因为limx →0f ( x) f ( x ) ? f ( 0) lim ' x = x →0 x?0 = f ( 0)' 故 A = f ( 0) .(3) 因为' 故 A = tf (0) .limx →0f (tx ) ? f (0) f (0 + tx ) ? f (0) t lim ' x →0 x tx = = tf ( 0)f ( x0 + h) ? f ( x0 ? h ) h(4) 因为h→0lim' ' ' = f ( x0 ) + f ( x0 ) = 2 f ( x0 )f ( x0 + h) ? f ( x0 ) f ( x0 ? h) ? f ( x0 ) ? ] h→0 h h f ( x0 + h ) ? f ( x0 ) f ( x0 ? h ) ? f ( x0 ) = lim + lim ] h→0 h →0 h ?h = lim[故 A = 2 f ( x0 ) .'? x2 , x & 1 dy y=? ? x , x ≥ 1 , 求 dx 3.已知 解 由已知易得' 当 x & 1 时, y = 2 x , ' 当 x & 1 时, y = 1又f +' (1) = lim +x →1f ( x ) ? f (1) x ?1 lim + x ?1 = x→1 x ? 1 =1 x2 ? 1 f ( x ) ? f (1) lim ? x ?1 = x→1 x ? 1 =2f ?' (1) = lim ?x →1f +' (1) ≠ f ?' (1)' 即 f (1) 不存在.故? 2 x, x & 1 f ' ( x) = ? ? 1, x & 1 .4. 如果 f (x)为偶函数，且 f ′(0) 存在，证明 f ′(0) = 0 . 证 由于 f(x)为偶函数，所以 f(-x) = f(x) 则f ′(0) = limx →0f ( x ) ? f (0) f ( ? x ) ? f (0) = ? lim ? x →0 x?0 ?x ? 0 f (t ) ? f (0) = ? f '(0) t = ? x ? lim t →0 t ?02故 f ′(0) = 0 . 5.讨论下列函数在 x = 0 处的连续性和可导性： 1 ? 2 ? x sin , x ≠ 0 y=? x ? 0, y = cos x x=0 ? (2) (1)? x2 , x ≥ 0 y=? ? ? x, x & 0 (3)解 (1) 因为f '(0) = limx →0f ( x) ? f (0) x?0= limx 2 sinx →01 x = lim x sin 1 = 0 x →0 x x1 ? 2 ? x sin , x ≠ 0 y=? x ? 0, x = 0 在 x = 0 处可导，从而也连续. ? 所以函数(2) 因为f '(0) = limx →0f ( x ) ? f (0) x?0 cos x ? cos 0 x?2sin 2 x x 2 =0= limx →0cos x ? 1 = lim = lim x →0 x →0 x所以函数y = cos x 在 x = 0 处可导，从而也连续.(3)因为x → 0+x → 0?lim f ( x ) = lim x 2 = 0 = f (0)x →0 +x → 0?lim f ( x ) = lim ( ? x ) = 0 = f (0)所以函数 f (x ) 在 x = 0 处连续.f +' (0) = lim又因为x → 0+f ( x) ? f (0) x2 ? 0 = lim =0 x?0 x →0 + x ? 0f ?' (0) = limf ( x) ? f (0) ?x ? 0 = lim = ?1 x?0 x →0? x →0? x ? 0 f +' (0) ≠ f ?' (0)' 故 f (0) 不存在, 即函数 f (x ) 在 x = 0 不可导.? x2 , x ≤1 f ( x) = ? ? ax + b, x & 1 ，为使函数 f (x) 在 x = 1 处连续且可导，a ,b 应取什么 6. 设函数值？ 解 由题意， 有? lim f ( x) = lim f ( x) = f (1) ? x →1? x →1+ ? f ?′(1) = f +′(1) ? ?首先可得 a+b = 1 即 b = 1－a3所以 a = 2 ,于是 b = －1. 故当 a = 2, b = －1 时，函数 f (x) 在 x = 1 处连续且可导. 7.求曲线 y = x 在点（-1，1）处的切线方程.2x2 ?1 =2 x →1 x ? 1 又因为 ax + b ? 1 ax + 1 ? a ? 1 f +′(1) = lim = lim =a x →1+ x →1+ x ?1 x ?1 f ?′(1) = lim ?解 因y ' = 2 x,2y'x =?1= ?2即故 曲线 y = x 在点（-1，1）处的切线方程为 y ? 1 = ?2( x + 1) y = ?2 x ? 1 . 8*.设曲线 f (x) = xn 在点 (1,n ′ 解 因为 f (1) = nx x =1lim f (an ) 1) 处的切线与 x 轴的交点为(an，0), 求 n →∞ .=nn 所以曲线 f ( x ) = x 在点（1, 1）处的切线方程为 y－1 = n ( x－1)1 1 (1 ? , 0) an = 1 ? n n ，即 切线与 x 轴的交点为1 f ( an ) = (1 ? ) n n 从而习题 3－2 －1 求下列函数的导数：3 2 （1） y = 4 x ? 2 x + 5 3 (3 ) y = 2 x sin x x （2） y = 2 ln x(4) y = 3 tan x ? 4 (6) (8)(5) y = ( 3 + 2 x )( 2 ? 3 x ) (7)y= y=ln x 1 + x ln x 1 + sin t 1 + cos ty='e 2 + 2 x x2x解 （1） y = 12 x ? 4 x .2x x . (2) ' 2 3 (3) y = 6 x sin x + 2 x cos x . ' 2 (4) y = 3 sec x . y ' = ln x (ln 2)( 2 x ) +' (5) y = 2( 2 ? 3x ) + (3 + 2 x )( ?3) = ? 5 ? 12 x .1 1 x ? ln x ? 1 ? ln x 1 y' = x 2 + 2x ? 2 x ln x = x x ln 2 x . (6)4(7)y' =(1 + cos t ) (8) 2. 求下列函数在给定点的导数：' x （1） y = xe , 求 y |x =0y t' =x 2 x 2 e x x 2 ? 2e x x 2 x e ? 2 xe ? 2 x ? 2 x4 x = x4 . cos t + sin t + 1 cos t (1 + cos t ) ? (1 + sin t )( ? sin t ) 22 = (1 + cos t ).（2）ρ = θ sin θ + cos θf ( x) =1 2' , 求 ρ |θ =03 x2 + ' ' 5 ? x 5 , 求 f ( 0) 和 f ( 2 ) . （3） ' 0 0 ' x x 所以 y |x =0 = e + 0e = 1 解 (1) 因为 y = e + xe ,1 1 2 2 (2) 因为 1 π π π 1 ' ρθ | π = sin + cos = θ= 2 2 2 2 2 2 所以 .' ρθ = sin θ + θ cos θ ? sin θ = sin θ + θ cos θ? 3(5 ? x ) 2 3 2 + x + x 2 (5 ? x ) 5 = x?5 5 (3) 因为 3 1 f ' ( 0) = ? f ' ( 2) = ? 5, 5. 所以f ' ( x) =2 n ?1 3. 求 1 + 2 x + 3 x + L + nx ( x ≠ 1) 的和. n n ?1 解 注意到 ( x )′ = nx ，有? 1 ? x n +1 ?′ 1 + 2 x + 3 x 2 + L + nx n ?1 = (1 + x + x 2 + L x n ) ′ = ? ? ? 1? x ? 1 ? ( n + 1) x n + nx n +1 = (x ≠ 1). (1 ? x ) 2 2 4. 求曲线 y = sin x + x 上横坐标为 x = 0 的点处的切线方程和法线方程. ' 解 当 x = 0 时， y = 0 , 且有 y = cos x + 2 x则y ' |x =0 = cos 0 + 0 =1习题 3－3 －1. 求下列函数的导数： （1） y =3 ? 2x2x2（2） y = e2 x3（3） y = arcsin(4) y = ln( x + (6）a2 + x2 ) 1 x?x （5） y = ln cos ey = arctan5y' =解 (1) (2) y = e' 2 x31 2 3 ? 2x2( ?4 x ) ?=32x 3 ? 2 x2 .(3)(4) (5)(6) 2. 求下列函数的导数： （1） y = e? x 2(6 x 2 ) = 6 x 2 e2 x . 1 1 1 y' = 1 ? x 2 x = 2 x (1 ? x ) . 1 2x 1 y′ = (1 + )= x + a2 + x2 2 a2 + x2 a2 + x2 . 2 2 2 2 1 y' = (? sin e ? x )e ? x (?2 x) = 2 xe? x tan e ? x 2 cos e ? x . 1 1 y' = (? 2 ) 1 1 x ? 1+ 2 2 x = 1+ x .cos 2 x（2） y = x ln[ln(ln x )]2 2 （4） y = x 2 ? ln xxn （3） y = sin x cos nxx? ? 1 y ' = e 2 ( ? ) cos 2 x + e 2 ( ? sin 2 x ) ? 2 2 解 （1）1 ? = ? e 2 ( cos 2 x + 4sin 2 x ) 2 .(2)xy ' = ln[ln(ln x )] + [ ln(ln x ) ? ln x ] . ' n ?1 n (3) y = n sin x cos x cos nx + sin x ( ? sin nx )n = n sin n?1 x ( cos x cos nx ? sin x sin nx )?1= n sin n x cos( n + 1) x .(4) y = 2 x 2 ? ln x' 2+ x2 ( ?) (?2 ln x ) 1 2 2 ? ln x x x ln x212 ? ln 2 x . dy f 可导，求下列函数的导数 dx ： 3. 设 x e 2 （1） y = f ( e + x ) （2） y = cos 2 x ? f (sin x )=2 n （3） y = [ f ( x + a )]2 x 2 ? ln 2 x（4） y = f [ f ( x + ln x )]（5） y = e1 f ( + arctan x ) xdy = f ' (e x + x e ) ( e x + ex e ?1 ) . 解 （1） dx dy = ?2 sin 2 x ? f ' (sin 2 x ) 2 sin x cos x . （2） dx6= ? 2 sin 2 x ? f (sin x ) sin 2 x' 2= ? sin 2 x ? 2 + f ′(sin 2 x ) ? ? ?.dy = n[ f ( x 2 + a )]n ?1 ? f ′( x 2 + a ) ? 2 x (3) dx = 2nx ? f ( x 2 + a ) ? ? ?n ?1? f ′( x 2 + a ).dy 1 = (1 + ) ? f ′ [ f ( x + ln x ) ] ? f ′( x + ln x) x (4) dx .f ( + arctan x ) dy 1 1 1 =e x f ' ( + arctan x ) ( ? 2 + ) x x 1 + x2 (5) dx 1=?1 ?1 ? f ( + arctan x ) f ′ ? + arctan x ? e x 2 2 x (1 + x ) ? x ? .1? ? ln(1 + x), x &0 ? ? f ( x) = ?0, x = 0 , 求f ′( x). ? sin 2 x ? , x&0 ? x ? 4设 1 f ′( x) = [ ln(1 + x)]′ = 1+ x 解 当 x & 0 时，? sin 2 x ?′ x sin 2 x ? sin 2 x f ′( x) = ? ? = x2 ? x ? 当 x & 0 时，当 x = 0 时，由f +′ (0) = lim+x →0f ( x) ? f (0) ln(1 + x) = lim+ x?0 x x →01? ? = lim+ ?ln(1 + x) x ? = ln e = 1 x →0 ? ? ? ?得 f ′(0) = 1 .sin 2 x 2 f ( x) ? f (0) x = lim ? sin x ? = 1 ′ (0) = lim f? = lim? ? ? x → 0? x?0 x→0 x x →0 ? ? x ?? 1 x&0 ?1 + x , ? ? f ′( x) = ?1, x=0 ? x sin 2 x ? sin 2 x ? , x&0 ? x2 ? 故 . 2 1 y = a f ( x ) 且 f ′( x) = f ( x) ln a ，证明 y ′ = 2 y . 5. 设证 由复合函数的求导法则，得y′ = a f2( x)? ln a ? 2 f ( x) f ′( x)7将f ′( x) =即1 f ( x) ln a 代入上式, 可得 2 2 1 y ′ = a f ( x ) ? ln a ? 2 f ( x) ? =2a f ( x ) = 2 y f ( x) ln a y′ = 2 y .dy t =0 6. 设函数 f 可导，且 y = f (a + t) －f (a－ t ), 求 dt . dy = f ′( a + t ) ? ( a + t ) ′ ? f ′( a ? t ) ? ( a ? t ) ′ 解 因为 dt = f ′( a + t ) + f ′( a ? t ) dy = f ′(a) + f ′(a) = 2 f ′(a ) dt t =0 故 .? x+t ? f (t ) = lim t ? ? x →∞ ? x ? t ? ，求 f ′(t ) . *7 设x? x ?1+ ? x+t? lim ? = lim ? ? x →∞ x ? t x →∞ ? ? ?1? ? ? 解 因为 ? lim ?1 + x →∞ ? = ? lim ?1 ? x →∞ ?xt ? x? ? t ? ? x?xxt? ? x? t? ? x?x=et = e 2t ?t e所以 故? x+t ? ? x+t ? 2t f (t ) = lim t ? ? = t ? lim ? ? = t ?e x →∞ x →∞ x ? t x ?t ? ? ? ?xf ′(t ) = (t ? e2t )′ = e2t (1 + 2t ) .习题1. 求下列函数的二阶导数：2x （1） y = xe3－4 －2 （2） y = ln(1 ? x ) 2 （4） y = sin (1 + 2 x )2 （6） y = (1 + x ) arctan x（3） y = arctan x2 （5） y = ln( x + 1 + x )解 (1) y ′ = e2x+ 2 xe 2 x = e 2 x (1 + 2 x)y ′′ = 2e 2 x ? (1 + 2 x) + 2 ? e 2 x = 4e 2 x (1 + x) .2 (2) 因为 y = ln(1 ? x ) = ln(1 ? x ) + ln(1 + x )所以1 1 ? y = 1+ x 1? x'8?1 1 2( x 2 + 1) ? =? (1 ? x 2 ) 2 . y '' = (1 + x) 2 (1 ? x)22x 1 ? '' 2 2 2 (3) y = 1 + x , y = (1 + x ) . y ′ = 2sin(1 + 2 x) cos(1 + 2 x) ? 2 = 2sin 2 (1 + 2 x) ) (4)'y ′′ = 2 cos 2 (1 + 2 x ) ? 4 = 8cos2 (1 + 2 x ) .1+ 2x1 2 1 + x2 = ' 2 1 + x2 (5) y = x + 1 + x 2x ? 2 x y ′′ = 2 1 + x = ? 3 2 2 ( 1+ x ) (1 + x2 ) 2' (6) y =.2 x arctan x +1+ x 1 + x 2 = 2 x arctan x + 12y =''y & = 2 arctan x +2x 1 + x2.d2 y '' 2 2. 已知 f ( x ) 存在，且 f ( x ) ≠ 0 ，求 dx . 2 （1） y = f ( x + a ) （2） y = ln[ f ( x )] dy = f ' ( x 2 + a ) ? 2 x = 2 xf ′( x 2 + a ) dx 解 (1) d2 y = 2 f ' ( x 2 + a ) + 2 xf ′′( x 2 + a ) ? 2 x dx 2 = 2 f ′( x 2 + a ) + 4 x 2 f ′′( x 2 + a ) . dy 1 = f ' ( x) f ( x) (2) dx d 2 y f '' ( x ) f ( x ) ? f ' ( x ) f ' ( x ) f '' ( x ) f ( x ) ? [ f ' ( x )]2 = = dx 2 f 2 ( x) f 2 ( x) .3. 设 f (x) 的 n 阶导数存在，求 解 因[ f (ax + b) ](n).[ f (ax + b)]′ =f ′( ax + b) ? a = af ′( ax + b)[ f (ax + b)]′′ = [ af ′(ax + b) ]′ = a 2 f ′′(ax + b)……………………………… 故[ f (ax + b)](n)= a n f ( n ) ( ax + b) .x '' ' 4. 验证函数 y = e sin x 满足关系式 y ? 2 y + 2 y = 0 .' x x 解 因 y = e sin x + e cos x9y '' = e x sin x + e x cos x + e x cos x ? e x sin x = 2 e x cos x故y '' ? 2 y ' + 2 y = 2 e x cos x ? 2( e x sin x + e x cos x ) + 2e x sin x = 0 . 5.求下列函数的 n 阶导数的一般表达式：(1) y = x ln x 解 (1) 因x (2) y = 3y ′ = ln x + 1,y ′′ =1 1 2 , y ′′′ = ? 2 , y (4) = 3 ,L x x x故y (n) =( ?1) n ? ( n ? 2)! (n ≥ 2) x n ?1 . y ′′ = 3x ? ln 2 3, Lx （2） y ′ = 3 ? ln 3,故 *6 设y ( n ) = 3x ? (ln 3) n . y= 4x2 ?1 x 2 ? 1 ，求 y (100).解y=4 x2 ? 1 3 3? 1 1 ? = 4+ 2 = 4+ ? ? ? 2 x ?1 x ?1 2 ? x ?1 x + 1 ?(100)而? 1 ? ? ? ? x ?1?100! ? 1 ? = , ? ? 101 ( x ? 1) ? x +1?(100)=100! ( x + 1)101故y (100) =3 ? 100! 100! ? ? ? ? 101 2 ? ( x ? 1) ( x + 1)101 ?3 × 100! ? ( x + 1)101 ? ( x ? 1)101 ? = ? ?. 2 ? ( x 2 ? 1)101 ?习题 3－5 －1. 求由下列方程确定的隐函数的导数 y ：x+ y （1） xy = e 2 （2） x + xy = arctan( xy ) y 3 3 （3） y ? xe = 1 （4） x + y ? a = 0 （ a 为常数） 解 （1）方程两边同时对 x 求导, 得 'y + xy ' = e x + y (1 + y ' ) e x+ y ? y y ' = x ? e x+ y . 解方程得 (2) 方程两边同时对 x 求导，得y + xy ' 2 x + y + xy ' = 1 + x 2 y 2 2 + xy 3 + 2 x 2 y 2 ′=? y x2 y 2 解方程得 . x 求导, 得 (3) 方程两边同时对y ' ? e y ? xe y y ' = 010ey y ' = 1 ? xe y . 解方程得 (4) 方程两边同时对 x 求导, 得 3x 2 + 3 y 2 y ' = 0解方程得 2. 求曲线y' =?x2 y2 .y 2 ? ln x + ( x ? e) cotπy2=0在点（e, 1）处的切线方程。 两边对 x 求导，得解 将方程y 2 ? ln x + ( x ? e) cotπy2=01 πy π πy + cot ? ( x ? e) ? ? csc 2 ? y′ = 0 x 2 2 2 1 y ′ ( e,1) = 2e 当 x = e，y = 1 时，可得 1 x 1 y ? 1 = ( x ? e) 即 y = + 2e 2e 2 . 故所求切线方程为 2 yy ′ ? du u = f [? ( x ) + y 2 ] ，其中 x , y 满足方程 y + e y = x 且 f ( x ), ? ( x ) 均可导，求 dx . *3 设解 由复合函数的求导法则，可得du dy ? ? = f ′[? ( x ) + y 2 ] ? ?? ′( x ) + 2 y ? dx dx ? ?y y（1）因 x , y 满足方程 y + e = x , 所以将方程 y + e = x 两边对 x 求导，得dy dy dy 1 + ey =1 即 = dx dx dx 1 + e y将(2)代入(1)，并整理得（2）du 2y ? ? = f ′(? ( x ) + y 2 ) ? ?? ′( x ) + dx 1+ ey ? . ? ?4. 用对数求导法求下列函数的导数： （1） y =x(1 ? x ) 3 (1 + x 2 )(2 ? 3x )ln xx x ) （2） y = 1 + x (（3） y = x 解 (1)取已知函数的绝对值的对数(1 ? x ) 3 | (1 + x 2 )(2 ? 3x ) ln | y |= ln 3 1 1 + ln | 1 ? x | ? ln | 1 + x 2 | ? ln | 2 ? 3 x | ln | y |= ln | x | 2 2 2 即 两端同时对 x 求导，得 |x y' 1 3 3 x ? = ? ? 2 y 2( 2 ? 3 x ) x 2(1 ? x ) 1 + x11故(1 ? x)3 1 3 x 3 y' = [ ? ? + ]x x 2(1 ? x) 1 + x 2 2(2 ? 3 x) (1 + x 2 )(2 ? 3 x) .（2）取已知函数的绝对值的对数ln | y |= x ln | x | ? x ln | 1 + x | 两端同时对 x 求导,得故y' x x = + ? y ln | x | x ? ln | 1 + x | 1 + x 1 x = + ln 1+ x 1+ x x x ?? x ? ? 1 + ln y′ = ? ?? ? 1+ x ??1+ x ? . ?1+ x（3）取已知函数的对数ln y = ln x ? ln x两端同时对 x 求导, 得故y' 1 = ln x + ln x 2 ln x y x x = x 2 ln x ln x y′ = ? x = 2 x ln x ?1 ? ln x x .5. 设 解 在等式两边取对数，得(2 y)x ?1?x? =? ? ?2?y ?1, 求 y′x =1.两边对 x 求导，得x ( x ? 1) ln(2 y ) = ( y ? 1) ln( ) 2ln 2 y +y′ x y ?1 ( x ? 1) = y′ ln + y 2 xx =1注意到当 x = 1 时，y = 1, 将其代入上式，可求得y′= ?1 .3 3 ?x '' 6. 设 x + y + e = 0 ，求 y (0) . 解 方程两端同时对 x 求导，得3x 2 + 3 y 2 y ' ? e ? x = 0解方程得(1)y' =e?x? 3x 3y22注意到当 x = 0 时， y = ?1 ，可得 由 （ 1 ） 式 变 形 有y ′(0) =1 3即3 y 2 y ′ = e? x ? 3x 2 ， 对 其 两 边 同 时 求 导 ， 得 6 y ( y ′) 2 + 3 y 2 ? y ′′ = ?e ? x ? 6 x e ? x + 6 x + 6 y ( y ′)2 y ′′ = ? 3y212故y ′′(0) = ?1 9.题 3－6 －1. 求下列函数的微分：2 2x （1） y = x e x 2 （2） y = e sin x（3） y = arctan （5） y = 1 + xeyx2 （4） y = ln 1 ? x（6） y = x + arccos y2' 2x 2 2x 2x 解 (1) dy = f ( x)dx = (2 xe + 2 x e )dx = 2 xe (1 + x)dx. ' x 2 x (2) dy = f ( x)dx = [e sin x + e (2 sin x) cos x]dx= e x (sin 2 x + sin 2 x)dx 1 1 1 ( )dx = dx. ? ' 2 x (1 + x) (3) dy = f ( x)dx = 1 + x 2 x . (?2 x) 1 [ ? ]dx ? x dx ' 2 2 dy = f ( x)dx = 1 ? x 2 1 ? x 2 (4) = x ?1 . (5) 方程两边同时微分,得ey 即 dy = dy dy = e y dx + xe y dy 1 ? xe y .(6) 方程两边同时微分,得 1 2 ydy = dx ? dy 1 ? y2即dy = 2y +21 1 1 ? y22dx1 ? y22 = 2y 1 ? y +1dx.2. 设 y = x ln x + cos x ，求 dy | x =1 . 解 因为 dy = f ( x)dx ='(2 x ln x 2 +2x 2 ? x ? sin x)dx x22 = (2 x ln x + 2 x ? sin x)dx所以dy |x =1 = (2 ? sin1)dx . xy 2 + arctan y =3. 设 解 方程两边同时微分, 得π 4 ，求 dy |x =0 .y 2 dx + 2 xydy +dy = ?即1 dy = 0 1 + y2y 2 dx 2 xy +(1 + y 2 ) y 2 1 ? dx 1 + y 2 = 2 xy (1 + y 2 ) + 1又因当 x = 0 时， y = 1 , 故 dy |x =0 = ?2dx .13综合习题三1.选择填空： (1) 设 f(x)可导且下列极限均存在，则 ( ① ② ③ ) 成立.④ (2) 下列函数在 x = -1 处可导的是 ( ①f ( x0 + 2?x) ? f ( x0 ) 1 = f ′( x0 ) ?x 2 f ( x ) ? f ( 0) lim = f ′(0) x →0 x f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) lim = f ′( x0 ) ?x →0 ?x f (a + 2h) ? f (a ) lim = f ′( a ) h →0 h?x →0lim). ②y=1? x 1+ xy=1+ x 1? x③ y=O1+xO④ y = x +1?1 ? x f ( x) = ? ? x ?e (3) 已知函数 ① 导数 f ′(0) = ?1③ 导数 f ′(0) =1 1 y = ln , u ( x) （4）已知 ①x≤0 x & 0 ，则 f(x)在 x = 0 处 (② 间断 ④ 连续但不可导).则 y′= ().?u ′( x) u ( x)③ u(x)1 ② u ′( x ) ④ u ′( x ) lim）.xf (a ) ? af ( x) = x?a （5）设函数 f(x)在点 x=a 处可导，则 x→ a （ ① af ′( a ) ② f ( a ) ? af ′( a ) ；③ ? af ′( a ) (6) 设 y = ln( x + ④ ? f ( a ) + af ′( a )x 2 + 1) ，则 y′= ().1① x+12x +1 2x2②x2 +1 x2③ x + x +1 ④ x +1 (7) 设 y = ln f (sinx)，其中 f 为可微函数，则().y=① ③cos x dx f (sin x) f ′(sin x) dx f (sin x)dy =②cos x df (sin x) f (sin x) f ′(sin x) d sin x f (sin x)dy =dy =④14dy = y = cos x 2 , 则 dx 2 （ （8）设 2 ① 2 x sin x2 ③ ?2 x sin x）. ② ? sin x ④ sin x2 22 (9) 曲线 y = x ? 2 x 上切线平行于 x 轴的点是 ( ① (0, 0) ② (1, -1) ③ (C1, -1) ④ (1, 1)).? 1, ? f ( x) = ? 0, ??1, ? (10) 设函数① （-∞，+∞） ③ （-∞，0） (1) ②; (2) ②; 解 (6) ②; (7) ④; 2. 已知 解 由导数定义，有? x →0x&0 x=0 x & 0 ，则其导函数 f ′( x ) 的定义域是（② ( ?∞, 0) U (0, +∞ ) ④ （0，+∞） (3) ①; (4) ①; (5) ②; (8) ②; (9) ②; (10) ②. ）.f ′( x0 ) = ?1, 求 limx →0x . f ( x0 ? 2 x) ? f ( x0 ? x)则f ( x0 ? x) ? f ( x0 ) f ( x0 ? 2 x) ? f ( x0 ) = lim = f ' ( x0 ) ?2 x →0 ?x ?2 x x lim x →0 f ( x ? 2 x ) ? f ( x ? x ) 0 0 lim1 f ( x0 ? 2 x) ? f ( x0 ) f ( x0 ? x) ? f ( x0 ) ?2lim[ ] + lim x→0 ? x →0 ?2 x ?x 1 1 = = =1 ' ' ' = ?2 f ( x0 ) + f ( x0 ) ? f ( x0 ) . =3 2 3.设曲线 f ( x ) = x + ax 与 g ( x ) = bx + c 都经过点 (?1, 0) ，且在 (?1, 0) 有公共切线，求常数 a 、 b 、 c . 解 由 f (x ) 与 g ( x ) 均过 (?1, 0) 点，得( ?1) 3 ? a = 0 b( ?1) + c = 02 ' 2即 1+ a = 0 即 b+c =0'（1） （2）又由 f ( x ) = 3 x + a , g ( x ) = 2bx , 且 f (x ) 与 g ( x ) 在点 (?1,0) 有 公共切线，得f ' ( x ) | x = ?1 = g ' ( x ) | x = ?1即 亦即3( ?1) 2 + a = 2b( ?1) 3 + a + 2b = 0（3）故联立求解（1）（2）（3）得 a = ?1, b = ?1, c = 1 . ， ，d2 y x a x a 2 ，求 dx 4. 设 y = a + x + x + a （ a 为常数）15x 解 设 y1 = a,y2 = x ax , y3 = xa , y4 = a则y1′ = a x ln a ， y1′′ = a x ln 2 a' y 2 = ax a ?1 ，y2′′ = a ( a ? 1) x a ? 2y3′ = (e x ln x ) ′ = e x ln x (ln x + 1) 1 y3′′ = e x ln x (ln x + 1) 2 + ? e x ln x = x x (ln x + 1) 2 + x x ?1 x y4′ = 0 y '' = 0，4故d y ' ' = y ' ' = y1' ' + y2'' + y3' + y4' 2 dx= a x ln 2 a + a (a ? 1) x a ? 2 + x x (ln x + 1) 2 + x x ?15 设2y=1? x (n ) 1 + x ，求 y .y=1? x 2 = ?1 + 1+ x 1+ x , 得 解 由 2 y' = ? = ?2(1 + x)?2 2 (1 + x)y '' = 2 ? 2(1 + x)?3 y ' '' = ?2 ? 2 ? 3(1 + x)?4 ………………… y ( n ) = 2(?1) n n!(1 + x)? ( n +1) .6. 设 y = f ( 2 x + 1) ，且f ' ( x) =dy sin x |x =0 x ，求 dx .dy sin(2 x + 1) = f ' (2 x + 1) ? 2 = 2 2x + 1 解 因 dx dy sin(2 x + 1) |x =0 = 2 |x =0 = 2sin1 dx 2x + 1 故 .+ y = cos x 确定为的函数，求 dy . 8. 设方程 e 解 方程两边同时对 x 求导, 得2x+ ye x + y (1 + y ' ) + 2 yy ' = ? sin xy' =即 故? sin x ? e x + y e x+ y + 2 y ? sin x ? e x + y dx e x+ y + 2 y .dy = y ′dx =f ( x) 9. 设 y = f (ln x )e ，其中 f 为可微函数，求 dy .解dy = f ' (ln x )e f ( x ) d(ln x ) + e f ( x ) f (ln x )df ( x )=1 ' f (ln x )e f ( x ) dx + f ( x ) e f (ln x ) f ' ( x )dx x16= e f (x) [1 ' f (ln x ) + f (ln x) f ' ( x)]dx . x1 ? n ? x sin , x ≠ 0 x ? ? 0, x = 0 （ n 为整数） 10.设 f (x ) = ? ，问 n 取何值时：（1） f (x ) 在 x = 0 处连续； （2） f (x ) 在 x = 0 处可导，并求 f ( x ) ；'（3） f ( x ) 在 x = 0 处连续. 解 (1) 当 n 取 1，2，3，… 时，'1 lim f ( x) = lim( x n sin ) = 0 = f (0) x →0 x →0 x 因 （注意无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量）故 f (x ) 在 x = 0 处连续. (2) 当 n 取 2，3，4，… 时，1 f ( x ) ? f ( 0) x lim x n ?1 sin 1 lim lim x →0 x →0 x?0 x x =0 = = x →0 因 即当 n =2，3，4，… 时， f (x ) 在 x = 0 处可导，且 f ( x ) ? f ( 0) lim f ' ( 0) = x → 0 x?0 =0 x n sin1 1 ? n ?1 n?2 ?nx sin ? x cos , x x ? ' ? 0, f ( x) = ? 则 (3)当 n 取 2，3，4，… 时，因'n ?1 lim f ' ( x ) lim[nx sin x →0x≠0 x=0x→0=1 1 ? x n ?2 cos x x ]=0故 f ( x ) 在 x = 0 处连续.17
赞助商链接
应用经济数学习题集及答案_理学_高等教育_教育专区。目第 1 章 函数、极限与连续...5000 e ?0.1t 14 第 2 章 导数与微分及其应用 实训 2-1 导数的概念 ...高等数学(经济数学1)_习题集(含答案)_理学_高等...cos 3 (2x 2 ? 3x 3 ? 1) 的导数。 168. ...y ) 那么 dt dt 两式相除得微分方程 (2 分) ...高等数学(经济数学1)_习题集(含答案)_理学_高等教育...cos 3 (2 x 2 ? 3x 3 ? 1) 的导数。 168...a, ? ky(h ? y ) dt dt 两式相除得微分方程...经济数学-《微积分》习题库 第3章 导数、微分、边际与弹性 第三章 练习题(A)一.单项选择题 1.设 f ( x) 是可导函数,且 lim h ?0 (A) 1 答 D (...经济数学基础(上) 数学笔记整理 第二章 导数与微分(P49) 目录一、 二、 三...,图像如下, 此时, 四、 导数的基本公式与练习题(P65~66,2.2.6 的 1.,...微积分的结构基本是线性的,从函数、 极限、导数、微分、不定积分、定积分是一...二 数学思维 在经济数学的学习中,大量的例题和习题的演算培养和增强着我们的...经济数学上 【0177】 大作业一、填空题 选做两题每小题 10 分,共 20 分。...我们学习的顺序是: 导数―微分―不定积分―定积分,而实际问题刚好相反:从千年...2.1 经济类高等数学 导数... 26页 5财富值 经济数学(导数与微分习题及......dx 2 x 答案: x 2 se cx x d( ) ? dx 1? x 2 arcsinx 或 ? ...3.计算下列函数的导数或微分: 本题考核的知识点主要是求导数或(全)微分的方法...《经济数学基础》形成性考核册(三) (一)填空题 1.设矩阵,则的元素.答案:3...经济数学基础形成性考核册及参考答案作业(一)(一)填空题 1. lim x →0 x ...3.计算下列函数的导数或微分: (1) y = x 2 + 2 x + log 2 x ? 2...
All rights reserved Powered by
www.tceic.com
copyright &copyright 。文档资料库内容来自网络，如有侵犯请联系客服。}