【图文】用正交变换化二次型为标准型_百度文库
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用正交变换化二次型为标准型
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用正交变换,x=py,将二次型f(x1 x2 x3)=2x1x3化为标准型并写出标准型及所用的正交
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直接看出.X1=（1/√2）（Y1-Y3）,X2=Y2,X3=（1/√2）（Y1+Y3）.f(x1 x2 x3)=2x1x3＝Y1²-Y3² 即P＝ 1/√2 .0 .-1/√2 0 .1 .0 1/√2 .0 .1/√2 X=PY.X＝（X1,X2,X3）′,Y＝（Y1,Y2,Y3）′.得到：f＝y1²-y3.（这是一个非常常用的正交变换,请记住.）
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1 0 10 2 01 0 1|A-λE|=-λ(2-λ)^2A的特征值为 2,2,0(A-2E)X=0 的基础解系为 a1=(0,1,0)',a2=(1,0,1)' --已正交AX=0 的基础解系为 a3=(1,0,-1)'.单位化得:b1=(0,1,0)',b2=(1/√2,0,1/√2)',b3=(1/√2,0,-1/√2)'令 P=(b1,b2,b3),则P为正交矩阵,X=PY 为正交变换f = 2y1^2+2y2^2.
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二次型f的矩阵A=0 1 11 0 -11 -1 0|A-λE| =-λ 1 11 -λ -11 -1 -λr1+r2-λ+1 -λ+1 01 -λ -11 -1 -λc2-c1-λ+1 0 01 -λ-1 -11 -2 -λ= (1-λ)[-λ(-λ-1)-2]= (1-λ)(λ^2+λ-2)= (1-λ)(λ+2)(λ-1)所以A的特征值为λ1=λ2=1,λ3=-2.(A-E)X=0 的基础解系为:a1=(1,1,0)',a2=(1,0,1)'.正交化得 b1=(1,1,0)',b2=(1/2)(1,-1,2)'单位化得 c1=(1/√2,1/√2,0)',c2=(1/√6,-1/√6,2/√6)'(A+2E)X=0 的基础解系为:a3=(-1,1,1)'单位化得 c3=(-1/√3,1/√3,1/√3)'令P = (c1,c2,c3),则 P 为正交矩阵正交变换 Y=PXf = y1^2+y2^2-2y3^2.
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2 0 00 3 10 1 3|A-λE|=(2-λ)[(3-λ)^2 - 1] = (2-λ)^2(4-λ)所以A的特征值为 2,2,4(A-2E)x=0 的基础解系为 a1=(1,0,0)^T,a2=(0,1,-1)^T(A-4E)x=0 的基础解系为 a3=(0,1,1)^T已正交.单位化构成正交矩阵P=1 0 00 1/√2 1/√20 1/√2 -1/√2f = 2y1^2+2y2^2+4y3^2
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