解读《三体》:8. 繁星无法超越：庞加莱与三体运动问题 - Article - JIJITANG
请输入邮箱地址
通过手机找回密码
我们已发送邮件到你的邮箱，请按邮件步骤完成密码重置
请输入正确的手机号
请输入正确的验证码
通过邮箱找回密码
请输入正确的手机号
验证码错误
通过邮箱登录
错误的用户名／密码组合！
请填写用户名和密码
手机快速登录
抱歉，请输入一个正确的手机号码！
抱歉，手机号码已被使用！
抱歉，验证码错误！
发送验证码
用邮箱注册
您已成功注册为：
使用手机号注册
解读《三体》:8. 繁星无法超越：庞加莱与三体运动问题
23 Sep 2016
题图：繁星无法超越（Nunquam praescriptos transibunt sidera ）解读《三体》:8. 繁星无法超越：庞加莱与三体运动问题“你不知道庞加莱吗？”汪淼打断魏成问。庞加莱，旧译为“彭家勒”，少数译为“邦卡雷”。在庞加莱之后，刘慈欣加了注解：“十九世纪法国数学家，曾证明了三体问题在数学上不可解，并从三体问题出发，在微分方程问题上创造了新的数学方法。”& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & 最渊博的科学大师：庞加莱首先，我在这里必须指出：庞加莱出生于1854年，去世于1912年，活跃时期在年间，因此他被公认为“十九世纪二十世纪之交”的人，而非十九世纪的人。他的身份也决不仅仅是数学家。他的完整身份是：人类历史上最伟大的数学家之一、当时理论物理与数学物理所有分支的一流专家、爱因斯坦相对论的先驱、最伟大的天体力学家之一、著名的科学哲学家、散文家。他是人类有史以来最渊博的科学家，没有之一。物理方面，这里仅提他在相对论方面的工作。这方面他的多个工作领先爱因斯坦，如相对论的基础之一的“光速不变原理”，庞加莱比爱因斯坦早5年就已经发表；爱因斯坦证明洛伦兹变换构成一个群，庞加莱在此前几个月给洛伦兹本人的信中就已经证明，在电磁学中保留相对性原理，庞加莱也已经提出。爱因斯坦直到晚年才勉强承认庞加莱是相对论先驱。在数学方面，庞加莱被著名的苏格兰数学家与科幻作家贝尔&(Eric Temple Bell, 1883 – 1960)誉为“最后一个数学全才”，这个称谓得到了多数人的公认（也有人分别认为外尔、冯诺依曼、柯尔莫哥洛夫为最后一个全才数学家）。庞加莱对当时数学的所有分支都作出决定性贡献，开创了自守函数论、微分方程定性理论、代数拓扑学，后两个工作至今仍有极其深远的影响，代数拓扑学与微分几何的结合，又促使几何拓扑学蓬勃发展。此外，他与哈托格斯一起创立了多变量复变函数论，这个领域与微分几何相结合，又形成了复几何这个优美深刻的学科。他深化了“黎曼曲面”理论，与克贝先后证明了“庞加莱-克贝定理”，被誉为最优美的数学定理之一。他在非线性力学方面的工作被伯克霍夫继承发展，形成了蓬勃发展的“动力系统”理论。他对数论、代数学、代数几何也有很大的贡献。他在1904年提出的一个猜想被称为“庞加莱猜想”，这个猜想后来被推广，到其原始形式的猜想一直困扰拓扑学的第一流专家，被列为七大世纪难题，悬赏百万美元，直到年才被佩雷尔曼证明（但是他拒绝了百万美元的奖金），解决这个猜想的种种努力，极大地推动了几何拓扑学的发展。在天体力学方面，他研究了旋转流体的形状与稳定性。更重要的是，他为研究三体运动问题而发展出一整套最先进的数学工具（微分方程定性理论），首次发现了确定性系统内部的不确定运动（所谓的“混沌（chaos）”），对非线性物理学、非线性力学乃至于气象学、生物学都形成巨大的冲击与促进。在科学哲学方面，庞加莱著述宏丰，《科学与假设》、《科学的价值》、《科学与方法》都是科学哲学的名著。他继承了康德、马赫等人的哲学思想并自成体系，创立“约定主义”哲学，虽然被苏联、东欧与极左时期的中国所抹黑，却丝毫无损其思想的光辉。当汪淼问魏成是否知道庞加莱时，魏成回答：“当时不知道，学数学的不知道庞加莱是不对，但我不敬仰大师，自己也不想成大师，所以不知道。但就算当时知道庞加莱我也会继续对三体问题的研究。全世界都认为这人证明了三体问题不可解，可我觉得可能是个误解，他只是证明了初始条件的敏感性，证明了三体系统是一个不可积分的系统，但敏感性不等于彻底的不确定，只是这种确定性包含着数量更加巨大的不同形态，现在要做的是找到一种新的算法。当时我立刻想到了一样东西：你听说过‘蒙特卡洛法’吗？哦，那是一种计算不规则图形面积的计算机程序算法，具体做法是在软件中用大量的小球随机击打那块不规则图形，被击中的地方不再重复打击，这样，达到一定的数量后，图形的所有部分就会都被击中一次，这时统计图形区域内小球的数量，就得到了图形的面积，当然，球越小结果越精确。”庞加莱像（来源：wiki百科，Poincare 词条）魏成说的是对的，庞加莱证明的是三体运动的微分方程不可积分，也就是说没有解析解，无法表达成一个代数式甚至超越数的形式，但可以用数值解。尽管庞加莱那时候还没有计算机，但后人在有了计算机之后，利用计算机强大的计算功能，给出了海量巨大的计算，不仅得到了其他形式的特解（类似于欧拉与拉格朗日的特解）以一般情况下的数值解，画出了大量图。所以魏成说：“是的，我是到后来才听说这个名词。这种算法的特点就是海量计算，计算量超级巨大，对于三体问题，现有的计算机是不行的。”然而事实上，现在的计算机是可以计算出数值解的，至于解析解，任何计算机都是不行的，而不仅仅是现代的计算机。魏成采用了“研究三体运动的任何一个时间断面，在这个断面上，各个球的运动矢量有无限的组合，……”这其实就是当年庞加莱采用的“庞加莱截面”，通过庞加莱截面，可以将抽象的多维空间降低一维。如果一个物体做周期运动，在截面上留下的就是一个点。如果不是周期运动，而是在抽象空间中绕着一个轮胎表面（或者救生圈表面）运动，经过无数次环绕运动，轨迹线密密麻麻爬满轮胎表面，那么手捏着轮胎，一刀切下去，让轮胎出现一个圆形截口，想象轨迹线通过这个刀的情况会是什么？很显然，因为之前轨迹线密密麻麻爬过轮胎所有地方，所以截面上的点是一圈圆圈。这样的轨迹运动就是“拟周期运动”，这是KAM理论中极为重要的概念。庞加莱截面（来源：wiki百科，Poincare mag 词条）毫无疑问，是庞加莱将三体运动的研究推向了第一个最高峰。因此这一部分，我将介绍庞加莱生平、成就，以及他如何证明“三体问题在数学上不可解”，如何“从三体问题出发，在微分方程问题上创造了新的数学方法”。天体力学从牛顿开始，以牛顿证明行星绕日运动处于平面上的椭圆轨道为第一个巅峰；以年间庞加莱相继出版出版的三卷本巨著《天体力学新方法》（Les Méthodes Nouvelles de la Mécanique Céleste，英文版为New Methods of Celestial Mechanics，译者为L·D·Goroff，1993）为以庞加莱为第二个巅峰，这套不朽的巨著开创了天体力学的新局面，并对直到现在的天体力学、非线性物理、动力系统理论和微分方程领域产生极其深远的影响。因为牛顿与庞加莱的耀眼光辉，苏联数学大师、KAM理论三巨头之一的阿诺德（Vladimir Igorevich Arnold, 日–日）在《数学科学与天体力学300年》说：“从惠更斯和牛顿的天才发现到黎曼和庞加莱将数学几何化，其间长达200年的时期似乎成了只不过充满了各种计算的数学沙漠。”（原载于《数学传播》第十三卷第四期。高非译，王继海校）& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &庞加莱的早期成就庞加莱于日出生于法国南锡（Nancy）。南锡盛产科学精英。庞加莱的父亲莱昂·庞加莱（Léon Poincaré）是南锡医科大学医学院教授和一个著名的医生，庞加莱的爷爷是拿破仑时代的一个医生，有两个儿子，长子为庞加莱父亲，次子即庞加莱叔叔安托万（Antoine，Poincaré)，曾经担任国家道路桥梁部的检查官。安托万的的两个儿子中，雷蒙·庞加莱（Raymond Poincaré）曾担任总理兼外交部长，并于1913年1月-1920年初间任法兰西第三共和国第九任总统，在此前的1911年与此后的1922年、1928年都曾组阁。吕西安·庞加莱（Lucien Poincaré）一度担任法国民众教育与美术部长。庞加莱从小高度近视，所以他听课是真的是在“听”课，因为他即使坐在最前排也看不清黑板，有人认为这使得他的记忆力得到锻炼，实际上，正因为他记忆力超人，所以才能够以这种方式完成学业并获得优异成绩。只要他读过的文字，他就能准确地说出这些文字在某本书的第几页第几行。庞加莱的童年并不快乐。他从小运动能力就差。5岁时，庞加莱患白喉病，九个月后病愈，留下后遗症，表达能力出现问题，因此从小就比较自卑而离群。因此他读书期间，绘画是出了名的差，据说他高中毕业时，有好事的同学将其绘画作业或者作品拿出来，一一标注：这是马，这是桌子，等等。因为行动笨拙，他的实验能力也很差。8岁时，庞加莱进入南锡中学，在南锡中学期间，庞加莱已经显露出出色的数学才能，被老师誉为“数学巨人”。1870年，也就是他16岁那年，普法战争爆发，德国战胜了法国。战争期间，法国许多地方受到破坏与劫掠。庞加莱祖父在乡下的庄园被洗劫一空。为了看懂占领区的德文报纸，庞加莱自学了德语。1871年8月，17岁的庞加莱参加了高中入学考试，拉丁语和法语作文考得极好。三个月参加了数学考试，因为准备仓促外加迟到，发挥地并不好，但是考官此前已经闻听这个天才学生的大名，网开一面，让他进入面试阶段。面试中，庞加莱表现超凡，最终得以进入高中。1871年年末，高一的庞加莱参加了法国公立中学生数学竞赛，荣获第一。次年，18岁的庞加莱再次获第一名。考官预言他将来必成大器。接着，庞加莱以第一的名次顺利通过考试，进入巴黎高等工科学校（简称巴黎高工，这个学校培养了很多杰出人物）。这次入学考试，据说庞加莱的绘画考试得了零分。年轻时的庞加莱，当时他正在巴黎综合工科学校就读（图取自蔡天新博客）大学毕业后，庞加莱于1875年-1878年在国立高等矿业学校学习矿业工程，准备当一名矿业工程师。这四年他的课程一直非常优秀。在20分为满分、12分为及格的分数制中，他大多数科目获得17分以上，仅有英语在第一年获得11.99分，但是第二年重修后获得15.41分。当时矿业大学的教授们给绝大多数学生的分数都不会超过13分。虽然成绩优异，但是他不过他发现自己对这个行业兴趣不大，他最喜欢的还是数学。1878 年6 月13 日，庞加莱在矿业大学毕业，1879 年3 月28 日，庞加莱被任命为普通工程师。根据法国严格的制度，矿业工程师分为三个等级：普通工程师、首席工程师与视察工程师，每个等级又分为三个小的等级，所以一共有九个等级。每升一个等级，大约要两三年时间。同样在1878年，庞加莱利用一年的课余时间完成了一篇偏微分方程方面的论文。不久后就发表了。这篇论文很有深度，但是又缺乏严谨性，这使得当时世界著名的数学家（Charles Hermite，日—日）既震惊又不满。埃米尔特在高等代数和微分方程方面都做出不少出色工作，令人难以置信的是，埃米尔特考大学五次失败都因为数学考不好，大学期间数学也是一塌糊涂，最终却成为出色的数学家！之后，庞加莱完成了另一篇偏微分方程方面的论文，交给了索邦大学的教授达布（Jean-Gaston Darboux，日–日），达布的态度与埃米尔特一样，既赞赏其深度，有因其文章不够严谨而持批评意见。凭借1878年的的论文，庞加莱在日获得了博士学位。但他依然是矿业工程师的身份。获得博士学位后仅仅一个月，即1879 年9 月1日清晨4点，马哥尼（Magny）矿厂发生了一起瓦斯爆炸事故，十六人遇难。庞加莱闻讯后立刻到事故现场，冒着生命危险调查了矿难起因，用三周时间完成了调查取证与详细报告的写作。接着，庞加莱于12月1日到卡昂大学（University of Caen）理学院任教，教授数学。并于1881年升任巴黎大学教授。任职期间，讲授力学和实验物理学、天体力学等课程，他在这个位置上一直工作到去世。从他到卡昂大学那天起，他就在实际上脱离了矿业工程方面的工作。但是他依然保留着矿业工程师的资格，并于1893 年评上首席工程师，于1910 年评上视察工程师，当然，由于这本质上市虚职，所以没有这方面的薪水。有人认为，庞加莱任教期间，得到了老师埃尔米特的赞赏。事实上，事情有些复杂。埃尔米特对庞加莱一直有矛盾的看法。他对庞加莱的才能确实极为赞赏，但是却认为他太过于随意，不够严谨，而且屡教不改。埃尔米特曾经给米塔格-列夫勒（Magnus Gosta Mittag-Leffler，日-日）写信，抱怨庞加莱不听好意的劝告，对研究结果不加修饰，发表的东西不够严格。1881年，庞加莱和德安德西（Louise Poulain d'Andecy）结婚，婚后，夫妇育有一子三女。庞加莱在研究微分方程期间，还同时研究自守函数论，这是椭圆函数论的推广。1883年，庞加莱在自己在自守函数论的工作基础上，提出了黎曼（Riemann）曲面的单值化定理，1907年，他和克贝（Paul Koebe，日–日）相互独立地给出完全的证明，这个定理被称为“庞加莱-克贝单值化定理”。根据这个定理，一切黎曼曲面的万有覆盖曲面都可以共形映射到单位开圆盘（如下图）、复平面（与二维平面一样）与黎曼球（与篮球球面类似）。这是一个极为优美而强大的定理。年，皮卡将庞加莱的自守函数论的方法推广到二元复变量（相当于四个实变量）情形，并在1901年研究了代数曲面，得到了著名的“皮卡群（Picard Group）”。庞加莱还定义了一个“上半平面”，将x-y二维平面去除y&0的部分，形成的无边界半平面，这个上半平面被称为“庞加莱上半平面”，它可以与上一段提到的“开圆盘”进行共形变换，是“非欧几何”的具体实现，庞加莱开圆盘见下图。后来西格尔把庞加莱的上半平面推广到多维情形。庞加莱圆盘内盛满更小的庞加莱双曲盘（来源：网络）在进行自守函数论的竞争的同时，庞加莱在年之间发表了四篇文章，庞加莱研究了微分方程所确定的积分曲线，从而创立了微分方程的定性理论。庞加莱研究了四类奇异点（奇点），分别为焦点、鞍点、结点、中心。他还研究了相空间中的极限环。可以根据解对极限环的关系判定出解的稳定性。在此期间的1885年，庞加莱还对天体力学中涉及流体的领域作出了一个出色贡献。这个贡献是关于旋转流体形状的。庞加莱证明，在自身引力作用下，转动流体的形状除了已知的旋转椭球体（麦克劳林(Mac Laurin)椭球体，a=b≠c）与不等轴椭球体（雅可比椭球体a≠b≠c）和环状体之外，还有三种转动体存在，这三种转动体被后人命名为“庞加莱体”，也有人直接说是“庞加莱梨形体”，实际上，这只是三种庞加莱体之一。但在此前一年（1884年），俄国数学家李雅普诺夫已经先指出有这类旋转体，所以它们也被称为“李雅普诺夫-庞加莱椭球体”。& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &庞加莱与三体运动这个时候，他的数学生涯进入了一个极为辉煌的、全面开花的时期。在他研究微分方程定性理论期间，恰逢瑞典与挪威的国王奥斯卡二世（King Oscar II）要准备自己的60岁大寿（日）。奥斯卡二世大学期间数学很不错，对科学研究也很支持，创办了《数学学报》（Acta Mathematica）杂志，让瑞典著名的数学家米塔格-列夫勒担任总编。对于这次贺寿事宜，身为《数学学报》主编的米塔格-列夫勒建议，设立了一个竞赛，让人研究太阳系是否稳定。这是一个n体问题，如果n=3，就是三体运动问题。此前的天体力学家们虽然有繁复的计算，但是仍然无法解决著名的小分母问题，当年拉普拉斯“证明”了太阳系的稳定性，但是他只能后推900年，对于几十亿年龄的太阳系来说，这不过是弹指一挥间。太阳系是否稳定成为“杞人忧天”的天文学版。1859年初，著名数学家狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet，日-日）曾经宣称自己解决了这个问题，但是不到半年，他就去世了，人们也没有找到他的证明。因此这个问题依然悬而未决。米塔格-列夫勒的这个建议至少有以下好处：促进天体力学与数学的研究，提高国王的威望，提高瑞典数学界以及他的杂志的影响力，同时，还可以提高自己的名气。国王欣然接受这个建议，事实上，国王是明智的，后代数学家知道他，大半因为他设立的这个奖催生了庞加莱的伟大理论。国王让米塔格-列夫勒制定规则、组织评审团体、发布竞赛消息并最终确定获奖者。米塔格-列夫勒请来自己当年的导师维尔斯特拉斯（Karl Theodor Wilhelm Weierstrass，日-日）和埃米尔特与自己一起作为评审委员会的负责人。维尔斯特拉斯是著名的数学家，对分析学有卓越而多方面的贡献，被誉为“现代分析之父”。维尔斯特拉斯大学毕业后，被分配到一所偏僻的中学教数学、德语、书法和体育，因此他的那些学生可以自豪地说自己的数学是体育老师教的。在任教期间，薪水很低，以至于他研究出新的数学成果之后连投稿需要的邮费都出不起。他一连当了14年中学教师，利用每天晚上的时间勤奋研究，最终因为一个偶然的机会，论文被当时德国数学家克莱尔办的一个杂志接受而出名。米塔格-列夫勒充当另外两个评委的翻译。尽管埃尔米特和魏尔斯特拉斯的法语和德语都很流利，但是前者坚持用法语交流，后者坚持用德语交流。于是米塔格-列夫勒要充当每封信的翻译，作为中间人，把其中一个大佬的信翻译后的信寄给另一个大佬。竞赛公告发布在《数学学报》年第七卷。这个奖被称为“奥斯卡国王奖”（也有著作将其称为“n体问题奖”）。竞赛公告的第一段是：“具有任意多个质点的系统，其中任何两点间的作用力满足牛顿定律，在任意两个点不发生碰撞的情况下，试给出每个点的坐标，这个坐标可以以时间的某个已知函数作为变量的级数表示，并且对于所有的取值，该级数是一致收敛的。”最后一段是：“即使在这次竞赛结束时这个问题还没有被解决，奖金仍然将颁发给完整地阐述和解决了力学其他问题的研究者。”论文的期限是日，投稿方式为匿名。奖金是2500瑞典克朗（也有人认为是10000克朗），大约是米塔格-列夫勒四个月的薪水（当时他的年薪是7000瑞典克朗）。当时诺贝尔奖尚未设立，后来设立了也没有数学奖。所以这个奖虽然是一个临时出现的奖，但因为名气大而有很大的诱惑力。庞加莱像。（来源：网络）在这次公开悬赏之前，31岁的庞加莱已经凭借自己在自守函数论和微分方程方面的工作而被公认为世界一流数学家了。两年前即1883年，29岁的庞加莱发表了第一篇天体力学方面的论文，一年前，他发表了第二篇天体力学论文。奥斯卡国王的这个问题激发进一步激发了庞加莱对天体力学问题的兴趣，使他将自己在微分方程方面的高超技巧用于天体力学。五年前，26岁的庞加莱在尚未获得博士学位前曾经参加过一次大奖赛，但是因为提交的论文不大理想而失败。这一次，他下定决心要一雪前耻，同时或者更重要的是要立下更伟大的一座里程碑。后来的事实证明，他做到了。1885年，当庞加莱决心冲击三体问题时，距离竞赛截至日期还有大约3年时间。庞加莱采用了希尔研究月球时所采用的模型，经过不断坚持与搁置的循环，到了1887年，庞加莱终于理清方向，不再出现搁置状态。在这过程中，他通过复杂的计算后，很快发现这个问题不能用牛顿、拉格朗日与拉普拉斯等人的采用的小参数展开等传统方法解决。因此他另辟蹊径，独自发展出一套方法：微分方程定性理论。几乎所有学科与理论在创立者手上时都是粗糙初等的，后来者完善之。但庞加莱不同，他在创立微分方程定性理论的时候就直接将其推向成熟，后来他创立代数拓扑学的时候，也是这样。在创立出微分方程定性理论后，庞加莱极度自信地说：“这一问题将为未来几代的数学家提供取之不竭的成果来源，如此多的工作需要去完成，即使是向前迈几步，也会占用我的余生。现在至少我懂得，没有人能够独立地解决这个问题。我们这代人不可能完全理解它。”（转引自《天遇》p37）庞加莱应用自己创立的常微分方程定性理论来分析轨道的大范围性质，这个课题的深入研究也直接刺激他后来对组合拓扑学的创立，因为积分曲线的大范围特性是个拓扑问题。组合拓扑学后来成为代数拓扑学的根基。日，庞加莱自信满满地写信给米塔格-列夫勒，声称自己可以证明太阳系（限制性三体问题）的稳定性。他说：“在这种特殊的情形，我已经找到稳定性的严格证明以及对第三体的要素进行精确限制的一种方法……现在我希望能够攻克三体问题的一般情形，从现在到6月1日，即使我不能完全解决该问题（希望很渺茫），至少那时我可以向竞赛委员会提交一份充分完备的结果。”这时候的庞加莱误认为自己的计算完全正确。经过整整三年的努力，他决定收工。日，庞加莱将手稿提交给竞赛委员会。此时的他已明白，这个结果的意义已经远远超出了奥斯卡国王奖，也远远超出了自己3年前的预期。由于这次竞赛是匿名投稿，投稿者必须同时寄出两封信，在信封上分别写上相同的一句话，其中一个信封里装论文，另外一个信封装着作者的真实资料：姓名与地址。审稿时只能开启装论文的信封，装真实信息的信封只能等颁奖时才可以开启。确认获奖人的方式自然根据两个信封上都有的那句话。想起童年时就醉心于浩瀚星空，庞加莱写下一句：“Nunquam praescriptos transibunt sidera fines（繁星无法超越）。”到截止日期时，杂志编辑部共收到了12篇论文，但是因为最终只有4个作者出来证实自己，所以至今只知道4个人的真实姓名。这12人中，5人选了n体问题。这个问题太困难了，这些人全都没给出完全的解答。但是其中一篇158页的手稿极为出色，信封上的题词是“Nunquam praescriptos transibunt sidera fines（繁星无法超越）。”审稿人维尔斯特拉斯看完那篇极为出色的稿件后，难以抑制激动，给米塔格-列夫勒写信，说：“我可以毫无困难地肯定这篇研究论文应该获奖。您可以向国王汇报，这项工作实际上没有给出我们最初提出的问题一个完备解答。尽管如此，它还是非常重要，它的出版必将在天体力学的发展史开创一个新的纪元。因此陛下举办这次竞赛的目的可以认为已经达到了。”由于这篇论文在天体力学方面的巨大突破，评委们一致决定把奥斯卡国王奖授予论文的作者。日，奥斯卡二世六十大寿的前夜，国王在斯德哥尔摩的城堡中主持了颁奖仪式。与获奖论文一起寄来的信封此时才被当众开启，主持人宣布，获奖者是庞加莱，论文主题是三体问题。国王签署了证书，掌声响起。庞加莱走上领奖台，抽泣着说：“首先我要感谢我的把拔，还有我的马麻……”（本句纯属虚构，实际上庞加莱没有到场，也许因为他并不敢确定自己会获奖，所以没去）。首先我要感谢我的把拔，还有我的马麻……（来源：电视剧《武林外传》）第二天，法国沸腾了，欧洲沸腾了。庞加莱获得奥斯卡国王奖的消息登上了欧洲各大报纸的头条。与庞加莱一起获金奖的还有法国索邦大学的力学教授的阿佩尔（Paul Appell，日–日），他获得了第二名。这让法国科学界为之振奋，他们认为这是法国数学得到世界认可并领先世界的标志。法国政府立即将法国荣誉军团勋章的骑士勋位（knight of the Légion d'honneur）授予庞加莱、阿佩尔与米塔格-列夫勒三人。米塔格-列夫勒得到勋位是因为是这个竞赛的实际发起人与组织者。作为评委，埃尔米特被授予银牌。瑞典驻法大使普特伯爵（Count de Loewenhaupt）于日将刻有奥斯卡二世头像的金牌和奖金授予庞加莱。庞加莱非常欣慰，决定写信向国王表示感谢，询问老朋友米塔格-列夫勒，该如何写才最得体。米塔格-列夫勒献上自己的建议，并暗示庞加莱吹嘘吹嘘自己的杂志对科学发展的贡献，庞加莱照做了。事实上，这个杂志的贡献的确很大。& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &峰回路转：发现混沌按照程序，庞加莱的获奖论文将刊登在下一期的《数学学报》。米塔格-列夫勒让自己手下的编辑弗拉格门（Edvard Phragmén）负责对庞加莱的文章排版检查，排版工作从4月一直持续到11月。弗拉格门检查了文中的每个细节。1889年7月，弗拉格曼遇到了很大的理解困难，他告诉了米塔格-列夫勒，并给庞加莱写了信，希望得到解释。庞加莱接到来信之后，在论文后面附加了一些注释。通过这些细致的注释，他进一步研究了自己看似完成的课题，然后他发现自己关于稳定性的结论竟然是错误的。在提交的论文中，他证明三个天体要么趋向于平衡，要么趋向于周期或者准周期的运动。但是现在他发现证明过程存在很大的漏洞。经过几个月艰苦的努力，庞加莱无法找到修补的方法，他陷入绝望。日庞加莱向弗拉格曼发了封电报，请他停止印刷下一期的《数学学报》，第二天，即12月1日，他寄给米塔格-列夫勒一封信，信中，庞加莱说自己无法隐藏由此带来的痛苦。但是庞加莱的决定太晚了一些，信发出后三天，即12月4日，米塔格-列夫勒回信说，论文在出版前已给了一小部分读者。事实上，论文在11月中旬就少量印刷了。两天后米塔格-列夫勒写信对埃尔米特说庞加莱犯的错是严重而决定性的，几乎整篇文章都建立在这个错误结果之上。米塔格-列夫勒赶紧着手回收论文的预印本，以论文中有一个小错误为借口，很容易就把所有预印本收回了，并都被藏在米塔格-列夫勒研究所里。《数学学报》第13卷的印刷工作更是全面中止。米塔格-列夫勒在回收回来的预印本上写着：“销毁这一版的所有刊物。”落款是“M.L.”，这是米塔格-列夫勒的缩写。但是可能因为工作人员疏忽，这些杂志没有被销毁。庞加莱此时被逼入绝境了，因为已经有流言传到外界，维尔斯特拉斯得知论文有错并很可能要重新修改之后很生气。米塔格-列夫勒也是焦头烂额。如果庞加莱不能解决自己的错误，那么他要么立即承认错误，名声大大受损，要么违背学术良心隐瞒自己的错误，但是最终被别人指出后，更加丢脸。庞加莱开始在原来的努力修改的基础上，进一步着手发展更多新工具和新方法，用以改正这个错误。最终，他在1890年1月，即获奖后整整一年后，终于将论文改完，此时的论文，已经从原来的158页扩展到270页，已经是一本书的厚度了。新完成的论文不仅保留了原论文中大量重要的概念与方法，而且更加清晰，同样重要的是，因为改正了稳定性结论，庞加莱证明了一个极为重要的结果：相交的不变曲线有可能极不稳定，一旦稳定曲线与不稳定曲线出现一次相交，就会出现多次相交，形成栅栏行状的构图。这个栅栏状构图被后代称为“庞加莱栅栏”或者“同宿栅栏”。事实上，这些相交曲线会形成网状构图，并不断穿过网眼，形成更细密更复杂纷乱的网眼，因此系统将陷入混乱无序之中。这就是后代科学家所定义的“混沌”（chaos）的雏形。这次，通过定量计算和定性分析的完美结合，他终于认清楚确定性系统中蕴涵的内在随机性。根据他的结论，初始行为很规则的系统，在受到扰动之后，或者参数、初始条件出现微小变化之后，在后续演化中，可能引起复杂的、甚至根本上的变化，系统可能不再稳定，而是出现不可预测的混乱。庞加莱因此成为窥见确定性系统产生不确定性的第一人，也成为“动力系统”理论的开山祖师。不过，这个伟大的发现没有被当时的他认真看待。新版论文在月进行排版，在新论文的引言中，庞加莱感谢了弗拉格门。重新印刷这篇文章，庞加莱向杂志社付了3585克朗63欧尔。而他当时获得的奖金是2500克朗，所以他倒贴了1000多克朗。但他却因为这个曲折而迫使自己的天才进一步被激发，使得他在天体力学与微分方程这两个极重要领域同时立下不朽的丰碑。这次圆满的补救促使庞加莱决定将这些工作扩展成书。1892年，庞加莱所著的《天体力学新方法》第一卷出版；1893年，第二卷出版；1899 年，第三卷出版。在第一卷中，庞加莱讨论了三体运动的周期解与渐进解，并证明一致积分不存在，即，在通常的保守系统中（能量守恒的系统，称为“保守系统”），经典力学的正则方程除了满足能量积分外，不满足其它任何的解析、一致的积分。庞加莱这个结论告诉人们，天体力学中的可积系统极少，绝大部分系统不可积。解对参数的连续依赖性的重要定理，也在这一卷中出现。在第二卷中，庞加莱讨论了微扰理论中的级数法及其在三体运动理论中的应用。在第三卷中，庞加莱讨论了泊松意义下的稳定性、积分不变量、第二类周期轨道以及双向渐进解。最后一个课题是他获奖论文中的重要内容。这类解最终会引发轨道的混乱，而庞加莱虽然在1890年初的更正中确认了这种可能，却一直到1897年才真正接受了这个可能性。下图为混沌的一个示例：双摆末端的混乱运动。动图：双摆末端的运动轨迹是混乱的（来源：wiki百科，chaos 词条）& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & 庞加莱最后猜想（庞加莱-伯克霍夫定理）1895年，庞加莱证明了一个回归定理：相空间中的任意点在经过足够长时间后会回到无限接近原来位置的地方。也就是说，几乎可以回到原地。这是因为对于保守系统，“相空间”的体积不变，因此经过一定的时间后，点一定会回到无限接近原来的地方，否则空间将会无穷大，这违反了之前的前提。这个定理被称为“庞加莱回归定理”。庞加莱对天体力学与动力系统的最后一个贡献是他的最后猜想。在1911年末，他感觉到自己健康情况正在恶化，有一些工作可能来不及全部完成，因此他在12月9日向意大利的数学杂志《巴勒莫数学家记载》提交了一篇尚未全部完成的论文，题目是《关于一个几何定理》，与此同时，他给编辑写了一封信，信中说：“在我的有生之年，我或许不能够解决它，目前的结果可能将研究者带到一条新的无法预料的道路上。我感觉到这些结果前途无量，虽然有人已指责我欺骗，我还是愿意将他们贡献出来。”这篇论文于1912年发表。论文的的背景可以抽象为以下简单图形：平面上一个空心圆环，内外边界分别为一个小圆周与一个大圆周。假如有一个映射将圆环内的所有点依然映射到圆环内，那么显然，至少绝大多数的点会移动。庞加莱猜测：假如这个映射恰好将内边界转动一周，同时将外边界沿着相反方向转动一周，且圆环内任意面积在映射之后形成的面积与原来的面积相同（保面积），那么这个圆环内至少有两个点保持不动。相空间中的不动点，对应的是三体运动问题的周期解，因此这是三体运动中极为重要的一个猜测。尽管庞加莱早已认定周期解存在的概率几乎为零，但是周期解本身可以作为一个过渡，作为所谓的“中间轨道”。庞加莱无法完全解决这个问题，他证明了：如果存在一个点不动，那么就一定存在第二个不动的点。但是他无法证明存在一个点不动。日，庞加莱因为血栓而突然去世。数学界损失了当时最伟大的领袖。庞加莱逝世后不久，有人委托爱因斯坦写问纪念，爱因斯坦一口答应，说有空就写，但此后不知什么缘故，爱因斯坦一生都没有写过这篇已经答应的纪念庞加莱的文章。在庞加莱去世后三个月左右，28岁的美国数学家伯克霍夫（George David Birkhoff， (1884.3.21&– 1944.11.12)证明了庞加莱的这个猜测，向美国数学会提交了《庞加莱几何定理的证明》一文，因此这个结果被称为“庞加莱-伯克霍夫定理”。由于庞加莱已经证明了“如果存在一个不动点，就存在第二个不动点”，所以伯克霍夫只需要证明“存在第一个不动点”。这个定理也被称为“伯克霍夫定理”。伯克霍夫（图来源：wiki George David Birkhoff词条）因为一时找不到合适的图，我就秀一秀自己的绘画“天赋”，见下图。这是一个抠掉中心区域的平面环形区，具有内外边界，内边界逆时针旋转一周，外边界顺时针旋转一周。旋转之前的区域A在旋转后移到区域A’，但最少有两个点保持不动。这就是庞加莱提出并被伯克霍夫最终证明的庞加莱最后猜想，即庞加莱-伯克霍夫定理。庞加莱-伯克霍夫定理示意图（作者手绘）庞加莱-伯克霍夫定理是现代天体力学与非线性科学中的一个极为重要的定理。更一般地说，这类扭转有偶数个不动点，其中一半是椭圆不动点，一半是双曲不动点。这两类不动点间隔排列。在椭圆不动点附近（精确术语是“邻域内”），再进行扭转操作，又会形成偶数个不动点，依然是一半椭圆不动点，一半双曲不动点。在新的椭圆不动点附近，再进行扭转，在应用庞加莱-伯克霍夫定理，又得到更多的不动点。因此形成无穷嵌套结构。在双曲不动点附近，则会形成上面提到的“庞加莱栅栏”结构。这些复杂的自相似结构，使这个领域的一代宗师阿诺德感叹这类不可积问题超越了现代数学工具。伯克霍夫几乎因为证明了这个重要定理而一夜成名，此后伯克霍夫凭借自己在动力系统方面的工作称为一个杰出的数学大师，也因此成为美国历史上第一个一流数学家。值得一提的是，伯克霍夫在理论物理方面也有重要贡献，他证明了广义相对论中的一个重要定理，用通俗的话说就是：径向脉动的星体与不发生脉动的星体是远处观测者无法区分的。2012年，荷兰乌特勒支大学为纪念庞加莱去世100周年了一个纪念会，现场如下图。其中左上图为年轻时的庞加莱，当时他正在巴黎综合工科学校就读。图取自蔡天新博客。2012年，荷兰乌特勒支大学为纪念庞加莱去世100周年开了一个纪念会。图取自蔡天新博客。正如有人说的那样，一个人死后几年有人记得，不算了不起；一个人死后一百年还有人称颂，这才是真的了不起。庞加莱去世了，离开了他热爱的天体力学、数学与物理，也许临终时他因此会在心里说：“星空，再见。”但，也许他知道自己将要前往星空，那么他会说：“你好，星空。”（以上两句引自北大2014年推出的宣传片《星空日记》，此片因偏离现实情况而被普遍批评，但不得不说，此片很有情怀。）你好，星空（北大宣传片《星空日记》截图）
SHARE & LIKE
ABOUT THE AUTHOR
博士生（PhD candidate）
一个在加州大学伯克利分校（UC Berkeley）天文系游荡的天体物理学研究者。主要研究方向：超新星的能源机制，伽玛暴与超新星成协。已在美国 The Astrophysical Journal（《天体物理学杂志》，ApJ，影响因子为 5.993）发表 8 篇研究论文（ 3 篇为第一作者，3 篇为第二作者，2 篇为第四作者），在 Advances in Astronomy（《天文学进展》，影子因子为 1.66）发表 1 篇综述论文（第二作者），在中国 Chinese Astronomy and Astrophysics （《中国天文与天体物理》）发表两篇综述论文（均为第一作者）。在《科学世界》等杂志发表多篇科普和科学史文章。
SIMILAR ARTICLES
昨日重现：Refsdal超新星的第6个像如期而至作者：王善钦（南京大学）引言：日，哈勃太空望远镜（HST）发现同一个超新星因为引力透镜的作用而形成4重像，这是这类现象（Refsdal超新星）被预测50年后首次被观测证实。这个大新闻在去年一度轰动全球，国内外媒体争相报道，现在在搜索引
百年相对论：爱因斯坦的理论与爱情作者：王善钦（南京大学）日，爱因斯坦（阿尔伯特·爱因斯坦）向普鲁士科学院提交了题为《引力的场方程》的论文，这标志着牛顿之后最伟大的理论——广义相对论——诞生了。此后至今，广义相对论对物理学、天文学产生了无比深刻而全面的影响，同时大大推进了数学中的微分
原标题：早期宇宙没有我们想象地那么混乱译者：王善钦（南京大学）图1 NASA/ESA提供的银河系艺术概念图（译文供图）类似于我们的银河系的巨大的盘状星系可能在宇宙早期就已存在。一个新的大范围模拟表明，早期宇宙——大爆炸之后5亿年——可能有着比我们之前想象的更加有序，更加有结构。这个发现发表于《天体物理
上一次我不小心将“恒纪元”与“乱纪元”写反了。混乱时，为乱纪元；稳定时，为恒纪元。虽然我让小编Yuyu立即在评论中补上纠正，这里还是要道歉。接着进入正题。在《三体》的前几章中，涉及到大部分为理论物理、天体物理与宇宙学，并不涉及天体力学，与“三体”直接相关的，会在后面几章出现。我删减了原稿中的大量细节和
译者序：宇宙大爆炸不久，整个宇宙是一团炽热的等离子体，如同一锅热粥，光被封锁在这锅热粥之中，直到大爆炸之后38万年之后，光才与“这锅热粥”中的其他粒子彼此脱离，如同蛋清与蛋黄分离，形成了“宇宙背景光子”。随着宇宙膨胀与冷却，这些背景光子的能量也不断降低，到现在，其能量位于微波能量区，温度约为3K，因此
移民火星：没有人们想象中那么疯狂作者：Sidney Perkowitz译者：王善钦“是的，我们比许多人所想象的更加接近火星。而且，一个成功的载人飞行任务能够成为我们这个世纪的人类成就的标志。”(Credit: iStockphoto)Sidney Perkowitz（本文原作者）, 埃默里大学（Emo
题图：“在观测最遥远星系的能力上，哈勃依然无敌，哈勃前沿场数据的绝对深度确保我们可以极其精确地理解星系团的引力透镜效应，允许我们发现类似现象，”Mathilde Jauzac说。(Credit: Credit: NASA, ESA, and B. Siana and A. Alavi/Universi
申玉菲之死在魏成报案前一天，有人打电话威胁魏成放弃三体运动的研究，否则杀了他。而申玉菲却用枪蹭着他的脸，说如果他不继续研究，就杀了他，于是魏成无论研究还是不研究，都有被杀的危险。申玉菲对魏成说：“如果三体问题研究成功，你将成为救世主；如果现在停止，你就是个罪人。如果有个人拯救了人类或毁灭了人类，那你可
题图文字：LkCa15的合成图像，蓝色表示MagAO（麦哲伦望远镜自适应光学系统）数据, 绿色与红色表示LBT（大双筒望远镜）数据。 (Credit: University of Arizona)原文标题：此图显示一颗行星正在形成（This picture shows a planet being b
红岸的秘密叶文洁手下处决潘寒之后，向汪淼以及三体组织成员讲述了红岸的秘密。叶文洁曾经在此前告诉汪淼，自己进入红岸之后，因为表现}