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第3章 无约束最优化方法 3-1 最速下降法 3-2 牛顿法
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《线性代数》(同济第四版)课后习题答案(完整版) (2)
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行列式的计算方法(课堂讲解版)
计算 n 阶行列式的若干方法n 阶行列式的计算方法很多， 除非零元素较少时可利用定义计算 （①按照某一列或某一行展开 ②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选 用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法， 并举例说明。1．利用行列式定义直接计算0 ? 0 1 0 ? 2 0 0 ? ? ? 0 ?例计算行列式 Dn ?n ?1 ? 0 0 0 0 ? 0 0 n解 Dn 中不为零的项用一般形式表示为a1n? 1a 2 ? ? an? 1an n ! .n n 2 1?(n ? 1)(n ? 2) ， 2该项列标排列的逆序数 t（n－1 n－2?1n）等于故 Dn? (?1)( n ?1)( n ?2) 2n!.? aij 的元素满足 aij ? ?a ji , i, j ? 1, 2,?, n, 则称 Dn 为反对称2．利用行列式的性质计算例： 一个 n 阶行列式 Dn 行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零.证明：由 aij ? ?a ji 知 aii ? ?aii ，即 aii ? 0, i ? 1, 2,?, n0 ?a12 a12 0 ?a23 ? ?a2 n a13 a23 0 ? ? a1n ? a2 n ? a3n ， 由 行 列 式 的 性 质 A ? A? ， ? ? 0故 行 列 式 Dn 可 表 示 为 Dn ? ?a13 ? ?a1n?a3n ?0 a12 Dn ? a13 ? a1n?a12 0 a23 ? a2 n?a13 ? ?a1n ?a23 ? ?a2 n 0 ? a3nn0 ?a12a12 0 ?a23 ? ?a2 na13 a23 0 ?? a1n ? a2 n ? a3n ? ? 0? ?a3n ? (?1) ?a13 ? ? ? ? 0 ?a1n? (?1)n Dn?a3n ?当 n 为奇数时，得 Dn =－Dn，因而得 Dn = 0.13．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形， 其结果为行列式主对角线上元素的乘积。 因此化 三角形是行列式计算中的一个重要方法。 化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计 算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角 形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。 原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。但对于阶数高的行列式，在一 般情况下， 计算往往较繁。 因此， 在许多情况下， 总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形， 再将其化为三角形行列式。1?12?31?3 3 ?7 9 ?5 0 4 ?2 1 ． 例 1 计算行列式 D ? 2 3 ?5 7 ?14 6 4 ?4 10 ?10 2解 这是一个阶数不高的数值行列式，通常将它化为上（下）三角行列式来计算．? 2 ? ? 3 ?1 ? ? 3 ? ? 2 ?1 ? 1 ? 4 ? ? 3 ?1 ? 0 ? 5 ? ? 4 ?1 ??1 2 ?3 1 0 ?1 0 ?2 2 00 ?0 0 0D0 00 1 21 ?1 3 0 0 04 ?5 22 0 ?1 0 0?1 3 ?2?3 4 0? 2 ? ? ? 3?1 ?1 0 2 ?0 0 0 0 0 ?22 0 ?1 1 2?3 1 4 ?1 0 ?5 22 0 ?1 0 0?2 3 ?2?3 4 0? 4? ? ? 2?1 -1 2 0 2 0 ?0 0 0 0 0 0 1 2-3 1 4 -1 -2 2 -2 -1 2-1 00 ?2? 4 ? ? ? 3? ? 5 ? ? 2 ? 3?11 ?1 2 0 0 01 ?1 ?2 ? ?1 ? 2 ? ?1?? ?1?? ?6 ? ? 12 .?1 0 ?5? ? 2 ? 4? ?0 ?2 0 0?1 0 2 ?6?1 0 0 ?61 ? a1 a1例2 计算 n 阶行列式 D ? a1 ?a2 1 ? a2 a2 ? a2a3 a3 ? a3? ? ?an an an ?．1 ? a3 ?a1? 1 ? an解 这个行列式每一列的元素，除了主对角线上的外，都是相同的，且各列的结构相似，因 此 n 列之和全同．将第 2，3，?，n 列都加到第一列上，就可以提出公因子且使第一列的元素全是 1．21 ? ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 1 ? a2 a3 ? D 1 ? ? a1 ? a2 ? ? ? an ? a2 1 ? a3 ? i ? 2, ? , n ? ? ? ?1 ? ? a1 ? a2 ? ? ? an ?a2a3?an an an ?1a2a3?an an an ??1? ? ? i ?1 1 ? a2 a3 ? n ? ? ? ?1 ? ? ai ? 1 a2 1 ? a3 ? i ?1 ? ? ? ? ? ? 1 a2 a31 ? ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 1 0 a2 1a2a3? 1 ? an? 1 ? ann n n ? ? ? ? 1 ? ? ai ? 0 0 1 ? 0 ? ?1 ? ? ai ?? ? 1 ? ? ai . 1 ? i ? 2, ? , n ? i ?1 i ?1 i ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? 0 0 0 ? 1? i ? ? ?1 ?a3 ? an 0 ? 0abb?bb a b ? b 例 3 计算 n 阶行列式 D ? b b a ? b ? ? ? ? ? b b b ? a解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第 2，3，?，n 列都加到第 1 列上，行列式不变，得a ? (n ? 1)b a ? (n ? 1)b D ? a ? (n ? 1)bb a bb b a? ? ?b1bb?b1 a b ? b b b ? [ a ? ( n ? 1)b] 1 b a ? b ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 b b ? a a ? (n ? 1)b b b ? a1 b b ? b 0 0 a ?b 0 ? 0 a ?b ? ? 0 ? 00 ? [a ? (n ? 1)b] 0 ? 0? [a ? (n ? 1)b](a ? b)n?1? ? ? a ?b例 4：浙江大学 2004 年攻读硕士研究生入学考试试题第一大题第 2 小题（重庆大学 2004 年攻 读硕士研究生入学考试试题第三大题第 1 小题）的解答中需要计算如下行列式的值：1 2 3 ? n ?1 2 3 4 ? Dn ? 3 4 5 ? n 1n 1 2? ? ? ? ? n 1 2 ? n ? 2 n ?1[分析]显然若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以我们要充分利用行列式的性质。注意到3从第 1 列开始；每一列与它一列中有 n-1 个数是差 1 的，根据行列式的性质，先从第 n-1 列开始乘 以－1 加到第 n 列，第 n-2 列乘以－1 加到第 n-1 列，一直到第一列乘以－1 加到第 2 列。然后把 第 1 行乘以－1 加到各行去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多了。 解：1 2 Dn ? 3 ?1 1 1 ?1 ? 1 ? ? 1?? ? n1 1 ? 1 0 0 0 ? 0 ? ?n ? ? ?1 1? n 1 ? 1 0 0 ? 0 0 0 ?n 0 ? 0 0 ?(i ? 2, ? , n ) ri ? r11 1 2 ?1 0 0 ?1 ? 0 ? ?1 0 ? 0 0 ? 0 01 ?n 0 ? 0 ?n 0 ? 0 01 ? 1? n0 ? ?nn 1? n 1 ? 1 1 n 2 ? n?2 n ?1n ? 1 ?n 0 ? 0 1 n(n ? 1) ? ? n 2 0 ?n 0 0 0 ? ?n ? 0 ? ?(i ? 2, ? , n) r1 ? 1 n ri? ?n? ?n( n ?1)( n ? 2) 1 n(n ? 1) n ?1 ? ? ? (? n) ? (?1) 2 n 2 n ( n ?1) (n ? 1) n ?1 ? ? n ? ? ?1? 2 24．降阶法（按行（列）展开法）降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理， 这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是根据行列式的特点，先利用列式的性质化简，使 行列式中有较多的零出现，然后再展开。1 2 3 ? 18 19 20 2 1 2 ? 17 18 19 例 1、计算 20 阶行列式 D20 ? 3 2 1 ? 16 17 18 ? ? ? ? ? ? 20 19 18 ? 3 2 1[分析]这个行列式中没有一个零元素，若直接应用按行（列）展开法逐次降阶直至化许许多多个 2 阶行列式计算，需进行 20！*20－1 次加减法和乘法运算，这人根本是无法完成的，更何况是 n 阶。 但若利用行列式的性质将其化为有很多零元素，则很快就可算出结果。 注意到此行列式的相邻两列（行）的对应元素仅差 1，因此，可按下述方法计算： 解：41 D20 2 ? 32 1 23 2 1? 18 19 ? 17 18 ? 16 17 ? 3 1 2 2 ? 0 0 ? 2 1 2 2 ? 0 020 19 ci ?1 ? ci 18 ? 1 11 2 3 ? 19 201 ?1 ?1 1 ?? ?1 1 1 ?1 1 1 ?1 1 1 ??1 ?1 ? ?1 ?1 ? ?1 ?1 ?? ? ? 20 19 18 ? 1(i ? 2, ? , 20)( i ? 1, ? 19)?1 ?1 1 ?1 ?1 ?11 0 0 ? 0 01 ? 2 ? 0 ? ? 0 ? 0 ?ri ? r13 4 ? 20 212 2 ? 21? (?1) 20 ?1 ? 218 ? ?21? 218 ? 2 0a 0 0 ? 0 1 0 a 0 ? 0 0例 2 计算 n 阶行列式 Dn ?0 0 a ? 0 0 ? ? ? ? ? 0 0 0 ? a 0 1 0 0 ? 0 aa 0 0 ? 00 a 0 ? 0解 将 Dn 按第 1 行展开0 a 0 ? 0 0 0 a ? 0 Dn ? a 0 0 a ? 0 ? (?1) n ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? 0 0 0 ? a 0 0 0 ? a 1 0 0 ? 0? an ? (?1)n?1 (?1)n an?2 ? a n ? a n?2 .a 0 D? 0 0 a 0 0 0 a ? ? ? 0 0 0 1 0 0例3 计算 n（n≥2）阶行列式? ? ? ? ? ? 1 0 0 ? 0 a．50 0 a ? 0 0 a ? 0 0 1? n 解 按第一行展开，得 D ? a ? ? ? ? ? ? ? ?1? ? ? ? ? ? ． 0 0 0 ? a 0 0 ? 0 a 1 0 0 ? 0再将上式等号右边的第二个行列式按第一列展开，则可得到a0?000a0?0D ? a n ? ? ?1?1? n? ?1??n ?1? ?1a n ?2 ? a n ? a n ?2 ? a n ?2 ? a 2 ? 1? ．5．递（逆）推公式法递推法是根据行列式的构造特点，建立起 的值。 有时也可以找到 与 ， 与 的递推关系式，逐步推下去，从而求出 ， 得到 的值。的递推关系，最后利用［注意］用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话，即很难找出递推 关系式，从而不能使用此方法。???1?? ???1 ? 0 00?0 0 0 ? 10 0 0 ?例 1 计算行列式 Dn ?0 ? 0 0?? ? ??? ?? 0 0 ?.? ????? ???解：将行列式按第 n 列展开,有 Dn ? (? ? ? ) Dn?1 ? ??Dn?2 ,Dn ? ? Dn?1 ? ? ( Dn?1 ? ? Dn?2 ), Dn ? ? Dn?1 ? ? (Dn?1 ? ? Dn?2 ),得Dn ? ?Dn?1 ? ? 2 (Dn?2 ? ?Dn?3 ) ? ? ? ? n?2 (D2 ? ?D1 ) ? ? n 。同理得Dn ? ?Dn?1 ? ? n ,?( n ? 1)? n , ? ? ?; ? n ?1 Dn ? ?? ? ? n ?1 , ? ? ?. ? ? ?? ?x x a ? y ? ? ? ? ? x x x ? aa y例2 计算 Dn ? yx a y ? y? y解6a? y 0 Dn ? 0 ? 0x a y ? y 1 1x ? x ? a ? ?? y ?x x x ? a 0 a?x y?x ? y?xy y ? y yx a y y 0 0 a?x ? y?xx x a y? ? ? ? ? ? ? ? ?x x x a 0 0 0 ? a?x? ? ?? ?? (a ? y ) Dn ?1 ? y 1 ? 1 ? (a ? y ) Dn ?1 ? y (a ? x) n ?1同理 Dn ? (a ? x) Dn?1 ? x(a ? y)n?1n x(a ? y） ? y(a ? x) n , ( x ? y) 联立解得 Dn ? x? y当 x ? y 时,? ???? ? (a ? x) n ? 2 D2 ? (n ? 2) x(a ? x) n ?1 ? (a ? x) n ?1 ? a ? (n ? 1) x ??1 x 0 ? 0Dn ? (a ? x) Dn ?1 ? x(a ? x) n ?1 ? (a ? x) 2 Dn ?2 ? 2 x(a ? x) n ?1x 00 ?1 x ? 0? ? ?0 0 00 0 0 ? ?1 a1 ? x例3计算 n 阶行列式 D ? 0 n．? 0 an? ? ? xan ?1 an ? 2 ? a2解首先建立递推关系式．按第一列展开，得：x 0 Dn ? x 0 ? 0?1 x 0 ? 00 ? 0 ?1 ? 0 x ? 00 0 0n ?1?1 0 x0 ? 00 0n ?1 n ?1?1 0 ? 0an?1 an?2? ? ?1? an 0 x ?1 ? 0 0 ? xDn?1 ? ? ?1? ? an ? ? ?1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ? x ?1 0 0 0 ? x ?1 an?3 ? a2 a1 ? x? xDn?1 ? an ，这里 Dn?1 与 Dn 有相同的结构，但阶数是 n ? 1 的行列式． 现在，利用递推关系式计算结果．对此，只需反复进行代换，得：Dn ? x ? xDn?2 ? an?1 ? ? an ? x2 Dn?2 ? an?1 x ? an ? x2 ? xDn?3 ? an?2 ? ? an?1 x ? an ? ?? ? xn?1D1 ? a2 xn?2 ? ?? an?2 x2 ? an?1x ? an ，因 D1 ? x ? a1 ? x ? a1 ，故 Dn ? xn ? a1xn?1 ? ?? an?1x ? an ．7最后，用数学归纳法证明这样得到的结果是正确的． 当 n ? 1 时，显然成立．设对 n ? 1 阶的情形结果正确，往证对 n 阶的情形也正确．由Dn ? xDn ?1 ? an ? x ? x n ?1 ? a1 x n ? 2 ? ? ? an ?2 x ? an ?1 ? ? an ? x n ? a1 x n ?1 ? ? ? an ?1 x ? an ， 、可知，对 n 阶的行列式结果也成立．根据归纳法原理，对任意的正整数 n，结论成立．21 2 ? 0 00 1 ? 0 0? ? ? ? ?0 0 ? 1 00 0 ? 2 10 0 ． ? ? n ?1 1 2例41 证明 n 阶行列式 Dn ? ? 0 02 11 2 0 00 1 0 0? ? ? ?0 0 1 00 0 2 10 0 1 21 1 0 00 2 0 00 1 0 0? ? ? ?0 0 1 00 0 2 10 0 1 2证明按第一列展开，得 Dn ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ．0 0其中，等号右边的第一个行列式是与 Dn 有相同结构但阶数为 n ? 1 的行列式，记作 Dn?1 ；第二 个行列式， 若将它按第一列展开就得到一个也与 Dn 有相同结构但阶数为 n ? 2 的行列式， 记作 Dn?2 ． 这样，就有递推关系式： Dn ? 2Dn?1 ? Dn?2 ． 因为已将原行列式的结果给出，我们可根据得到的递推关系式来证明这个结果是正确的． 当 n ? 1 时， D1 ? 2 ，结论正确．当 n ? 2 时， D2 ?2 1 ? 3 ，结论正确． 1 2设对 k ≤ n ? 1 的情形结论正确，往证 k ? n 时结论也正确． 由 Dn ? 2Dn?1 ? Dn?2 ? 2n ? ? n ?1? ? n ?1 可知，对 n 阶行列式结果也成立．根据归纳法原理，对任意的正整数 n，结论成立．例 5、2003 年福州大学研究生入学考试试题第二大题第 10 小题要证如下行列式等式： ? ? ? ?? 0 ? 0 0 1 ? ? ? ?? ? 0 0 Dn ? 0 1 ? ?? ? 0 0 ? ? ? ? ? 0 0 0 ? 1 ? ??证明　：Dn ?? n?1 ? ? n?1 , 其中? ? ? ? ??（虽然这是一道证明题，但我们可以直接求出其值，从而证之。 ） ［分析］此行列式的特点是：除主对角线及其上下两条对角线的元素外，其余的元素都为零， 这种行列式称“三对角”行列式[1]。从行列式的左上方往右下方看，即知 Dn-1 与 Dn 具有相同的结构。 因此可考虑利用递推关系式计算。 证明：Dn 按第 1 列展开，再将展开后的第二项中 n-1 阶行列式按第一行展开有：8Dn ? ?＋?）Dn－1－?? Dn－2 （这是由 Dn-1 和 Dn-2 表示 Dn 的递推关系式。若由上面的递推关系式从 n 阶逐阶往低阶递推，计算 较繁，注意到上面的递推关系式是由 n-1 阶和 n-2 阶行列式表示 n 阶行列式，因此，可考虑将其变 形为：Dn－? Dn－1＝? Dn－1－?? Dn－2＝（Dn－1－? Dn－2） ?或Dn－? Dn－1＝? Dn－1－?? Dn－2＝（Dn－1－? Dn－2） ?2 3 Dn－? Dn－1＝（Dn－1－? Dn－2）＝?（Dn－2－? Dn－3）＝?（Dn－3－? Dn－4） ? 2 ＝?＝? n?（D2－? D1）=? n－2 [(? ? ? )2 ? ?? ? ? (? ? ? )] ? ? n ??(1)现可反复用低阶代替高阶，有：同样有：2 3 Dn－? Dn－1＝? Dn－1－? Dn－2）＝?（Dn－2－? Dn－3）＝?（Dn－3－? Dn－4） （ 2 ＝?＝? n?（D2－? D1）=? n－2 [(? ? ? )2 ? ?? ? ? (? ? ? )] ? ? n ??(2)因此当 ? ? ? 时 由（1） （2）式可解得： Dn ?? n?1 ? ? n?1 ，证毕。 ? ??6．利用范德蒙行列式根据行列式的特点，适当变形（利用行列式的性质――如：提取公因式；互换两行（列） ；一 行乘以适当的数加到另一行（列）去； ...) 把所求行列式化成已知的或简单的形式。其中范德蒙 行列式就是一种。这种变形法是计算行列式最常用的方法。1 x1 ? 11 x2 ? 1 x ? x22 2? ? ? ? x1 xn ? 12 xn ? xn例 1 计算行列式 D ?xx ? x12 1?n ?1 1?n?2 1?n?2 2 n ?1 n n ? xn ?2?xxn ?1 2?x解 把第 1 行的－1 倍加到第 2 行，把新的第 2 行的－1 倍加到第 3 行，以此类推直到把新的 第 n－1 行的－1 倍加到第 n 行，便得范德蒙行列式1 x1 D ? x12 ? xn ?1 11 x22 x2? ? ?1 xn2 xn ?? xn ?1 2? ? xn ?1 nn ?i ? j ?1?( xi ? x j )9a1nn a2 例 2 计算 n ? 1 阶行列式 D ? ?a1n ?1b1n a2 ?1b2 ?a1n ? 2b12n a2 ?2b22 ?? ? ?a1b1n ?1 a2b2n ?1 ?b1n b2n 其中 a1a2 ?an?1 ? 0 ． ? ．n n ?1 n? ? an ?1 an ?1bn ?1 an ?12bn2?1 ? an ?1bnn?11 bnn?1解这个行列式的每一行元素的形状都是 ain ?kbik ， k ? 0，1，2，?，n．即 ai 按降幂排列， bi按升幂排列，且次数之和都是 n，又因 ai ? 0 ，若在第 i 行（ i ? 1，2，?，n）提出公因子 ain ，则 D 可化为一个转置的范德蒙行列式，即1 b1 a1 b2 a2 ? bn ?1 an ?1 ? b1 ? ? ? ? a1 ?2 n?2? b1 ? ? ? ? a1 ?n n D ? a1n a2 ? an ?11 ? 1? b2 ? ? ? ? a2 ? ?? ?2? b2 ? ? ? ? a2 ? ?n? ? aini ?1 nn ?1? bi b j ? ? ? ? ? ? ? bi a j ? ai b j ? . ? a j ? 1≤j ?i≤n ?1 1≤j ?i≤n ?1 ? ai ??? bn ?1 ? ? ? ? an ?1 ??b ? ? ? n ?1 ? ? an ?1 ?x例 3 计算行列式 D ? x2y y2 xzz z2 . xyyz解：( 3) ? ( y ? z )(1)D?x x2y y2z z2xy ? xz ? yz y 2 ? yz ? xz yz ? z 2 ? xy( 3) ? x (1)x y z ? x2 y2 z2 x 2 ? xy ? yz ? xz y 2 ? xy ? yz ? xz z 2 ? xy ? yz ? xz? ( xy ? yz ? xz)( y ? x)(z ? x)(z ? y )1 x12 例 4 计算行列式 Dn ? x11 x22 x2? ? ? ? ?1 xn2 xn?n x1 ? 2 n x1?n x2?n xn ?2 n xnn x2 ?2 ?解作如下行列式,使之配成范德蒙行列式101 x12 x112 x2? ?1 xn2 xn1 y y2 ? y n?2 y n ?1 ynx2 ? ? ?n x2 ?2 ? n x 2 ?1 ? n x2P( y ) ? ?n x1 ? 2 n x1 ?1 n x1?n xn ?2 n x n ?1 n xn=?( y ? x ) ?(xi i ?1 1? j ?i ? nni? xj )?易 知 Dn 等 于 P ( y ) 中 y n?1的 系 数 的 相 反 数 , 而 P ( y ) 中 y n?1的 系 数 为? ? xkk ?1n1? j ?i ? n?(xi? xj ),因此, Dn ?k ??1? x ?(xk 1? j ?i ?nni? xj )例 5、 计算 n 阶行列式(a ? n ? 1) n ?1 (a ? n ? 1) n ? 2 Dn ? ? a ? n ?1 1 (a ? n ? 2) n ?1 ? (a ? 1) n ?1 (a ? n ? 2) n ? 2 ? (a ? 1) n ? 2 ? a?n?2 1 ? ? ? a ?1 1 a n ?1 a n?2 ? a 1解：显然该题与范德蒙行列式很相似，但还是有所不同，所以先利用行列式的性质把它化为范 德蒙行列式的类型。 先将的第 n 行依次与第 n-1 行，n-2 行，?,2 行，1 行对换，再将得到到的新的行列式的第 n 行与第 n-1 行，n-2 行，?,2 行对换，继续仿此作法，直到最后将第 n 行与第 n-1 行对换，这样， 共经过（n-1）+（n-2）+?+2+1=n（n-1）/2 次行对换后，得到 1 1 ? 1 1 a ? n ?1 a?n?2 ? a ?1 a n ( n ?1) 2 Dn ? (?1) ? ? ? ? n?2 n?2 n?2 n?2 (a ? n ? 1) (a ? n ? 2) ? (a ? 1) a n ?1 n ?1 n ?1 (a ? n ? 1) (a ? n ? 2) ? (a ? 1) a n ?1 上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的结果得：n ( n? 1 ) 2 n n? ( 2 1)Dn ? (?1)1? j ?i ?n? [(a ? n ? i) ? (a ? n ? j)] ? (?1)1? j ?i ?n?(i ? j)7．加边法（升阶法）加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。 它要求：1 保持原行列式的值不变； 2 新行列式的值容易计算。根据需要和原行列式的特点选取 所加的行和列。加边法适用于某一行（列）有一个相同的字母外，也可用于其第 列（行）的元素 分别为 n-1 个元素的倍数的情况。11x ? a1 a1a2 a2 ? a2? ? ?1an an an ?a1 x 0 a2 0 x ? 0 ? ? ? ? ? an 0 0 ? xx ? a2 ?例 1 计算 n 阶行列式 Dn ?a1 ? a1? x ? an1 a1 0 解： Dn ? ? 01? ?j ?1 n? Dnan?1 i ? 2,? , n ? 1 ?1第i行减第1行? ? ?1 0aj xa1 x 0 0a2 ? an 0 x 0 ? ? ? 0 0 x?0 0 0n a ? ? j ? x ?1 ? ? ? j ?1 x ? ? n1 ? a1 1例 2 计算 n（n≥2）阶行列式 Dn ?1 1 ? a2 1 ? 11 1 ? 1? ? ?1 1 1 ?，其中 a1a2 ?an ? 0 ．1 ? 11 ? a3 ?? 1 ? an解先将 Dn 添上一行一列，变成下面的 n ? 1 阶行列式：1 0 1 1 ? a1 1 ? 1 1 1 1 ? a2 ? 1 ? ? ? ? 1 1 1 ?Dn ?1 ? 0 ? 0．显然， Dn?1 ? Dn ．? 1 ? an1 ?1将 Dn?1 的第一行乘以 ?1 后加到其余各行，得 Dn ?11 a1 0 ? 01 0 1 ? a2 ? 0? ? ? ?1 0? ?1 ? ?10 ． ? ? an因 ai ? 0 ，将上面这个行列式第一列加第 i（ i ? 2 ，?， n ? 1 ）列的1 倍，得： ai ?1121 1 ?1 a1 Dn ? Dn ?1 ? ?1 0 ?1 0 a1 0 n ? 1 ? 0 a2 ? ?1 ? ? ? ? i ?1 ai ? ? ? 0 01 ? 0 ? a2 ?1 0 0 ?1? ?i ?1n1 ai1 a11 ? 0 ?1 00 0 ? 0? ? ? ? ? 0 ? an ? ? 0 00 a2 ? 0 ? ? ? ? 0 0 ? ann ? 1? ? a1a2 ? an ?1 ? ? ? ? ? ? ? i ?1 ai ? ? an8．数学归纳法当 与 是同型的行列式时，可考虑用数学归纳法求之。 一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明。因此，数学归纳法一般是用来证明行列式 等式。因为给定一个行列式，要猜想其值是比较难的，所以是先给定其值，然后再去证明。 （数学 归纳法的步骤大家都比较熟悉，这里就不再说了）x 0 ?1 x ? 0 0 ?1 ? 0 ? ? ? 0 0 x 0 0 ? ?1 a1 ? x例 1 计算 n 阶行列式 D ? ? n0 an? ?an ?1 an ? 2 ? a2解：用数学归纳法. 当 n = 2 时， D2 ? 假设 n = k 时，有x a2?1 x ? a1? x( x ? a1 ) ? a2 ? x2 ? a1 x ? a2Dk ? xk ? a1xk ?1 ? a2 xk ?2 ??? ak ?1x ? ak则当 n = k+1 时，把 Dk+1 按第一列展开，得Dk ?1 ? xDk ? ak ?1 ? x( xk ? a1xk ?1 ? ?? ak ?1x ? ak ) ? ak ?1 ? xk ?1 ? a1xk ? ?? ak ?1x2 ? ak x ? ak ?1由此，对任意的正整数 n，有 Dn ? xn ? a1xn?1 ? ?? an?2 x2 ? an?1x ? ancos? 11 2 cos? 1 ? 0 00 1 ? 0 0? ? ? ?130 0 0 ? 10 0 0 ? 1 2 cos?例2计算行列式Dn ?0 ? 0 02 cos? ?.? 2 cos?解： D1 ? cos? ,D2 ? cos2? ,于是猜想Dn ? cos n? .证明：对级数用第二数学归纳法证明. n ? 1 时,结论成立.假设对级数小于 n 时，结论成立.将 n 级行列式按第 n 行展开，有cos? 1 0 ? 0 0 1 2 cos? 1 ? 0 0 0 ? 1 ? 2 cos? ? ? 0 0 0 0 0 0 0 0Dn ? 2 cos? ? Dn ?1 ? (?1) 2 n ?1 ?? ? ? ? 2 cos? 0 ? 1 1 n ?1? 2 cos? ? Dn ?1 ? (?1) 2 n ?1 Dn ? 2 ? 2 cos? ? cos(n ? 1)? ? (?1) 2 n ?1 cos(n ? 2)? ? 2 cos? ? cos(n ? 1)? ? cos(n ? 1)? cos? ? sin(n ? 1)? sin ? ? cos[(n ? 1)? ? ? ] ? cos n?.例 3 计算行列式解：猜测： 证明 （1）n = 1, 2, 3 时，命题成立。假设 n≤k C 1 时命题成立,考察 n=k 的情形：14故命题对一切自然数 n 成立。9．拆开法拆项法是将给定的行列式的某一行（列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将 原行列式写成两行列式之和，把一个复杂的行列式简化成两个较为简单的。使问题简化以利计算。a1 ? ? 1 a ? a22 2? ? ?an an ?例 1 计算行列式Dn ?a1 ? a1a 2? ?? an ? ?na1 ?a2 ?? ?an an ??1? 0 ? 0a2 a2 ? ?2 ? 0解： Dn ? a1 a2 ? ?2 ?a1 a2? an ? ?na1 a2 0 ?2 ? an ? ? ? ? ? 0 0 ? an ? ?n? an? an ? an ??1Dn?1 ? ? ? ?nn ? a ? ? a1?2 ??n ? ?1Dn?1 =?? ? ?1?2 ? ?n ? 1 ? ? i ? i ?1 ?i ? ?．1 ? x1 y1 2 ? x1 y2 ? ? n ? x1 yn ? ? 1 ? x2 y1 ? 1 ? xn y1 2 ? x2 y2 ? n ? x2 yn 2 ? xn y2 ? n ? xn yn例2 计算 n（n≥2）阶行列式 Dn ?．解1 Dn ? 1将 Dn 按第一列拆成两个行列式的和，即2 ? x1 y2 ? n ? x1 yn 2 ? x2 y2 ? n ? x2 yn ? ? ? 2 ? xn y2 ? n ? xn yn ? x1 y1 x2 y1 ? xn y1 2 ? x1 y2 ? n ? x1 yn 2 ? x2 y2 ? n ? x2 yn ? ? ? 2 ? xn y2 ? n ? xn yn? 1．再将上式等号右端的第一个行列式第 i 列（ i ? 2 ，3，?，n）减去第一列的 i 倍；第二个行列式提 出第一列的公因子 y1 ，则可得到1 Dn ? 1 ? 1 x1 y2 ? x1 yn x2 y2 ? x2 yn ? ? ? xn y2 ? xn yn ? y1 x1 x2 ? xn 2 ? x1 y2 ? n ? x1 yn 2 ? x2 y2 ? n ? x2 yn ? ? ? 2 ? xn y2 ? n ? xn yn151 ? y2 ? yn 1 1x1 ? x1 x2 ? x2 xn ? xn ? y1x1 x2 xn2 ? n 2 ? n 2 ? n .? ? ? ?? ? ? ?当 n≥3 时， Dn ? 0 ．当 n ? 2 时， D2 ? ? x2 ? x1 ?? y2 ? 2 y1 ? ．xaa ? a ? x ?a a ， ． a （a ? 0）例3 计算 n 阶行列式?a x Dn ? ? a ? a? ? ? ? ? ?a ? a ? a ? x解将第一行的元素都表成两项的和，使 Dn 变成两个行列式的和，即? x ? a? ? a?a Dn ? ?a ? ?a0?a 0?a ? 0?a x ?a ? ?a a x ? ?a ? ? ? ? a a ? x ?x?a ?a ?a ? ?ax?a ?a0 x0 a? ?0 aa ?aa xa a? ?a a?a x ? a ? ?a ?a x ? a . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?a ?a ?0 x ?a 0 a x ? ? ?x0 a a ??a ?a ?a ?x将等号右端的第一个行列式按第一行展开，得： ? a? ?a? x ? a ? Dn?1 ．? ? ? ? ?a ?a ? x这里 Dn?1 是一个与 Dn 有相同结构的 n ? 1 阶行列式；将第二个行列式的第一行加到其余各行，得：a a a a x ? ? ? a a a ? a 0 0 ? 0n ?1a x?a 0 ? 0a?a 2a 2a ? a ? x ? a?n ?1?a x ?a ?a2a ? x?a ? ? 0.? ? ? ? ? ?a ?a ?a ? x? ? ? x?a于是有Dn ? ? x ? a ? Dn ?1 ? a ? x ? a ?（1）另一方面，如果将 Dn 的第一行元素用另一方式表成两项之和：? x ? a? ? a0?a0?a?0?a仿上可得： Dn ? ? x ? a ? Dn ?1 ? a ? x ? a ?n ?1（2）n n将 （1） 式两边乘以 ? x ? a ? ， 2） （ 式两边乘以 ? x ? a ? ， 然后相减以消去 Dn?1 ， Dn 得：? x ? a? ? ? x ? a? ?2．计算行列式的方法很多，也比较灵活，上面介绍了计算 n 阶行列式的常见方法， 计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法。 总的原则是：充分利用所求行列式的特点，运用行列式性质及上述常用的方法， 有时综合运用以上方法可以更简便的求出行列式的值；有时也可用多种方法求出行16列式的值。学习中多练习，多总结，才能更好地掌握行列式的计算。5.消去法求三对角线型行列式的值 例 6 求 n 阶三对角线型行列式的值：（1） 的构造是：主对角线元全为 2，主对角线上方第一条次对角线与下方第一条次对角线的元全为 1，其余的元 全为 0。 解 用消去法，把 第二行变为 中主对角线下方第一条次对角线的元 1 全部消成 0：首先从第二行减去第一行的 倍，于是其次从第三行减去第二行（指新的第二行，以下同）的倍，则第三行变为再从第四行减去第三行的倍，则第四行变为类似地做下去，直到第 n 行减去第 n C 1 行的倍，则第 n 行变为最后所得的行列式为（2） 上面的行列式是三角型行列式，它的主对角线元顺次为 93） 又主对角线下方的元全为 0。故 注 3 一般的三对角线型行列式 的值等于（3）中各数的连乘积，即 。17（4） 也可以按上述消去法把次对角线元 的主对角线元的连乘积。 全部消去，得到一个三角型行列式，它的值等于该三角型行列式9. 因式分解法 如果行列式 D 是某个变数 x 的多项式 f (x) ，可对行列式施行某些变换，求出 f (x) 的互不相同的一次因式， 设这些一次因式的乘积为 g (x) ，则 D ? f ( x) ? cg ( x) ，再比较 f (x) 与 g (x) 的某一项的系数，求出 c 值.1 1例 8 计算行列式 Dn ? 12 x ?1 2 ? 23 3 x?3 ? 3? ? ? ? ?n n n ? x ?1.? 1解:注意 x ? 1 时， Dn ? 0, 所以， x ? 1 | Dn . 又 x ? i 与 x ? j (i ? j ) 各不相同 但 Dn 的展开式中最高次项 xn ?1同理 x ? 2 , ? , x ? (n ? 1) 均为 Dn 的因式所以( x ? 1)(x ? 2)?( x ? n ? 1) | Dn的系数为 1，所以 Dn ? ( x ? 1)(x ? 2)?( x ? n ? 1)注：此题也可将的第行减去第一行化为三角形行列式计算. 三、行列式的计算方法18
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