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2018版高中数学（人教a版）必修2同步教师用书： 第3章 3.3.1 两条直线的交点坐标 3.3.2 两点.
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求直线x-2y+1=o和直线2x-y+3=0距离相等的点的轨迹?谢谢大家,最好有详细的过程.
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设直线x-2y+1=o和直线2x-y+3=0距离相等的点为(x,y),那么根据点到直线的距离公式|x-2y+1|/√(2^2+1^2)=|2x-y+3|/√(2^2+1^2) |x-2y+1|=|2x-y+3| 所以x-2y+1=±(2x-y+3) 即轨迹方程为直线x+y+2=0 或3x-3y+4=0直线x-2y+1=o和直线2x-y+3=0距离相等的点的轨迹为夹在两直线间的两条角平分线
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设点P(c.d)由于两个直线的a^2+b^2都是5，所以只要满足|c-2d+1|=|2c-d+3|两边平方解得3d^2-3c^2-8-10c+2d=0
设这样的点的坐标是(x,y)|x-2y+1|/√(2^2+1^2)=|2x-y+3|/√(2^2+1^2)|x-2y+1|=|2x-y+3|所以x-2y+1=2x-y+3或x-2y+1=-(2x-y+3)即x+y+2=0或3x-3y+4=0
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第9章 第2课时 两直线的位置关系
第九章解析几何第2课时两直线的位置关系? 1．能根据两条直线斜率判定这两条直线平行或垂直或相 交． ? 2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．? 3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．? 请注意 ? 本课知识高考要求难度不高，一般从下面三个方面命题： 一是利用直线方程判定两条直线的位置关系；二是利用两 条直线间的位置关系求直线方程；三是综合运用直线的知识解决诸如中心对称、轴对称等常见的题目，但大都是客观题出现．课前自助餐授人以渔 自助餐题组层级快练课前自助餐? 1．判定两条直线的位置关系? (1)两条直线的平行．k1＝k2 ? ①若l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2?______且 k1＝k2且b1＝b2 b1≠b2 ________，l1与l2重合?______________. l1∥l2 ? ②当l1，l2都垂直于x轴且不重合时，则有 . ? ③若l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则 l1∥l2?A1B2＝A2B1且B1C2≠B2C1，l1与l2重合?A1＝λA2，B1 ＝λB2，C1＝λC2(λ≠0)．? (2)两条直线的垂直． ? ①若l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则 k1?k2＝－1 l1⊥l2?_______________.? ②若两条直线中，一条斜率不存在，同时另一条斜率等于 垂直 零，则两条直线 ．? ③若l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则 A1A2＋B1B2＝0 l1⊥ l2? .? (3)直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2相交的条件是 k 1 ≠k2 _________. 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝ 0相交的条件是 A1B2≠A2B1 .? 2．点到直线的距离 ? 点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)的距离 |Ax0＋By0＋C| 2 2 A ＋ B d＝___________.? 3．两平行线间的距离? 两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝ |C1－C2| 0(C1≠C2)间的距离为d＝_____________. A2＋B2? 4．直线系问题 ? 与Ax＋By＋C＝0平行的直线方程(包括原直线)：Ax＋By＋ λ＝0(λ为待定系数)．? 若所求直线过P(x0，y0)点，且与Ax＋By＋C＝0平行，则方程为：A(x－x0)＋B(y－y0)＝0. ? 与Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程为：Bx－Ay＋λ＝0(λ为待 定系数)．? 若所求直线过P(x0，y0)点，且与Ax＋By＋C＝0垂直，则方 程为：B(x－x0)－A(y－y0)＝0. ? 过A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线方程为：(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，且不包含直线A2x＋B2y＋C2＝0)．? 1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)． ? (1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2?l1∥l2. ? (2)如果两条直线l1与l2垂直，那么它们的斜率之积一定等于－1.? (3)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2 ＝0.|kx0＋b| (4)点 P(x0，y0)到直线 y＝kx＋b 的距离为 2. 1＋k? 答案(1)×(2)×(3)√(4)×? 2．(课本习题改编)过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直 线方程是( )? A．x－2y－1＝0? C．2x＋y－2＝0B．x－2y＋1＝0D．x＋2y－1＝0? 答案A? 3．已知点P在直线x＋2y＝5上，且点Q(1,1)，则|PQ|的最小值为(5 A. 5 3 5 C. 5)8 5 B. 5 2 5 D. 5答案 D? 4．若直线ax＋y＋5＝0与x－2y＋7＝0垂直，则实数a的值为( )1 B.2 1 D．－2A．2 C．－2答案 A? 5．与直线7x＋24y－5＝0平行，并且到它的距离为4的直线 方程是________．? 答案7x＋24y＋95＝0或7x＋24y－105＝0授人以渔题型一 ? 例1两条直线的平行与垂直已知直线：l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0. ? (1)试判断l1与l2是否平行；? (2)l1⊥l2时，求a的值．? 【思路】 运用两条直线平行或垂直的条件求解，要注意 斜率为0或斜率不存在的情形．【解析】(1)方法一：当 a＝1 时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1 不平行于 l2； 当 a＝0 时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1 不平行于 l2； 当 a≠1 且 a≠0 时，两直线可化为 1 a l1：y＝－2x－3，l2：y＝ x－(a＋1)， 1－a 1 ? a ?－ ＝ ， 2 1－a l1∥l2?? 解得 a＝－1. ? ?－3≠－?a＋1?， 综上可知，a＝－1 时，l1∥l2，否则 l1 与 l2 不平行．方法二：由 A1B2－A2B1＝0，得 a(a－1)－1×2＝0. 由 A1C2－A2C1≠0，得 a(a2－1)－1×6≠0.? ?a?a－1?－1×2＝0， ∴l1∥l2?? 2 ? ?a?a －1?－1×6≠0.2 ? a ? －a－2＝0， ?? 2 ? ?a?a －1?≠6?a＝－1.故当 a＝－1 时，l1∥l2，否则 l1 与 l2 不平行．(2)方法一：当 a＝1 时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0， l1 与 l2 不垂直，故 a＝1 不成立； 当 a＝0 时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1 不垂直于 l2； 当 a≠1 且 a≠0 时， 1 a l1：y＝－2x－3，l2：y＝ x－(a＋1)， 1－a 2 a 1 由(－2)? ＝－1?a＝3. 1－a2 方法二：由 A1A2＋B1B2＝0，得 a＋2(a－1)＝0?a＝3.【答案】 (1)a＝－1 时， l1∥l2， 否则 l1 与 l2 不平行 (2)a 2 ＝3探究 1(1)若直线 l1 和 l2 有斜截式方程 l1：y＝k1x＋b1，? ?k1＝k2， l1∥l2?? ? ?b1≠b2，l2：y＝k2x＋b2，则直线 是 k1? k2＝－1.l1⊥l2 的充要条件(2)设 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0， 则 l1∥l2 的必要条件是 A1B2＝A2B1.(不充分)； l1⊥l2?A1A2 ＋B1B2＝0.?思考题1已知两直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，根据下面l1与l2的位置关系，求实数m的值或取值范围．? (1)相交； (2)垂直； (3)平行； (4)重合．【解析】 (1)当 m＝0 时，显然 l1 与 l2 相交； m－2 1 当 m≠0 时，由－m≠－ 3 ，得 m≠－1 且 m≠3. (2)当 m＝0 时，显然 l1 与 l2 不垂直； m－2 1 1 当 m≠0 时，由(－m)? (－ 3 )＝－1，得 m＝2.m－2 1 6 2m (3)若 l1 与 l2 平行，则－m＝－ 3 且－m≠－ 3 ， ∴m＝－1. m－2 1 6 2m (4)若 l1 与 l2 重合，则－m＝－ 3 且－m＝－ 3 ， ∴m＝3.【答案】 (1)m≠－1 且 m≠3 (3)m＝－1 (4)m＝3 1 (2)m＝2题型二 ? 例2距离公式(2015?北京东城区)若O(0,0)，A(4，－1)两点到直线ax＋a2y＋6＝0的距离相等，则实数a＝________. |4a－a2＋6| 6 2 【解析】 由题意，得 2 ＝ ，即 4 a － a a ＋a4 a2＋a4＋6＝± 6， 解之得 a＝0 或－2 或 4 或 6.检验得 a＝0 不合题意， 所以 a＝－2 或 4 或 6.【答案】 －2或4或6? 探究2(1)求点到直线距离时，直线方程一定化成Ax＋By＋C＝0的形式． ? (2)求两平行线间的距离时，一定化成l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0的形式．思考题2已知直线 l1： mx＋8y＋n＝0 与 l2： 2x＋my－1＝0 互相平 行，且 l1，l2 之间的距离为 5，求直线 l1 的方程． m 8 n 【解析】 ∵l1∥l2，∴ 2 ＝m≠ . －1? ?m＝4， ∴? ? ?n≠－2 ? ?m＝－4， 或? ? ?n≠2.(1)当 m＝4 时，直线 l1 的方程为 4x＋8y＋n＝0，把 l2 的 方程写成 4x＋8y－2＝0. |n＋2| ∴ ＝ 5，解得 n＝－22 或 n＝18. 16＋64 所以，所求直线的方程为 2x＋4y－11＝0 或 2x＋4y＋9 ＝0.(2)当 m＝－4 时，直线 l1 的方程为 4x－8y－n＝0，l2 的 方程为 2x－4y－1＝0. |－n＋2| ∴ ＝ 5，解得 n＝－18 或 n＝22. 16＋64 所以，所求直线的方程为 2x－4y＋9＝0 或 2x－4y－11 ＝0. ? 【答案】2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0或? 2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0题型三 ? 例3直线系方程(1)求证：动直线(m2＋2m＋3)x＋(1＋m－m2)y＋3m2＋1＝0(其中m∈R)恒过定点，并求出定点坐标． ? 【证明】 方法一：令m＝0，则直线方程为 ? 3x＋y＋1＝0.① ? 再令m＝1时，直线方程为6x＋y＋4＝0.②? ?3x＋y＋1＝0， ①和②联立方程组? ? ?6x＋y＋4＝0，? ?x＝－1， 得? ? ?y＝2.将点 A(－1,2)代入动直线(m2＋2m＋3)x＋(1＋m－m2)y＋ 3m2＋1＝0 中， (m2 ＋2m＋3)×( －1) ＋(1＋m－ m2)×2＋3m2＋1＝(3－ 1 －2)m2＋(－2＋2)m＋2＋1－3＝0， 故此点 A(－1,2)坐标恒满足动直线方程，所以动直线(m2 ＋2m＋3)x＋(1＋m－m2)y＋3m2＋1＝0 恒过定点 A.方法二：将动直线方程按 m 降幂排列整理，得 m2(x－y ＋3)＋m(2x＋y)＋3x＋y＋1＝0，① 不论 m 为何实数，①式恒为零， ?x－y＋3＝0， ? ∴有?2x＋y＝0， ?3x＋y＋1＝0， ?? ?x＝－1， 解得? ? ?y＝2.故动直线恒过点 A(－1,2)．【答案】 定点A(－1,2)? (2)求经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并 且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线方程． ? 【思路】 (1)先求两条直线的交点坐标，再由两线的垂直关系得到所求直线的斜率，最后由点斜式可得所求直线方程． ? (2)因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，两条直线的斜 率互为负倒数，所以可设所求直线方程为4x－3y＋m＝0， 将两条直线的交点坐标代入求出m值，就得到所求直线方 程．? (3)设所求直线方程为(2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0，即(2 ＋λ)x＋(3－3λ)y＋(1＋4λ)＝0，再利用垂直关系建立λ的方 程，求出λ即可得到所求直线方程．【解析】? ?2x＋3y＋1＝0， 方法一：由方程组? ? ?x－3y＋4＝0，5 ? ?x＝－3， 解得? ?y＝7. ? 95 7 ∴交点为(－3，9)．∵所求直线与 3x＋4y－7＝0 垂直， 4 ∴所求直线的斜率 k＝3. 7 4 5 由点斜式，得 y－9＝3(x＋3)． 故所求直线的方程为 4x－3y＋9＝0.方法二：设所求直线的方程为 4x－3y＋m＝0. 5 ? ?x＝－3， 将方法一中求得的交点坐标? ?y＝7. ? 9 5 7 代入上式得 4? (－3)－3? 9＋m＝0. ∴m＝9.代入所设方程． 故所求直线的方程为 4x－3y＋9＝0.5 7 方法三：∵所求直线过点(－3，9)，且与直线 3x＋4y－7 ＝0 垂直， 5 7 ∴所求直线的方程为 4(x＋3)－3(y－9)＝0， 即 4x－3y＋9＝0.? 方法四：设所求直线的方程为 ? (2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0. ? 即(2＋λ)x＋(3－3λ)y＋1＋4λ＝0.① ? 又因为直线①与3x＋4y－7＝0垂直． ? 则有3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，∴λ＝2. ? 代入①式得所求直线的方程为4x－3y＋9＝0.? 【答案】4x－3y＋9＝0? 探究3在已知位置关系求直线方程时，灵活利用直线系较简便：? 几种常用的直线系方程如下： ? (1)共点直线系方程：经过两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2： A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋ λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中A1B2－A2B1≠0，待定系数λ∈R.在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到A2x＋B2y＋C2＝0，因此它不能表示直线l2.? (2)过定点(x0，y0)的直线系方程为y－y0＝k(x－x0)(k为参数)及x＝x0. ? (3)平行直线系方程：与直线y＝kx＋b平行的直线系方程为y ＝kx＋m(m为参数且m≠b)；与直线Ax＋By＋C＝0平行的直 线系方程是Ax＋By＋λ＝0(λ≠C，λ是参数)．? (4)垂直直线系方程：与直线Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是Bx－Ay＋λ＝0(λ为参数)． ? 如果在求直线方程的问题中，有一个已知条件，另一个条 件待定时，那么可选用直线系方程来求解．?思考题3(1)已知直线(3a－1)x－(a－2)y－1＝0.? ①求证：无论a为何值，直线总过第一象限；? ②若直线不经过第二象限，求a的取值范围． ? 【思路】 ①求出直线系的定点，由定点在第一象限即可证明直线总过第一象限； ? ②当直线的斜率存在时，直线不经过第二象限的充要条件是直线的斜率不小于零，且直线在y轴上的截距不大于零，从而建立参数a的不等式组即可求解；当直线的斜率不存在 时，验证即可．【解析】①方程可化为(－x＋2y－1)＋a(3x－y)＝0. 1 3 可得直线过定点 M(5，5)．? ?－x＋2y－1＝0， 由? ? ?3x－y＝0，因点 M 在第一象限， 故无论 a 为何值直线总过第一象限．1 ②当 a＝2 时，直线为 x＝5，显然不过第二象限； 3a－1 1 当 a≠2 时，方程化为 y＝ x－ . a－2 a－2 ? ?3a－1≥0， ? a－2 直线不经过第二象限的充要条件为? ?－ 1 ≤0， ? ? a－2 解得 a&2. 综上，a≥2 时，直线不经过第二象限．【答案】 ①略②a≥2? (2)求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点， 且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程． ? ?3x＋2y－1＝0， 【解析】 方法一：先解方程组? 得 l1 ， ? ?5x＋2y＋1＝0，3 5 l2 的交点(－1,2)， 再由 l3 的斜率5求出 l 的斜率为－3， 于是由 5 直线的点斜式方程求出 l：y－2＝－3(x＋1)，即 5x＋3y－1＝ 0.? 方法二：∵l1⊥l3，故l是直线系5x＋3y＋C＝0中的一条， 而l过l1，l2的交点(－1,2)，故5×(－1)＋3×2＋C＝0，由此 求出C＝－1，故l的方程为5x＋3y－1＝0.方法三：∵l 过 l1，l2 的交点，故 l 是直线系 3x＋2y－1 ＋λ(5x＋2y＋1)＝0 中的一条，将其整理，得 (3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0. 3＋5λ 5 1 其斜率－ ＝－3.解得 λ＝5. 2＋2λ 代入直线系方程得 l 的方程为 5x＋3y－1＝0.【答案】 5x＋3y－1＝0题型四 ? 例4对称问题已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：? (1)点A关于直线l的对称点A′的坐标； ? (2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程； ? (3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．【解析】(1)设 A′(x，y)，由已知条件得 33 ? ?x＝－13， 解得? ?y＝ 4 . ? 13? ?y＋2×2＝－1， ?x＋1 3 ? y－2 ? x－1 2× 2 －3× 2 ＋1＝0， ? ? 33 4 ∴A′(－13，13)．(2)在直线 m 上取一点，如 M(2,0)，则 M(2,0)关于直线 l 的对称点 M′必在直线 m′上． 设对称点 M′(a，b)，则 ? ?2×?a＋2?－3×?b＋0?＋1＝0， 2 2 ? ? ?b－0×2＝－1， ? ?a－2 36 30 得 M′(13，13)．设直线 m 与直线 l 的交点为 N，则? ?2x－3y＋1＝0， 由? ? ?3x－2y－6＝0，得 N(4,3)．又∵m′经过点 N(4,3)， ∴由两点式得直线 m′的方程为 9x－46y＋102＝0.? (3)方法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取两点， ? 如M(1,1)，N(4,3)，则M，N关于点A(－1，－2)的对称点M′， N′均在直线l′上，? 易得M′(－3，－5)，N′(－6，－7)．? 再由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.方法二：∵l∥l′， ∴设 l′的方程为 2x－3y＋C＝0(C≠1)． ∵点 A(－1，－2)到两直线 l，l′的距离相等， ∴由点到直线的距离公式，得 |－2＋6＋C| |－2＋6＋1| 2 2 ＝ 2 2 ，解得 C＝－9. 2 ＋3 2 ＋3 ∴l′的方程为 2x－3y－9＝0.? 方法三：设P(x，y)为l′上任意一点， ? 则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为 ? P′(－2－x，－4－y)，∵点P′在直线l上， ? ∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，? 即2x－3y－9＝0.33 4 【答案】 (1)A′(－13，13) (3)2x－3y－9＝0(2)9x－46y＋102＝0? 探究4以光线反射为代表的很多实际问题，都可以转化为对称问题，关于对称问题，一般常见的有： ? (1)点关于点的对称问题．利用中点坐标公式易得，如(a，b)关于(m，n)的对称点为(2m－a,2n－b)；? (2)点关于线的对称点．点与对称点的中点在已知直线上， 点与对称点连线的斜率是已知直线斜率的负倒数(仅指斜率 存在的情况，如斜率不存在时较简单)；? (3)线关于线的对称线．一般要在线上取点，可在所求直线 上任取一点，也可在已知直线上取特殊点对称； ? (4)特别地，当对称轴的斜率为±1时，可类似关于y＝x的 对称问题采用代入法，如(1,3)关于y＝x＋1的对称点为(3－1，1＋1)，即(2,2)．?思考题4光线从A(－4，－2)点射出，射到直线y＝x上的B点后被直线y＝x反射到y轴上的C点，又被y轴反 射，这时反射光线恰好过点D(－1,6)，求BC所在的直线方 程． ? 【解析】 作出草图，如图所示，设A关于直线y＝x的对称点为A′，D关于y轴的对称点为D′，? 则易得A′(－2，－4)，D′(1,6)．由入射角等于反射角可得 A′D′所在直线经过点B与C.y＋4 x＋2 故 BC 所在的直线方程为 ＝ . 6＋4 1＋2 即 10x－3y＋8＝0.【答案】 10x－3y＋8＝0? 1．求两直线交点坐标就是解方程组．即把几何问题转化为 代数问题． ? 2．要理解“点点距”、“点线距”、“线线距”之间的联 系及各公式的特点．? 3．注意归纳题目类型．体会题目所蕴含的数学思想方法．如数形结合的思想；方程与函数的思想；分类讨论的 思想．自助餐? 1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为()A．1 C．2答案 DB. 3 D. 5? 2．“a＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直” 的( )? A．充分不必要条件? C．充要条件B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件? 答案C? 3．过点P(1,2)且与原点O距离最大的直线方程为( ? A．x＋2y－5＝0 B．2x＋y－4＝0)? C．x＋3y－7＝0 D．3x＋y－5＝0? 答案 A 解析 要使过点(1,2)的直线与原点距离最大，结合图形2－0 可知该直线与直线 PO 垂直．由 kOP＝ ＝2，则直线 l 的 1－0 1 1 斜率为－2，所以直线 l 的方程为 y－2＝－2(x－1)，即为 x ＋2y－5＝0.? 4．若过点A(4，a)与B(5，b)的直线与直线y＝x＋m平行， 则|AB|＝(A．6 C．2)B. 2 D．不能确定答案 B1 5． 若函数 y＝ax＋8 与 y＝－2x＋b 的图像关于直线 y＝x 对称，则 a＋b＝________.答案 2解析 直线y＝ax＋8关于y＝x对称的直线方程为x＝ay ＋8， 所以x＝ay＋8与y＝－? ?a＝－2， ? ? ?b＝4.1 2x＋b为同一直线，故得所以a＋b＝2.6．已知点M(a，b)在直线3x＋4y＝15上，则 最小值为________．a2＋b2 的? 答案3解析 ∵M(a，b)在直线3x＋4y＝15上，∴3a＋4b＝15. 而 a2＋b2 的几何意义是a，b坐标平面内原点到直线3a＋4b2 215 ＝15上任意一点的距离，所以( a ＋b )min＝ 2 2＝3. 3 ＋4? 7．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2. ? (1)求直线l2的方程； ? (2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积．1 22 125 答案 (1)y＝－3x－ 9 (2) 12解析(1)y′＝2x＋1.直线l1的方程为y＝3x－3.设直线l2过曲线y＝x2＋x－2上的点B(b，b2＋b－2)， 则l2的方程为y＝(2b＋1)x－b2－2. 1 2 因为l1⊥l2，则有2b＋1＝－3，b＝－3. 1 22 所以直线l2的方程为y＝－3x－ 9 .? 1 y＝3x－3， ? ?x＝6， ? (2)解方程? 得? 1 22 5 y＝－3x－ 9 ， ? ? ? y＝－2. ? 1 5 所以直线l1和l2的交点的坐标为(6，－2)． 22 l1，l2与x轴交点的坐标分别为(1,0)，(－ 3 ，0)． 1 25? 5? 125 所以所求三角形的面积为S＝2× 3 ?－2?＝ 12 . ? ?
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求直线2x-4y+z+1=0 3x-y-2z-9=0在平面4x-y+z=1上的投影直线方程.
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2x-4y+z+1=0
3x-y-2z-9=0平面束方程：
（2+3k)x-(4+k)y+(1-2k)z+1-9k=0.①
法向量： n={2+3k,-4-k,1-2k}平面4x-y+z=1:法向量： n1={4,-1,1}
n*n1=13+11k=0k=-13/11代入①：
17x+31y+37z+128=0投影直线方程:17x+31y+37z+128=0
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