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高等数学 第11章 微分方程习题详解
第十一章 微分方程习题详解第十一章 微分方程 习 题1．判断下列方程是几阶微分方程？?dy? 3 （1） ? ? ? y tan t ? 3t sin t ? 1; d t ? ?211―1（2） (7 x ? 6 y)dx ? ( x ? y )dy ? 0; （4） xy??? ? 2( y??)4 ? x2 y ? 0 ．（3） x( y???)2 ? 2 yy? ? x ? 0; 解 以有： （1）一阶微分方程； （3）三阶微分方程；微分方程中所出现的未知函数导数（或微分）的最高阶数，叫做微分方程的阶．所（2）一阶微分方程； （4）三阶微分方程．2．指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解： （1） xy? ? 2 y ， y ? 5x2 ； （2） y?? ? y ? 0 ， y ? 3sin x ? 4cos x ； （3） y?? ? 2 y? ? y ? 0 ， y ? x2 ex ； （4） ( xy ? x) y?? ? x( y?)2 ? yy? ? 2 y? ? 0 ， y ? ln( xy ) ． 解 （1）将 y? ? 10 x 代入所给微分方程的左边，得左边 ? 10 x2 ? 2(5x2 ) ? 右边，故 y ? 5x2 是微分方程 xy? ? 2 y 的解． （2）将 y? ? 3cos x ? 4sin x ， y?? ? ?3sin x ? 4cos x 代入所给微分方程的左边，得 左边 ? (?3sin x ? 4cos x) ? (3sin x ? 4cos x) ? 0 ? 右边， 故 y ? 3sin x ? 4cos x 是微分方程 y?? ? y ? 0 的解． （3）将 y ? x2 ex ， y? ? 2 x e x ? x 2 e x ， y?? ? 2e x ? 4 x e x ? x2 e x 代入微分方程的左边，得 左边 ? (2ex ? 4x e x ? x2 e x ) ? 2(2 x e x ? x2 e x ) ? x2 e x ? 2e x ? 0 （右边） ， 故 y ? x2 ex 不是所给微分方程 y?? ? 2 y? ? y ? 0 的解． （4）对方程 y ? ln( xy) 的两边关于 x 求导，得 y? ? 导，得yy? ? x( y?)2 ? xyy?? ? y? ? y? ? xy?? ，1 y? ? ，即 xyy? ? y ? xy? ．再对 x 求 x y即 ( xy ? x) y?? ? x( y?)2 ? yy? ? 2 y? ? 0 ，故 y ? ln( xy ) 是所给微分方程的解． 3．确定下列各函数关系式中所含参数，使函数满足所给的初始条件． （1） x2 ? y 2 ? C ， y （2） y ? (C1 ? C2 x)e2 x ,x ?0?5；yx ?0? 0 ， y?x ?0?1．1解 （1）将 x ? 0 ， y ? 5 代入微分方程，得C ? 02 ? 52 ? ?25所以，所求函数为 y 2 ? x 2 ? 25 ． （2） y? ? C2 e2 x ? 2(C1 ? C2 x)e2 x ? (2C1 ? C2 ? 2C2 x)e2 x ，将 yx ?0? 0 ， y?x ?0? 1 分别代入y ? (C1 ? C2 x)e2 x 和 y? ? (2C1 ? C2 ? 2C2 x)e2 x ，得 C1 ? 0 ， C2 ? 1 ，所以，所求函数为 y ? x e2 x ． 4．能否适当地选取常数 ? ，使函数 y ? e? x 成为方程 y?? ? 9 y ? 0 的解． 解 因为 y? ? ? e? x ， y?? ? ? 2 e? x ，所以为使函数 y ? e? x 成为方程 y?? ? 9 y ? 0 的解，只须满足 ? 2 e? x ? 9e? x ? 0 ，即 (? 2 ? 9)e? x ? 0 ．而 e? x ? 0 ，因此必有 ? 2 ? 9 ? 0 ，即 ? ? 3 或 ? ? ?3 ， 从而当 ? ? 3 ，或 ? ? ?3 时，函数 y ? e3 x ,y ? e?3 x 均为方程 y?? ? 9 y ? 0 的解．5．消去下列各式中的任意常数 C, C1 , C2 ，写出相应的微分方程． （1） y ? Cx ? C 2 ; （3） xy ? C1 ex ? C2 e? 解 （2） y ? x tan ? x ? C ? ; （4） ( y ? C1 )2 ? C2 x ．注意到，含一个任意常数及两个变量的关系式对应于一阶微分方程；含两个独立常数的式子对应于二阶微分方程． （1）由 y ? Cx ? C 2 两边对 x 求导，得 y? ? C ，代入原关系式 y ? Cx ? C 2 ，得所求的微分 方程为 ( y?)2 ? xy? ? y ． （2）由 y ? x tan( x ? C ) 两边对 x 求导，得y? ? tan( x ? C ) ? x sec2 ( x ? C ) ，即 y? ? tan( x ? C ) ? x ? x tan 2 ( x ? C ) ．而y? ?y ? tan( x ? C) ，故所求的微分方程为 xy ? y? ? x ? x? ? ， x ? x?2化简得 xy? ? y ? x2 ? y 2 ． （3）由 xy ? C1 e x ? C2 e? x 两边对 x 求导，得 y ? xy? ? C1 e x ? C2 e? x ，两边再对 x 求导，得y? ? y? ? xy?? ? C1 ex ? C2 e? x ，可得所求的微分方程为 xy?? ? 2 y? ? xy ． （4）由 ( y ? C1 )2 ? C2 x 两边对 x 求导，得2( y ? C1 ) ? y? ? C2 ，将 C2 ?( y ? C1 )2 代，并化简得 2 xy? ? y ? C1 ，对上式两边再对 x 求导，得 2 y? ? 2 xy?? ? y? ，故 x2第十一章 微分方程习题详解所求的微分方程为 2 xy?? ? y? ? 0 ．习 题1．求下列微分方程的通解或特解： （1） xy? ? y ln y ? 0; （3） y? ? xy? ? 2( y 2 ? y?); （5） yy? ? 3xy 2 ? x ， y 解 （1）分离变量，得x ?011―2（2） cos x sin ydx ? sin x cos ydy ? 0; （4） x(1 ? y)dx ? ( y ? xy)dy ? 0;? 1;（6） 2 x sin ydx ? ( x2 ? 3)cos ydy ? 0 ， yx ?1?? ． 61 1 dy ? dx ，两端积分，得 y ln y xln(ln y) ? ln x ? ln C ，即 ln y ? Cx ，所以原方程的通解为 y ? eC x ． 注 该等式中的 x 与 C 等本应写为 | x | 与 | C | 等，去绝对值符号时会出现 ? 号；但这些 ?号可认为含于最后答案的任意常数 C 中去了，这样书写比较简洁些，可避开绝对值与正负号 的冗繁讨论，使注意力集中到解法方面，本书都做这样的处理． （2）原方程分离变量，得cos y cos x dy ? ? dx ，两端积分，得 sin y sin xln(sin y) ? ? ln(sin x) ? ln C ，即 ln(sin y ? sin x) ? ln C ，故原方程的通解为 sin y ? sin x ? C ． （3）原方程可化成 ?( x ? 1)1 2 dy dx ，两端积分，得 ? 2 y 2 ，分离变量，得 2 dy ? ? y x ?1 dx ? 1 ? ?2 ln( x ? 1) ? C ， y即 y?1 是原方程的通解． 2 ln( x ? 1) ? Cy x dy ? dx ，两边积分，得 1? y x ?1（4）分离变量，得y ? ln(1 ? y) ? x ? ln( x ? 1) ? ln C ，即 e y ? x ? C(1 ? y)( x ? 1) 是原方程的通解． （5）分离变量，得y dy ? xdx ，两端积分，得 3y2 ? 11 1 ln(3 y 2 ? 1) ? x2 ? ln C ， 6 2即 (3 y 2 ? 1) 6 ? C e 2 ．由定解条件 y1 1 x2x?0? 1 ，知3(3 ? 1) 6 ? C ，即 C ? 2 6 ，11故所求特解为 (3 y 2 ? 1) 6 ? 2 6 e 2 ，即 3 y 2 ? 1 ? 2e3 x ． （6）将方程两边同除以 ( x2 ? 3)sin y ? 0 ，得2x cos y dx ? dy ? 0 ，两端积分，得 x2 ? 3 sin y111x22?x22x cos y dx ? ? dy ? C1 ， ?3 sin y积分后得 ln( x2 ? 3) ? ln(sin y) ? ln C （其中 C1 ? ln C ） ，从而有( x2 ? 3)sin y ? C ，代入初始条件 yx ?1?? ? ，得 C ? 4sin ? 2 ．因此，所求方程满足初始条件的特解为 6 6( x2 ? 3)sin y ? 2 ，即 y ? arcsin2 ． x2 ? 32．一曲线过点 M 0 (2,3) 在两坐标轴间任意点处的切线被切点所平分，求此曲线的方程． 解 设曲线的方程为 y ? y( x) ，过点 M ( x, y ) 的切线与 x 轴和 y 轴的交点分别为 A(2 x,0)及 B(0, 2 y) ，则点 M ( x, y ) 就是该切线 AB 的中点．于是有y? ? ?分离变量后，有y 2y ，即 y? ? ? ，且 y (2) ? 3 ， 2x x1 1 dy ? ? dx ，积分得 y xln y ? ln C ? ln x ，即 y?C 6 ．由定解条件 y x?2 ? 3 ，有 C ? 6 ，故 y ? 为所求的曲线． x x3．一粒质量为 20 克的子弹以速度 v0 ? 200 （米/秒）打进一块厚度为 10 厘米的木板， 然后穿过木板以速度 v1 ? 80 （米/秒）离开木板．若该木板对子弹的阻力与运动速度的平方 成正比（比例系数为 k） ，问子弹穿过木板的时间． 解 依题意有m即 ?dv ? ?kv 2 ， v t ?0 ? 200 ， dt1 k dv ? dt ，两端积分，得 2 v m 1 k k ， ? t ?C ? t ? C （其中 20 克＝0.02 千克） v m 0.02代入定解条件 v t ?0 ? 200 ，得 C ?200 1 ，故有 v ? ． 10000kt ? 1 2004第十一章 微分方程习题详解设子弹穿过木板的时间为 T 秒，则0.1 ? ??T0200 dt 10000kt ? 1T200 ln(10000kt ? 1) 10000k 0?又已知 t ? T 时， v ? v1 ? 80 米/秒，于是1 ln(10000kT ? 1) ， 50k80 ?从而， kT ? 0.00015 ，为此有 0.1 ?200 ， 10000kT ? 1T ln(1.5 ? 1) ，所以 50 ? 0.00015T?0.1 0.00075 ， ? 0.0075 ? ? 0.0008 （秒） ln 2.5 0.9162故子弹穿过木板运动持续了 T ? 0.0008 （秒） ． 4．求下列齐次方程的通解或特解： （1） xy? ? y ? y2 ? x2 ? 0; （3） ( x3 ? y3 )dx ? 3xy 2dy ? 0; （5） x2 （2） ( x2 ? y 2 )dx ? xydy ? 0;x （4） (1 ? 2e y )dx ? 2e y (1 ? )dy ? 0; yx xdy ? xy ? y 2 ， y dxx ?1? 1;（6） ( y 2 ? 3x2 )dy ? 2xydx ? 0 ， yx ?0?1．解 （1）原方程变形，得y? ?令u ?y ? y? ? ? ? ?1 ， x ? x?2y ，即 y ? ux ，有 y? ? u ? xu? ，则原方程可进一步化为 xu ? xu? ? u ? u 2 ? 1 ，分离变量，得1 u ?12du ?1 dx ，两端积分得 xln(u ? u2 ? 1) ? ln x ? ln C ，即 u ? u 2 ? 1 ? Cx ，将 u ?y 代入上式并整理，得原方程的通解为 xy ? y2 ? x2 ? Cx2 ．（2）原方程变形，得5? y? 1? ? ? 2 2 dy x ? y dy ?x? ． ? ，即 ? y dx xy dx x2令u ?y ，即 y ? ux ，有 y? ? u ? xu? ，则原方程可进一步化为 xu ? xu? ?1 ? u2 ， u1 1 y 即 udu ? dx ，两端积分，得 u 2 ? ln x ? C1 ，将 u ? 代入并整理，得原方程的通解 x 2 x． y 2 ? x2 (2ln x ? C ) （其中 C ? 2C1 ） （3）原方程变形，得dy x 3 ? y 3 dy 1 ? ( y x ) 3 ? ? ，即 ， dx 3xy 2 dx 3( y x) 2令 y ? ux ，有dy du ? u ? x ，则原方程可进一步化为 dx dxu?x即du 1 ? u3 ， ? dx 3u 23u 2 1 du ? dx ，两端积分，得 3 1 ? 2u x1 1 ? ln(1 ? 2u3 ) ? ln x ? ln C ， 2 2即 x2 (1 ? 2u3 ) ? C ，将 u ?y 代入上式并整理，得原方程的通解为 xx3 ? 2 y3 ? Cx ．（4）显然，原方程是一个齐次方程，又注意到方程的左端可以看成是以 数，故令 u ?x dx du ，即 x ? uy ，有 ? u ? y ，则原方程可化为 y dy dy(u ? y du )(1 ? 2 eu ) ? 2 eu (1 ? u ) ? 0 ， dyx 为变量的函 y整理并分离变量，得2eu ? 1 1 du ? ? dy ， u 2e ? u y两端积分，得ln(2eu ? u) ? ? ln y ? ln C ，6第十一章 微分方程习题详解xC x 即 2 e ? u ? ．将 u ? 代入并整理，得原方程的通解为 2 y e y ? x ? C ． y yu（5）原方程可化为dy y ? y ? ? ?? ? ． dx x ? x ?2令u ?dy du y ，有 ? u ? x ，则原方程可进一步化为 dx dx x u?x du ? u ? u2 ， dx即 ?1 1 1 y du ? dx ，两端积分，得 ? ln x ? C ，将 u ? 代入，得 2 u x u xx ? ln x ? C ， y代入初始条件 yx ?1? 1 ，得 C ? 1 ? ln1 ? 1 ．因此，所求方程满足初始条件的特解为y?（6）原方程可写成1? 3x ． 1 ? ln xx2 x dx ?2 ?0． y2 y dy令u ?x dx du ，即 x ? uy ，有 ? u ? y ，则原方程成为 y dy dy1 ? 3u 2 ? 2u (u ? y 2u 1 du ? dy ，两端积分，得 u ?1 y2du )?0， dy分离变量，得ln(u 2 ? 1) ? ln y ? ln C ，即 u 2 ? 1 ? Cy ，代入 u ?x 并整理，得通解 yx2 ? y 2 ? Cy3 ．由初始条件 yx?0? 1 ，得 C ? ?1 ．于是所求特解为y3 ? y 2 ? x2 ．? ，对于 OA ? 上任一点 P( x, y ) ，曲 5．设有连结原点 O 和 A(1,1) 的一段向上凸的曲线弧 OA? 与直线段 OP 所围成图形的面积为 x2 ，求曲线弧 OA ? 的方程． 线弧 OP解设曲线弧的方程为 y ? y( x) ，依题意有7?x01 y( x)dx ? xy( x) ? x2 ， 2y 1 y A(1,1) P(x, y) y上式两端对 x 求导，1 1 y( x) ? y( x) ? xy?( x) ? 2x ， 2 2即得微分方程y? ?令u ?y ?4， xOx1xdy du y ，有 ? u ? x ，则微分方程可化为 dx dx x u?x du du 4 ? u ? 4 ，即 ?? ， dx dx x积分得u ? ?4 ln x ? C ，因u ?y ，故有 xy ? x(?4ln x ? C ) ．又因曲线过点 A(1,1) ，故 C ? 1 ．于是得曲线弧的方程是 y ? x(1 ? 4ln x) ． 6．化下列方程为齐次方程，并求出通解： （1） ( x ? y ? 1)dx ? (4 y ? x ? 1)dy ? 0 ； 解 （1）原方程可写成dy ? x ? y ? 1 ? ， dx 4 y ? x ? 1（2） ( x ? y)dx ? (3x ? 3 y ? 4)dy ? 0 ．?x ? y ? 1 ? 0 令? ，解得交点为 x ? 1 ， y ? 0 ．作坐标平移变换 x ? X ? 1 ， y ? Y ，有 ?4 y ? x ? 1 ? 0dy dY dY ? ? ， dx d( X ? 1) dX所以原方程可进一步化为dY Y ? X ? dX 4Y ? X这是齐次方程． 设u ?（※）Y dY du ，则 Y ? uX ， ，于是（※）式可化为 ?u? X X dX dXY ?1 dY ， ? X dX 4 ? Y ? 1 X即8第十一章 微分方程习题详解u?X变量分离，得du u ? 1 ， ? dX 4u ? 14u ? 1 1 du ? ? dX ， 2 4u ? 1 X两端积分，得1 1 ln(4u 2 ? 1) ? arctan(2u) ? ? ln X ? C1 ， 2 2 Y y 2 2 即 ln ? ? X (4u ? 1)? ? ? arctan(2u) ? C (C ? 2C1 ) ，将 u ? X ? x ? 1 代入，得原方程的通解为2 2 ln ? ?4 y ? ( x ? 1) ? ? ? arctan2y ?C． x ?1（2）原方程可写成dy x? y ? ， dx 4 ? 3( x ? y )该方程属于dy ? f (ax ? by ? c) 类型，一般可令 u ? ax ? by ? c ． dx dy du ? ? 1 ，则原方程可化为 dx dx du u ， ?1 ? dx 4 ? 3u令 u ? x ? y ，有即3u ? 4 du ? 2dx ，积分得 u?23u ? 2ln u ? 2 ? 2 x ? C ，将 u ? x ? y 代入上式，得原方程的通解为x ? 3 y ? 2ln x ? y ? 2 ? C ．习 题1．求下列微分方程的通解：11―3dy ? y ?5； dx（1） y? ? 2xy ? xe? x ； （2） xy? ? 3 y ? x2 ；2（3） tan x（4） y? ?y ?1 ； x ln x（5） ( y 2 ? 6x)dy ? 2 ydx ? 0 ； （6）d? ? 3? ? 2 ． d?? p ( x )dx ? p ( x )dx 解 （1） y ? e ? q( x)e? dx ? C ? ? ? ? ? ?? 2 xdx ? x2 ? 2 xdx ? x2 ?e ? ? dx ? C ? ? ? xe e ??e ? ?? ? xdx ? C ?9? Ce? x ?（2）原方程可化为21 2 ? x2 xe ． 2y? ?故通解为y?e?3 y?x， x?3 ?3 ? 1? ? ? x dx ? ? x dx x e dx ? C ? ? x3 ? C ? ? ? Cx3 ? x 2 ． ?? x? ? ? ?（3）原方程可化为dy cos x 5cos x ， ? y? dx sin x sin x故通解为y?e? cos x ? cos x ? ? ?dx ? sin x dx ? 5cos x ? ? e ? sin x ? dx ? C ? ?? ? sin x ? ? ?? 5cos x ? ? sin x ? ? dx ? C ? ? C sin x ? 5 ． 2 ? sin x ?（4）所给方程的通解为y?e? 1 1 ? 1 ? x ln xdx ? ? x ln xdx dx ? C ? ? ?? e ? ? ln x? ? ln xdx ? C ??（5）方程可化为1 C?x ． ( x ln x ? x ? C) ? x ? ln x ln xdx 3 1 d x 6x ? y2 ? x ? ? y ，故通解为 ? ，即 dy y 2 dy 2yx?e3 3 ? ? y dy ? 1 ? ? y dy ? y e dy ? C ? ?? ? 2 ? ? ?? 1 1 ? ? y 3 ? ? ? 2 dy ? C ? ? 2 y ? ? 1 ? ? y3 ? ?C? ． ? 2y ?? 3d? ? 2 ? ?2 ? ? 3d? （6） ? ? e ? ? ? 2e d? ? C ? ? e ?3? 2 ? e3? d? ? C ? e?3? ? e3? ? C ? ? C e?3? ? ． 3 ?3 ? ? ???2．求下列微分方程的特解： （1）dy ? y tan x ? sec x ， y x?0 ? 0 ； dx（2）dy ? y cot x ? 5e cos x ， y x ? ? ? ?4 ； dx 2（3）d y 2 ? 3x 2 ? y ? 1 ， y x?1 ? 0 ． dx x310第十一章 微分方程习题详解解 （1） y ? e?tan xdx? sec x ? e? ? tan xdxdx ? C ? ? e? ln cos x ?? ? ? ?? ? sec x eln cos xdx ? C??1 cos x?C ， ? ? sec x ? cos xdx ? C ? ? x cos x代入初始条件 x ? 0, y ? 0 ，得 C ? 0 ．故所求特解为 y ? （2）? cot xdx ? cos x ? cot xdx y?e ? dx ? C ? ? ? 5e ? e ? ? ?x ． cos x?1 sin x? ? 5ecos x? sin xdx ? C ??1 ? ?5ecos x ? C ? ， sin x? 代入初始条件 x ? , y ? ?4 ，得 C ? 1 ，故所求特解为 2y?即 y sin x ? 5ecos x ? 1 ． （3）1 ? 5ecos x ， sin xy?e? 2 3? ? ? 3 ? ?dx ? x x??2 3? ? 1 ? 1 ? ?? ? ? ?? 2 ?3ln x ? ?3ln x ? ? 3 ? ?dx ? x x? ?x ? x2 dx ? C ? ? e dx ? C ? ?? e ?? e ? ? ? ? ? ? ? ?? ? x12 ? 1 2 ? 3 x2 ? e ? x e ? ? 3 dx ? C ? ? x3 e x x ? ? ? ?1? 1 ? x12 ? 1 ? ? ? ?e d?? 2 ? ? C? ? x ? ?2 ? ? ?1 1 ? 1 ? 12 ? x3 2 2 ? x3 e x ? e x ? C ? ? ? Cx3 e x ， ?2 ? 2 ? ?代入初始条件 x ? 1, y ? 0 ，得 C ? ?1 ，故所求特解为 2ey??1 ? x3 ? x2 1 ? e ? ? ?． 2? ? ? 13．求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点 ( x, y ) 处的切线斜率等于 2 x ? y ． 解 设曲线方程为 y ? y( x) ，依题意有 y? ? 2 x ? y ，即 y? ? y ? 2 x ．从而有dx ? ? dx ? x y ? e? ? ? ? 2x e dx ? C ? ? e ? ?? ? 2x e?xdx ? C?? e x (?2 x e? x ? 2e? x ? C) ? ?2 x ? 2 ? C e x ．由 x ? 0 ， y ? 0 ，得 C ? 2 ．故所求曲线的方程为y ? 2(e x ? x ? 1) ．4． 设曲线积分 ? yf ( x)dx ? [2 xf ( x) ? x 2 ]dy 在右半平面 （x?0） 内与路径无关， 其中 f ( x)L可导，且 f (1) ? 1 ，求 f ( x) ．11解依题意及曲线积分与路径无关的条件，有?[2 xf ( x) ? x 2 ] ?[ yf ( x)] ? ?0， ?x ?y即 2 f ( x) ? 2 xf ?( x) ? 2 x ? f ( x) ? 0 ．记 y ? f ( x) ，即得微分方程及初始条件为y? ?于是，y?e??1 y ? 1 ， y x?1 ? 1 ． 2x1 1 ? 1 ? 2 x dx ? ? 2 x dx dx ? C ? ? ??e x ? ???xdx ? C?1 ?2 3 C ? 2 x ?C? ? x? ． ? x?3 x ? 32 1 1 代入初始条件 x ? 1, y ? 1 ，得 C ? ，从而有 f ( x) ? x ? ． 3 3 3 x5．求下列伯努利方程的通解： （1） x （3）dy ? y ? xy 2 ; dx（2） y ? ?4 2 y ? 3x 2 y 3 ; xdy 1 1 ? y ? (1 ? 2 x) y 4 ; dx 3 3（4） xdy ? [ y ? xy3 (1 ? ln x)]dx ? 0 ．解 （1）方程可以化为y ?2令 z ? y ?1 ，则dy 1 ?1 ? y ?1． dx xdz dy dy dz dz 1 ? ? y ?2 ，即 y ?2 ? ? ．代入方程，得 ? ? z ? 1 ，即 dx dx dx dx dx x dz 1 ? z ? ?1 ， dx x其通解为z?e1 1 ? ? x dx ? ? ? x dx ( ? e )dx ? C ? ? Cx ? x ln x ， ?? ? ?所以原方程的通解为 （2）原方程化为1 ? Cx ? x ln x ． yy?4 3dy 2 ? 1 ? y 3 ? 3x 2 ． dx x令 z ? y 3 ，则?14 ? dy dz 1 ? 4 dy dz dz 2 ? ?3 ．代入方程，得 ?3 ? z ? 3x2 ，即 ?? y 3 ，即 y 3 dx dx dx 3 dx dx xdz 2 ? z ? ? x2 ， dx 3x12第十一章 微分方程习题详解其通解为z?e2 2 ? ? dx ? ? 3 x dx ? 2 3x )dx ? C ? ? ? (? x e ? ?2 4 ? ? ? x 3 ? ? (? x 3 )dx ? C ? ? ?2 ? 3 7? ? x3 ?C ? x3 ? ． 7 ? ?? 1 3 2所以原方程的通解为 y （3）原方程化为? Cx 3 ?3 7 x3 ． 71 1 y ?4 y? ? y ?3 ? (1 ? 2 x) ． 3 3令 z ? y ?3 ，则 z? ? ?3 y ?4 y? ，于是原方程化为 z ? ? z ? 2 x ? 1 ，其通解为dx ? ? dx ? ? e x ? (2x ? 1)e? x dx ? C ? z ? e? ? ? ? (2x ? 1)e dx ? C ? ? ?? ? ??x x ? ex ? ?(?2x ? 1)e ? C ? ? ? ?2x ? 1 ? C e ，所以原方程的通解为 y ?3 ? ?2x ? 1 ? C e x ． （4）原方程化为y? ?1 1 y ? (1 ? ln x) y3 ，即 y ?3 y? ? y ?2 ? 1 ? ln x ． x x2 令 z ? y ?2 ，则 z? ? ?2 y ?3 y? ，则原方程化为 z? ? z ? ?2(1 ? ln x) ，其通解为 xz?e? 2 2 ? ? x dx ? ? x dx ? 2(1 ? ln x )e dx ? C ? ?? ? ?? x ?2 ? ? ?2(1 ? ln x) x 2 dx ? C ? ? ?2 1 ? 2 ? ? x ?2 ? ? x3 (1 ? ln x) ? ? x3 ? dx ? C ? 3 x ? 3 ? 2 ? 2 ? ? x ?2 ? ? x3 (1 ? ln x) ? x3 ? C ? 9 ? 3 ?2 2 ? ? x(1 ? ln x) ? x ? Cx?2 ， 3 9 2 2 所以原方程的通解为 y ?2 ? ? x(1 ? ln x) ? x ? Cx?2 ，或写成 3 9x2 4 2 ? ? x3 ? x3 ln x ? C ． 2 y 9 313习 题1．求下列全微分方程的通解：11―41 （1） xydx ? ( x2 ? y)dy ? 0; 2（3） e y dx ? ( xe y ? 2 y)dy ? 0;（2） (3x2 ? 6xy 2 )dx ? (4 y3 ? 6x2 y)dy ? 0; （4） ( x cos y ? cos x) y? ? y sin x ? sin y ? 0 ．?P ?Q 1 ?x? 解 （1）易知， P ? xy ， Q ? ( x2 ? y) ．因为 ，所以原给定的方程为全微 ? y ?x 2分方程．而u( x, y) ? ? 0ds ? ?0xy01 2 ( x ? t )dt 21 1 1 1 ? ( x2 y ? y 2 ) ? x2 y ? y 2 ， 2 2 2 4于是，所求方程的通解为1 2 1 x y ? y2 ? C ． 2 4（2）易知， P ? 3x2 ? 6xy2 ， Q ? 4 y3 ? 6 x2 y ．因为?P ?Q ? 12 xy ? ， ?y ?x所以原给定的方程为全微分方程．而u ( x, y ) ? ? 3s 2 ds ? ? (4t 3 ? 6 x 2t )dt0 0 x y? x3 ? y 4 ? 3x2 y 2 ，于是，所求方程的通解为 x3 ? y 4 ? 3x2 y 2 ? C ． （3）易知， P ? e y ， Q ? xe y ? 2 y ．因为 方程的左端重新组合，得(e y dx ? xe y dy) ? 2 ydy ? d(xe y ? y 2 ) ，?P ?Q ? ey ? ，原方程为全微分方程．将原 ?y ?x于是，所求方程的通解为 xe y ? y 2 ? C ． （4）原方程可化为( x cos y ? cos x)dy ? (? y sin x ? sin y)dx ? 0 ，易知， P ? ? y sin x ? sin y ， Q ? x cos y ? cos x ．因为 为全微分方程．方程的左端重新组合，得?P ?Q ? ? sin x ? cos y ? ，原方程 ?y ?x( x cos ydy ? sin ydx) ? (cos xdy ? y sin xdx) ? 0 ， d( x sin y) ? d( y cos x) ? d(x sin y ? y cos x) ? 0 ，于是，所求方程的通解为 x sin y ? y cos x ? C ．14第十一章 微分方程习题详解2．用观察法求出下列方程的积分因子，并求其通解： （1） ( x2 ? y)dx ? xdy ? 0; 解 （1）用 （2） y 2 ( x ? 3 y)dx ? (1 ? 3xy 2 )dy ? 0 ．1 乘方程，便得到了全微分方程 x2y? 1 ? ?1 ? 2 ? dx ? dy ? 0 ， x ? x ?将方程左端重新组合，得dx ? ydx ? xdy y? ? ? d? x ? ? ? 0 ． 2 x x? ?于是，通解为 x ?y ?C． x（2）原方程可化为xy 2 dx ? 3 y3dx ? dy ? 3xy 2dy ? 0 ，即 xy 2 dx ? dy ? 3( y3dx ? xy 2 dy) ? 0 ，用xdx ?1 乘方程，便得到了全微分方程 y21 dy ? 3( ydx ? xdy ) ? 0 ， y2?1? ?1 ? 1 ?1 ? d ? x 2 ? ? d ? ? ? 3d( xy ) ? d ? x 2 ? ? 3xy ? ? 0 ， 2 y 2 y ? ? ? ? ? ?于是，原方程的通解为1 2 1 x ? ? 3xy ? C ． 2 y3．用积分因子法解下列一阶线性方程： （1） xy? ? 2 y ? 4ln x ； 解 （1）将原方程写成 （2） y? ? y tan x ? x ．y? ?此方程两端乘以 ? ? e? xdx22 4ln x ， y? x x? x 2 后变成x2 y? ? 2xy ? 4x ln x ，即 ( x2 y)? ? 4x ln x ，两端积分，得x2 y ? ? 4 x ln xdx ? 2x2 ln x ? x 2 ? C ，于是，原方程的通解为 y ? 2ln x ? 1 ?C ． x2? tan xdx （2）方程两端乘以 ? ? e ? ? cos x ，则方程变为y? cos x ? y sin x ? x cos x ，15即 ( y cos x)? ? x cos x ，两端积分，得y c o sx? ? x c o s x ? d x于是，原方程的通解为 y ? x tan x ? 1 ?x s i? x nc? o x， s CC ． cos x习 题1．求下列微分方程的通解： （1） y?? ?11―51 (4) y ?0． x1 ； 1 ? x2（2） y??? ? x e x ；（3） y (5) ?解（1） y? ? ?1 dx ? C1 ? arctan x ? C1 ， 1 ? x21 y ? ? ? arctan x ? C1 ?dx ? C2 ? x arctan x ? ln(1 ? x2 ) ? C1 x ? C2 ． 2（2） y?? ? ? x e x dx ? C1 ? x e x ? e x ? C1 ，y? ? ? ( x e x ? e x ? C1 )dx ? C2 ? x e x ? 2e x ? C1 x ? C2 ，y ? ? ( x ex ? 2ex ? C1 x ? C2 )dx ? C3 ? x ex ? 3e x ?（作为最后的结果，这里 （3）令 z ? y (4) ，则有C1 2 x ? C2 x ? C3 ． 2C1 也可以直接写成 C1 ） ． 2dz 1 ? z ? 0 ，可知 z ? Cx ，从而有 dx xd4 y ? Cx ， dx4再逐次积分，即得原方程的通解y ? C1x5 ? C2 x3 ? C3 x2 ? C4 x ? C5 ．2．求下列微分方程的通解： （1） y ?? ? y ? ? （3） y3 y?? ? 1 ? 0; （2） xy ?? ? y ? ? 0; （4） y?? ? ? y?? ? y? ．3解 （1）令 y ? ? p ，则 y?? ? p? ，且原方程化为p? ? p ? x ．利用一阶线性方程的求解公式，得dx ? ? dx ? x p ? e? ? ? ? x e dx ? C1 ? ? e ? ??? xe?xdx ? C1?? ex ? ?x e? x ? e? x ? C1 ? ? ?x ? 1 ? C1 ex ．16第十一章 微分方程习题详解即 p ? ? x ? 1 ? C1 ex ，再积分，得通解1 y ? ? (? x ? 1 ? C1 e x )dx ? ? x2 ? x ? C1 e x ? C2 ． 2（2）令 y ? ? p ，则 y?? ? p? ，且原方程化为xp? ? p ? 0 ，分离变量，得dp dx ? ? ，积分得 p x1 ln p ? ln ? ln C1 ， x即 p?C C1 ，再积分，得通解 y ? ? 1 dx ? C1 ln x ? C2 ． x xdp ，且原方程化为 dy y3 p dp ?1 ? 0 ， dy（3）令 y ? ? p ，则 y ?? ? p分离变量，得 pdp ?1 1 dy ，积分得 p 2 ? ? 2 ? C1 ，故 3 y yy? ? p ? ? C1 ?1 1 ?? C1 y 2 ? 1 ， 2 y | y|再分离变量，得| y | dy C1 y 2 ? 1 ? ?dx ．由于 | y |? y sgn( y) ，故上式两端积分，sgn( y ) ? ydy C1 y ? 12? ? ? dx ，即 sgn( y) C1 y2 ?1 ? ?C1x ? C2 ，两边平方，得C1 y2 ? 1 ? ? C1x ? C2 ? ．2（4）令 y ? ? p ，则 y ?? ? pdp dp ? p 3 ? p ，即 ，且原方程化为 p dy dy? dp ? p ? ? (1 ? p 2 ) ? ? 0 ． ? dy ?若 p ? 0 ，则 y ? C ． y ? C 是原方程的解，但不是通解． 若 p ? 0 ，由于 p 的连续性，必在 x 的某区间有 p ? 0 ．于是dp ? (1 ? p 2 ) ? 0 ， dy17分离变量，得dp ? dy ，积分得 1 ? p2arctan p ? y ? C1 ，即 p ? tan ? y ? C1 ? ，亦即 cot ? y ? C1 ? dy ? dx ．积分得ln sin ? y ? C1 ? ? x ? ln C2 ．即 sin ? y ? C1 ? ? C2 ex ，也可写成y ? arcsin ?C2 ex ? ? C1 ．由于当 C2 ? 0 时， y ? C1 ，故前面所得的解 y ? C 也包含在这个通解之内． 3．求下列初值问题的解： （1） y?? ? x ? sin x ， y (0) ? 1 ， y?(0) ? ?2 ； （2） (1 ? x2 ) y?? ? 2xy? ， y (0) ? 1 ， y?(0) ? 3 ； （3） y?? ? e2 y ， y(0) ? 0 ， y?(0) ? 0 ； （4） y?? ? ? y?? ? 1 ， y(0) ? 0 ， y?(0) ? 0 ．21 1 解 （1）易知， y? ? x2 ? cos x ? C1 ， y ? x3 ? sin x ? C1x ? C2 ． 2 6由初值条件 y?(0) ? ?2 ，知 ?2 ? 0 ? 1 ? C1 ，得 C1 ? ?1 ；由 y (0) ? 1 ，知 1 ? 0 ? 0 ? 0 ? C2 ， 得 C2 ? 1 ．故特解为1 y ? x3 ? sin x ? x ? 1 ． 6（2）令 y ? ? p ，则 y?? ? p? ，且原方程化为(1 ? x2 ) p? ? 2 xp ，变量分离，得1 2x dp? d x ，两端积分，得 y? ? p ? C1 (1 ? x2 ) ．再两端积分，得 p 1 ? x21 y ? C1 ( x ? x3 ) ? C2 ． 3由初值条件 y?(0) ? 3 ，有 3 ? C1 (1 ? 02 ) ，解得， C1 ? 3 ，由初值条件 y (0) ? 1 ，有1 1 ? 3(0 ? ? 02 ) ? C2 ， 3解得， C2 ? 1 ，故所给初值条件的微分方程的特解为 y ? x3 ? 3x ? 1． （3）令 y ? ? p ，则 y ?? ? pdp ，且原方程化为 dypdp ? e 2 y ，即 pdp ? e2 y dy ， dy18第十一章 微分方程习题详解两端积分得1 2 1 2y p ? e ? C1 ． 2 2 1 代入初始条件 y(0) ? 0 ， y?(0) ? 0 ，得 C1 ? ? ，从而 2 1 2 1 2y 1 p ? e ? ，即 p2 ? e2 y ? 1 ， 2 2 2亦即 y? ? ? e2 y ? 1 ．分离变量后积分?即dy e2 y ? 1? ?? d x ，?d(e? y ) 1 ? e?2 y? ? ? d x ，得arcsin(e? y ) ? ? x ? C2 ，代入初始条件 y(0) ? 0 ，得 C2 ?? ．于是，符合所给初值条件的特解为 ??? ? e? y ? sin ? ? x ? ， ?? ?即 y ? ? ln cos x ? ln sec x ． （4）令 y ? ? p ，则 y ?? ? pdp ，且原方程化为 dypdp ? p2 ? 1， dy分离变量，得p d p ? d y ，两端积分，得 1 ? p21 ? ln(1 ? p2 ) ? y ? C1 ， 2代入初始条件 y(0) ? 0 ， y?(0) ? 0 ，得 C1 ? 0 ．从而，1 y ? ? ln(1 ? p2 ) ，即 y? ? p ? ? 1 ? e?2 y ， 2再分离变量，得1 1 ? e ?2 y d y ? ? d x ，即d(e y ) e2 y ? 1d y ? ?d x ．两端积分，得 arch(e y ) ? ? x ? C2 ，代入初始条件 y(0) ? 0 ，得 C2 ? 0 ，从而有满足所给初始条 件的特解为arch(e y ) ? ? x ，即 e y ? ch(? x) ? ch( x) ，或写成 y ? ln ch( x) ．191 4．试求 y ?? ? x 的经过点 M (0,1) 且在此点与直线 y ? x ? 1 相切的积分曲线． 2解 问题y ?? ? x ， y x?0 ? 1 ， y? x?0 ?1 1 由于直线 y ? x ? 1 在 M (0,1) 处的切线斜率为 ，依题设知，所求积分曲线是初值 2 21 2的解．由 y ?? ? x ，积分得 y? ?1 2 x ? C1 ，再积分，得 2 1 y ? x2 ? C1x ? C2 ， 6代入初始条件 y x?0 ? 1 ， y? x?0 ?1 1 ，解得 C1 ? ， C2 ? 1 ，于是所求积分曲线的方程为 2 2 1 1 y ? x2 ? x ? 1 ． 6 25．对任意的 x ? 0 ，曲线 y ? f ( x) 上的点 ( x, f ( x)) 处的切线在 y 轴上的截距等于1 x f (t )dt ， x ?0且 y ? f ( x) 存在二阶导数，求 f ( x) 的表达式． 解 方程为Y ? f ( x) ? f ?( x)( X ? x) ，设曲线的方程为 y ? f ( x) ，其中 y ? f ( x) 有二阶导数，则在点 M ( x, f ( x)) 处的切线令 X ? 0 ，知切线在 y 轴上的截距为 Y ? f ( x) ? xf ?( x) ，据题意，有x 1 x f (t )dt ? f ( x) ? xf ?( x) ，即 xf ( x) ? x 2 f ?( x) ? ?0 f (t )dt ． ? 0 x两端求导，得f ( x) ? xf ?( x) ? 2 xf ?( x) ? x2 f ??( x) ? f ( x) ，即 x ? f ?( x) ? xf ??( x)? ? 0 ，已知 x ? 0 ，故有f ?( x) ? xf ??( x) ? 0 ，令 y ? ? p ，则 y?? ? p? ，且原方程化为p?x分离变量，得dp ?0， dx1 1 d p ? ? d x ，两端积分，得 p xln p ? ln C1 ? ln x ，即 y? ? p ?C1 ． x20第十一章 微分方程习题详解再对两端积分，得y ? C1 ln x ? C2 ，即 f ( x) ? C1 ln x ? C2 ．习 题（1） e x ， e? （3） cos 2 x ， sin 2 解 （1）因为 y1 ? e x ， y2 ? e? x 满足：11―6（2） 3sin 2 x ， 1 ? cos 2 （4） x ln x ， ln x ．1．下列函数组中，在定义的区间内，哪些是线性无关的．y1 e x ? ? e 2 x ? 常数， y2 e ? x所以函数组 e x ， e ? x 是线性无关的． （2）因为 y1 ? 3sin 2 x ， y2 ? 1 ? cos2 x 满足：y1 3sin 2 x ? ? 3， y2 1 ? cos 2 x所以函数组 3sin 2 x ， 1 ? cos 2 x 是线性相关的． （3）因为 y1 ? cos 2 x ， y2 ? sin 2 x 满足：y1 cos 2 x ? ? cot 2 x ? 常数， y2 sin 2 x所以函数组 cos 2 x ， sin 2 x 是线性无关的． （4）因为 y1 ? x ln x ， y2 ? ln x 满足：y1 x ln x ? ? x ? 常数， y2 ln x所以函数组 x ln x ， ln x 是线性无关的．2．验证 y1 ? cos ? x 及 y2 ? sin ? x 都是方程 y?? ? ? 2 y ? 0 的解，并写出该方程的通解． 证明? ? ?? sin ? x ， y1 ?? ? ?? 2 cos ? x ； 由 y1 ? cos ? x ，得 y1? ? ? cos ? x ， y1 ?? ? ?? 2 sin ? x ． 由 y2 ? sin ? x ，得 y1可见，yi?? ? ? 2 sin ? x ? 0 (i ? 1, 2) ，故 y1 ? cos ? x 及 y2 ? sin ? x 都是方程 y?? ? ? 2 y ? 0 的解． 又因为y1 ? cot ? x ? 常数， 故 y1 ? cos ? x 与 y2 ? sin ? x 线性无关． 于是所给方程的通解为 y2y ? y1 ? y2 ? C1 cos ? x ? C2 sin ? x ．213．验证 y1 ? e x 及 y2 ? x e x 都是微分方程 y?? ? 4 xy? ? (4 x2 ? 2) y ? 0 的解，并写出该方程的 通解． 证明22?? ? (2 ? 4 x2 )ex ； ? ? 2 x e x ， y1 由 y1 ? e x ，得 y1 ? ? (1 ? 2x2 )ex ， y2 ?? ? (6 x ? 4 x3 )e x ． 由 y2 ? x e x ，得 y22 2 2222因为?? ? 4xy1 ? ? (4x2 ? 2) y1 ? (2 ? 4x2 )ex ? 4x ? 2x ex ? (4x2 ? 2)ex ? 0 ； y1 ?? ? 4xy2 ? ? (4x2 ? 2) y2 ? (6x ? 4x3 )ex ? 4x ? (1 ? 2x2 )e x ? (4x2 ? 2) x e x ? 0 ， y2所以 y1 ? e x 及 y2 ? x e x 都是方程 y?? ? 4 xy? ? (4 x2 ? 2) y ? 0 的解．2 2 2 2 2222又因为2 2 y2 ? x ? 常数，故 y1 ? e x 与 y2 ? x e x 线性无关，于是所给方程的通解为 y1y ? y1 ? y2 ? (C1 ? C2 x)e x ．24．若 y1 ? 3 ， y2 ? 3 ? x2 ， y2 ? 3 ? x2 ? e x 都是方程y?? ? P( x) y? ? Q( x) y ? f ( x) ( f ( x) ? 0)的特解，当 P( x) ， Q( x) ， f ( x) 都是连续函数时，求此方程的通解． 解 因为 y2 ? y1 ? x2 ， y3 ? y2 ? e x ，所以 x2 及 e x 都是方程 y?? ? P( x) y? ? Q( x) y ? f ( x) 对y3 ? y2 e x ? ? 常数，所以 y2 ? y1 与 y3 ? y2 线性无关．因此，所给 y2 ? y1 x 2应齐次方程的特解．又因为方程 y?? ? P( x) y? ? Q( x) y ? f ( x) 的通解为y ? C1x2 ? C2 ex ? 3 ．习 题1．求下列微分方程的通解． （1） y?? ? 4 y? ? 0; （3） 9 y?? ? 6 y? ? y ? 0; （5） y?? ? 6 y? ? 25 y ? 0;11―7（2） y ?? ? 3 y ? ? 10 y ? 0; （4） y?? ? y ? 0; （6） y(4) ? 5 y?? ? 36 y ? 0 ．解 （1）所给方程对应的特征方程为 r 2 ? 4r ? 0 ，解之，得 r1 ? 0 ， r2 ? 4 ，所以原方程 的通解为y ? C1 ? C2 e4 x ．（2）所给方程对应的特征方程为 r 2 ? 3r ? 10 ? 0 解之，得 r1 ? 5 ， r2 ? ?2 ，所以原方程的 通解为22第十一章 微分方程习题详解y ? C1 e5 x ? C2 e?2 x ．1 （3）所给方程对应的特征方程为 9r 2 ? 6r ? 1 ? 0 解之，得 r1 ? r2 ? ? ，所以原方程的通 3解为y ? (C1 ? C2 x) e1 ? x 3．（4）所给方程对应的特征方程为 r 2 ? 1 ? 0 ，解之，得 r1 ? i ， r2 ? ?i ，所以原方程的通 解为y ? C1 cos x ? C2 sin x ．（5）所给方程对应的特征方程为 r 2 ? 6r ? 25 ? 0 ，解之，得 r1 ? 3 ? 4i ， r2 ? 3 ? 4i ，所 以原方程的通解为y ? e3x (C1 cos 4x ? C2 sin 4x) ．（6）所给方程对应的特征方程为 r 4 ? 5r 2 ? 36 ? 0 ，解之，得 r1,2 ? ?2 ， r3,4 ? ?3i ，所以 原方程的通解为y ? C1 e2 x ? C2 e?2 x ? C3 cos3x ? C4 sin 3x ．2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： （1） y?? ? 4 y? ? 3 y ? 0, y x?0 ? 6, y? x?0 ? 10 ； （2） 4 y?? ? 4 y? ? y ? 0, y x?0 ? 2, y? x?0 ? 0 ； （3） y?? ? 25 y ? 0, y x?0 ? 2, y? x?0 ? 5 ； （4） y?? ? 4 y? ? 13 y ? 0, y x?0 ? 0, y? x?0 ? 3 ． 解 （1）所给方程对应的特征方程为 r 2 ? 4r ? 3 ? 0 ，解之，得 r1 ? 1 ， r2 ? 3 ，所以原方 程的通解为y ? C1 e x ? C2 e3 x ，从而， y? ? C1 e x ? 3C2 e3 x ，代入初始条件 y x?0 ? 6, y? x?0 ? 10 ，得?C1 ? C2 ? 6, ? ?C1 ? 3C2 ? 10, ?C ? 4, 解得 ? 1 故所求特解为 ?C2 ? 2,y ? 4e x ? 2e3 x ．1 （2）所给方程对应的特征方程为 4r 2 ? 4r ? 1 ? 0 ，解之，得 r1,2 ? ? ，所以原方程的通 223解为y ? (C1 ? C2 x) e1 ? x 2，从而，y ? ? C2 e1 ? x 2 1 1 ? x ? x 1 1 ? C1 e 2 ? C2 x e 2 ， 2 2代入初始条件 y x?0 ? 2, y? x?0 ? 0 ，得?C1 ? 2, ? ? 1 ? C1 ? C2 ? 0, ? ? 2?C ? 2, 解得， ? 1 故所求特解为 ?C2 ? 1,y ? (2 ? x) e1 ? x 2．（3）所给方程对应的特征方程为 r 2 ? 25 ? 0 ，解之，得 r1,2 ? ?5i ，所以原方程的通解 为y ? C1 cos5x ? C2 sin 5x ，从而， y? ? ?5C1 sin 5x ? 5C2 cos5x ，代入初始条件 y x?0 ? 2, y? x?0 ? 5 ，得?C1 ? 2, ? ?5C2 ? 5, ?C ? 2, 解得， ? 1 故所求特解为 ?C2 ? 1,y ? 2cos5 x ? sin 5 x ．（4）所给方程对应的特征方程为 r 2 ? 4r ? 13 ? 0 ，解之，得 r1,2 ? 2 ? 3i ，所以原方程的 通解为y ? e2 x (C1 cos3x ? C2 sin 3x) ，从而， y? ? e2 x [(2C1 ? 3C2 )cos3x ? (2C2 ? 3C1 )sin 3x] ，代入初始条件 y x?0 ? 0, y? x?0 ? 3 ，得?C1 ? 0, ? ?2C1 ? 3C2 ? 3, ?C ? 0, 解得 ? 1 故所求特解为 ?C2 ? 1,y ? e2 x sin 3x ．3．设圆柱形浮筒，直径为 0.5 米，铅直放在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒在水24第十一章 微分方程习题详解中上下振动的周期为 2 秒，求浮筒的质量． 解 设 x 轴的正向铅直向下，原点在水面处．平衡状态下浮筒上一点 A 在水平面处，又设在时刻 t， 点 A 的位置为 x ? x(t ) ， 此时它受到的恢复力的大小为 ? gV排水 ? 1000g?R2 | x （ | R 是浮筒的半径） ，恢复力的方向与位移方向相反，故有mx?? ? ?1000 g ?R2 x ，其中 m 是浮筒的质量． 记 ?2 ?1000 g ?R2 ，则得微分方程 x?? ? ? 2 x ? 0 ．其对应的特征方程为 r 2 ? ? 2 ? 0 ，解得 mr1,2 ? ?? i ，故2 x ? C1 cos ? t ? C2 sin ?t ? A sin(? t ? ? ) ， A ? C12 ? C2 ， sin ? ?C1 ． A由于振动周期 T ?2??? 2 ，故 ? ? ? ，即1000g ?R2 ? ?2 ，从中解出浮筒的质量为 mm?1000 gR2 ． ? 195 （千克） ?习 题11―81．求下列微分方程的特解 y* 的形式（不必求出待定系数） ． （1） y?? ? 3 y ? 3x2 ? 1; （3） y?? ? 2 y? ? y ? （5） y?? ? 3 y? ? 2 y ? （7） y?? ? 7 y? ? 6 y ? e2 （9） y?? ? 2 y? ? 2 y ? 2 x e2 （2） y ?? ? y ? ? （4） y?? ? 2 y? ? 3 y ? e? （6） y?? ? 2 y? ? ( x2 ? x ? 3) （8） y?? ? 4 y? ? 5 y ? e2 （10） y?? ? 2 y? ? 2 y ? x e x sin x ．解 （1） f ( x) ? 3x 2 ? 1 属于 e? x Pm ( x) 型（其中， Pm ( x) ? 3x2 ? 1 ， ? ? 0 ） ，对应齐次方程 的特征方程为 r 2 ? 3 ? 0 ．易知， ? ? 0 不是特征方程的根，所以特解 y* 的形式为y* ? Ax2 ? Bx ? C （这里 A、B 和 C 为待定系数） ．（2） f ( x) ? x 属于 e? x Pm ( x) 型（其中， Pm ( x) ? x ， ? ? 0 ） ，对应齐次方程的特征方程为r 2 ? r ? 0 ．易知， ? ? 0 是特征方程的一个单根，所以特解 y* 的形式为y* ? x( Ax ? B) ? Ax2 ? Bx （这里 A 和 B 为待定系数） ．（3） f ( x) ? e x 属于 e? x Pm ( x) 型（其中， Pm ( x) ? 1 ， ? ? 1 ） ，对应齐次方程的特征方程为r 2 ? 2r ? 1 ? 0 ，易知， ? ? 1 是特征方程的二重根，所以特解 y* 的形式为y* ? Ax2 e x （其中 A 为待定系数） ．25（4） f ( x) ? e? x 属于 e? x Pm ( x) 型（其中， Pm ( x) ? 1 ， ? ? ?1 ） ，对应齐次方程的特征方程 为 r 2 ? 2r ? 3 ? 0 ，易知， ? ? ?1 是特征方程的一个单根，所以特解 y* 的形式为 ． y* ? Ax e? x （其中 A 为待定系数） （5） f ( x) ? x e x 属于 e? x Pm ( x) 型（其中， Pm ( x) ? x ， ? ? 1 ） ，对应齐次方程的特征方程 为 r 2 ? 3r ? 2 ? 0 ，易知， ? ? 1 是特征方程的一个单根，所以特解 y* 的形式为 ． y* ? x( Ax ? B)ex ? ( Ax2 ? Bx)e x （其中 A 和 B 为待定系数） （6） f ( x) ? ( x2 ? x ? 3)e x 是 e? x Pm ( x) 型（其中， Pm ( x) ? x2 ? x ? 3 ， ? ? 1 ） ，对应齐次方 程的特征方程为 r 2 ? 2r ? 0 ，易知， ? ? 1 是不是特征方程的根，所以特解 y* 的形式为 ． y* ? ( Ax2 ? Bx ? C )e x （其中 A、B 和 C 为待定系数） （7） f ( x) ? e2 x sin x 属于 e? x ? P （其中 ? ? 2 ，? ? 1 ，P l ( x) ? 0 ， l ( x)cos ? x ? P n ( x)sin ? x? 型 ．对应齐次方程的特征方程为 r 2 ? 7r ? 6 ? 0 ，易知， ? ? i? ? 2 ? i 不是特征方程的 Pn ( x) ? 1 ） 根，所以应设其特解为 ． y* ? e2 x ( A cos x ? B sin x) （其中 A、B 为待定系数） （8） f ( x) ? e2 x sin x 属于 e? x ? P （其中 ? ? 2 ，? ? 1 ，P l ( x) ? 0 ， l ( x)cos ? x ? P n ( x)sin ? x? 型 ．对应齐次方程的特征方程为 r 2 ? 4r ? 5 ? 0 ，易知，? ? i? ? 2 ? i 是特征方程的根， Pn ( x) ? 1 ） 所以应设其特解为 ． y* ? x e2 x [ A cos x ? B sin x)] （其中 A 和 B 为待定系数）2x （ 9 ）由 f ( x) ? 2x e cos x 属于 e? x ? P ? x ? Pn ( x ) sin ?x? 型（其中 ? ? 2 ， ? ? 1 ， l (x ) cosPl ( x) ? 2 x ， Pn ( x) ? 0 ） ，对应齐次方程的特征方程为 r 2 ? 2r ? 2 ? 0 ，易知， ? ? i? ? 2 ? i 不是特征方程的根，所以应设其特解为 ． y* ? e2 x [( Ax ? B)cos x ? (Cx ? D)sin x)] （其中 A、B、C 和 D 为待定系数）? ? 1 ，P （10）f ( x) ? x e x sin x 属于 e? x ? P （其中 ? ? 1 ， l ( x) ? 0 ， l ( x)cos ? x ? P n ( x)sin ? x? 型Pn ( x) ? x ） ．对应齐次方程的特征方程为 r 2 ? 2r ? 2 ? 0 ，易知，? ? i? ? 1 ? i 是特征方程的根，所以应设其特解为 ． y* ? x ex ?( Ax ? B)cos x ? (Cx ? D)sin x)? （其中 A、B、C 和 D 为待定系数）2．求下列各微分方程的通解． （1） 2 y?? ? y? ? y ? 2 （3） y?? ? 6 y? ? 9 y ? ( x ? 1)e3 （2） y?? ? 3 y? ? 2 y ? 3x e? （4） y?? ? y ? e x ? cos x ．解 （1） f ( x) ? 2e x 是 e? x Pm ( x) 型（其中， Pm ( x) ? 2 ， ? ? 1 ） ，对应齐次方程的特征方26第十一章 微分方程习题详解程为 2r 2 ? r ? 1 ? 0 ，解得 r1 ?1 ， r2 ? ?1 ，故对应齐次方程的通解为 2Y ? C1 e 2 ? C2 e? x ．1 x因为 ? ? 1 不是特征方程的根，所以特解 y* 的形式为 y* ? A e x ，代入原方程得2 A e x ? A e x ? A e x ? 2e x ．消去 e x ，有 A ?1，即 y* ? e x ，故原方程的通解为y ? Y ? y* ? C1 e 2 ? C2 e? x ? e x ．1 x（2） f ( x) ? 3x e? x 是 e? x Pm ( x) 型（其中， Pm ( x) ? 3x ， ? ? ?1 ） ，对应齐次方程的特征方 程为 r 2 ? 3r ? 2 ? 0 ，解得 r1 ? ?1 ， r2 ? ?2 ，故对应齐次方程的通解为Y ? C1 e? x ? C2 e?2 x ．因为 ? ? ?1 是特征方程的单根，所以特解 y* 的形式为y* ? x( Ax ? B)e? x ? ( Ax2 ? Bx)e? x ，代入原方程并消去 e ? x ，得2 Ax ? (2 A ? B) ? 3x ．比较系数，得 A ?3 ?3 ? ， B ? ?3 ，即 y* ? ? x 2 ? 3x ? e ? x ，故原方程的通解为 2 2 ? ??3 ? y ? Y ? y* ? C1 e? x ? C2 e?2 x ? ? x 2 ? 3x ? e? x ． ?2 ?（3） f ( x) ? ( x ? 1)e3x 是 e? x Pm ( x) 型（其中， Pm ( x) ? x ? 1 ， ? ? 3 ） ，对应齐次方程的特 征方程为 r 2 ? 6r ? 9 ? 0 ，解得 r1,2 ? 3 ，故对应齐次方程的通解为Y ? (C1 ? C2 x)e3 x ．因为 ? ? 3 是特征方程的二重根，所以特解 y* 的形式为y* ? x2 ( Ax ? B)e3 x ? ( Ax3 ? Bx2 )e3 x ，代入原方程并消去 e x ，得 6 Ax ? 2 B ? x ? 1 ．比较系数，得 A ?1 ? ?1 y * ? ? x 3 ? x 2 ? e3 x ， 2 ? ?61 1 ， B ? ，即 6 2故原方程的通解为1 ? ?1 y ? Y ? y* ? (C1 ? C2 x) e3 x ? ? x3 ? x 2 ? e3 x ． 2 ? ?6（4）原方程对应的齐次方程的特征方程为 r 2 ? 1 ? 0 ，解得 r1,2 ? ?i ，故对应齐次方程的 通解为27Y ? C1 cos x ? C2 sin x ．* 因 f ( x) ? ex ? cos x ，对应于方程 y?? ? y ? ex ，可设特解为 y1 ? A e x ；对应于方程 y?? ? y ? cos x * （ ? ? i? ? i 是特征方程的根）可设特解为 y2 ? x( B cos x ? C sin x) ，故由叠加原理，设原方程的特解为* * y* ? y1 ? y2 ? A ex ? x( B cos x ? C sin x) ，代入原方程，得2 A e x ? 2C cos x ? 2B sin x ? e x ? cos x ，比较系数，得 A ?1 1 1 1 ， B ? 0 ， C ? ，即 y* ? ex ? x sin x ，故原方程的通解为 2 2 2 2 1 1 y ? Y ? y* ? C1 cos x ? C2 sin x ? ex ? x sin x ． 2 23．已知函数 y ? f ( x) 所确定的曲线与 x 轴相切于原点，且满足 f ( x) ? 2 ? sin x ? f ??( x) ， 试求 f ( x) ． 解 显然函数 y ? f ( x) 满足初值条件：y ? y?? ? 2 ? sin x ， y(0) ? 0 ， y?(0) ? 0 ，可解得方程 y ? y?? ? 2 ? sin x 的通解为1 y ? Y ? y* ? C1 cos x ? C2 sin x ? 2 ? x cos x ． 2?C1 ? 2 ? 0, ? 由定解条件 y(0) ? 0 ， y?(0) ? 0 ，有 ? 解得 1 C2 ? ? 0, ? ? 2 ?C1 ? ?2, ? ? 1 所求的曲线为 C2 ? . ? ? 21 1 y ? ?2cos x ? sin x ? 2 ? x cos x ． 2 24．设函数 ? ( x) 连续，且满足 ? ( x) ? e x ? ? (t ? x)? (t )dt ，求 ? ( x) ．0x解由于函数 ? ( x) 连续，故 ? (t ? x)? (t )dt 可导，从而有0x? ( x) ? e x ? ? t? (t )dt ? x ? ? (t )dt ，0 0xx? ?( x) ? e x ? x? ( x) ? ? ? (t )dt ? x? ( x) ? e x ? ? ? (t )dt ，0 0xx? ??( x) ? e x ? ? ( x) ．于是，有初值问题： ???( x) ? ex ? ? ( x) ， ? (0) ? 1 ， ? ?(0) ? 1 ．可解得方程 ???( x) ? ex ? ? ( x) 的通 解为28第十一章 微分方程习题详解? ( x) ? C1 cos x ? C2 sin x ? e x ．由定解条件 ? (0) ? 1 ， ? ?(0) ? 1 ，可解得 C1 ? C2 ?1 21 ，故所求的函数为 2? ( x) ? (cos x ? sin x ? ex ) ．1 2习 题11―91．对于技术革新的推广，在下列几种情况下分别建立模型． （1）推广工作通过已经采用新技术的人进行，推广速度与已采用新技术人数成正比， 推广是无限的； （2）总人数有限，因而推广速度还会随着尚未采用新技术人数的减少而降低； （3）在（2）的前提下考虑广告媒体的传播作用． 解 设 t 时刻采用新技术的人数为 x (t ) ．dx ? ?x ． dtdx ? ax( N ? x ) ， N 为总人数． dt（1）指数模型：（2）Logistic 模型：（3）广告等媒介在早期作用比较大，它对传播速度的影响与尚未采用新技术的人数成 正比，在模型（2）的基础上，有dx ? (ax ? b)( N ? x) ． dt（2）和（3）的区别见下图．x?x（3） （3）（2）（2）OxOt2．侦察机搜索潜艇．设 t＝0 时艇在 O 点，飞机在 A 点，OA＝6 里．此时艇潜入水中并 沿着飞机不知道的某一方向以直线形式逃去，艇速 20 里/时，飞机以速度 40 里/小时按照待 定的航线搜索潜艇，当且仅当飞到艇的正上方时才可发现它． （1）以 O 点为原点建立极坐标系 (r ,? ) ，A 点位于 ? ? 0 的向径上，见右图．分析图中 由 P、Q、R 组成的小三角形，证明在有限时间内飞机一定可以搜索到潜艇的航线，是先从 A29点沿直线飞到某点 P0 ，再从 P0 沿一条对数螺线飞行一周，而 P0 是一个圆周上的任一点．给 出对数螺线的表达式，并画出一条给出对数螺线的表达式，并画出一条航线的示意图；R(r ? dr , ? ?d ? )Q(r, ? ?d ? )P(r, ?)?OA（2）为了使整条航线是光滑的，直线段应与对数螺线在 P0 点相切，找出这条光滑的航 线； （3）在所有一定可以发现潜艇的航线中哪一条航线最短，长度是多少，光滑航线的长 度又是多少？ 解 （1）证明 记飞机速度 u ? 40 里/小时，艇速 v ? 20 里/时．设 PR 是所求航线上的一 段，即当潜艇沿 ? 航行时飞机、潜艇在 (r ,? ) 相遇（图 1） ，那么当潜艇沿 ? ? ?? 航行时，二 者必在 (r ? ?r ,? ? ?? ) 相遇，记 PR 弧长为 d s ，则ds u ? ? 2 ，注意到 (d s)2 ? (d r )2 ? (r d? )2 ， dr v(r0 ,?0 ) 是满足 OP0 ? AP0 / 2 的任意一点 P0 的坐标， 即可得到 r ? r0 e(? ??0 )/ 3 ， 这是一条对数螺线，而 P0 位于以 (2, ?) 为圆心、半径为 4 里的圆周上． 飞机从 A 沿直线飞至 P0 ，再沿螺线飞行，最远飞行一圈至 P2 ，总能发现潜艇（图 2 中 实线为飞机航线，虚线为潜艇航线） ．R(r ? dr , ? ?d ? )Q(r, ? ?d ? )r d?drdsP2??P (r, ?)P0?AOAO图 1图 2（2）考察对数螺线上任一点 P 的切线与该点的向径夹角 ? （图 3） ，有 tan ? ?r d? ，对 dr30第十一章 微分方程习题详解? ??0于 r ? r0 e3， 夹角 ? ? tan ?1 3 ??? ? ? ， 而螺线起始点 P0 所在的圆周上只有 P 1 ? 2 3, ? 点使 AP 1 ?? ? ?与 OP 1 的夹角也是? （图 4） ，所以沿 APP 1 3 的航线是光滑的． ?drr d??P(r ,? )P3? ? P ? 2 3, ? ? 1? ? ?? ? ? ??AOO6 图 4A图 3（3）一定可以发现潜艇的航线是，直线段 AP0 加上螺线一圈 P0 P2 （图 2） ．显然最短的?2?航线是取 P0 点为（2，0） ，沿螺线 r ? 2e3飞行至 P2* 点．点 P2* 的向径 r ? 2e2? 33即为潜艇的航程，因为 u ? 2v ，故飞机最短航线的长度为 2 ? 2e2?? 150 里．同理，光滑航线的长度为 2 ? 2 3 e? ??03? 260 里．?0 ? 2 ?如果计算螺线的长度，则需 r ? r0 e3代入 ??0(d r )2 ? (r d ? )2 求积分．复习题 A1．填空题 （1） 已知 y1 ? e x 及 y2 ? x e x 是微分方程 y?? ? p( x) y? ? q( x) y ? 0 的解 （其中 p( x) 、q( x) 都 是已知的连续函数）则该方程的通解为____________；1? ? （2）若曲线 y ? f ( x) 过点 M 0 ? 0, ? ? ，且曲线上任意一点 M ? x, y? 处的切线的斜率为 2? ?2 2x ln(1 ? x2 ) ，则 f ( x) ? ____________；（3）微分方程 y?? ? 2 y? ? y ? 6x ex 的特解 y* 的形式为______________； （4）若 y1 ? x2 ， y2 ? x2 ? e2 x ， y3 ? x2 ? e2 x ? e5 x 都是微分方程 y?? ? p( x) y? ? q( x) y ? f ( x) 的解（其中 f ( x) ? 0 ， p( x) ， q( x) 都是已知的连续函数） ，则此微分方程的通解为________． 解 （1）因为 y1 与 y2 线性无关，所以所求通解为 y ? C1 y1 ? C2 y2 ? (C1 ? C2 x)ex ； （2）因为 f ?( x) ? x ln(1 ? x2 ) ，所以231f ( x) ? ? f ?( x)d x ? ? x ln(1 ? x2 )d x1 ? [(1 ? x2 )ln(1 ? x2 ) ? x2 ] ? C ， 2 1 1 由定解条件 f (0) ? ? ，知 C ? ? ，故有 2 2 1 f ( x) ? ? (1 ? x2 )ln(1 ? x2 ) ? x2 ? 1? ?． 2?（3） f ( x) ? 6 x e x 是 e? x Pm ( x) 型（其中， Pm ( x) ? 6 x ， ? ? 1 ） ，对应齐次方程的特征方程 为r 2 ? 2r ? 1 ? 0 ．易知， ? ? 1 是特征方程的二重根，所以特解 y* 的形式为 ． y* ? x2 ( Ax ? B)e x （这里 A 和 B 为待定系数） （4）因为 y2 ? y1 ? e2 x ， y3 ? y2 ? e5 x 都是对应齐次方程的解，并且线性无关，故对应齐 次方程的通解为Y ? C1 e2 x ? C2 e5 x ，取所给方程的一个特解为 y* ? y1 ? x 2 ，于是所给方程的通解为y ? Y ? y* ? C1 e2 x ? C2 e5 x ? x2 ．2．选择题 （1）函数 y ? C1 e2 x?C2 ( C1 、 C2 为任意常数）是方程 y?? ? y? ? 2 y ? 0 的（ （A）通解； （C）不是解； （2）方程 ? 2 x ? y ? dy ? ? 5x ? 4 y ? dx 是（ （A）一阶线性齐次方程； （C）齐次方程； （B）特解； （D）是解，既不是通解，又不是特解． ） ． （B）一阶线性非齐次方程； （D）可分离变量的方程． ） ．（3）下列微分方程中，具有特解 y1 ? e? x ， y2 ? 2x e? x ， y3 ? 3e x 的三阶常系数齐次线性 微分方程是（ ） ． （B） y ??? ? y ?? ? y? ? y ? 0; （D） y??? ? 2 y?? ? y? ? 2 y ? 0 ． ） ．（A） y??? ? y?? ? y? ? y ? 0; （C） y??? ? 6 y?? ? 11y? ? 6 y ? 0;（4）微分方程 y?? ? y ? e x ? 1 的一个特解应具有形式（式 a 、 b 为常数） （ （A） a ex ? （B） ax e x ? （C） a e x ?（D） ax e x ? bx ．解 （1）因为 y ? C1 e2 x?C2 ? C e2 x (C ? C1 eC2 ) ，它实际只含有一个任意常数，所以它既不32第十一章 微分方程习题详解是通解，又不是特解．而 C e2 x 满足所给方程，所以是所给方程的解．应选（D） ． （2）方程 ? 2 x ? y ? dy ? ? 5x ? 4 y ? dx 可变形为dy 5 x ? 4 y ? ， dx 2 x ? y它是典型的齐次方程，故选（C） ． （3）由于 y1 ， y2 ， y 3 可知， r1,2 ? ?1 是特征方程的二重根且 r3 ? 1 ．于是所给方程对应 的齐次方程的特征方程为(r ? 1)2 (r ? 1) ? r 3 ? r 2 ? r ? 1 ? 0 ，故所求的微分方程应为y??? ? y?? ? y? ? y ? 0 ．本题应选（B） ． （ 4 ）原方程对应的齐次方程的特征方程的根为 r1,2 ? ?1 ．相对于方程 y?? ? y ? ex ，因* f1 ( x ) ? ex ， ? ? 1 是特征方程的（单）根，故该方程的特解应形如 y1 ? ax e x ．又相对于方程 y?? ? y ? 1 ，因 f 2 ( x) ? 1 ， ? ? 0 不是特征方程的根，故该方程的特解应形* 如 y2 ?b．按微分方程解的叠加原理，原方程的特解应形如* * y* ? y1 ? y2 ? ax e x ? b ．本题应选（B） ．3．求下列微分方程的通解： （1） xy? ? y ? 2 （3） y （2）dy y ? ; dx 2(ln y ? x)dy ? y 2 ? 2 dxydx ? xdy ? 0; x2 ? y 2（4） y4 ? 3x2 dy ? xydx ? 0; （6） y??? ? y?? ? 2 y? ? x(e x ? 4) ．??（5） xdx ? ydy ?解 （1）所给方程可以化为y1? 1 2dy 1 1 2 ? y2 ? ， dx x x令 z ? y 2 ，则1 ? dy dz d z 1 ?1 dy ?2 ? y 2 ，y 2 ．方程就化成线性方程： dx dx dx 2 dxdz 1 1 ? z? ． d x 2x x其通解为33z?e因此，原方程的通解为?1 1 ? 1 ? 2x d x ? 1 ? 2x d x e dx ?C? ? (x ? C) ． ?? x ? x ?xy ? x ? C ．（2）原方程可以化为dx 2 2 ? x ? ln y ， dy y y解此线性方程，有通解x?e??2 2 ? ? ydy ? 2 ? ydy ln y e d y ?C? ? ? ? y ? ? ?1 y2C ? ． ? ? 2 y ln y d y ? C ? ? ln y ? 1 2 y2（3）令 z ? y 2 ，则dz dy ? 2y ，从而方程可化为 dx dx dz ? 2 z ? ?4 x ， dx解得，z ? e?2d x? ?4x e? ?2d x d x ? C ? ? 2x ? 1 ? C e2 x ． ? ? ?? ?故原方程的通解为 y 2 ? 2 x ? 1 ? C e2 x ． （4）原方程可化为dx 3 1 ? x ? ? y3 ， dy y x或x dx 3 2 ? x ? ? y3 ， dy y令 z ? x 2 ，则dz 6 dz dx ? 2x ? z ? ?2 y 3 ，解得 ，代入有 dy dy dy y6 6 ?? d y ? ? ? 2 ? ydy ? 3 y z ?e d y ? C ? ? y 6 ? ? ? 3 d y ? C ? ? Cy 6 ? y 4 ． ? ? ?2 y e y ? ? ? ? ? ?故原方程的通解 x2 ? Cy6 ? y 4 ． （5）由于?x? ? ydx ? xdy 1 ydx ? xdy 1 x? ? 2 ? ? d ? ? ? d ? arctan ? ，故原方程可表示 2 2 2 2 x x ?y y y? ? x? ? y? ? ?1 1? ? ? y2 ? y?为34第十一章 微分方程习题详解? x2 ? ? y2 ? ? d ? ? ? d ? ? ? d ? arctan 2 2 ? ? ? ? ? ? x2 ? y 2 即 d? ? arctan ? 2x? ? ? 0， y?x x? 2 2 ? ? 0 ．所以原方程的通解为 x ? y ? 2 arctan ? C ． y y?（6）原方程对应的齐次方程的特征方程为 r 3 ? r 2 ? 2r ? 0 ，有根 r1 ? 0 ， r2 ? 1 ， r3 ? ?2 ， 故对应齐次方程的通解为 Y ? C1 ? C2 e x ? C3 e?2 x ． 对于方程 y??? ? y?? ? 2 y? ? x ex ，因 f1 (x) ? x e x ，其中 ? ? 1 是特征方程的（单）根，故可令* 其特解为 y1 ? x( Ax ? B)e x ，代入方程 y??? ? y?? ? 2 y? ? x ex 中并消去 e x ，得6 Ax ? 8 A ? 3B ? x ，比较系数得1 ? A? , ? ?6 A ? 1, ? 6 解得 ? ? ?8 A ? 3B ? 0, ?B ? ? 4 , ? 9 ?4 ? ?1 * ? ? x2 ? x ? ex ． 于是有 y1 6 9 ? ?对于方程 y??? ? y?? ? 2 y? ? 4 x ，因 f2 ( x) ? 4 x ，其中 ? ? 0 是特征方程的（单）根，故可令* 其特解为 y2 ? x(Cx ? D) ，代入方程 y??? ? y?? ? 2 y? ? x ex 中，得?4Cx ? 2C ? 2 D ? 4 x ，比较系数得??4C ? 4, ?C ? ?1, 解得 ? ? ?2C ? 2 D ? 0, ? D ? ?1,* 于是有 y2 ? ? x2 ? x ．* * 根据线性方程解的叠加原理得 y* ? y1 原方程 y??? ? y?? ? 2 y? ? x(e x ? 4) 的特解，故原方 ? y2程的通解为4 ? ?1 y ? Y ? y* ? C1 ? C2 e x ? C3 e?2 x ? ? x 2 ? x ? e x ? x 2 ? x ． 9 ? ?64．求下列微分方程满足初值条件的特解： （1） y3dx ? 2( x2 ? xy 2 )dy ? 0 ， y x?1 ? 1 ； （2） y?? ? 2 y?2 ? 0 ， y x?0 ? 0 ， y? x?0 ? ?1； （3） 2 y?? ? sin 2 y ? 0 ， y x?0 ?? ， y? x?0 ? 1 ； 235（4） y?? ? 2 y? ? y ? cos x , y x?0 ? 0 , y? x?0 ? 解 （1）所给方程可以化为3 ． 2dx 2 2 d x 2 ?1 2 ? x ? ? 3 x 2 ，即 x ? 2 ? x ?? 3 ． dy y y dy y y令 z ? x ?1 ，则dz dx dz dx ? ? x ?2 ? x ?2 ，即 ? ，代入上面的方程，有 dy dy dy dydz 2 2 ? z? 3 ， dy y y解得此线性方程的通解为2 2 ? 1 ? ydy ? 2 ? ydy z ?e e d y ? C ? (2ln y ? C ) ， ? ? 3 ?? y ? y2 ? ? ?即 x ?1 ?1 (2 ln y ? C ) ．由定解条件 y x?1 ? 1 ，可得 C ? 1 ，所求的特解为 y2 x ?1 ? 1 (2 ln y ? 1) ，即 y 2 ? 2 x ln y ? x ． 2 y（2）令 y ? ? p ，则 y?? ? p? ，代入原方程有dp 1 ? 2 p 2 ? 0 ，即 2 d p ? 2d x ， p dx积分得? 1 1 ? 2 x ? C1 ，或 p ? ? ， p 2 x ? C1即dy 1 ?? ，将初值条件 y? x?0 ? ?1代入上式，可得 C1 ? 1 ，从而有 dx 2 x ? C1 dy 1 ?? ， dx 2x ? 11 再积分，得 y ? ? ln(2 x ? 1) ? C2 ．将初值条件 y x?0 ? 0 代入上式，可得 C2 ? 0 ，故满足初值 2 1 条件的特解为 y ? ? ln(2 x ? 1) ． 2（3）令 y ? ? p ， y ?? ? pdp ，代入原方程，得 dy2pdp ? sin 2 y ，即 2 pd p ? sin 2 yd y ． dy积分得1 p2 ? ? cos 2 y ? C1 ． 236第十一章 微分方程习题详解将初值条件 y x ?0 ?π 1 ， y? x?0 ? 1 代入上式，可解得 C1 ? ．从而有 2 2 y?2 ? 1 ? cos 2 y ? sin 2 y ，即 y? ? sin y ， 2分离变量，得dy ? d x ，两端积分，得 sin yy? y ? ln ? tan ? ? x ? ln C2 ，或 tan ? C2 e x ． 2? 2 ?将初值条件 y x?0 ?? 代入上式，可解得 C2 ? 1 ，故满足初值条件的特解为 2 tan y ? e x ，或 y ? 2arctan e x ． 2? ? 0 ，? ?1 ， P （4） f ( x) ? cos x 属于 e? x ? P l ( x) ? 1 ， l ( x)cos ? x ? P n ( x)sin ? x? 型（其中Pn ( x) ? 0 ） ．对应齐次方程的特征方程为 r 2 ? 2r ? 1 ? 0 ，解得 r1,2 ? ?1 ，对应齐次方程的通解为Y ? (C1 ? C2 x)e? x ，因为 ? ? i? ? ?i 不是特征方程的根，所以可设其特解为y* ? A cos x ? B sin x ．从而有 y*? ? ? Asin x ? B cos x ， y*?? ? ? A cos x ? B sin x ，代入原方程，得(? A cos x ? B sin x) ? 2(? A sin x ? B cos x) ? A cos x ? B sin x ? cos x ，即 ?2 A sin x ? 2 B cos x ? cos x ，比较系数，得A?0，B?1 ， 21 故 y* ? sin x ． 2因此，原方程的通解为1 y ? Y ? y* ? (C1 ? C2 x)e? x ? sin x ， 2 1 3 从而 y? ? C2 e? x ? (C1 ? C2 x)e? x ? cos x ，将初值条件 y x?0 ? 0 , y? x?0 ? 代入以上两式，得 2 2?C1 ? 0, ? ? 1 3 C2 ? C1 ? ? , ? ? 2 21 解得 C1 ? 0 ， C2 ? 1 ．于是满足初始条件的特解为 y ? x e? x ? sin x ． 2375．设可导函数 ? ( x) 满足 ? ( x) cos x ? 2? ? (t )sin tdt ? x ? 1 ，求函数 ? ( x) ．0x解对所给的等式两边求导，得? ?( x) cos x ? ? ( x)sin x ? 2? ( x)sin x ? 1 ，即 ? ?( x) ? ? ( x) tan x ? sec x ，且有 ? (0) ? 0 ．故? tan x d x ? ? tan x d x d x ? C ? ? ( x) ? e ? ? ? sec x e ???1 ? ? ? cos x ? ? sec x ? d x ? C? cos x ? ?? C cos x ? sin x ．由初值条件 ? (0) ? 1 ，有 1 ? C ，故所求的特解为 ? ( x) ? cos x ? sin x ．6．求下列欧拉方程的通解． （1） x2 y?? ? 3xy? ? y ? 0 ； 解 （1）设 x ? et ，即 t ? ln x ，则有d y d y dt 1 d y d2 y 1 ? d2 y d y ? ? ? ? ， 2 ? 2? 2 ? ?， d x dt d x x dt dx x ? dt dt ?（2） x2 y?? ? 4 xy? ? 6 y ? x ．代入方程，有? d2 y d y ? dy ? y ?0， ? 2 ? ??3 dt ? dt ? dt即d2 y dy 1 ?2 ? y ? 0 ，有通解 y ? (C1 ? C2t )e?t ? (C1 ? C2 ln x) ． dt 2 dt x（2）设 x ? et ，即 t ? ln x ，则有d y d y dt 1 d y d2 y 1 ? d2 y d y ? ? ? ? ， 2 ? 2? 2 ? ?， d x dt d x x dt dx x ? dt dt ?代入方程，有? d2 y d y ? dy ? 6 y ? et ， ? 2 ? ??4 d t d t d t ? ?即d2 y dy ?5 ? 6 y ? et ，对应齐次方程的通解为 2 dt dtY ? C1 e2t ? C2 e3t ，由于自由项 f (t ) ? et 中， ? ? 1 不是特征方程的根，故令特解为 y* ? A et ，代入方程后，求出A?1 ．故所给方程的通解为 238第十一章 微分方程习题详解1 1 y ? Y ? y* ? C1 e2t ? C2 e3t ? et ? C1x2 ? C2 x3 ? x ． 2 2复习题 B1．填空题 （1）微分方程 y?? ? 4 y ? e2 x 的通解为____________； （2）微分方程 xy?? ? 3 y? ? 0 的通解为____________； （3）设 y ? ex (C1 sin x ? C2 cos x) （ C1 、 C2 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分 方程的通解，则该微分方程为____________；y ?1 ? ? 1 的曲线方程为__________． （4）过点 ? , 0 ? 且满足关系式 y? arcsin x ? ?2 ? 1 ? x2解 （1）此方程对应的齐次方程的特征方程为 r 2 ? 4 ? 0 ，其根为 r1,2 ? ?2 ．又因自由项f ( x) ? e2 x ， ? ? 2 是特征方程的单根，故令 y* ? Ax e2 x 是原方程的特解，代入原方程可得A?1 1 ，于是原方程的通解为 y ? C1 e2 x ? C2 e?2 x ? x e2 x ． 4 4（2）原方程可变形为d y? 3 ? ? d x ，两端积分，得 y? xln y? ? ?3ln x ? ln C1? ，即 y? ?C1? ，故所给方程的通解为 x3 y?? C1? 1 C1 C? （其中 C1 ? ? 1 ） ． ? C2 ? 2 ? C2 ， 2 2 x x 2（3）由所给通解的表达式知， r1,2 ? 1 ? i 是所求微分方程的特征方程的根，于是特征方 程为 r 2 ? 2r ? 2 ? 0 ，故所求微分方程为 y?? ? 2 y? ? 2 ? 0 ． （4）将所给关系式改写成y? ? 1 1 ? x ? arcsin x2y?1 ， arcsin x由一阶线性微分方程的通解公式，得y?e??1 1? x 2 ?arcsin xdx? ? 1 ?? e ? arcsin x ?1 1? x 2 ?arcsin xdx? dx?C?， ? ?即 y?1 1 1 ( x ? C ) ，代入初始条件 x ? ， y ? 0 ，得 C ? ? ，故所求曲线的方程为 arcsin x 2 21 2 ． y? arcsin x x?392．选择题 （1） 设线性无关的函数 y1 ，y2 ，y 3 都是二阶非齐次方程 y?? ? p( x) y? ? q( x) y ? f ( x) 的解，C1 、 C2 为任意常数，则该非齐次方程的通解是（） ．（A） C1 y1 ? C2 y2 ? y3 ; （C） C1 y1 ? C2 y2 ? (1 ? C1 ? C2 ) y3 ;（B） C1 y1 ? C2 y2 ? (C1 ? C2 ) y3 ; （D） C1 y1 ? C2 y2 ? (1 ? C1 ? C2 ) y3 ． ） ．（2）设 y ? f ( x) 是微分方程 y?? ? y? ? esin x ? 0 的解，且 f ?( x0 ) ? 0 ，则 f ( x) 在（ （A） x0 的某邻域内单调增加； （C） x0 处取得极小值； （B） x0 的某邻域内单调减少； （D） x0 处取得极大值．x （3）设曲线积分 ? ? ? f ( x) ? e ? ? sin ydx ? f ( x)cos ydy 与积分路径无关，其中 f ( x) 具有一阶 L连续导数，且 f (0) ? 0 ，则 f ( x) 等于（） ．1 （A） (e? x ? e x ); 2 1 （C） (e x ? e? x ) ? 1; 21 （B） (e x ? e? x ); 2 1 （D） 1 ? (e x ? e? x ) ． 2解 （1）因 y1 ? y3 与 y2 ? y3 是对应的齐次方程的解，且由 y1 ， y2 ， y 3 线性无关可推知y1 ? y3 与 y2 ? y3 线性无关，而 y 3 是非齐次方程的特解，故 y ? C1 ( y1 ? y3 ) ? C2 ( y2 ? y3 ) ? y3 ? C1 y1 ? C2 y2 ? (1 ? C1 ? C2 ) y3是非齐次方程的通解．所以本题应选（D） ． （2）因 f ?( x0 ) ? 0 ，即 x0 是 f ( x) 的驻点，又因为 f ( x) 是微分方程的解，故有f ??( x0 ) ? f ?( x0 ) ? esin x0 ? esin x0 ? 0 ．这说明 x0 是 f ( x) 的极小值点，所以本题应选（C） ． （3）由曲线积分与路径无关的充要条件?P ?Q ? ，可得微分方程 ?y ?xf ?( x) ? f ( x) ? e x ，其通解为? dx ? ? ?x ? 1 2x x ?d x f ( x) ? e ? ? ??e e d x ?C? ? e ? e ?C? ． ? ? ?2 ?1 1 由 f (0) ? 0 可得 C ? ? ，于是 f ( x) ? (e x ? e? x ) ，故本题应选（B） ． 2 23．求微分方程 x2 y? ? xy ? y 2 满足初始条件 y (1) ? 1 的特解． 解法一 用伯努利方程的解法，将原方程化为40第十一章 微分方程习题详解y ?2 y? ?令 z ? y ?1 ，则 z? ? ? y ?2 y? ，且原方程可化为1 ?1 1 y ? 2， x x1 1 z? ? z ? ? 2 ， x x解得z ?e1 dx ? 1 ?? 1 1 1 ? ? ? xdx ? ? ? ? 2 e x d x ? C ? ? x? ? ? 2 ? d x ? C ? x x x ? ? ? ?1 ? 1 ? ? x ? 2 ? C ? ? Cx ? ， 2x ? 2x ?即原方程的通解为y?2x ． 2Cx2 ? 12x 1 由 y (1) ? 1 ，得 C ? ，故所求特解为 y ? 2 ． x ?1 2解法二将原方程化为y? ?令u ?y y 2 ? xy ? y? ，即 y? ? ? ? ? ． 2 x x ?x?2y ，即 y ? ux ，则 y? ? u ? xu? ，原方程进一步化为 xu ? xu? ? u 2 ? u ．分离变量后积分?u得21 dx ． du ? ? ? 2u x1 1 y [ln(u ? 2) ? ln u] ? ln x ? ln C ．代入 u ? ，得原方程的通解为 2 2 xy ? 2x ? Cx 2 ． y由 y (1) ? 1 ，得 C ? ?1 ，故所求特解为y ? 2x 2x ? ? x 2 ，即 y ? 2 ． y x ?14．设 y ? e x 是微分方程 xy? ? p( x) y ? x 的一个解，求此微分方程满足条件 y x?ln 2 ? 0 的特 解． 解 将 y ? e x 代入原方程，可得x ex ? p( x)ex ? x ，即 p( x) ? x e? x ? x ．41于是，原方程可化为xy? ? ( x e? x ? x) y ? x ，当 x ? 0 时，消去 x 得 y? ? (e? x ? 1) y ? 1 ，于是，通解y ? e?x (1 ? ?ex ) dx ? ?e ? e ? ?( 1 ? ? ??xx ) d?x dx ? C ? ? ex?e ? ???x ? ( x ? ?eed)x ? C?? e x ? e ? ? e? e d(? e? x ) ? C ? ? ??x? ex?e?x?e? e? x?C?1? e x ? C e x ?e ．由初始条件 y x?ln 2 ? 0 ，得 0 ? 2 ? C ? 2 e 2 ，即 C ? ? e 2 ，故所求特解为 y ? e x ? e? 1?xx ? e? x ?1 2．5．设 f ( x) ? sin x ? ? ( x ? t ) f (t )dt ，其中 f 为连续函数，求 f ( x) ．0x解因 f ( x) ? sin x ? x ? f (t )dt ? ? tf (t )dt ，代入 x ? 0 ，得 f (0) ? 0 ，且0 0xxf ?( x) ? cos x ? ? f (t )dt ? xf ( x) ? xf ( x) ，0x即 f ?( x) ? cos x ? ? f (t )dt ，代入 x ? 0 ，得 f ?(0) ? 1 ．又 f ??( x) ? ? sin x ? f ( x) ．记 y ? f ( x) ，0x则有初值问题? ? y?? ? y ? ? sin x, ? ? ? y x?0 ? 0, y? x?0 ? 1,上述微分方程对应的齐次方程的特征方程有根 r1,2 ? ?i ，而自由项为f ( x) ? ? sin x ? e0?x (0 ? cos x ? sin x) ，故 ? ? 0 ， ? ? 1 ，而 ? ? i? ? i 是特征方程的根，从而可令原方程的一个特解为y* ? x( A cos x ? B sin x) ，代入微分方程并比较系数，得 A ?1 1 ， B ? 0 ，即 y* ? x cos x ．于是得通解 2 21 y ? C1 cos x ? C2 sin x ? x cos x ， 2 1 1 且 y? ? ?C1 sin x ? C2 cos x ? cos x ? x sin x ．由 y x?0 ? 0, y? x?0 ? 1, ，得 2 2?C1 ? 0, ?C1 ? 0, ? ? 即 ? ? 1 1 C2 ? . C2 ? ? 1, ? ? ? 2 ? 21 1 故 y ? f ( x) ? sin x ? x cos x ． 2 242第十一章 微分方程习题详解6．求微分方程 y?? ? 4 y? ? 4 y ? e? x 的通解，其中 ? 为实数． 解 通解为Y ? (C1 ? C2 x)e?2 x ．原方程对应的齐次方程的特征方程为 r 2 ? 4r ? 4 ? 0 ，解得 r1,2 ? ?2 ，故齐次方程的对于自由项 f ( x) ? e? x ，当 ? ? ?2 时，可令原方程的一个特解为y* ? A e? x ，代入原方程，可得 A ?1 e? x ，即 y* ? ；当 ? ? ?2 时，可令原方程的一个特解为 2 (? ? 2) (a ? 2) 2y* ? Bx2 e?2 x ，代入原方程，可得 B ?1 1 ，即 y* ? x2 e?2 x ．故原方程的通解为 2 2? e? x (C1 ? C2 x) e?2 x ? , 当? ? ?2; ? ? (? ? 2)2 y?? ?(C ? C x) e?2 x ? 1 x 2 e?2 x , 当? ? ?2. 1 2 ? ? 27．设物体 A 从点 (0,1) 出发，以常速率 v 沿 y 轴正向运动，物体 B 从点 ? ?1,0? 与 A 同时 出发，其速率为 2v ，方向始终指向 A．试建立物体 B 的运动轨迹所满足的微分方程，并写 出初始条件． 解 设物体 B 的运动轨迹的方程为 y ? f ( x) ，且在时刻 t， B －1 O y A 1 x物体 B 位于点 ( x, y ) 处，此时物体 A 位于点 (0,1 ? vt ) ．按题意， 则如右图所示，有y? ?即1 ? vt ? y ， 0? xy ? xy? ? 1 ? vt.（1）又此刻，物体 B 从点 (?1,0) 行至 ( x, y ) 的路程为?x?11 ? ? y? ? d x? 2v t.2（2）由（1）式与（2）式消去 vt ，得 y ? xy? ? 1 ?1 x 2 1 ? ? y?? d x ．两端对 x 求导，得 ? ? 1 2y? ? ( y? ? xy??) ?即 ? xy?? ?1 2 1 ? ? y? ? ， 21 2 1 ? ? y?? ．初始条件为 y x??1 ? 0 ， y? x ??1 ? 1 ． 2438．在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的．设该人群的总人数 为 N，在 t ? 0 时刻已掌握新技术的人数为 x0 ，在任意时刻 t 已掌握新技术的人数为 x (t ) （将x (t ) 视为连续可微变量） ，其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数 k ? 0 ，求 x (t ) ． 解 根据题意，可得初值问题dx ? kx( N ? x) ， x t ?0 ? x0 ． dt分离变量得dx ? k dt ， x( N ? x)两端分别从 x0 到 x 和从 0 到 t 积分，得初值问题的解：?左端为dx 1 ? x( N ? x) Nxx0t dx ? ? k d t ? kt ， x( N ? x) 0?由xx0?xx0x0 ? 1 ? 1? x ?1 ? ln ?， ? ? ? d x ? ? ln x N ? x N N ? x N ? x0 ? ? ? ?x0 ? 1? x ? ln ? ln ? ? kt 解得 N? N?x N ? x0 ?x? Nx0 ekNt ． N ? x0 ? x0 ekNt44
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