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2017考研高数重点题型总结：用函数的凹凸性证明不等式
17:07:20 来源：网络
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　　冲刺复习，重点题型的解法一定要掌握好。新东方在线为大家梳理高等数学部分各类题型及解法，下面是用函数的凹凸性证明不等式问题，考生注意理解学习。2017重点题型总结：用函数的凹凸性证明不等式
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辅助函数的构造方法及其在等式证明中的应用
　　一、引言
　　辅助函数是数学证明中经常使用的一种非常有用的方法，是数学解题中构造的辅助问题的一种，它是依据数学问题所提供的信息而构造的函数，再利用这个函数的特性进行求解。构造辅助函数是将原来的数学问题转化为容易解决的辅助函数问题。这就要求我们在所掌握的数学知识基础上，全面把握数学问题所提供的信息，即问题本身的特点，背景，以及与其它问题之间的关系，运用基本的数学思想，经过认真的观察，深入的思考，才能构造出所需要的辅助函数。这一构造过程是一个从特殊到一般的过程，而运用辅助函数返回解决原数学问题又是一个从一般到特殊的过程。辅助函数有许多的基本特点，首先，辅助函数在题设中没有，在结论中也没有，仅是解题中间过程中构造来的，类似于几何平面中的辅助线，起辅助解题的作用，其次，同一个命题可构造许多个辅助函数应用于解题。然而，不同的辅助函数直接关系到解题的难易，因此构造最恰当的辅助函数是关键。
　　二、在等式证明中辅助函数的构造方法与技巧
　　证明不等式常借助函数的单调性，拉格朗日中值定理，函数的极值或者最值以及函数的凹凸性去完成。对不同的证明工具，构造的角度与方式也有所不同。
　　(一)用单调性证明不等式
　　例1 设 证明 分析：将要证明的不等式变形为 ，观察发现，若构造辅助函数
　　则只需要证明 即可。
　　证：构造函数 则 从而
　　当 时， 故 单调减少，从而当 时有：
　　即当时 , 单调增加，因此当 时，有 即
　　对于上述不等式，关键是将不等式变形为： ，可构造辅助函数
　　证明 即可。针对这种情况，一般采用单调性证明，其技巧如下：
　　(1)将所证明的不等式变形为 )的形式，从而构造出辅助函数 。
　　(2)证明 在 上严格单调递增。
　　(3)最后根据函数的单调性比较函数在区间端点的函数值。
　　(二)用函数的凹凸性证明不等式
　　例2 求证对任何非负实数 有 分析 将原不等式可转化为： 于是可构造辅助函数 并证明 为凹函数即可。
　　证明： 构造辅助函数 则 因为当 时， 故 是 上的凹函数，从而由Jensen不等式可得
　　对于此类不等式，首先观察，发现不等式相对应的函数为三角函数可采取函数的凹凸性来证明，其构造辅助函数的技巧就是：将不等式对应的三角函数作为辅助函数。
　　(三)用拉格朗日中值定理证明
　　例3设 证明 ，
　　分析 将要证明的例子变形为： 结合拉格朗日中值定理的特点，可构造辅助函数 证明：构造辅助函数 显然 在 上连续，在 内可导，由拉格朗日中值定理，在(a,b)内至少存在一点 ，使得 即
　　令 ,则 ，当 时， ，所以 单调减少，从而 ，即 故 。
　　对于常值不等式或者函数不等式，通过恒等变形后，如果符合拉格朗日中值定理的形式，则可通过此法证之。其技巧如下：
　　(1)构造辅助函数，确定相应的区间;
　　(2)验证所构造的函数在相应区间上是否符合拉格朗日中值的条件;
　　(3)写出拉格朗日中值公式;
　　(4)对满足条件的不等式 方法或者缩小，从而消去 得到索要证明的不等式.
　　(四)用极值或者最值证明不等式
　　例4 设 且 ,证明： 分析 此函数不等式，构造辅助函数 后,可发现 在区间(0，1)内与 内的符号改变，不易使用单调性，此时考虑使用函数的最值进行证明.
　　证明：构造辅助函数 ,则F(1)=0,而
　　则 故 在点 取到极小值，又因为当 时 当x&1 ,所以 ， 故 在 为严格凸函数，于是 为 在 上的唯一极小极值点，从而为最小极值点，于是： 即 对于此类不等式证明，其构造辅助函数来证题的技巧如下：
　　(1)根据所要证明的不等式构造辅助函数 ，并确定相应的区间;(2)求出 的最大值或者最小值;(3)由最大值或者最小值的定义得到不等式.
　　三、结论
　　构造辅助函数的方法有很多种，本文根据使用不同的数学理论，从各个角度构造辅助函数，得到了各类题型解决的方法与技巧。在解决数学问题时，构造辅助函数解题有一定的难度，所以掌握了各类证明题型的构造辅助函数的方法与技巧，对解题会有很大帮助。
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利用函数凹凸性，证明不等式(e∧x+e∧y/)2&e∧x(x+y)/2
我有更好的答案
的问题真让人晕,希望下面的解答对你有帮助凹函数的性质：若f(x)是凹函数,则[f(x1)+f(x2)]/2]即 (x^n+y^n)/f[(x+y)/1)是凹函数故[f(x)+f(y)]/2&2&f[(x1+x2)/2]因为f(x)=x^n (n&2 &gt
没看懂，解释一下意思
采纳率：88%
来自团队：
你画个图就行啦
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