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函数连续性的本质
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复变函数 - 解析函数在无穷远点的性质
解析函数在无穷远点的性质李元玉重庆水利电力职业技术学院重庆永川４０２１６０摘要：无穷远点作为解析函数的奇点的分类及其判定方法，给出含无穷远点的区域的柯西积分定理、积分公式，为下一步讨论函数在无穷远点处的留数计算做准备．关键词：解析函数无穷远点奇点ｌ问题的提出无穷远点是解析函数的孤立奇点时，它的分类及其类型判定为函数在无穷远点处的留数计算提供了理论依据，而无穷远点处的留数计算及其相关定理是解决复变函数“大范围”的积分计算的有力工具。所以，本文研究解析函数在无穷远点的性质及其分类。２解析函数的定义２．１解析函数的定义定义２．１Ⅲ如果函数Ｗ＝厂（ｚ）在区域Ｄ内可微，则称厂（ｚ）为区域Ｄ内的解析函数，或称厂（ｚ）在区域Ｄ内解析．２．２奇点的定义定义２．２‘２１若函数厂（ｚ）在点Ｚｏ不解析，但在ｚ０的任一邻域内总有／（ｚ）的解析点，则称ｚｏ为函数厂（ｚ）的奇点．奇点分为孤立奇点和非孤立奇点两类，而孤立奇点根据函数在奇点去心邻域内洛朗展式主要部分的项数又可以分为三类：可去奇点（主要部分为Ｏ）；极点（主要部分为有限多项）；本质奇点（主要部分为无限多项）．例２．１判定函数厂（ｚ）：―ｓｉｎ―ｚ的奇点及其类型．。Ｚ解――在ｚ平面上只有ｚ＝为孤立奇点，在解些在ｚ平面上只有ｚ：０为孤立奇点，在Ｚ其去心邻域０＜㈦＜＋∞内的洛朗展式为一ｓｉｎｚ：争盟ｚ加：１一￡－卜ＩＦ－．，一＝７一Ｚ＝－…??‘ｚ名（２ｎ＋１）１３１因其主要部分为ｏ。故ｚ：Ｏ为些的可去奇点．Ｚ３解析函数在无穷远点的性质３．１无穷远点的引入在复分析巾，我们讨论的函数在自变量趋于一个定点时，函数值可能趋于无穷大．为了讨论这种情况，我们盔壁堇团２０１０年第０２期万方数据ｌｏｏ＝一．Ｏ同时规定它和有限数的运算关系如下：（加减法）ａ±ｏＯ＝ｏｏ±ａ＝∞（口≠０），（乘法）ａｘＧＯ＝∞×ａ∞≠Ｏ），（除法）旦：Ｏ，竺：ｏｏ∞（口≠０），口在此定义下ｏｏ±∞，Ｏｘ∞，ｏｏ×０，一００无意义．ｏｏ由于在复平面上没有对应无穷远点的位置，因此在性质：（１）∞的实部．虚部及辐角都无意义，Ｈ－＇４＂００；（２）复平面上每一条直线都通过点ＧＯ，同３．２无穷远点作为奇点的分类由于任一函数／（ｚ）在∞处无意义，所以点∞总定义３．１【３１设函数／（ｚ）在无穷远点的去心邻域Ⅳ一｛ｏｏ）：ｏ≤，．＜Ｈ＜Ｇｏ内解析，则称∞为厂（ｚ）若Ｗ＝厂（ｚ）在ｚ平面上有一列趋于无穷远点的．例３．１讨论ｗ：｝乏的奇点∞的类型．１十Ｐ解：此函数因分母不能为Ｏ，故有奇点在复数域Ｃ中引入符号ＧＯ表示无穷大，并且约定复平面上引入一个“理想点”与无穷大对应，称之为无穷远点，仍记为∞，且把复平面加上点∞后称为扩充复平面，常记作Ｑ，ｃ：＝ｃ＋｛００｝．另外扩充复平面的几何模型是复球面，且北极Ⅳ与复平面上的无穷远点相对应．时没有一个半平面包含点∞．是厂０）的奇点．的一个孤立奇点，否则为非孤立奇点．奇点，则∞为厂（ｚ）的非孤立奇点．气阐翎疆ｚ＝（２ｋ＋１）ｎ＇ｉ（ｋ＝０，±１，±２，±３…）和ｚ＝ｏＯ．由于有限奇点（它们各为一阶极点）以∞为极限，故∞为此函数的非孤立奇点．设∞为厂（ｚ）的孤立奇点，厂（ｚ）在无穷远点的去心邻域Ｎ－｛ｏｏ｝：ｏ≤，．＜ｌｚＩ＜∞内的洛朗展式为／ｏ）＝∑ｃ．ｚ“，在式冲ｉＦ．幂部分ｑｚ＋ｃ２２２＋…４－ＣｎＺ”＋…称为ｆ（ｚ）在ｚ＝∞的主要部分，非正幂部分ｃｏ＋Ｃｚ－＿＿Ｌ＋争＋…＋量．卫＋…称为厂（ｚ）在ｚ＝００的正则部分．定义３．２设ｏｏ为函数／（ｚ）的孤立奇点．（１）若ｆ（ｚ）在点００的主要部分为零，则称ｚ＝ｏＯ为ｆ（ｚ１的可去奇点；（２）若厂（ｚ）在点００的主要部分为有限多项，设为ＣＩＺ－Ｉ－Ｃ２２２＋…＋ｃ埘ｚ”（％≠０），则称ｏｏ为ｆ（ｚ）的ｍ阶极点；（３）老ｉｆ（ｚ）在点００的主要部分有无限多项，则称００为厂（ｚ）的本质奇点．注：若００为厂（ｚ）的可去奇点，我们定义ｆ（ｏｏ）＝ｌｉｍｆ（ｚ）＝ｃｏ，则ｆ（ｚ）在ｏｏ处解析．２０Ⅻ３．３解析函数在无穷远点的性质根据定义３．２，不难得到定理３．１函数ｆ（ｚ）的孤立奇点ｚ＝∞为可去奇点的充要条件是下列条件之一成立：（１）ｌｉｍｆ（ｚ）＝ｂ（ｂ≠ｏｏ）；（２）令ｚ’＝二，ｚ’＝０为Ｚ缈（ｚ’）＝厂（÷）＝－厂（ｚ）的可去奇点；（３）／（ｚ）在ｚ＝００的某去心邻域Ⅳ一｛ｏｃｊ内有界．三例如，ｌｉｍｅａ＝１，所以ｚ＝ｏｏ为函数上／（ｚ）＝ｅ，的可去奇点．定理３．２函数厂（ｚ）的孤立奇点ｚ＝００为ｍ阶极点的充要条件是下列条件之一成立：（１）令ｚ，＝二，７＝０为万方数据伊（ｚ’）＝厂一）＝ｆ（ｚ）的川阶极点；（２）厂（ｚ）在ｚ＝００的某去心邻域Ⅳ一００｝内能表成厂（ｚ）＝，?ｕ（ｚ），其中∥（ｚ）在ｚ＝（３０的邻域Ｎ内解析，且∥（ｏｏ）≠０；（３）ｇ（ｚ）２高牝锄加孵肌照令ｇ（ｏ。）＝０）．注：∞为／（ｚ）的极点的充要条件是ｌｉｍｆ（ｚ）＝∞．例３２试确定函数厂。）＝三拿｛芋的奇点∞的类型．舢ｆ（ｚ）＿ｚ?等，设ｚ‘＋ｊ肿）＝等，叫蛐ｚ一的邻域内解析Ｒｌｉｍ，ｕ（ｚ）＝１，所以ｚ＝００为１阶极点．定理３．３函数／（ｚ）的孤立奇点ｚ＝００为本质奇点的充要条件是下列条件之一成立：（１）ｌｉｍｆ（ｚ）不存在；（２）令ｚ，：三，２，：ｏ为认ｚ，）：／―ｏ：／（ｚ）的本质奇点．例３．３试确定函数厂（ｚ）＝半的奇点∞的类型．解：令ｚ＝扣争ｚ“ｚｃｏｓ专，其在ｚ’＝０的空心邻域内的展式为砖，＝刍一击?专＋击?专一它的主要部分为无穷多项，故ｚ＝ｏＯ为厂（ｚ）的本质奇点．定理３．４（含点ｏｏ的区域的柯西积分定理）设Ｃ是一条周线，区域Ｄ是Ｃ的外部（含点００），厂（ｚ）在Ｄ内解析且连续到Ｃ；Ｘｉ殴ｌｉｍｆ（ｚ）＝Ｃｏ≠ｏｏ，则团查型塑２０１０年第０２期酗疆强未理矿芴１Ｌｍ）比２＿，这里ｃｏ及Ｑ】是／（ｚ）在无穷远点去心邻域内的洛朗展式的系数．证明：由已知有厂（ｚ）在００解析，又ｌｉｍｆ（ｚ）＝ｃｏ≠ｏｏ，所以００为可去奇点；设，．充分大，使ｃ及其内部全含于圆周ｒ：Ｈ＝，．的内部（图１），则得点００的去心邻域：０＜，．＜ｌｚＩ＜＋ｏｏ．ｆ（ｚ）在其内展成洛朗级数，设为弛）＝ｃｏ＋粤＋．．．＋鲁＋．．?（ｃｏ，－Ｉ为ｏ）．因工一厂（ｚ）ｄｚ＝－２ｚｉ．ｃ－ｌ，所以芴１Ｌ，（ｚ）出＝一ｑ，再就复围线Ｆ＋Ｃ一（图１）应用柯西积分定理有：ＪＩ厂（ｚ弦＋￡一厂（ｚ）ｄｚ＝０，￡一厂（ｚ）龙２工一／（ｚ）出，土２ｚｉＬ厂（ｚ）出＝芴１￡一／（ｚ）龙＝一ｃ．。．ｒ图１定理３．５（含点ｏＯ的区域的柯西积分公式）假设条件同定理３．４，则一１７２；ｒｉＰｆ塑必：』弛）一／（ｏＤ），ｚ三Ｄ；ｆ－－ＺＩ－ｆ（ｍ），ｚ正Ｄ．这里Ｃ一表示的方向，含点∞的区域Ｄ恰在一人沿它前进的方向．证明：１）设ｚ∈Ｄ，以ｚ为心作充分大的圆周Ｆ，：ｌｆ―ｚＩ＝ｒ，使Ｃ及其内部全含于Ｉ＇，的内部（图２），Ｌ＝Ｆ．＋Ｃ一构成一复围线．则应用有界区域的柯盔型堇囝２０１０年第０２期万方数据去正磐咖他，．／（ｆ）在ｏ＜，．＜ｌｆ―ｚｌ＜＋∞（这里以ｚ为中心的点∞的去心邻域）内的洛朗展式可设为八们＿ｃｏ＋盖扣“＋南扣一（Ｃｏ可为Ｏ），由此可得上２ｎ＇／ｆｚ磐Ｚ＝上２ｘ／￡謦督删二玉ｚ（一毒ｚｅ―Ｚ１、。、。当ｚ∈Ｄ，有芴上ｆｆｆ（一Ｏｚ．，勿１￡ｆ２戚工＜一Ｚ。２７疽ｆｚ＜一ｆｆ（一Ｏｄ，Ｚ。ｆ＋』２ｍ￡筮西，℃＜一ｚｉ所以去￡磐咖ｍＨ（咄图２２）ｚ萑Ｄ一（即Ｚ在图２中的阴影部分），有去￡篾咖。，所以上ｒ丝彤：一小）．２ｚｉ．ｋ－－亡一Ｚ；。、’参考文献：【ｌ】钟玉泉．复变函数论［Ｍ】．北京：高等教育出版社，２００５年版．【２】陈广锋．无穷远点作为解析函数奇点时的讨论们．西安教育学院学报，２０００（３）．作者简介：李元玉，女，重庆市合川区人，本科学历，副教授，主要从事高等数学的教学与研究。解析函数在无穷远点的性质作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：李元玉重庆水利电力职业技术学院,重庆永川,402160大科技?科技天地SUPER SCIENCE2010，\0次 参考文献(2条) 1.钟玉泉 复变函数论 20052.陈广锋 无穷远点作为解析函数奇点时的讨论 2000(3) 相似文献(6条)1.期刊论文 杨硕.李东临 复调和函数及其在无穷远点的性质 -北京石油化工学院学报)
借助于双解析函数和复调和函数对有源(或有旋)的物理场进行了讨论,同时对复调和函数在无穷远点的性质也进行了讨论,揭示出有界区域上复调合函数的两类表示式之间的关系.2.期刊论文 杨秀玲.李延.YANG Xiu-ling.LI Yan 在含∞区域上解析函数的复积分计算 -高师理科学刊)
给出了在含区域上解析函数的复积分计算的2个定理,进而得到复积分计算的2种简便方法.3.期刊论文 刘杰.谢t 留数的计算 -科教文汇2008,\
本文我们主要研究了一些解析函数f(z)在孤立奇点留数的计算,其中孤立奇点包括z0(≠∞)与无穷远点∞,我们主要介绍了无穷远点留数计算的一些常用方法和惯用技巧,并进行了一些总结.4.期刊论文 袁文俊.江秋煜.YUAN Wen-Jun.JIANG Qiu-yu 关于无穷远点处的残数计算公式 -广州大学学报（自然科学版）)
给出了函数f(z)以无穷远点为n级极点的残数计算公式,举例说明运用所给公式的优越性.5.期刊论文 王见勇 无穷远点的留数计算及留数定理的推广 -高等数学研究)
利用求极限的方法可计算复变函数在无穷远点的留数;留数定理可推广到扩充复平面上无界集合的情形和围线所围区域内具有无穷多个奇点或具有非孤立奇点的情形.6.学位论文 王晓莺 单位圆外的特殊单叶函数 2004
定义在单位圆外的解析函数,以无穷远点为一级极点,留数为1的单叶函数全体形成一族,记为∑.∑中的函数f(z)关于∞具有Laurent展开式f(z)=zb+∑ /,|z|>1.该文正是针对∑族上的一致凸及一致星函数进行论证,利用展开式中系数来判断函数是否属于一致凸或一致星函数.单位圆内用系数来判断的这类问题已有研究,作者现在来做单位圆外的这一问题,目前还没有人研究.
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第3节 解析函数在无穷远点的性质
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