高等数学问题，画红线的地方不知道怎么算的，求详细过程_百度知道
高等数学问题，画红线的地方不知道怎么算的，求详细过程
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积分域 D 是半径为 1/2 的上半圆， 面积 是 (1/2)(π/4) = π/8
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data-rawheight=\&85\&\u003E\u003Cp\u003E好了，上面那些就当娱乐，以下是涛哥我理解的弦长与面积问题，形成一套体系。可能较长，大家耐心！\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E一、题型描述\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cblockquote\u003E\u003Cb\u003E弦长与面积问题：\u003C\u002Fb\u003E解析几何题目（多出自大题）中，题干涉及直线与椭双抛圆等曲线相交于两点，形成弦，围绕该弦形成的一系列问题。-------面积呢？面积呢？这不用解释了吧。。。\u003C\u002Fblockquote\u003E\u003Cp\u003E先放一道例题，方便接下来的模法讲解：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E【例题1】\u003C\u002Fb\u003E已知椭圆\u003Cequation\u003EG:\\frac{x^2}{4}+y^2=1\u003C\u002Fequation\u003E，过点\u003Cequation\u003E(m,0)\u003C\u002Fequation\u003E作圆\u003Cequation\u003Ex^2+y^2=1\u003C\u002Fequation\u003E的切线\u003Cequation\u003El\u003C\u002Fequation\u003E交椭圆\u003Cequation\u003EG\u003C\u002Fequation\u003E于\u003Cequation\u003EA,B\u003C\u002Fequation\u003E两点．求\u003Cequation\u003E|AB|\u003C\u002Fequation\u003E的最大值．\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E二、模法讲解\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E这类问题无疑需要直线、曲线联立方程求解，所以第一步，我们应该先设出直线的方程。所以：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cimg src=\&v2-af9a8ee9132e2adb88c37bd.jpg\& data-rawwidth=\&600\& data-rawheight=\&85\&\u003E\u003Cblockquote\u003E\u003Cb\u003E1、如何设直线？\u003C\u002Fb\u003E（为便于体系化运算，如有悖于你认知的任何点出现，请耐心看下去）\u003Cbr\u003E\u003Cb\u003E①y=kx+m型：\u003C\u002Fb\u003E当直线可以水平放置、不可以竖直放置时，设成\u003Cequation\u003Ey=kx+m\u003C\u002Fequation\u003E型，\u003Cbr\u003E此时\u003Cequation\u003Ek\u003C\u002Fequation\u003E是直线斜率，\u003Cequation\u003Em\u003C\u002Fequation\u003E是直线纵截距。\u003Cbr\u003E\u003Cb\u003E②x=ky+m型：\u003C\u002Fb\u003E当直线可以竖直放置、不可以水平放置时，设成\u003Cequation\u003Ex=ky+m\u003C\u002Fequation\u003E型，\u003Cbr\u003E此时\u003Cequation\u003Ek\u003C\u002Fequation\u003E是直线\u003Cequation\u003E\\frac{1}{\\text{斜率}} \u003C\u002Fequation\u003E，即斜率的倒数，\u003Cequation\u003Em\u003C\u002Fequation\u003E是直线横截距。\u003C\u002Fblockquote\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cblockquote\u003E\u003Cb\u003E注意事项：\u003C\u002Fb\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cb\u003Ea.\u003C\u002Fb\u003E当直线\u003Cb\u003E只可能倾斜\u003C\u002Fb\u003E，不可水平摆放，也不又可竖直摆放时，\u003Cb\u003E两种设法均可以\u003C\u002Fb\u003E。（这里面设哪种更简便运算，你们思考思考）\u003Cbr\u003E\u003Cb\u003Eb.\u003C\u002Fb\u003E当直线\u003Cb\u003E既可水平\u003C\u002Fb\u003E摆放，\u003Cb\u003E又可竖直\u003C\u002Fb\u003E摆放时，\u003Cb\u003E两种设法均可以\u003C\u002Fb\u003E，\u003Cb\u003E且都需要另行讨论所设形式无法表示的“摆放姿势”\u003C\u002Fb\u003E。（同样，这里面设哪种更简便运算，你们思考思考）\n\u003C\u002Fblockquote\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cimg src=\&v2-cefcddcbf5f32.jpg\& data-rawwidth=\&600\& data-rawheight=\&85\&\u003E\u003Cp\u003E【例题1】中的切线\u003Cequation\u003El\u003C\u002Fequation\u003E该如何设出呢？我们先把题目该有的条件画出来，如图：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cimg src=\&v2-e3b8bbe452f8ec6a86abb9.png\& data-rawwidth=\&739\& data-rawheight=\&459\&\u003E\u003Cp\u003E由于直线\u003Cequation\u003El\u003C\u002Fequation\u003E过\u003Cequation\u003E(m,0)\u003C\u002Fequation\u003E，且与圆相切，所以能够确定直线可以竖直摆放，不可以水平摆放。故将直线设成：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cblockquote\u003E\u003Cequation\u003Ex=ky+m\u003C\u002Fequation\u003E-------这里横截距也恰好是\u003Cequation\u003Ex=m\u003C\u002Fequation\u003E\u003C\u002Fblockquote\u003E\u003Cp\u003E（再次提醒，这么设k是\u003Cb\u003E斜率倒数，斜率倒数，斜率倒数\u003C\u002Fb\u003E，虽解本题不影响你的计算，但是你必须清楚这一点！）\n\n\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E先更这些。睡醒再更~~~\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E晚安，这次是真的。于3.28日凌晨\u003C\u002Fp\u003E\u003Cimg src=\&v2-d4537afbc622b84a885b513072baf784.jpg\& data-rawwidth=\&600\& data-rawheight=\&85\&\u003E\u003Cp\u003E3.28日早8:11，续更。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E解决完设直线，接下来我们谈谈如何联立方程。因为抛物线的联立技巧有别于椭圆、双曲线，这里面先讲直线与椭双的联立。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cimg src=\&v2-af9a8ee9132e2adb88c37bd.jpg\& data-rawwidth=\&600\& data-rawheight=\&85\&\u003E\u003Cblockquote\u003E\u003Cb\u003E1、如何联立直线与曲线方程\u003C\u002Fb\u003E？（统一设椭圆或双曲线方程为：\u003Cequation\u003EAx^2+By^2=1\u003C\u002Fequation\u003E，无所谓焦点在哪个轴上，无所谓\u003Cequation\u003Ea,b,c\u003C\u002Fequation\u003E）\u003Cbr\u003E\u003Cb\u003E※①留谁谁在前\u003C\u002Fb\u003E：\u003Cbr\u003E\u003Cb\u003Ea.\u003C\u002Fb\u003E当直线设成\u003Cequation\u003Ey=kx+m\u003C\u002Fequation\u003E型，联立时将\u003Cequation\u003Ekx+m\u003C\u002Fequation\u003E整体代入椭双方程，意味着联立后保留\u003Cequation\u003Ex\u003C\u002Fequation\u003E。所以，此时需在联立时将\u003Cequation\u003EAx^2\u003C\u002Fequation\u003E项写在前面：\u003Cbr\u003E\u003Cequation\u003E\\[\\left\\{\\begin{array}{ll} y=kx+m,\\\\ Ax^2+By^2=1\\,. \\end{array}\\right.\\]\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cequation\u003E\\Rightarrow \u003C\u002Fequation\u003E\u003Cequation\u003E(A+Bk^2)x^2+B\\cdot 2km\\cdot x+B\\cdot m^2-1=0\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cb\u003Eb.\u003C\u002Fb\u003E当直线设成\u003Cequation\u003Ex=ky+m\u003C\u002Fequation\u003E型，联立时将\u003Cequation\u003Eky+m\u003C\u002Fequation\u003E整体代入椭双方程，意味着联立后保留\u003Cequation\u003Ey\u003C\u002Fequation\u003E。所以，此时需在联立时将\u003Cequation\u003EBy^2\u003C\u002Fequation\u003E项写在前面：\u003Cbr\u003E\u003Cequation\u003E\\[\\left\\{\\begin{array}{ll} x=ky+m,\\\\ By^2+Ax^2=1\\,. \\end{array}\\right.\\]\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cequation\u003E\\Rightarrow \u003C\u002Fequation\u003E\u003Cequation\u003E(B+Ak^2)y^2+A\\cdot 2km\\cdot y+A\\cdot m^2-1=0\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cb\u003E※②统一记方程\u003C\u002Fb\u003E：\u003Cbr\u003Ea.联立后保留变量暂记为\u003Cequation\u003Et\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003Eb.联立时椭双方程前置变量系数记为“前”；后置变量系数记为“后”\u003Cbr\u003E\u003Cb\u003E则联立后方程统一记为：\u003C\u002Fb\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cequation\u003E(\\text{前}+\\text{后}\\cdot k^2)t^2+\\text{后}\\cdot 2km\\cdot t+\\text{后}\\cdot m^2-1=0\u003C\u002Fequation\u003E\u003C\u002Fblockquote\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cimg src=\&v2-cefcddcbf5f32.jpg\& data-rawwidth=\&600\& data-rawheight=\&85\&\u003E\u003Cp\u003E再说说【例题1】中如何联立直线\u003Cequation\u003El\u003C\u002Fequation\u003E与椭圆\u003Cequation\u003EG\u003C\u002Fequation\u003E。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cblockquote\u003E联立直线\u003Cequation\u003El\u003C\u002Fequation\u003E与椭圆\u003Cequation\u003EG\u003C\u002Fequation\u003E:\u003Cequation\u003E\\[\\left\\{\\begin{array}{ll} x=ky+m,\\\\ y^2+\\frac{x^2}{4}=1\\,. \\end{array}\\right.\\]\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cequation\u003E\\Rightarrow \u003C\u002Fequation\u003E\u003Cequation\u003E(1+\\frac{k^2}{4})y^2+\\frac{2km}{4}y+\\frac{m^2}{4}-1=0\u003C\u002Fequation\u003E\u003C\u002Fblockquote\u003E\u003Cp\u003E到这里，你懂了吗？如果按此方法练习几道题。\u003Cb\u003E当你熟练后，则联立飞快！\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cimg src=\&v2-d4537afbc622b84a885b513072baf784.jpg\& data-rawwidth=\&600\& data-rawheight=\&85\&\u003E\u003Cp\u003E再说说\u003Cb\u003E韦达定理与Δ：\u003C\u002Fb\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cimg src=\&v2-af9a8ee9132e2adb88c37bd.jpg\& data-rawwidth=\&600\& data-rawheight=\&85\&\u003E\u003Cblockquote\u003E\u003Cb\u003E1、韦达定理：不化简原则\u003C\u002Fb\u003E \u003Cbr\u003E若将联立后的方程简记为：\u003Cequation\u003E\\alpha t^2+\\beta t+\\gamma =0\u003C\u002Fequation\u003E，则由韦达定理得：\u003Cbr\u003E\u003Cequation\u003E\\[\\left\\{\\begin{array}{ll} t_1+t_2=-\\frac{\\beta }{\\alpha },\\\\ t_1t_2=\\frac{\\gamma}{\\alpha }\\,. \\end{array}\\right.\\]\u003C\u002Fequation\u003E\n千万记住，\u003Cb\u003E不要做任何化简处理\u003C\u002Fb\u003E，高考中只有最后的结果要求化简，此时可以通过不化简的方式减少运算。告诉你，\u003Cb\u003E分母早晚都没用！\u003C\u002Fb\u003E没错，\u003Cb\u003E分母早晚都没用！\u003C\u002Fb\u003E个中奥妙，请慢慢领会。\u003C\u002Fblockquote\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cblockquote\u003E\u003Cb\u003E2、判别式Δ：\u003Cequation\u003E\\Delta =4(\\alpha -ABm^2)\u003C\u002Fequation\u003E\u003C\u002Fb\u003E\u003Cbr\u003E联立后方程：\u003Cequation\u003E(\\text{前}+\\text{后}\\cdot k^2)t^2+\\text{后}\\cdot 2km\\cdot t+\\text{后}\\cdot m^2-1=0\u003C\u002Fequation\u003E那么\u003Cequation\u003E\\Delta =(\\text{后}\\cdot 2km)^2-4(\\text{前}+\\text{后}\\cdot k^2)(\\text{后}\\cdot m^2-1)\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E整理得：\u003Cequation\u003E\\Delta =4(\\text{前}+\\text{后}\\cdot k^2-\\text{前}\\cdot \\text{后}\\cdot m^2)\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E而\u003Cbr\u003E\u003Cb\u003E⑴\u003Cequation\u003E\\text{前}+\\text{后}\\cdot k^2\u003C\u002Fequation\u003E也就是联立后的二次项系数\u003C\u002Fb\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cb\u003E⑵\u003Cequation\u003E\\text{前}\\cdot \\text{后}\\cdot m^2\u003C\u002Fequation\u003E也就是\u003Cequation\u003EABm^2\u003C\u002Fequation\u003E\u003C\u002Fb\u003E\u003Cbr\u003E所以，我们将联立后的方程继续简记为：\u003Cequation\u003E\\alpha t^2+\\beta t+\\gamma =0\u003C\u002Fequation\u003E，\n\u003Cbr\u003E则\u003Cequation\u003E\\Delta =4(\\alpha -ABm^2)\u003C\u002Fequation\u003E\u003C\u002Fblockquote\u003E\u003Cimg src=\&v2-cefcddcbf5f32.jpg\& data-rawwidth=\&600\& data-rawheight=\&85\&\u003E\u003Cp\u003E【例题1】中联立直线\u003Cequation\u003El\u003C\u002Fequation\u003E与椭圆\u003Cequation\u003EG\u003C\u002Fequation\u003E及之后韦达定理、Δ的步骤如下：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cblockquote\u003E设直线\u003Cequation\u003El\u003C\u002Fequation\u003E:\u003Cequation\u003Ex=ky+m\u003C\u002Fequation\u003E，\u003Cequation\u003EA(x_1,y_1)\u003C\u002Fequation\u003E、\u003Cequation\u003EB(x_2,y_2)\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E联立直线\u003Cequation\u003El\u003C\u002Fequation\u003E与椭圆\u003Cequation\u003EG\u003C\u002Fequation\u003E:\u003Cequation\u003E\\[\\left\\{\\begin{array}{ll} x=ky+m,\\\\ y^2+\\frac{x^2}{4}=1\\,. \\end{array}\\right.\\]\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cequation\u003E\\Rightarrow \u003C\u002Fequation\u003E\u003Cequation\u003E(1+\\frac{k^2}{4})y^2+\\frac{2km}{4}y+\\frac{m^2}{4}-1=0\u003C\u002Fequation\u003E 由韦达定理：\u003Cbr\u003E\u003Cequation\u003E\\[\\left\\{\\begin{array}{ll} y_1+y_2=\\frac{-\\frac{km}{2}}{1+\\frac{k^2}{4}},\\\\ y_1y_2=\\frac{\\frac{m}{4}-1}{1+\\frac{k^2}{4}}\\,. \\end{array}\\right.\\]\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cequation\u003E\\Delta =4(1+\\frac{k^2}{4} -\\frac{m^2}{4})\u003C\u002Fequation\u003E\u003C\u002Fblockquote\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E到这里，其实才是真正意义上的完成方程的联立。有些同学可能会问，这里算\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003EΔ有用吗？这么说吧，就算没用你写了也不扣分，而且写起来如同秒杀！\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E何况，我要说的是，\u003Cb\u003E弦长与面积问题中，Δ非常有用！Δ非常有用！Δ非常有用！\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E今天暂时更到这，请大家先把\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E1、如何设直线\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E2、如何联立直曲方程\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E3、韦达定理与Δ的快速表达式\u003C\u002Fb\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E记牢。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E有关弦长公式，我想，至少有一点，我是可以颠覆你们的。敬请期待。。。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cimg src=\&v2-d4537afbc622b84a885b513072baf784.jpg\& data-rawwidth=\&600\& data-rawheight=\&85\&\u003E\u003Cp\u003E3.28日23:00开更椭圆双曲线弦长公式。（为什么我非要加上椭圆双曲线呢？而不是，弦长公式？）\u003C\u002Fp\u003E\u003Cimg src=\&v2-af9a8ee9132e2adb88c37bd.jpg\& data-rawwidth=\&600\& data-rawheight=\&85\&\u003E\u003Cblockquote\u003E\u003Cb\u003E椭双弦长公式：\u003C\u002Fb\u003E（设弦端点为\u003Cequation\u003EA,B\u003C\u002Fequation\u003E）\u003Cbr\u003E\u003Cequation\u003EAB=\\sqrt{1+k^2}|t_1-t_2|= \\sqrt{1+k^2}\\sqrt{(t_1+t_2)^2-4t_1t_2}\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cequation\u003E=\\sqrt{1+k^2}\\frac{\\sqrt{\\Delta} }{|\\alpha |}\u003C\u002Fequation\u003E……①\n\u003Cbr\u003E其中：\u003Cbr\u003E1、\u003Cequation\u003Et_1,t_2\u003C\u002Fequation\u003E为弦端点\u003Cequation\u003EA,B\u003C\u002Fequation\u003E的\u003Cb\u003E“保留变量坐标”\u003C\u002Fb\u003E\u003Cbr\u003E2、Δ：联立后的判别式；α\n：联立后的二次项系数\u003Cbr\u003E3、学校教的不是有一个\u003Cequation\u003EAB=\\sqrt{1+\\frac{1}{k^2}}\\cdot |y_1-y_2|\u003C\u002Fequation\u003E（其实学校教你的是\u003Cequation\u003EAB=\\sqrt{1+\\frac{1}{\\text{斜率}^2}}\\cdot |y_1-y_2|\u003C\u002Fequation\u003E）吗？这里为何永远是\u003Cequation\u003EAB=\\sqrt{1+k^2}|t_1-t_2|\u003C\u002Fequation\u003E？\u003Cbr\u003E\u003Cb\u003E因为，当你保留变量\u003Cequation\u003Ey\u003C\u002Fequation\u003E时，意味着你设的直线是\u003Cequation\u003Ex=ky+m\u003C\u002Fequation\u003E，此时的\u003Cequation\u003Ek\u003C\u002Fequation\u003E就是\u003Cequation\u003E\\frac{1}{\\text{斜率}}\u003C\u002Fequation\u003E，\u003C\u002Fb\u003E \u003Cbr\u003E4、①式的由来：\u003Cbr\u003E由韦达定理，知：\u003Cequation\u003E\\[\\left\\{\\begin{array}{ll} t_1+t_2=-\\frac{\\beta }{\\alpha },\\\\ t_1t_2=\\frac{\\gamma}{\\alpha }\\,. \\end{array}\\right.\\]\u003C\u002Fequation\u003E则：\u003Cbr\u003E\u003Cequation\u003E\\sqrt{(t_1+t_2)^2-4t_1t_2}=\\sqrt{\\frac{\\beta ^2}{\\alpha ^2}-4\\frac{\\gamma }{\\alpha }} \u003C\u002Fequation\u003E\u003Cequation\u003E=\\sqrt{\\frac{\\beta ^2-4\\alpha \\gamma }{\\alpha ^2}} =\\frac{\\sqrt{\\Delta }}{|\\alpha |}\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cb\u003E但是注意：\u003C\u002Fb\u003E此处只可代值快速计算，\u003Cb\u003E不可用此公式展示\u003C\u002Fb\u003E。\u003C\u002Fblockquote\u003E\u003Cimg src=\&v2-cefcddcbf5f32.jpg\& data-rawwidth=\&600\& data-rawheight=\&85\&\u003E\u003Cp\u003E那么到现在我们再次回顾例1：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cblockquote\u003E\u003Cb\u003E【例题1】\u003C\u002Fb\u003E已知椭圆\u003Cequation\u003EG:\\frac{x^2}{4}+y^2=1\u003C\u002Fequation\u003E，过点\u003Cequation\u003E(m,0)\u003C\u002Fequation\u003E作圆\u003Cequation\u003Ex^2+y^2=1\u003C\u002Fequation\u003E的切线\u003Cequation\u003El\u003C\u002Fequation\u003E交椭圆\u003Cequation\u003EG\u003C\u002Fequation\u003E于\u003Cequation\u003EA,B\u003C\u002Fequation\u003E两点．求\u003Cequation\u003E|AB|\u003C\u002Fequation\u003E的最大值．\u003C\u002Fblockquote\u003E\u003Cp\u003E并给出完整步骤如下：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cblockquote\u003E\u003Cb\u003E解：\u003C\u002Fb\u003E设直线\u003Cequation\u003El\u003C\u002Fequation\u003E:\u003Cequation\u003Ex=ky+m\u003C\u002Fequation\u003E，\u003Cequation\u003EA(x_1,y_1)\u003C\u002Fequation\u003E、\u003Cequation\u003EB(x_2,y_2)\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E联立直线\u003Cequation\u003El\u003C\u002Fequation\u003E与椭圆\u003Cequation\u003EG\u003C\u002Fequation\u003E:\u003Cequation\u003E\\[\\left\\{\\begin{array}{ll} x=ky+m,\\\\ y^2+\\frac{x^2}{4}=1\\,. \\end{array}\\right.\\]\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cequation\u003E\\Rightarrow \u003C\u002Fequation\u003E\u003Cequation\u003E(1+\\frac{k^2}{4})y^2+\\frac{2km}{4}y+\\frac{m^2}{4}-1=0\u003C\u002Fequation\u003E 由韦达定理：\u003Cbr\u003E\u003Cequation\u003E\\[\\left\\{\\begin{array}{ll} y_1+y_2=\\frac{-\\frac{km}{2}}{1+\\frac{k^2}{4}},\\\\ y_1y_2=\\frac{\\frac{m}{4}-1}{1+\\frac{k^2}{4}}\\,. \\end{array}\\right.\\]\u003C\u002Fequation\u003E，\u003Cequation\u003E\\Delta =4(1+\\frac{k^2}{4} -\\frac{m^2}{4})\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E所以\u003Cequation\u003E|AB|=\\sqrt{1+k^2}|y_1-y_2|= \\sqrt{1+k^2}\\sqrt{(y_1+y_2)^2-4y_1y_2}\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cequation\u003E=\\sqrt{1+k^2}\\frac{2\\sqrt{1+\\frac{k^2}{4}-\\frac{m^2}{4} } }{1+\\frac{k^2}{4}} \u003C\u002Fequation\u003E……………①\n\u003Cbr\u003E又因为\u003Cequation\u003El\u003C\u002Fequation\u003E:\u003Cequation\u003Ex=ky+m\u003C\u002Fequation\u003E与圆\u003Cequation\u003Ex^2+y^2=1\u003C\u002Fequation\u003E相切，所以：\u003Cbr\u003E\u003Cequation\u003E\\frac{|m|}{\\sqrt{1+k^2}}=1\u003C\u002Fequation\u003E，即\u003Cequation\u003Ek^2=m^2-1\u003C\u002Fequation\u003E…………②\n\u003Cbr\u003E将②式代入①式，消掉\u003Cequation\u003Ek\u003C\u002Fequation\u003E得：\u003Cbr\u003E\u003Cequation\u003E|AB|=\\frac{4\\sqrt3|m|}{m^2+3}=\\frac{4\\sqrt3}{|m|+\\frac{3}{|m|}}\\leq \\frac{4\\sqrt3}{2\\sqrt{|m|\\cdot \\frac{3}{|m|}}}=2\u003C\u002Fequation\u003E （当且仅当\u003Cequation\u003E|m|=\\frac{3}{|m|}\u003C\u002Fequation\u003E，即\u003Cequation\u003Em=\\pm \\sqrt{3}\u003C\u002Fequation\u003E时取等）\u003Cbr\u003E由题可知，\u003Cequation\u003E|m|\\geq 1\u003C\u002Fequation\u003E，可以取等。所以：\n\u003Cbr\u003E\u003Cequation\u003E|AB|_{max}=2\u003C\u002Fequation\u003E\u003C\u002Fblockquote\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E大家应该能感受到，咱们本题除了最后涉及了一些计算外，剩余的\n\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E1、要么是在套公式\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E2、要么是在简单的翻译题目\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E但是，我们却能够得到充足的步骤分！\u003C\u002Fb\u003E因为，\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E涛哥语录3：\u003C\u002Fb\u003E圆锥曲线大题考察的是如何巧算，而不是单纯的比拼计算！\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E本题，写出弦长\u003Cequation\u003E|AB|\u003C\u002Fequation\u003E的单变量表达式\u003Cequation\u003E|AB|=\\frac{4\\sqrt3|m|}{m^2+3}\u003C\u002Fequation\u003E得8分可以说太轻松了！\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E要我说，至少得9分！\u003Cb\u003E因为大题的步骤分基本上除了结果，一个“采分步骤”就是1分\u003C\u002Fb\u003E。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E咱们写到这离结果就差一个不等式，所以加上结果最多扣除3分。所以我说至少得9分！\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E圆锥曲线大题——弦长与面积问题，保8争12！同学们，加油！\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E跳转总目录：\u003C\u002Fb\u003E\u003Ca href=\&https:\u002F\u002Fzhuanlan.zhihu.com\u002Fp\u002F\&\u003E《高考数学の模法笔记》目录 - 知乎专栏\u003C\u002Fa\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E如果你觉得不够过瘾，你还可以：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cimg src=\&v2-d4537afbc622b84a885b513072baf784.jpg\& data-rawwidth=\&600\& data-rawheight=\&85\&\u003E\u003Cblockquote\u003E\u003Cb\u003E完整付费版《模法笔记》链接：\u003Ca href=\&http:\u002F\u002Flink.zhihu.com\u002F?target=https%3A\u002F\u002Fh5.xiaoeknow.com\u002FappYwJYi5b5F\&\u003E模法班(C)于庆涛\u003C\u002Fa\u003E\u003C\u002Fb\u003E（暂时只能复制链接，发到微信好友（自己），点击开！）\u003Cbr\u003E\u003Cb\u003E涛哥微信:xinruiyqt\u003C\u002Fb\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cb\u003E涛哥QQ:\u003Ca href=\&tel:\&\u003E\u003C\u002Fa\u003E\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fblockquote\u003E\u003Cp\u003E能帮助到你，是我的荣幸！成就你的高考，是我的目标。\n\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cimg src=\&v2-457e0befa3b.jpg\& data-rawwidth=\&644\& data-rawheight=\&999\&\u003E\u003Cp\u003E~~~欢迎广大学子积极投入涛哥的怀抱~~~\u003C\u002Fp\u003E&,&updated&:new Date(&T16:56:18.000Z&),&canComment&:false,&commentPermission&:&review&,&commentCount&:64,&likeCount&:742,&state&:&published&,&isLiked&:false,&slug&:&&,&isTitleImageFullScreen&:false,&rating&:&none&,&sourceUrl&:&&,&publishedTime&:&T00:56:18+08:00&,&links&:{&comments&:&\u002Fapi\u002Fposts\u002F2Fcomments&},&url&:&\u002Fp\u002F&,&titleImage&:&https:\u002F\u002Fpic3.zhimg.com\u002Fv2-f580d3ee7a_r.jpg&,&summary&:&&,&href&:&\u002Fapi\u002Fposts\u002F&,&meta&:{&previous&:null,&next&:null},&snapshotUrl&:&&,&commentsCount&:64,&likesCount&:742},&&:{&title&:&【立体篇】（7）秒杀外接球[上] 圆柱外接球模型&,&author&:&yu-qing-tao-62&,&content&:&\u003Cp\u003E立体几何压轴小题，基本上无论哪个省份，都会十分宠幸“\u003Cb\u003E几何体的外接球问题\u003C\u002Fb\u003E”。那么，倒霉的，看似就是我们这些广大高三狗了。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E而这类问题你通常会想到：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E①画出球体、标明球心→②画出球的内接几何体→ ③寻找突破口建立方程。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E以上的方法可以说是“通法”，但，并不好用！因为很多人\u003Cb\u003E空间感略差\u003C\u002Fb\u003E，而另外一些人就算空间感不错，最后依然可能面临找不到关系（因为找嘛，考察的是眼力，看走眼总是很正常的）。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E那今天我告诉你，\u003Cb\u003E\u003Cu\u003E这类题80%以上都不用画图\u003C\u002Fu\u003E\u003C\u002Fb\u003E，只需要\u003Cb\u003E2步搞定\u003C\u002Fb\u003E：\u003Cb\u003E①识别模型→②代入公式\u003C\u002Fb\u003E，就可以轻松求出外接球半径R。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E本节教给你的就是这\u003Cb\u003E80%中最常用到的第1个模型——圆柱外接球模型\u003C\u002Fb\u003E。 \u003C\u002Fp\u003E\u003Cimg src=\&v2-d4537afbc622b84a885b513072baf784.jpg\& data-rawwidth=\&600\& data-rawheight=\&85\&\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E一、题型描述\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cblockquote\u003E\u003Cb\u003E几何体的外接球问题：\u003C\u002Fb\u003E题目中涉及几何体外接球体，或者球内接几何体，再或者说成球面上有几个点围成几何体，这类题型称之为几何体的外接球问题。\u003C\u002Fblockquote\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E二、模法讲解\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E以下这幅图，大家应该都能看明白吧！一个底面半径为\u003Cequation\u003Er\u003C\u002Fequation\u003E，高为\u003Cequation\u003Eh\u003C\u002Fequation\u003E的圆柱，求它的外接球半径。这里我不多讲解，相信你能看懂我右边的式子。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cimg src=\&v2-d2bef84acf0.jpg\& data-rawwidth=\&1065\& data-rawheight=\&640\&\u003E\u003Cp\u003E那么问题来了？你会说，涛哥你不也在画图吗？是的，我在画图，因为我要让你明白这个式子怎么来的：\u003Cequation\u003ER=\\sqrt{r^2+\\frac{h^2}{4}}\u003C\u002Fequation\u003E。那么这个式子有何妙用？接着看——\u003Cbr\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cb\u003E1、\u003C\u002Fb\u003E如果我们对圆柱上下底面对应位置处，取相同数量的点，比如都取三个点，如图所示： \u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cimg src=\&v2-cc43ae5ae6e9840cfff7ca.jpg\& data-rawwidth=\&1070\& data-rawheight=\&640\&\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E我们可以得到（直）三棱柱，它的外接球其实就是这个圆柱的外接球，所以说\u003Cb\u003E直棱柱的外接球求半径符合这个模型\u003C\u002Fb\u003E。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cblockquote\u003E在这里棱柱的高就是公式中的\u003Cequation\u003Eh\u003C\u002Fequation\u003E，\u003Cbr\u003E而棱柱底面外接圆的半径则是公式中的\u003Cequation\u003Er\u003C\u002Fequation\u003E（至于怎么求外接圆半径\u003Cequation\u003Er\u003C\u002Fequation\u003E？你先自己想想）。\u003C\u002Fblockquote\u003E\u003Cp\u003E哦对了，斜棱柱怎么办？\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E斜棱柱没有外接球\u003C\u002Fb\u003E，有兴趣的自己尝试找到原因。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E2、\u003C\u002Fb\u003E我们再继续进行，如果我把刚刚那个三棱柱上面的\u003Cequation\u003EB_1,C_1\u003C\u002Fequation\u003E两点干掉，我将得到三棱锥，如图：\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cimg src=\&v2-31ca34cbc.jpg\& data-rawwidth=\&1047\& data-rawheight=\&640\&\u003E\u003Cp\u003E这个三棱锥的特点是\u003Cequation\u003EAA_1\u003C\u002Fequation\u003E⊥底面\u003Cequation\u003EABC\u003C\u002Fequation\u003E，即有\u003Cb\u003E一根侧棱⊥底面的锥体\u003C\u002Fb\u003E，\u003Cb\u003E依然符合这个模型\u003C\u002Fb\u003E。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cblockquote\u003E那条竖直棱\u003Cequation\u003EAA_1\u003C\u002Fequation\u003E就是公式中的\u003Cequation\u003Eh\u003C\u002Fequation\u003E，\u003Cbr\u003E而底面\u003Cequation\u003EABC\u003C\u002Fequation\u003E的外接圆半径是公式中的\u003Cequation\u003Er\u003C\u002Fequation\u003E。\u003C\u002Fblockquote\u003E\u003Cp\u003E如果你参透了以上讲解，请自觉点\u003Cb\u003E赞\u003C\u002Fb\u003E。然而，我想说的是，这还没完！！！！！\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E3、\u003C\u002Fb\u003E题目还喜欢这么干：\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cimg src=\&v2-0fecbdf53f05d65f06952f.jpg\& data-rawwidth=\&723\& data-rawheight=\&640\&\u003E\u003Cp\u003E这种类型题目考的够多的了吧！而你，是不是每次都傻傻的画球？其实我告诉你，\u003Cbr\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cb\u003E它！非！常！符！合！圆！柱！外！接！球！模！型！\u003C\u002Fb\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cbr\u003E接着看，当我对第二幅图中的三棱柱\u003Cequation\u003EABC-A_1B_1C_1\u003C\u002Fequation\u003E只去掉\u003Cequation\u003EC_1\u003C\u002Fequation\u003E这个点，会得到什么呢？\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cimg src=\&v2-55a012cad19c091aa2e485d8cf0792d8.jpg\& data-rawwidth=\&1061\& data-rawheight=\&640\&\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E没错！这就是刚刚那个四棱锥放倒了！\u003C\u002Fb\u003E它的特点是：底面\u003Cequation\u003E ABC\u003C\u002Fequation\u003E⊥侧面\u003Cequation\u003EAA_1B_1B\u003C\u002Fequation\u003E，出题的时候则不会这么仁慈，就会像上一幅图那样，\u003Cb\u003E有一个侧面⊥矩形底面的四棱锥！\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E那么再看这个四棱锥：\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cimg src=\&v2-0fecbdf53f05d65f06952f.jpg\& data-rawwidth=\&723\& data-rawheight=\&640\&\u003E\u003Cblockquote\u003E我们知道，这里的\u003Cequation\u003Er\u003C\u002Fequation\u003E为\u003Cequation\u003E\\Delta PAD\u003C\u002Fequation\u003E的外接圆半径，\u003Cbr\u003E\u003Cequation\u003Eh\u003C\u002Fequation\u003E为\u003Cequation\u003EAB\\text{或}CD\u003C\u002Fequation\u003E的长。\u003C\u002Fblockquote\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E让我们总结一下：\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cimg src=\&v2-af9a8ee9132e2adb88c37bd.jpg\& data-rawwidth=\&600\& data-rawheight=\&85\&\u003E\u003Cp\u003E圆柱外接球模型——\u003Cequation\u003ER=\\sqrt{r^2+\\frac{h^2}{4}}\u003C\u002Fequation\u003E适用于：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cblockquote\u003E\u003Cb\u003E①圆柱\u003C\u002Fb\u003E-------\u003Cequation\u003Er,h\u003C\u002Fequation\u003E自带\u003Cbr\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cb\u003E②直棱柱\u003C\u002Fb\u003E-------\u003Cequation\u003Er\u003C\u002Fequation\u003E:底面外接圆半径；\u003Cequation\u003Eh\u003C\u002Fequation\u003E:直棱柱的高\u003Cbr\u003E\u003Cb\u003E③一根侧棱⊥底面的锥体-------\u003C\u002Fb\u003E\u003Cequation\u003Er\u003C\u002Fequation\u003E:底面外接圆半径；\u003Cequation\u003Eh\u003C\u002Fequation\u003E:垂直于底面的那条侧棱\u003Cbr\u003E\u003Cb\u003E④一个侧面⊥矩形底面的四棱锥\u003C\u002Fb\u003E-------\u003Cequation\u003Er\u003C\u002Fequation\u003E:\u003Cb\u003E垂直底面的侧面\u003C\u002Fb\u003E的外接圆半径；\u003Cequation\u003Eh\u003C\u002Fequation\u003E:\u003Cb\u003E垂直于那个侧面\u003C\u002Fb\u003E的底边长\u003C\u002Fblockquote\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cimg src=\&v2-cefcddcbf5f32.jpg\& data-rawwidth=\&600\& data-rawheight=\&85\&\u003E\u003Cp\u003E那么接下来第二步就是找到\u003Cequation\u003Eh\u003C\u002Fequation\u003E，求出\u003Cequation\u003Er\u003C\u002Fequation\u003E，而\u003Cequation\u003Er\u003C\u002Fequation\u003E又怎么求呢？\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E正弦定理。正弦定理。正弦定理。\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E可以说正弦定理求外接圆半径这种方法咱们基本上就在高一学的时候提及过，根本就没用过它！告诉你，几乎整个高考也就此处\u003Cb\u003E求外接球题型\u003C\u002Fb\u003E可以用它来求求那个\u003Cequation\u003Er\u003C\u002Fequation\u003E了。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E所以，你千万要学会哟！\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E讲解如图：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cimg src=\&v2-810a911e9dbce67abc4cb9.jpg\& data-rawwidth=\&1553\& data-rawheight=\&640\&\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E当我们求出\u003Cequation\u003Er\u003C\u002Fequation\u003E，找到\u003Cequation\u003Eh\u003C\u002Fequation\u003E，剩下的就是套入公式了：\u003Cequation\u003ER=\\sqrt{r^2+\\frac{h^2}{4}}\u003C\u002Fequation\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cimg src=\&v2-d4537afbc622b84a885b513072baf784.jpg\& data-rawwidth=\&600\& data-rawheight=\&85\&\u003E\u003Cp\u003E来，我们秒杀几道：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E【\u003Cb\u003E例题1】\u003C\u002Fb\u003E直三棱柱\u003Cequation\u003EABC-A_1B_1C_1\u003C\u002Fequation\u003E的六个顶点都在球\u003Cequation\u003EO\u003C\u002Fequation\u003E的球面上，若\u003Cequation\u003EAB=BC=1\u003C\u002Fequation\u003E，∠\u003Cequation\u003E\\text{∠}ABC=120\\text{°}\u003C\u002Fequation\u003E,\u003Cequation\u003EAA_1=2\\sqrt{3}\u003C\u002Fequation\u003E，则球\u003Cequation\u003EO\u003C\u002Fequation\u003E的表面积为\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003EA.\u003Cequation\u003E4\\pi \u003C\u002Fequation\u003E
B.\u003Cequation\u003E8\\pi \u003C\u002Fequation\u003E
C.\u003Cequation\u003E16\\pi \u003C\u002Fequation\u003E
D.\u003Cequation\u003E24\\pi \u003C\u002Fequation\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E涛哥解析：\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cblockquote\u003E直棱柱的外接球符合\u003Cb\u003E圆柱外接球模型\u003C\u002Fb\u003E：\u003Cbr\u003E底面\u003Cequation\u003E\\Delta ABC\u003C\u002Fequation\u003E等腰，所以\u003Cequation\u003EAB\u003C\u002Fequation\u003E对角为\u003Cequation\u003E30\\text{°}\u003C\u002Fequation\u003E，\u003Cbr\u003E所以\u003Cequation\u003E2r=\\frac{AB}{\\sin30\\text{°}}\\Rightarrow r=1\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E而\u003Cequation\u003Eh=AA_1=2\\sqrt{3}\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E所以\u003Cequation\u003ER=\\sqrt{r^2+\\frac{h^2}{4}}=\\sqrt{1^2+\\frac{(2\\sqrt{3})^2}{4}}=2\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E所以球体表面积：\u003Cequation\u003ES=4\\pi R^2=16\\pi \u003C\u002Fequation\u003E，\u003Cb\u003EC正确\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fblockquote\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E【例题2】\u003C\u002Fb\u003E点\u003Cequation\u003EA,B,C,D\u003C\u002Fequation\u003E均在同一球面上，其中\u003Cequation\u003E\\Delta ABC\u003C\u002Fequation\u003E是正三角形，\u003Cequation\u003EAD\\bot \\text{平面}ABC\u003C\u002Fequation\u003E，\u003Cequation\u003EAD=2AB=6\u003C\u002Fequation\u003E，则该球的体积为___________.\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E涛哥解析：\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cblockquote\u003E由题\u003Cequation\u003EAD\\bot \\text{平面}ABC\u003C\u002Fequation\u003E，符合一根侧棱⊥底面的锥体，符合\u003Cb\u003E圆柱外接球模型\u003C\u002Fb\u003E。\u003Cbr\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cequation\u003EAB=3\u003C\u002Fequation\u003E，\u003Cequation\u003E\\Delta ABC\u003C\u002Fequation\u003E等边，所以\u003Cequation\u003E2r=\\frac{AB}{\\sin60\\text{°}}\\Rightarrow r=\\sqrt{3}\u003C\u002Fequation\u003E；\u003Cbr\u003E而\u003Cequation\u003Eh=AD=6\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E所以\u003Cequation\u003ER=\\sqrt{r^2+\\frac{h^2}{4}}=\\sqrt{\\sqrt{3}^2+\\frac{(6)^2}{4}}=2\\sqrt3\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E所以球的体积\u003Cequation\u003EV=\\frac{4}{3}\\pi R^3=32\\sqrt{3}\\pi \u003C\u002Fequation\u003E\u003C\u002Fblockquote\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E【例题3】\u003C\u002Fb\u003E已知四棱锥\u003Cequation\u003EP-ABCD\u003C\u002Fequation\u003E的顶点都在球\u003Cequation\u003EO\u003C\u002Fequation\u003E上，底面\u003Cequation\u003EABCD\u003C\u002Fequation\u003E是矩形，平面\u003Cequation\u003EPAD\\bot \u003C\u002Fequation\u003E平面\u003Cequation\u003EABCD\u003C\u002Fequation\u003E，\u003Cequation\u003E\\Delta PAD\u003C\u002Fequation\u003E为正三角形，\u003Cequation\u003EAB=2AD=4\u003C\u002Fequation\u003E，则球\u003Cequation\u003EO\u003C\u002Fequation\u003E的表面积为\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003EA.\u003Cequation\u003E\\frac{32\\pi}{3} \u003C\u002Fequation\u003E
B.\u003Cequation\u003E32\\pi \u003C\u002Fequation\u003E
C.\u003Cequation\u003E64\\pi \u003C\u002Fequation\u003E
D.\u003Cequation\u003E\\frac{64\\pi}{3} \u003C\u002Fequation\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E涛哥解析：\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cblockquote\u003E由题，四棱锥\u003Cequation\u003EP-ABCD\u003C\u002Fequation\u003E中，平面\u003Cequation\u003EPAD\\bot \u003C\u002Fequation\u003E平面\u003Cequation\u003EABCD\u003C\u002Fequation\u003E，符合\u003Cb\u003E圆柱外接球模型\u003C\u002Fb\u003E。\u003Cbr\u003E\u003Cequation\u003E\\Delta PAD\u003C\u002Fequation\u003E的外接圆半径为\u003Cequation\u003Er\u003C\u002Fequation\u003E，因为\u003Cequation\u003EAD=2\u003C\u002Fequation\u003E，可由正弦定理求得：\u003Cbr\u003E\u003Cequation\u003E2r=\\frac{AD}{\\sin60\\text{°}}\\Rightarrow r=\\frac{2}{\\sqrt{3}}\u003C\u002Fequation\u003E 而\u003Cequation\u003Eh=AB=4\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E所以\u003Cequation\u003ER=\\sqrt{r^2+\\frac{h^2}{4}}=\\sqrt{(\\frac{2}{\\sqrt{3}})^2+\\frac{(4)^2}{4}}=\\frac{4}{\\sqrt3}\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E所以球体表面积\u003Cequation\u003ES=4\\pi R^2=\\frac{64\\pi }{3}\u003C\u002Fequation\u003E，\u003Cb\u003ED正确。\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fblockquote\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E涛哥已累死。\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E在这里，感谢\u003C\u002Fb\u003E\u003Ca class=\&member_mention\& href=\&http:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fpeople\u002Ff1ad1fbef7d6add65c45c9\& data-hash=\&f1ad1fbef7d6add65c45c9\& data-hovercard=\&p$b$f1ad1fbef7d6add65c45c9\&\u003E@烦躁的雅女\u003C\u002Fa\u003E同学对本节课程的首个赞赏！\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E跳转总目录：\u003C\u002Fb\u003E\u003Ca href=\&https:\u002F\u002Fzhuanlan.zhihu.com\u002Fp\u002F\&\u003E《高考数学の模法笔记》目录 - 知乎专栏\u003C\u002Fa\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cimg src=\&v2-d4537afbc622b84a885b513072baf784.jpg\& data-rawwidth=\&600\& data-rawheight=\&85\&\u003E\u003Cp\u003E如你觉得不够过瘾，完整付费版\u003Cb\u003E模法班\u003C\u002Fb\u003E，在这里：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cblockquote\u003E\u003Cb\u003E涛哥微信：xinruiyqt\u003C\u002Fb\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cb\u003E模法笔记公众号：taogemath\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fblockquote\u003E\u003Cp\u003E能帮助到你，是我的荣幸！成就你的高考，是我的目标。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cimg src=\&v2-e0f81a29a80e02f99c3ee5.jpg\& data-rawwidth=\&640\& data-rawheight=\&1136\&\u003E\u003Cp\u003E~~~涛哥和广大会员小伙伴在这里等着你~~~\u003C\u002Fp\u003E&,&updated&:new Date(&T22:28:33.000Z&),&canComment&:false,&commentPermission&:&review&,&commentCount&:173,&likeCount&:1501,&state&:&published&,&isLiked&:false,&slug&:&&,&isTitleImageFullScreen&:false,&rating&:&none&,&sourceUrl&:&&,&publishedTime&:&T06:28:33+08:00&,&links&:{&comments&:&\u002Fapi\u002Fposts\u002F2Fcomments&},&url&:&\u002Fp\u002F&,&titleImage&:&https:\u002F\u002Fpic4.zhimg.com\u002Fv2-4aacd66b3a_r.jpg&,&summary&:&&,&href&:&\u002Fapi\u002Fposts\u002F&,&meta&:{&previous&:null,&next&:null},&snapshotUrl&:&&,&commentsCount&:173,&likesCount&:1501},&&:{&title&:&【立体篇】（8）秒杀外接球[中] 圆锥外接球模型&,&author&:&yu-qing-tao-62&,&content&:&\u003Cp\u003E学习过\u003Cb\u003E\u003Ca href=\&https:\u002F\u002Fzhuanlan.zhihu.com\u002Fp\u002F\&\u003E秒杀外接球の圆柱外接球模型（上）\u003C\u002Fa\u003E\u003C\u002Fb\u003E的同学，估计现在已经开始觉得外接球问题没有想象中那般痛苦。今天，继续减轻大家负担。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E到现在，3.30日12:22，竟然没有一位同学问我，\u003Cb\u003E封面\u003C\u002Fb\u003E上的这个几何体的外接球问题能否简化运算，它是否符合圆\u003Cb\u003E柱\u003C\u002Fb\u003E外接球模型？看来，大家认为，我放它的目的仅仅是为了美观！\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E告诉你们，涛哥我才不会这般肤浅~哈哈哈。其实\u003Cb\u003E它符合今天要说的模型\u003C\u002Fb\u003E。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E我在（上）篇提到，\u003Cb\u003E几何体外接球题型\u003C\u002Fb\u003E80%以上都不用画图。本节教给你的就是这80%中最常用到的第2个模型——\u003Cb\u003E圆锥外接球模型\u003C\u002Fb\u003E。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cimg src=\&v2-d4537afbc622b84a885b513072baf784.jpg\& data-rawwidth=\&600\& data-rawheight=\&85\&\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E模法讲解：\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E先看以下这幅图：一个底面半径为\u003Cequation\u003Er\u003C\u002Fequation\u003E，高为\u003Cequation\u003Eh\u003C\u002Fequation\u003E的圆锥，求它的外接球半径。这里我依然不多讲解，相信你还是能看懂我右边的式子。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cimg src=\&v2-049e3d74e63cb5c09c637.png\& data-rawwidth=\&1359\& data-rawheight=\&790\&\u003E\u003Cp\u003E所以，你该明白\u003Cb\u003E今天讲解的模型公式就是：\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cequation\u003E R=\\frac{r^2+h^2}{2h}\u003C\u002Fequation\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E当然，有同学会问圆锥要是“矮胖”一些，即扁一些怎么办？这时候外接球球心不会在圆锥外部吗？——是的，矮胖的圆锥，外接球球心确实在圆锥外部，但是\u003Cb\u003E推导后的外接球半径公式依然是这个\u003C\u002Fb\u003E。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E我们还是接着看：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E1、\u003C\u002Fb\u003E我们在上述圆锥底面边缘等距离取若干个点，与上顶点\u003Cequation\u003ES\u003C\u002Fequation\u003E构成——\u003Cb\u003E正棱锥\u003C\u002Fb\u003E（高考常考正三、正四棱锥）。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cimg src=\&v2-91ef847b964.jpg\& data-rawwidth=\&1441\& data-rawheight=\&910\&\u003E\u003Cp\u003E（图示举例为正三棱锥，等距离取\u003Cequation\u003En\u003C\u002Fequation\u003E个点情况是一样的）\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E这时，我们知道，\u003Cb\u003E这个正棱锥的外接球就是这个圆锥的外接球\u003C\u002Fb\u003E！所以，\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E※※※求\u003Cb\u003E正棱锥的外接球半径等，符合这个模型\u003C\u002Fb\u003E。※※※\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cblockquote\u003E在这里\u003Cb\u003E正棱锥的高\u003C\u002Fb\u003E就是公式中的\u003Cequation\u003Eh\u003C\u002Fequation\u003E，\u003Cbr\u003E而\u003Cb\u003E正棱锥底面外接圆\u003C\u002Fb\u003E的半径则是公式中的\u003Cequation\u003Er\u003C\u002Fequation\u003E（至于怎么求外接圆半径\u003Cequation\u003Er\u003C\u002Fequation\u003E？去\u003Ca href=\&https:\u002F\u002Fzhuanlan.zhihu.com\u002Fp\u002F\&\u003E【立体篇】秒杀外接球の圆柱外接球模型（上） - 知乎专栏\u003C\u002Fa\u003E查找）。\u003C\u002Fblockquote\u003E\u003Cp\u003E我们继续。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E你会问，那在圆锥底面边缘随便取几个点，不等距不是也可以吗？——是的，也可以！也符合这个模型。关键是，随便取点得到的也叫\u003Cb\u003E普通锥体\u003C\u002Fb\u003E，我们是很难判断这个锥体是取自圆锥，或者说能补成一个圆锥的。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E2、这里面我们看看，\u003Cb\u003E什么样的棱锥符合圆锥外接球模型\u003C\u002Fb\u003E。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E其实，不难发现，只要\u003Cb\u003E锥体的上顶点在底面外接圆圆心正上方或者说垂线上\u003C\u002Fb\u003E，就可以。那么，我们怎么知道\u003Cb\u003E普通锥体\u003C\u002Fb\u003E，上顶点是否在底面外心正上方呢？\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E所以说，考试考的往往不是随便编出来的，往往是这样的：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E【例题1】（2012·唐山统考）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（
）\n\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003EA.\u003Cequation\u003E\\frac{8\\pi }{3}\u003C\u002Fequation\u003E
B.\u003Cequation\u003E4\\sqrt{3}\\pi \u003C\u002Fequation\u003E
C.\u003Cequation\u003E\\frac{16\\pi }{3}\u003C\u002Fequation\u003E
D.\u003Cequation\u003E2\\sqrt{3}\\pi \u003C\u002Fequation\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cimg src=\&v2-09bc231bff9db736bad4b.png\& data-rawwidth=\&1127\& data-rawheight=\&793\&\u003E\u003Cp\u003E空间感稍好些的同学应该不难看出，这是一个三棱锥（秒杀三视图课程，后续会有）。这个三棱锥的特点是，，，我们看俯视图，其实它是一个\u003Cb\u003E等腰直角三角形\u003C\u002Fb\u003E（看不出的等三视图）。注意，以下这句话是重点：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E看俯视图，我们可以了解，这个三棱锥\u003Cb\u003E上顶点在底面的投影\u003C\u002Fb\u003E正好是\u003Cb\u003E底面直角三角形的斜边中点上\u003C\u002Fb\u003E。我们知道\u003Cb\u003E直角三角形的外接圆心就是斜边中点\u003C\u002Fb\u003E！\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E换句话说，本题三棱锥上顶点就是在底面外接圆圆心正上方。它\u003Cb\u003E符合圆锥外接球模型\u003C\u002Fb\u003E！\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E所以，\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E※※※\u003Cb\u003E上顶点\u003C\u002Fb\u003E在\u003Cb\u003E直角\u003C\u002Fb\u003E三角形底面投影为\u003Cb\u003E斜边中点\u003C\u002Fb\u003E的三棱锥，也符合这个模型※※※\n\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E如图——三棱锥\u003Cequation\u003ES-ABC\u003C\u002Fequation\u003E，\u003Cb\u003E\u003Cequation\u003ES\u003C\u002Fequation\u003E在底面投影恰好为\u003Cequation\u003ERt\\Delta ABC\u003C\u002Fequation\u003E斜边中点\u003C\u002Fb\u003E：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cimg src=\&v2-6e3b67131ecfbdea9301c.jpg\& data-rawwidth=\&1463\& data-rawheight=\&924\&\u003E\u003Cblockquote\u003E在这里三棱锥的高是公式中的\u003Cequation\u003Eh\u003C\u002Fequation\u003E，\u003Cbr\u003E底面斜边长的\u003Cequation\u003E\\frac{1}{2}\u003C\u002Fequation\u003E是公式中的\u003Cequation\u003Er\u003C\u002Fequation\u003E。\u003C\u002Fblockquote\u003E\u003Cp\u003E让我们总结一下：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cimg src=\&v2-af9a8ee9132e2adb88c37bd.jpg\& data-rawwidth=\&600\& data-rawheight=\&85\&\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E圆锥外接球模型\u003C\u002Fb\u003E——\u003Cequation\u003E R=\\frac{r^2+h^2}{2h}\u003C\u002Fequation\u003E适用于：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cblockquote\u003E\u003Cb\u003E①圆锥\u003C\u002Fb\u003E-------\u003Cequation\u003Er,h\u003C\u002Fequation\u003E自带\n\u003Cbr\u003E\u003Cb\u003E②正棱锥\u003C\u002Fb\u003E-------\u003Cequation\u003Er\u003C\u002Fequation\u003E:底面外接圆半径；\u003Cequation\u003Eh\u003C\u002Fequation\u003E:正棱锥的高\u003Cbr\u003E③“底面为\u003Cb\u003E直角三角形\u003C\u002Fb\u003E+上顶点在底面投影为\u003Cb\u003E斜边中点\u003C\u002Fb\u003E”的三棱锥-------\u003Cequation\u003Er\u003C\u002Fequation\u003E:底面斜边长的\u003Cequation\u003E\\frac{1}{2}\u003C\u002Fequation\u003E；\u003Cequation\u003Eh\u003C\u002Fequation\u003E:三棱锥的高\u003C\u002Fblockquote\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cimg src=\&v2-cefcddcbf5f32.jpg\& data-rawwidth=\&600\& data-rawheight=\&85\&\u003E\u003Cp\u003E接下来，我们秒杀一下【例题1】：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E【例题1】\u003C\u002Fb\u003E（2012·唐山统考）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（
）\n\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003EA.\u003Cequation\u003E\\frac{8\\pi }{3}\u003C\u002Fequation\u003E
B.\u003Cequation\u003E4\\sqrt{3}\\pi \u003C\u002Fequation\u003E
C.\u003Cequation\u003E\\frac{16\\pi }{3}\u003C\u002Fequation\u003E
D.\u003Cequation\u003E2\\sqrt{3}\\pi \u003C\u002Fequation\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cimg src=\&v2-09bc231bff9db736bad4b.png\& data-rawwidth=\&1127\& data-rawheight=\&793\&\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E涛哥解析：\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cblockquote\u003E由三视图知：三棱锥底面为——直角三角形；上顶点在底面投影为斜边中点。\u003Cb\u003E符合圆锥外接球模型\u003C\u002Fb\u003E。\u003Cbr\u003E所以，\u003Cequation\u003Er=1\u003C\u002Fequation\u003E,\u003Cequation\u003Eh=\\sqrt3\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E代入公式，\u003Cequation\u003E R=\\frac{r^2+h^2}{2h}=\\frac{1^2+(\\sqrt{3})^2}{2\\sqrt3}=\\frac{2}{\\sqrt3}\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E外接球表面积：\u003Cequation\u003ES=4\\pi R^2=\\frac{16\\pi }{3}\u003C\u002Fequation\u003E，\u003Cb\u003EC正确\u003C\u002Fb\u003E。\u003C\u002Fblockquote\u003E\u003Cp\u003E再来一道：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E【例题2】\u003C\u002Fb\u003E（2013·新课标Ⅰ理）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为（
）\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003EA.\u003Cequation\u003E\\frac{500\\pi }{3}\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cequation\u003Ecm^3\u003C\u002Fequation\u003E
B.\u003Cequation\u003E\\frac{866\\pi }{3}\\pi \u003C\u002Fequation\u003E\u003Cequation\u003Ecm^3\u003C\u002Fequation\u003E
C.\u003Cequation\u003E\\frac{1372\\pi }{3}\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cequation\u003Ecm^3\u003C\u002Fequation\u003E
D.\u003Cequation\u003E\\frac{2048\\pi }{3}\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cequation\u003Ecm^3\u003C\u002Fequation\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cimg src=\&v2-31d4acd57bf22fc38f451139.png\& data-rawwidth=\&799\& data-rawheight=\&549\&\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E涛哥解析：\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cimg src=\&v2-05c76efd581d1229816dfa840cfac56c.png\& data-rawwidth=\&1055\& data-rawheight=\&814\&\u003E\u003Cp\u003E如果，我们把球体与容器及水面接触点提取，并连接起来，会得到——\u003Cb\u003E正四棱锥\u003C\u002Fb\u003E。所求球体可以理解成，正四棱锥的外接球，所以符合\u003Cb\u003E圆锥外接球模型\u003C\u002Fb\u003E。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cblockquote\u003E所以，由图可知，正四棱锥的高为\u003Cequation\u003E8-6=2cm\u003C\u002Fequation\u003E，底面外接圆半径为正方体棱长的\u003Cequation\u003E\\frac{1}{2}\u003C\u002Fequation\u003E，\u003Cbr\u003E所以，\u003Cequation\u003Eh=2,r=4\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E由圆锥外接球公式，\u003Cequation\u003E R=\\frac{r^2+h^2}{2h}=\\frac{4^2+2^2}{2\\cdot 2}=5\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E球体体积：\u003Cequation\u003EV=\\frac{4\\pi R^3}{3}=\\frac{500\\pi }{3}\u003C\u002Fequation\u003E，\u003Cb\u003EA正确\u003C\u002Fb\u003E。\u003C\u002Fblockquote\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E更狠的求外接球题目，请期待\u003Cb\u003E《秒杀外接球の平面纬度化球体（下）》\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E跳转总目录：\u003C\u002Fb\u003E\u003Ca href=\&https:\u002F\u002Fzhuanlan.zhihu.com\u002Fp\u002F\&\u003E《高考数学の模法笔记》目录 - 知乎专栏\u003C\u002Fa\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E如果你觉得不够过瘾，你还可以：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cimg src=\&v2-d4537afbc622b84a885b513072baf784.jpg\& data-rawwidth=\&600\& data-rawheight=\&85\&\u003E\u003Cblockquote\u003E\u003Cb\u003E完整付费版《模法笔记》链接：\u003Ca href=\&http:\u002F\u002Flink.zhihu.com\u002F?target=https%3A\u002F\u002Fh5.xiaoeknow.com\u002FappYwJYi5b5F\&\u003E模法班(C)于庆涛\u003C\u002Fa\u003E\u003C\u002Fb\u003E（暂时只能复制链接，发到微信好友（自己），点击开！）\u003Cbr\u003E\u003Cb\u003E涛哥微信:xinruiyqt\u003C\u002Fb\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cb\u003E涛哥QQ:\u003Ca href=\&tel:\&\u003E\u003C\u002Fa\u003E\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fblockquote\u003E\u003Cp\u003E能帮助到你，是我的荣幸！成就你的高考，是我的目标。\n\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cimg src=\&v2-457e0befa3b.jpg\& data-rawwidth=\&644\& data-rawheight=\&999\&\u003E\u003Cp\u003E~~~欢迎广大学子积极投入涛哥的怀抱~~~\u003C\u002Fp\u003E&,&updated&:new Date(&T05:42:41.000Z&),&canComment&:false,&commentPermission&:&review&,&commentCount&:60,&likeCount&:530,&state&:&published&,&isLiked&:false,&slug&:&&,&isTitleImageFullScreen&:false,&rating&:&none&,&sourceUrl&:&&,&publishedTime&:&T13:42:41+08:00&,&links&:{&comments&:&\u002Fapi\u002Fposts\u002F2Fcomments&},&url&:&\u002Fp\u002F&,&titleImage&:&https:\u002F\u002Fpic4.zhimg.com\u002Fv2-ebdddc586f_r.jpg&,&summary&:&&,&href&:&\u002Fapi\u002Fposts\u002F&,&meta&:{&previous&:null,&next&:null},&snapshotUrl&:&&,&commentsCount&:60,&likesCount&:530},&&:{&title&:&【函数番外篇】极限化思维为你的函数画龙点睛！&,&author&:&yu-qing-tao-62&,&content&:&\u003Cp\u003E先看一道2014年新课标Ⅰ卷理科压轴选择题：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E【例题1】\u003C\u002Fb\u003E已知函数\u003Cequation\u003Ef(x)=ax^3-3x^2+1\u003C\u002Fequation\u003E，若存在唯一的零点\u003Cequation\u003Ex_0\u003C\u002Fequation\u003E，且\u003Cequation\u003Ex_0&0\u003C\u002Fequation\u003E，则\u003Cequation\u003Ea\u003C\u002Fequation\u003E的取值范围是（
）\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003EA.\u003Cequation\u003E(2,+\\infty )\u003C\u002Fequation\u003E
B.\u003Cequation\u003E(1,+\\infty )\u003C\u002Fequation\u003E
C.\u003Cequation\u003E(-\\infty ,-2)\u003C\u002Fequation\u003E
D.\u003Cequation\u003E(-\\infty ,-1)\u003C\u002Fequation\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E这道题的前半段做法如下：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cimg src=\&v2-8f5e13e0a8a0cc51bb5150.jpg\& data-rawwidth=\&992\& data-rawheight=\&2464\&\u003E\u003Cp\u003E到此，我们暂时不做下去。就讨论一件事：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cblockquote\u003E函数\u003Cequation\u003Eg(x)=\\frac{3}{x}-\\frac{1}{x^3}\u003C\u002Fequation\u003E(\u003Cequation\u003Ex&0\u003C\u002Fequation\u003E)在\u003Cequation\u003E(0,1)\u003C\u002Fequation\u003E单调递增；在\u003Cequation\u003E(1,+\\infty )\u003C\u002Fequation\u003E单调递减。但是\u003Cequation\u003Ex\\rightarrow 0\u003C\u002Fequation\u003E时\u003Cequation\u003Eg(x)\u003C\u002Fequation\u003E为何趋于\u003Cequation\u003E-\\infty \u003C\u002Fequation\u003E；而\u003Cequation\u003Ex\\rightarrow +\\infty \u003C\u002Fequation\u003E时\u003Cequation\u003Eg(x)\u003C\u002Fequation\u003E又为何趋于\u003Cequation\u003E0\u003C\u002Fequation\u003E？（会不会有同学画图，画成：\u003Cequation\u003Ex\\rightarrow +\\infty \u003C\u002Fequation\u003E时，\u003Cequation\u003Eg(x)\u003C\u002Fequation\u003E趋于\u003Cequation\u003E-\\infty \u003C\u002Fequation\u003E了？）\u003C\u002Fblockquote\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E模法讲解：\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cimg src=\&v2-af9a8ee9132e2adb88c37bd.jpg\& data-rawwidth=\&600\& data-rawheight=\&85\&\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E极限化思维：\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cblockquote\u003E\u003Cb\u003E1、\u003C\u002Fb\u003E\u003Cequation\u003E\\frac{1}{\\pm \\infty }\\rightarrow 0^\\pm \\text{ ； }\\frac{1}{ 0^\\pm }\\rightarrow\\pm \\infty \u003C\u002Fequation\u003E\u003C\u002Fblockquote\u003E\u003Cimg src=\&v2-d3c36a152ca948b3d12d875e405c544b.jpg\& data-rawwidth=\&1270\& data-rawheight=\&946\&\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E2、\u003C\u002Fb\u003E无穷大的级别比较：\u003Cequation\u003E\\log_ax\\ll x^{\\alpha_1} \\ll x^{\\alpha_2}\\ll x^{\\alpha_3}\\text{…}\\ll a^x\u003C\u002Fequation\u003E-------当\u003Cequation\u003Ex\u003C\u002Fequation\u003E趋于相同的值，以上函数均趋于\u003Cequation\u003E\\infty \u003C\u002Fequation\u003E时，\u003Cequation\u003E\\infty \u003C\u002Fequation\u003E的级别\u003Cb\u003E对数函数最低，指数函数最高，中间幂函数的幂指数\u003Cequation\u003E\\alpha \u003C\u002Fequation\u003E越大，级别越高。较低级别\u003Cequation\u003E\\infty \u003C\u002Fequation\u003E在较高级别\u003Cequation\u003E\\infty \u003C\u002Fequation\u003E面前，等价于常数，通常用±1替换即可。\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cimg src=\&v2-cefcddcbf5f32.jpg\& data-rawwidth=\&600\& data-rawheight=\&85\&\u003E\u003Cp\u003E再说说刚刚的那个函数\u003Cequation\u003Eg(x)=\\frac{3}{x}-\\frac{1}{x^3}\u003C\u002Fequation\u003E(\u003Cequation\u003Ex&0\u003C\u002Fequation\u003E)\u003C\u002Fp\u003E\u003Cblockquote\u003E在处理极限的时候尽量通分，整理成相乘或相除的形式：\u003Cequation\u003Eg(x)=\\frac{3}{x}-\\frac{1}{x^3}=\\frac{3x^2-1}{x^3}\u003C\u002Fequation\u003E(\u003Cequation\u003Ex&0\u003C\u002Fequation\u003E)\u003Cbr\u003E\u003Cequation\u003Ex\\rightarrow 0^+\u003C\u002Fequation\u003E时，\u003Cequation\u003Eg(x)\\rightarrow \\frac{-1}{0^+}\\rightarrow -\\infty \u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cequation\u003Ex\\rightarrow +\\infty \u003C\u002Fequation\u003E时，\u003Cequation\u003Eg(x)\\rightarrow \\frac{+\\infty _\\text{低}}{+\\infty _\\text{高}}\\rightarrow \\frac{+1}{+\\infty }\\rightarrow0^+ \u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E结合\u003Cequation\u003Eg(x)\u003C\u002Fequation\u003E在\u003Cequation\u003E(0,1)\u003C\u002Fequation\u003E单调递增；在\u003Cequation\u003E(1,+\\infty )\u003C\u002Fequation\u003E单调递减，所以，才会有我画的这个图象：\u003C\u002Fblockquote\u003E\u003Cimg src=\&v2-7e34f217ced.jpg\& data-rawwidth=\&992\& data-rawheight=\&514\&\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E至于【例题1】的完整做法，及最终结果，同学们可以做做看啊！\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E今天更到这，现在再去回顾\u003Ca href=\&https:\u002F\u002Fzhuanlan.zhihu.com\u002Fp\u002F\&\u003E【函数篇】秒杀复杂函数图像识别 - 知乎专栏，\u003C\u002Fa\u003E我所谓的“再看\u003Cb\u003E端点值\u003C\u002Fb\u003E”——无意义的点，用极限化思维处理处理，你该豁然开朗了！\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E留两道作业在这，有兴趣的做做看：\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cblockquote\u003E1、画出函数\u003Cequation\u003Ef(x)=xe^x\u003C\u002Fequation\u003E图象\u003Cbr\u003E2、画出函数\u003Cequation\u003Eg(x)=\\frac{x+\\ln x}{x^2}\u003C\u002Fequation\u003E的图象\u003C\u002Fblockquote\u003E\u003Cimg src=\&v2-d4537afbc622b84a885b513072baf784.jpg\& data-rawwidth=\&600\& data-rawheight=\&85\&\u003E\u003Cp\u003E3.31日更新，作业答案：\n\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E1、画出函数\u003Cequation\u003Ef(x)=xe^x\u003C\u002Fequation\u003E图象：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cimg src=\&v2-625cc3a034e4c8ce4b4c4c4fea47bb08.png\& data-rawwidth=\&768\& data-rawheight=\&1299\&\u003E\u003Cp\u003E2、画出函数\u003Cequation\u003Eg(x)=\\frac{x+\\ln x}{x^2}\u003C\u002Fequation\u003E的图象：\n\u003C\u002Fp\u003E\u003Cimg src=\&v2-9d5f0728b96facce0d206.jpg\& data-rawwidth=\&1312\& data-rawheight=\&2464\&\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E跳转总目录：\u003C\u002Fb\u003E\u003Ca href=\&https:\u002F\u002Fzhuanlan.zhihu.com\u002Fp\u002F\&\u003E《高考数学の模法笔记》目录 - 知乎专栏\u003C\u002Fa\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E如果你觉得不够过瘾，你还可以：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cimg src=\&v2-d4537afbc622b84a885b513072baf784.jpg\& data-rawwidth=\&600\& data-rawheight=\&85\&\u003E\u003Cblockquote\u003E\u003Cb\u003E完整付费版《模法笔记》链接：\u003Ca href=\&http:\u002F\u002Flink.zhihu.com\u002F?target=https%3A\u002F\u002Fh5.xiaoeknow.com\u002FappYwJYi5b5F\&\u003E模法班(C)于庆涛\u003C\u002Fa\u003E\u003C\u002Fb\u003E（暂时只能复制链接，发到微信好友（自己），点击开！）\u003Cbr\u003E\u003Cb\u003E涛哥微信:xinruiyqt\u003C\u002Fb\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cb\u003E涛哥QQ:\u003Ca href=\&tel:\&\u003E\u003C\u002Fa\u003E\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fblockquote\u003E\u003Cp\u003E能帮助到你，是我的荣幸！成就你的高考，是我的目标。\n\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cimg src=\&v2-457e0befa3b.jpg\& data-rawwidth=\&644\& data-rawheight=\&999\&\u003E\u003Cp\u003E~~~欢迎广大学子积极投入涛哥的怀抱~~~\u003C\u002Fp\u003E&,&updated&:new Date(&T11:04:25.000Z&),&canComment&:false,&commentPermission&:&review&,&commentCount&:31,&likeCount&:194,&state&:&published&,&isLiked&:false,&slug&:&&,&isTitleImageFullScreen&:false,&rating&:&none&,&sourceUrl&:&&,&publishedTime&:&T19:04:25+08:00&,&links&:{&comments&:&\u002Fapi\u002Fposts\u002F2Fcomments&},&url&:&\u002Fp\u002F&,&titleImage&:&https:\u002F\u002Fpic4.zhimg.com\u002Fv2-541d36d063f8f83eab965356aba06829_r.jpg&,&summary&:&&,&href&:&\u002Fapi\u002Fposts\u002F&,&meta&:{&previous&:null,&next&:null},&snapshotUrl&:&&,&commentsCount&:31,&likesCount&:194},&&:{&title&:&【立体篇】（2）秒杀三视图の口算求体积！&,&author&:&yu-qing-tao-62&,&content&:&\u003Cp\u003E不重要的话，先不说了。前方又是一个秒杀的世界，请大家系好安全带！\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E很多同学头疼三视图，感觉自己有力使不出，因为就是看不懂！今天教大家的，本不该是第一课，但是想到克服你心中的恐惧，这事最重要！所以，三视图篇从此开始。当然，如果中途你有些疑问，那也正常。还是那句话，耐心读完，然后再去解决不完全懂的地方。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E首先抛出狠话，常见几何体的三视图求体积问题，\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E1、不需要还原几何体！\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E2、30秒内算出来的，很正常！\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E一、模法讲解：\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E先看一个表格——\u003Cb\u003E柱体的三视图\u003C\u002Fb\u003E：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cimg src=\&v2-4ba88a230edcf2326eabdccbed425d2a.jpg\& data-rawwidth=\&1112\& data-rawheight=\&759\&\u003E\u003Cp\u003E虽然以上柱体都十分特殊，但是我们可以推想出一般的\u003Cb\u003E直棱柱\u003C\u002Fb\u003E（斜棱柱不常考，估计看了下面的总结，你应该也能总结出来）与\u003Cb\u003E圆柱\u003C\u002Fb\u003E三视图的特点：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E1、主视图（正面看）、侧视图（侧面看）外轮廓都是矩形\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E2、几何体为几棱柱，其俯视图（上面看）就是几边形；圆柱，其俯视图是圆形\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E但，上述结论的前提是，三视图被正常摆放，没有被放倒。\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E我们知道考试不会这么仁慈，试题中的\u003Cb\u003E几何体经常会被放倒\u003C\u002Fb\u003E，这个时候情况又是如何？\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E其实放倒的几何体无非就相当于\u003Cb\u003E我们变换了角度去看它\u003C\u002Fb\u003E。\u003Cb\u003E三个视图的形状只是彼此交换了，并不会出现其他图形！\u003C\u002Fb\u003E（出现其他图形的那种高考不会考的，这点，大家若不懂未来我会举例说明）\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E所以，（直）柱体三视图的特点：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cblockquote\u003E\u003Cb\u003E1、有两个视图的外轮廓为矩形\u003C\u002Fb\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cb\u003E2、“第三视图”为几边形，柱体为几棱柱；“第三视图”为圆形，柱体为圆柱\u003C\u002Fb\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cb\u003E注意事项：\u003C\u002Fb\u003E两外轮廓矩形视图内部不可以有顶点到顶点的贯穿线！如：\u003C\u002Fblockquote\u003E\u003Cimg src=\&v2-bd1f28ec0c0a7.png\& data-rawwidth=\&625\& data-rawheight=\&479\&\u003E\u003Cp\u003E这种三视图虽然三个视图外轮廓都是矩形，但是内部都有顶点到顶点的贯穿线。它不是柱体，是切割体。它的处理方法，需要还原直观图。以后再说。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E那么，我们看这个三视图：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cimg src=\&v2-7adb95d78e8b2aa33d462.png\& data-rawwidth=\&835\& data-rawheight=\&596\&\u003E\u003Cp\u003E你还会认为，它是台体吗？——其实它是四棱柱。因为\u003Cb\u003E主视图、俯视图\u003C\u002Fb\u003E为两个\u003Cb\u003E外轮廓矩形视图\u003C\u002Fb\u003E，\u003Cb\u003E侧视图\u003C\u002Fb\u003E为“\u003Cb\u003E第三视图\u003C\u002Fb\u003E”——柱体的底面，所以它是四棱柱。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E那么如何秒杀它的体积呢？先看看下面我画的盒子：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cimg src=\&v2-c4f8c6c01c91c8fdcd08a147.png\& data-rawwidth=\&1073\& data-rawheight=\&1152\&\u003E\u003Cp\u003E其实，三视图是有特点的。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cblockquote\u003E1、每个视图有，且仅有\u003Cb\u003E两个“维度”\u003C\u002Fb\u003E-------主视图能看出几何体上下距离、左右距离；俯视图能看出几何体左右距离、前后距离；左视图能看出几何体上下距离、前后距离。\u003Cbr\u003E2、每两个视图有，且仅有\u003Cb\u003E1个相同“维度”\u003C\u002Fb\u003E-------主视图、俯视图都能看出几何体\u003Cb\u003E左右距离\u003C\u002Fb\u003E；主视图、左视图都能看出几何体\u003Cb\u003E上下距离\u003C\u002Fb\u003E；俯视图、左视图都能看出几何体\u003Cb\u003E前后距离\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fblockquote\u003E\u003Cp\u003E那么，正常摆放的柱体，高其实就是正视图、侧视图的\u003Cb\u003E相同维度\u003C\u002Fb\u003E！如果不正常摆放呢？我想，你应该想明白了：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E高是两\u003Cb\u003E矩形外轮廓视图\u003C\u002Fb\u003E的\u003Cb\u003E相同维度\u003C\u002Fb\u003E！\u003C\u002Fp\u003E\u003Cimg src=\&v2-7adb95d78e8b2aa33d462.png\& data-rawwidth=\&835\& data-rawheight=\&596\&\u003E\u003Cp\u003E这个三视图我们知道是四棱柱，高是什么？——高是\u003Cb\u003E两矩形外轮廓视图\u003C\u002Fb\u003E的\u003Cb\u003E相同维度\u003C\u002Fb\u003E，即\u003Cb\u003E主视图与俯视图的相同维度\u003C\u002Fb\u003E：10\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E如果，你这些明白了，就是相同维度不会求，教你个直观的办法：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E想象以下的红线、蓝线、绿线组成了3根管子。\u003Cb\u003E管子的宽度就是相同维度的数值\u003C\u002Fb\u003E。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cimg src=\&v2-24e70d3b9b9cd8b38283.png\& data-rawwidth=\&1111\& data-rawheight=\&757\&\u003E\u003Cp\u003E现在，你再回头看刚刚的四棱柱的高，“\u003Cb\u003E主视图与俯视图的相同维度：10”\u003C\u002Fb\u003E就不难理解了吧。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E底面积怎么办？——就是“第三视图”，即剩下的那个视图的面积。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cimg src=\&v2-7adb95d78e8b2aa33d462.png\& data-rawwidth=\&835\& data-rawheight=\&596\&\u003E\u003Cp\u003E所以，以上三视图对应的几何体的高\u003Cequation\u003Eh=10\u003C\u002Fequation\u003E，底面积\u003Cequation\u003ES=\\frac{(2+8)\\cdot 4}{2}=20\u003C\u002Fequation\u003E，体积\u003Cequation\u003EV=Sh=200\u003C\u002Fequation\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E总结一下：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cimg src=\&v2-af9a8ee9132e2adb88c37bd.jpg\& data-rawwidth=\&600\& data-rawheight=\&85\&\u003E\u003Cp\u003E（直）柱体三视图口算求体积：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cblockquote\u003E\u003Cb\u003E1、识别几何体：\u003C\u002Fb\u003E\u003Cbr\u003E①有\u003Cb\u003E两个\u003C\u002Fb\u003E视图的外轮廓为\u003Cb\u003E矩形\u003C\u002Fb\u003E\u003Cbr\u003E②“第三视图”为几边形，几何体为几棱柱；“第三视图”为圆形，几何体为圆柱\u003Cbr\u003E\u003Cb\u003E注意事项：\u003C\u002Fb\u003E两矩形外轮廓视图\u003Cb\u003E内部不可以有\u003C\u002Fb\u003E顶点到顶点的\u003Cb\u003E贯穿线\u003C\u002Fb\u003E！\n\u003Cbr\u003E\u003Cb\u003E2、口算求体积：\u003C\u002Fb\u003E\u003Cequation\u003EV=Sh\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E①高\u003Cequation\u003Eh\u003C\u002Fequation\u003E：\u003Cb\u003E两矩形外轮廓\u003C\u002Fb\u003E视图的\u003Cb\u003E相同维度\u003C\u002Fb\u003E\u003Cbr\u003E②底面积\u003Cequation\u003ES\u003C\u002Fequation\u003E：“\u003Cb\u003E第三视图\u003C\u002Fb\u003E”，即剩下的那个视图的面积\u003C\u002Fblockquote\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cimg src=\&v2-cefcddcbf5f32.jpg\& data-rawwidth=\&600\& data-rawheight=\&85\&\u003E\u003Cp\u003E现在，（直）柱体三视图求体积对我们而言，秒杀。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E接下来看看锥体：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cimg src=\&v2-d9e34aed02d641.jpg\& data-rawwidth=\&1107\& data-rawheight=\&742\&\u003E\u003Cp\u003E同样，虽然表格中的锥体比较特殊，但是普通锥体和它们有着相同的特点：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cblockquote\u003E1、有两个视图外轮廓为三角形\u003Cbr\u003E2、几何体为几棱锥，“第三视图”外轮廓就是几边形；几何体为圆锥，“第三视图”外轮廓为圆\u003C\u002Fblockquote\u003E\u003Cp\u003E那么高与底面积呢？同理，我们可以知道：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cblockquote\u003E高是两\u003Cb\u003E三角形外轮廓\u003C\u002Fb\u003E视图的\u003Cb\u003E相同维度\u003C\u002Fb\u003E！\n\u003Cbr\u003E底面积是“\u003Cb\u003E第三视图\u003C\u002Fb\u003E”，即剩余视图的面积\u003C\u002Fblockquote\u003E\u003Cp\u003E所以，举个例子先：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E【例题1】\u003C\u002Fb\u003E一个几何体的三视图如下图所示，则它的体积为__________.\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cimg src=\&v2-f8f0b3ba4c1df33b.png\& data-rawwidth=\&712\& data-rawheight=\&679\&\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E涛哥解析：\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cblockquote\u003E由三视图知，侧视图、俯视图的\u003Cb\u003E外轮廓是三角形\u003C\u002Fb\u003E，所以\u003Cb\u003E几何体为锥体\u003C\u002Fb\u003E；而“第三视图”——正视图\u003Cb\u003E外轮廓是四边形\u003C\u002Fb\u003E，所以几何体为\u003Cb\u003E四棱锥\u003C\u002Fb\u003E。\u003Cbr\u003E高\u003Cequation\u003Eh\u003C\u002Fequation\u003E：侧视图、俯视图的相同维度——弯管宽度：4\u003Cbr\u003E底面积\u003Cequation\u003ES\u003C\u002Fequation\u003E：“\u003Cb\u003E第三视图\u003C\u002Fb\u003E”——正视图的面积：\u003Cequation\u003E\\frac{(1+3)\\cdot 3}{2}=6\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E所以体积：\u003Cequation\u003EV=\\frac{1}{3}Sh=8\u003C\u002Fequation\u003E\u0}