& 直线与圆锥曲线的综合问题知识点 & “已知椭圆C：x2/a2+y2/b2=1（...”习题详情
132位同学学习过此题，做题成功率72.7%
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）过点（√3，√32），椭圆C左右焦点分别为F1，F2，上顶点为E，△EF1F2为等边三角形．定义椭圆C上的点M（x0，y0）的“伴随点”为N（x0a，y0b）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若圆C1的方程为（x+2a）2+y2=a2，圆C1和x轴相交于A，B两点，点P为圆C1上不同于A，B的任意一点，直线PA，PB交y轴于S，T两点．当点P变化时，以ST为直径的圆C2是否经过圆C1内一定点？请证明你的结论；（Ⅲ）直线l交椭圆C于H、J两点，若点H、J的“伴随点”分别是L、Q，且以LQ为直径的圆经过坐标原点O．椭圆C的右顶点为D，试探究△OHJ的面积与△ODE的面积的大小关系，并证明．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：网络
分析与解答
习题“已知椭圆C：x2/a2+y2/b2=1（a＞b＞0）过点（根号3，根号3/2），椭圆C左右焦点分别为F1，F2，上顶点为E，△EF1F2为等边三角形．定义椭圆C上的点M（x0，y0）的“伴随点”为N（x0/a，...”的分析与解答如下所示：
（Ⅰ）利用椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）过点（√3，√32），及椭圆几何量的关系，即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）确定直线PA，PB的方程，可得S，T两点的坐标．当点P变化时，确定以ST为直径的圆C2的方程，令y=0，求得点的坐标，即可判断否经过圆C1内一定点；（Ⅲ）分类讨论，设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合以LQ为直径的圆经过坐标原点O可得：3x1x2+4y1y2=0，从而可得△OHJ的面积，由此可得结论．
解：（Ⅰ）由已知{3a2+34b2=1a2=b2+c2ca=12，解得a2=4，b2=3，∴方程为x24+y23=1…（4分）（Ⅱ）设P（x0，y0）（y0≠0），则(x0+4)2+y02=4．又A（-6，0），B（-2，0），所以lPA：y=y0x0+6（x+6），S（0，6y0x0+6），lPB：y=y0x0+2（x+1），T（0，2y0x0+2）．圆C2的方程为x2+(y-6y0x0+6+2y0x0+22)2=(6y0x0+6+2y0x0+22)2．化简得x2+y2-（6y0x0+6+2y0x0+2）y-12=0，令y=0，得x=±2√3．又点（-2√3，0），在圆C1内，所以当点P变化时，以ST为直径的圆C2经过圆C1内一定点（-2√3，0）…（10分）（Ⅲ）设H（x1，y1），J（x2，y2），则L（x12，y1√3），Q（x22，y2√3）；1）当直线l的斜率存在时，设方程为y=kx+m，代入椭圆方程可得：（3+4k2）x2+8kmx+4（m2-3）=0；有△=48（3+4k2-m2）＞0，x1+x2=-8km3+4k2，x1x2=4(m2-3)3+4k2&①…（12分）由以LQ为直径的圆经过坐标原点O可得：3x1x2+4y1y2=0；整理得：(3+4k2)x1x2+4mk(x1+x2)+4m2=0②将①式代入②式得：3+4k2=2m2∴△＞0，又点O到直线y=kx+m的距离d=|m|√1+k2∴HJ=√1+k2|x1-x2|=√1+k2o4√3|m|2m2所以S△OHJ=12|HJ|d=√3…（14分）2）当直线l的斜率不存在时，设方程为x=m（-2＜m＜2）联立椭圆方程得：y2=3(4-m2)4代入3x1x2+4y1y2=0得3m2-3(4-m2)4=0∴m=±2√55，y=±2√155∴S△OHJ=12|HJ|d=√3综上：△OHJ的面积是定值√3又△ODE的面积也为√3，所以二者相等…（16分）
本题考查椭圆的方程，考查圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．
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已知椭圆C：x2/a2+y2/b2=1（a＞b＞0）过点（根号3，根号3/2），椭圆C左右焦点分别为F1，F2，上顶点为E，△EF1F2为等边三角形．定义椭圆C上的点M（x0，y0）的“伴随点”为N（...
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经过分析，习题“已知椭圆C：x2/a2+y2/b2=1（a＞b＞0）过点（根号3，根号3/2），椭圆C左右焦点分别为F1，F2，上顶点为E，△EF1F2为等边三角形．定义椭圆C上的点M（x0，y0）的“伴随点”为N（x0/a，...”主要考察你对“直线与圆锥曲线的综合问题”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
直线与圆锥曲线的综合问题
直线与圆锥曲线的综合问题．
与“已知椭圆C：x2/a2+y2/b2=1（a＞b＞0）过点（根号3，根号3/2），椭圆C左右焦点分别为F1，F2，上顶点为E，△EF1F2为等边三角形．定义椭圆C上的点M（x0，y0）的“伴随点”为N（x0/a，...”相似的题目：
设椭圆E：（a＞b＞0）过M（2，），N（，1）两点，O为坐标原点，（1）求椭圆E的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|取值范围；若不存在，说明理由．&&&&
过点M（3，-1）且被点M平分的双曲线的弦所在直线方程为&&&&．&&&&
已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点M（0，2）是椭圆的一个顶点，△F1MF2是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=8，证明：直线AB过定点．&&&&
“已知椭圆C：x2/a2+y2/b2=1（...”的最新评论
该知识点好题
1已知双曲线C：x2a2-y2b2=1，若存在过右焦点F的直线与双曲线C相交于A，B 两点且AF=3BF，则双曲线离心率的最小值为（　　）
2已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的离心率为2√33，左、右焦点分别为F1、F2，在双曲线C上有一点M，使MF1⊥MF2，且△MF1F2的面积为．（1）求双曲线C的方程；（2）过点P（3，1）的动直线&l与双曲线C的左、右两支分别交于两点A、B，在线段AB上取异于A、B的点Q，满足|AP|o|QB|=|AQ|o|PB|，证明：点Q总在某定直线上．
3已知方向向量为v=(1，√3)的直线l过点(0，-2√3)和椭圆C：x2a2+y2b2=1&(a＞b＞0)的右焦点，且椭圆的离心率为√63．（1）求椭圆C的方程：（2）若已知点M，N是椭圆C上不重合的两点，点D（3，0）满足DM=λDN，求实数λ的取值范围．
该知识点易错题
1已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的离心率为2√33，左、右焦点分别为F1、F2，在双曲线C上有一点M，使MF1⊥MF2，且△MF1F2的面积为．（1）求双曲线C的方程；（2）过点P（3，1）的动直线&l与双曲线C的左、右两支分别交于两点A、B，在线段AB上取异于A、B的点Q，满足|AP|o|QB|=|AQ|o|PB|，证明：点Q总在某定直线上．
2已知方向向量为v=(1，√3)的直线l过点(0，-2√3)和椭圆C：x2a2+y2b2=1&(a＞b＞0)的右焦点，且椭圆的离心率为√63．（1）求椭圆C的方程：（2）若已知点M，N是椭圆C上不重合的两点，点D（3，0）满足DM=λDN，求实数λ的取值范围．
3已知点F1，F2是双曲线M：x2a2-y2b2=1的左右焦点，其渐近线为y=±√3x，且右顶点到左焦点的距离为3．（1）求双曲线M的方程；（2）过F2的直线l与M相交于A、B两点，直线l的法向量为n=(k，-1)，(k＞0)，且OAoOB=0，求k的值；（3）在（2）的条件下，若双曲线M在第四象限的部分存在一点C满足OA+OB=mF2C，求m的值及△ABC的面积S△ABC．
欢迎来到乐乐题库，查看习题“已知椭圆C：x2/a2+y2/b2=1（a＞b＞0）过点（根号3，根号3/2），椭圆C左右焦点分别为F1，F2，上顶点为E，△EF1F2为等边三角形．定义椭圆C上的点M（x0，y0）的“伴随点”为N（x0/a，y0/b）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若圆C1的方程为（x+2a）2+y2=a2，圆C1和x轴相交于A，B两点，点P为圆C1上不同于A，B的任意一点，直线PA，PB交y轴于S，T两点．当点P变化时，以ST为直径的圆C2是否经过圆C1内一定点？请证明你的结论；（Ⅲ）直线l交椭圆C于H、J两点，若点H、J的“伴随点”分别是L、Q，且以LQ为直径的圆经过坐标原点O．椭圆C的右顶点为D，试探究△OHJ的面积与△ODE的面积的大小关系，并证明．”的答案、考点梳理，并查找与习题“已知椭圆C：x2/a2+y2/b2=1（a＞b＞0）过点（根号3，根号3/2），椭圆C左右焦点分别为F1，F2，上顶点为E，△EF1F2为等边三角形．定义椭圆C上的点M（x0，y0）的“伴随点”为N（x0/a，y0/b）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若圆C1的方程为（x+2a）2+y2=a2，圆C1和x轴相交于A，B两点，点P为圆C1上不同于A，B的任意一点，直线PA，PB交y轴于S，T两点．当点P变化时，以ST为直径的圆C2是否经过圆C1内一定点？请证明你的结论；（Ⅲ）直线l交椭圆C于H、J两点，若点H、J的“伴随点”分别是L、Q，且以LQ为直径的圆经过坐标原点O．椭圆C的右顶点为D，试探究△OHJ的面积与△ODE的面积的大小关系，并证明．”相似的习题。怎样判断方程是双曲线还是椭圆_百度知道
怎样判断方程是双曲线还是椭圆
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x²/b²=1很明显,椭圆方程中没有“-”号,而双曲线有,据此区分二者方程根本在于标准方程的符号双曲线：x²/b²=1椭圆;a-y²/a²+y²&#47
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我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。已知双曲线x2-y2=1的焦点与椭圆x2a2+y2b2=1的焦点重合.且该椭圆的长轴长为4.M.N是椭圆上的动点．(1)求椭圆标准方程,(2)设动点P满足:OP=OM+2ON.直线OM与ON的斜率之积为-12.求证:存在定点F1.F2.使得|PF1|+|PF2|为定值.并求出F1.F2的坐标,(3)若M在第一象限.且点M.N关于原点对称.点M在x轴的射影为A.连接NA 题目和参考答案——精英家教网——
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已知双曲线x2-y2=1的焦点与椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的焦点重合，且该椭圆的长轴长为4，M、N是椭圆上的动点．（1）求椭圆标准方程；（2）设动点P满足：OP=OM+2ON，直线OM与ON的斜率之积为-12，求证：存在定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值，并求出F1，F2的坐标；（3）若M在第一象限，且点M，N关于原点对称，点M在x轴的射影为A，连接NA并延长交椭圆于点B，求证：以NB为直径的圆经过点M．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：向量与圆锥曲线
分析：（1）由双曲线方程求出双曲线的交点坐标，求得椭圆的半焦距，结合已知椭圆的长轴长求得a，则b可求，椭圆方程可求；（2）设出P点M点及N点的坐标，由向量关系得到P、M、N的坐标关系，再由直线OM与ON的斜率之积为-12可得M、N的坐标关系，结合M、N在椭圆上可得P点的轨迹是椭圆，说明|PF1|+|PF2|为定值，并求出F1，F2的坐标；（3）设出M与B的坐标，得到A，N的坐标，由题设知NA和NB的斜率相等，由此得到M与B的坐标的关系，然后结合M，B在椭圆上证出kMN•kMB+1=0，即kMN•kMB=-1，从而证得以NB为直径的圆经过点M．
（1）解：由题设可知：双曲线x2-y2=1的焦点为（±2，0），∴椭圆中的c=2，又由椭圆的长轴为4得&&a=2，故b2=a2-c2=2．故椭圆的标准方程为：x24+y22=1；&&&&&&&&（2）证明：设P（xp，yp），M（x1，y1），N（x2，y2），由OP=OM+2ON可得：xP=x1+2x2yP=y1+2y2&①由直线OM与ON的斜率之积为-12可得：y1y2x1x2=-12，即x1x2+2y1y2=0& ②由①②可得：xP2+2yP2=(x1+2x2)2+2(y1+2y2)2=(x12+2y12)+4(x22+2y22)．∵M、N是椭圆上的动点，故x12+2y12=4，x22+2y22=4．故xP2+2yP2=20，即xP220+yP210=1；由椭圆定义可知存在两个定点F1(-10，0)，F2(10，0)，使得动点P到两定点距离和为定值45；&（3）证明：设M（x1，y1），B（x2，y2），由题设可知x1＞0，y1＞0，x2＞0，y2＞0，x1≠x2，A（x1，0），N（-x1，-y1），由题设可知lAB斜率存在且满足kNA=kNB，∴y12x1=y2+y1x2+x1．③kMN•kMB+1=y1x1•y2-y1x2-x1+1．④将③代入④可得：kMN•kMB+1=2(y2+y1)x2+x1•y2-y1x2-x1+1=(x22+2y22)-(x12+2y12)x22-x12．⑤点M，B在椭圆x24+y22=1，故kMN•kMB+1=(x22+2y22)-(x12+2y12)x22-x12=4-4x22-x12=0．∴kMN•kMB+1=0，kMN•kMB=-1，∴MN⊥MB．因此以NB为直径的圆经过点M．
点评：本题考查了椭圆方程的求法，训练了利用向量关系求得点的坐标之间的关系，解答此题的关键是设出所用点的坐标，充分利用点在椭圆上这一特性，通过整体代换化简，此类问题的解决需要学生具有较强的计算能力和逻辑推理能力，是高考试卷中的压轴题．
练习册系列答案
科目：高中数学
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为12，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+6=0相切．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线L：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点，且kOA•kOB=-b2a2，求证：△AOB的面积为定值．
科目：高中数学
某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：[40，50），[50，60），[90，100）后得到如图的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中实数a的值；（Ⅱ）若该校高一年级共有学生500人，试估计该校高一年级在考试中成绩不低于60分的人数；（Ⅲ）若从样本中数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．
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已知椭圆E：x2100+y225=1的上顶点为A，直线y=-4交椭圆E于点B，C（点B在点C的左侧），点P在椭圆E上．（Ⅰ）求以原点O为顶点，椭圆的右焦点为焦点的抛物线的方程；（Ⅱ）求以原点O为圆心，与直线AB相切的圆的方程；（Ⅲ）若四边形ABCP为梯形，求点P的坐标．
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(3x-y)^2\/x(3x-y)=(3x-y)\/x将x=-8，y=1\/2代入，得原式=7\/64
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椭圆，高手速来
有公共交点;9=1;25+y2&#47求与椭圆x2&#47
4-y^2&#47。代入双曲线方程得x^2&#47，的坐标为4。可以求出双曲线方程a^2=4，求出b^2=12，离心率为2这道题的入手点是有公共焦点，C^2为16
采纳率：33%
求与椭圆x2/25+y2/9=1,有公共交点，且离心率为二的双曲线方程解析：∵椭圆：x^2/25+y^2/9=1∴a^2=25，b^2=9,c^2=a^2-b^2=16∵双曲线与椭圆有公共交点∴双曲线：a^2&=25==&a&=5∵双曲线离心率为2∴c=2a==&b^2=4a^-a^2=3a^2∴双曲线方程为：x^2/a^2-y^2/(3a^2)=1
(0&a&=5)解不唯一令a=3x^2/9-y^2/27=1
a‘=2那么a’=2a‘²-a‘²=16-4=12双曲线方程：x²/4-y²=9c²=a²-b²=16c=4我们知道双曲线c²=16e=c&#47：x²&#47椭圆;=c²=4b’²/9=1a²=25，b²25+y&#178
易知，椭圆焦点为(±4,0)可设双曲线为(x²/a²)-(y²/b²)=1由题设可得a²+b²=16c=4c/a=2解得a=2b²=12∴双曲线方程(x²/4)-(y²/12)=1
求与椭圆x2/25+y2/9=1,有公共焦点，且离心率为e=2的双曲线方程（“交”是“焦”之误吧？)解：椭圆的a=5，b=3，c=4，双线与椭圆有共同焦点，因此双曲线的c=4，离心率e=c/a=4/a=2故双曲线的实半轴a=2，虚半轴b=√(c²-a²)=√(16-4)=√12，故双曲线方程为x²/4-y²/12=1.
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