&p&&b&有一类数学题被称之为“棺材”！&/b&&/p&&p&在70年代左右，苏联最好的数学系之一莫斯科大学数学系因为招生的时候其&b&歧视犹太人&/b&，所以在招生考试的时候会&b&单独给犹太人出难题&/b&，而这类题目的目的不是测试学生的数学基础而纯粹是为了让犹太学生无法考入莫斯科大学。这类数学问题就叫做&b&“棺材”&/b&（R.I.P）。&/p&&p&这些题目在苏联时期是严格保密的，直到最近一些年当年参与考试的的一些犹太学生开始收集当年的被称之为棺材的题目，这些由于种族歧视而设立的“入学测试题”才被曝光。（并且这种歧视文化在莫斯科大学依然存在：&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//themoscowtimes.com/news/moscow-university-student-removed-from-exam-for-jewish-headwear-60269& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&莫斯科时报：莫斯科大学犹太学生因为犹太穿着被驱离考场&/a&)&/p&&p&被称之为“棺材”的数学问题有以下三个性质：&/p&&p&1.
问题的表达形式非常简单，只用初等的数学符号语言就可以阐述清楚。&/p&&p&2.
问题的解答非常简单，只用初等的符号就可以完全表达出来。这样的话如果有人抱怨问题太难，学校就可以直接给出非常简洁,简短的解答，以表示不是题目太难而是受测者的水平非常有限。&/p&&p&3.解答该问题需要很强的的洞察力，非常巧妙的技巧，在非常有限的考试时间内难以想到。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&相应的介绍视频 &/b&（视频来自于youtube)&/p&&p&&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//m.youtube.com/watch%3Fv%3DDb3CwFh7qng%26feature%3Dyoutu.be& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&https://&/span&&span class=&visible&&m.youtube.com/watch?&/span&&span class=&invisible&&v=Db3CwFh7qng&feature=youtu.be&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&&/p&&br&&br&&a class=&video-box& href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//www.zhihu.com/video/600640& target=&_blank& data-video-id=&& data-video-playable=&true& data-name=&& data-poster=&https://pic3.zhimg.com/80/v2-ae5e1a2d889b44c65b6cf3a_b.jpg& data-lens-id=&600640&&
&img class=&thumbnail& src=&https://pic3.zhimg.com/80/v2-ae5e1a2d889b44c65b6cf3a_b.jpg&&&span class=&content&&
&span class=&title&&&span class=&z-ico-extern-gray&&&/span&&span class=&z-ico-extern-blue&&&/span&&/span&
&span class=&url&&&span class=&z-ico-video&&&/span&https://www.zhihu.com/video/600640&/span&
&/a&&br&&br&&p&作为当年的受害者之一的Tanya Khovanova，在arxiv网站上发表了一篇论文专门曝光当年莫斯科大学种族歧视的现象并整理了这些问题。论文链接：&/p&&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//arxiv.org/pdf/.pdf& data-draft-node=&block& data-draft-type=&link-card& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&犹太难题&/a&&p&以下罗列一下这些问题，各位网友可以尝试一下能不能在两个小时的考试时间内解答出三四道棺材问题。（觉得不太难的网友请注意这相当于是犹太学生的高考数学题）&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-233708fddfbb50f06b304_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&820& data-rawheight=&496& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&820& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-233708fddfbb50f06b304_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-e0ce149f167d3f41d9a45a2dc30eef9f_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&706& data-rawheight=&387& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&706& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-e0ce149f167d3f41d9a45a2dc30eef9f_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-cff4ccc9f32d32db145b_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&722& data-rawheight=&491& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&722& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-cff4ccc9f32d32db145b_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-ee6a5363cb8ebe387e9cd1_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&699& data-rawheight=&453& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&699& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-ee6a5363cb8ebe387e9cd1_r.jpg&&&/figure&&p&注：这些问题的提示在本回答前半部分提到的论文里面。&/p&&p&－－－&/p&&p&添加了YouTube原视频链接。&/p&
有一类数学题被称之为“棺材”！在70年代左右，苏联最好的数学系之一莫斯科大学数学系因为招生的时候其歧视犹太人，所以在招生考试的时候会单独给犹太人出难题，而这类题目的目的不是测试学生的数学基础而纯粹是为了让犹太学生无法考入莫斯科大学。这类数学…
&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-5b2c73e420adcf7ce807e3b122dc12d1_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&367& data-rawheight=&255& class=&content_image& width=&367&&&/figure&&p&史上最贱的数学题... 欢迎尝试，保证解存在。&/p&&p&解法见评论。&/p&
史上最贱的数学题... 欢迎尝试，保证解存在。解法见评论。
&p&在写这篇小短文的时候，我主要参考了 [1]，[4]，大家有兴趣可以拿来看看^_^&/p&&p&&br&&/p&&p&Ricci流是由Richard S. Hamilton在1982的一篇经典的论文 [3] 中提出来的，他提出Ricci流的一个启发是，Elles和Sampson在1964年的一篇经典论文 [2] 中提出用热方程将一个光滑映射发展为调和映射（调和映射是性质更好的映射）；要寻找这一热方程，需要确定一个合适的能量泛函，然后考虑最小化这一能量泛函，这一最小化能量泛函的过程就对应该能量泛函的梯度流（gradient flow），它就是一个合适的热方程。（如果有专家的话，可以进一步给我们讲解一下(??`ω??)）&/p&&p&因此，我们在研究黎曼流形 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%28M%2Cg%29& alt=&(M,g)& eeimg=&1&& 时也可以找一个合适的能量泛函，然后考虑最小化这一能量泛函得到这一能量泛函的梯度流，它就是一个合适的热方程，然后用这一热方程将黎曼度量 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=g& alt=&g& eeimg=&1&& 发展为一个性质更好的度量。Hamilton提到一个建议是，使用 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cint_M+R+d%5Cmu& alt=&\int_M R d\mu& eeimg=&1&& 作为能量泛函，其中 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=R& alt=&R& eeimg=&1&& 为数量曲率， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=d%5Cmu& alt=&d\mu& eeimg=&1&& 为体积元。它对应的热方程是 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac+%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D+g+%3D+%5Cfrac+2n+R+g+-+2Ric& alt=&\frac {\partial}{\partial t} g = \frac 2n R g - 2Ric& eeimg=&1&& ，其中 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=g& alt=&g& eeimg=&1&& 代表黎曼度量， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Ric& alt=&Ric& eeimg=&1&& 代表Ricci曲率张量（[1] 的第二章有简要的讨论，不过似乎得到结果有一点点不一样）。Hamilton指出，上面得到的PDE可能连短时间存在性都没有（事实上它是向后发展的热方程），因此不能用来发展黎曼度量 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=g& alt=&g& eeimg=&1&& 。为了至少使得PDE有短时间存在性，可以把上式右端第一项包含的 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=R& alt=&R& eeimg=&1&& 换成数量曲率的积分平均值 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=r& alt=&r& eeimg=&1&& ，即 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=r+%3D+%5Cfrac+%7B%5Cint_%7BM%7D+Rd%5Cmu%7D+%7B%5Cint_%7BM%7D+d%5Cmu%7D& alt=&r = \frac {\int_{M} Rd\mu} {\int_{M} d\mu}& eeimg=&1&& ，从而得到新的PDE &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac+%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D+g+%3D+%5Cfrac+2n+r+g+-+2Ric& alt=&\frac {\partial}{\partial t} g = \frac 2n r g - 2Ric& eeimg=&1&& 。这一方程其实称为normalized Ricci flow（规范化的Ricci流），而去掉 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=+%5Cfrac+2n+r+g& alt=& \frac 2n r g& eeimg=&1&& 后得到的方程 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac+%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D+g+%3D+-+2Ric& alt=&\frac {\partial}{\partial t} g = - 2Ric& eeimg=&1&& 称为（unnormalized）Ricci flow，即（非规范化的）Ricci流。通常大家考虑的Ricci流就是 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac+%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D+g+%3D+-+2Ric& alt=&\frac {\partial}{\partial t} g = - 2Ric& eeimg=&1&& ，因为它的形式比较简单。（Normalized Ricci flow和Ricci flow的解只相差一个空间上的rescaling和时间上的reparametrization，因此可以认为二者很相似。）&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&为了证明Ricci流的解的短时间存在性，注意到Ricci流的方程是二阶弱抛物的PDE，即在局部坐标系下，这一方程的形式为 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac+%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D+g_%7Bij%7D+%3D+-2R_%7Bij%7D+%3D+g%5E%7Bkl%7D+%28%5Cpartial_%7Bi%7D+%5Cpartial_%7Bj%7D+g_%7Bkl%7D+-+%5Cpartial_%7Bk%7D+%5Cpartial_%7Bi%7D+g_%7Bjl%7D+-%5Cpartial_%7Bk%7D+%5Cpartial_%7Bj%7D+g_%7Bil%7D+%2B%5Cpartial_%7Bk%7D+%5Cpartial_%7Bl%7D+g_%7Bij%7D+%29+%2B+%E4%BD%8E%E9%98%B6%E9%A1%B9& alt=&\frac {\partial}{\partial t} g_{ij} = -2R_{ij} = g^{kl} (\partial_{i} \partial_{j} g_{kl} - \partial_{k} \partial_{i} g_{jl} -\partial_{k} \partial_{j} g_{il} +\partial_{k} \partial_{l} g_{ij} ) + 低阶项& eeimg=&1&& ，因此，如果可以把它转化为二阶严格抛物的PDE，就可以用标准的二阶抛物型PDE的理论得到短时间存在性，De Turck实现了这一想法。考虑方程 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac+%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D+g+%3D+-+2Ric+%2B+L_%7BX%7D+g& alt=&\frac {\partial}{\partial t} g = - 2Ric + L_{X} g& eeimg=&1&& ，其中 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=L_X+g& alt=&L_X g& eeimg=&1&& 代表度量 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=g%28t%29& alt=&g(t)& eeimg=&1&& 沿着一族（光滑地）依赖于时间光滑切向量场 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X%28t%29& alt=&X(t)& eeimg=&1&& 求李导数。在局部坐标系下，这一方程的形式为 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac+%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D+g_%7Bij%7D+%3D+-2R_%7Bij%7D+%2B+%5Cnabla_i+X_j+%2B+%5Cnabla_j+X_i& alt=&\frac {\partial}{\partial t} g_{ij} = -2R_{ij} + \nabla_i X_j + \nabla_j X_i& eeimg=&1&& ，取适当的 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X%5Ek+%3D+g%5E%7Bpq%7D+%28%5CGamma_%7Bpq%7D%5Ek+-+%5CGamma_%7Bpq%7D%5Ek%280%29%29& alt=&X^k = g^{pq} (\Gamma_{pq}^k - \Gamma_{pq}^k(0))& eeimg=&1&& ，得到 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=+%5Cnabla_i+X_j+%2B+%5Cnabla_j+X_i+%3D+%5Cfrac+12+g%5E%7Bkl%7D+%28%5Cpartial_%7Bj%7D+%5Cpartial_%7Bl%7D+g_%7Bki%7D+%2B+%5Cpartial_%7Bj%7D+%5Cpartial_%7Bk%7D+g_%7Bli%7D+-%5Cpartial_%7Bj%7D+%5Cpartial_%7Bi%7D+g_%7Bkl%7D%29+%2B+%5Cfrac+12+g%5E%7Bkl%7D+%28%5Cpartial_%7Bi%7D+%5Cpartial_%7Bl%7D+g_%7Bkj%7D+%2B+%5C%5C+%5Cpartial_%7Bi%7D+%5Cpartial_%7Bk%7D+g_%7Blj%7D+-%5Cpartial_%7Bi%7D+%5Cpartial_%7Bj%7D+g_%7Bkl%7D%29+%2B+%E4%BD%8E%E9%98%B6%E9%A1%B9& alt=& \nabla_i X_j + \nabla_j X_i = \frac 12 g^{kl} (\partial_{j} \partial_{l} g_{ki} + \partial_{j} \partial_{k} g_{li} -\partial_{j} \partial_{i} g_{kl}) + \frac 12 g^{kl} (\partial_{i} \partial_{l} g_{kj} + \\ \partial_{i} \partial_{k} g_{lj} -\partial_{i} \partial_{j} g_{kl}) + 低阶项& eeimg=&1&& ，注意到 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=+g%5E%7Bkl%7D+%28%5Cpartial_%7Bj%7D+%5Cpartial_%7Bl%7D+g_%7Bki%7D+%2B+%5Cpartial_%7Bi%7D+%5Cpartial_%7Bl%7D+g_%7Bkj%7D%29+%3D+g%5E%7Bkl%7D+%28%5Cpartial_%7Bj%7D+%5Cpartial_%7Bk%7D+g_%7Bli%7D+%2B+%5Cpartial_%7Bi%7D+%5Cpartial_%7Bk%7D+g_%7Bli%7D%29& alt=& g^{kl} (\partial_{j} \partial_{l} g_{ki} + \partial_{i} \partial_{l} g_{kj}) = g^{kl} (\partial_{j} \partial_{k} g_{li} + \partial_{i} \partial_{k} g_{li})& eeimg=&1&& ，故 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=-2R_%7Bij%7D& alt=&-2R_{ij}& eeimg=&1&& 中的带负号的部分 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=+g%5E%7Bkl%7D+%28+-+%5Cpartial_%7Bk%7D+%5Cpartial_%7Bi%7D+g_%7Bjl%7D+-%5Cpartial_%7Bk%7D+%5Cpartial_%7Bj%7D+g_%7Bil%7D+%29+& alt=& g^{kl} ( - \partial_{k} \partial_{i} g_{jl} -\partial_{k} \partial_{j} g_{il} ) & eeimg=&1&& 在加上 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=+%5Cnabla_i+X_j+%2B+%5Cnabla_j+X_i& alt=& \nabla_i X_j + \nabla_j X_i& eeimg=&1&& 后恰好被消掉，这一方程的最终形式为 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac+%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D+g_%7Bij%7D+%3D+-2R_%7Bij%7D+%2B+%5Cnabla_i+X_j+%2B+%5Cnabla_j+X_i+%3D+g%5E%7Bkl%7D+%5Cpartial_%7Bk%7D+%5Cpartial_%7Bl%7D+g_%7Bij%7D+%2B+%E4%BD%8E%E9%98%B6%E9%A1%B9& alt=&\frac {\partial}{\partial t} g_{ij} = -2R_{ij} + \nabla_i X_j + \nabla_j X_i = g^{kl} \partial_{k} \partial_{l} g_{ij} + 低阶项& eeimg=&1&& ，因而是严格抛物的，故至少方程 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac+%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D+g+%3D+-+2Ric+%2B+L_%7BX%7D+g& alt=&\frac {\partial}{\partial t} g = - 2Ric + L_{X} g& eeimg=&1&& 的解具有短时间存在性。&/p&&p&最后，设 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=g%28t%29& alt=&g(t)& eeimg=&1&& 为方程 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac+%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D+g+%3D+-+2Ric+%2B+L_%7BX%7D+g& alt=&\frac {\partial}{\partial t} g = - 2Ric + L_{X} g& eeimg=&1&& 短时间的解，由光滑切向量场 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X%28t%29& alt=&X(t)& eeimg=&1&& 生成的流为 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cphi_%7Bt%2Cs%7D& alt=&\phi_{t,s}& eeimg=&1&& ，则 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cwidetilde+g+%28t%29+%3D+%28%5Cphi_%7Bt%2Cs%7D+%5E%2A%29+%5E%7B-1%7D+g%28t%29& alt=&\widetilde g (t) = (\phi_{t,s} ^*) ^{-1} g(t)& eeimg=&1&& 为Ricci流 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac+%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D+g+%3D+-+2Ric& alt=&\frac {\partial}{\partial t} g = - 2Ric& eeimg=&1&& 短时间的解，从而Ricci流的解的短时间存在性得证。事实上，这个解在短时间内还是唯一的，这里就不再展开了。有兴趣的读者可以参考 [4] 的第五章。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&下一步，我们可以计算一下各种几何量（比如 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=+R_%7Bijkl%7D%2C+R_%7Bij%7D%2C+R& alt=& R_{ijkl}, R_{ij}, R& eeimg=&1&& 等）的发展方程。我们先考虑一般情形 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac+%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D+g_%7Bij%7D+%3D+v_%7Bij%7D& alt=&\frac {\partial}{\partial t} g_{ij} = v_{ij}& eeimg=&1&& 下的计算结果，然后再用 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=v_%7Bij%7D%3D-2R_%7Bij%7D& alt=&v_{ij}=-2R_{ij}& eeimg=&1&& 带入即可得到Ricci流下的各种几何量的发展方程。自然的方法就是直接计算，比如 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=0%3D+%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D+%28g%5E%7Bij%7Dg_%7Bjk%7D%29%3D+%28%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7Dg%5E%7Bij%7D%29g_%7Bjk%7D%2Bg%5E%7Bij%7D+v_%7Bjk%7D+%5CRightarrow+%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7Dg%5E%7Bij%7D+%3D+-g%5E%7Bik%7Dg%5E%7Bjl%7Dv_%7Bkl%7D& alt=&0= \frac{\partial}{\partial t} (g^{ij}g_{jk})= (\frac{\partial}{\partial t}g^{ij})g_{jk}+g^{ij} v_{jk} \Rightarrow \frac{\partial}{\partial t}g^{ij} = -g^{ik}g^{jl}v_{kl}& eeimg=&1&& ，从而 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D+%5CGamma_%7Bij%7D%5Ek+%3D+%5Cfrac+12+%28%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D+g%5E%7Bkl%7D%29+%28+%5Cfrac%7B%5Cpartial+g_%7Bil%7D%7D%7B%5Cpartial+x%5Ej%7D+%2B+%5Cfrac%7B%5Cpartial+g_%7Bjl%7D%7D%7B%5Cpartial+x%5Ei%7D+-+%5Cfrac%7B%5Cpartial+g_%7Bij%7D%7D%7B%5Cpartial+x%5El%7D%29+%2B+%5Cfrac+12+g%5E%7Bkl%7D%5B+%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+x%5Ej%7D+%28%5Cfrac%7B%5Cpartial+g_%7Bil%7D%7D%7B%5Cpartial+t%7D%29+%2B+%5Cfrac%7B%5Cpartial+%7D%7B%5Cpartial+x%5Ei%7D%28%5Cfrac%7B%5Cpartial+g_%7Bjl%7D%7D%7B%5Cpartial+t%7D%29+-+%5Cfrac%7B%5Cpartial+%7D%7B%5Cpartial+x%5El%7D+%28%5Cfrac%7B%5Cpartial+g_%7Bij%7D%7D%7B%5Cpartial+t%7D%29%5D+%5C%5C+%3D+-%5Cfrac+12+g%5E%7Bki%7Dg%5E%7Blj%7Dv_%7Bij%7D+%28+%5Cfrac%7B%5Cpartial+g_%7Bil%7D%7D%7B%5Cpartial+x%5Ej%7D+%2B+%5Cfrac%7B%5Cpartial+g_%7Bjl%7D%7D%7B%5Cpartial+x%5Ei%7D+-+%5Cfrac%7B%5Cpartial+g_%7Bij%7D%7D%7B%5Cpartial+x%5El%7D%29+%2B+%5Cfrac+12+g%5E%7Bkl%7D%28+%5Cfrac%7B%5Cpartial+v_%7Bil%7D%7D%7B%5Cpartial+x%5Ej%7D+%2B+%5Cfrac%7B%5Cpartial+v_%7Bjl%7D%7D%7B%5Cpartial+x%5Ei%7D+-+%5Cfrac%7B%5Cpartial+v_%7Bij%7D%7D%7B%5Cpartial+x%5El%7D%29+& alt=&\frac{\partial}{\partial t} \Gamma_{ij}^k = \frac 12 (\frac{\partial}{\partial t} g^{kl}) ( \frac{\partial g_{il}}{\partial x^j} + \frac{\partial g_{jl}}{\partial x^i} - \frac{\partial g_{ij}}{\partial x^l}) + \frac 12 g^{kl}[ \frac{\partial}{\partial x^j} (\frac{\partial g_{il}}{\partial t}) + \frac{\partial }{\partial x^i}(\frac{\partial g_{jl}}{\partial t}) - \frac{\partial }{\partial x^l} (\frac{\partial g_{ij}}{\partial t})] \\ = -\frac 12 g^{ki}g^{lj}v_{ij} ( \frac{\partial g_{il}}{\partial x^j} + \frac{\partial g_{jl}}{\partial x^i} - \frac{\partial g_{ij}}{\partial x^l}) + \frac 12 g^{kl}( \frac{\partial v_{il}}{\partial x^j} + \frac{\partial v_{jl}}{\partial x^i} - \frac{\partial v_{ij}}{\partial x^l}) & eeimg=&1&& 。当然，还可以利用各种曲率张量的局部表达式以及上面 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D+%5CGamma_%7Bij%7D%5Ek& alt=&\frac{\partial}{\partial t} \Gamma_{ij}^k& eeimg=&1&& 计算的结果求出 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=+%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D+R_%7Bijkl%7D%2C+%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D+R_%7Bij%7D%2C+%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D+R& alt=& \frac{\partial}{\partial t} R_{ijkl}, \frac{\partial}{\partial t} R_{ij}, \frac{\partial}{\partial t} R& eeimg=&1&& 的结果；不过我们不一定要直接计算，因为有简化计算的方法。观察到要计算的东西都是一些张量（注意， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=+%5CGamma_%7Bij%7D%5Ek& alt=& \Gamma_{ij}^k& eeimg=&1&& 虽然不是张量，但是 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D+%5CGamma_%7Bij%7D%5Ek& alt=&\frac{\partial}{\partial t} \Gamma_{ij}^k& eeimg=&1&& 是张量），因此可以在任意一点处利用任意一个坐标系进行计算，只要最后得到的结果也是一个张量的局部表达式就行了。于是，我们可以在任意一点 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=p%5Cin+M& alt=&p\in M& eeimg=&1&& 处取它的法坐标系（normal coordinate system） &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%28U%3B+x%5Ei%29& alt=&(U; x^i)& eeimg=&1&& 来简化计算，此时 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=+%5CGamma_%7Bij%7D%5Ek%28p%29+%3D+0%2C+g_%7Bij%7D%28p%29%3Dg%5E%7Bij%7D%28p%29%3D%5Cdelta_%7Bij%7D%2C+%5Cfrac%7B%5Cpartial+g_%7Bij%7D%7D%7B%5Cpartial+x%5Ek%7D%28p%29+%3D+%5Cfrac%7B%5Cpartial+g%5E%7Bij%7D%7D%7B%5Cpartial+x%5Ek%7D%28p%29+%3D+0& alt=& \Gamma_{ij}^k(p) = 0, g_{ij}(p)=g^{ij}(p)=\delta_{ij}, \frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}(p) = \frac{\partial g^{ij}}{\partial x^k}(p) = 0& eeimg=&1&& ，因此在 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& 点 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%28%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D+%5CGamma_%7Bij%7D%5Ek%29%28p%29+%3D+%5Cfrac+12+%28%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D+g%5E%7Bkl%7D%29%28p%29+%28+%5Cfrac%7B%5Cpartial+g_%7Bil%7D%7D%7B%5Cpartial+x%5Ej%7D%28p%29+%2B+%5Cfrac%7B%5Cpartial+g_%7Bjl%7D%7D%7B%5Cpartial+x%5Ei%7D%28p%29+-+%5Cfrac%7B%5Cpartial+g_%7Bij%7D%7D%7B%5Cpartial+x%5El%7D%28p%29%29+%2B+%5Cfrac+12+g%5E%7Bkl%7D%28p%29%5B+%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+x%5Ej%7D+%28%5Cfrac%7B%5Cpartial+g_%7Bil%7D%7D%7B%5Cpartial+t%7D%29%28p%29+%5C%5C+%2B+%5Cfrac%7B%5Cpartial+%7D%7B%5Cpartial+x%5Ei%7D%28%5Cfrac%7B%5Cpartial+g_%7Bjl%7D%7D%7B%5Cpartial+t%7D%29%28p%29+-+%5Cfrac%7B%5Cpartial+%7D%7B%5Cpartial+x%5El%7D+%28%5Cfrac%7B%5Cpartial+g_%7Bij%7D%7D%7B%5Cpartial+t%7D%29%28p%29%5D+%3D+%5Cfrac+12+g%5E%7Bkl%7D%28p%29%28+%5Cfrac%7B%5Cpartial+v_%7Bil%7D%7D%7B%5Cpartial+x%5Ej%7D+%28p%29+%2B+%5Cfrac%7B%5Cpartial+v_%7Bjl%7D%7D%7B%5Cpartial+x%5Ei%7D%28p%29+-+%5Cfrac%7B%5Cpartial+v_%7Bij%7D%7D%7B%5Cpartial+x%5El%7D%28p%29%29& alt=&(\frac{\partial}{\partial t} \Gamma_{ij}^k)(p) = \frac 12 (\frac{\partial}{\partial t} g^{kl})(p) ( \frac{\partial g_{il}}{\partial x^j}(p) + \frac{\partial g_{jl}}{\partial x^i}(p) - \frac{\partial g_{ij}}{\partial x^l}(p)) + \frac 12 g^{kl}(p)[ \frac{\partial}{\partial x^j} (\frac{\partial g_{il}}{\partial t})(p) \\ + \frac{\partial }{\partial x^i}(\frac{\partial g_{jl}}{\partial t})(p) - \frac{\partial }{\partial x^l} (\frac{\partial g_{ij}}{\partial t})(p)] = \frac 12 g^{kl}(p)( \frac{\partial v_{il}}{\partial x^j} (p) + \frac{\partial v_{jl}}{\partial x^i}(p) - \frac{\partial v_{ij}}{\partial x^l}(p))& eeimg=&1&& ，最后利用 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=+%5CGamma_%7Bij%7D%5Ek%28p%29+%3D+0+%5CRightarrow+%E5%9C%A8+p+%E7%82%B9%E6%9C%89%EF%BC%8C%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D+%7B%5Cpartial+x%5Ei%7D%3D%5Cnabla_i& alt=& \Gamma_{ij}^k(p) = 0 \Rightarrow 在 p 点有，\frac{\partial} {\partial x^i}=\nabla_i& eeimg=&1&& 得到 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%28%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D+%5CGamma_%7Bij%7D%5Ek%29%28p%29%3D+%5B%5Cfrac+12+g%5E%7Bkl%7D%28+%5Cnabla_jv_%7Bil%7D+%2B+%5Cnabla_iv_%7Bjl%7D+-+%5Cnabla_lv_%7Bij%7D%29%5D%28p%29& alt=&(\frac{\partial}{\partial t} \Gamma_{ij}^k)(p)= [\frac 12 g^{kl}( \nabla_jv_{il} + \nabla_iv_{jl} - \nabla_lv_{ij})](p)& eeimg=&1&& ，因为 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac+12+g%5E%7Bkl%7D%28+%5Cnabla_jv_%7Bil%7D+%2B+%5Cnabla_iv_%7Bjl%7D+-+%5Cnabla_lv_%7Bij%7D%29& alt=&\frac 12 g^{kl}( \nabla_jv_{il} + \nabla_iv_{jl} - \nabla_lv_{ij})& eeimg=&1&& 为张量的局部表达式，故 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D+%5CGamma_%7Bij%7D%5Ek%3D+%5Cfrac+12+g%5E%7Bkl%7D%28+%5Cnabla_jv_%7Bil%7D+%2B+%5Cnabla_iv_%7Bjl%7D+-+%5Cnabla_lv_%7Bij%7D%29& alt=&\frac{\partial}{\partial t} \Gamma_{ij}^k= \frac 12 g^{kl}( \nabla_jv_{il} + \nabla_iv_{jl} - \nabla_lv_{ij})& eeimg=&1&& 在 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=M& alt=&M& eeimg=&1&& 上的任意一点上都成立。&/p&&p&以下利用法坐标系简化计算时都不再说明，并且都是在任意固定的一点 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=p%5Cin+M& alt=&p\in M& eeimg=&1&& 上进行计算，同时可以简记 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial_t+%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D%2C+%5Cpartial_i%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+x%5Ei%7D& alt=&\partial_t =\frac{\partial}{\partial t}, \partial_i=\frac{\partial}{\partial x^i}& eeimg=&1&& 等。由于有黎曼度量 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=g& alt=&g& eeimg=&1&& ，我们可以把各种指标方便地上调和下调，例如 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=R_i%5Ej%3DR_%7Bik%7Dg%5E%7Bkj%7D%2C+%5Cnabla%5Ei%3Dg%5E%7Bij%7D%5Cnabla_j& alt=&R_i^j=R_{ik}g^{kj}, \nabla^i=g^{ij}\nabla_j& eeimg=&1&& 等；同时由于 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cnabla_kg_%7Bij%7D%3D%5Cnabla_kg%5E%7Bij%7D%3D0& alt=&\nabla_kg_{ij}=\nabla_kg^{ij}=0& eeimg=&1&& ，因此可以把 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=g_%7Bij%7D%2C+g%5E%7Bij%7D+& alt=&g_{ij}, g^{ij} & eeimg=&1&& 从协变导数的运算中方便地放进和放出，例如 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=g%5E%7Bkl%7D%5Cnabla_iR_%7Bjk%7D%3D%5Cnabla_i%28g%5E%7Bkl%7DR_%7Bjk%7D%29& alt=&g^{kl}\nabla_iR_{jk}=\nabla_i(g^{kl}R_{jk})& eeimg=&1&& 等。以下计算时不再提及。&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial_t+R_%7Bijk%7D%5El+%3D+%5Cpartial_i+%5Cpartial_t+%5CGamma_%7Bjk%7D%5El-+%5Cpartial_j%5Cpartial_t+%5CGamma_%7Bik%7D%5El+%3D+%5Cfrac+12+g%5E%7Blp%7D+%5Cpartial_i%28+%5Cnabla_jv_%7Bkp%7D+%2B+%5Cnabla_kv_%7Bjp%7D+-+%5Cnabla_pv_%7Bjk%7D%29+-+%5C%5C+%5Cfrac+12+g%5E%7Blp%7D+%5Cpartial_j%28+%5Cnabla_iv_%7Bkp%7D+%2B+%5Cnabla_kv_%7Bip%7D+-+%5Cnabla_pv_%7Bik%7D%29%3D+%5Cfrac+12+g%5E%7Blp%7D+%28+%5Cnabla_i%5Cnabla_jv_%7Bkp%7D+%2B+%5Cnabla_i%5Cnabla_kv_%7Bjp%7D+-+%5C%5C+%5Cnabla_i%5Cnabla_pv_%7Bjk%7D+-+%5Cnabla_j%5Cnabla_iv_%7Bkp%7D+-+%5Cnabla_j%5Cnabla_kv_%7Bip%7D+%2B+%5Cnabla_j%5Cnabla_pv_%7Bik%7D%29& alt=&\partial_t R_{ijk}^l = \partial_i \partial_t \Gamma_{jk}^l- \partial_j\partial_t \Gamma_{ik}^l = \frac 12 g^{lp} \partial_i( \nabla_jv_{kp} + \nabla_kv_{jp} - \nabla_pv_{jk}) - \\ \frac 12 g^{lp} \partial_j( \nabla_iv_{kp} + \nabla_kv_{ip} - \nabla_pv_{ik})= \frac 12 g^{lp} ( \nabla_i\nabla_jv_{kp} + \nabla_i\nabla_kv_{jp} - \\ \nabla_i\nabla_pv_{jk} - \nabla_j\nabla_iv_{kp} - \nabla_j\nabla_kv_{ip} + \nabla_j\nabla_pv_{ik})& eeimg=&1&& ，以及 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial_t+R_%7Bijkl%7D+%3D+%28%5Cpartial_t+g_%7Bhl%7D%29+R_%7Bijk%7D%5Eh%2B+g_%7Bhl%7D+%28%5Cpartial_t+R_%7Bijk%7D%5Eh%29+%3D+v_%7Bhl%7DR_%7Bijk%7D%5Eh+%2B+%28%5Cnabla_i%5Cnabla_jv_%7Bkl%7D+%2B+%5Cnabla_i%5Cnabla_kv_%7Bjl%7D+-+%5C%5C+%5Cnabla_i%5Cnabla_lv_%7Bjk%7D+-+%5Cnabla_j%5Cnabla_iv_%7Bkl%7D+-+%5Cnabla_j%5Cnabla_kv_%7Bil%7D+%2B+%5Cnabla_j%5Cnabla_lv_%7Bik%7D%29& alt=&\partial_t R_{ijkl} = (\partial_t g_{hl}) R_{ijk}^h+ g_{hl} (\partial_t R_{ijk}^h) = v_{hl}R_{ijk}^h + (\nabla_i\nabla_jv_{kl} + \nabla_i\nabla_kv_{jl} - \\ \nabla_i\nabla_lv_{jk} - \nabla_j\nabla_iv_{kl} - \nabla_j\nabla_kv_{il} + \nabla_j\nabla_lv_{ik})& eeimg=&1&&，从而做一次缩并得到 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial_t+R_%7Bij%7D+%3D+%5Cfrac+12+%28+%5Cnabla_k%5Cnabla_iv_j%5Ek+%2B+%5Cnabla_k%5Cnabla_jv_i%5Ek+-+%5Cnabla_k%5Cnabla%5Ekv_%7Bij%7D+-+%5Cnabla_i%5Cnabla_jv_k%5Ek+%29& alt=&\partial_t R_{ij} = \frac 12 ( \nabla_k\nabla_iv_j^k + \nabla_k\nabla_jv_i^k - \nabla_k\nabla^kv_{ij} - \nabla_i\nabla_jv_k^k )& eeimg=&1&& ，再做一次缩并得到 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial_t+R%3D+%28%5Cpartial_tg%5E%7Bij%7D%29R_%7Bij%7D%2B+g%5E%7Bij%7D%28%5Cpartial_tR_%7Bij%7D%29+%3D+-+v%5E%7Bij%7DR_%7Bij%7D%2B%5Cnabla_k+%5Cnabla%5Ei+v_i%5Ek+-+%5Cnabla_k+%5Cnabla%5Ek+v_i%5Ei& alt=&\partial_t R= (\partial_tg^{ij})R_{ij}+ g^{ij}(\partial_tR_{ij}) = - v^{ij}R_{ij}+\nabla_k \nabla^i v_i^k - \nabla_k \nabla^k v_i^i& eeimg=&1&& 。&/p&&p&最后，令 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=v_%7Bij%7D%3D-2R_%7Bij%7D& alt=&v_{ij}=-2R_{ij}& eeimg=&1&& ，即可得到最终结果，不过全部写出来比较长，因此这里就不全部列出来了。有兴趣的读者可以参考 [4] 的第五章。事实上，这些关于曲率的发展方程都可以用第二Bianchi恒等式 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cnabla_i+R_%7Bjklm%7D%2B%5Cnabla_j+R_%7Bkilm%7D%2B%5Cnabla_k+R_%7Bijlm%7D%3D0& alt=&\nabla_i R_{jklm}+\nabla_j R_{kilm}+\nabla_k R_{ijlm}=0& eeimg=&1&& ，缩并一次的第二Bianchi恒等式 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cnabla_i+R_%7Bjkl%7D%5Ei%3D+%5Cnabla_jR_%7Bkl%7D-+%5Cnabla_kR_%7Bjl%7D& alt=&\nabla_i R_{jkl}^i= \nabla_jR_{kl}- \nabla_kR_{jl}& eeimg=&1&& ，缩并两次的第二Bianchi恒等式 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=2%5Cnabla_iR_k%5Ei+%3D+%5Cnabla_kR& alt=&2\nabla_iR_k^i = \nabla_kR& eeimg=&1&& ，以及交换求两次协变导数顺序的Ricci恒等式来进行化简。&/p&&p&作为例子，我们可以看看数量曲率 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=R& alt=&R& eeimg=&1&& 的发展方程，它的形式比较简单 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial_t+R%3D+2R%5E%7Bij%7DR_%7Bij%7D%2B%5Cnabla_k+%5Cnabla%5Ei+%28-2R_i%5Ek%29+-+%5Cnabla_k%5Cnabla%5Ek%28-2R_i%5Ei%29+%3D+2%7CRic%7C%5E2+-2%5Cnabla%5Ek+%28%5Cnabla_i+R_k%5Ei%29+%2B+2+%5Cnabla_k%5Cnabla%5EkR+%5C%5C+%3D+2%7CRic%7C%5E2+-%5Cnabla%5Ek%28%5Cnabla_k+R%29+%2B+2%5CDelta+R%3D+2%7CRic%7C%5E2+%2B%5CDelta+R& alt=&\partial_t R= 2R^{ij}R_{ij}+\nabla_k \nabla^i (-2R_i^k) - \nabla_k\nabla^k(-2R_i^i) = 2|Ric|^2 -2\nabla^k (\nabla_i R_k^i) + 2 \nabla_k\nabla^kR \\ = 2|Ric|^2 -\nabla^k(\nabla_k R) + 2\Delta R= 2|Ric|^2 +\Delta R& eeimg=&1&& （这里用到了缩并两次的第二Bianchi恒等式）。这与热方程 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial_t+u+%3D+%5CDelta+u& alt=&\partial_t u = \Delta u& eeimg=&1&& 的形式很像，只不过多了一个非线性项 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=2%7CRic%7C%5E2& alt=&2|Ric|^2& eeimg=&1&& 。事实上，其他曲率张量的发展方程也是类似于热方程加上一个非线性项。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&最后，完全类似于热方程中的证明方法（观察一阶偏导数、二阶偏导数，比较符号），我们可以得到黎曼流形 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%28M%2Cg%29& alt=&(M,g)& eeimg=&1&& 上的最大值原理（maximum principle，或者称为极值原理更合适），它是分析Ricci流解的性质的有力工具。&/p&&p&【定理1】设 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=g%28t%29& alt=&g(t)& eeimg=&1&& 为闭流形 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=M& alt=&M& eeimg=&1&& 上一族（光滑地）依赖于时间 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=t& alt=&t& eeimg=&1&& 的黎曼度量， 光滑函数&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=u%3A+M%5Ctimes+%5B0%2CT%29+%5Crightarrow+%5Cmathbb+R& alt=&u: M\times [0,T) \rightarrow \mathbb R& eeimg=&1&& 满足 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial_t+u+%5Cgeq+%5CDelta_%7Bg%28t%29%7Du+%2B+%3CX%28t%29%2C+%5Cnabla+u%3E+%2B+F%28u%29& alt=&\partial_t u \geq \Delta_{g(t)}u + &X(t), \nabla u& + F(u)& eeimg=&1&& ，其中 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X%28t%29& alt=&X(t)& eeimg=&1&& 为一族（光滑地）依赖于时间的光滑切向量场， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F& alt=&F& eeimg=&1&& 为Lipschitz函数，且 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=u%5Cgeq+c+& alt=&u\geq c & eeimg=&1&& 在 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=t%3D0& alt=&t=0& eeimg=&1&& 时成立，其中 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=c%5Cin+%5Cmathbb+R& alt=&c\in \mathbb R& eeimg=&1&& ，则 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=u%5Cgeq+U%28t%29& alt=&u\geq U(t)& eeimg=&1&& 对于任意 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=0%5Cleq+t+%3CT& alt=&0\leq t &T& eeimg=&1&& 都成立，其中 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=U%28t%29& alt=&U(t)& eeimg=&1&& 为ODE &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac+%7BdU%7D%7Bdt%7D+%3D+F%28U%29%2C+U%280%29%3Dc& alt=&\frac {dU}{dt} = F(U), U(0)=c& eeimg=&1&& 的（唯一）解。&/p&&p&【证明】 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial_t+%28u-U%29+%5Cgeq+%5CDelta_%7Bg%28t%29%7Du+%2B+%3CX%28t%29%2C+%5Cnabla+u%3E+%2B+F%28u%29-F%28U%29+%5Cgeq%5CDelta_%7Bg%28t%29%7D%28u-U%29+%2B+%5C%5C+%3CX%28t%29%2C+%5Cnabla+%28u-U%29%3E+%2B+%28-L%29%28u-U%29& alt=&\partial_t (u-U) \geq \Delta_{g(t)}u + &X(t), \nabla u& + F(u)-F(U) \geq\Delta_{g(t)}(u-U) + \\ &X(t), \nabla (u-U)& + (-L)(u-U)& eeimg=&1&&
，其中用到了 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=U%28+t%29& alt=&U( t)& eeimg=&1&& 与空间无关，故 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta_%7Bg%28t%29%7DU%3D%5Cnabla+U+%3D0& alt=&\Delta_{g(t)}U=\nabla U =0& eeimg=&1&& ，而 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=L%3E0& alt=&L&0& eeimg=&1&& 为 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F& alt=&F& eeimg=&1&& 的Lipschitz常数。令 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvarphi+%3D+u-U& alt=&\varphi = u-U& eeimg=&1&& ，则 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial_t%5Cvarphi+%5Cgeq%5CDelta_%7Bg%28t%29%7D%5Cvarphi%2B+%3CX%28t%29%2C+%5Cnabla+%5Cvarphi%3E+%2B%28-L%29%5Cvarphi& alt=&\partial_t\varphi \geq\Delta_{g(t)}\varphi+ &X(t), \nabla \varphi& +(-L)\varphi& eeimg=&1&& ，且 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvarphi%5Cgeq+0& alt=&\varphi\geq 0& eeimg=&1&& 在 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=t%3D0& alt=&t=0& eeimg=&1&& 时成立。考虑 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvarphi_%5Cvarepsilon+%3D+%5Cvarphi+%2B+%5Cvarepsilon+%281%2Bt%29& alt=&\varphi_\varepsilon = \varphi + \varepsilon (1+t)& eeimg=&1&& ，则 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvarphi_%5Cvarepsilon+%3E0& alt=&\varphi_\varepsilon &0& eeimg=&1&& 在
&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=t%3D0& alt=&t=0& eeimg=&1&& 时成立，且 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial_t%5Cvarphi_%5Cvarepsilon+%5Cgeq+%5Cvarepsilon%2B+%5CDelta_%7Bg%28t%29%7D%5Cvarphi_%5Cvarepsilon+%2B+%3CX%28t%29%2C+%5Cnabla+%5Cvarphi_%5Cvarepsilon+%3E+%2B%28-L%29%5Cvarphi_%5Cvarepsilon+%2BL%5Cvarepsilon%281%2Bt%29& alt=&\partial_t\varphi_\varepsilon \geq \varepsilon+ \Delta_{g(t)}\varphi_\varepsilon + &X(t), \nabla \varphi_\varepsilon & +(-L)\varphi_\varepsilon +L\varepsilon(1+t)& eeimg=&1&& 。&/p&&p&若 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvarphi_%5Cvarepsilon+%5Cleq0& alt=&\varphi_\varepsilon \leq0& eeimg=&1&& 在 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=M%5Ctimes+%280%2C+T%29& alt=&M\times (0, T)& eeimg=&1&& 上某点处成立，则由 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=M& alt=&M& eeimg=&1&& 是闭流形可取 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=t_1+%3D+sup+%5C%7B+%5Cwidetilde+t+%5Cin+%5B0%2CT%29%7C+%5Cmin_%7Bx%5Cin+M%7D+%5Cvarphi_%5Cvarepsilon%28x%2Ct%29+%3E0%2C+%5Cforall+t%5Cin%5B0%2C%5Cwidetilde+t%29+%5C%7D& alt=&t_1 = sup \{ \widetilde t \in [0,T)| \min_{x\in M} \varphi_\varepsilon(x,t) &0, \forall t\in[0,\widetilde t) \}& eeimg=&1&& ，此时 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=0%3C+t_1+%3CT& alt=&0& t_1 &T& eeimg=&1&& ， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvarphi_%5Cvarepsilon%28x%2Ct%29%3E0%2C+%5Cforall+x%5Cin+M%2C+t%5Cin%5B0%2Ct_1%29& alt=&\varphi_\varepsilon(x,t)&0, \forall x\in M, t\in[0,t_1)& eeimg=&1&& ，且在 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=t_1& alt=&t_1& eeimg=&1&& 时刻，存在一点 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x_1+%5Cin+M& alt=&x_1 \in M& eeimg=&1&& ，使得 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvarphi_%5Cvarepsilon%28x_1%2Ct_1%29+%3D+%5Cmin_%7Bx%5Cin+M%7D+%5Cvarphi_%5Cvarepsilon%28x%2Ct_1%29%3D+0& alt=&\varphi_\varepsilon(x_1,t_1) = \min_{x\in M} \varphi_\varepsilon(x,t_1)= 0& eeimg=&1&& 。故在 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%28x_1%2Ct_1%29& alt=&(x_1,t_1)& eeimg=&1&& 处在时间方向 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial_t%5Cvarphi_%5Cvarepsilon+%5Cleq+0& alt=&\partial_t\varphi_\varepsilon \leq 0& eeimg=&1&& ，且在空间方向&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta_%7Bg%28t%29%7D%5Cvarphi_%5Cvarepsilon+%5Cgeq0%2C+%5Cnabla+%5Cvarphi_%5Cvarepsilon%3D0%2C%5Cvarphi_%5Cvarepsilon%3D0& alt=&\Delta_{g(t)}\varphi_\varepsilon \geq0, \nabla \varphi_\varepsilon=0,\varphi_\varepsilon=0& eeimg=&1&& ，故 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=0+%5Cgeq%5Cpartial_t%5Cvarphi_%5Cvarepsilon+%5Cgeq+%5Cvarepsilon%2B+%5CDelta_%7Bg%28t%29%7D%5Cvarphi_%5Cvarepsilon+%2B+%3CX%28t%29%2C+%5Cnabla+%5Cvarphi_%5Cvarepsilon+%3E+%2B%28-L%29%5Cvarphi_%5Cvarepsilon+%2BL%5Cvarepsilon%281%2Bt_1%29+%5Cgeq+%5Cvarepsilon%2BL%5Cvarepsilon%281%2Bt_1%29%3E0& alt=&0 \geq\partial_t\varphi_\varepsilon \geq \varepsilon+ \Delta_{g(t)}\varphi_\varepsilon + &X(t), \nabla \varphi_\varepsilon & +(-L)\varphi_\varepsilon +L\varepsilon(1+t_1) \geq \varepsilon+L\varepsilon(1+t_1)&0& eeimg=&1&& ，矛盾。&/p&&p&从而 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvarphi_%5Cvarepsilon+%3E0& alt=&\varphi_\varepsilon &0& eeimg=&1&& 在 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=M%5Ctimes+%5B0%2C+T%29& alt=&M\times [0, T)& eeimg=&1&& 上都成立，即 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvarphi+%3E-+%5Cvarepsilon+%281%2Bt%29& alt=&\varphi &- \varepsilon (1+t)& eeimg=&1&& 。由 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvarepsilon& alt=&\varepsilon& eeimg=&1&& 任意性，令 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvarepsilon%5Crightarrow+0& alt=&\varepsilon\rightarrow 0& eeimg=&1&& 即得 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvarphi%5Cgeq0& alt=&\varphi\geq0& eeimg=&1&& 。命题得证。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&作为例子，我们运用最大值原理于数量曲率 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=R& alt=&R& eeimg=&1&& 的发展方程中。由 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial_tR%3D2%7CRic%7C%5E2+%2B%5CDelta+R& alt=&\partial_tR=2|Ric|^2 +\Delta R& eeimg=&1&& ，以及 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%7CRic%7C%5E2+%5Cgeq+%5Cfrac+1n+R%5E2& alt=&|Ric|^2 \geq \frac 1n R^2& eeimg=&1&& （可以在任意一点 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=p%5Cin+M& alt=&p\in M& eeimg=&1&& 处取单位正交标架 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7B+e_i%28p%29+%5C%7D& alt=&\{ e_i(p) \}& eeimg=&1&& 进行计算，此时 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%7CRic%7C%5E2+%3D+%5Csum_%7Bi%2Cj%7D+%7BR_%7Bij%7D%5E2%7D+%5Cgeq+%5Csum_%7Bi%7D%7BR_%7Bii%7D%5E2%7D+%5Cgeq+%5Cfrac+1n+%28%5Csum_%7Bi%7D%7BR_%7Bii%7D%7D%29%5E2+%3D+%5Cfrac+1n+R%5E2& alt=&|Ric|^2 = \sum_{i,j} {R_{ij}^2} \geq \sum_{i}{R_{ii}^2} \geq \frac 1n (\sum_{i}{R_{ii}})^2 = \frac 1n R^2& eeimg=&1&& ），故 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial_tR+%5Cgeq+%5CDelta+R+%2B+%5Cfrac+2nR%5E2& alt=&\partial_tR \geq \Delta R + \frac 2nR^2& eeimg=&1&& 。&/p&&p&事实上，这里有一点小问题，因为对应于定理1中的 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F& alt=&F& eeimg=&1&& ，此处的&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F%28R%29%3D%5Cfrac+2nR%5E2& alt=&F(R)=\frac 2nR^2& eeimg=&1&& 在 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb+R& alt=&\mathbb R& eeimg=&1&& 上不是Lipschitz的，不过它至少在任意紧集上是Lipschitz的。因此，设 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5B0%2CT%29& alt=&[0,T)& eeimg=&1&& 为Ricci流的解的最大存在区间，我们可以限制在 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5B0%2CT_1%5D+%2C%28T_1%3CT%29& alt=&[0,T_1] ,(T_1&T)& eeimg=&1&& 上考虑，此时 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=R%28%5B0%2CT_1%5D%29& alt=&R([0,T_1])& eeimg=&1&& 为紧集， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F& alt=&F& eeimg=&1&& 在其上即为Lipschitz的，故可用定理1进行估计。由 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=T_1%3CT& alt=&T_1&T& eeimg=&1&& 的任意性，我们可以得到 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5B0%2CT%29& alt=&[0,T)& eeimg=&1&& 上的估计（这一段应该没问题吧(??`ω??)，事实上定理1中的 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F& alt=&F& eeimg=&1&& 只要局部Lipschitz就行了？定理1中 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=M& alt=&M& eeimg=&1&& 似乎不是闭的也可以，因为在 [1] 中第二章说，只要Ricci流的解比较好能够用最大值原理估计就行）。回到 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial_tR+%5Cgeq+%5CDelta+R+%2B+%5Cfrac+2nR%5E2& alt=&\partial_tR \geq \Delta R + \frac 2nR^2& eeimg=&1&& ，它对应的ODE为 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac+%7Bd%5Cwidetilde+R%7D%7Bdt%7D+%3D+%5Cfrac+2n%5Cwidetilde+R%5E2%2C+%5Cwidetilde+R%280%29%3D+c%2C+%E5%85%B6%E4%B8%ADc+%5Cleq+%5Cmin_%7Bx+%5Cin+M%7D+R%28x%2C0%29%E4%B8%BA%E5%B8%B8%E6%95%B0& alt=&\frac {d\widetilde R}{dt} = \frac 2n\widetilde R^2, \widetilde R(0)= c, 其中c \leq \min_{x \in M} R(x,0)为常数& eeimg=&1&& ，解得 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cwidetilde+R%28t%29+%3D+%5Cfrac+%7Bn%7D%7B%5Cfrac+nc+-2t%7D+%EF%BC%8C%E5%BD%93c%5Cne0%E6%97%B6& alt=&\widetilde R(t) = \frac {n}{\frac nc -2t} ，当c\ne0时& eeimg=&1&& ，故此时 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=R%28t%29+%5Cgeq+%5Cfrac+%7Bn%7D%7B%5Cfrac+nc+-2t%7D%2C+%5Cforall+t+%5Cin+%5B0%2CT%29& alt=&R(t) \geq \frac {n}{\frac nc -2t}, \forall t \in [0,T)& eeimg=&1&& 。由此可见，当可以取 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=c%3E0& alt=&c&0& eeimg=&1&& 时，即 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmin_%7Bx+%5Cin+M%7D+R%28x%2C0%29+%3E0& alt=&\min_{x \in M} R(x,0) &0& eeimg=&1&& 时，对 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=R%28t%29& alt=&R(t)& eeimg=&1&& 估计的不等式右端在 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=t%5Crightarrow+%5Cfrac%7Bn%7D%7B2c%7D& alt=&t\rightarrow \frac{n}{2c}& eeimg=&1&& 时趋近于无穷，从而Ricci流的解必在有限时间“爆破”（blow up），也就是说Ricci流的解在有限时间内产生了“奇点”（singualrity），且解的最大存在时间 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=T+%5Cleq+%5Cfrac%7Bn%7D%7B2c%7D& alt=&T \leq \frac{n}{2c}& eeimg=&1&& ，取 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=c+%3D+%5Cmin_%7Bx+%5Cin+M%7D+R%28x%2C0%29& alt=&c = \min_{x \in M} R(x,0)& eeimg=&1&& ，即 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=T+%5Cleq+%5Cfrac%7Bn%7D%7B2+%5Cmin_%7Bx+%5Cin+M%7D+R%28x%2C0%29%7D& alt=&T \leq \frac{n}{2 \min_{x \in M} R(x,0)}& eeimg=&1&& 。&/p&&p&同时，我们还有 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial_tR+%5Cgeq%5CDelta+R& alt=&\partial_tR \geq\Delta R& eeimg=&1&& ，故若 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=R%280%29+%5Cgeq+c%2C+%28c%5Cin+%5Cmathbb+R%29& alt=&R(0) \geq c, (c\in \mathbb R)& eeimg=&1&& ，则有 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=R%28t%29+%5Cgeq+c%2C+%5Cforall+t+%5Cin+%5B0%2CT%29& alt=&R(t) \geq c, \forall t \in [0,T)& eeimg=&1&&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=t+%5Cin+%5B0%2CT%29& alt=&t \in [0,T)& eeimg=&1&& 。事实上，我们对于Ricci曲率张量也有类似的估计：若 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=M& alt=&M& eeimg=&1&& 为闭流形，且 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Ric+%3E0+& alt=&Ric &0 & eeimg=&1&& 在 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=t%3D0& alt=&t=0& eeimg=&1&& 时成立，则 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Ric+%3E0+& alt=&Ric &0 & eeimg=&1&& 对任意 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=t+%5Cin+%5B0%2CT%29& alt=&t \in [0,T)& eeimg=&1&& 都成立。不过，这需要张量版本的最大值原理（上面的最大值原理是对函数而言的）才能证明，实际上方法是类似的。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&参考文献&/p&&p&[1] Bennett Chow, Peng Lu, and Lei Ni. &i&Hamilton’s Ricci flow&/i&, volume 77 of Graduate Studies in Mathematics. American Mathematical Society, Providence, RI; Science Press Beijing, New York, 2006.&/p&&p&[2] James Eells, Jr. and J. H. Sampson. &i&Harmonic mappings of Riemannian manifolds&/i&. Amer. J. Math., 86:109-160, 1964.&/p&&p&[3] Richard S. Hamilton. &i&Three-manifolds with positive Ricci curvature&/i&. J. Differential Geom., 17(2):255–306, 1982.&/p&&p&[4] Qi S. Zhang. &i&Sobolev inequalities, heat kernels under Ricci flow, and the Poincaré conjecture&/i&. CRC Press, Boca Raton, FL, 2011&/p&&p&&/p&&p&&/p&&p&&/p&
在写这篇小短文的时候，我主要参考了 [1]，[4]，大家有兴趣可以拿来看看^_^ Ricci流是由Richard S. Hamilton在1982的一篇经典的论文 [3] 中提出来的，他提出Ricci流的一个启发是，Elles和Sampson在1964年的一篇经典论文 [2] 中提出用热方程将一个光滑映射发…
&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-4e556bceff4a4db8f7429bc_b.jpg& data-rawwidth=&1822& data-rawheight=&551& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1822& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-4e556bceff4a4db8f7429bc_r.jpg&&&/figure&&p&所谓刚体运动，不过是一个刚体（形状大小固定）在某个空间里（一般是三维空间）运动（可用旋转和平移表示），这里主要是想将其用数学语言来表示。&/p&&p&下面是我学习过程中的一点笔记&/p&&h2&转动矩阵&/h2&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=R_%7Bx%2C%5Ctheta%7D%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+1%260%260%5C%5C0%26cos%5Ctheta%26-sin%5Ctheta%5C%5C0%26sin%5Ctheta%26cos%5Ctheta+%5Cend%7Bbmatrix%7D& alt=&R_{x,\theta}=\begin{bmatrix} 1&0&0\\0&cos\theta&-sin\theta\\0&sin\theta&cos\theta \end{bmatrix}& eeimg=&1&&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=R_%7By%2C%5Ctheta%7D%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+cos%5Ctheta%260%26-sin%5Ctheta%5C%5C0%261%260%5C%5Csin%5Ctheta%260%26cos%5Ctheta+%5Cend%7Bbmatrix%7D& alt=&R_{y,\theta}=\begin{bmatrix} cos\theta&0&-sin\theta\\0&1&0\\sin\theta&0&cos\theta \end{bmatrix}& eeimg=&1&&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=R_%7Bz%2C%5Ctheta%7D%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+cos%5Ctheta%26-sin%5Ctheta%260%5C%5Csin%5Ctheta%26cos%5Ctheta%260%5C%5C0%260%261+%5Cend%7Bbmatrix%7D& alt=&R_{z,\theta}=\begin{bmatrix} cos\theta&-sin\theta&0\\sin\theta&cos\theta&0\\0&0&1 \end{bmatrix}& eeimg=&1&& R为旋转矩阵，下标表示绕坐标轴旋转，如 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=R_%7Bx%2C%5Ctheta%7D& alt=&R_{x,\theta}& eeimg=&1&& 表示绕 x 轴旋转 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta& alt=&\theta& eeimg=&1&& 度&/p&&ul&&li&连续转动组合&/li&&/ul&&p&对于向量a，经转动后得到的a'=Ra&/p&&p&对于连续的纯转动，我们只需将转动矩阵相乘，我们用 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=R%5E0_2& alt=&R^0_2& eeimg=&1&& 表示从 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=R_0& alt=&R_0& eeimg=&1&& （无转动）到 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=R_2& alt=&R_2& eeimg=&1&& （第两次转动）， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=R_2%5E0%3DR%5E0_1R%5E1_2& alt=&R_2^0=R^0_1R^1_2& eeimg=&1&& ,&/p&&p&对于初始状态的坐标系我们称固定坐标系，转动后的坐标系我们称当前坐标系，对于当前坐标系的转动R，我们后乘（如上），而对于固定坐标系的转动R，我们前乘（相对于后乘），如我们先对固定坐标系x轴转 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta& alt=&\theta& eeimg=&1&& 度，在对当前坐标系y轴转 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta& alt=&\theta& eeimg=&1&& 度，再对固定坐标系z轴转 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta& alt=&\theta& eeimg=&1&& 度，可表示为 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=R%3DR_%7Bz%2C%5Ctheta%7DR_%7Bx%2C%5Ctheta%7DR_%7By%2C%5Ctheta%7D& alt=&R=R_{z,\theta}R_{x,\theta}R_{y,\theta}& eeimg=&1&&&/p&&ul&&li&相似转换&/li&&/ul&&p&设我们刚开始的坐标系为0，经 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=R_0%5E1& alt=&R_0^1& eeimg=&1&& 后坐标系变为1，然后我们有 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=B%3D%28R_1%5E0%29%5E%7B-1%7DAR_1%5E0%5C%5C& alt=&B=(R_1^0)^{-1}AR_1^0\\& eeimg=&1&&&/p&&p&A表示作用于坐标系0的转动矩阵；B表示作用于坐标系1的转动矩阵，我们可称A~B（A相似于B）&/p&&ul&&li&转动轴/角的表示&/li&&/ul&&p&有过坐标系原点的向量k，我们以k为转动轴转动 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta& alt=&\theta& eeimg=&1&& 度，哪又该如何表示呢？&/p&&p&我们知道绕一个向量的转动可以用通过坐标系转动使得坐标系的某一坐标轴和该向量重合，从而可表示为坐标系的转动。如绕k转动可通过绕z轴转动 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Calpha& alt=&\alpha& eeimg=&1&& 度，再绕y轴转动 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbeta& alt=&\beta& eeimg=&1&& 度，使z轴与k向量重合，绕k转动 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta& alt=&\theta& eeimg=&1&& 度就可表示为绕z轴转动 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta& alt=&\theta& eeimg=&1&& 度。&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=R%3DR_%7Bz%2C%5Calpha%7DR_%7By%2C%5Cbeta%7D& alt=&R=R_{z,\alpha}R_{y,\beta}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=R_%7Bk%2C%5Ctheta%7D%3D%28R%5E%7B-1%7D%29R_%7Bz%2C%5Ctheta%7DR%5E%7B-1%7D& alt=&R_{k,\theta}=(R^{-1})R_{z,\theta}R^{-1}& eeimg=&1&&&/p&&p&这就不是上面的相似转换吗&/p&&p&另外再说一个罗德里格斯公式（差点以为是J罗）直接根据k向量和转角求转动矩阵&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=R%3Dcos%5Ctheta+I%2B%281-cos%5Ctheta%29kk%5ET%2Bsin%5Ctheta+k%5Ctext%7B%5E%7D& alt=&R=cos\theta I+(1-cos\theta)kk^T+sin\theta k\text{^}& eeimg=&1&& （k^表示反对称矩阵，详见&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&这里&/a&）&/p&&p&对于此公式的推到，感兴趣的可以wiki一下&/p&&ul&&li&&b&SO(3)&/b&&/li&&/ul&&p&之前我讲过&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&群论&/a&，这里可以把转动矩阵当作一个群，群集合是R，群运算是旋转，它是&b&李群&/b&的一种（即光滑的，我以后可能会讲到），属于3维&b&特殊正交群SO(3)&/b&，行列式为1的正交矩阵（ &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=R%5ET%3DR%5E%7B-1%7D& alt=&R^T=R^{-1}& eeimg=&1&& ）&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=SO%28n%29%3D%5C%7BR+%5Cin+%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7Bn%5Ctimes+n%7D+%7C+RR%5ET%3DI%2Cdet%28R%29%3D1%5C%7D%5C%5C& alt=&SO(n)=\{R \in \mathbb{R}^{n\times n} | RR^T=I,det(R)=1\}\\& eeimg=&1&&&/p&&ul&&li&&b&转换矩阵与齐次坐标 &/b&&/li&&/ul&&p&我们知道刚体运动不仅有旋转，还有平移，我们用t表示，假设我们有两次运动， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=a+%5Cto+b+%3AR_1%2Ct_1& alt=&a \to b :R_1,t_1& eeimg=&1&& 和 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=b+%5Cto+c%3AR_2%2Ct_2& alt=&b \to c:R_2,t_2& eeimg=&1&&&/p&&p&那么a-&c就可以这样表示 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=c%3DR_2%28R_1a%2Bt_1%29%2Bt_2& alt=&c=R_2(R_1a+t_1)+t_2& eeimg=&1&&&/p&&p&像这样表示就会非常麻烦，于是我们引入了齐次坐标，也就是多加了一个维度&/p&&p&如向量a变为 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+a%5C%5C1%5Cend%7Bbmatrix%7D& alt=&\begin{bmatrix} a\\1\end{bmatrix}& eeimg=&1&& ，那么齐次转换矩阵 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=H%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7DR%26T%5C%5C0%5ET%261%5Cend%7Bbmatrix%7D& alt=&H=\begin{bmatrix}R&T\\0^T&1\end{bmatrix}& eeimg=&1&&&/p&&ul&&li&&b&SE(3)&/b&&/li&&/ul&&p&上面的转换矩阵可以当作一个&b&特殊欧式群SE(3)&/b&。群集合为H，群运算为一次刚体运动&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=SE%283%29%3D%5C%7BH%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7DR%26T%5C%5C0%5ET%261%5Cend%7Bbmatrix%7D%5Cin+%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7B4%5Ctimes+4%7D%7CR%5Cin+SO%283%29%2Ct%5Cin+%5Cmathbb%7BR%7D%5E3%5C%7D%5C%5C& alt=&SE(3)=\{H=\begin{bmatrix}R&T\\0^T&1\end{bmatrix}\in \mathbb{R}^{4\times 4}|R\in SO(3),t\in \mathbb{R}^3\}\\& eeimg=&1&&&/p&&h2&欧拉角&/h2&&p&对于这个大家可能都听说过，如如飞机的'yaw-pitch-roll'(偏航-俯仰-滚转)&/p&&ol&&li&绕z轴旋转得到偏航角yaw&/li&&li&绕y轴旋转得到俯仰角pitch&/li&&li&绕z轴旋转得到滚转角roll&/li&&/ol&&p&这样就几乎可以描述任意旋转了，不过欧拉角可能产生奇异性问题，如‘万向锁’问题，可以上网搜一下&/p&&h2&四元数&/h2&&p&对于上面的奇异性问题，我们可以扩展到四维空间，那就是Hamilton提出的四元数&/p&&p&其一般形式： &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=q%3Dq_0%2Bq_1i%2Bq_2j%2Bq_3k& alt=&q=q_0+q_1i+q_2j+q_3k& eeimg=&1&&&/p&&p&其中q0为实部，后边三个为虚部，另有 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=i%5E2%3Dj%5E2%3Dk%5E2%3Dijk%3D-1& alt=&i^2=j^2=k^2=ijk=-1& eeimg=&1&&&/p&&p&和由此推出的 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbegin%7Bcases%7D+ij%3Dk%2Cji%3D-k%5C%5C+jk-i%2Ckj%3D-i%5C%5C+ki%3Dj%2Cik%3D-j+%5Cend%7Bcases%7D& alt=&\begin{cases} ij=k,ji=-k\\ jk-i,kj=-i\\ ki=j,ik=-j \end{cases}& eeimg=&1&&&/p&&p&关于四元数的运算和其旋转表示，或想更好理解四元数建议看&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//www.qiujiawei.com/understanding-quaternions/%234& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Understanding Quaternions 中文翻译《理解四元数》&/a&，比我来解释会好很多。&/p&&p&&br&&/p&&h2&参考资料&/h2&&ul&&li&&a href=&http://link.zhihu.com/?target=https%3A//www.youtube.com/playlist%3Flist%3DPLI6pJZaOCtF1mD-SwAOF6fanO9u-4UjOK& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&科大 蕭俊祥 機器人學 Unit 2 剛體運動與齊次轉換——youtube&/a&&/li&&li&&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//www.qiujiawei.com/understanding-quaternions/%234& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Understanding Quaternions 中文翻译《理解四元数》&/a&&/li&&li&《旋转代数与李群、李代数》——戴建生&/li&&li&《视觉SLAM十四讲》第三讲——高翔&/li&&/ul&&p&&/p&
所谓刚体运动，不过是一个刚体（形状大小固定）在某个空间里（一般是三维空间）运动（可用旋转和平移表示），这里主要是想将其用数学语言来表示。下面是我学习过程中的一点笔记转动矩阵R_{x,\theta}=\begin{bmatrix} 1&0&0\\0&cos\theta&-sin\theta\\0&sin\…
&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-c3c7fa2c4ac19daa1690bf_b.jpg& data-rawwidth=&744& data-rawheight=&496& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&744& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-c3c7fa2c4ac19daa1690bf_r.jpg&&&/figure&&p&本文是作者初学概率论时阅读《概率论沉思录》的读后感。这个冬天北京真的很冷，作者一边关紧窗户一边刷着手机，看着一批批人迎着寒风，站在道德的制高点上摇旗呐喊。他们纷纷声明自己说的就是真相，感叹民智未开，人们轻信谣言。作者本人的世界观也曾跟随着这一个个令人震惊的『真相』而左右摇摆不定，因为人总是善忘的。作者这时候终于想起了自己的旧文，也最终觉得，听到各方声音后民众们会做出什么判断，应该做出什么判断，这其实是一个贝叶斯问题。&/p&&p&&b&太长太数学不看版&/b&（这些看起来非常自然却又往往被人忽视的结论在文中会用数学公式推导出来）：&/p&&ol&&li&相信一件事情的过程: 如果一个人对几件事情存在先天性的微小偏见(认为它们的真实性稍有差异)，而之后的数据以相同的方式支持这些事情的真实性，那么最终结果是他对这些事情信任程度的差别会急剧变大，直到其完全相信一件事情而否认其他事情。（事情必须说清楚，否则越抹越黑）&/li&&li&一个人在给定的数据下进行判断，如果他多考虑到了一种『可能性』，且对这种可能性有先天的偏爱，则其最终的判断结果有可能完全被这种可能性所主导（震惊！！XX的真相是这样的）&/li&&li&如果不同的人对相同信息源的信任度不一样，那么信息源的新消息有可能减小也有可能增加大众对同一件事情看法的差异。（科学家通过论文交流成果，最终达成一致，形成主流学说。各种『可信』与『不可信』的团体和个人对社会热点发声，造成人们对其看法的两极分化）&/li&&li&以上各种现象是客观存在的，也是合理的。说不清楚不能怪别人误解，信息不透明别人只能去瞎猜。别人有偏见可能是因为他目光短浅，也可能是他真正经历过一些你想都想不到的事情。&/li&&li&每个人做判断时的背景知识（也称先验信息）包括他的三观部分和其所处利益集团的附加部分。真正的『换位思考』其实是做不到的。&/li&&li&以上五条结论的基础是在思考问题时进行完全客观的判断（基于自己的全部已知信息，不主动忽略其中的任意部分）。但事实上，人都是感性的，也总是善忘的，各种心理学效应使得人在思考时有意无意的忽略掉一部分先验信息，造成判断结果的摇摆不定（热点事件的从众）或者根深蒂固的偏见（我不管我不管他就是不爱我）。&/li&&/ol&&p&PS:本文公式和数学符号过多，但为了严谨性这些东西又&b&必须存在&/b&。所有这些都可以跳过，每个数学符号和公式的的意义都会在下方用文字解释清楚，建议阅读方法，&b&忽略所有数学符号，只看文字部分（至少请看加粗部分），必要时可以快速往下翻，直接跳到结论部分&/b&，如果对文字部分的结论有疑问，再仔细看数学推导。&/p&&h2&&b&论人类思考时的贝叶斯过程&/b&&/h2&&p&目录：&/p&&ol&&li&贝叶斯推断&/li&&li&相信与不相信一件事情&/li&&li&可以达成与不能达成的一致&/li&&li&说得清与说不清的道理&/li&&/ol&&p&&b&贝叶斯推断&/b&&/p&&p&从清醒的那一刻起，我们就开始不停的做着各种判断，然后根据我们的判断去指挥身体完成目标。如果我要制作一个人工智能的机器，想要它根据自己的&b&感觉&/b&像人类一样去做一些判断，我们就需要把这种&b&感觉&/b&给数字化，用一个实数 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P%28A%7CB%29& alt=&P(A|B)& eeimg=&1&& 来表示。 比如说 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A%3D& alt=&A=& eeimg=&1&& 我今天会早点睡觉，你看了看眼前的工作，经过思考得到了 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P%28A%29& alt=&P(A)& eeimg=&1&& 的数值，叹了口气。 虽然都是在计算 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P%28A%29& alt=&P(A)& eeimg=&1&& ，可为什么每个人的 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P%28A%29& alt=&P(A)& eeimg=&1&& 大小都不一样呢？ 或许我们不应该把这个数值记做 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P%28A%29& alt=&P(A)& eeimg=&1&& ，而应该记做 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P%28A%7CB%29& alt=&P(A|B)& eeimg=&1&& 或者 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P%28A%7C%E4%BD%A0%E6%89%80%E7%9F%A5%E9%81%93%E7%9A%84%E4%B8%80%E5%88%87%29& alt=&P(A|你所知道的一切)& eeimg=&1&& ，读作“根据你所知道的一切而得到的 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 事件为真的&b&感觉的强烈程度&/b&”(下面简称&b&信任度&/b&)。 你的所有&b&推测和感觉&/b&都是基于你的背景知识 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=B& alt=&B& eeimg=&1&& （也称作先验信息）。背景知识不同的人有可能会做出相同的判断，但做出不同判断的人之间背景知识肯定不同。 你的背景知识与你所处于的环境保持动态平衡，背景知识随着生活中发生的事件而不断积累和改变。 &/p&&p&说起感觉或者推断，学过数理逻辑的同学脑中一定先浮现出这些玩意儿&/p&&blockquote&如果A是对的，那么B就是对的。&br&A是对的?B是对的 &/blockquote&&p&这些逻辑推理方式被称为&b&强推断&/b&(strong syllogisms)，我们得到的所有东西都是确定、唯一的，严密的服从逻辑。&/p&&p&但是我们从&b&直觉&/b&上有时候还会用到下面的一种逻辑推断方式&/p&&blockquote&如果A是对的，那么B就是对的。&br&B 是对的?A比原来&b&更有可能&/b&是对的&/blockquote&&p&这种逻辑演绎方式被称为&b&弱推断&/b&(weak syllogisms)&/p&&p&比如 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=R%3D& alt=&R=& eeimg=&1&& 马上要下雨， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=C%3D& alt=&C=& eeimg=&1&& 现在是阴天，我们有 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=R%E2%9F%B9C& alt=&R?C& eeimg=&1&& 的&b&因果关系。&/b&这个因果关系给你带来 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=C%E2%9F%B9R& alt=&C?R& eeimg=&1&& 的感觉(下雨==&阴天！阴天==&下雨？)，表示为&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P%28R%7CCB%29%3EP%28R%7CB%29& alt=&P(R|CB)&P(R|B)& eeimg=&1&& ( &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=CB& alt=&CB& eeimg=&1&& 的意义为同时考虑 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=C& alt=&C& eeimg=&1&& 事件和你的所有背景知识)。&/p&&p&现在我们瞄了一眼窗外，观察到 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=C& alt=&C& eeimg=&1&& (现在阴天)，如果你身处多雨地带，根据你的经验 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=B& alt=&B& eeimg=&1&& 算出的 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P%28R%7CCB%29& alt=&P(R|CB)& eeimg=&1&& 的数值会让让你&b&几乎断定&/b& &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=R& alt=&R& eeimg=&1&& (马上下雨)的发生，但是如果你处于干旱地带，你对 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=R& alt=&R& eeimg=&1&& (马上下雨)的&b&信任度&/b&则会低得多。 类似的陈述还有“她对你好?她喜欢你”。&/p&&p&我们已经决定将对一个事物的&b&信任度&/b&进行数字化并将其作为一个人工智能机器人进行逻辑推断的判据，那么应该如何操作呢？ 我确信一件事情的时候 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P%28A%7CB%29& alt=&P(A|B)& eeimg=&1&& 应该是多少呢？确信它不可能发生呢？于是我们就对这样一个人工智能机器设定了以下的&b&推断原则&/b&：&/p&&ol&&li&它对一个事情的&b&信任度&/b&要用一个实数 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P%28A%7CB%29& alt=&P(A|B)& eeimg=&1&& 来表示（也称之为可能性）。&/li&&li&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P%28A%7CB%29& alt=&P(A|B)& eeimg=&1&&&b&定性&/b&上要与&b&感觉&/b&本身相符合（越强烈就越大）。&/li&&li&如果一种&b&感觉&/b&可以通过多种思考顺序来实现（引入不同的先验知识的顺序），那么&b&任意一种顺序&/b&得到的&b&感觉&/b&应该&b&一样&/b&。 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P%28A%7CBC%29%3DP%28A%7CCB%29+& alt=&P(A|BC)=P(A|CB) & eeimg=&1&&&/li&&li&它获得对一件事物的感觉的时候必须把跟这件事物的所有相关信息都考虑进去，&b&没有选择性的忽略&/b&。&/li&&li&如果两台机器用于推断的先验知识完全一样，那么这两台机器一定会对一个事物有&b&相同的看法&/b&（相同的 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=+P%28A%7CB%29& alt=& P(A|B)& eeimg=&1&& ）。&/li&&/ol&&p&可以从&b&数学&/b&上&b&证明&/b&：如果一台机器服从以上5个原则，它可以进行&b&完全客观的判断&/b&，并且关于P(A|B)的值有下面几条性质：&/p&&ul&&li&乘法定律： &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P%28AC%7CB%29%3DP%28C%7CB%29%C3%97P%28A%7CCB%29%3DP%28A%7CB%29%C3%97P%28C%7CAB%29+& alt=&P(AC|B)=P(C|B)×P(A|CB)=P(A|B)×P(C|AB) & eeimg=&1&&&/li&&li&加法定律： &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P%28A%2BC%7CB%29%3DP%28A%7CB%29%2BP%28C%7CB%29%E2%88%92P%28AC+%7CB%29& alt=&P(A+C|B)=P(A|B)+P(C|B)-P(AC |B)& eeimg=&1&&&/li&&li&贝叶斯定律: &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P%28A%7CCB%29%3DP%28A%7CB%29%5Cfrac%7BP%28C%7CAB%29%7D%7BP%28C%7CB%29%7D& alt=&P(A|CB)=P(A|B)\frac{P(C|AB)}{P(C|B)}& eeimg=&1&&&/li&&li&若A事件为真，那么 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P%28A%7CB%29%3D+1& alt=&P(A|B)= 1& eeimg=&1&& ，若为假，则 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P%28A%7CB%29%3D+0& alt=&P(A|B)= 0& eeimg=&1&&&/li&&/ul&&p&以上所有的性质都是通过&b&数学方法证明&/b&出来的。比如性质4，我们并没有&b&设&/b&若A事件为真，那么 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P%28A%7CB%29%3D+1& alt=&P(A|B)= 1& eeimg=&1&& ，这个1是数学上算出来的。&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P%28A%7CCB%29%3DP%28A%7CB%29%5Cfrac%7BP%28C%7CAB%29%7D%7BP%28C%7CB%29%7D& alt=&P(A|CB)=P(A|B)\frac{P(C|AB)}{P(C|B)}& eeimg=&1&&&/p&&p&被称为贝叶斯公式，是我们进行统计推断的重要公式，广泛的应用于社会的方方面面，从人工智能的分类算法到科学家们的重大发现，到处都能看到它的身影。&/p&&p&&b&基于此公式的推断被称为贝叶斯推断。&/b&&/p&&p&推断原则1～5是符合我们进行&b&完全客观的判断&/b&的直觉的，我们尝试用这样一套数值化的推断方式，使用&b&贝叶斯公式&/b&去解释关于我们思考过程的一些现象。&/p&&h2&&b&相信与不相信一件事情&/b&&/h2&&p&我们&b&相信&/b&一件事物，因为 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P%28A%7CB%29& alt=&P(A|B)& eeimg=&1&& 接近1。判断 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P%28A%7CB%29& alt=&P(A|B)& eeimg=&1&& 是否接近1被称为假设检验。 而我们相信它，是在我们已经积累的知识的基础之上的。 在我们出生之时，先验知识接近于没有，我们通过不断感知外接刺激来进行学习，每一个新的事件都有可能改变我对一个事物的看法，表示为：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=+%5Cbegin%7Barray%7D%7Brcl%7D+P%28A%7CDB%29+%26+%3D+%26+P%28A%7CB%29+%5Cfrac%7BP%28D%7CAB%29%7D%7BP%28D%7CB%29%7D+%5C%5C+%26+%3D+%26+P%28A%7CB%29%5Cfrac%7BP%28D%7CAB%29%7D%7BP%28D%28A+%2B+%5Cbar%7BA%7D%29%7CB%29%7D+%5C%5C+%26+%3D+%26+P%28A%7CB%29+%5Cfrac%7BP%28D%7CAB%29%7D%7BP%28DA%7CB%29+%2B+P%28D+%5Cbar%7BA%7D+%7CB%29%7D+%5C%5C+%26+%3D+%26+P%28A%7CB%29+%5Cfrac%7BP%28D%7CAB%29%7D%7BP%28A%7CB%29+P%28D%7CAB%29+%2B+P%28%5Cbar%7BA%7D+%7CB%29+P%28D%7C%5Cbar%7BA%7D+B%29%7D+%5Cend%7Barray%7D& alt=& \begin{array}{rcl} P(A|DB) & = & P(A|B) \frac{P(D|AB)}{P(D|B)} \\ & = & P(A|B)\frac{P(D|AB)}{P(D(A + \bar{A})|B)} \\ & = & P(A|B) \frac{P(D|AB)}{P(DA|B) + P(D \bar{A} |B)} \\ & = & P(A|B) \frac{P(D|AB)}{P(A|B) P(D|AB) + P(\bar{A} |B) P(D|\bar{A} B)} \end{array}& eeimg=&1&&&/p&&p&其中 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=D& alt=&D& eeimg=&1&& 代表&b&数据&/b&（Data），即新发生的有可能改变你的看法的一件事情。&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=B+& alt=&B & eeimg=&1&& 是&b&背景知识&/b&(background)。&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=+%5Cbar%7BA%7D+& alt=& \bar{A} & eeimg=&1&& 代表“非 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& ”，即 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 的否定。&/p&&p&上式就是&b&贝叶斯推断的基本形式&/b&。&/p&&p&如果 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=D& alt=&D& eeimg=&1&& 与 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 没有任何逻辑上的关系，比如 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=D%3D& alt=&D=& eeimg=&1&& 我扔了一个硬币正面朝上， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A%3D& alt=&A=& eeimg=&1&& 她喜欢你，那么就有 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P%28A%7CDB%29%3DP%28A%7CB%29& alt=&P(A|DB)=P(A|B)& eeimg=&1&& ， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=D& alt=&D& eeimg=&1&& 没有给你对的判断造成任何影响。 如果 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=D& alt=&D& eeimg=&1&& 与 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 有逻辑上的联系，那么 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=D& alt=&D& eeimg=&1&& 给你对 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 的判断造成影响可以用上式来表示。&/p&&p&如果现在有一位『赌神』向你声称他据有超能力，你信还是不信？&/p&&p&当然不信了，令 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A%3D& alt=&A=& eeimg=&1&& 他据有超能力， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=D%3D& alt=&D=& eeimg=&1&& 他声称他据有超能力&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P%28A%7CB%29%3D10%5E%7B-6%7D& alt=&P(A|B)=10^{-6}& eeimg=&1&& :根据我的先验知识，我本来就几乎&b&不相信&/b&他有超能力&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P%28A%7CB%29%3D10%5E%7B-6%7D& alt=&P(A|B)=10^{-6}& eeimg=&1&& :根据我的先验知识，如果真的他有超能力，他&b&一定会&/b&这么声称的&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=+P%28D%7C%5Cbar%7BA%7DB%29+%3D+0.99& alt=& P(D|\bar{A}B) = 0.99& eeimg=&1&& :根据我的先验知识，他像许多其他的『赌神』一样，在不具有超能力的时候&b&声称&/b&自己有超能力。&/p&&p&于是(数值带入上面公式)&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P%28A%7CDB%29%3D10%5E%7B-6%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B10%5E%7B-6%7D%5Ctimes+1+%2B+%281-10%5E%7B-6%7D%29%5Ctimes+0.99%7D%3C%3C1& alt=&P(A|DB)=10^{-6}\frac{1}{10^{-6}\times 1 + (1-10^{-6})\times 0.99}&&1& eeimg=&1&&&/p&&p&所以我不信。&/p&&p&这时候它嘿嘿一笑，掏出一份XX论文，论文中记录了他猜六面骰子读数的准确率，1000次实验全部都猜中了，并打开期刊网站证明了论文的真实性。 他似乎也学过概率论的基本知识，知道如果他没有超能力的话，得到这个实验结果的概率: &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=+P%28D%7C%5Cbar%7BA%7D+B%29& alt=& P(D|\bar{A} B)& eeimg=&1&& 为 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%5E%7B1000%7D& alt=&\frac{1}{6}^{1000}& eeimg=&1&& ，几乎为零。 现在的数据变为 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=D%3D& alt=&D=& eeimg=&1&& 他1000骰子实验全部都猜中了。那么&b&他成功的说服你了么&/b&？就像这样？&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P%28A%7CDB%29%3D10%5E%7B-6%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B10%5E%7B-6%7D%5Ctimes+1+%2B+%281-10%5E%7B-6%7D%29%5Ctimes+%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%5E%7BD%5Capprox+1& alt=&P(A|DB)=10^{-6}\frac{1}{10^{-6}\times 1 + (1-10^{-6})\times \frac{1}{6}^{1000}}\approx 1& eeimg=&1&&&/p&&p&事实证明他成功的&b&误导了你的计算&/b&，但是他&b&不能误导你的直觉&/b&。你感觉很奇怪，但还是&b&不相信&/b&他。&/p&&p&问题还是出在的计算上，这个试子的意义是，在先验知识 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=B& alt=&B& eeimg=&1&& 的基础上，如果他不具有超能力，得到实验结果的可能性。&/p&&p&谁的先验知识？&b&什么样的先验知识&/b&？&/p&&p&根据我的先验知识，我会怀疑论文的作者伪造数据，或者论文的作者遵守了基本的科研道德，但是这个『赌神』&b&作弊&/b&了。比如令 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=E%3D& alt=&E=& eeimg=&1&& 他作弊，那么&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbegin%7Beqnarray%7D+P%28D%7C%5Cbar%7BA%7DB%29+%26+%3D+%26+P%28D%28E%2B%5Cbar%7BE%7D%29%7C%5Cbar%7BA%7DB%29%5C%5C+%26+%3D+%26+P%28DE%7C%5Cbar%7BA%7DB%29%2BP%28D%5Cbar%7BE%7D%7C%5Cbar%7BA%7DB%29%5C%5C+%26+%3D+%26+P%28E%7C%5Cbar%7BA%7DB%29P%28D%7CE%5Cbar%7BA%7DB%29%2BP%28%5Cbar%7BE%7D%7C%5Cbar%7BA%7DB%29P%28D%7C%5Cbar%7BE%7D%5Cbar%7BA%7DB%29%5C%5C+%26+%3D+%26+10%5E%7B-5%7D%5Ctimes+1%2B%281+-+10%5E%7B-5%7D%29+%5Ctimes+%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%5E%7B1000%7D+%5Cend%7Beqnarray%7D& alt=&\begin{eqnarray} P(D|\bar{A}B) & = & P(D(E+\bar{E})|\bar{A}B)\\ & = & P(DE|\bar{A}B)+P(D\bar{E}|\bar{A}B)\\ & = & P(E|\bar{A}B)P(D|E\bar{A}B)+P(\bar{E}|\bar{A}B)P(D|\bar{E}\bar{A}B)\\ & = & 10^{-5}\times 1+(1 - 10^{-5}) \times \frac{1}{6}^{1000} \end{eqnarray}& eeimg=&1&&&/p&&p&也就是说，根据先验知识，&b&我相信&/b&&/p&&p&E（他作弊） &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P%28E%7C%5Cbar%7BA%7DB%29%3D10%5E%7B-5%7D+& alt=&P(E|\bar{A}B)=10^{-5} & eeimg=&1&& 比&/p&&p&A（他有超能力） &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P%28A%7CB%29%3D10%5E%7B-6%7D& alt=&P(A|B)=10^{-6}& eeimg=&1&& 多一点 &/p&&p&如果我有了E（他作弊）这个&b&念头&/b&，那么通过计算， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P%28A%7CDB%29%E2%89%880.1& alt=&P(A|DB)≈0.1& eeimg=&1&& (他有超能力的可能性)，比之前他忽悠你算的小多了。可以想象，如果我们脑海中还有其他的想法 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=FGH& alt=&FGH& eeimg=&1&& 等… 任何一个若 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P%28%3F%7C%5Cbar%7BA%7DB%29+%3E+P%28A%7CB%29+& alt=&P(?|\bar{A}B) & P(A|B) & eeimg=&1&& (根据你的背景知识，你更相信这些事情)，这样一些小小念想的存在都会大大的影响 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P%28A%7CDB%29& alt=&P(A|DB)& eeimg=&1&& (他有超能力)的值。&/p&&p&比起 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P%28A%7CDB%29& alt=&P(A|DB)& eeimg=&1&& (他有超能力的可能性)，我们试着来计算一下 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P%28E%7CDB%29& alt=&P(E|DB)& eeimg=&1&& (他作弊的可能性) &/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P%28E%7CDB%29+%3D+%5Cfrac%7BP%28D%7CEB%29%7D%7BP%28E%7CB%29P%28D%7CEB%29+%2B+P%28%5Cbar%7BE%7D%7CB%29P%28D%7C+%5Cbar%7BE%7DB%29%7D& alt=&P(E|DB) = \frac{P(D|EB)}{P(E|B)P(D|EB) + P(\bar{E}|B)P(D| \bar{E}B)}& eeimg=&1&&&/p&&p&带入上面的先验数据，并注意 &img src=&ht}