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根据下列条件，求双曲线方程：（1）与双曲线x29-y216=1有共同的渐近线，且过点（-3，23）；（2）与双曲线x216-y24=1有公共焦点，且过点（32，2）．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）设所求双曲线方程为x29-y216=λ（λ≠0），将点（-3，23）代入得λ=14，所以双曲线方程为x29-y216=14．（2）设双曲线方程为x216-k-y24+k=1，将点（32，2）代入得k=4，所以双曲线方程为x212-y28=1．
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据魔方格专家权威分析，试题“根据下列条件，求双曲线方程：（1）与双曲线x29-y216=1有共同的渐近..”主要考查你对&&双曲线的标准方程及图象&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
双曲线的标准方程及图象
双曲线的标准方程：
（1）中心在原点，焦点在x轴上：；（2）中心在原点，焦点在y轴上：。双曲线的图像：
（1）焦点在x轴上的双曲线的图像 ；（2）焦点在y轴上的双曲线的图像。判断双曲线的焦点在哪个轴上：
判断双曲线的焦点在哪个轴上的方法看未知数前的系数，哪一个为正，焦点就在哪一个轴上．
定义法求双曲线的标准方程:
求动点的轨迹方程时，可利用定义先判断动点的轨迹，再写出方程．平面几何中的定理性质在解决解析几何问题时起着简化运算的作用，一定要注意应用，根据双曲线的定义，到两个定点的距离之差的绝对值是一个常数的点的轨迹是双曲线，可以求双曲线的标准方程，
待定系数法求双曲线的标准方程:
在求双曲线标准方程时，可先设出其标准方程，再根据双曲线的参数a，b，c，e的取值及相互之间的关系，求出a，b的值，已知双曲线的渐近线方程，求双曲线方程时，可利用共渐近线双曲线系方程,再由其他条件求λ．若焦点不确定时，要注意分类讨论．
利用双曲线的性质求解有关问题:
要解决双曲线中有关求离心率或求离心率范围的问题，应找好题中的等量关系或不等关系，构造出离心率的关系式，这里应和椭圆中a，b，c的关系区分好，即 几种特殊的双曲线：
发现相似题
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628956264995570796271469443088406159& “（2014o福建）已知双曲线E：x2/a...”习题详情
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（2014o福建）已知双曲线E：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=-2x．（1）求双曲线E的离心率；（2）如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限），且△OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由．
本题难度：较难
题型：解答题&|&来源：2014-福建
分析与解答
习题“（2014o福建）已知双曲线E：x2/a2-y2/b2=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=-2x．（1）求双曲线E的离心率；（2）如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于...”的分析与解答如下所示：
（1）依题意，可知ba=2，易知c=√5a，从而可求双曲线E的离心率；（2）由（1）知，双曲线E的方程为x2a2-y24a2=1，设直线l与x轴相交于点C，分l⊥x轴与直线l不与x轴垂直讨论，当l⊥x轴时，易求双曲线E的方程为x24-y216=1．当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y=kx+m，与双曲线E的方程联立，利用由S△OAB=12|OC|o|y1-y2|=8可证得：双曲线E的方程为x24-y216=1，从而可得答案．
解：（1）因为双曲线E的渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=-2x，所以ba=2．所以√c2-a2a=2．故c=√5a，从而双曲线E的离心率e=ca=√5．（2）由（1）知，双曲线E的方程为x2a2-y24a2=1．设直线l与x轴相交于点C，当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|=a，|AB|=4a，所以12|OC|o|AB|=8，因此12ao4a=8，解得a=2，此时双曲线E的方程为x24-y216=1．以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E的方程为x24-y216=1也满足条件．设直线l的方程为y=kx+m，依题意，得k＞2或k＜-2；则C（-mk，0），记A（x1，y1），B（x2，y2），由{y=kx+my=2x得y1=2m2-k，同理得y2=2m2+k，由S△OAB=12|OC|o|y1-y2|得：12|-mk|o|2m2-k-2m2+k|=8，即m2=4|4-k2|=4（k2-4）．因为4-k2＜0，所以△=4k2m2+4（4-k2）（m2+16）=-16（4k2-m2-16），又因为m2=4（k2-4），所以△=0，即直线l与双曲线E有且只有一个公共点．因此，存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为x24-y216=1．
本题考查双曲线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想．
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（2014o福建）已知双曲线E：x2/a2-y2/b2=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=-2x．（1）求双曲线E的离心率；（2）如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l...
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“（2014o福建）已知双曲线E：x2/a...”的最新评论
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分析：（I）设切点P的坐标，根据双曲线E的渐近线y=bax与抛物线C相切，及P在抛物线C：y=x2+1上，即可求点P的坐标及双曲线E的离心率；（II）利用点到直线的距离公式，求得△PAB的高，根据△PAB的面积为403，求出a的值，即可求双曲线E的方程．解答：解：（I）设切点P的坐标为(x0，x20+1)，则切线的斜率为(x2+1)′|x=x0=2x0…（1分）因为双曲线E的渐近线y=bax与抛物线C相切，所以2x0=ba①又x20+1=bax0②由①、②消去x0得：(b2a)2+1=b22a2，即b2=4a2，…（3分）又c2=a2+b2，所以c2-a2=4a2，c2=5a2，即e2=c2a2=5，e=5．…（4分）由①、②还可得x20+1=2x20，即x0=±1，又P在第一象限，从而切点P的坐标为（1，2）…%分（II）由（I）得l1的方程为y=2x，点F的坐标为(5a，0)，双曲线E的方程为4x2-y2=4a2．因为l1⊥l2，所以l2的方程为y=-12(x-5a)．由y=-12(x-5a)4x2-y2=4a2消去y得：15x2+25ax-21a2=0．从而xA+xB=-2515a，xAxB=-75a2．故|AB|=1+(-12)2•(xA+xB)2-4xAxB=54•(-2515a)2+285a2=83a．…（7分）由点到直线的距离公式得△PAB的高h=|a-5|．…（8分）所以△PAB的面积S=43a|a-5|=403．当0＜a＜5时，a(a-5)=10，即a2-5a+10=0，无实数解；当a≥5时，a(a-5)=10，即a2-5a+10=0，解得a=25或a=-5（舍去）…（11分）故a=25，b=2a=45，所以所求方程为x220-y280=1．…（12分）点评：本题考查导数知识的运用，考查双曲线的几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．
科目：高中数学
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