在同一平面四杆机构内的四个点必有三点不在同一条直线上，错的，为什么？
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2014届高考数学冲刺基础提升训练：2.1.1 平 面
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在手机端浏览在同一平面内，20个点必有3个点在一条直线上 （√或×） 说明理由_百度知道
在同一平面内，20个点必有3个点在一条直线上 （√或×） 说明理由
我有更好的答案
只是可能，不是必有要说“必有”。试举一例就明白了：假如这20个点恰好都在同一个圆的圆周上，能出现3个点在同一条直线上吗，就是两个。三个以上
对的，因为三点确定一个平面，换而言之，既然有平面必然需要三点在同一直线上
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我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。& 规律型知识点 & “阅读下列材料并填空．平面上有n个点（n≥...”习题详情
288位同学学习过此题，做题成功率87.8%
阅读下列材料并填空．平面上有n个点（n≥2）且任意三个点不在同一条直线上，过其中的每两点画直线，一共能作出多少条不同的直线？①分析：当仅有两个点时，可连成1条直线；当有3个点时，可连成3条直线；当有4个点时，可连成6条直线；当有5个点时，可连成10条直线…②归纳：考察点的个数和可连成直线的条数Sn发现：如下表
点的个数&可作出直线条数&2&1=S2=2×12&3&3=S3=3×22&4&6=S4=4×32&5&10=S5=5×42&…&…&n&Sn=n(n-1)2&③推理：平面上有n个点，两点确定一条直线．取第一个点A有n种取法，取第二个点B有（n-1）种取法，所以一共可连成n（n-1）条直线，但AB与BA是同一条直线，故应除以2；即Sn=n(n-1)2④结论：Sn=n(n-1)2试探究以下几个问题：平面上有n个点（n≥3），任意三个点不在同一条直线上，过任意三个点作三角形，一共能作出多少不同的三角形？（1）分析：当仅有3个点时，可作出1&个三角形；当仅有4个点时，可作出4&个三角形；当仅有5个点时，可作出10&个三角形；…（2）归纳：考察点的个数n和可作出的三角形的个数Sn，发现：（填下表）
点的个数&可连成三角形个数&3&&4&&5&&…&&n&&（3）推理：（4）结论：
本题难度：一般
题型：填空题&|&来源：网络
分析与解答
习题“阅读下列材料并填空．平面上有n个点（n≥2）且任意三个点不在同一条直线上，过其中的每两点画直线，一共能作出多少条不同的直线？①分析：当仅有两个点时，可连成1条直线；当有3个点时，可连成3条直线；当有4个点时，可...”的分析与解答如下所示：
由于平面上有n个点，过不在同一条直线上的三点可以确定一个三角形，取第一个点A有n种取法，取第二个点B有（n-1）种取法，取第三个点C有（n-2）种取法，所以一共可以作n（n-1）（n-2）个三角形，但△ABC、△ACB、△BAC、△BCA、△CAB、△CBA是同一个三角形，故应除以6，故可得答案．
解：（1）当仅有3个点时，可作1个三角形；当有4个点时，可作4个三角形；当有5个点时，可作10个三角形．（2）填表如下：点的个数&可连成三角形个数&3&1=S3=3×2×16&4&4=S4=4×3×26&5&10=S5=5×4×36&&&n&Sn=n(n-1)(n-2)6&（3）推理：平面上有n个点，过不在同一条直线上的三个点可以确定一个三角形，取第一个点A有n种方法，取第二个点有B有（n-1）种取法，取第三个点C有（n-2）种取法，所以一共可以作n（n-1）（n-2）个三角形，但△ABC、△ACB、△BAC、△BCA、△CAB、△CBA是同一个三角形，故应除以6，即Sn=n(n-1)(n-2)6．（4）结论：Sn=n(n-1)(n-2)6．
本题考查了规律型：图形的变化，是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
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阅读下列材料并填空．平面上有n个点（n≥2）且任意三个点不在同一条直线上，过其中的每两点画直线，一共能作出多少条不同的直线？①分析：当仅有两个点时，可连成1条直线；当有3个点时，可连成3条直线；当有4...
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经过分析，习题“阅读下列材料并填空．平面上有n个点（n≥2）且任意三个点不在同一条直线上，过其中的每两点画直线，一共能作出多少条不同的直线？①分析：当仅有两个点时，可连成1条直线；当有3个点时，可连成3条直线；当有4个点时，可...”主要考察你对“规律型”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
图形的变化类的规律题首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
与“阅读下列材料并填空．平面上有n个点（n≥2）且任意三个点不在同一条直线上，过其中的每两点画直线，一共能作出多少条不同的直线？①分析：当仅有两个点时，可连成1条直线；当有3个点时，可连成3条直线；当有4个点时，可...”相似的题目：
下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有1颗棋子，第②个图形一共有6颗棋子，第③个图形一共有16颗棋子，…，则第⑥个图形中棋子的颗数为（ ）51707681
将一张长方形的纸对折，可得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕．如果对折n次，可以得到（ ）条折痕．2n-12n2n+12n-1
如图，甲、乙两人沿着边长为90米的正方形，按A→B→C→D→A方向，甲从A以65米/分的速度，乙从B以74米/分的速度同时行走，当乙第一次追上甲时在正方形的（ ）AB边上BC边上CD边上DA边上
“阅读下列材料并填空．平面上有n个点（n≥...”的最新评论
该知识点好题
1下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有1颗棋子，第②个图形一共有6颗棋子，第③个图形一共有16颗棋子，…，则第⑥个图形中棋子的颗数为（ ）
2将一张长方形的纸对折，可得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕．如果对折n次，可以得到（ ）条折痕．
3如图，甲、乙两人沿着边长为90米的正方形，按A→B→C→D→A方向，甲从A以65米/分的速度，乙从B以74米/分的速度同时行走，当乙第一次追上甲时在正方形的（ ）
该知识点易错题
1如图，以上各图都是由同样大小的图形①按一定规律组成，其中第①个图形中共有1个完整菱形，第②个图形中共有5个完整菱形，第③个图形中共有13个完整菱形，…，则第⑥个图形中完整菱形的个数为（ ）
2如图，有一颗棋子放在图中的1号位置上，现按顺时针方向，第一次跳一步到2号位置上，第二次跳两步跳到4号位置上，第三次跳三步又跳到了1号位置上，第四次跳四步…一直进行下去，那么第2003次跳2003步就跳到了&&&&号位置上．
3如图，下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的大立方体，将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色）．依此规律摆放下去，回答下列问题．（1）第1个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有&&&&个．（2）第2个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有&&&&个．（3）第3个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有&&&&个．（4）第4个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有&&&&个．（5）第n个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有&&&&个．
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{[点的个数][可作出直线条数][2][][3][][4][][5][][…][…][n][]}③推理：平面上有n个点，两点确定一条直线．取第一个点A有n种取法，取第二个点B有（n-1）种取法，所以一共可连成n（n-1）条直线，但AB与BA是同一条直线，故应除以2；即Sn=n(n-1)/2④结论：Sn=n(n-1)/2试探究以下几个问题：平面上有n个点（n≥3），任意三个点不在同一条直线上，过任意三个点作三角形，一共能作出多少不同的三角形？（1）分析：当仅有3个点时，可作出____个三角形；当仅有4个点时，可作出____个三角形；当仅有5个点时，可作出____个三角形；…（2）归纳：考察点的个数n和可作出的三角形的个数Sn，发现：（填下表）
{[点的个数][可连成三角形个数][3][][4][][5][][…][][n][]}（3）推理：（4）结论：”的答案、考点梳理，并查找与习题“阅读下列材料并填空．平面上有n个点（n≥2）且任意三个点不在同一条直线上，过其中的每两点画直线，一共能作出多少条不同的直线？①分析：当仅有两个点时，可连成1条直线；当有3个点时，可连成3条直线；当有4个点时，可连成6条直线；当有5个点时，可连成10条直线…②归纳：考察点的个数和可连成直线的条数Sn发现：如下表
{[点的个数][可作出直线条数][2][][3][][4][][5][][…][…][n][]}③推理：平面上有n个点，两点确定一条直线．取第一个点A有n种取法，取第二个点B有（n-1）种取法，所以一共可连成n（n-1）条直线，但AB与BA是同一条直线，故应除以2；即Sn=n(n-1)/2④结论：Sn=n(n-1)/2试探究以下几个问题：平面上有n个点（n≥3），任意三个点不在同一条直线上，过任意三个点作三角形，一共能作出多少不同的三角形？（1）分析：当仅有3个点时，可作出____个三角形；当仅有4个点时，可作出____个三角形；当仅有5个点时，可作出____个三角形；…（2）归纳：考察点的个数n和可作出的三角形的个数Sn，发现：（填下表）
{[点的个数][可连成三角形个数][3][][4][][5][][…][][n][]}（3）推理：（4）结论：”相似的习题。新课标数学（人教 A 版）必修 2第二章《点、直线、平面之间的位置关系》练习题一、选择题 1． 【06 陕西?理】已知平面 ? 外不共线的三点 A, B, C 到 ? 的距离都相等,则正确的结论是 A. 平面 ABC 必平行于 ? B. 平面 ABC 必与 ? 相交 C. 平面 ABC 必不垂直于 ? D. 存在 ?ABC 的一条中位线平行于 ? 或在 ? 内 2． 【06 上海?理】若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个 点在同一平面上”的 （A）充分非必要条件； （B）必要非充分条件； （C）充要条件； （D）非充分非必要条件． 3． 【06 上海?文】如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交 线面对”。 在一个正方体中， 由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正 交线面对”的个数是 （A）48 （B）18 （C）24 （D）36 4． 【06 四川?理】 已知二面角 ? ? l ? ? 的大小为 60 ， m、n 为异面直线，且0m ? ?，n ? ? ，则 m、n 所成的角为（A） 30 （B） 60 （C） 90 （D） 120 5． 【06 四川?理】 已知球 O 半径为 1，A、B、C 三点都在球面上，A、B 两点和 A、C 两点的球面距离都是 ? ，B、C 两点的球面距离是 ? ，则二面角 B ? OA ? C 的大小是 3 4 （A）0 0 00? 4（B）? 3（C）? 2（D） 2? 37． 【06 天津?理】设 m 、 n 是两条不同的直线， ? 、 ? 是两个不同的平面.考查下列命题， 其中正确的命题是 A． m ? ? , n ? ? , m ? n ? ? ? ? C． ? ? ? , m ? ? , n // ? ? m ? n B． ? // ? , m ? ? , n // ? ? m ? n D． ? ? ? ,? ? ? ? m, n ? m ? n ? ?8． 【06 北京?文】设 A、B、C、D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确 的是 ．．． A．AC 与 BD 共面，则 AD 与 BC 共面 B．若 AC 与 BD 是异面直线，则 AD 与 BC 是异面直线 C．若 AB=AC，DB=DC，则 AD=BC D．若 AB=AC，DB=DC，则 AD ? BC 9． 【06 天津?文】若 l 为一条直线，?，?，? 为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：?， ? ? ∥ ? ? ? ? ① ? ? ?，? ? ? ? ? ? ? ； ②? ?； ③ l ∥?，l ? ? ? ? ? ? ．其中正确的命题有 A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 10． 【06 浙江?理】如图，O 是半径为 1 的球心，点 A、B、C 在球面上，OA、OB、OC 两两垂 直，E、F 分别是大圆弧? AB 与 ? AC 的中点，则点 E、F 在该球面上的球面距离是用心 爱心 专心 20 （A）? 4（B）? 3（C）? 2（D）2? 411． 【06 浙江?文】如图，正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的各棱长都为 2， E、F 分别为 AB、A1C1 的中点，则 EF 的长是 （A）2 （B） 3 （C） 5 （D） 712． 【06 重庆?文】若 P 是平面 ? 外一点，则下列命题正确的是 （A）过 P 只能作一条直线与平面 ? 相交 （B）过 P 可作无数条直线与平面 ? 垂直 （C）过 P 只能作一条直线与平面 ? 平行 （D）过 P 可作无数条直线与平面 ? 平行 13． 【06 重庆?理】对于任意的直线 l 与平面 ? ，在平面 ? 内必有直线 m ，使 m 与 l （A）平行 （B）相交 （C）垂直 （D）互为异面直线 14． 【06 福建?理】对于平面 ? 和共面的直线 m 、 n, 下列命题中真命题是 （A）若 m ? ? , m ? n, 则 n∥ ? （C）若 m ? ? , n∥? ,则 m∥ n （B）若 m∥? ,n∥? ,则 m∥ n （D）若 m 、 n 与 ? 所成的角相等，则 m∥ n15． 【06 湖北?理】关于直线 m 、 n 与平面 ? 、 ? ，有下列四个命题： ① 若 m // ? ， n // ? 且 ? // ? ，则 m // n ； ② 若 m ? ? ， n ? ? 且 ? ? ? ，则 m ? n ； ③ 若 m ? ? ， n // ? 且 ? // ? ，则 m ? n ； ④ 若 m // ? ， n ? ? 且 ? ? ? ，则 m // n 。 其中真命题的序号式 A．①② B．③④ C．①④ 16． 【06 辽宁?文】给出下列四个命题： ①垂直于同一直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一平面的两个平面互相平行D．②③③若直线 l1 , l2 与同一平面所成的角相等，则 l1 , l2 互相平行用心 爱心 专心 21 ④若直线 l1 , l2 是异面直线，则与 l1 , l2 都相交的两条直线是异面直线 其中假命题 的个数是 ．．． （A）1 （B）2（C）3（D）417． 【06 全国Ⅱ?理】如图，平面 ? ? 平面 ? ， A ?? , B ? ? , AB 与两平面 ? 、 ? 所成的 角分别为? ? 和 。过 A、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为 A ' 、 4 6A?B? ，则 AB : A ' B ' ? （A） 2 :1 （B） 3 :1（C） 3 : 2（D） 4 : 3B' A'B ?18． 【06 全国Ⅱ?文】如图（同理科图） ，平面 ? ? 平面 ? ，A ?? , B ? ? , AB 与两平面 ? 、 ? 所成的角分别为? ? 和 。过 A、B 分别作两平面交 4 6线的垂线，垂足为 A ' 、 B? ，若 AB=12，则 A ' B ' ? （A）4 （B）6 （C）8 （D）9二、填空题 1． 【06 安徽?理】多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个 顶点 A 在平面 ? 内，其余顶点在 ? 的同侧，正方体上与顶点 A 相邻的三个顶点到 ? 的 距离分别为 1，2 和 4，P 是正方体的其余四个顶点中的一个，则 P 到平面 ? 的距离可 能是： ①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7 以上结论正确的为______________。 （写出所有正确结论的编号 ） ．．2． 【06 安徽?文】平行四边形的一个顶点 A 在平面 ? 内，其余顶点在 ? 的同侧，已知其中 有两个顶点到 ? 的距离分别为 1 和 2 ，那么剩下的一个顶点到平面 ? 的距离可能是： ①1； ②2； ③3； ④4； 以上结论正确的为______________。 （写出所有正确结论的编号 ） ．． C D B?A1A3． 【06 山东? 文】 如图， 在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中， 所有棱长均为 1， 则点 B1 到平面 ABC1 的距离为 。 ，B ? R 4． 【06 北京? 理】 已知 A, B, C 三点在球心为 O ， 半径为 R 的球面上，AC ? BC ， 且A用心爱心专心22 那么 A, B 两点的球面距离为 为______________。，球心到平面 ABC 的距离5． 【06 天津?理】如图，在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中， AB ? 1 ．若二面角 C ? AB ? C1 的 大小为 60 ，则点 C 到平面 ABC 1 的距离为______________。?6． 【06 天津?文】如图（同理科图） ，在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中， AB ? 1 ．若二面角C ? AB ? C1 的大小为 60? ，则点 C1 到直线 AB 的距离为。7． 【06 浙江?理】 （如图，在 6 题上）正四面体 ABCD 的棱长为 l，棱 AB∥平面 ? ，则正四 面体上的所有点在平面α 内的射影构成的图形面积的取值范围是____________。 8． 【06 辽宁?理】若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为 ? ,则 cos ? =_____。 9． 【06 全国Ⅰ?理】已知正四棱椎的体积为 12，地面的对角线为 2 6 ，则侧面与底面所成 的二面角为____________。 10． 【06 四川?文】 m、n 是空间两条不同直线， ? 、 ? 是空间两条不同平面，下面有四个 命题： ; ; ① m ? ? ,n ? ? ,? ? ? ? m ? n ② m ? n,? ? ? , m ? ? ? n ? ? ; ; ③ m ? n,? ? ? , m ?? ? n ? ? ④ m ? ? , m ? n,? ? ? ? n ? ? 其中真命题的编号是 （写出所有真命题的编号） 。 三、计算题 1． 【06 广东】 如图所示， AF 、 DE 分别是 ? O 、 ? O1 的直径， AD 与两圆所在的平 面均垂直， AD ? 8 . BC 是 ? O 的直径， AB ? AC ? 6 , OE // AD 。 （I）求二面角 B ? AD ? F 的大小； （II）求直线 BD 与 EF 所成的角. 【解】 （I）∵AD 与两圆所在的平面均垂直， ∴AD⊥AB，AD⊥AF， 故∠BAF 是二面角 B―AD―F 的平面角， 0 依题意可知，ABFC 是正方形，所以∠BAF＝45 . 0 即二面角 B―AD―F 的大小为 45 ； （II）以 O 为原点，BC、AF、OE 所在直线为坐标 轴，建立空间直角坐标系（如图所示） ，则用心 爱心 专心 23 ， B3 O(0,0,0) ， A(0, ?3 2,0) ） (2 0 , )，zD O1 ED(0, ?3 2,8) ， E (0, 0,8) ， F (0,3 2,0)所以， BD ? (?3 2,?3 2,8), FE ? (0,?3 2,8)??? ? ??? ? ??? ? ??? ? BD ? FE 0 ? 18 ? 64 82 ? ??? ? ? cos ? BD, EF ?? ??? ? | BD || FE | 100 ? 82 10设异面直线 BD 与 EF 所成角为 ? ， 则 cos? ?| cos ? BD, EF ?|?C A X B O Fy82 。 10 82 。 10直线 BD 与 EF 所成的角为 arccos2． 【06 安徽?理】如图，P 是边长为 1 的正六边形 ABCDEF 所在平面外一点， PA ? 1 ， P 在平面 ABC 内的射影为 BF 的中点 O。 （Ⅰ）证明 PA ⊥ BF ； （Ⅱ）求面 APB 与面 DPB 所成二面角的大小。 【解】本小题主要考察直线与平面的位置关系、二 面角及其平面角等有关知识，考察思维能力和空间 想象能力；考查应用向量知识解决立体几何问题的 能力。满分 12 分。 方法一： 连结 AD，则易知 AD 与 BF 的交点为 O。 （I）证法 1：? AB ? AF , O为BF的中点，又? PO ? 平面ABC, 证法 2:? AO ? BF .?由三垂线定理得PA ? BF .? BF ? PO, BF ? AO, PO ? AO ? O,? BF ? 平面AOP, ? PA ? 平面AOP,????? PA ? BF.（II）设 M 为 PB 的中点，连结 AM，MD。?在?ABP中PA ? AB,? PB ? AM ,? 斜线 PB 在平面 ABC 内的射影为 OB， BF ? AD 。?由三垂线定理得PB ? AD.用心爱心专心24 又? AM ? AD ? A,? PB ? 平面AMD.? PR ? MD.? MD ? 平面AMD,因此， ?AMD 为所求二面角的平面角。 在正六边形 ABCDEF 中， BD ? BF ? 2OB ? 3, AD ? 2. 在 Rt ?AOP中，PA ? 1, OA ?1 , 2? PO ? PA2 ? OA2 ? 6 1 6 ，则 BM ? PB ? , 2 2 43 . 2在 Rt ?BOP中，PB ?PO 2 ? OB 2 ?AM ? AB 2 ? BM 2 ?10 42 , MD ? BD 2 ? BM 2 ? . 4 4 MA2 ? MD2 ? AD2 105 ?? 2 ? MA ? MD 35在 ?AMD 中，由余弦定理得 cos ?AMD ?因此，所求二面角的大小为 arccos(?105 ). 35方法二： 由题设条件，以 O 为原点建立空间直角坐标系 O-xyz, 如图。由正六边形的性质，可得1 3 3 OA ? , OR ? OF ? , OD ? . 在 Rt? AOP 中， 2 2 2PA ? 1, OA ? 1 , 2故 OP ?PA2 ? OA2 ?3 . 2因而有 A(0, ? ,0), B(1 23 3 3 3 ,0,0), D(0, ,0), F ( ? ,0,0), P(0,0, ). 2 2 2 2 1 2（I）证明：因 PA ? (0, ? , ???? ???? ? ??? ? ? 3 ??? ), BF ? (? 3, 0, 0), 故 PA ? BF ? 0. 所以 PA ? BF . 23 3 , 0, ). 4 4（II）设 M 为 PB 的中点，连结 AM, MD, 则 M 点的坐标 (???? ??? ? 3 1 3 3 3 ? MA ? PB ? (? , ? , ? ) ? ( , 0, ? ) ? 0, 4 2 4 2 2用心爱心专心25 ???? ? ??? ? 3 3 3 3 3 MD ? PB ? (? , , ? ) ? ( , 0, ? ) ? 0, 4 2 4 2 2? MA ? PB, MD ? PB因此， ?AMD 为所求二面角的平面角。???? ? ???? ???? ? 10 ???? 42 3 1 3 3 3 3 3 ? MA ? , MD ? , MA ? MD ? (? , ? , ? ) ? (? , ,? ) ? ? 4 4 4 2 4 4 2 4 8 ???? ???? ? ???? ???? ? MA ? MD 105 ? cos ? MA, MD ?? ???? ???? . ? ?? 35 MA ? MD因此，所求二面角的大小为 arccos(?3． 【06 北京?理】 如图，在底面为平行四边形的四棱锥 P ? ABCD 中， AB ? AC ， PA ? 平面 ABCD ，且 PA ? AB ，点 E 是 PD 的 中点. （Ⅰ）求证： AC ? PB ； （Ⅱ）求证： PB // 平面 AEC ； （Ⅲ）求二面角 E ? AC ? B 的大小. 【解】 解法一： （Ⅰ）? PA ? 平面 ABCD， ? AB 是 PB 在平面 ABCD 上的射影， 又? AB ? AC，AC ? 平面 ABCD， ? AC ? PB. （Ⅱ）连接 BD，与 AC 相交与 O，连接 EO， ? ABCD 是平行四边形 ? O 是 BD 的中点 又 E 是 PD 的中点，105 )。 35? EO ? PB.又 PB ? 平面 AEC，EO ? 平面 AEC， ? PB ?? 平面 AEC， （Ⅲ）如图，取 AD 的中点 F，连 EF，FO，则 EF 是△PAD 的中位线， ?EF // PA 又 PA ? 平面 ABCD ，?EF?平面 ABCD同理 FO 是△ADC 的中位线，?FO // AB?FO?AC 由三垂线定理可知??EOF 是二面角 E－ AC－D 的平面角.1 1 AB＝ PA＝EF。 2 2 ??EOF＝45?而二面角 E ? AC ? B 与二面角 E－AC－D 互补， 故所求二面角 E ? AC ? B 的大小为 135?.又 FO＝解法二： （Ⅰ）建立空间直角坐标系 A―xyz，如图。 设 AC=a，PA=b。则有 A（0,0,0） 、B（0,b,0） 、C（a,0,0） 、P（0,0,b） ， ∴ AC ? (a,0,0), PB ? (0, b, ?b), ∴ AC ? PB 。用心 爱心 专心 26??? ???? ?从而 AC ?PB ? 0 ，??? ? ??? ???? ???? ? （Ⅱ）连结 BD，与 AC 相交于 O，连结 EO。 由已知得 D(a, ?b,0) ， E ??a b b? ?a ? , ? , ? ， O ? ,0,0 ? ， ? 2 2 2? ?2 ?∴ EO ? ? 0, , ? ? ， 又 PB ? ? 0, b, ?b ? ，??? ? ? ?b 2b? 2???? ?∴ PB ? 2 EO ，??? ???? ?∴ PB // EO ， 又 PB ? 平面 AEC，EO ? 平面 AEC。 ∴ PB // 平面 AEC。 （Ⅲ）取 BC 中点 G，连接 OG，则点 G? a b ? ???? ? b ? , , 0 ? ， OC ? ? 0, , 0 ? ?2 2 ? ? 2 ? ??? ? b b ???? （0, ? , ）,AC ? (a, 0, 0), 又 OE ? 2 2 ??? ? ??? ? ???? ??? ? ?OE ? AC ? 0, OG ? AC ? 0,的坐标为 ??OE ? AC, OG ? AC,??EOG 是二面角 E ? AC ? B 的平面角。 ??? ? ???? ??? ? ???? OE ? OG 2 ? cos ?EOG ? cos ? OE , OG ?? ???? ???? ? ? , 2 OG ? OG??EOG ? 1350.? 二面角 E ? AC ? B 的大小为 1350.4． 【06 北京?文】如图， ABCD ? A1B1C1D1 是正四棱柱。 （I）求证：BD⊥平面 ACC1 A1 ； （II）若二面角 C1 ? BD ? C 的大小为 60°，求异面 直线 BC1 与 AC 所成角的大小。 【解】 解法一： （Ⅰ） ∵ ABCD ? A 1B 1C1D 1 是正四棱柱， ∴ CC1⊥平面 ABCD， ∴ BD⊥CC1， ∵ ABCD 是正方形， ∴ BD⊥AC用心爱心专心27 又 ∵AC，CC1 ? 平面 ACC1 A1 ，且 AC∩CC1=C， ∴ BD⊥平面 ACC1 A1 （II）设 BD 与 AC 相交于 O，连接 C1O。 ∵ CC1⊥平面 ABCD，BD⊥AC， ∴ BD⊥C1O， ∴ ∠C1OC 是二面角 C1 ? BD ? C 的平面角， ∴ ∠C1OC=60°。 连接 A1B ∵ A1C1∥AC， ∴ ∠A1C1B 是异面直线 BC1 与 AC 所成角。 设 BC=a，则 CO=2 6a ，CC1=CO ?tan 60? ? ，A1B=BC1= 2 210a ， 2AC 1 1 ? 2a 。在△A1B1C1 中，由余弦定理得 cos AC 1 1B ?2 2 2 AC 5 1 1 ? BC1 ? A 1B ， ? 2 AC ? BC 5 1 1 1∴ A1C1 B= arccos5 5 ， ∴ 异面直线 BC1 与 AC 所成的角的大小为 arccos 。 5 5解法二： （I）建立空间直角坐标系 D―xyz，如图。 设 AD=a，DD1=b，则有 D（0,0,0） ，A（a,0,0,） 、 B（a,a,0,） 、C（0,a,0,） 、C1（0,a,b,） ∴ BD ? (?a, ?a,0) ，??? ????? ? ??? ? AC ? (?a, a,0) ， CC1 ? (0,0, b)∴ BD?AC ? 0 ， BD? CC1 ? 0 ∴ BD ? AC ，??? ? ??? ???? ? ???? ?BD ? CC1 。又∵AC，CC1 ? 平面 ACC1 A1 ，且 AC∩CC1=C， ∴ BD⊥平面 ACC1 A1 （Ⅱ） 设 BD 与 AC 相交于 O，连接 C1O，则点 O 坐标为 ( , ∵ BD? OC1 ? 0 ，??? ? ???? ????? ? a a a a , 0) ， OC1 ? (? , , b) 2 2 2 2∴ BD⊥C1O ，又 BD⊥CO用心 爱心 专心 28 ∴ ∠C1OC 是二面角 C1 ? BD ? C 的平面角， ∴ tan ?C1OC ?∴ ∠C1OC=60°。 ∴ b?CC1 b ? 2 ? 3， OC 2 a6 a。 2???? ? ??? ? ∵ AC ? (?a, a,0) ， BC1 ? (?a,0, b) ，???? ???? ? ???? ???? ? AC ?BC1 5 ∴ cos AC , BC1 ? ???? ???? ? ? 5 AC ?BC1∴ 异面直线 BC1 与 AC 所成的角的大小为 arccos5 。 55． 【06 山东?文】 如图，已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为等腰梯形， AB // DC ,AC ? BD, AC 与 BD 相交于点 O ，且顶点 P 在底面上的射影恰为 O 点，又 BO ? 2, PO ? 2, PB ? PD . （Ⅰ）求异面直接 PD 与 BC 所成角的余弦值； （Ⅱ）求二面角 P ? AB ? C 的大小； （Ⅲ） 设点 M 在棱 PC 上， 且PM ? ? ,问? 为何值时， MC? PO ? BDPC ? 平面 BMD 。 【解】 解法一：? PO ? 平面 ABCD ，又 PB ? PD, BO ? 2, PO ? 2 ， 由平面几何知识得： OD ? 1, PD ? 3, PB ? 6（Ⅰ） 过 D 做 DE // BC 交于 AB 于 E ， 连结 PE ， 则 ? PDE 或其补角为异面直线 PD 与 BC 所成的角， ? 四边形 ABCD 是等腰梯形，?OC ? OD ? 1, OB ? OA ? 2, OA ? OB? BC ? 5, AB ? 2 2, CD ? 2又 AB // DC? 四边形 EBCD 是平行四边形。? ED ? BC ? 5, BE ? CD ? 2? E 是 AB 的中点，且 AE ? 2又 PA ? PB ? 6 ，? ?PEA 为直角三角形，? PE ? PA2 ? AE2 ? 6 ? 2 ? 2用心爱心专心29 在 ?PED 中，由余弦定理得： cos ?PDE ?PD 2 ? DE 2 ? PE 2 3 ? 5 ? 4 2 15 ? ? 2 PD ? DE 15 2? 3 ? 5故异面直线 PD 与 BC 所成的角的余弦值为2 15 。 15（Ⅱ）连结 OE ，由（Ⅰ）及三垂线定理知， ?PEO 为二面角 P ? AB ? C 的平面角? sin ?PEO ?PO 2 ， ? PE 2??PEO ? 450? 二面角 P ? AB ? C 的大小为 450（Ⅲ）连结 MD, MB, MO ，? PC ? 平面 BMD, OM ? 平面 BMD ，? PC ? OM又在 Rt ?POC 中， PC ? PD ? 3, OC ? 1, PO ? 2 ，? PM ?2 3 3 ， , MC ? 3 3?PM ?2 MC故 ? ? 2 时， PC ? 平面 BMD解法二： ? PO ? 平面 ABCD 又 PB ? PD ， BO ? 2, PO ? 2 ，? PO ? BD由平面几何知识得： OD ? OC ? 1, BO ? AO ? 2OA, OB, OP 分别为 x, y, z 轴建立如图所示的空间 以 O 为原点，直角坐标系，则各点坐标为 O(0,0,0) ， A(2, 0, 0) ， B(0, 2, 0) ，C (?1, 0, 0) ， D(0, ?1, 0) ， P(0,0, 2)（Ⅰ）? PD ? (0, ?1, ? 2) ，??? ???? ? BC ? (?1, ?2,0) ，??? ? ??? ? ??? ? ??? ? PD ? BC 2 15 ? cos ? PD, BC ?? ??? 。 ? ??? ? ? 15 PD BC??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? PD ? 3, BC ? 5, PD ? BC ? 2 。故直线 PD 与 BC 所成的角的余弦值为2 15 。 15（Ⅱ）设平面 PAB 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ，用心爱心专心30 ??? ? ??? ? ??? ? ?n ? AB ? 0 ? 由于 AB ? (?2, 2,0) ， AP ? (?2,0, 2) ， 由 ? ??? ? n ? AP ?0 ? ?得? ?x? y ? ? ?z ? 2x取 n ? (1,1, 2) ，又已知平面 ABCD 的一个法向量 m ? (0,0,1) ，? cos ? m, n ??m?n 2 。 ? m?n 2又二面角 P ? AB ? C 为锐角，? 所求二面角 P ? AB ? C 的大小为 45?（Ⅲ）设 M ( x0 ,0, z0 ) ，由于 P, M , C 三点共线， z0 ? 2x0 ? 2 ，? PC ? 平面 BMD? OM ? PC?(?1,0, ? 2) ? ( x0 ,0, z0 ) ? 0由（1） （2）知： x0 ? ?? x0 ? 2z0 ? 02 2 ? M (? , 0, ) 3 3?? ? PM ?2 MC2 2 ， z0 ? 。 3 3故 ? ? 2 时， PC ? 平面 BMD 。 6． 【06 陕西?理】 如图,α ⊥β ,α ∩β =l , A∈α , B∈β ,点 A 在直线 l 上的射影为 A1, 点 B 在 l 的射影为 B1,已知 AB=2,AA1=1, BB1= 2, 求: （I） 直线 AB 分别与平面α ,β 所成角的大小； （II）二面角 A1－AB－B1 的大小。 【解】 解法一： （Ⅰ）如图, 连接 A1B,AB1, ∵α ⊥β , α ∩β =l ,AA1⊥l, BB1⊥l, ∴AA1⊥β , BB1⊥α . 则∠BAB1,∠ABA1 分别是 AB 与α 和 β 所成的角. Rt△BB1A 中, BB1= 2 , AB=2, ∴sin∠BAB1 = BB1 2 = . AB 2 ∴∠BAB1=45°. ∴∠ABA1= 30°.AA1 1 Rt△AA1B 中, AA1=1,AB=2, sin∠ABA1= = , AB 2故 AB 与平面α ,β 所成的角分别是 45°,30°. （Ⅱ）∵BB1⊥α , ∴平面 ABB1⊥α 。 在平面α 内过 A1 作 A1E⊥AB1 交 AB1 于 E，则 A1E⊥平面 AB1B。过 E 作 EF⊥AB 交 AB 于 F， 连接 A1F，则由三垂线定理得 A1F⊥ AB， ∴∠A1FE 就是所求二面角的平 面角. 在 Rt △ ABB1 中 , ∠ BAB1=45 ° ， ∴AB1=B1B= 2. ∴Rt△AA1B 中， A1B= AB －AA1 = 4－1 = 由 AA1?A1B=A1F?AB 得2 23。用心爱心专心31 AA1?A1B 1× 3 3 A1F= = = , AB 2 2 ∴在 Rt△A1EF 中，sin∠A1FE = A1E 6 = ， A1F 3 6 . 3∴二面角 A1－AB－B1 的大小为 arcsin 解法二： （Ⅰ）同解法一.（Ⅱ） 如图,建立坐标系, 则 A1(0,0,0),A(0,0,1),B1(0,1,0),B( 2,1,0).在 AB 上取 → → 一点 F(x,y,z),则存在 t∈R,使得AF=tAB , 即(x,y,z ? 1)=t( 2,1, ? 1), ∴点 F 的坐标为 → → → → ( 2 t, t,1 ? t). 要 使 A1F ⊥ AB , 须 A1F ? AB =0, 即 ( 2 t, t,1 ? t) ? ( 2 ,1, ? 1)=0, 2t+t ? (1 ? t)=0， 解得 t= ∴点 F 的坐标为（ 1 ， 4 2 1 3 → ∴A1F=( , , ). 4 4 4 2 1 1 → ∴EF=( , ? , ). 4 4 4 → → ∴EF⊥AB,2 1 3 , , ）, 4 4 41 1 设 E 为 AB1 的中点,则点 E 的坐标为（0, , ） 。 2 2 2 1 1 1 1 1 → → 又EF?AB=( ,－ , )?( 2,1, ? 1)= ? ? =0, 4 4 4 2 4 4 ∴∠A1FE 为所求二面角的平面角.2 1 3 2 1 1 1 1 3 ( ， ， )?( ，－ ， ) － + → → 4 4 4 4 4 4 8 16 16 A1F?EF 1 3 又 cos∠A1FE= = = = = , → → 3 2 1 9 2 1 1 3 1 3 |A1F|?|EF| + + ? + + ? 16 16 16 16 16 16 4 2 ∴二面角 A1－AB－B1 的大小为 arccos 3 . 3?7． 【06 上海?理】 在四棱锥 P－ABCD 中，底面是边长为 2 的菱形，∠DAB＝60 ，对角 线 AC 与 BD 相交于点 O，PO⊥平面 ABCD，PB 与平面 ABCD 所成 的角为 60 ． （1）求四棱锥 P－ABCD 的体积； （2） 若 E 是 PB 的中点， 求异面直线 DE 与 PA 所成角的大 小（结果用反三角函数值表示） ． 【解】 （1）在四棱锥 P-ABCD 中,由 PO⊥平面 ABCD，得 ∠PBO 是 PB 与平面 ABCD 所成的角，∠PBO=60°. 在 Rt△AOB 中 BO=ABsin30°=1，由 PO⊥BO, 于是，PO=BOtg60°= 3 , 而底面菱形的面积为 2 3 . ∴四棱锥 P-ABCD 的体积 V=?1 ×2 3 × 3 =2. 3（2）解法一：以 O 为坐标原点,射线 OB、 OC、OP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空用心 爱心 专心 32 间直角坐标系. 在 Rt△AOB 中 OA= 3 ,于是,点 A、B、D、P 的坐标分别是 A(0,－ 3 ,0)，B(1,0,0)，D(－ 1,0,0)，P(0,0, 3 )。E 是 PB 的中点，则 E(1 3 ,0, )。 2 2于是 DE =(3 3 ,0, ), AP =(0, 3 , 3 ). 2 2???? ??? ? 设 DE 与 AP 的夹角为 θ ，有 cosθ =3 2 2 ? ， 4 9 3 ? ? 3?3 4 4θ =arccos2 。 4∴异面直线 DE 与 PA 所成角的大小是 arccos2 . 4解法二：取 AB 的中点 F，连接 EF、DF. 由 E 是 PB 的中点，得 EF∥PA, ∴∠FED 是异面直线 DE 与 PA 所成角（或它的补 角） 。 在 Rt△AOB 中 AO=ABcos30°= 3 =OP, 于是,在等腰 Rt△POA 中,PA= 6 ,则 EF=6 . 21 6 EF 2 ? 4 = cos∠FED= 2 DE 3 4在正△ABD 和正△PBD 中，DE=DF= 3 .∴异面直线 DE 与 PA 所成角的大小是 arccos2 . 4?8． 【06 上海?文】 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中， ?ABC ? 90 , AB ? BC ? 1. （1）求异面直线 B1C1 与 AC 所成的角的大小；ABC 所成角为 45 ，求三棱锥 A1 ? ABC 的体积。 （2）若 AC 1 与平面?【解】 （1） ∵BC∥B1C1， ∴∠ACB 为异面直线 B1C1 与 AC 所成角(或它的补角) ∵∠ABC=90°,AB=BC=1， ∴∠ACB=45°, ∴异面直线 B1C1 与 AC 所成角为 45°. （2）∵AA1⊥平面 ABC, ∠ACA1 是 A1C 与平面 ABC 所成的角，∠ACA1=45°. ∵∠ABC=90°，AB=BC=1，AC= 2用心 爱心∴AA1= 2 。专心 33 ∴三棱锥 A1-ABC 的体积 V=1 2 S△ABC×AA1= 。 3 69． 【06 四川?理】 如图,长方体 ABCD- A1 B1C1 D1 中，E、P 分别是 BC、 A1D1 的中点,M、 N 分别是 AE、 CD1 的中点， AD=AA1 ? a, AB=2a, （Ⅰ）求证： MN // 平面ADD1 A1 ； （Ⅱ）求二面角 P ? AE ? D 的大小； （Ⅲ）求三棱锥 P－DEN 的体积。 【解】 本小题主要考察长方体的概念、直线和平 面、平面和平面的关系等基础知识，以及空间想象能 力和推理能力。 解法一： （Ⅰ）证明：取 CD 的中点 K ，连结 MK , NK ∵ M , N , K 分别为 AK , CD1 , CD 的中点 ∵ MK // AD, NK // DD1NK // 面 ADD1 A1 ∴ MK // 面 ADD1 A 1，∴面 MNK // 面 ADD1 A 1 （Ⅱ）设 F 为 AD 的中点 ∵ P 为 A1D1 的中点 ∴ PF // D1D ∴ PF ? 面 ABCD ∴ MN // 面 ADD1 A 1作 FH ? AE ，交 AE 于 H ，连结 PH ，则由三垂线定理得 AE ? PH 从而 ? PHF 为二面角 P ? AE ? D 的平面角。 在 Rt ?AEF 中， AF ?? 2a a 17 2a , EF ? 2a, AE ? a ，从而 FH ? AF ? EF ? 2 ? 2 2 AE 17 17 2 a aPF DD1 17 ? ? FH FH 2 故：二面角 P ? AE ? D 的大小为 arctan 17 。 2在 Rt ?PFH 中， tan ?PFH ? （Ⅲ） S?NEP ?1 1 1 5 2 S矩形ECD1P ? BC ? CD1 ? ? a ? a 2 ? 4a 2 ? a 2 4 4 4作 DQ ? CD1 ，交 CD1 于 Q ，由 A1 D1 ? 面 CDD1C1 得 AC 1 1 ? DQ ∴ DQ ? 面 BCD1 A 1用心爱心专心34 ∴在 Rt ?CDD1 中， DQ ?CD ? DD1 2a ? a 2 ? ? a CD1 5a 5∴ VP ? DEN ? VD ? ENP ?1 1 1 5 2 2 S ?NEP ? DQ ? a ? a ? a3 。 3 6 3 4 5方法二：以 D 为原点， DA, DC, DD1 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立直角坐标系， 则 A? a,0,0? , B ? a,2a,0? , C ? 0,2a,0? ,A1 ? a,0, a ? , D1 ? 0,0, a ?∵ E, P, M , N 分别是 BC, A 1D 1 , AE, CD 1 的中点 ∴ E ? , 2a, 0 ? , P ? , 0, a ? , M ??a ?2? ??a ?2? ?a? ? 3a ? ? , a, 0 ? , N ? 0, a, ? , 2? ? 4 ? ?（Ⅰ） MN ? ? ????? ?? ? a? ? 3 a, 0, ? ，取 n ? ? 0,1,0? ，显然 n ? 面 ADD1 A1 2? ? 4又 MN ? 面 ADD1 A 1 ∴ MN // 面 ADD1 A 1???? ? ? ???? ? ? MN ? n ? 0 ，∴ MN ? n（Ⅱ）过 P 作 PH ? AE ，交 AE 于 H ，取 AD 的中点 F ，则 F ??a ? , 0, 0 ? ?2 ???? ? a ? ???? ? a ? 设 H ? x, y,0? ，则 HP ? ? ? ? x, ? y, a ? , HF ? ? ? x, ? y, 0 ? ?2 ? ?2 ?? 又 AE ? ? ? ? , 2a,0 ? a ? 2 ?? a2 a ??? ? ??? ? ? ? x ? 2ay ? 0 由 AP ? AE ? 0 ，及 H 在直线 AE 上，可得: ? ? 4 2 ? ? 4 x ? y ? 4a解得 x ???? ?33 2 a, y ? a 34 178a 2a ? ???? ? 8a 2a ? , ? , a ? , HF ? ? ? , ? , 0 ? ? 17 17 ? ? 17 17 ?∴ HF ? AE ? 0∴ HP ? ? ????? ????? ??? ?即 HF ? AE??????? ?∴ HP 与 HF 所夹的角等于二面角 P ? AE ? D 的大小??? ???????? ? ???? ??? ? ???? HP ? HF 2 cos HP, HF ? ??? ? ???? ? 21 HP ? HF用心爱心专心35 故：二面角 P ? AE ? D 的大小为 arccos2 21 。 21（Ⅲ）设 n1 ? ? x1 , y1 , z1 ? 为平面 DEN 的法向量，则 n1 ? DE, n1 ? DN 又 DE ? ? , 2a, 0 ? , DN ? ? 0, a, ? , DP ? ? , 0, a ???????? ? ????????? ??a ?2? ???? ?? ?? a ? ??? 2??a ?2? ??a x ? 2ay1 ? 0 ? ?2 1 ∴? ? ay ? a z ? 0 1 1 ? ? 2即?? x1 ? ?4 y1 ? z1 ? ?2 y1∴可取 n1 ? ? 4, ?1, 2 ?????? ? ?? DP ? n1 2a ? 2a 4a ∴ P 点到平面 DEN 的距离为 d ? ， ? ?? ? 16 ? 1 ? 4 21 n1 ???? ???? ???? ???? ???? ???? DE ? DN 8 21 ∵ cos DE , DN ? ???? ???? ? ， sin DE, DN ? ， 85 85 DE ? DN∴ S?DEN ?? ???? ??? ? ???? 1 ??? 21 2 DE ? DN ? sin DE, DN ? a ， 2 8∴ VP ? DEN ?1 1 21 2 4a a3 S?DEN ? d ? ? a ? ? 。 3 3 8 21 6110． 【06 天津?理】 如图，在五面体 ABCDEF 中，点 O 是矩形 ABCD 的对角线的交 点，面 CDE 是等边三角形，棱 EF // （1）证明 FO //平面 CDE ； （2）设 BC ? 3 CD ，证明 EO ? 平面 CDF ． 【解】 本小题考查直线与平面平行、直线与平面 垂直等基础知识，考查空间想象能力和推理论证 能力. （Ⅰ）证明：取 CD 中点 M，连结 OM. 在矩形 ABCD 中。?2BC ．1 1 OM // BC ，又 EF // BC ， 2 2? FO // EM则 EF //OM ，连结 EM，于是四边形 EFOM 为平行四边形.又? FO ? 平面 CDE，且 EM ? 平面 CDE，∵FO∥平面 CDE （Ⅱ）证明：连结 FM，由（Ⅰ）和已知条件，在等边△CDE 中，CM ? DM , EM ? CD 且 EM ?3 1 CD ? BC ? EF . 2 2用心 爱心 专心 36 因此平行四边形 EFOM 为菱形，从而 EO⊥FM 而 FM∩CD=M， ∴CD⊥平面 EOM，从而 CD⊥EO. 而 FM ? CD ? M ， 所以 EO⊥平面 CDF. 11． 【06 浙江?理】如图，在四棱锥 P ? ABCD 中，底面为直角梯形， AD // BC ，AB ? BC 2 ?BAD ? 90? ，PA ? 底面 ABCD ，且 PA ?AD ? M 、N 分别为 PC 、 PB 的中点。 （Ⅰ）求证： PB ? DM ； （Ⅱ）求 CD 与平面 ADMN 所成的角。，【解】 本题主要考查空间线线、线面关系、空间向量的概念 与运算等基础知识，同时考查空间想象能力。 方法一： PA ? AB ， （I） 因为 N 是 PB 的中点， 所以 AN ? PB . 因为 AD ? 平面 PAB ，所以 AD ? PB ， 从而 PB ? 平面 ADMN .因为 DM ? 平面 ADMN ， 所以 PB ? DM . （II）取 AD 的中点 G ，连结 BG 、 NG ， 则 BG // CD ， 所 以 BG 与 平 面 A D M N 所 成 的 角 和 CD 与 平 面 ADMN 所成的角相等. 因为 PB ? 平面 ADMN ， 所以 ?BGN 是 BG 与平面 ADMN 所成的角. 在 Rt ?BNG 中， sin ?BGN ?BN 10 。 ? BG 5 10 。 5故 CD 与平面 ADMN 所成的角是 arcsin 方法二：如图，以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系 A ? xyz ，设 BC ? 1 ，则1 A(0, 0, 0), P(0, 0, 2), B(2, 0, 0), C (2,1, 0), M (1, ,1), D(0, 2, 0) . 2 ??? ? ???? ? 3 （I） 因为 PB ? DM ? (2,0, ?2) ? (1, ? ,1) ? 0 ，所以 PB ? DM . 2 ??? ? ??? ? （II） 因为 PB ? AD ? (2,0, ?2) ? (0,2,0) ? 0 ，所以 PB ? AD ，又因为 PB ? DM ，所以 PB ? 平面 ADMN . 因此 ? PB, DC ? 的余角即是 CD 与平面 ADMN 所成的角.??? ? ??????? ? ???? ??? ? ???? 10 PB ? DC ? ???? ? 因为 cos ? PB, DC ?? ??? ， 5 | PB | ? | DC |用心 爱心 专心 37 所以 CD 与平面 ADMN 所成的角为 arcsin10 。 512． 【06 重庆?文】 如图（上右图） ，在正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中，AB ? 1, BB1 ? 3 ?1 ， E 为 BB1 上使 B1E ? 1 的点。平面 AEC1 交 DD1 于 F ，交 A1D1 的延长线于 G ，求： （Ⅰ）异面直线 AD 与 C1G 所成角的大小； （Ⅱ）二面角 A ? C1G ? A1 的正切值； 【解】 解法一： （Ⅰ）由 AD // D1G知?C1GD1 为异面直 线 AD与C1G 所成的角。连接 C1 F .因为 AE 和 C1 F 分别 是平行平面 ABB1 A1和CC1D1D 与平面 AEC1 G 的交线，所 以 AE // C1 F , 由此可得 D1 F ? BE ? 3 , 再由 △FD 1G ∽△FDA 得 D1G ? 3在 Rt△C1D1G中，由C1D1 =1,D1G= 3,得?C1GD1 ??6。（Ⅱ）作 D1H ? C1G于H，连接FH，由三垂线定理知FH ? C1G,故?D1HF 为二面角 F ? C1G ? D1 即二面角 A ? C1G ? A1 的平面角在 Rt△GFD1中，由D1G ? 3, ?D1GH ? 从而 t an ?D1 HF ??6,得D1 H ?3 ， 2D1 F ? D1 H3 3 2?2解法二： （Ⅰ）由 AD // D1G知?C1GD1 为异面直线AD与C1G 所成的角。因为 EC1 和 AF 分别是平行平面 BB1C1C和AA1D1D 与平面 AEC1G 的交线，所以 EC1 // AF ，由此可得用心爱心专心38 ?AGA1 ? ?EC1B1 ??4从而 AG ? AA1 ? 3 ? 1，于是 D1G ? 3 1在 Rt△C1D1G中，由C1D1 =1,D1G= 3,得?C1GD1 ? （Ⅱ）在 △AC 中，由?C1 AG ? 1 1G 1?6?4, ?AGC 1 1 ??6知 ?AC 1 1G 为钝角，作 A1H ? GC1交GC1的延长线于H，连接AH，由三垂线定理知GH ? AH , 故?AHA1 为二面角二面角 A ? C1G ? A1 的平面角， 在 Rt△A1HG中，由A1G ? 3 ? 1, ?A1GH ? 从而 t an ?AHA1 ??6得A1 H ?3 ?1 , 2AA1 ? A1 H3 ?1 3 ?1 2?2。解法三： （Ⅰ）以 A1 为原点， A1 B1 , A1 D1 , A1 A 所在直线分别为 x 轴，y 轴和 z 轴建立如图所示 的空间直角坐标系。（0， 0， 3 ＋1） 于是 A ， C1(1,1,0) ， D(0,1, 3+1)，?? ? ???? ? E(1,0,1)， AD ? (0,1,0) ， EC1 ? (0,1, ?1)因为 EC1 和 AF 分别是平行平面 BB1C1C和AA1D1D 与平面 AEC 的 交 线 ， 所 以 EC1 // AF ， 设 1 G???? G ( 0 , y , ，则 0 ) AG ? (0, y, ?( 3 ? 1))???? ? 1 ?1 由 EC1 // AG得 ＝ ，于是 y= 3 ? 1 y -( 3＋1)故 G(0, 3 ? 1,0), C1G ? (?1, 3,0) , 设 异 面 直 线 AD 与 C1G 所 成 的 角 的 大 小 为 ? ， 则???? ????? ???? ? A D? C 3 ? 1 G ? ? ，从而 ? ? 。 cos ? ? ???? ???? 2 6 | A D |? | C 1 G|（Ⅱ）作 A1H ? C1G于H，由三垂线定理知GH ? AH , 故?AHA1 为二面角二面角???? ? ???? ? A ? C1G ? A1 的平面角,设 H (a, b,0), 则 A1H ?(a,b,0), C1H =(a-1,b-1,0)，由 A1 H ? C1G 得 A1 H ? C1G ? 0 ，由此得 a ? 3b ? 0............................(i)???? ? ???? ?用心爱心专心39 又由 H , C1 , G 共线得 C1H // C1G ，从而???? ? ???? ?a ?1 b ?1 ? ，于是 ?1 33a ? b ? ( 3 ? 1) ? 0........................... ..... (ii)联立（i）和（ii）得 a ?3?3 3 ?1 3 ? 3 3 ?1 , ) ，b ? ，故 H ( 4 4 4 4???? ? ???? 3 ?3 2 3 ?1 2 3 ?1 由 | A1 H |? ( ， | A1 A |? 3 ? 1 ) ?( ) ? 4 4 2???? | A1 A | ? ? 得： t an ?AHA1 ? ???? | A1 H | 3 ?1 3 ?1 2 ? 2。13． 【06 重庆?理】 如图，在四棱锥 P ? ABCD 中， PA ? 底面 ABCD，? DAB 为直角，AB // CD , AD ? CD ? 2 AB, E、 CD F 分别为 PC 、中点。 （I）试证： CD ? 平面 BEF ； A ? kA B? （II） 高P ， 且二面角 E ? BD ? C 的 平面角大小 30 ，求 k 的取值范围。 【解】 （I）证：由已知 DF // AB 且 ? DAB 为直角。故 ABFD 是矩形。从而 CD ? BF 。又?PB ? 底面 ABCD， CD ? AD ，故由三垂线定理知 CD ? PD 。在 Rt ?PDC 中，E、F 分别为 PC、CD 的中点，故 EF//PD,从而 CD ? EF ，由此得 CD ?面 BEF。 （II） 连接 AC 交 BF 于 G， 易知 G 为 AC 的中点， 连接 EG，则在 ? PAC 中易知 EG//PA。又因 PA ? 底 面 ABCD，故 EG ? 底面 ABCD。在底面 ABCD 中，过 G 作 GH ? BD。垂足为 H，连接 EH，由三垂线定理知 EH ? BD。 从而 ?EHG 为二面角 E-BD-C 的平面角。 设 AB ? ? , 则在?PAC中，有EG ?DFC1 1 PA ? k? 。 2 2G H以下计算 GH，考虑底面的平面图（如答（19）图 2） 。 连结 GD，因 S? CBD ? 故 GH＝GB ? DF 。在 ?ABD中，因AB ? a. AD ? 2a 。 BD 1 1 而 GB ? FB ? AD ? a, 得BD ? 5a ， 2 21 1 BD ? GH ? GB ? DF 。 2 2AB用心爱心专心40 1 ka GB ? AB a ? a 5 EG 2 5k 因此， 。 DF ? AB, 从而得GH ? ? ? a。 tan EHG ? ? ? BD 5 GH 2 5a 5a 5? 由 k ? 0 知 ?EHG 是锐角。故要使 ?EHG ? 30 ，必须5k 3 ， ? tan 30? ? 2 3解之得，上式中的取值范围为 k ?2 15 。 1514． 【06 福建?理】 如图，四面体 ABCD 中，O、E 分别是 BD、BC 的中点，CA ? CB ? CD ? BD ? 2, AB ? AD ? 2.（I）求证： AO ? 平面 BCD； （II）求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小； （III）求点 E 到平面 ACD 的距离。 【解】 本小题主要考查直线与平面的位置关 系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本 知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算 能力。 方法一： （I）证明：连结 OCAD O B E C? BO ? DO, AB ? AD,? AO ? BD. ? BO ? DO, BC ? CD,?CO ? BD.在 ?AOC 中，由已知可得 AO ? 1, CO ? 3. 而 AC ? 2,? AO2 ? CO2 ? AC 2 ,??AOC ? 90o , 即 AO ? OC.? BD ? OC ? O,? AO ? 平面 BCD（II） 取 AC 的中点 M，连结 OM、ME、OE，由 E 为 BC 的中点知 ME∥AB,OE∥DC? 直线 OE 与 EM 所成的锐角就是异面直线 AB 与 CD 所成的角在 ?OME 中， EM ?1 2 1 AB ? , OE ? DC ? 1, 2 2 21 AC ? 1, 2? OM 是直角 ?AOC 斜边 AC 上的中线，? OM ?? cos ?OEM ?2 , 4? 异面直线 AB 与 CD 所成角的大小为 arccos用心2 . 4专心 41爱心 （III） 设点 E 到平面 ACD 的距离为 h .?VE ? ACD ? VA?CDE ，∴1 1 h?S ?ACD ? ?AO ?S ?CDE . 3 3在 ?ACD 中， CA ? CD ? 2, AD ? 2,1 2 7 ? S?ACD ? ? 2 ? 22 ? ( )2 ? . 2 2 23 AO.S ?CDE 1? 2 21 ?h ? ? ? . S ?ACD 7 7 2而 AO ? 1, S?CDE ?1 3 2 3 ? ?2 ? , 2 4 2? 点 E 到平面 ACD 的距离为方法二： （I）同方法一。21 . 7（II）解：以 O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则 B(1,0,0), D(?1,0,0),??? ? ??? ? 1 3 C (0, 3, 0), A(0, 0,1), E ( , , 0), BA ? (?1, 0,1), CD ? (?1, ? 3, 0). 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? BA.CD 2 ? cos ? BA, CD ?? ??? , ? ??? ? ? z 4 BA CDA? 异面直线 AB 与 CD 所成角的大小为 arccos?2 . 4O x BD（III）解：设平面 ACD 的法向量为 n ? ( x, y, z ), 则? ???? ? ? n ? x ? z ? 0, ? . AD ? ( x, y, z ).(?1, 0, ?1) ? 0, ?? ? ? ???? ? ? ? 3 y ? z ? 0. ?n. AC ? ( x, y, z ).(0, 3, ?1) ? 0, ? 令 y ? 1, 得 n ? (? 3,1, 3) 是平面 ACD 的一个法向量。ECy??? ? 1 3 又 EC ? (? , , 0), 2 2??? ?? EC ?n 3 21 ? 点 E 到平面 ACD 的距离 h ? ? ? ? . 7 7 n15． 【06 湖北?理】 如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，P 是侧棱 CC1 上的 一点，CP=m， （I）试确定 m，使得直线 AP 与平面 BD D1B1 所成角 的正切值为 3 2 ； （Ⅱ）在线段 A1C1 上是否存在一个定点 Q，使得对任 意的 m，D1Q 在平面 APD1 上的射影垂直于 AP，并证明你 的结论。用心 爱心 专心 42 【解】 本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识及空间想像能力和推 理运算能力。考查应用向量知识解决数学问题的能力。 解法１： （I） 连AC, 设AC ? BD ? O,AP与面BDD1 B1 交于点G，连OG. 因为PC // 面BDD1 B1 , 面BDD1 B1 ? 面APC ? OG,故 OG // PC 。所以 OG ?1 m PC ? 。 2 2又 AO ? DB, AO ? BB1 , 所以AO ? 面BDD1 B1 . 故 ?AGO即为AP与面BDD1 B1 所成的角。2 1 在 Rt △ AOG中， tan AGO ? 2 ? 3 2 ，即 m ? . m 3 2 1 故当 m ? 时，直线 AP与平面BDD1B1所成的角的正切值为3 2 。 3（Ⅱ）依题意，要在 A1 C1 上找一点 Q ，使得 D1 Q ? AP . 可推测 A1 C1 的中点 O1 即为所求的 Q 点。 因为 D1 O1 ? A 1 C1 . D 1O 1 ? AA 1 ，所以 D 1 Q ? 面ACC1 A 1. 又 AP ? 面ACC1 A 1 . ,故 D 1O 1 ? AP 。 从而 D1 O1 在平面AD1 P上的射影与AP垂直。 解法二： （I）建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,ｍ)，C(0,1,0), D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1). 所以 BD ? (?1, ?1, 0), BB1 ? (0, 0,1),??? ????? ???? ? ??? ? AP ? (?1,1, m), AC ? (?1,1,0).又由 AC ? BD ? 0, AC ? BB1 ? 0知 AC为平面BB1 D1 D 的一个法向量. 设 AP 与 面BDD1 B1 所成的角为 ? ，???? ??? ?? ???? ??????????? ? ???? | AP ? AC | 2 ? ???? ? 则 sin ? ? cos( ? ? ) ? ??? 2 | AP | ? | AC | 2 ? 2 ? m2?用心爱心专心43 依题意有：2 2? 2?m2?3 2 1 ? (3 2) 2，解得 m ?1 . 3故当 m ?1 时，直线 AP与平面BDD1B1所成的角的正切值为3 2 。 3（Ⅱ）若在 A1 C1 上存在这样的点 Q ，设此点的横坐标为 x ， 则 Q( x,1 ? x,1), DQ ? ( x,1 ? x,0) 。 1 依题意，对任意的 m 要使 D1Q 在平面 APD1 上的射影垂直于 AP。等价于???? ????? ? ??? ? ???? ? 1 D1Q ? AP ? AP ? D1Q ? 0 ? x ? (1 ? x) ? 0 ? x ? 2即 Q 为 A1 C1 的中点时，满足题设的要求。 16． 【06 湖北?文】 如图，已知正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧棱长和底面边长为 1， M 是 底 面 BC 边上 的中点 ， N 是侧棱 CC1 上 的点 ，且CN＝2C1N 。（Ⅰ）求二面角 B1 ? AM ? N 的平面角的余弦值； （Ⅱ）求点 B1 到平面 AMN 的距离。 【解】 本小题主要考查线面关系、二面角和点到平 面距离的有关知识及空间想象能力和推理运算能力。 考查应用向量知识解决数学问题的能力。 解法 1： （Ⅰ） 因为 M 是底面 BC 边上的中点， 所以 AM ? BC， 又 AM ? CC1 ,所以 AM ? 面 BCC1B1 ， 从 而 AM ? B1M , AM ? NM ， 所 以 ? B1MN 为 二 面 角 B1 ? AM ? N 的 平 面 角 。 又B1M = B1 B 2 ? BM 2 ? 1 ?1 5 1 4 5 2 2 ，MN= MC ? CN ? ? ? ? , 4 2 4 9 62连 B1 N ，得 B1 N ＝ B1C1 ? C1 N ? 1 ?21 10 ， ? 9 3在 ?B1MN 中，由余弦定理得5 25 10 ? ? B 1 M ? MN ? B 1 N 4 36 9 ? 5 。 cos ?B1MN ? ? 2?B 1 M ?MN 5 5 5 2? ? 2 62 2 2用心爱心专心44 故所求二面角 B1 ? AM ? N 的平面角的余弦值为5 。 5（Ⅱ）过 B1 在面 BCC1B1 内作直线 B1H ? MN ， H 为垂足。又 AM ? 平面 BCC1B1 ， 所以 AM ? B1H 。 于是 B1 H ? 平面 AMN， 故 B1H 即为 B1 到平面 AMN 的距离。 在 R1?B1HM 中，B1H ＝ B1M sin B1MH ?5 1 ? 1 ? ? 1 。故点 B1 到平面 AMN 的距离为 1。 2 51 ，0）, 2解法 2： （Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则 B1 （0，0，1） ，M（0，C(0,1,0)，N (0,1,2 3 1 ) ，A ( ? , , 0 )，所以， 3 2 2???? ? ???? ? ???? ? 1 1 2 3 AM ? ( , 0, 0) ，MB1 ? (0, ? ,1) ，MN ? (0, , ) 。 2 2 3 23 1 ? 0 ? 0 ? ( ? ) ? 0 ?1 ? 0 2 2 ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? 所以 MB1 ? AM ，同法可得 MN ? AM 。因为 MB1 ?AM ? 故 ? MB1 , MN ? 为二面角 B1 ? AM ? N 的平面角。???? ? ???? ????? ? ???? ????? ? ???? ? ???? ? ???? ? MB1 ? MN ∴ cos ? MB1 , MN ? ＝ ???? ? ???? ? ? MB1 ? MN5 12 ? 5 . 5 5 5 ? 2 65 。 5故所求二面角 B1 ―AM―N 的平面角的余弦值为（Ⅱ）设 n ? ( x, y, z ) 为平面 AMN 的一个法向量，则由 n ? AM , n ? MN 得???? ????? ?? 3 ?x ? 0 x?0 ? ? 2 ? ?? 4 ? y?? z ?1 y ? 2 z ? 0 ? 3 ? ? 3 ?2故可取 n ? (0, ?4 ,1) 。 35 ???? ? ???? ? MB1 ? n 2 5 设 MB1 与 n 的夹角为 ? ，则 cos ? ? ???? 。 ? 3 ? ? 3 5 5 MB1 ? n ? 2 3用心 爱心 专心 45 所以 B1 到平面 AMN 的距离为 MB1 ? cos a ????? ?5 2 5 ? ? 1。 2 517． 【06 湖南?理】 如图 4, 已知两个正四棱锥 P ? ABCD与Q ? ABCD 的高分别为 1 和 2, AB ? 4 。P（I）证明: PQ ? 平面ABCD ； （II）求异面直线 AQ与PQ 所成的角； （III）求点 P 到平面 QAD 的距离。AD C BQ【解】 解法一： （Ⅰ）连接 AC、BD，设 AC ? BD＝O图4因为 P－ABCD 与 Q－ABCD 都是正四棱锥， 所以 PO ? 平面 ABCD，QO ? 平面 ABCD 从而 P、O、Q 三点在一条直线上，所以 PQ ? 平面 ABCD （II）由题设知，ABCD 是正方形，所以 AC ? BD ．由（I） ， PQ ? 平面 ABCD ，故可 分别以直线 CA、DB、QP 为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系（如图） ，由题设条件，相0 ,0 ,( 2 ) 关各点的坐标分别是 P(0,0,1) ，A（ 2 2 ,0,0） ，Q?， B(0,2 2,0)???? 所以AQ ? (?2 2,0, ?2),??? ? PB ? (0,2 2, ?1),???? ??? ? ???? ??? ? AQ?PB 3 于是 cos ? AQ, PB ?? ? AQ ?PB 9从而异面直线 AQ 与 PB 所成的角是 arccos （Ⅲ）由（Ⅱ） ，点 D 的坐标是3 。 9??? ? (0, ?2 2,0), AD ? (?2 2, ?2 2,0) ， ??? ? PQ ? (0,0, ?3) ，? ???? ? ? ?n ? AQ ? 0 ? ? 2x ? z ? 0 得? 设 n ＝（x,y,z）是平面 QAD 的一个法向量，由 ? ? ???? ?x ? y ? 0 ?n ? AD ? 0 ? ?? 取x ? 1, 得n ? (1, ?1, ? 2)??? ? ? PQ ? n 3 2 ? ? 所以点 P 到平面 QAD 的距离 d ? ?? 。 ? 2 n解法二： （Ⅰ）取 AD 的中点 M，连接 PM、QM。 因为 P－ABCD 与 Q－ABCD 都是正四棱锥，所以 AD ? PM，AD ? QM。用心 爱心 专心 46 从而 AD ? 平面 PQM。 又 PQ ? 平面 PQM，所以 PQ⊥AD。 同理 PQ⊥AB，所以 PQ⊥平面 ABCD。 （Ⅱ）连接 AC、BD，设 AC ? BD＝O，由 PQ ? 平面 ABCD 及正四棱锥的性质可知 O 在 PQ 上，从而 P，A，Q，C 四点共面。 取 OC 的中点 N，连接 PN。 因为PO 1 NO NO 1 ? , ? ? ，所以 OQ 2 OA OC 2PO NO ? , 从而AQ // PN ， ?BPN （或其补角）是异面直线 AQ 与 PB 所成的角。 OQ OA连接 BN。 因为 PB ? OB 2 ? OP 2 ? (2 2) 2 ? 1 ? 3 ．PN ? ON 2 ? OP 2 ? ( 2) 2 ? 1 ? 3BN ? OB 2 ? ON 2 ? (2 2) 2 ? ( 2) 2 ? 10PB2 ? PN 2 ? BN 2 9 ? 3 ? 10 3 所以 cos ?BPN ? 。 ? ? 2PB?PN 9 2 ? 3? 3从而异面直线 AQ 与 PB 所成的角是 arccos3 。 9（Ⅲ）由（Ⅰ）知，AD⊥平面 PQM，所以平面 QAD⊥平面 PQM 。 过点 P 作 PH⊥QM 于 H，则 PH⊥QAD，所以 PH 的长为点 P 到平面 QAD 的距离。 连结 OM。因为 OM=1 AB=2=OQ，所以∠MQP=45°。 2又 PQ=PO+QO=3，于是 PH=PQsin45°=3 2 。 2即点 P 到平面 QAD 的距离是3 2 。 218． 【06 江苏】 在正三角形 ABC 中，E、F、P 分别是 AB、AC、BC 边上的点，满足 AE:EB ＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图 1） 。将△AEF 沿 EF 折起到 ?A1 EF 的位置，使二面角 A1－EF－B 成直二面角， 连结 A1B、 A1P （如图 2） （Ⅰ）求证：A1E⊥平 面 BEP； （Ⅱ）求直线 A1E 与 平面 A1BP 所成角的大小；B P CA EEA1FFB图1用心P爱心C图2专心 47 （Ⅲ）求二面角 B－A1P－F 的大小（用反三角函数表示） 。 【解】[考点分析：本题主要考查线面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识，以 及空间线面位置关系的证明、角和距离的计算等，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运 算能力] 不妨设正三角形的边长为 3，则 （I）在图 1 中，取 BE 的中点 D，连结 DF， ∵AE∶EB=CF∶FA=1∶2，∴AF=AD=2，而∠A=60 ，∴△ADF 为正三角形。 又 AE=DE=1，∴EF⊥AD。 在图 2 中，A1E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A1EB 为二面角 A1－EF－B 的一个平面角， 由题设条件知此二面角为直二面角，∴A1E⊥BE。 又 BE ? EF=E，∴A1E⊥面 BEF，即 A1E⊥面 BEP。 （II）在图 2 中，∵A1E 不垂直于 A1B，∴A1E 是面 A1BP 的斜线，又 A1E⊥面 BEP， ∴A1E⊥BP，∴BP 垂直于 A1E 在面 A1BP 内的射影（三垂线定理的逆定理） 设 A1E 在面 A1BP 内的射影为 A1Q，且 A1Q 交 BP 于 Q， 则∠EA1Q 就是 A1E 与面 A1BP 所成的角，且 BP⊥A1Q。 在△EBP 中，∵BE=BP=2，∠EBP=60 ，∴△EBP 为正三角形，∴BE=EP。 又 A1E⊥面 BEP，∴A1B=A1P，∴Q 为 BP 的中点，且 EQ= 3 ，而 A1E=1， ∴在 Rt△A1EQ 中， tan?A1 EQ ?o oEQ ? 3 ，即直线 A1E 与面 A1BP 所成角为 60o。 A1 E（III）在图 3 中，过 F 作 FM⊥A1P 于 M，连结 QM、QF。 ∵CF=CP=1，∠C=60 ，∴△FCP 为正三角形，故 PF=1， 又 PQ=o1 BP=1， ∴PF=PQ?? ① 2∵A1E⊥面 BEP，EQ=EF= 3 ，∴A1F=A1Q， ∴△A1FP ? △A1QP，故∠A1PF=∠A1PQ?? ② 由①②及 MP 为公共边知△FMP ? △QMP， 故∠QMP=∠FMP=90°，且 MF=MQ， ∴∠FMQ 为二面角 B－A1P－F 的一个平面角。 在 Rt△A1QP 中，A1Q=A1F=2，PQ=1， ∴A1P= 5 ，用心爱心专心48 ∵MQ⊥A1P，∴MQ=A1Q ? PQ 2 5 ? ， 5 A1 Po∴MF=2 5 。 5在△FCQ 中，FC=1，QC=2，∠C=60 ，由余弦定理得 QF= 3 ， 在△FMQ 中， cos ?FMQ ?MF 2 ? MQ 2 ? QF 2 7 ?? ， 2MF ? MQ 87 。 8∴二面角 B－A1P－F 的的大小为 ? ? arccos19． 【06 江西?理】如图，在三棱锥 A－BCD 中，侧面 ABD、ACD 是全等的直角三角形， AD 是公共的斜边，且 AD＝ 3 ，BD＝CD＝1，另一个侧面是正三角形 （1）求证：AD?BC； （2）求二面角 B－AC－D 的大小； （3）在直线 AC 上是否存在一点 E，使 ED 与面 BCD。 成 30?角？若存在，确定 E 的位置；若不存在，说明理由。 【解】 解法一： （1） 方法一： 作 AH?面 BCD 于 H，连 DH。 A AB?BD?HB?BD，又 AD＝ 3 ，BD＝1NAB DC?AB＝ 2 ＝BC＝AC ?BD?DC 又 BD＝CD，则 BHCD 是正方形， 则 DH? BC ?AD?BCBE M O H F C D方法二：取 BC 的中点 O，连 AO、DO 则有 AO?BC，DO?BC， ?BC?面 AOD ?BC?AD （2）作 BM?AC 于 M，作 MN?AC 交 AD 于 N，则?BMN 就是二面角 B－AC－D 的平面角，因 为 AB＝AC＝BC＝ 2 ?M 是 AC 的中点，且 MN??CD，则 BM＝1 1 1 6 ，MN＝ CD＝ ，BN＝ AD 2 2 2 2＝3 6 ，由余弦定理可求得 cos?BMN＝ 2 3? ?BMN＝arccos6 。 3（3）设 E 是所求的点，作 EF?CH 于 F，连 FD。则 EF??AH，?EF?面 BCD，?EDF 就是 ED 与面 BCD 所成的角，则?EDF＝30?。设 EF＝x，易得 AH＝HC＝1，则 CF＝x，用心 爱心 专心 49 FD＝ 1＋x 2 ，?tan?EDF＝EF x 3 ＝ ＝ FD 3 1＋x 2解得：x＝2 ， 2则 CE＝ 2 x＝1 故线段 AC 上存在 E 点，且 CE＝1 时，ED 与面 BCD 成 30?角。 解法二：此题也可用空间向量求解，解答略。 20． 【06 江西?文】 如图，已知三棱锥 O ? ABC 的侧棱 OA、OB、OC 两两垂直，且 OA=1，OB=OC=2，E 是 OC 的中点。 （1）求 O 点到面 ABC 的距离； （2）求异面直线 BE 与 AC 所成的角； （3）求二面角 E ? AB ? C 的大小。【解】方法一： （1）取 BC 的中点 D，连 AD、OD。 ? OB ? OC ，则 OD ? BC、AD ? BC， ∴BC⊥面 OAD。过 O 点作 OH⊥AD 于 H， 则 OH⊥面 ABC，OH 的长就是所要求的距离。BC ? 2 2 ， OD ? OC2 ? CD2 ? 2 。? OA ? OB，OA ? OC，∴ OA ? 面 OBC，则 OA ? OD 。AD ? OA2 ? OD2 ? 3 ，在直角三角形 OAD 中，有 OH ?OA ? OD 2 6 ? ? 。 AD 3 3（另解：由 VO ??ABC ?1 1 2 6 S ?ABC ? OH ? OA ? OB ? OC ? 知： OH ? ） 3 6 3 3（2）取 OA 的中点 M，连 EM、BM，则 EM∥AC，∠BEM 是异面直线 BE 与 AC 所成的角。 求得： EM ?1 5 17 AC ? ，BE ? OB 2 ? OE 2 ? 5 ， BM ? OM 2 ? OB 2 ? 。 2 2 22 BE 2 ? ME 2 ? BM 2 2 cos ?BEM ? ? ， ∴ ?BEM ? arccos 。 5 2 BE ? ME 5（3）连结 CH 并延长交 AB 于 F，连结 OF、EF。 ∵OC⊥面 OAB， ∴OC⊥AB。 又∵OH⊥面 ABC，用心 爱心 专心 50 ∴CF⊥AB∴EF⊥AB，则∠EFC 就是所求二面角的平面角。作 EG⊥CF 于 G，则 EG ?1 6 。 OH ? 2 6在直角三角形 OEF 中， EF ? OE 2 ? OF 2 ? 1 ?4 3 ? , 5 5sin?EFG ?EG ? EF6 6 3 5?30 30 7 6 , ?EFG ? arcsin . （或表示为 arccos ） 18 18 18方法二： （1）以 O 为原点，OB、OC、OA 分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系。 则有 A（0,0,1） 、B（2,0,0） 、C（0,2,0） 、E（0,1,0） 设平面 ABC 的法向量为 n1 ? ( x, y, z) ，则由 n1 ? AB 知： n1 ?AB ? 2x ? z ? 0 ， 则由 n1 ? AC 知： n1 ?AC ? 2 y ? z ? 0 ，??????? ??? ??? ?????? ??? ??? ??? ??? ? n1 ? OA ?? 2 6 取 n1 ? (1,1,2) ，则点 O 到面 ABC 的距离为 d ? 。 ? ?? ? 3 1?1? 4 n1（2） EB ? (2,0,0) ? (0,1,0) ? (2, ?1,0) 。??? ???? ? AC ? (0,2, ?1)??? ? ???? cos EB, AC ?2 ?2 2 ? ? , 所以异面直线 BE 与 AC 所成的角 arccos 。 5 5 5? 5（3）设平面 EAB 的法向量为 n ? ( x, y, z) ，则由 n ? AB 知 n ? AB ? 2 x ? z ? 0 ； 由 n ? EB 知： n? EB ? 2x ? y ? 0. 取 n ? (1, 2, 2) 。 由（1）知平面 ABC 的法向量为 n1 ? (1,1,2) 。????? ?? ??? ????? ?? ??? ????? ?? ? ?? n?n1 1 ? 2 ? 4 7 7 6 cos n, n1 ? ? ?? ? ? ? , 18 9? 6 3 6 n n1结合图形可知，二面角 E ? AB ? C 的大小为： arccos7 6 。 1821． 【06 辽宁?理】 已知正方形 ABCD 。 E 、 F 分别是 AB 、 CD 的中点,将 ?ADE 沿 DE 折起，如图所示。记二面角 A ? DE ? C 的大小为 ? (0 ? ? ? ? ) 。 （I） 证明 BF // 平面 ADE ； （II） 若 ?ACD 为正三角形，试判断点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 是否在直线 EF 上，证明你的结论,并求角 ? 的余弦值。用心爱心专心51 错误!【解】 （I） 证明：EF 分别为正方形 ABCD 得边 AB、CD 的中点, ? EB//FD，且 EB=FD， ? 四边形 EBFD 为平行四边形。 ? BF//ED? EF ? 平面AED, 而BF ? 平面AED? BF // 平面 ADE .（II）解法 1： 如右图，点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上， 过点 A 作 AG 垂直于平面 BCDE,垂足为 G，连结 GC,GD. ? ? ACD 为正三角形， ? AC=AD ? CG=GD ? G 在 CD 的垂直平分线上， ? 点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上， 过 G 作 GH 垂直于 ED 于 H，连结 AH，则 AH ? DE ，所以 ?AHG 为二面角 A―DE―C 的平面角。即 ?AHG ? ? 。 设原正方体的边长为 2a，连结 AF 在折后图的 ? AEF 中，AF= 3a ，EF=2AE=2a， 即 ? AEF 为直角三角形， AG ? EF ? AE ? AF 。? AG ?2 a 53 a 2? GH ? a 2 5在 Rt ? ADE 中, AH ? DE ? AE ? AD? AH ?cos ? ?GH 1 ? 。 AH 4解法 2：点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上 连结 AF，在平面 AEF 内过点作 AG ? ? EF ，垂足为 G ? 。 ? AF ? CD ? ? ACD 为正三角形，F 为 CD 的中点， 又因 EF ? CD , 所以 CD ? 平面AEF? AG? ? 平面AEF? AG ? ? CD又 AG ? ? EF 且 CD ? EF ? F , CD ? 平面BCDE, EF ? 平面BCDE? AG? ? 平面BCDE用心 爱心 专心 52 ? G ? 为 A 在平面 BCDE 内的射影 G.即点 A 在平面 BCDE 内的射影在直线 EF 上 过 G 作 GH 垂直于 ED 于 H，连结 AH,则 AH ? DE ，所以 ?AHD 为二面角 A-DE-C 的平 面角。即 ?AHG ? ? 设原正方体的边长为 2a，连结 AF 在折后图的 ? AEF 中，AF= 3a ，EF=2AE=2a， 即 ? AEF 为直角三角形, AG ? EF ? AE ? AF? AG ?2 a 53 a 2? GH ? a 2 5在 Rt ? ADE 中, AH ? DE ? AE ? AD? AH ?cos ? ?GH 1 ? 。 AH 4解法 3：点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上 连结 AF，在平面 AEF 内过点作 AG ? ? EF ，垂足为 G ? 。 ? AF ? CD ? ? ACD 为正三角形，F 为 CD 的中点, 又因 EF ? CD ，所以 CD ? 平面AEF?CD ? 平面BCDE?平面AEF ? 平面BCDEAG ? ? EF又?平面AEF ? 平面BCDE =EF,AG? ? EF? AG? ? 平面BCDE? G ? 为 A 在平面 BCDE 内的射影 G。即点 A 在平面 BCDE 内的射影在直线 EF 上。 过 G 作 GH 垂直于 ED 于 H，连结 AH，则 AH ? DE ，所以 ?AHD 为二面角 A-DE-C 的 平面角.即 ?AHG ? ? 。 设原正方体的边长为 2a，连结 AF 在折后图的 ? AEF 中，AF= 3a ，EF=2AE=2a， 即 ? AEF 为直角三角形, AG ? EF ? AE ? AF? AG ?2 a 53 a 2? GH ? a 2 5,在 Rt ? ADE 中, AH ? DE ? AE ? AD? AH ?cos ? ?GH 1 ? 。 AH 4用心爱心专心53 22． 【06 全国Ⅰ?理】 如图， l1 、 l 2 是互相垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段。 点 A、B 在 l1 上，C 在 l 2 上，AM=MB=MN。 （Ⅰ）证明 AC ? NB （Ⅱ）若 ?ACB ? 60? ,求 NB 与平面 ABC 所成角的余弦值. 【解】 解法一： （Ⅰ）由已知l2 ? MN , l2 ? l1 , MN ? l1 ? M , 可得l2 ? 平面ABN 由已知MN ? l1，AM＝MB ? MN，可知AN ? NB且AN ? NB又 AN 为 AC 在平面 ABN 内的射影? AC ? NB （Ⅱ）? Rt ?CNA ? Rt ?CNB.? AC ? BC , 又已知 ?ACB ? 600 ，因此 ?ABC 为正三角形. ? Rt ?ANB ? Rt ?CNB,? NC ? NA ? NB ，因此 N 在平面 ABC 内的射影 H 是正三 角形 ABC 的中心，连结 BH， ?NBH 为 NB 与平面 ABC 所成的角.3 AB HB 6 ? 3 ? . 在 Rt ?NHB 中， cos ?NBH ? NB 3 2 AB 2解法二： 如图，建立空间直角坐标系 M ? xyz . 令 MN ? 1 ,则有 A（-1，0，0） ，B（1，0，0） ，N（0，1，0） 。 （Ⅰ）? MN 是 l1 、 l2 的公垂线， l2 ? l1 ，?l2 ? 平面ABN?l2平行于z轴故可设 C（0，1，m） 。 于是 AC ? （1，1，m ）, NB ? (1, ?1,0)??? ??? ???? ? ??? ? ? AC?NB ? 1 ? (?1) ? 0 ? 0 ，???? ??? ?? AC ? NB 。（Ⅱ）? AC ? (1,1, m), BC ? (?1,1, m) ? AC ? BC 又已知 ?ACB ? 60 ,0??????? ?? ?ABC 为正三角形， AC ? BC ? AB ? 2 。在 Rt ?CNB 中， NB ? 2 ，可得 NC ? 2 ，故 C（0，1， 2 ）用心 爱心 专心 54 连结 MC，做 NH ? MC 于 H，设 H (0, ?, 2? )(? ? 0)???? ???? ? ? HN ? (0,1 ? ?, ? 2?), MC ? (0,1, 2)???? ???? ? 1 ? HN ?MC ? 1 ? ? ? 2? ? 0,? ? ? 3???? ???? 1 2 2 2 1 2 ? H (0, , ) ，可得 HN ? (0, , ? ) ，连结 BH，则 BH ? (?1, , )， 3 3 3 3 3 3 ???? ???? ???? ???? 2 2 ? HN ?BH ? 0 ? ? ? 0, 又 MC ? BH ? H ? HN ? BH , 9 9? HN ? 平面ABC, ?NBH为NB与平面ABC所成的角 ??? ? 又 BN ? （-1，1，0）4 ???? ???? BH ?BN 6 3 。 ? cos ?NBH ? ???? ???? ? ? 2 3 BH BN ? 2 323． 【06 全国Ⅱ? 理】 如图， 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中，AB ? BC , D 、E 分别为 BB1 、AC1 的中点。（I）证明：ED 为异面直线 BB1 与 AC1 的公垂线； （II） 设 AA 求二面角 A1 ? AD ? C1 的大小。 1 ? AC ? 2 AB, 【解】 解法一： 1 ∥ C1C， （Ⅰ）设 O 为 AC 中点，连接 EO，BO，则 EO＝ 2 ∥B1B，所以 EO＝ ∥DB，EOBD 为平行四边形，ED∥OB． 又 C1C＝ ∵AB＝BC，∴BO⊥AC， 又平面 ABC⊥平面 ACC1A1， BO ? 面 ABC， 故 BO⊥平面 ACC1A1， ∴ED⊥平面 ACC1A1， ED⊥AC1， ED⊥CC1， ∴ED⊥BB1，ED 为异面直线 AC1 与 BB1 的公垂线．C1 A1B1D E BC AC1 A1B1 D E F BCA （Ⅱ）连接 A1E，由 AA1＝AC＝ 2AB 可知，A1ACC1 为正方形， ∴A1E⊥AC1， 又由 ED⊥平面 ACC1A1 和 ED ? 平面 ADC1 知 平面 ADC1⊥平面 A1ACC1，∴A1E⊥平面 ADC1．作 EF⊥AD，垂足为 F，连接 A1F， 则 A1F⊥AD，∠A1FE 为二面角 A1－AD－C1 的平面角． 不妨设 AA1＝2，则 AC＝2，AB＝ 2ED＝OB＝1，EF＝ tan∠A1FE＝ 3，∴∠A1FE＝60°． 所以二面角 A1－AD－C1 为 60°． 解法二：用心 爱心 专心 55OAE×ED 2 ＝ ， AD 3 （Ⅰ）如图，建立直角坐标系 O－xyz，其中原点 O 为 AC 的中点． 设 A(a,0,0)，B(0,b,0)，B1(0,b,2c)． 则 C(－a,0,0)，C1(－a,0,2c)，E(0,0,c)，D(0,b,c)． → → ED ＝（0，b，0） ， BB1 ＝(0，0，2c)． ∴ED⊥BB1． → 又 AC1 ＝(－2a,0,2c)， → → ED ? AC1 ＝0， ∴ED⊥AC1， C E O → → ED ? BB1 ＝0， C1z B1 A1 D y B A x所以 ED 是异面直线 BB1 与 AC1 的公垂线． （Ⅱ）不妨设 A(1,0,0)，则 B(0,1,0)，C(－1,0,0)，A1(1,0,2)， → → → BC ＝(－1,－1,0)， AB ＝(－1,1,0)， AA1 ＝(0,0,2)， → → → → BC ? AB ＝0， BC ? AA1 ＝0，即 BC⊥AB，BC⊥AA1，又 AB∩AA1＝A， ∴BC⊥平面 A1AD．→ → → 又 E(0,0,1)，D(0,1,1)，C(－1,0,1)， EC ＝(－1,0,－1)， AE ＝(－1,0,1)， ED ＝ (0,1,0)， → → → → EC ? AE ＝0， EC ? ED ＝0，即 EC⊥AE，EC⊥ED，又 AE∩ED＝E， → → → → → → EC ? BC 1 cos＜ EC ， BC ＞＝ ＝ ，即得 EC 和 BC 的夹角为 60°． → → 2 | EC |?| BC | 所以二面角 A1－AD－C1 为 60°． 24． 【06 山东?理】 如图，已知平面 A1 B1C1 平行于三棱锥 V ? ABC 的底面 ABC，等边 △ AB1C 所在的平面与底面 ABC 垂直，且∠ACB=90°，设 V ∴ EC⊥面 C1AD．AC ? 2a, BC ? aA1 （Ⅰ）求证直线 B1C1 是异面直线 AB1 与 A1C1 的公垂线； （Ⅱ）求点 A 到平面 VBC 的距离； （Ⅲ）求二面角 A ? VB ? C 的大小。 【解】解法 1： （Ⅰ）证明： ∵平面 A B B1 C C1A1B1C1 ∥平面 ABC ，? B1C1 // BC, AC 1 1 // AC? BC ? AC? B1C1 ? AC 1 1又∵平面 AB1C ⊥平面 ABC ，平面 AB1C ∩平面 ABC ? AC ， ∴ BC ⊥平面 AB1C ，? BC ? AB1? B1C1 ? AB1 ，用心爱心专心56 又? AC 1 1 ?B 1C1 ? C1 ， B 1C1 ? AB 1 ?B 1. （Ⅱ）解法 1：过 A 作 AD ? B1C 于 D， ∵△ AB1C 为正三角形， ∵BC⊥平面 AB1C 又 B1C ? BC ? C ， ∴D 为 B1C 的中点. ∴ BC ? AD ， ∴AD⊥平面 VBC ，? B1C1 为 AB1 与 AC 1 1 的公垂线.∴线段 AD 的长即为点 A 到平面 VBC 的距离. 在正△ AB1C 中， AD ?3 3 ? AC ? ? 2a ? 3a . 2 2∴点 A 到平面 VBC 的距离为 3a . 解法 2：取 AC 中点 O 连结 B1O ，则 B1O ⊥平面 ABC ，且 B1O = 3a . 由（Ⅰ）知 BC ? B1C ，设 A 到平面 VBC 的距离为 x， 即 ??VB1 ? ABC ? VA?BB1C ，1 1 1 1 BC ? AC ? B1O ? ? BC ? B1C ? x ，解得 x ? 3a . 3 2 3 2即 A 到平面 VBC 的距离为 3a . 所以， A 到平面 VBC 的距离为 3a . （III） 过 D 点作 DH ? VB 于 H ，连 AH ，由三重线定理知 AH ? VB ??AHD 是二面角 A ? VB ? C 的平面角。 在 Rt ? AHD 中， AD ? 3a,?B1DH ? ?B1BC,DH B1 D ? . BC B1 B? DH ?B1D ? BC 5 ? a. B1B 5? tan ?AHD ?AD ? 15 。 DH??AHD ? arctan 15 。所以，二面角 A ? VB ? C 的大小为 arctan 15 。 解法二： 取 AC 中点 O 连 B1O ,易知 OB1 ? 底面 ABC ， 过 O 作直线 OE // BC 交 AB 于 E 。 取 O 为空间直角坐标系的原点， OE, OC, OB1 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立 如图所示的空间直角坐标系。则 A(0, ?a,0), B(a, a,0), C(0, a,0), B1(0,0, 3a) 。用心爱心专心57 （I）? BC ? (?a,0,0) ， AB1 ? (0, a, 3a) ，??? ???????? ? ???? ? BC ? AB1 ? (?a,0,0) ? (0, a, 3a) ? 0 ， ??? ? ???? ? BC ? AB1 。? BC ? AB1又? B1C1 // BC, B1C1 ? AB1 由已知 BC ? AC, AC // AC 1 1。 而 BC // B1C1 ,? B1C1 ? AC 1 1。 又 B1C1与AB1 , AC 1 1 显然相交，? BC ? AC 1 1，? B1C1 是 AB1与AC 1 1 的公垂线。（II）设平面 VBC 的一个法向量 n ? ( x, y, z) ， 又 CB1 ? (0, ?a, 3a)?????? ??? ? ? (?a, 0, 0) ? 0 ? ?n ? BC ?( x, y, z )? 由 ? ? ???? ? ? (0, ?a, 3a) ? 0 ?n ? CB1 ? ? ( x, y , z ) ? ? ? 取 z ? 1 得 n ? (0, 3,1),点 A 到平面 VBC 的距离，即 AB1 在平面 VBC 的法向量 n 上的投影的绝对值。???????? ? AB1 ? (0, a, 3a) ，设所求距离为 d 。???? ? ???? AB1 ? n 2 3 ???? ???? ? 则 d ? AB1 ? cos ? AB1 ? n ? ? AB1 ? ???? ? ? 3a AB1 ? n 2所以，A 到平面 VBC 的距离为 3a . （III）设平面 VAB 的一个法向量 m ? ( x1, y1, z1 ),???? ???? ?? ???? ? ?m ? AB1 ? 0 ? ?ay ? 3az1 ? 0 ?m ? AB1 ? ?? 1 由 ? ?? ??? ? ? ??? ??? ? ?ax1 ? 2ay1 ? 0 ?m ? AB ?m ? AB ? 0 ? ? ? ?? ? ?? m? n 1 ?cos ? m, n ?? ?? ? ? ? . 4 | m|?| n |取 z1 ? 1， m ? (2 3, ? 3,1),??? 二面角 A ? VB ? C 为锐角，所以，二面角 A ? VB ? C 的大小为 arccos .1 4选择题与填空题答案用心 爱心 专心 58 一、选择题 1．D 2．A 8．C 9．C 15．D 16．D 二、填空题 1．①③④⑤3．D 10．B 17．A4．B 11．C 18．B5．C 12．D6 ．B 13．C7．B 14．C2．①③3．21 78．4． ? R1 33 R 25．3 46． 37． [2 1 , ] 4 26 39．? 310．①，②用心爱心专心59
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2014届高考数学冲刺基础提升训练：2.1.1 平 面
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在手机端浏览在同一平面内，20个点必有3个点在一条直线上 （√或×） 说明理由_百度知道
在同一平面内，20个点必有3个点在一条直线上 （√或×） 说明理由
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只是可能，不是必有要说“必有”。试举一例就明白了：假如这20个点恰好都在同一个圆的圆周上，能出现3个点在同一条直线上吗，就是两个。三个以上
对的，因为三点确定一个平面，换而言之，既然有平面必然需要三点在同一直线上
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阅读下列材料并填空．平面上有n个点（n≥2）且任意三个点不在同一条直线上，过其中的每两点画直线，一共能作出多少条不同的直线？①分析：当仅有两个点时，可连成1条直线；当有3个点时，可连成3条直线；当有4个点时，可连成6条直线；当有5个点时，可连成10条直线…②归纳：考察点的个数和可连成直线的条数Sn发现：如下表
点的个数&可作出直线条数&2&1=S2=2×12&3&3=S3=3×22&4&6=S4=4×32&5&10=S5=5×42&…&…&n&Sn=n(n-1)2&③推理：平面上有n个点，两点确定一条直线．取第一个点A有n种取法，取第二个点B有（n-1）种取法，所以一共可连成n（n-1）条直线，但AB与BA是同一条直线，故应除以2；即Sn=n(n-1)2④结论：Sn=n(n-1)2试探究以下几个问题：平面上有n个点（n≥3），任意三个点不在同一条直线上，过任意三个点作三角形，一共能作出多少不同的三角形？（1）分析：当仅有3个点时，可作出1&个三角形；当仅有4个点时，可作出4&个三角形；当仅有5个点时，可作出10&个三角形；…（2）归纳：考察点的个数n和可作出的三角形的个数Sn，发现：（填下表）
点的个数&可连成三角形个数&3&&4&&5&&…&&n&&（3）推理：（4）结论：
本题难度：一般
题型：填空题&|&来源：网络
分析与解答
习题“阅读下列材料并填空．平面上有n个点（n≥2）且任意三个点不在同一条直线上，过其中的每两点画直线，一共能作出多少条不同的直线？①分析：当仅有两个点时，可连成1条直线；当有3个点时，可连成3条直线；当有4个点时，可...”的分析与解答如下所示：
由于平面上有n个点，过不在同一条直线上的三点可以确定一个三角形，取第一个点A有n种取法，取第二个点B有（n-1）种取法，取第三个点C有（n-2）种取法，所以一共可以作n（n-1）（n-2）个三角形，但△ABC、△ACB、△BAC、△BCA、△CAB、△CBA是同一个三角形，故应除以6，故可得答案．
解：（1）当仅有3个点时，可作1个三角形；当有4个点时，可作4个三角形；当有5个点时，可作10个三角形．（2）填表如下：点的个数&可连成三角形个数&3&1=S3=3×2×16&4&4=S4=4×3×26&5&10=S5=5×4×36&&&n&Sn=n(n-1)(n-2)6&（3）推理：平面上有n个点，过不在同一条直线上的三个点可以确定一个三角形，取第一个点A有n种方法，取第二个点有B有（n-1）种取法，取第三个点C有（n-2）种取法，所以一共可以作n（n-1）（n-2）个三角形，但△ABC、△ACB、△BAC、△BCA、△CAB、△CBA是同一个三角形，故应除以6，即Sn=n(n-1)(n-2)6．（4）结论：Sn=n(n-1)(n-2)6．
本题考查了规律型：图形的变化，是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
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阅读下列材料并填空．平面上有n个点（n≥2）且任意三个点不在同一条直线上，过其中的每两点画直线，一共能作出多少条不同的直线？①分析：当仅有两个点时，可连成1条直线；当有3个点时，可连成3条直线；当有4...
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经过分析，习题“阅读下列材料并填空．平面上有n个点（n≥2）且任意三个点不在同一条直线上，过其中的每两点画直线，一共能作出多少条不同的直线？①分析：当仅有两个点时，可连成1条直线；当有3个点时，可连成3条直线；当有4个点时，可...”主要考察你对“规律型”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
图形的变化类的规律题首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
与“阅读下列材料并填空．平面上有n个点（n≥2）且任意三个点不在同一条直线上，过其中的每两点画直线，一共能作出多少条不同的直线？①分析：当仅有两个点时，可连成1条直线；当有3个点时，可连成3条直线；当有4个点时，可...”相似的题目：
下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有1颗棋子，第②个图形一共有6颗棋子，第③个图形一共有16颗棋子，…，则第⑥个图形中棋子的颗数为（ ）51707681
将一张长方形的纸对折，可得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕．如果对折n次，可以得到（ ）条折痕．2n-12n2n+12n-1
如图，甲、乙两人沿着边长为90米的正方形，按A→B→C→D→A方向，甲从A以65米/分的速度，乙从B以74米/分的速度同时行走，当乙第一次追上甲时在正方形的（ ）AB边上BC边上CD边上DA边上
“阅读下列材料并填空．平面上有n个点（n≥...”的最新评论
该知识点好题
1下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有1颗棋子，第②个图形一共有6颗棋子，第③个图形一共有16颗棋子，…，则第⑥个图形中棋子的颗数为（ ）
2将一张长方形的纸对折，可得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕．如果对折n次，可以得到（ ）条折痕．
3如图，甲、乙两人沿着边长为90米的正方形，按A→B→C→D→A方向，甲从A以65米/分的速度，乙从B以74米/分的速度同时行走，当乙第一次追上甲时在正方形的（ ）
该知识点易错题
1如图，以上各图都是由同样大小的图形①按一定规律组成，其中第①个图形中共有1个完整菱形，第②个图形中共有5个完整菱形，第③个图形中共有13个完整菱形，…，则第⑥个图形中完整菱形的个数为（ ）
2如图，有一颗棋子放在图中的1号位置上，现按顺时针方向，第一次跳一步到2号位置上，第二次跳两步跳到4号位置上，第三次跳三步又跳到了1号位置上，第四次跳四步…一直进行下去，那么第2003次跳2003步就跳到了&&&&号位置上．
3如图，下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的大立方体，将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色）．依此规律摆放下去，回答下列问题．（1）第1个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有&&&&个．（2）第2个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有&&&&个．（3）第3个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有&&&&个．（4）第4个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有&&&&个．（5）第n个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有&&&&个．
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{[点的个数][可作出直线条数][2][][3][][4][][5][][…][…][n][]}③推理：平面上有n个点，两点确定一条直线．取第一个点A有n种取法，取第二个点B有（n-1）种取法，所以一共可连成n（n-1）条直线，但AB与BA是同一条直线，故应除以2；即Sn=n(n-1)/2④结论：Sn=n(n-1)/2试探究以下几个问题：平面上有n个点（n≥3），任意三个点不在同一条直线上，过任意三个点作三角形，一共能作出多少不同的三角形？（1）分析：当仅有3个点时，可作出____个三角形；当仅有4个点时，可作出____个三角形；当仅有5个点时，可作出____个三角形；…（2）归纳：考察点的个数n和可作出的三角形的个数Sn，发现：（填下表）
{[点的个数][可连成三角形个数][3][][4][][5][][…][][n][]}（3）推理：（4）结论：”的答案、考点梳理，并查找与习题“阅读下列材料并填空．平面上有n个点（n≥2）且任意三个点不在同一条直线上，过其中的每两点画直线，一共能作出多少条不同的直线？①分析：当仅有两个点时，可连成1条直线；当有3个点时，可连成3条直线；当有4个点时，可连成6条直线；当有5个点时，可连成10条直线…②归纳：考察点的个数和可连成直线的条数Sn发现：如下表
{[点的个数][可作出直线条数][2][][3][][4][][5][][…][…][n][]}③推理：平面上有n个点，两点确定一条直线．取第一个点A有n种取法，取第二个点B有（n-1）种取法，所以一共可连成n（n-1）条直线，但AB与BA是同一条直线，故应除以2；即Sn=n(n-1)/2④结论：Sn=n(n-1)/2试探究以下几个问题：平面上有n个点（n≥3），任意三个点不在同一条直线上，过任意三个点作三角形，一共能作出多少不同的三角形？（1）分析：当仅有3个点时，可作出____个三角形；当仅有4个点时，可作出____个三角形；当仅有5个点时，可作出____个三角形；…（2）归纳：考察点的个数n和可作出的三角形的个数Sn，发现：（填下表）
{[点的个数][可连成三角形个数][3][][4][][5][][…][][n][]}（3）推理：（4）结论：”相似的习题。新课标数学（人教 A 版）必修 2第二章《点、直线、平面之间的位置关系》练习题一、选择题 1． 【06 陕西?理】已知平面 ? 外不共线的三点 A, B, C 到 ? 的距离都相等,则正确的结论是 A. 平面 ABC 必平行于 ? B. 平面 ABC 必与 ? 相交 C. 平面 ABC 必不垂直于 ? D. 存在 ?ABC 的一条中位线平行于 ? 或在 ? 内 2． 【06 上海?理】若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个 点在同一平面上”的 （A）充分非必要条件； （B）必要非充分条件； （C）充要条件； （D）非充分非必要条件． 3． 【06 上海?文】如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交 线面对”。 在一个正方体中， 由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正 交线面对”的个数是 （A）48 （B）18 （C）24 （D）36 4． 【06 四川?理】 已知二面角 ? ? l ? ? 的大小为 60 ， m、n 为异面直线，且0m ? ?，n ? ? ，则 m、n 所成的角为（A） 30 （B） 60 （C） 90 （D） 120 5． 【06 四川?理】 已知球 O 半径为 1，A、B、C 三点都在球面上，A、B 两点和 A、C 两点的球面距离都是 ? ，B、C 两点的球面距离是 ? ，则二面角 B ? OA ? C 的大小是 3 4 （A）0 0 00? 4（B）? 3（C）? 2（D） 2? 37． 【06 天津?理】设 m 、 n 是两条不同的直线， ? 、 ? 是两个不同的平面.考查下列命题， 其中正确的命题是 A． m ? ? , n ? ? , m ? n ? ? ? ? C． ? ? ? , m ? ? , n // ? ? m ? n B． ? // ? , m ? ? , n // ? ? m ? n D． ? ? ? ,? ? ? ? m, n ? m ? n ? ?8． 【06 北京?文】设 A、B、C、D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确 的是 ．．． A．AC 与 BD 共面，则 AD 与 BC 共面 B．若 AC 与 BD 是异面直线，则 AD 与 BC 是异面直线 C．若 AB=AC，DB=DC，则 AD=BC D．若 AB=AC，DB=DC，则 AD ? BC 9． 【06 天津?文】若 l 为一条直线，?，?，? 为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：?， ? ? ∥ ? ? ? ? ① ? ? ?，? ? ? ? ? ? ? ； ②? ?； ③ l ∥?，l ? ? ? ? ? ? ．其中正确的命题有 A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 10． 【06 浙江?理】如图，O 是半径为 1 的球心，点 A、B、C 在球面上，OA、OB、OC 两两垂 直，E、F 分别是大圆弧? AB 与 ? AC 的中点，则点 E、F 在该球面上的球面距离是用心 爱心 专心 20 （A）? 4（B）? 3（C）? 2（D）2? 411． 【06 浙江?文】如图，正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的各棱长都为 2， E、F 分别为 AB、A1C1 的中点，则 EF 的长是 （A）2 （B） 3 （C） 5 （D） 712． 【06 重庆?文】若 P 是平面 ? 外一点，则下列命题正确的是 （A）过 P 只能作一条直线与平面 ? 相交 （B）过 P 可作无数条直线与平面 ? 垂直 （C）过 P 只能作一条直线与平面 ? 平行 （D）过 P 可作无数条直线与平面 ? 平行 13． 【06 重庆?理】对于任意的直线 l 与平面 ? ，在平面 ? 内必有直线 m ，使 m 与 l （A）平行 （B）相交 （C）垂直 （D）互为异面直线 14． 【06 福建?理】对于平面 ? 和共面的直线 m 、 n, 下列命题中真命题是 （A）若 m ? ? , m ? n, 则 n∥ ? （C）若 m ? ? , n∥? ,则 m∥ n （B）若 m∥? ,n∥? ,则 m∥ n （D）若 m 、 n 与 ? 所成的角相等，则 m∥ n15． 【06 湖北?理】关于直线 m 、 n 与平面 ? 、 ? ，有下列四个命题： ① 若 m // ? ， n // ? 且 ? // ? ，则 m // n ； ② 若 m ? ? ， n ? ? 且 ? ? ? ，则 m ? n ； ③ 若 m ? ? ， n // ? 且 ? // ? ，则 m ? n ； ④ 若 m // ? ， n ? ? 且 ? ? ? ，则 m // n 。 其中真命题的序号式 A．①② B．③④ C．①④ 16． 【06 辽宁?文】给出下列四个命题： ①垂直于同一直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一平面的两个平面互相平行D．②③③若直线 l1 , l2 与同一平面所成的角相等，则 l1 , l2 互相平行用心 爱心 专心 21 ④若直线 l1 , l2 是异面直线，则与 l1 , l2 都相交的两条直线是异面直线 其中假命题 的个数是 ．．． （A）1 （B）2（C）3（D）417． 【06 全国Ⅱ?理】如图，平面 ? ? 平面 ? ， A ?? , B ? ? , AB 与两平面 ? 、 ? 所成的 角分别为? ? 和 。过 A、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为 A ' 、 4 6A?B? ，则 AB : A ' B ' ? （A） 2 :1 （B） 3 :1（C） 3 : 2（D） 4 : 3B' A'B ?18． 【06 全国Ⅱ?文】如图（同理科图） ，平面 ? ? 平面 ? ，A ?? , B ? ? , AB 与两平面 ? 、 ? 所成的角分别为? ? 和 。过 A、B 分别作两平面交 4 6线的垂线，垂足为 A ' 、 B? ，若 AB=12，则 A ' B ' ? （A）4 （B）6 （C）8 （D）9二、填空题 1． 【06 安徽?理】多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个 顶点 A 在平面 ? 内，其余顶点在 ? 的同侧，正方体上与顶点 A 相邻的三个顶点到 ? 的 距离分别为 1，2 和 4，P 是正方体的其余四个顶点中的一个，则 P 到平面 ? 的距离可 能是： ①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7 以上结论正确的为______________。 （写出所有正确结论的编号 ） ．．2． 【06 安徽?文】平行四边形的一个顶点 A 在平面 ? 内，其余顶点在 ? 的同侧，已知其中 有两个顶点到 ? 的距离分别为 1 和 2 ，那么剩下的一个顶点到平面 ? 的距离可能是： ①1； ②2； ③3； ④4； 以上结论正确的为______________。 （写出所有正确结论的编号 ） ．． C D B?A1A3． 【06 山东? 文】 如图， 在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中， 所有棱长均为 1， 则点 B1 到平面 ABC1 的距离为 。 ，B ? R 4． 【06 北京? 理】 已知 A, B, C 三点在球心为 O ， 半径为 R 的球面上，AC ? BC ， 且A用心爱心专心22 那么 A, B 两点的球面距离为 为______________。，球心到平面 ABC 的距离5． 【06 天津?理】如图，在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中， AB ? 1 ．若二面角 C ? AB ? C1 的 大小为 60 ，则点 C 到平面 ABC 1 的距离为______________。?6． 【06 天津?文】如图（同理科图） ，在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中， AB ? 1 ．若二面角C ? AB ? C1 的大小为 60? ，则点 C1 到直线 AB 的距离为。7． 【06 浙江?理】 （如图，在 6 题上）正四面体 ABCD 的棱长为 l，棱 AB∥平面 ? ，则正四 面体上的所有点在平面α 内的射影构成的图形面积的取值范围是____________。 8． 【06 辽宁?理】若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为 ? ,则 cos ? =_____。 9． 【06 全国Ⅰ?理】已知正四棱椎的体积为 12，地面的对角线为 2 6 ，则侧面与底面所成 的二面角为____________。 10． 【06 四川?文】 m、n 是空间两条不同直线， ? 、 ? 是空间两条不同平面，下面有四个 命题： ; ; ① m ? ? ,n ? ? ,? ? ? ? m ? n ② m ? n,? ? ? , m ? ? ? n ? ? ; ; ③ m ? n,? ? ? , m ?? ? n ? ? ④ m ? ? , m ? n,? ? ? ? n ? ? 其中真命题的编号是 （写出所有真命题的编号） 。 三、计算题 1． 【06 广东】 如图所示， AF 、 DE 分别是 ? O 、 ? O1 的直径， AD 与两圆所在的平 面均垂直， AD ? 8 . BC 是 ? O 的直径， AB ? AC ? 6 , OE // AD 。 （I）求二面角 B ? AD ? F 的大小； （II）求直线 BD 与 EF 所成的角. 【解】 （I）∵AD 与两圆所在的平面均垂直， ∴AD⊥AB，AD⊥AF， 故∠BAF 是二面角 B―AD―F 的平面角， 0 依题意可知，ABFC 是正方形，所以∠BAF＝45 . 0 即二面角 B―AD―F 的大小为 45 ； （II）以 O 为原点，BC、AF、OE 所在直线为坐标 轴，建立空间直角坐标系（如图所示） ，则用心 爱心 专心 23 ， B3 O(0,0,0) ， A(0, ?3 2,0) ） (2 0 , )，zD O1 ED(0, ?3 2,8) ， E (0, 0,8) ， F (0,3 2,0)所以， BD ? (?3 2,?3 2,8), FE ? (0,?3 2,8)??? ? ??? ? ??? ? ??? ? BD ? FE 0 ? 18 ? 64 82 ? ??? ? ? cos ? BD, EF ?? ??? ? | BD || FE | 100 ? 82 10设异面直线 BD 与 EF 所成角为 ? ， 则 cos? ?| cos ? BD, EF ?|?C A X B O Fy82 。 10 82 。 10直线 BD 与 EF 所成的角为 arccos2． 【06 安徽?理】如图，P 是边长为 1 的正六边形 ABCDEF 所在平面外一点， PA ? 1 ， P 在平面 ABC 内的射影为 BF 的中点 O。 （Ⅰ）证明 PA ⊥ BF ； （Ⅱ）求面 APB 与面 DPB 所成二面角的大小。 【解】本小题主要考察直线与平面的位置关系、二 面角及其平面角等有关知识，考察思维能力和空间 想象能力；考查应用向量知识解决立体几何问题的 能力。满分 12 分。 方法一： 连结 AD，则易知 AD 与 BF 的交点为 O。 （I）证法 1：? AB ? AF , O为BF的中点，又? PO ? 平面ABC, 证法 2:? AO ? BF .?由三垂线定理得PA ? BF .? BF ? PO, BF ? AO, PO ? AO ? O,? BF ? 平面AOP, ? PA ? 平面AOP,????? PA ? BF.（II）设 M 为 PB 的中点，连结 AM，MD。?在?ABP中PA ? AB,? PB ? AM ,? 斜线 PB 在平面 ABC 内的射影为 OB， BF ? AD 。?由三垂线定理得PB ? AD.用心爱心专心24 又? AM ? AD ? A,? PB ? 平面AMD.? PR ? MD.? MD ? 平面AMD,因此， ?AMD 为所求二面角的平面角。 在正六边形 ABCDEF 中， BD ? BF ? 2OB ? 3, AD ? 2. 在 Rt ?AOP中，PA ? 1, OA ?1 , 2? PO ? PA2 ? OA2 ? 6 1 6 ，则 BM ? PB ? , 2 2 43 . 2在 Rt ?BOP中，PB ?PO 2 ? OB 2 ?AM ? AB 2 ? BM 2 ?10 42 , MD ? BD 2 ? BM 2 ? . 4 4 MA2 ? MD2 ? AD2 105 ?? 2 ? MA ? MD 35在 ?AMD 中，由余弦定理得 cos ?AMD ?因此，所求二面角的大小为 arccos(?105 ). 35方法二： 由题设条件，以 O 为原点建立空间直角坐标系 O-xyz, 如图。由正六边形的性质，可得1 3 3 OA ? , OR ? OF ? , OD ? . 在 Rt? AOP 中， 2 2 2PA ? 1, OA ? 1 , 2故 OP ?PA2 ? OA2 ?3 . 2因而有 A(0, ? ,0), B(1 23 3 3 3 ,0,0), D(0, ,0), F ( ? ,0,0), P(0,0, ). 2 2 2 2 1 2（I）证明：因 PA ? (0, ? , ???? ???? ? ??? ? ? 3 ??? ), BF ? (? 3, 0, 0), 故 PA ? BF ? 0. 所以 PA ? BF . 23 3 , 0, ). 4 4（II）设 M 为 PB 的中点，连结 AM, MD, 则 M 点的坐标 (???? ??? ? 3 1 3 3 3 ? MA ? PB ? (? , ? , ? ) ? ( , 0, ? ) ? 0, 4 2 4 2 2用心爱心专心25 ???? ? ??? ? 3 3 3 3 3 MD ? PB ? (? , , ? ) ? ( , 0, ? ) ? 0, 4 2 4 2 2? MA ? PB, MD ? PB因此， ?AMD 为所求二面角的平面角。???? ? ???? ???? ? 10 ???? 42 3 1 3 3 3 3 3 ? MA ? , MD ? , MA ? MD ? (? , ? , ? ) ? (? , ,? ) ? ? 4 4 4 2 4 4 2 4 8 ???? ???? ? ???? ???? ? MA ? MD 105 ? cos ? MA, MD ?? ???? ???? . ? ?? 35 MA ? MD因此，所求二面角的大小为 arccos(?3． 【06 北京?理】 如图，在底面为平行四边形的四棱锥 P ? ABCD 中， AB ? AC ， PA ? 平面 ABCD ，且 PA ? AB ，点 E 是 PD 的 中点. （Ⅰ）求证： AC ? PB ； （Ⅱ）求证： PB // 平面 AEC ； （Ⅲ）求二面角 E ? AC ? B 的大小. 【解】 解法一： （Ⅰ）? PA ? 平面 ABCD， ? AB 是 PB 在平面 ABCD 上的射影， 又? AB ? AC，AC ? 平面 ABCD， ? AC ? PB. （Ⅱ）连接 BD，与 AC 相交与 O，连接 EO， ? ABCD 是平行四边形 ? O 是 BD 的中点 又 E 是 PD 的中点，105 )。 35? EO ? PB.又 PB ? 平面 AEC，EO ? 平面 AEC， ? PB ?? 平面 AEC， （Ⅲ）如图，取 AD 的中点 F，连 EF，FO，则 EF 是△PAD 的中位线， ?EF // PA 又 PA ? 平面 ABCD ，?EF?平面 ABCD同理 FO 是△ADC 的中位线，?FO // AB?FO?AC 由三垂线定理可知??EOF 是二面角 E－ AC－D 的平面角.1 1 AB＝ PA＝EF。 2 2 ??EOF＝45?而二面角 E ? AC ? B 与二面角 E－AC－D 互补， 故所求二面角 E ? AC ? B 的大小为 135?.又 FO＝解法二： （Ⅰ）建立空间直角坐标系 A―xyz，如图。 设 AC=a，PA=b。则有 A（0,0,0） 、B（0,b,0） 、C（a,0,0） 、P（0,0,b） ， ∴ AC ? (a,0,0), PB ? (0, b, ?b), ∴ AC ? PB 。用心 爱心 专心 26??? ???? ?从而 AC ?PB ? 0 ，??? ? ??? ???? ???? ? （Ⅱ）连结 BD，与 AC 相交于 O，连结 EO。 由已知得 D(a, ?b,0) ， E ??a b b? ?a ? , ? , ? ， O ? ,0,0 ? ， ? 2 2 2? ?2 ?∴ EO ? ? 0, , ? ? ， 又 PB ? ? 0, b, ?b ? ，??? ? ? ?b 2b? 2???? ?∴ PB ? 2 EO ，??? ???? ?∴ PB // EO ， 又 PB ? 平面 AEC，EO ? 平面 AEC。 ∴ PB // 平面 AEC。 （Ⅲ）取 BC 中点 G，连接 OG，则点 G? a b ? ???? ? b ? , , 0 ? ， OC ? ? 0, , 0 ? ?2 2 ? ? 2 ? ??? ? b b ???? （0, ? , ）,AC ? (a, 0, 0), 又 OE ? 2 2 ??? ? ??? ? ???? ??? ? ?OE ? AC ? 0, OG ? AC ? 0,的坐标为 ??OE ? AC, OG ? AC,??EOG 是二面角 E ? AC ? B 的平面角。 ??? ? ???? ??? ? ???? OE ? OG 2 ? cos ?EOG ? cos ? OE , OG ?? ???? ???? ? ? , 2 OG ? OG??EOG ? 1350.? 二面角 E ? AC ? B 的大小为 1350.4． 【06 北京?文】如图， ABCD ? A1B1C1D1 是正四棱柱。 （I）求证：BD⊥平面 ACC1 A1 ； （II）若二面角 C1 ? BD ? C 的大小为 60°，求异面 直线 BC1 与 AC 所成角的大小。 【解】 解法一： （Ⅰ） ∵ ABCD ? A 1B 1C1D 1 是正四棱柱， ∴ CC1⊥平面 ABCD， ∴ BD⊥CC1， ∵ ABCD 是正方形， ∴ BD⊥AC用心爱心专心27 又 ∵AC，CC1 ? 平面 ACC1 A1 ，且 AC∩CC1=C， ∴ BD⊥平面 ACC1 A1 （II）设 BD 与 AC 相交于 O，连接 C1O。 ∵ CC1⊥平面 ABCD，BD⊥AC， ∴ BD⊥C1O， ∴ ∠C1OC 是二面角 C1 ? BD ? C 的平面角， ∴ ∠C1OC=60°。 连接 A1B ∵ A1C1∥AC， ∴ ∠A1C1B 是异面直线 BC1 与 AC 所成角。 设 BC=a，则 CO=2 6a ，CC1=CO ?tan 60? ? ，A1B=BC1= 2 210a ， 2AC 1 1 ? 2a 。在△A1B1C1 中，由余弦定理得 cos AC 1 1B ?2 2 2 AC 5 1 1 ? BC1 ? A 1B ， ? 2 AC ? BC 5 1 1 1∴ A1C1 B= arccos5 5 ， ∴ 异面直线 BC1 与 AC 所成的角的大小为 arccos 。 5 5解法二： （I）建立空间直角坐标系 D―xyz，如图。 设 AD=a，DD1=b，则有 D（0,0,0） ，A（a,0,0,） 、 B（a,a,0,） 、C（0,a,0,） 、C1（0,a,b,） ∴ BD ? (?a, ?a,0) ，??? ????? ? ??? ? AC ? (?a, a,0) ， CC1 ? (0,0, b)∴ BD?AC ? 0 ， BD? CC1 ? 0 ∴ BD ? AC ，??? ? ??? ???? ? ???? ?BD ? CC1 。又∵AC，CC1 ? 平面 ACC1 A1 ，且 AC∩CC1=C， ∴ BD⊥平面 ACC1 A1 （Ⅱ） 设 BD 与 AC 相交于 O，连接 C1O，则点 O 坐标为 ( , ∵ BD? OC1 ? 0 ，??? ? ???? ????? ? a a a a , 0) ， OC1 ? (? , , b) 2 2 2 2∴ BD⊥C1O ，又 BD⊥CO用心 爱心 专心 28 ∴ ∠C1OC 是二面角 C1 ? BD ? C 的平面角， ∴ tan ?C1OC ?∴ ∠C1OC=60°。 ∴ b?CC1 b ? 2 ? 3， OC 2 a6 a。 2???? ? ??? ? ∵ AC ? (?a, a,0) ， BC1 ? (?a,0, b) ，???? ???? ? ???? ???? ? AC ?BC1 5 ∴ cos AC , BC1 ? ???? ???? ? ? 5 AC ?BC1∴ 异面直线 BC1 与 AC 所成的角的大小为 arccos5 。 55． 【06 山东?文】 如图，已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为等腰梯形， AB // DC ,AC ? BD, AC 与 BD 相交于点 O ，且顶点 P 在底面上的射影恰为 O 点，又 BO ? 2, PO ? 2, PB ? PD . （Ⅰ）求异面直接 PD 与 BC 所成角的余弦值； （Ⅱ）求二面角 P ? AB ? C 的大小； （Ⅲ） 设点 M 在棱 PC 上， 且PM ? ? ,问? 为何值时， MC? PO ? BDPC ? 平面 BMD 。 【解】 解法一：? PO ? 平面 ABCD ，又 PB ? PD, BO ? 2, PO ? 2 ， 由平面几何知识得： OD ? 1, PD ? 3, PB ? 6（Ⅰ） 过 D 做 DE // BC 交于 AB 于 E ， 连结 PE ， 则 ? PDE 或其补角为异面直线 PD 与 BC 所成的角， ? 四边形 ABCD 是等腰梯形，?OC ? OD ? 1, OB ? OA ? 2, OA ? OB? BC ? 5, AB ? 2 2, CD ? 2又 AB // DC? 四边形 EBCD 是平行四边形。? ED ? BC ? 5, BE ? CD ? 2? E 是 AB 的中点，且 AE ? 2又 PA ? PB ? 6 ，? ?PEA 为直角三角形，? PE ? PA2 ? AE2 ? 6 ? 2 ? 2用心爱心专心29 在 ?PED 中，由余弦定理得： cos ?PDE ?PD 2 ? DE 2 ? PE 2 3 ? 5 ? 4 2 15 ? ? 2 PD ? DE 15 2? 3 ? 5故异面直线 PD 与 BC 所成的角的余弦值为2 15 。 15（Ⅱ）连结 OE ，由（Ⅰ）及三垂线定理知， ?PEO 为二面角 P ? AB ? C 的平面角? sin ?PEO ?PO 2 ， ? PE 2??PEO ? 450? 二面角 P ? AB ? C 的大小为 450（Ⅲ）连结 MD, MB, MO ，? PC ? 平面 BMD, OM ? 平面 BMD ，? PC ? OM又在 Rt ?POC 中， PC ? PD ? 3, OC ? 1, PO ? 2 ，? PM ?2 3 3 ， , MC ? 3 3?PM ?2 MC故 ? ? 2 时， PC ? 平面 BMD解法二： ? PO ? 平面 ABCD 又 PB ? PD ， BO ? 2, PO ? 2 ，? PO ? BD由平面几何知识得： OD ? OC ? 1, BO ? AO ? 2OA, OB, OP 分别为 x, y, z 轴建立如图所示的空间 以 O 为原点，直角坐标系，则各点坐标为 O(0,0,0) ， A(2, 0, 0) ， B(0, 2, 0) ，C (?1, 0, 0) ， D(0, ?1, 0) ， P(0,0, 2)（Ⅰ）? PD ? (0, ?1, ? 2) ，??? ???? ? BC ? (?1, ?2,0) ，??? ? ??? ? ??? ? ??? ? PD ? BC 2 15 ? cos ? PD, BC ?? ??? 。 ? ??? ? ? 15 PD BC??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? PD ? 3, BC ? 5, PD ? BC ? 2 。故直线 PD 与 BC 所成的角的余弦值为2 15 。 15（Ⅱ）设平面 PAB 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ，用心爱心专心30 ??? ? ??? ? ??? ? ?n ? AB ? 0 ? 由于 AB ? (?2, 2,0) ， AP ? (?2,0, 2) ， 由 ? ??? ? n ? AP ?0 ? ?得? ?x? y ? ? ?z ? 2x取 n ? (1,1, 2) ，又已知平面 ABCD 的一个法向量 m ? (0,0,1) ，? cos ? m, n ??m?n 2 。 ? m?n 2又二面角 P ? AB ? C 为锐角，? 所求二面角 P ? AB ? C 的大小为 45?（Ⅲ）设 M ( x0 ,0, z0 ) ，由于 P, M , C 三点共线， z0 ? 2x0 ? 2 ，? PC ? 平面 BMD? OM ? PC?(?1,0, ? 2) ? ( x0 ,0, z0 ) ? 0由（1） （2）知： x0 ? ?? x0 ? 2z0 ? 02 2 ? M (? , 0, ) 3 3?? ? PM ?2 MC2 2 ， z0 ? 。 3 3故 ? ? 2 时， PC ? 平面 BMD 。 6． 【06 陕西?理】 如图,α ⊥β ,α ∩β =l , A∈α , B∈β ,点 A 在直线 l 上的射影为 A1, 点 B 在 l 的射影为 B1,已知 AB=2,AA1=1, BB1= 2, 求: （I） 直线 AB 分别与平面α ,β 所成角的大小； （II）二面角 A1－AB－B1 的大小。 【解】 解法一： （Ⅰ）如图, 连接 A1B,AB1, ∵α ⊥β , α ∩β =l ,AA1⊥l, BB1⊥l, ∴AA1⊥β , BB1⊥α . 则∠BAB1,∠ABA1 分别是 AB 与α 和 β 所成的角. Rt△BB1A 中, BB1= 2 , AB=2, ∴sin∠BAB1 = BB1 2 = . AB 2 ∴∠BAB1=45°. ∴∠ABA1= 30°.AA1 1 Rt△AA1B 中, AA1=1,AB=2, sin∠ABA1= = , AB 2故 AB 与平面α ,β 所成的角分别是 45°,30°. （Ⅱ）∵BB1⊥α , ∴平面 ABB1⊥α 。 在平面α 内过 A1 作 A1E⊥AB1 交 AB1 于 E，则 A1E⊥平面 AB1B。过 E 作 EF⊥AB 交 AB 于 F， 连接 A1F，则由三垂线定理得 A1F⊥ AB， ∴∠A1FE 就是所求二面角的平 面角. 在 Rt △ ABB1 中 , ∠ BAB1=45 ° ， ∴AB1=B1B= 2. ∴Rt△AA1B 中， A1B= AB －AA1 = 4－1 = 由 AA1?A1B=A1F?AB 得2 23。用心爱心专心31 AA1?A1B 1× 3 3 A1F= = = , AB 2 2 ∴在 Rt△A1EF 中，sin∠A1FE = A1E 6 = ， A1F 3 6 . 3∴二面角 A1－AB－B1 的大小为 arcsin 解法二： （Ⅰ）同解法一.（Ⅱ） 如图,建立坐标系, 则 A1(0,0,0),A(0,0,1),B1(0,1,0),B( 2,1,0).在 AB 上取 → → 一点 F(x,y,z),则存在 t∈R,使得AF=tAB , 即(x,y,z ? 1)=t( 2,1, ? 1), ∴点 F 的坐标为 → → → → ( 2 t, t,1 ? t). 要 使 A1F ⊥ AB , 须 A1F ? AB =0, 即 ( 2 t, t,1 ? t) ? ( 2 ,1, ? 1)=0, 2t+t ? (1 ? t)=0， 解得 t= ∴点 F 的坐标为（ 1 ， 4 2 1 3 → ∴A1F=( , , ). 4 4 4 2 1 1 → ∴EF=( , ? , ). 4 4 4 → → ∴EF⊥AB,2 1 3 , , ）, 4 4 41 1 设 E 为 AB1 的中点,则点 E 的坐标为（0, , ） 。 2 2 2 1 1 1 1 1 → → 又EF?AB=( ,－ , )?( 2,1, ? 1)= ? ? =0, 4 4 4 2 4 4 ∴∠A1FE 为所求二面角的平面角.2 1 3 2 1 1 1 1 3 ( ， ， )?( ，－ ， ) － + → → 4 4 4 4 4 4 8 16 16 A1F?EF 1 3 又 cos∠A1FE= = = = = , → → 3 2 1 9 2 1 1 3 1 3 |A1F|?|EF| + + ? + + ? 16 16 16 16 16 16 4 2 ∴二面角 A1－AB－B1 的大小为 arccos 3 . 3?7． 【06 上海?理】 在四棱锥 P－ABCD 中，底面是边长为 2 的菱形，∠DAB＝60 ，对角 线 AC 与 BD 相交于点 O，PO⊥平面 ABCD，PB 与平面 ABCD 所成 的角为 60 ． （1）求四棱锥 P－ABCD 的体积； （2） 若 E 是 PB 的中点， 求异面直线 DE 与 PA 所成角的大 小（结果用反三角函数值表示） ． 【解】 （1）在四棱锥 P-ABCD 中,由 PO⊥平面 ABCD，得 ∠PBO 是 PB 与平面 ABCD 所成的角，∠PBO=60°. 在 Rt△AOB 中 BO=ABsin30°=1，由 PO⊥BO, 于是，PO=BOtg60°= 3 , 而底面菱形的面积为 2 3 . ∴四棱锥 P-ABCD 的体积 V=?1 ×2 3 × 3 =2. 3（2）解法一：以 O 为坐标原点,射线 OB、 OC、OP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空用心 爱心 专心 32 间直角坐标系. 在 Rt△AOB 中 OA= 3 ,于是,点 A、B、D、P 的坐标分别是 A(0,－ 3 ,0)，B(1,0,0)，D(－ 1,0,0)，P(0,0, 3 )。E 是 PB 的中点，则 E(1 3 ,0, )。 2 2于是 DE =(3 3 ,0, ), AP =(0, 3 , 3 ). 2 2???? ??? ? 设 DE 与 AP 的夹角为 θ ，有 cosθ =3 2 2 ? ， 4 9 3 ? ? 3?3 4 4θ =arccos2 。 4∴异面直线 DE 与 PA 所成角的大小是 arccos2 . 4解法二：取 AB 的中点 F，连接 EF、DF. 由 E 是 PB 的中点，得 EF∥PA, ∴∠FED 是异面直线 DE 与 PA 所成角（或它的补 角） 。 在 Rt△AOB 中 AO=ABcos30°= 3 =OP, 于是,在等腰 Rt△POA 中,PA= 6 ,则 EF=6 . 21 6 EF 2 ? 4 = cos∠FED= 2 DE 3 4在正△ABD 和正△PBD 中，DE=DF= 3 .∴异面直线 DE 与 PA 所成角的大小是 arccos2 . 4?8． 【06 上海?文】 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中， ?ABC ? 90 , AB ? BC ? 1. （1）求异面直线 B1C1 与 AC 所成的角的大小；ABC 所成角为 45 ，求三棱锥 A1 ? ABC 的体积。 （2）若 AC 1 与平面?【解】 （1） ∵BC∥B1C1， ∴∠ACB 为异面直线 B1C1 与 AC 所成角(或它的补角) ∵∠ABC=90°,AB=BC=1， ∴∠ACB=45°, ∴异面直线 B1C1 与 AC 所成角为 45°. （2）∵AA1⊥平面 ABC, ∠ACA1 是 A1C 与平面 ABC 所成的角，∠ACA1=45°. ∵∠ABC=90°，AB=BC=1，AC= 2用心 爱心∴AA1= 2 。专心 33 ∴三棱锥 A1-ABC 的体积 V=1 2 S△ABC×AA1= 。 3 69． 【06 四川?理】 如图,长方体 ABCD- A1 B1C1 D1 中，E、P 分别是 BC、 A1D1 的中点,M、 N 分别是 AE、 CD1 的中点， AD=AA1 ? a, AB=2a, （Ⅰ）求证： MN // 平面ADD1 A1 ； （Ⅱ）求二面角 P ? AE ? D 的大小； （Ⅲ）求三棱锥 P－DEN 的体积。 【解】 本小题主要考察长方体的概念、直线和平 面、平面和平面的关系等基础知识，以及空间想象能 力和推理能力。 解法一： （Ⅰ）证明：取 CD 的中点 K ，连结 MK , NK ∵ M , N , K 分别为 AK , CD1 , CD 的中点 ∵ MK // AD, NK // DD1NK // 面 ADD1 A1 ∴ MK // 面 ADD1 A 1，∴面 MNK // 面 ADD1 A 1 （Ⅱ）设 F 为 AD 的中点 ∵ P 为 A1D1 的中点 ∴ PF // D1D ∴ PF ? 面 ABCD ∴ MN // 面 ADD1 A 1作 FH ? AE ，交 AE 于 H ，连结 PH ，则由三垂线定理得 AE ? PH 从而 ? PHF 为二面角 P ? AE ? D 的平面角。 在 Rt ?AEF 中， AF ?? 2a a 17 2a , EF ? 2a, AE ? a ，从而 FH ? AF ? EF ? 2 ? 2 2 AE 17 17 2 a aPF DD1 17 ? ? FH FH 2 故：二面角 P ? AE ? D 的大小为 arctan 17 。 2在 Rt ?PFH 中， tan ?PFH ? （Ⅲ） S?NEP ?1 1 1 5 2 S矩形ECD1P ? BC ? CD1 ? ? a ? a 2 ? 4a 2 ? a 2 4 4 4作 DQ ? CD1 ，交 CD1 于 Q ，由 A1 D1 ? 面 CDD1C1 得 AC 1 1 ? DQ ∴ DQ ? 面 BCD1 A 1用心爱心专心34 ∴在 Rt ?CDD1 中， DQ ?CD ? DD1 2a ? a 2 ? ? a CD1 5a 5∴ VP ? DEN ? VD ? ENP ?1 1 1 5 2 2 S ?NEP ? DQ ? a ? a ? a3 。 3 6 3 4 5方法二：以 D 为原点， DA, DC, DD1 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立直角坐标系， 则 A? a,0,0? , B ? a,2a,0? , C ? 0,2a,0? ,A1 ? a,0, a ? , D1 ? 0,0, a ?∵ E, P, M , N 分别是 BC, A 1D 1 , AE, CD 1 的中点 ∴ E ? , 2a, 0 ? , P ? , 0, a ? , M ??a ?2? ??a ?2? ?a? ? 3a ? ? , a, 0 ? , N ? 0, a, ? , 2? ? 4 ? ?（Ⅰ） MN ? ? ????? ?? ? a? ? 3 a, 0, ? ，取 n ? ? 0,1,0? ，显然 n ? 面 ADD1 A1 2? ? 4又 MN ? 面 ADD1 A 1 ∴ MN // 面 ADD1 A 1???? ? ? ???? ? ? MN ? n ? 0 ，∴ MN ? n（Ⅱ）过 P 作 PH ? AE ，交 AE 于 H ，取 AD 的中点 F ，则 F ??a ? , 0, 0 ? ?2 ???? ? a ? ???? ? a ? 设 H ? x, y,0? ，则 HP ? ? ? ? x, ? y, a ? , HF ? ? ? x, ? y, 0 ? ?2 ? ?2 ?? 又 AE ? ? ? ? , 2a,0 ? a ? 2 ?? a2 a ??? ? ??? ? ? ? x ? 2ay ? 0 由 AP ? AE ? 0 ，及 H 在直线 AE 上，可得: ? ? 4 2 ? ? 4 x ? y ? 4a解得 x ???? ?33 2 a, y ? a 34 178a 2a ? ???? ? 8a 2a ? , ? , a ? , HF ? ? ? , ? , 0 ? ? 17 17 ? ? 17 17 ?∴ HF ? AE ? 0∴ HP ? ? ????? ????? ??? ?即 HF ? AE??????? ?∴ HP 与 HF 所夹的角等于二面角 P ? AE ? D 的大小??? ???????? ? ???? ??? ? ???? HP ? HF 2 cos HP, HF ? ??? ? ???? ? 21 HP ? HF用心爱心专心35 故：二面角 P ? AE ? D 的大小为 arccos2 21 。 21（Ⅲ）设 n1 ? ? x1 , y1 , z1 ? 为平面 DEN 的法向量，则 n1 ? DE, n1 ? DN 又 DE ? ? , 2a, 0 ? , DN ? ? 0, a, ? , DP ? ? , 0, a ???????? ? ????????? ??a ?2? ???? ?? ?? a ? ??? 2??a ?2? ??a x ? 2ay1 ? 0 ? ?2 1 ∴? ? ay ? a z ? 0 1 1 ? ? 2即?? x1 ? ?4 y1 ? z1 ? ?2 y1∴可取 n1 ? ? 4, ?1, 2 ?????? ? ?? DP ? n1 2a ? 2a 4a ∴ P 点到平面 DEN 的距离为 d ? ， ? ?? ? 16 ? 1 ? 4 21 n1 ???? ???? ???? ???? ???? ???? DE ? DN 8 21 ∵ cos DE , DN ? ???? ???? ? ， sin DE, DN ? ， 85 85 DE ? DN∴ S?DEN ?? ???? ??? ? ???? 1 ??? 21 2 DE ? DN ? sin DE, DN ? a ， 2 8∴ VP ? DEN ?1 1 21 2 4a a3 S?DEN ? d ? ? a ? ? 。 3 3 8 21 6110． 【06 天津?理】 如图，在五面体 ABCDEF 中，点 O 是矩形 ABCD 的对角线的交 点，面 CDE 是等边三角形，棱 EF // （1）证明 FO //平面 CDE ； （2）设 BC ? 3 CD ，证明 EO ? 平面 CDF ． 【解】 本小题考查直线与平面平行、直线与平面 垂直等基础知识，考查空间想象能力和推理论证 能力. （Ⅰ）证明：取 CD 中点 M，连结 OM. 在矩形 ABCD 中。?2BC ．1 1 OM // BC ，又 EF // BC ， 2 2? FO // EM则 EF //OM ，连结 EM，于是四边形 EFOM 为平行四边形.又? FO ? 平面 CDE，且 EM ? 平面 CDE，∵FO∥平面 CDE （Ⅱ）证明：连结 FM，由（Ⅰ）和已知条件，在等边△CDE 中，CM ? DM , EM ? CD 且 EM ?3 1 CD ? BC ? EF . 2 2用心 爱心 专心 36 因此平行四边形 EFOM 为菱形，从而 EO⊥FM 而 FM∩CD=M， ∴CD⊥平面 EOM，从而 CD⊥EO. 而 FM ? CD ? M ， 所以 EO⊥平面 CDF. 11． 【06 浙江?理】如图，在四棱锥 P ? ABCD 中，底面为直角梯形， AD // BC ，AB ? BC 2 ?BAD ? 90? ，PA ? 底面 ABCD ，且 PA ?AD ? M 、N 分别为 PC 、 PB 的中点。 （Ⅰ）求证： PB ? DM ； （Ⅱ）求 CD 与平面 ADMN 所成的角。，【解】 本题主要考查空间线线、线面关系、空间向量的概念 与运算等基础知识，同时考查空间想象能力。 方法一： PA ? AB ， （I） 因为 N 是 PB 的中点， 所以 AN ? PB . 因为 AD ? 平面 PAB ，所以 AD ? PB ， 从而 PB ? 平面 ADMN .因为 DM ? 平面 ADMN ， 所以 PB ? DM . （II）取 AD 的中点 G ，连结 BG 、 NG ， 则 BG // CD ， 所 以 BG 与 平 面 A D M N 所 成 的 角 和 CD 与 平 面 ADMN 所成的角相等. 因为 PB ? 平面 ADMN ， 所以 ?BGN 是 BG 与平面 ADMN 所成的角. 在 Rt ?BNG 中， sin ?BGN ?BN 10 。 ? BG 5 10 。 5故 CD 与平面 ADMN 所成的角是 arcsin 方法二：如图，以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系 A ? xyz ，设 BC ? 1 ，则1 A(0, 0, 0), P(0, 0, 2), B(2, 0, 0), C (2,1, 0), M (1, ,1), D(0, 2, 0) . 2 ??? ? ???? ? 3 （I） 因为 PB ? DM ? (2,0, ?2) ? (1, ? ,1) ? 0 ，所以 PB ? DM . 2 ??? ? ??? ? （II） 因为 PB ? AD ? (2,0, ?2) ? (0,2,0) ? 0 ，所以 PB ? AD ，又因为 PB ? DM ，所以 PB ? 平面 ADMN . 因此 ? PB, DC ? 的余角即是 CD 与平面 ADMN 所成的角.??? ? ??????? ? ???? ??? ? ???? 10 PB ? DC ? ???? ? 因为 cos ? PB, DC ?? ??? ， 5 | PB | ? | DC |用心 爱心 专心 37 所以 CD 与平面 ADMN 所成的角为 arcsin10 。 512． 【06 重庆?文】 如图（上右图） ，在正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中，AB ? 1, BB1 ? 3 ?1 ， E 为 BB1 上使 B1E ? 1 的点。平面 AEC1 交 DD1 于 F ，交 A1D1 的延长线于 G ，求： （Ⅰ）异面直线 AD 与 C1G 所成角的大小； （Ⅱ）二面角 A ? C1G ? A1 的正切值； 【解】 解法一： （Ⅰ）由 AD // D1G知?C1GD1 为异面直 线 AD与C1G 所成的角。连接 C1 F .因为 AE 和 C1 F 分别 是平行平面 ABB1 A1和CC1D1D 与平面 AEC1 G 的交线，所 以 AE // C1 F , 由此可得 D1 F ? BE ? 3 , 再由 △FD 1G ∽△FDA 得 D1G ? 3在 Rt△C1D1G中，由C1D1 =1,D1G= 3,得?C1GD1 ??6。（Ⅱ）作 D1H ? C1G于H，连接FH，由三垂线定理知FH ? C1G,故?D1HF 为二面角 F ? C1G ? D1 即二面角 A ? C1G ? A1 的平面角在 Rt△GFD1中，由D1G ? 3, ?D1GH ? 从而 t an ?D1 HF ??6,得D1 H ?3 ， 2D1 F ? D1 H3 3 2?2解法二： （Ⅰ）由 AD // D1G知?C1GD1 为异面直线AD与C1G 所成的角。因为 EC1 和 AF 分别是平行平面 BB1C1C和AA1D1D 与平面 AEC1G 的交线，所以 EC1 // AF ，由此可得用心爱心专心38 ?AGA1 ? ?EC1B1 ??4从而 AG ? AA1 ? 3 ? 1，于是 D1G ? 3 1在 Rt△C1D1G中，由C1D1 =1,D1G= 3,得?C1GD1 ? （Ⅱ）在 △AC 中，由?C1 AG ? 1 1G 1?6?4, ?AGC 1 1 ??6知 ?AC 1 1G 为钝角，作 A1H ? GC1交GC1的延长线于H，连接AH，由三垂线定理知GH ? AH , 故?AHA1 为二面角二面角 A ? C1G ? A1 的平面角， 在 Rt△A1HG中，由A1G ? 3 ? 1, ?A1GH ? 从而 t an ?AHA1 ??6得A1 H ?3 ?1 , 2AA1 ? A1 H3 ?1 3 ?1 2?2。解法三： （Ⅰ）以 A1 为原点， A1 B1 , A1 D1 , A1 A 所在直线分别为 x 轴，y 轴和 z 轴建立如图所示 的空间直角坐标系。（0， 0， 3 ＋1） 于是 A ， C1(1,1,0) ， D(0,1, 3+1)，?? ? ???? ? E(1,0,1)， AD ? (0,1,0) ， EC1 ? (0,1, ?1)因为 EC1 和 AF 分别是平行平面 BB1C1C和AA1D1D 与平面 AEC 的 交 线 ， 所 以 EC1 // AF ， 设 1 G???? G ( 0 , y , ，则 0 ) AG ? (0, y, ?( 3 ? 1))???? ? 1 ?1 由 EC1 // AG得 ＝ ，于是 y= 3 ? 1 y -( 3＋1)故 G(0, 3 ? 1,0), C1G ? (?1, 3,0) , 设 异 面 直 线 AD 与 C1G 所 成 的 角 的 大 小 为 ? ， 则???? ????? ???? ? A D? C 3 ? 1 G ? ? ，从而 ? ? 。 cos ? ? ???? ???? 2 6 | A D |? | C 1 G|（Ⅱ）作 A1H ? C1G于H，由三垂线定理知GH ? AH , 故?AHA1 为二面角二面角???? ? ???? ? A ? C1G ? A1 的平面角,设 H (a, b,0), 则 A1H ?(a,b,0), C1H =(a-1,b-1,0)，由 A1 H ? C1G 得 A1 H ? C1G ? 0 ，由此得 a ? 3b ? 0............................(i)???? ? ???? ?用心爱心专心39 又由 H , C1 , G 共线得 C1H // C1G ，从而???? ? ???? ?a ?1 b ?1 ? ，于是 ?1 33a ? b ? ( 3 ? 1) ? 0........................... ..... (ii)联立（i）和（ii）得 a ?3?3 3 ?1 3 ? 3 3 ?1 , ) ，b ? ，故 H ( 4 4 4 4???? ? ???? 3 ?3 2 3 ?1 2 3 ?1 由 | A1 H |? ( ， | A1 A |? 3 ? 1 ) ?( ) ? 4 4 2???? | A1 A | ? ? 得： t an ?AHA1 ? ???? | A1 H | 3 ?1 3 ?1 2 ? 2。13． 【06 重庆?理】 如图，在四棱锥 P ? ABCD 中， PA ? 底面 ABCD，? DAB 为直角，AB // CD , AD ? CD ? 2 AB, E、 CD F 分别为 PC 、中点。 （I）试证： CD ? 平面 BEF ； A ? kA B? （II） 高P ， 且二面角 E ? BD ? C 的 平面角大小 30 ，求 k 的取值范围。 【解】 （I）证：由已知 DF // AB 且 ? DAB 为直角。故 ABFD 是矩形。从而 CD ? BF 。又?PB ? 底面 ABCD， CD ? AD ，故由三垂线定理知 CD ? PD 。在 Rt ?PDC 中，E、F 分别为 PC、CD 的中点，故 EF//PD,从而 CD ? EF ，由此得 CD ?面 BEF。 （II） 连接 AC 交 BF 于 G， 易知 G 为 AC 的中点， 连接 EG，则在 ? PAC 中易知 EG//PA。又因 PA ? 底 面 ABCD，故 EG ? 底面 ABCD。在底面 ABCD 中，过 G 作 GH ? BD。垂足为 H，连接 EH，由三垂线定理知 EH ? BD。 从而 ?EHG 为二面角 E-BD-C 的平面角。 设 AB ? ? , 则在?PAC中，有EG ?DFC1 1 PA ? k? 。 2 2G H以下计算 GH，考虑底面的平面图（如答（19）图 2） 。 连结 GD，因 S? CBD ? 故 GH＝GB ? DF 。在 ?ABD中，因AB ? a. AD ? 2a 。 BD 1 1 而 GB ? FB ? AD ? a, 得BD ? 5a ， 2 21 1 BD ? GH ? GB ? DF 。 2 2AB用心爱心专心40 1 ka GB ? AB a ? a 5 EG 2 5k 因此， 。 DF ? AB, 从而得GH ? ? ? a。 tan EHG ? ? ? BD 5 GH 2 5a 5a 5? 由 k ? 0 知 ?EHG 是锐角。故要使 ?EHG ? 30 ，必须5k 3 ， ? tan 30? ? 2 3解之得，上式中的取值范围为 k ?2 15 。 1514． 【06 福建?理】 如图，四面体 ABCD 中，O、E 分别是 BD、BC 的中点，CA ? CB ? CD ? BD ? 2, AB ? AD ? 2.（I）求证： AO ? 平面 BCD； （II）求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小； （III）求点 E 到平面 ACD 的距离。 【解】 本小题主要考查直线与平面的位置关 系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本 知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算 能力。 方法一： （I）证明：连结 OCAD O B E C? BO ? DO, AB ? AD,? AO ? BD. ? BO ? DO, BC ? CD,?CO ? BD.在 ?AOC 中，由已知可得 AO ? 1, CO ? 3. 而 AC ? 2,? AO2 ? CO2 ? AC 2 ,??AOC ? 90o , 即 AO ? OC.? BD ? OC ? O,? AO ? 平面 BCD（II） 取 AC 的中点 M，连结 OM、ME、OE，由 E 为 BC 的中点知 ME∥AB,OE∥DC? 直线 OE 与 EM 所成的锐角就是异面直线 AB 与 CD 所成的角在 ?OME 中， EM ?1 2 1 AB ? , OE ? DC ? 1, 2 2 21 AC ? 1, 2? OM 是直角 ?AOC 斜边 AC 上的中线，? OM ?? cos ?OEM ?2 , 4? 异面直线 AB 与 CD 所成角的大小为 arccos用心2 . 4专心 41爱心 （III） 设点 E 到平面 ACD 的距离为 h .?VE ? ACD ? VA?CDE ，∴1 1 h?S ?ACD ? ?AO ?S ?CDE . 3 3在 ?ACD 中， CA ? CD ? 2, AD ? 2,1 2 7 ? S?ACD ? ? 2 ? 22 ? ( )2 ? . 2 2 23 AO.S ?CDE 1? 2 21 ?h ? ? ? . S ?ACD 7 7 2而 AO ? 1, S?CDE ?1 3 2 3 ? ?2 ? , 2 4 2? 点 E 到平面 ACD 的距离为方法二： （I）同方法一。21 . 7（II）解：以 O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则 B(1,0,0), D(?1,0,0),??? ? ??? ? 1 3 C (0, 3, 0), A(0, 0,1), E ( , , 0), BA ? (?1, 0,1), CD ? (?1, ? 3, 0). 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? BA.CD 2 ? cos ? BA, CD ?? ??? , ? ??? ? ? z 4 BA CDA? 异面直线 AB 与 CD 所成角的大小为 arccos?2 . 4O x BD（III）解：设平面 ACD 的法向量为 n ? ( x, y, z ), 则? ???? ? ? n ? x ? z ? 0, ? . AD ? ( x, y, z ).(?1, 0, ?1) ? 0, ?? ? ? ???? ? ? ? 3 y ? z ? 0. ?n. AC ? ( x, y, z ).(0, 3, ?1) ? 0, ? 令 y ? 1, 得 n ? (? 3,1, 3) 是平面 ACD 的一个法向量。ECy??? ? 1 3 又 EC ? (? , , 0), 2 2??? ?? EC ?n 3 21 ? 点 E 到平面 ACD 的距离 h ? ? ? ? . 7 7 n15． 【06 湖北?理】 如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，P 是侧棱 CC1 上的 一点，CP=m， （I）试确定 m，使得直线 AP 与平面 BD D1B1 所成角 的正切值为 3 2 ； （Ⅱ）在线段 A1C1 上是否存在一个定点 Q，使得对任 意的 m，D1Q 在平面 APD1 上的射影垂直于 AP，并证明你 的结论。用心 爱心 专心 42 【解】 本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识及空间想像能力和推 理运算能力。考查应用向量知识解决数学问题的能力。 解法１： （I） 连AC, 设AC ? BD ? O,AP与面BDD1 B1 交于点G，连OG. 因为PC // 面BDD1 B1 , 面BDD1 B1 ? 面APC ? OG,故 OG // PC 。所以 OG ?1 m PC ? 。 2 2又 AO ? DB, AO ? BB1 , 所以AO ? 面BDD1 B1 . 故 ?AGO即为AP与面BDD1 B1 所成的角。2 1 在 Rt △ AOG中， tan AGO ? 2 ? 3 2 ，即 m ? . m 3 2 1 故当 m ? 时，直线 AP与平面BDD1B1所成的角的正切值为3 2 。 3（Ⅱ）依题意，要在 A1 C1 上找一点 Q ，使得 D1 Q ? AP . 可推测 A1 C1 的中点 O1 即为所求的 Q 点。 因为 D1 O1 ? A 1 C1 . D 1O 1 ? AA 1 ，所以 D 1 Q ? 面ACC1 A 1. 又 AP ? 面ACC1 A 1 . ,故 D 1O 1 ? AP 。 从而 D1 O1 在平面AD1 P上的射影与AP垂直。 解法二： （I）建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,ｍ)，C(0,1,0), D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1). 所以 BD ? (?1, ?1, 0), BB1 ? (0, 0,1),??? ????? ???? ? ??? ? AP ? (?1,1, m), AC ? (?1,1,0).又由 AC ? BD ? 0, AC ? BB1 ? 0知 AC为平面BB1 D1 D 的一个法向量. 设 AP 与 面BDD1 B1 所成的角为 ? ，???? ??? ?? ???? ??????????? ? ???? | AP ? AC | 2 ? ???? ? 则 sin ? ? cos( ? ? ) ? ??? 2 | AP | ? | AC | 2 ? 2 ? m2?用心爱心专心43 依题意有：2 2? 2?m2?3 2 1 ? (3 2) 2，解得 m ?1 . 3故当 m ?1 时，直线 AP与平面BDD1B1所成的角的正切值为3 2 。 3（Ⅱ）若在 A1 C1 上存在这样的点 Q ，设此点的横坐标为 x ， 则 Q( x,1 ? x,1), DQ ? ( x,1 ? x,0) 。 1 依题意，对任意的 m 要使 D1Q 在平面 APD1 上的射影垂直于 AP。等价于???? ????? ? ??? ? ???? ? 1 D1Q ? AP ? AP ? D1Q ? 0 ? x ? (1 ? x) ? 0 ? x ? 2即 Q 为 A1 C1 的中点时，满足题设的要求。 16． 【06 湖北?文】 如图，已知正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧棱长和底面边长为 1， M 是 底 面 BC 边上 的中点 ， N 是侧棱 CC1 上 的点 ，且CN＝2C1N 。（Ⅰ）求二面角 B1 ? AM ? N 的平面角的余弦值； （Ⅱ）求点 B1 到平面 AMN 的距离。 【解】 本小题主要考查线面关系、二面角和点到平 面距离的有关知识及空间想象能力和推理运算能力。 考查应用向量知识解决数学问题的能力。 解法 1： （Ⅰ） 因为 M 是底面 BC 边上的中点， 所以 AM ? BC， 又 AM ? CC1 ,所以 AM ? 面 BCC1B1 ， 从 而 AM ? B1M , AM ? NM ， 所 以 ? B1MN 为 二 面 角 B1 ? AM ? N 的 平 面 角 。 又B1M = B1 B 2 ? BM 2 ? 1 ?1 5 1 4 5 2 2 ，MN= MC ? CN ? ? ? ? , 4 2 4 9 62连 B1 N ，得 B1 N ＝ B1C1 ? C1 N ? 1 ?21 10 ， ? 9 3在 ?B1MN 中，由余弦定理得5 25 10 ? ? B 1 M ? MN ? B 1 N 4 36 9 ? 5 。 cos ?B1MN ? ? 2?B 1 M ?MN 5 5 5 2? ? 2 62 2 2用心爱心专心44 故所求二面角 B1 ? AM ? N 的平面角的余弦值为5 。 5（Ⅱ）过 B1 在面 BCC1B1 内作直线 B1H ? MN ， H 为垂足。又 AM ? 平面 BCC1B1 ， 所以 AM ? B1H 。 于是 B1 H ? 平面 AMN， 故 B1H 即为 B1 到平面 AMN 的距离。 在 R1?B1HM 中，B1H ＝ B1M sin B1MH ?5 1 ? 1 ? ? 1 。故点 B1 到平面 AMN 的距离为 1。 2 51 ，0）, 2解法 2： （Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则 B1 （0，0，1） ，M（0，C(0,1,0)，N (0,1,2 3 1 ) ，A ( ? , , 0 )，所以， 3 2 2???? ? ???? ? ???? ? 1 1 2 3 AM ? ( , 0, 0) ，MB1 ? (0, ? ,1) ，MN ? (0, , ) 。 2 2 3 23 1 ? 0 ? 0 ? ( ? ) ? 0 ?1 ? 0 2 2 ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? 所以 MB1 ? AM ，同法可得 MN ? AM 。因为 MB1 ?AM ? 故 ? MB1 , MN ? 为二面角 B1 ? AM ? N 的平面角。???? ? ???? ????? ? ???? ????? ? ???? ? ???? ? ???? ? MB1 ? MN ∴ cos ? MB1 , MN ? ＝ ???? ? ???? ? ? MB1 ? MN5 12 ? 5 . 5 5 5 ? 2 65 。 5故所求二面角 B1 ―AM―N 的平面角的余弦值为（Ⅱ）设 n ? ( x, y, z ) 为平面 AMN 的一个法向量，则由 n ? AM , n ? MN 得???? ????? ?? 3 ?x ? 0 x?0 ? ? 2 ? ?? 4 ? y?? z ?1 y ? 2 z ? 0 ? 3 ? ? 3 ?2故可取 n ? (0, ?4 ,1) 。 35 ???? ? ???? ? MB1 ? n 2 5 设 MB1 与 n 的夹角为 ? ，则 cos ? ? ???? 。 ? 3 ? ? 3 5 5 MB1 ? n ? 2 3用心 爱心 专心 45 所以 B1 到平面 AMN 的距离为 MB1 ? cos a ????? ?5 2 5 ? ? 1。 2 517． 【06 湖南?理】 如图 4, 已知两个正四棱锥 P ? ABCD与Q ? ABCD 的高分别为 1 和 2, AB ? 4 。P（I）证明: PQ ? 平面ABCD ； （II）求异面直线 AQ与PQ 所成的角； （III）求点 P 到平面 QAD 的距离。AD C BQ【解】 解法一： （Ⅰ）连接 AC、BD，设 AC ? BD＝O图4因为 P－ABCD 与 Q－ABCD 都是正四棱锥， 所以 PO ? 平面 ABCD，QO ? 平面 ABCD 从而 P、O、Q 三点在一条直线上，所以 PQ ? 平面 ABCD （II）由题设知，ABCD 是正方形，所以 AC ? BD ．由（I） ， PQ ? 平面 ABCD ，故可 分别以直线 CA、DB、QP 为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系（如图） ，由题设条件，相0 ,0 ,( 2 ) 关各点的坐标分别是 P(0,0,1) ，A（ 2 2 ,0,0） ，Q?， B(0,2 2,0)???? 所以AQ ? (?2 2,0, ?2),??? ? PB ? (0,2 2, ?1),???? ??? ? ???? ??? ? AQ?PB 3 于是 cos ? AQ, PB ?? ? AQ ?PB 9从而异面直线 AQ 与 PB 所成的角是 arccos （Ⅲ）由（Ⅱ） ，点 D 的坐标是3 。 9??? ? (0, ?2 2,0), AD ? (?2 2, ?2 2,0) ， ??? ? PQ ? (0,0, ?3) ，? ???? ? ? ?n ? AQ ? 0 ? ? 2x ? z ? 0 得? 设 n ＝（x,y,z）是平面 QAD 的一个法向量，由 ? ? ???? ?x ? y ? 0 ?n ? AD ? 0 ? ?? 取x ? 1, 得n ? (1, ?1, ? 2)??? ? ? PQ ? n 3 2 ? ? 所以点 P 到平面 QAD 的距离 d ? ?? 。 ? 2 n解法二： （Ⅰ）取 AD 的中点 M，连接 PM、QM。 因为 P－ABCD 与 Q－ABCD 都是正四棱锥，所以 AD ? PM，AD ? QM。用心 爱心 专心 46 从而 AD ? 平面 PQM。 又 PQ ? 平面 PQM，所以 PQ⊥AD。 同理 PQ⊥AB，所以 PQ⊥平面 ABCD。 （Ⅱ）连接 AC、BD，设 AC ? BD＝O，由 PQ ? 平面 ABCD 及正四棱锥的性质可知 O 在 PQ 上，从而 P，A，Q，C 四点共面。 取 OC 的中点 N，连接 PN。 因为PO 1 NO NO 1 ? , ? ? ，所以 OQ 2 OA OC 2PO NO ? , 从而AQ // PN ， ?BPN （或其补角）是异面直线 AQ 与 PB 所成的角。 OQ OA连接 BN。 因为 PB ? OB 2 ? OP 2 ? (2 2) 2 ? 1 ? 3 ．PN ? ON 2 ? OP 2 ? ( 2) 2 ? 1 ? 3BN ? OB 2 ? ON 2 ? (2 2) 2 ? ( 2) 2 ? 10PB2 ? PN 2 ? BN 2 9 ? 3 ? 10 3 所以 cos ?BPN ? 。 ? ? 2PB?PN 9 2 ? 3? 3从而异面直线 AQ 与 PB 所成的角是 arccos3 。 9（Ⅲ）由（Ⅰ）知，AD⊥平面 PQM，所以平面 QAD⊥平面 PQM 。 过点 P 作 PH⊥QM 于 H，则 PH⊥QAD，所以 PH 的长为点 P 到平面 QAD 的距离。 连结 OM。因为 OM=1 AB=2=OQ，所以∠MQP=45°。 2又 PQ=PO+QO=3，于是 PH=PQsin45°=3 2 。 2即点 P 到平面 QAD 的距离是3 2 。 218． 【06 江苏】 在正三角形 ABC 中，E、F、P 分别是 AB、AC、BC 边上的点，满足 AE:EB ＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图 1） 。将△AEF 沿 EF 折起到 ?A1 EF 的位置，使二面角 A1－EF－B 成直二面角， 连结 A1B、 A1P （如图 2） （Ⅰ）求证：A1E⊥平 面 BEP； （Ⅱ）求直线 A1E 与 平面 A1BP 所成角的大小；B P CA EEA1FFB图1用心P爱心C图2专心 47 （Ⅲ）求二面角 B－A1P－F 的大小（用反三角函数表示） 。 【解】[考点分析：本题主要考查线面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识，以 及空间线面位置关系的证明、角和距离的计算等，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运 算能力] 不妨设正三角形的边长为 3，则 （I）在图 1 中，取 BE 的中点 D，连结 DF， ∵AE∶EB=CF∶FA=1∶2，∴AF=AD=2，而∠A=60 ，∴△ADF 为正三角形。 又 AE=DE=1，∴EF⊥AD。 在图 2 中，A1E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A1EB 为二面角 A1－EF－B 的一个平面角， 由题设条件知此二面角为直二面角，∴A1E⊥BE。 又 BE ? EF=E，∴A1E⊥面 BEF，即 A1E⊥面 BEP。 （II）在图 2 中，∵A1E 不垂直于 A1B，∴A1E 是面 A1BP 的斜线，又 A1E⊥面 BEP， ∴A1E⊥BP，∴BP 垂直于 A1E 在面 A1BP 内的射影（三垂线定理的逆定理） 设 A1E 在面 A1BP 内的射影为 A1Q，且 A1Q 交 BP 于 Q， 则∠EA1Q 就是 A1E 与面 A1BP 所成的角，且 BP⊥A1Q。 在△EBP 中，∵BE=BP=2，∠EBP=60 ，∴△EBP 为正三角形，∴BE=EP。 又 A1E⊥面 BEP，∴A1B=A1P，∴Q 为 BP 的中点，且 EQ= 3 ，而 A1E=1， ∴在 Rt△A1EQ 中， tan?A1 EQ ?o oEQ ? 3 ，即直线 A1E 与面 A1BP 所成角为 60o。 A1 E（III）在图 3 中，过 F 作 FM⊥A1P 于 M，连结 QM、QF。 ∵CF=CP=1，∠C=60 ，∴△FCP 为正三角形，故 PF=1， 又 PQ=o1 BP=1， ∴PF=PQ?? ① 2∵A1E⊥面 BEP，EQ=EF= 3 ，∴A1F=A1Q， ∴△A1FP ? △A1QP，故∠A1PF=∠A1PQ?? ② 由①②及 MP 为公共边知△FMP ? △QMP， 故∠QMP=∠FMP=90°，且 MF=MQ， ∴∠FMQ 为二面角 B－A1P－F 的一个平面角。 在 Rt△A1QP 中，A1Q=A1F=2，PQ=1， ∴A1P= 5 ，用心爱心专心48 ∵MQ⊥A1P，∴MQ=A1Q ? PQ 2 5 ? ， 5 A1 Po∴MF=2 5 。 5在△FCQ 中，FC=1，QC=2，∠C=60 ，由余弦定理得 QF= 3 ， 在△FMQ 中， cos ?FMQ ?MF 2 ? MQ 2 ? QF 2 7 ?? ， 2MF ? MQ 87 。 8∴二面角 B－A1P－F 的的大小为 ? ? arccos19． 【06 江西?理】如图，在三棱锥 A－BCD 中，侧面 ABD、ACD 是全等的直角三角形， AD 是公共的斜边，且 AD＝ 3 ，BD＝CD＝1，另一个侧面是正三角形 （1）求证：AD?BC； （2）求二面角 B－AC－D 的大小； （3）在直线 AC 上是否存在一点 E，使 ED 与面 BCD。 成 30?角？若存在，确定 E 的位置；若不存在，说明理由。 【解】 解法一： （1） 方法一： 作 AH?面 BCD 于 H，连 DH。 A AB?BD?HB?BD，又 AD＝ 3 ，BD＝1NAB DC?AB＝ 2 ＝BC＝AC ?BD?DC 又 BD＝CD，则 BHCD 是正方形， 则 DH? BC ?AD?BCBE M O H F C D方法二：取 BC 的中点 O，连 AO、DO 则有 AO?BC，DO?BC， ?BC?面 AOD ?BC?AD （2）作 BM?AC 于 M，作 MN?AC 交 AD 于 N，则?BMN 就是二面角 B－AC－D 的平面角，因 为 AB＝AC＝BC＝ 2 ?M 是 AC 的中点，且 MN??CD，则 BM＝1 1 1 6 ，MN＝ CD＝ ，BN＝ AD 2 2 2 2＝3 6 ，由余弦定理可求得 cos?BMN＝ 2 3? ?BMN＝arccos6 。 3（3）设 E 是所求的点，作 EF?CH 于 F，连 FD。则 EF??AH，?EF?面 BCD，?EDF 就是 ED 与面 BCD 所成的角，则?EDF＝30?。设 EF＝x，易得 AH＝HC＝1，则 CF＝x，用心 爱心 专心 49 FD＝ 1＋x 2 ，?tan?EDF＝EF x 3 ＝ ＝ FD 3 1＋x 2解得：x＝2 ， 2则 CE＝ 2 x＝1 故线段 AC 上存在 E 点，且 CE＝1 时，ED 与面 BCD 成 30?角。 解法二：此题也可用空间向量求解，解答略。 20． 【06 江西?文】 如图，已知三棱锥 O ? ABC 的侧棱 OA、OB、OC 两两垂直，且 OA=1，OB=OC=2，E 是 OC 的中点。 （1）求 O 点到面 ABC 的距离； （2）求异面直线 BE 与 AC 所成的角； （3）求二面角 E ? AB ? C 的大小。【解】方法一： （1）取 BC 的中点 D，连 AD、OD。 ? OB ? OC ，则 OD ? BC、AD ? BC， ∴BC⊥面 OAD。过 O 点作 OH⊥AD 于 H， 则 OH⊥面 ABC，OH 的长就是所要求的距离。BC ? 2 2 ， OD ? OC2 ? CD2 ? 2 。? OA ? OB，OA ? OC，∴ OA ? 面 OBC，则 OA ? OD 。AD ? OA2 ? OD2 ? 3 ，在直角三角形 OAD 中，有 OH ?OA ? OD 2 6 ? ? 。 AD 3 3（另解：由 VO ??ABC ?1 1 2 6 S ?ABC ? OH ? OA ? OB ? OC ? 知： OH ? ） 3 6 3 3（2）取 OA 的中点 M，连 EM、BM，则 EM∥AC，∠BEM 是异面直线 BE 与 AC 所成的角。 求得： EM ?1 5 17 AC ? ，BE ? OB 2 ? OE 2 ? 5 ， BM ? OM 2 ? OB 2 ? 。 2 2 22 BE 2 ? ME 2 ? BM 2 2 cos ?BEM ? ? ， ∴ ?BEM ? arccos 。 5 2 BE ? ME 5（3）连结 CH 并延长交 AB 于 F，连结 OF、EF。 ∵OC⊥面 OAB， ∴OC⊥AB。 又∵OH⊥面 ABC，用心 爱心 专心 50 ∴CF⊥AB∴EF⊥AB，则∠EFC 就是所求二面角的平面角。作 EG⊥CF 于 G，则 EG ?1 6 。 OH ? 2 6在直角三角形 OEF 中， EF ? OE 2 ? OF 2 ? 1 ?4 3 ? , 5 5sin?EFG ?EG ? EF6 6 3 5?30 30 7 6 , ?EFG ? arcsin . （或表示为 arccos ） 18 18 18方法二： （1）以 O 为原点，OB、OC、OA 分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系。 则有 A（0,0,1） 、B（2,0,0） 、C（0,2,0） 、E（0,1,0） 设平面 ABC 的法向量为 n1 ? ( x, y, z) ，则由 n1 ? AB 知： n1 ?AB ? 2x ? z ? 0 ， 则由 n1 ? AC 知： n1 ?AC ? 2 y ? z ? 0 ，??????? ??? ??? ?????? ??? ??? ??? ??? ? n1 ? OA ?? 2 6 取 n1 ? (1,1,2) ，则点 O 到面 ABC 的距离为 d ? 。 ? ?? ? 3 1?1? 4 n1（2） EB ? (2,0,0) ? (0,1,0) ? (2, ?1,0) 。??? ???? ? AC ? (0,2, ?1)??? ? ???? cos EB, AC ?2 ?2 2 ? ? , 所以异面直线 BE 与 AC 所成的角 arccos 。 5 5 5? 5（3）设平面 EAB 的法向量为 n ? ( x, y, z) ，则由 n ? AB 知 n ? AB ? 2 x ? z ? 0 ； 由 n ? EB 知： n? EB ? 2x ? y ? 0. 取 n ? (1, 2, 2) 。 由（1）知平面 ABC 的法向量为 n1 ? (1,1,2) 。????? ?? ??? ????? ?? ??? ????? ?? ? ?? n?n1 1 ? 2 ? 4 7 7 6 cos n, n1 ? ? ?? ? ? ? , 18 9? 6 3 6 n n1结合图形可知，二面角 E ? AB ? C 的大小为： arccos7 6 。 1821． 【06 辽宁?理】 已知正方形 ABCD 。 E 、 F 分别是 AB 、 CD 的中点,将 ?ADE 沿 DE 折起，如图所示。记二面角 A ? DE ? C 的大小为 ? (0 ? ? ? ? ) 。 （I） 证明 BF // 平面 ADE ； （II） 若 ?ACD 为正三角形，试判断点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 是否在直线 EF 上，证明你的结论,并求角 ? 的余弦值。用心爱心专心51 错误!【解】 （I） 证明：EF 分别为正方形 ABCD 得边 AB、CD 的中点, ? EB//FD，且 EB=FD， ? 四边形 EBFD 为平行四边形。 ? BF//ED? EF ? 平面AED, 而BF ? 平面AED? BF // 平面 ADE .（II）解法 1： 如右图，点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上， 过点 A 作 AG 垂直于平面 BCDE,垂足为 G，连结 GC,GD. ? ? ACD 为正三角形， ? AC=AD ? CG=GD ? G 在 CD 的垂直平分线上， ? 点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上， 过 G 作 GH 垂直于 ED 于 H，连结 AH，则 AH ? DE ，所以 ?AHG 为二面角 A―DE―C 的平面角。即 ?AHG ? ? 。 设原正方体的边长为 2a，连结 AF 在折后图的 ? AEF 中，AF= 3a ，EF=2AE=2a， 即 ? AEF 为直角三角形， AG ? EF ? AE ? AF 。? AG ?2 a 53 a 2? GH ? a 2 5在 Rt ? ADE 中, AH ? DE ? AE ? AD? AH ?cos ? ?GH 1 ? 。 AH 4解法 2：点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上 连结 AF，在平面 AEF 内过点作 AG ? ? EF ，垂足为 G ? 。 ? AF ? CD ? ? ACD 为正三角形，F 为 CD 的中点， 又因 EF ? CD , 所以 CD ? 平面AEF? AG? ? 平面AEF? AG ? ? CD又 AG ? ? EF 且 CD ? EF ? F , CD ? 平面BCDE, EF ? 平面BCDE? AG? ? 平面BCDE用心 爱心 专心 52 ? G ? 为 A 在平面 BCDE 内的射影 G.即点 A 在平面 BCDE 内的射影在直线 EF 上 过 G 作 GH 垂直于 ED 于 H，连结 AH,则 AH ? DE ，所以 ?AHD 为二面角 A-DE-C 的平 面角。即 ?AHG ? ? 设原正方体的边长为 2a，连结 AF 在折后图的 ? AEF 中，AF= 3a ，EF=2AE=2a， 即 ? AEF 为直角三角形, AG ? EF ? AE ? AF? AG ?2 a 53 a 2? GH ? a 2 5在 Rt ? ADE 中, AH ? DE ? AE ? AD? AH ?cos ? ?GH 1 ? 。 AH 4解法 3：点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上 连结 AF，在平面 AEF 内过点作 AG ? ? EF ，垂足为 G ? 。 ? AF ? CD ? ? ACD 为正三角形，F 为 CD 的中点, 又因 EF ? CD ，所以 CD ? 平面AEF?CD ? 平面BCDE?平面AEF ? 平面BCDEAG ? ? EF又?平面AEF ? 平面BCDE =EF,AG? ? EF? AG? ? 平面BCDE? G ? 为 A 在平面 BCDE 内的射影 G。即点 A 在平面 BCDE 内的射影在直线 EF 上。 过 G 作 GH 垂直于 ED 于 H，连结 AH，则 AH ? DE ，所以 ?AHD 为二面角 A-DE-C 的 平面角.即 ?AHG ? ? 。 设原正方体的边长为 2a，连结 AF 在折后图的 ? AEF 中，AF= 3a ，EF=2AE=2a， 即 ? AEF 为直角三角形, AG ? EF ? AE ? AF? AG ?2 a 53 a 2? GH ? a 2 5,在 Rt ? ADE 中, AH ? DE ? AE ? AD? AH ?cos ? ?GH 1 ? 。 AH 4用心爱心专心53 22． 【06 全国Ⅰ?理】 如图， l1 、 l 2 是互相垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段。 点 A、B 在 l1 上，C 在 l 2 上，AM=MB=MN。 （Ⅰ）证明 AC ? NB （Ⅱ）若 ?ACB ? 60? ,求 NB 与平面 ABC 所成角的余弦值. 【解】 解法一： （Ⅰ）由已知l2 ? MN , l2 ? l1 , MN ? l1 ? M , 可得l2 ? 平面ABN 由已知MN ? l1，AM＝MB ? MN，可知AN ? NB且AN ? NB又 AN 为 AC 在平面 ABN 内的射影? AC ? NB （Ⅱ）? Rt ?CNA ? Rt ?CNB.? AC ? BC , 又已知 ?ACB ? 600 ，因此 ?ABC 为正三角形. ? Rt ?ANB ? Rt ?CNB,? NC ? NA ? NB ，因此 N 在平面 ABC 内的射影 H 是正三 角形 ABC 的中心，连结 BH， ?NBH 为 NB 与平面 ABC 所成的角.3 AB HB 6 ? 3 ? . 在 Rt ?NHB 中， cos ?NBH ? NB 3 2 AB 2解法二： 如图，建立空间直角坐标系 M ? xyz . 令 MN ? 1 ,则有 A（-1，0，0） ，B（1，0，0） ，N（0，1，0） 。 （Ⅰ）? MN 是 l1 、 l2 的公垂线， l2 ? l1 ，?l2 ? 平面ABN?l2平行于z轴故可设 C（0，1，m） 。 于是 AC ? （1，1，m ）, NB ? (1, ?1,0)??? ??? ???? ? ??? ? ? AC?NB ? 1 ? (?1) ? 0 ? 0 ，???? ??? ?? AC ? NB 。（Ⅱ）? AC ? (1,1, m), BC ? (?1,1, m) ? AC ? BC 又已知 ?ACB ? 60 ,0??????? ?? ?ABC 为正三角形， AC ? BC ? AB ? 2 。在 Rt ?CNB 中， NB ? 2 ，可得 NC ? 2 ，故 C（0，1， 2 ）用心 爱心 专心 54 连结 MC，做 NH ? MC 于 H，设 H (0, ?, 2? )(? ? 0)???? ???? ? ? HN ? (0,1 ? ?, ? 2?), MC ? (0,1, 2)???? ???? ? 1 ? HN ?MC ? 1 ? ? ? 2? ? 0,? ? ? 3???? ???? 1 2 2 2 1 2 ? H (0, , ) ，可得 HN ? (0, , ? ) ，连结 BH，则 BH ? (?1, , )， 3 3 3 3 3 3 ???? ???? ???? ???? 2 2 ? HN ?BH ? 0 ? ? ? 0, 又 MC ? BH ? H ? HN ? BH , 9 9? HN ? 平面ABC, ?NBH为NB与平面ABC所成的角 ??? ? 又 BN ? （-1，1，0）4 ???? ???? BH ?BN 6 3 。 ? cos ?NBH ? ???? ???? ? ? 2 3 BH BN ? 2 323． 【06 全国Ⅱ? 理】 如图， 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中，AB ? BC , D 、E 分别为 BB1 、AC1 的中点。（I）证明：ED 为异面直线 BB1 与 AC1 的公垂线； （II） 设 AA 求二面角 A1 ? AD ? C1 的大小。 1 ? AC ? 2 AB, 【解】 解法一： 1 ∥ C1C， （Ⅰ）设 O 为 AC 中点，连接 EO，BO，则 EO＝ 2 ∥B1B，所以 EO＝ ∥DB，EOBD 为平行四边形，ED∥OB． 又 C1C＝ ∵AB＝BC，∴BO⊥AC， 又平面 ABC⊥平面 ACC1A1， BO ? 面 ABC， 故 BO⊥平面 ACC1A1， ∴ED⊥平面 ACC1A1， ED⊥AC1， ED⊥CC1， ∴ED⊥BB1，ED 为异面直线 AC1 与 BB1 的公垂线．C1 A1B1D E BC AC1 A1B1 D E F BCA （Ⅱ）连接 A1E，由 AA1＝AC＝ 2AB 可知，A1ACC1 为正方形， ∴A1E⊥AC1， 又由 ED⊥平面 ACC1A1 和 ED ? 平面 ADC1 知 平面 ADC1⊥平面 A1ACC1，∴A1E⊥平面 ADC1．作 EF⊥AD，垂足为 F，连接 A1F， 则 A1F⊥AD，∠A1FE 为二面角 A1－AD－C1 的平面角． 不妨设 AA1＝2，则 AC＝2，AB＝ 2ED＝OB＝1，EF＝ tan∠A1FE＝ 3，∴∠A1FE＝60°． 所以二面角 A1－AD－C1 为 60°． 解法二：用心 爱心 专心 55OAE×ED 2 ＝ ， AD 3 （Ⅰ）如图，建立直角坐标系 O－xyz，其中原点 O 为 AC 的中点． 设 A(a,0,0)，B(0,b,0)，B1(0,b,2c)． 则 C(－a,0,0)，C1(－a,0,2c)，E(0,0,c)，D(0,b,c)． → → ED ＝（0，b，0） ， BB1 ＝(0，0，2c)． ∴ED⊥BB1． → 又 AC1 ＝(－2a,0,2c)， → → ED ? AC1 ＝0， ∴ED⊥AC1， C E O → → ED ? BB1 ＝0， C1z B1 A1 D y B A x所以 ED 是异面直线 BB1 与 AC1 的公垂线． （Ⅱ）不妨设 A(1,0,0)，则 B(0,1,0)，C(－1,0,0)，A1(1,0,2)， → → → BC ＝(－1,－1,0)， AB ＝(－1,1,0)， AA1 ＝(0,0,2)， → → → → BC ? AB ＝0， BC ? AA1 ＝0，即 BC⊥AB，BC⊥AA1，又 AB∩AA1＝A， ∴BC⊥平面 A1AD．→ → → 又 E(0,0,1)，D(0,1,1)，C(－1,0,1)， EC ＝(－1,0,－1)， AE ＝(－1,0,1)， ED ＝ (0,1,0)， → → → → EC ? AE ＝0， EC ? ED ＝0，即 EC⊥AE，EC⊥ED，又 AE∩ED＝E， → → → → → → EC ? BC 1 cos＜ EC ， BC ＞＝ ＝ ，即得 EC 和 BC 的夹角为 60°． → → 2 | EC |?| BC | 所以二面角 A1－AD－C1 为 60°． 24． 【06 山东?理】 如图，已知平面 A1 B1C1 平行于三棱锥 V ? ABC 的底面 ABC，等边 △ AB1C 所在的平面与底面 ABC 垂直，且∠ACB=90°，设 V ∴ EC⊥面 C1AD．AC ? 2a, BC ? aA1 （Ⅰ）求证直线 B1C1 是异面直线 AB1 与 A1C1 的公垂线； （Ⅱ）求点 A 到平面 VBC 的距离； （Ⅲ）求二面角 A ? VB ? C 的大小。 【解】解法 1： （Ⅰ）证明： ∵平面 A B B1 C C1A1B1C1 ∥平面 ABC ，? B1C1 // BC, AC 1 1 // AC? BC ? AC? B1C1 ? AC 1 1又∵平面 AB1C ⊥平面 ABC ，平面 AB1C ∩平面 ABC ? AC ， ∴ BC ⊥平面 AB1C ，? BC ? AB1? B1C1 ? AB1 ，用心爱心专心56 又? AC 1 1 ?B 1C1 ? C1 ， B 1C1 ? AB 1 ?B 1. （Ⅱ）解法 1：过 A 作 AD ? B1C 于 D， ∵△ AB1C 为正三角形， ∵BC⊥平面 AB1C 又 B1C ? BC ? C ， ∴D 为 B1C 的中点. ∴ BC ? AD ， ∴AD⊥平面 VBC ，? B1C1 为 AB1 与 AC 1 1 的公垂线.∴线段 AD 的长即为点 A 到平面 VBC 的距离. 在正△ AB1C 中， AD ?3 3 ? AC ? ? 2a ? 3a . 2 2∴点 A 到平面 VBC 的距离为 3a . 解法 2：取 AC 中点 O 连结 B1O ，则 B1O ⊥平面 ABC ，且 B1O = 3a . 由（Ⅰ）知 BC ? B1C ，设 A 到平面 VBC 的距离为 x， 即 ??VB1 ? ABC ? VA?BB1C ，1 1 1 1 BC ? AC ? B1O ? ? BC ? B1C ? x ，解得 x ? 3a . 3 2 3 2即 A 到平面 VBC 的距离为 3a . 所以， A 到平面 VBC 的距离为 3a . （III） 过 D 点作 DH ? VB 于 H ，连 AH ，由三重线定理知 AH ? VB ??AHD 是二面角 A ? VB ? C 的平面角。 在 Rt ? AHD 中， AD ? 3a,?B1DH ? ?B1BC,DH B1 D ? . BC B1 B? DH ?B1D ? BC 5 ? a. B1B 5? tan ?AHD ?AD ? 15 。 DH??AHD ? arctan 15 。所以，二面角 A ? VB ? C 的大小为 arctan 15 。 解法二： 取 AC 中点 O 连 B1O ,易知 OB1 ? 底面 ABC ， 过 O 作直线 OE // BC 交 AB 于 E 。 取 O 为空间直角坐标系的原点， OE, OC, OB1 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立 如图所示的空间直角坐标系。则 A(0, ?a,0), B(a, a,0), C(0, a,0), B1(0,0, 3a) 。用心爱心专心57 （I）? BC ? (?a,0,0) ， AB1 ? (0, a, 3a) ，??? ???????? ? ???? ? BC ? AB1 ? (?a,0,0) ? (0, a, 3a) ? 0 ， ??? ? ???? ? BC ? AB1 。? BC ? AB1又? B1C1 // BC, B1C1 ? AB1 由已知 BC ? AC, AC // AC 1 1。 而 BC // B1C1 ,? B1C1 ? AC 1 1。 又 B1C1与AB1 , AC 1 1 显然相交，? BC ? AC 1 1，? B1C1 是 AB1与AC 1 1 的公垂线。（II）设平面 VBC 的一个法向量 n ? ( x, y, z) ， 又 CB1 ? (0, ?a, 3a)?????? ??? ? ? (?a, 0, 0) ? 0 ? ?n ? BC ?( x, y, z )? 由 ? ? ???? ? ? (0, ?a, 3a) ? 0 ?n ? CB1 ? ? ( x, y , z ) ? ? ? 取 z ? 1 得 n ? (0, 3,1),点 A 到平面 VBC 的距离，即 AB1 在平面 VBC 的法向量 n 上的投影的绝对值。???????? ? AB1 ? (0, a, 3a) ，设所求距离为 d 。???? ? ???? AB1 ? n 2 3 ???? ???? ? 则 d ? AB1 ? cos ? AB1 ? n ? ? AB1 ? ???? ? ? 3a AB1 ? n 2所以，A 到平面 VBC 的距离为 3a . （III）设平面 VAB 的一个法向量 m ? ( x1, y1, z1 ),???? ???? ?? ???? ? ?m ? AB1 ? 0 ? ?ay ? 3az1 ? 0 ?m ? AB1 ? ?? 1 由 ? ?? ??? ? ? ??? ??? ? ?ax1 ? 2ay1 ? 0 ?m ? AB ?m ? AB ? 0 ? ? ? ?? ? ?? m? n 1 ?cos ? m, n ?? ?? ? ? ? . 4 | m|?| n |取 z1 ? 1， m ? (2 3, ? 3,1),??? 二面角 A ? VB ? C 为锐角，所以，二面角 A ? VB ? C 的大小为 arccos .1 4选择题与填空题答案用心 爱心 专心 58 一、选择题 1．D 2．A 8．C 9．C 15．D 16．D 二、填空题 1．①③④⑤3．D 10．B 17．A4．B 11．C 18．B5．C 12．D6 ．B 13．C7．B 14．C2．①③3．21 78．4． ? R1 33 R 25．3 46． 37． [2 1 , ] 4 26 39．? 310．①，②用心爱心专心59
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