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人教版九年级数学《解一元二次方程[公式法]》教案
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人教版九年级数学《解一元二次方程[公式法]》教案
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小学数学解题方法集锦，建议收藏
发布于：<span title=' 20:日 &
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在小学数学解题方法中，运用概念、判断、推理来反映现实的思维过程，叫抽象思维，也叫逻辑思维 抽象思维又分为：形式思维和辩证思维客观现实有其相对稳定的一面，我们就可以采用形式思维的方式；客观存在也有其不断发展变化的一面，我们可以采用辩证思维的方式。形式思维是辩证思维的基础。 形式思维能力： 分析、抽象、判断、综合、概括、比较、推理 辩证思维能力： 联系、发展变化、质量互变律、对立统一律、否定之否定律 小学数学要培养孩子初步的抽象思维能力，重点突出在： （1）思维品质上，应该具备思维的敏捷性、灵活性、联系性和创造性 （2）思维方法上，应该学会拥有条有理，有根有据地思考 （3）思维要求上，思路清晰，因果分明，言必有据，推理严密 （4）思维训练上，应该要求：正确地运用概念，恰当地下判断，合乎逻辑地推理 小学数学是令很多孩子头疼的科目，其实，只要掌握了数学学习的方法和思维，学习过程就变得通透了 1、、对照法 如何正确地理解和运用数学概念？小学数学常用的方法就是对照法。 根据数学题意，对照概念、记忆、法则、名词、术语的含义和实质，依靠对数学知识的理解、辨识、定律、性质、再现、公式、迁移来解题的方法叫做对照法 这个方法的思维意义就在于，训练孩子对数学知识的正确理解、牢固记忆、准确辨识 例1：三个连续自然数的和是18，则这三个自然数从小到大分别是多少？ 对照自然数的概念和连续自然数的性质可以知道：三个连续自然数和的平均数就是这三个连续自然数的中间那个数 例2：判断题：能被2除尽的数一定是偶数 这里要对照“除尽”和“偶数”这两个数学概念。 只有这两个概念全理解了，才能做出正确判断 2、、比较法 通过对比数学条件及问题的异同点，研究产生异同点的原因，从而发现解决问题的方法，叫比较法 比较法要注意： （1）找相同点必找相异点，找相异点必找相同点，不可或缺，也就是说，比较要完整 （2）找联系与区别，这是比较的实质 （3）必须在同一种关系下（同一种标准）进行比较，这是“比较”的基本条件 （4）要抓住主要内容进行比较，尽量少用“穷举法”进行比较，那样会使重点不突出 （5）因为数学的严密性，决定了比较必须要精细，往往一个字，一个符号就决定了比较结论的对或错 例3：填空：0.75的最高位是（），这个数小数部分的最高位是（）、、十分位的数4与十位上的数4相比，它们的（）相同，（）不同，前者比后者小了（） 这道题的意图就是要对“一个数的最高位和小数部分的最高位的区别”，还有“数位和数值”的区别、、 例4：六年级同学种一批树，如果每人种5棵，则剩下75棵树没有种、、如果每人种7棵，则缺少15棵树苗。 六年级有多少学生？ 这是两种方案的比较。 相同点是：六年级人数不变、、相异点是：两种方案中的条件不一样 找联系：每人种树棵数变化了，种树的总棵数也发生了变化 找解决思路（方法）：每人多种7-5=2（棵），那么，全班就多种了75+15=90（棵），全班人数为90÷2=45（人） 3、、公式法 运用定律、公式、规则、法则来解决问题的方法。 它体现的是由一般到特殊的演绎思维。 公式法简便、、有效，也是孩子学习数学必须学会和掌握的一种方法。 但一定要让孩子对公式、规则、定律、法则有一个正确而深刻的理解，并能准确运用 例5：计算59×37+12×59+59 59×37+12×59+59 ＝59×（37+12+1）……运用乘法分配律 ＝59×50……运用加法计算法则 ＝（60-1）×50……运用数的组成规则 ＝60×50－1×50……运用乘法分配律 ＝3000-50……运用乘法计算法则 ＝2950……运用减法计算法则 4、、分析法 把整体分解为部分，把复杂的事物分解为各个部分或要素，并对这些部分或要素进行研究、、推导的一种思维方法叫做分析法 依据：总体全都是由部分构成的 思路：为了更好地研究和解决总体，先把整体的各部分或要素割裂开来，再分别对照要求，从而理顺解决问题的思路 也就是从求解的问题出发，正确选择所需要的两个条件，依次推导，一直到问题得到解决为止，这种解题模式是“由果溯因”。 分析法也叫逆推法。 常用“枝形图”进行图解思路 例6：玩具厂计划每天生产200件玩具，已经生产了6天，共生产1260件。 问平均每天超过计划多少件？ 思路：要求平均每天超过计划多少件，必须知道：计划每天生产多少件和实际每天生产多少件。 计划每天生产多少件已知，实际每天生产多少件，题中没有告诉，还得求出来。 要求实际每天生产多少件玩具，必须知道：实际生产多少天，和实际生产多少件，这两个条件题中都已知 5、、分类法 根据事物的共同点和差异点将事物区分为不同种类的方法，叫做分类法。 分类是以比较为基础的。 依据事物之间的共同点将它们合为较大的类，又依据差异点将较大的类再分为较小的类 分类即要注意大类与小类之间的不同层次，又要做到大类之中的各小类不重复、不遗漏、不交叉 例7：自然数按约数的个数来分，可分成几类？ 答：可分为三类。 （1）只有一个约数的数，它是一个单位数，只有一个数1、（2）有两个约数的，也叫质数，有无数个、（3）有三个约数的，也叫合数，也有无数个 6、、综合法 把对象的各个部分或各个方面或各个要素联结起来，并组合成一个有机的整体来研究、、推导和一种思维方法叫做综合法。 用综合法解数学题时，通常把各个题知看作是部分（或要素），经过对各部分（或要素）相互之间内在联系一层层分析，逐步推导到题目要求，所以，综合法的解题模式是执因导果，也叫顺推法。 这种方法适用于已知条件较少，数量关系比较简单的数学题 例8：两个质数，它们的差是小于30的合数，它们的和即是11的倍数又是小于50的偶数。 写出适合上面条件的各组数 思路：11的倍数同时小于50的偶数有22和44 两个数全都是质数，而和是偶数，显然这两个质数中没有2 和是22的两个质数有：3和19，5和17。 它们的差全都是小于30的合数吗？ 和是44的两个质数有：3和41，7和37，13和31。 它们的差是小于30的合数吗？ 这就是综合法的思路 7、、方程法 用字母表示未知数，并根据、量关系列出含有字母的表达式（、式）。 列方程是一个抽象概括的过程，解方程是一个演绎推导的过程。 方程法最大的特点是把未知数、同于已知数看待，参与列式、运算，克服了算术法必须避开求知数来列式的不足。 有利于由已知向未知的转化，从而提高了解题的效率和正确率 例9：一个数扩大3倍后再增加100，然后缩小2倍后再减去36，得50。 求这个数 例10：一桶油，第一次用去40%，第二次比第一次多用10千克，还剩余6千克。 这桶油重多少千克？ 这两题用方程解就比较容易 8、、参数法 用只参与列式、、运算而不需要解出的字母或数表示有关数量，并根据题意列出算式的一种方法叫做参数法。 参数又叫辅助未知数，也称中间变量。 参数法是方程法延伸、、拓展的产物 例11：汽车爬山，上山时平均每小时行15千米，下山时平均每小时行驶10千米，问汽车的平均速度是每小时多少千米？ 上下山的平均速度不能用上下山的速度和除以2。 而应该用上下山的路程÷2 例12：一项工作，甲单独做要4天完成，乙单独做要5天完成。 两人合做要多少天完成？ 其实，把总工作量看作“1”，这个“1”就是参数，如果把总工作量看作“2、3、4……”都可以，只不过看作“1”运算最方便 9、、排除法 排除对立的结果叫做排除法。 排除法的逻辑原理是：任何事物都有其对立面，在有正确与错误的多种结果中，一切错误的结果都排除了，剩余的只能是正确的结果。 这种方法也叫淘汰法、、筛选法或反证法。 这是一种不可缺少的形式思维方法 例13：为什么说除2外，所有质数全都是奇数？ 这就要用反证法：比2大的所有自然数不是质数就是合数。 假设：比2大的质数有偶数，那么，这个偶数一定能被2整除，也就是说它一定有约数2。 一个数的约数除了1和它本身外，还有别的约数（约数2），这个数一定是合数而不是质数。 这和原来假定是质数对立（矛盾）。 所以，原来假设错误 例14：判断题：（1）同一平面上两条直线不平行，就一定相交。 （错） （2）分数的分子和分母同乘以或同除以一个相同的数，分数大小不变。 （错） 10、、特例法 对于涉及一般性结论的题目，通过取特殊值或画特殊图或定特殊位置、、特例来解题的方法叫做特例法。 特例法的逻辑原理是：事物的一般性存在于特殊性之中 例15：大圆半径是小圆半径的2倍，大圆周长是小圆周长的（）倍，大圆面积是小圆面积的（）倍 可以取小圆半径为1，那么大圆半径就是2。 计算一下，就能得出正确结果 例16：正方形的面积和边长成正比例吗？ 如果正方形的边长为a，面积为s。 那么，s：a=a（比值不定） 所以，正方形的面积和边长不成正比例 11、、化归法 通过某种转化过程，把问题归结到一类典型问题来解题的方法叫做化归法。 化归是知识迁移的重要途径，也是扩展、、深化认知的首要步骤。 化归法的逻辑原理是，事物之间是普遍联系的。 化归法是一种常用的辩证思维方法 例17：某制药厂生产一批防“非典”药，原计划25人14天完成，由于急需，要提前4天完成，需要增加多少人？ 这就需要在考虑问题时，把“总工作日”化归为“总工作量”例18：超市运来马铃薯、西红柿、豇豆三种蔬菜，马铃薯占25%，西红柿和豇豆的重量比是4：5，已知豇豆比马铃薯多36千克，超市运来西红柿多少千克？ 需要把“西红柿和豇豆的重量比4：5”化归为“各占总重量的百分之几”，也就是把比例应用题化归为分数应用题 ---------------e学堂--------------- 在线学习，学生学习的最好帮手 更多精彩内容 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
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痔疮主要是由于肛门周围或直肠下段肿胀和发炎造成的，而芦荟具有消炎的功效，将它的汁液涂抹在患处能够缓解痔疮带来的烧灼、瘙痒和肿胀。你可以用桃金
<span title=' 20:日
13.太阳病，头痛，发热，汗出，恶风，桂枝汤主之。35.太阳病，头痛，发热，身疼，腰痛，骨节疼痛，恶风，无汗而喘者，麻黄汤主之。35.太阳病
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优秀奖东方角鸮“伪装大师”，拍摄地点：奥克弗诺基国家野生动物保护区。优秀奖**大羚“信仰的飞跃”，拍摄地点：马赛玛拉国家公园。一等奖阿尔卑斯
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等宫口开全之后，胎儿才会慢慢往外用力，虽然分娩的时候，胎宝宝也再用力，但是这种用力对于产妇来说，简直就是无尽的折磨，胎宝宝必须要使劲用力才能
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怀孕期间三十四天出血去医院检查，做b超说我是宫角妊娠，把我吓的，不知道怎么办了，我真的很想保住这个孩子，过一周在检查说我这都凸出来了。之后就
<span title=' 20:日
”我想这是很多人正常的想法吧，然而结果却并不是这样，反而出乎意料。即使最爱的家人之间都会有误解，说明沟通、解释可以让爱传达的清楚明白。不愿意
<span title=' 20:日本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.2；用公式法解一元二次方程；教学目标；（1）会用公式法解一元二次方程；；（2）经历求根公式的发现和探究过程，提高学生观察；（3）渗透化归思想,领悟配方法，感受数学的内在美；教学重点；知识层面:公式的推导和用公式法解一元二次方程;；能力层面:以求根公式的发现和探究为载体,渗透化归；教学难点:求根公式的推导.；总体设
本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网 用公式法解一元二次方程
教学目标 （1）会用公式法解一元二次方程； （2）经历求根公式的发现和探究过程，提高学生观察能力、分析能力以及逻辑思维能力； （3）渗透化归思想,领悟配方法，感受数学的内在美.
教学重点 知识层面:公式的推导和用公式法解一元二次方程; 能力层面:以求根公式的发现和探究为载体,渗透化归的数学思想方法.
教学难点:求根公式的推导.
总体设计思路: 以旧知识为起点,问题为主线,以教师指导下学生自主探究为基本方式,突出数学知识的内在联系与探究知识的方法,发展学生的理性思维.
教学过程 整体教学流程：形成表象,提出问题
分析问题,探究本质
得出结论,解决问题
拓展应用,升华提高
归纳小结,布置作业.
形成表象,提出问题
在上一节已学的用配方法解一元二次方程的基础上创设情景.
解下列一元二次方程:(学生选两题做)
22(1)x+4x+2=0 ;
(2)3x-6x+1=0;
22(3)4x-16x+17=0 ;
(4)3x+4x+7=0.
然后让学生仔细观察四题的解答过程,由此发现有什么相同之处,有什么不同之处?
接着再改变上面每题的其中的一个系数,得到新的四个方程:（学生不做,思考其解题过程）
22(1)3x+4x+2=0;
(2)3x-2x+1=0;
22(3)4x-16x-3=0 ;
(4)3x+x+7=0.
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思考:新的四题与原题的解题过程会发生什么变化?
设计意图:1.复习巩固旧知识,为本节课的学习打下更好的基础;
2.让学生充分感受到用配方法解题既存在着共性,也存在着不同的现象,由此激发学生的求知欲望.
分析问题,探究本质
由学生的观察讨论得到:用配方法解不同一元二次方程的过程中,相同之处是配方的过程----程序化的操作,不同之处是方程的根的情况及其方程的根.
进而提出下面的问题:
既然过程是相同的,为什么会出现根的不同?方程的根与什么有关?有怎样的关系?如何进一步探究?
让学生讨论得出:从一元二次方程的一般形式去探究根与系数的关系.
2ax+bx+c=0(a≠0)
注:根据学生学习程度的不同,可
以采用学生独立尝试配方, 合
作尝试配方或教师引导下进行 x+
配方等各种教学形式. (x+)=2
然后再议开方过程(让学生结合前面四题方程来加以讨论),使学生充分认识到2“b-4ac”的重要性.
2当b-4ac≥0时，
注:这样变形可以避免对a正、负的讨论, 21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。
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本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网 x+
便于学生的理解. x=-
2当b-4ac<0时，
方程无实数根.
设计意图:让学生通过经历知识形成的全过程，从而提高自身的观察能力、分析问题和解决问题的能力，发展了理性思维.
得出结论,解决问题
2由上面的探究过程可知,一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a,b,c确2定. 当b-4ac≥0时，
2当b-4ac<0时，方程无实数根.
这个式子对解题有什么帮助?通过讨论加深对式子的理解,同时让学生进一步感受到数学的简洁美、和谐美.
进而阐述这个式子叫做一元二次方程的求根公式,利用它解一元二次方程的方法叫做公式法.
运用公式法解一元二次方程.(设计两个环节:共同练习和独立完成)
[共同练习]
22(1)2x-x-1=0;
(2)4x-3x+2=0 ;
(3)x+15x=-3x;
(4)x-22x+=0. 21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。
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此环节的设计意图:进一步阐述求根公式,归纳总结用公式法解一元二次方程的一般步骤.
[独立完成]
用公式法解一元二次方程:
(1)x+x-6=0;
(2)x-22x-=0;
(3)3x-6x-2=0; 2
22(4)4x-6x=0;
(5)x+4x+8=4x+11;
(6)x(2x-4)=5-8x.
此环节的设计意图:能够熟练运用公式法解一元二次方程,让每位学生都有所收获.
拓展运用，升华提高
分两个环节：用一用和想一想(此环节基于学生课堂掌握的情况而定,可作为课后思考题).
解决本章引言中的问题:
要设计一座2m高的人体雕像,使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以小)的高度比,等于下部与全部的高度比,雕像的下部应设计为多高?
雕像上部的高度AC,下部的高度BC应有如下关系:
设雕像下部高xm,于是得方程 2 x=2(2-x) 221世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。
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本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网 整理得:x+2x-4=0. 解这个方程,得
2x=x1=-1+,x2=-1-. , 精确到0.001,x1≈1.236,x2≈-3.236. 考虑实际意义, x≈1.236.所以雕像下部高度应设计约为1.236m.
在前面的基础上进一步提问: (结合学生的实际情况,可以放在课后思考.) (1)如果雕像的高度设计为3m,那雕像的下部应是多少?4m呢? (2)进而把问题一般化,这个高度比是多少? 之后简单介绍黄金分割数,使学生感受到数学的奥妙.
此环节的设计意图:①运用所学的知识解决实际问题;②能力层面上的拓展----化归思想.
清清和楚楚刚学了用公式法解一元二次方程,看到一个关于x 的一元二次方程2x+(2m-1)x+(m-1)=0, 清清说:“此方程有两个不相等的实数根”,而楚楚反驳说:“不一定，根的情况跟m的值有关”.那你们认为呢?并说明理由.
此环节的设计意图:基于学生基础较好,因此对求根公式作进一步深化,并综合运用了配方法,使不同层次的学生都有不同提高.
归纳小结,布置作业
结合上面用一用,让学生尝试对本节课的知识进行梳理,对方法进行提炼,从而使学生的知识和方法更具系统化和网络化,同时也是情感的升华过程.
作业: (结合学生的实际情况,可以分层布置.)
㈡拓广探索:第12题
㈢阅读思考-----黄金分割数,有兴趣的同学可以上网查阅相关资料,或进一步探究根与系数的其他关系.
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8x&#178;.+10x-3=0 公式法解
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