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经典图形推理及解析
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你可能喜欢三角形加正方形等于64,圆形加正方形等于82,三角形加圆形等于48,问三角形,圆形,正方形是多少?
分类：数学
因为等于64,圆形加正方形等于82,三角形加圆形等于48..所以先把它们都加起来/.即2个三角形+2个圆形+2个正方形=64+82+48=194所以三角形加正方形加圆形=194/2=97所以圆形=97-64=33 三角形=97-82=15 正方形=97-48=49
=0时,应变量y为1,其余情况y为0.因为我这个定义的函数等会要调用到laplace函数中,而Laplace函数是个符号函数.因此必须定义使这个函数也是符号函数.不知道该怎么定义这个阶跃函数了,">matlab定义符号函数怎么定义一个matlab的符号函数.比如我定义一个阶跃函数,即当自变量t>=0时,应变量y为1,其余情况y为0.因为我这个定义的函数等会要调用到laplace函数中,而Laplace函数是个符号函数.因此必须定义使这个函数也是符号函数.不知道该怎么定义这个阶跃函数了,
y=sym('1');else
y=sym('0');end">function y=ff(t)
t=input('t=');if t>=0
y=sym('1');else
y=sym('0');end
(1)tanx(cosx-sinx)+(sinx+tanx)/(cotx+cscx)=(sinx-sin?x/cosx)+(sinx+sinx/cosx)/(cosx/sinx+1/sinx)=(sinx-sin?x/cosx)+sin?x/cosx=sinx(2)sin?xtanx+cos?xcot+2sinxcosx=sin?x/cosx+cos?x/sinx+2sinxcosx=(sin^4x+cos^4x+2sin?xcos?x)/sinxcosx=(sin?x+cos?x)?/sinxcosx=2/sin2x=2csc2x
3次根号2是有理数还是无理数 我用多功能计算器 算它得 1. 然后1.次方居然得 2 就算取近似数 应该有小数啊 而且几个同学的多功能计算器 算的一样 用笔算 看末尾 5*5*5=125 也不对啊
一定是无理数啊这个是近似值,无法显示那么多位数,所以造成你不能验算无理数一般不要验算拉,
1、x^2-9x+18=0x1=6,x2=3因为OA＞OB所以OA=6,OB=32、过点C作x轴的垂线,垂足为D因为AC⊥BC所以∠CAD+∠OAB=90°又因为∠OAB+OBA=90°所以∠ACD=∠OBA因为∠ADC=∠BOA=90°,AC=BC所以△ACD≌BAO所以AD=OB=3 ,CD=OA=6所以OD=9所以点C的坐标为（-9,-6）,A（4,0）设经过直线AC的解析式为y=kx+b则 0=-6k+b (1)-6=-9k+b (2)解之,得：k=2,b=12所以所求解析式 y=2x+123、在x轴上存在点P,设经过点P的直线与直线AC交于点E（1）△EAP≌△ABO,则点P的坐标为（-3,0）；（2）△PEA≌△AOB,则点P的坐标为（3根号5-6,0）或（-3根号5-6,0）（3）点P与点C重合,故P(-9,-6)
(x+1)?-3x(x+1)=0(x+1)(x+1-3x)(x+1)(-2x+1)=0x1=-1 x2=1/2
f(x)图象关于 x=2对称 图象开口向上
(-,2]单调递减
当t≥2 时,gt=f(x)min=f(t)
其他相关问题&figure&&img src=&/50/v2-a89ce0cb35bd5_b.jpg& data-rawwidth=&1300& data-rawheight=&387& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1300& data-original=&/50/v2-a89ce0cb35bd5_r.jpg&&&/figure&&blockquote&本文原创作者：immenma&br&内容来源：&a href=&/?target=http%3A///portal.php%3Ffrom%3Dzhihu& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&i春秋社区&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&未经许可禁止转载&/blockquote&&b&预警：超干货、超长文、多图预警！&/b&&h2&&b&前言&/b&&/h2&&p& 为了避免一开始就引入那些过于严肃的话题，笔者希望在开篇的部分，做个简短的说明来告诉大家，这篇文章做的是什么
首先，笔者画了一张图名叫：《虎虎生威》，好吧，就是下面这张&/p&&figure&&img src=&/v2-d8d23b2b8_b.jpg& data-rawwidth=&256& data-rawheight=&256& class=&content_image& width=&256&&&/figure&&p& 因为笔者太叼了，所以画的图应该署名一下，你可以看到右上角的DBinary，没错，那就是笔者的大名，但是，盗图狗很快就把我这张大作给偷走了，最后他居然把自己的名字写了上去&/p&&figure&&img src=&/v2-32a3ec2449aacbdc_b.jpg& data-rawwidth=&320& data-rawheight=&320& class=&content_image& width=&320&&&/figure&&p&
好气啊，明明是笔者画的图，怎么变成张三了，现在死无对证了，到底是谁画的，笔者暗暗不爽，于是做了一台时光机，回到笔者画图后还没发布之前，不行，这回不能光靠签名，要加点靠谱的水印，于是，笔者开发了一款软件，对这个图片进行了隐签名：&figure&&img src=&/v2-7efb35a59b15bf_b.jpg& data-rawwidth=&692& data-rawheight=&483& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&692& data-original=&/v2-7efb35a59b15bf_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&/v2-378c09d47f5da_b.jpg& data-rawwidth=&320& data-rawheight=&320& class=&content_image& width=&320&&&/figure&&/p&&p&（这是签名后的图片，好吧，因为颜色过于单调还是能看出明显干扰的，实际对照片签名几乎看不出来）&/p&&p&
盗图狗果然还是出手了，它篡改了我的图片&/p&&figure&&img src=&/v2-fa95aca7903c4ede47bffb_b.jpg& data-rawwidth=&320& data-rawheight=&320& class=&content_image& width=&320&&&/figure&&p&我一看跳了起来，***张三你怎么盗我图，显然，张三不服，凭什么说我盗你图，证据呢？？？&/p&&p&我不慌不忙打开频域程序，加载了张三盗窃后的图&/p&&figure&&img src=&/v2-9fa954c81a5aa23df3a350_b.jpg& data-rawwidth=&661& data-rawheight=&362& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&661& data-original=&/v2-9fa954c81a5aa23df3a350_r.jpg&&&/figure&&p&那么张三同志，麻烦你告诉我图像频域里为什么写的是我的名字？&/p&&p&张三哑口无言.....&/p&&p&这就是本文将要讨论的技术细节，当然，你还想看更多的戏的话，这里就有一个&/p&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&阿里巴巴公司根据截图查到泄露信息的具体员工的技术是什么？ - 知乎&/a&&p&或者，你也可以调到文本的最后一个章节，看看频域水印是如何在对抗盗图者和版权保护上起作用的。&/p&&h2&序言&/h2&&p&
佛语中有箴言：坐亦禅,行亦禅,一花一世界,一叶一如来&/p&&p&世间万物是复杂的，但是又是纯粹的简单的，从宏观的花花世界到微观的原子电子，万物都在按照它的规律运行，而我们的先辈前人，一直都在用自己的方式与经验，总结着万物运行的规律。&/p&&p&
不要误会，本文并不是哲学论题的讨论，一个偶然的机会拜读了知乎上的一篇关于频域水印的问答。（&b&阿里巴巴公司根据截图查到泄露信息的具体员工的技术是什么？&/b&&/p&&p&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&阿里巴巴公司根据截图查到泄露信息的具体员工的技术是什么？ - 知乎&/a&）当中有对频域数字水印的实现与讨论，在群里有不少的朋友对此颇感兴趣，于是我就想以后机会写一个“从零开始的频域变换到水印的完整解答”&/p&&p&
如果阅读到这里你还不明白本文的主旨与目标是什么，你可以直接跳转到本文的最后一章节“鲁棒盲水印”来查看频域水印是如何在版权保护中起作用并对抗各类版权偷盗者的攻击的。&/p&&p&
当然，本人并非全才，本文中多有疏漏错误还望各位读者多多指正，文章将从最基础的三角函数开始，一步一步地推到并演化到傅里叶变换直到频域签名。&/p&&p&
我相信学习如流水，希望读者能在本文的循序渐进的推导过程中满足对相关技术的求知欲，并对文中的不足与错误不吝赐教。&/p&&p&
最后再次引用箴言的后半句作为导言的结束语：&/p&&p&春来花自青,秋至叶飘零,无穷般若心自在,语默动静体自然&/p&&h2&从三角形开始&/h2&&p&
有人说，上帝使用三角形创造了这个世界，这点我完全同意，三角形拥有如此之多的特性，足够让每一个探究者为之所着迷，它仿佛维系着几何与世界的基石，诞生出数学中众多的定律并在今天成就了我们的学术与技术大厦。&/p&&br&&p& 当然，本文并不是抒情散文，我并不打算也没有这个能力去探究那些更深层次的数学理论关系，但理解三角形并不是制作变形金刚，你可以在一张纸上画三个点然后用直线把他们连起来，那就是一个三角形了如图（a.1）&figure&&img src=&/v2-901c0fc867f0fb11f3ebbb_b.png& data-rawwidth=&280& data-rawheight=&296& class=&content_image& width=&280&&&/figure&&/p&&p&三角形有非常多的特性，首先，确定它是一个稳定的结构。另外确定一个平面也仅仅只需要一个三角形就足够了，三角形的所有内角角度之和是180°（a.2）。&figure&&img src=&/v2-e38e1fcdb567cf950e6d75_b.png& data-rawwidth=&300& data-rawheight=&324& class=&content_image& width=&300&&&/figure&&/p&&p&但最为有意思的是被称之为直角三角形的东西，在直角三角形中有一个角的角度是90°（a.3），例如图（a.3）就是一个直角三角形。&figure&&img src=&/v2-1d035cca3ed46b9e987f7d_b.png& data-rawwidth=&349& data-rawheight=&261& class=&content_image& width=&349&&&/figure&&/p&&p&实际上在这个直角三角形中，三角形的边长比例，将随着角度θ的变化而变化，一个角度θ决定了abc三边长度的比例关系，于是在这里，我们引入了一个叫三角函数的东西，其中&figure&&img src=&/v2-4ccffcd35bcfe6e34f76e_b.png& data-rawwidth=&100& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&100&&&/figure&，&figure&&img src=&/v2-15cbd332c3c1_b.png& data-rawwidth=&116& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&116&&&/figure&，&figure&&img src=&/v2-c10c07ebe076a6e85e66a0201047fedc_b.png& data-rawwidth=&115& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&115&&&/figure&，当θ小于90°的时候，我们可以在直角三角形中非常直观地看到三角函数的变化关系，但在直角三角形中，θ的取值范围，也被限制到了0到90°，为了能让θ表示更大的范围，我们就需要引入新的表达方式了。&/p&&p&
我们首先先建立一个直角坐标系（a.4），然后以原点为圆心，画一个圆。同时，我们在圆上任意取一点，并将该点的坐标设为（x，y）&figure&&img src=&/v2-c69c151ef939a1a66a1e5c8e_b.png& data-rawwidth=&305& data-rawheight=&298& class=&content_image& width=&305&&&/figure&&/p&&p&通过勾股定理我们知道，圆上的点到原点的距离，r=&figure&&img src=&/v2-e9b6e895b21fa_b.png& data-rawwidth=&108& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&108&&&/figure&那么，对三角函数我们重新定义为&figure&&img src=&/v2-be5eac2e94fae2dab0e782f86897a6ab_b.png& data-rawwidth=&100& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&100&&&/figure&，&figure&&img src=&/v2-cd38cd7b929a8d73a2ed_b.png& data-rawwidth=&115& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&115&&&/figure&，&figure&&img src=&/v2-6fb52c60aa28da942e7d7efa_b.png& data-rawwidth=&115& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&115&&&/figure&，这样一来，我们就可以表示θ为任意实数时三角函数对应的值了&br&&/p&&p&通过这个图我们同时可以知道，当时&figure&&img src=&/v2-e4bfb0cb7e5d_b.png& data-rawwidth=&116& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&116&&&/figure&，实际上相当于在一个圆上绕了若干个个圈，你可以想象看着你家里的时钟，秒针每过60秒就转了一个圈，你现在看到秒针的位置，在60秒后，120秒后，180秒后…它仍然会指向同样的位置，这个特性在三角函数中同样有效，我们管它叫做三角函数的周期性。&/p&&p&现在，让我们引入一个新的符号π，π在角度上代表180°，除了角度外，我们还引入弧度，它的定义是弧长等于半径的弧，其所对的圆心角为1弧度。实际上半圆弧长和半径的比例恰好是一个定值，因此，π除了在角度上表示180°，在弧度上则是一个定值，这个值是一个无限不循环小数，我们常常将它约等于为3.14。&/p&&p&所以 &figure&&img src=&/v2-cbaabdb28cee_b.png& data-rawwidth=&525& data-rawheight=&52& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&525& data-original=&/v2-cbaabdb28cee_r.png&&&/figure&，同时因为周期性，其中n是一个整数。&/p&&figure&&img src=&/v2-ce6c18a5febb809d13ff2_b.png& data-rawwidth=&520& data-rawheight=&52& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&520& data-original=&/v2-ce6c18a5febb809d13ff2_r.png&&&/figure&&p&那么，在第一章节，三角函数的几何意义，就显而易见了。&/p&&h2&
让三角函数动起来&/h2&&p&
假如我们把时间引入进来，那么，三角函数就开始变得生动了，最直观的比喻就是现在挂在大厅墙上的时钟，秒针每分钟都会转动360°，现在，让我们假设秒针指向“12”，也就是垂直于水平面时，它的角度是0°，那么经过15秒后，秒针指向“3”，也就是转动了90°，30秒后经过了半分钟，指向“6”也就是转动了180°，那么，秒针每秒转动的角度是&figure&&img src=&/v2-4a07baeaa5b_b.png& data-rawwidth=&125& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&125&&&/figure&,我们用t来表示时间，那么时间与秒针转动角度我们可以用θ=6t来表示，在物理上，我们常常使用ω来表示角速度，那么，时间内转过的角度就是&/p&&p&θ=ωt&/p&&p&
现在，让我们画一个二维坐标系，并设横坐标为时间，角速度ω=2π，那么&figure&&img src=&/v2-befaa25ede8aacca13578c_b.png& data-rawwidth=&97& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&97&&&/figure&，的坐标如下图（b.1）所示&br&&/p&&figure&&img src=&/v2-6d8a26cfdca5c8bdc5d1041_b.png& data-rawwidth=&508& data-rawheight=&319& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&508& data-original=&/v2-6d8a26cfdca5c8bdc5d1041_r.png&&&/figure&&p&可以看到，在一秒0-1秒，已经是一个完整的周期了，因为它在1秒内拥有一个完整的周期，我们就称他的频率为1hz，显然的当ω=4π时1秒内有两个完整的周期，因此，它的频率就为2hz（图b.2）。&/p&&figure&&img src=&/v2-a688af945f4b222ffa422_b.png& data-rawwidth=&468& data-rawheight=&314& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&468& data-original=&/v2-a688af945f4b222ffa422_r.png&&&/figure&&p&可以看到，频率实际上和角速度是相关联的，我们使用字母f来表示频率，函数公式如下&/p&&p&&figure&&img src=&/v2-eb0d7b89b95febda51695_b.png& data-rawwidth=&67& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&67&&&/figure& 角速度和频率是一个正比关系，角速度越大，频率也就越大&/p&&p&对正余弦函数而言，我们也常常写作&figure&&img src=&/v2-bed1b8ae6a_b.png& data-rawwidth=&244& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&244&&&/figure&&/p&&h2&三角函数的一些常用公式&/h2&&p&我们可以非常直观的从几何图像中推导出三角函数的一些性质，画一个坐标系，同时以原点为圆心绘制一个半径为1的圆（图c.1）&/p&&figure&&img src=&/v2-040a4bb46df78cc072ea43_b.png& data-rawwidth=&327& data-rawheight=&351& class=&content_image& width=&327&&&/figure&&p&那么，&figure&&img src=&/v2-376a4b767dbdbce8ca80e4f_b.png& data-rawwidth=&150& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&150&&&/figure&&figure&&img src=&/v2-b44f876ca80a_b.png& data-rawwidth=&292& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&292&&&/figure&&/p&&p&可知&/p&&figure&&img src=&/v2-6ae413f3f4b7e4e2d26fef9ad9db4447_b.png& data-rawwidth=&217& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&217&&&/figure&&figure&&img src=&/v2-161cd385f6f272d73ea3bc_b.png& data-rawwidth=&224& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&224&&&/figure&&p&由周期性可知&figure&&img src=&/v2-8be90780b0dcabcb9f7bcb_b.png& data-rawwidth=&375& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&375&&&/figure&&figure&&img src=&/v2-273b9d5ed7cbda7c339ea2e95b5248c9_b.png& data-rawwidth=&378& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&378&&&/figure&&/p&&p&同时，三角函数间是可以互相转换的，我们很容易得出这样的公式：&figure&&img src=&/v2-4f3460ecaeec_b.png& data-rawwidth=&219& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&219&&&/figure&&figure&&img src=&/v2-c3c01fd571be993d07d5_b.png& data-rawwidth=&224& data-rawheight=&78& class=&content_image& width=&224&&&/figure&&/p&&p&因为正余弦函数存在这种互相转换的关系，因此之后我们统称它们为正弦函数&/p&&p&我们还可以进一步证明二角的更多公式（证明过程略），这些公式我们都可以直接拿来使用&/p&&p&二角和差：&/p&&figure&&img src=&/v2-b5be2d7f77d80da3f5ea733ccab5cf6d_b.png& data-rawwidth=&387& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&387&&&/figure&&figure&&img src=&/v2-bbb046afe2b2a_b.png& data-rawwidth=&387& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&387&&&/figure&&figure&&img src=&/v2-30d1e9b987e1eb9fdda846b4880afedf_b.png& data-rawwidth=&390& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&390&&&/figure&&figure&&img src=&/v2-da2a38d389c0f9b18ccbc_b.png& data-rawwidth=&390& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&390&&&/figure&&p&和差化积&figure&&img src=&/v2-3aa521c8d89ccd_b.png& data-rawwidth=&396& data-rawheight=&78& class=&content_image& width=&396&&&/figure&&figure&&img src=&/v2-44d0aac6eddcc684d621d9d2_b.png& data-rawwidth=&397& data-rawheight=&78& class=&content_image& width=&397&&&/figure&&figure&&img src=&/v2-be22eed53723_b.png& data-rawwidth=&407& data-rawheight=&78& class=&content_image& width=&407&&&/figure&&figure&&img src=&/v2-80b0ab2e1ede211c606acca_b.png& data-rawwidth=&421& data-rawheight=&78& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&421& data-original=&/v2-80b0ab2e1ede211c606acca_r.png&&&/figure&&/p&&p&通过联立二角和差公式，我们还可以得到积化和差公式&figure&&img src=&/v2-dc9c2a84df8db4b51a0d_b.png& data-rawwidth=&441& data-rawheight=&78& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&441& data-original=&/v2-dc9c2a84df8db4b51a0d_r.png&&&/figure&&figure&&img src=&/v2-6a312bfa1ccc631efd36e_b.png& data-rawwidth=&452& data-rawheight=&78& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&452& data-original=&/v2-6a312bfa1ccc631efd36e_r.png&&&/figure&&/p&&p&&figure&&img src=&/v2-566e29a98e5e996ed660d_b.png& data-rawwidth=&469& data-rawheight=&78& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&469& data-original=&/v2-566e29a98e5e996ed660d_r.png&&&/figure&&br&和二角和差推导出的二倍角公式&figure&&img src=&/v2-6e1eda7be2fd0ee9f30dbd84242bc8db_b.png& data-rawwidth=&215& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&215&&&/figure&&/p&&h2&三角函数的正交性&/h2&&p&
在讨论正交性之前，让我们用最简单的方式了解下微积分，我们取一个最简单的一元函数做比方&figure&&img src=&/v2-7ff340be104b7d2bb966da_b.png& data-rawwidth=&91& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&91&&&/figure&&/p&&p&现在，让我们画一个坐标轴，那么，这个函数的图像是这样的(d.1)：&figure&&img src=&/v2-577c7a1aa9fad5a2ee9edd3_b.png& data-rawwidth=&344& data-rawheight=&348& class=&content_image& width=&344&&&/figure&&/p&&br&&p&现在，做一条经过（2,0）并垂直于x轴的直线，交于点A，（2,0）为B，原点为C如图（d.2）&figure&&img src=&/v2-7c00e6c05f514f28483cbe8c17c9a367_b.png& data-rawwidth=&353& data-rawheight=&373& class=&content_image& width=&353&&&/figure&&/p&&p&那么，我们很容易求出三角形ABC的面积&figure&&img src=&/v2-413e02f23ec05b0e0674fa_b.png& data-rawwidth=&226& data-rawheight=&78& class=&content_image& width=&226&&&/figure&&/p&&p&实际上这个求面积的过程，就是微积分于该函数上的几何意义，这个求面积的过程，我们用微积分来表示，就是&figure&&img src=&/v2-b71bbf720b38d532f7f7c4_b.png& data-rawwidth=&160& data-rawheight=&78& class=&content_image& width=&160&&&/figure&同样类比的，&figure&&img src=&/v2-1be26ba5ceb721a3eee85d_b.png& data-rawwidth=&160& data-rawheight=&78& class=&content_image& width=&160&&&/figure&&/p&&p&这个积分方程实际上是求四边形ABCD的面积（d.3）&figure&&img src=&/v2-289a35fb4d6e54ba577fc_b.png& data-rawwidth=&405& data-rawheight=&380& class=&content_image& width=&405&&&/figure&&/p&&p&在二维平面上我们很容易将微积分理解为函数在一定范围内和x轴围成的面积，在但实际上面积和微积分稍有不同，因为面积肯定是一个非负数，但积分却可以是负数，&/p&&p&
例如&figure&&img src=&/v2-0cec660a3fbb3_b.png& data-rawwidth=&164& data-rawheight=&78& class=&content_image& width=&164&&&/figure&&/p&&p&他在坐标系中是三角形HCI的面积，但是它的x轴下方，我们可以理解为三角形的高度是一个“负数”，因此，这个区域的面积也是一个“负的面积”，所以，这段的积分为-2（d.3）&/p&&br&&p&&figure&&img src=&/v2-f1feafcff3efb_b.png& data-rawwidth=&346& data-rawheight=&389& class=&content_image& width=&346&&&/figure&&br&那么，假如我们对这个函数的-2到2积分，那么就会变成一个正的面积加上一个负的面积，结果它们相互抵消了，结果变成了0，如下推导&br&&/p&&figure&&img src=&/v2-bf336f2d01c0bfe_b.png& data-rawwidth=&622& data-rawheight=&78& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&622& data-original=&/v2-bf336f2d01c0bfe_r.png&&&/figure&&p&实际上连续的中心对称函数图形h(x)，在&figure&&img src=&/v2-a4a85e41d_b.png& data-rawwidth=&119& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&119&&&/figure&的积分都是0&/p&&p&显然的，正弦函数图像满足这个性质（d.4），不仅如此，我们可以非常直观的看出来，正余弦函数在函数的一个周期内的积分都是0（d.4 d.5）&/p&&figure&&img src=&/v2-cd3ed29fffcf9a5272b2_b.png& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&313& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&/v2-cd3ed29fffcf9a5272b2_r.png&&&/figure&&figure&&img src=&/v2-5ed3eaddcb589_b.png& data-rawwidth=&653& data-rawheight=&271& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&653& data-original=&/v2-5ed3eaddcb589_r.png&&&/figure&&p&现在，我们假设有两个自然数m，n且&figure&&img src=&/v2-f3ef6a89a1eeade0edcdf7_b.png& data-rawwidth=&72& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&72&&&/figure&，并假设两个函数&/p&&figure&&img src=&/v2-4664fbdf052ffa21eeb6ec7a1faa7589_b.png& data-rawwidth=&427& data-rawheight=&52& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&427& data-original=&/v2-4664fbdf052ffa21eeb6ec7a1faa7589_r.png&&&/figure&&p&然后我们将这两个正余弦函数任意进行组合，并对他们在-π到π进行积分&/p&&p&通过上述的常用公式，我们可以推导出下面的三个式子&br&&/p&&figure&&img src=&/v2-64c9e93202ffdfc9c50dc3dfa2bfe06c_b.jpg& data-rawwidth=&554& data-rawheight=&166& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&554& data-original=&/v2-64c9e93202ffdfc9c50dc3dfa2bfe06c_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&/v2-9cbc2dd1b06a30ba95cd1_b.jpg& data-rawwidth=&554& data-rawheight=&166& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&554& data-original=&/v2-9cbc2dd1b06a30ba95cd1_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&/v2-0741afce6ea432fe096e9_b.jpg& data-rawwidth=&554& data-rawheight=&166& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&554& data-original=&/v2-0741afce6ea432fe096e9_r.jpg&&&/figure&&br&&p&可以看到，m不等于n时，积分结果都是0&/p&&h2&从正交性得到的启发&/h2&&p&还记得之前我们使用的将时间作为变量的三角函数么&/p&&figure&&img src=&/v2-c0fd90df388cc6e7228de2_b.png& data-rawwidth=&1531& data-rawheight=&181& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1531& data-original=&/v2-c0fd90df388cc6e7228de2_r.png&&&/figure&&p&现在，因为三角函数的特性，我们管三角函数在时域上的表示叫波，当然&figure&&img src=&/v2-43e1c4a292ab2b7f706cc47f643fce1c_b.png& data-rawwidth=&199& data-rawheight=&61& class=&content_image& width=&199&&&/figure&&/p&&p&也就是正弦波了，我们用更加通用的公式来表示一个正弦波\&figure&&img src=&/v2-cbee1b3deaf_b.png& data-rawwidth=&235& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&235&&&/figure&&/p&&p&或者，余弦波也同样是这个道理，毕竟它与正弦波的不同仅仅只是“移动了一下”&figure&&img src=&/v2-06a0a07d45ba47e02c795b_b.png& data-rawwidth=&238& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&238&&&/figure&&/p&&figure&&img src=&/v2-8c3d7fdb00bd9fd6dc5047_b.png& data-rawwidth=&1516& data-rawheight=&204& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1516& data-original=&/v2-8c3d7fdb00bd9fd6dc5047_r.png&&&/figure&&p&我们很容易证明这点。&/p&&p&现在我们可以想象一个正弦波在二维坐标上的样子，或者是我们在科幻电影或科研实验室中，看到仪器仪表上那一段段的波形。或者更加直观的，我们将一块石投进水池里，荡起的波浪也像极了正弦波。&/p&&p&当然，在自然界一般不会出现标准的正弦波，各种波的叠加，你可以想象在一个房间里一群朋友聊天，或者是在KTV中歌声和谈话声混杂的场景，它就是声波的各种叠加&/p&&p&尽管聊天中大家都在说话，但是我们仍然不会把朋友们说的话混淆起来，因为不同的人发出的声音频率也不一样，这也就是我们常说的未见其人先闻其声，我们天生具备有分别不同频率声波的能力，所以尽管环境嘈杂，我们仍然能够取得我们想要的信息。&/p&&p& 但是现在我们如何使用数学的手段，查看波形函数f(x)中是否有我们想要频率的波形呢。&/p&&br&&p&显而易见的，答案当然就是本章节的标题，应用波的相关性，例如我们使用一个正弦波&br&去乘以一个由多个正余弦波叠加而成的函数f(t)，然后对它们进行积分&figure&&img src=&/v2-f7460aafbaf7e7566cdd5_b.png& data-rawwidth=&199& data-rawheight=&104& class=&content_image& width=&199&&&/figure&&/p&&p&从相关性可以知道，当角速度（上一章节的m，n）不同时，也就是频率不同时，积分结果是0，只有频率相同时，积分结果才不为0，因此，如果f(t)中包含1HZ的正弦波，那么积分的结果就不为0，否者，结果就是0&/p&&p&那么，一个检波手段也就诞生了。&/p&&h2&欧拉公式复变函数&/h2&&p&正弦函数和复数表面上并没有什么关联，但正所谓千里姻缘一线牵，在我们考虑着那根看不见的红线另一端系的是谁的时候，欧拉早在几个世纪前就将正弦函数与复数牵了一条红线，从而撮合了数学上这一段流传千古的因缘，不过如果再在红线上扯下去，这篇文章就要变爱情小说了，但是我们仍然需要回到这个渣作的现实三次元，现在让我们来介绍一下大名鼎鼎的一个复变函数，它的知名程度基本上在是数学上的安徒生童话，人人皆知&/p&&p& 它的公式如下&figure&&img src=&/v2-968ab9b567ddfbcb2f465063_b.png& data-rawwidth=&217& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&217&&&/figure&&/p&&p&其中，i表示复数的虚部，它是&figure&&img src=&/v2-b48f83822ecd07bb37ce_b.png& data-rawwidth=&52& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&52&&&/figure&，也就是说&figure&&img src=&/v2-04fe6f936df87f51dcda1b152c7a363c_b.png& data-rawwidth=&91& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&91&&&/figure&，当然我们并不能深究他在现实生活中的意义，但它在数学多个方面，起着举足轻重的意义。&/p&&p&那么，复数如何理解呢&/p&&p&我们来看看复数的标准形式&figure&&img src=&/v2-c8a0a9ecc5f2e9afc0fa7_b.png& data-rawwidth=&67& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&67&&&/figure&&/p&&p&其中，a，b为任意实数，a在复数中表示实部，b在复数中表示虚部&/p&&p&假设我们现在画一条二维坐标系，x轴为实部，y表示虚部，那么，1+2i实际上表示的是坐标上的（1,2）&figure&&img src=&/v2-89066dded18aafe93ba759_b.png& data-rawwidth=&388& data-rawheight=&279& class=&content_image& width=&388&&&/figure&那么&figure&&img src=&/v2-2e0efaf610d_b.png& data-rawwidth=&239& data-rawheight=&42& class=&content_image& width=&239&&&/figure&&/p&&p&在坐标系上，实际上是一个半径为1的圆（d.7）&figure&&img src=&/v2-fe8fb58ea5b_b.png& data-rawwidth=&336& data-rawheight=&254& class=&content_image& width=&336&&&/figure&&/p&&h2&复数在信号的表示&/h2&&p&现在让我们来考虑下面这个复数&figure&&img src=&/v2-66ece236b171def8f0ffda5bb73c12c1_b.png& data-rawwidth=&71& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&71&&&/figure&&/p&&p&它的实部为&figure&&img src=&/v2-0fea9aaf3cccff63b2d051aafb8eaa27_b.png& data-rawwidth=&160& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&160&&&/figure&，如果我们希望用&figure&&img src=&/v2-bd9ad40b153_b.png& data-rawwidth=&35& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&35&&&/figure&的形式来表示它，那么，它就变成了&figure&&img src=&/v2-42a817d07ae796d2aee1_b.png& data-rawwidth=&312& data-rawheight=&78& class=&content_image& width=&312&&&/figure&&/p&&p&画在坐标系中，如图d.8&figure&&img src=&/v2-d5d9afade86d_b.png& data-rawwidth=&560& data-rawheight=&428& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&560& data-original=&/v2-d5d9afade86d_r.png&&&/figure&&/p&&p&按照极坐标的角度而言，即一个长度为2的变绕X轴逆时针旋转&/p&&br&&p&现在让我们更进一步放大我们的脑洞，以原点为圆心，2为半径画一个圆（图d.9）&/p&&br&&figure&&img src=&/v2-907da6c1fcc5ff3e7dccf0_b.png& data-rawwidth=&313& data-rawheight=&309& class=&content_image& width=&313&&&/figure&&br&&p&那么,假如我们将&figure&&img src=&/v2-3b85c8fc_b.png& data-rawwidth=&258& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&258&&&/figure&&/p&&p&看作是与原点距离为1，绕x轴逆时针旋转的点，将&figure&&img src=&/v2-0f4befee1a9ab_b.png& data-rawwidth=&49& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&49&&&/figure&与之相乘&/p&&figure&&img src=&/v2-8fdabd69e592fc6f217a3e_b.png& data-rawwidth=&631& data-rawheight=&58& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&631& data-original=&/v2-8fdabd69e592fc6f217a3e_r.png&&&/figure&&p&就变成了，初始位置为(以角速度以原点为圆心逆时针旋转的点&/p&&p&那么，假如我们将复数用在信号中，就从复数坐标系上的点拓展到了在线信号的幅度与初相了。&/p&&p&
还记得之前我们写的通用的正弦/余弦函数么&br&&/p&&figure&&img src=&/v2-3dd1a529bdbe8b603eea8_b.png& data-rawwidth=&391& data-rawheight=&45& class=&content_image& width=&391&&&/figure&&p&这就是上面的通用公式，因为这个公式太重要了（或者说避免你翻回去找这个公式），我将它再写了一遍&/p&&p&可以看到，对于一个正弦函数，我们仅需要知道它的幅度，角频率，初相，就可以确定这个正弦函数是什么样子的了&/p&&p&但正弦函数比善变的女人还有能耐，通过一些数学变形，你还会发现它有时比哄妹纸有意思多了，通过三角函数的公式，我们可以得到&figure&&img src=&/v2-815aa9feb132c29fe0ae_b.png& data-rawwidth=&715& data-rawheight=&59& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&715& data-original=&/v2-815aa9feb132c29fe0ae_r.png&&&/figure&&figure&&img src=&/v2-911945cddecf6ca8ba93eb0aba85113d_b.png& data-rawwidth=&769& data-rawheight=&155& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&769& data-original=&/v2-911945cddecf6ca8ba93eb0aba85113d_r.png&&&/figure&&br&&/p&&p&那么，这个函数就变成了正余弦函数的组合，同时我们也得出了&br&&/p&&p&&figure&&img src=&/v2-187f0e9b112d533abe5c_b.png& data-rawwidth=&749& data-rawheight=&258& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&749& data-original=&/v2-187f0e9b112d533abe5c_r.png&&&/figure&那么就有&figure&&img src=&/v2-6fc31a1a4f8b011e1f5fa45_b.png& data-rawwidth=&613& data-rawheight=&174& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&613& data-original=&/v2-6fc31a1a4f8b011e1f5fa45_r.png&&&/figure&&/p&&br&&h2&傅里叶的故事&/h2&&p& 这里我们抛开那些繁琐的数学公式，然后把时间拉回到17世纪，当时有一位法国的男爵名叫巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶（Baron Jean Baptiste Joseph Fourier）当然，并不是因为它当了一官半职我们才介绍它，但他的成就，却从17世纪一直影响到我们今天，毫不夸张的说他奠定了信号系统的基础(或者说给出了指导方向？)。&/p&&p& 具体时间还是要回到18世纪，伯努利（D.Bernoulli）就曾经提出：一个弦的实际运动都可以用标准张模的线性组合来表示，但是当时另一个数学大神拉格朗日是不兹磁这个说法的，拉格朗日认为，不可能用三角级数来表示一个具有间断点的函数，就在这个环境下，傅里叶仍然坚信：“任何”周期信号都能够成谐波关系的正弦级数来表示，他还专门写了一篇论文，但迫于拉格朗日当时在学术界的威望，傅里叶理论的论文一直没能被发表，直到傅里叶的晚年，他才得到他应有的承认。&/p&&p&
当然，以我们现在的角度来说，傅里叶当时的理论是有缺陷的，在后人不懈努力下，傅里叶变换才趋于完善，实际上傅里叶变换并不是因为傅里叶对这个理论在数学上做了多大的贡献，但傅里叶当时对问题的前瞻性与指导性，却奠定了这个数字信号举足轻重的公式基础。 &/p&&h2&检波与傅里叶变换&/h2&&p&现在我们讨论的就是傅里叶大神“任何连续周期信号都可以由一组适当的正弦曲线组合而成”这一命题，在信号系统或者是工学，傅里叶变换绝对是入门的加减乘除，实际上傅里叶变换并不是一个公式，而是多个分别应对不同类型信号的多个公式，但万变不离其宗，不管变体如何变换，其核心的思想是不会改变的。&/p&&p&那么傅里叶变换的意义是什么呢，回想一下我们之前说的正弦函数的相关性，通过这个相关性，我们可以检测某个波里是否包含某个频率的正弦波，进一步的，假设我们用无限多个不同频率的正弦波与它正交组合，我们就能知道，这个波是由哪些频率的正弦波组合而成的了，我们管波在时间轴上的表达，叫做时域，图b.1其实就是的时域图，通过傅里叶变换，我们能够将是由哪些频率组成的图像表示出来（当然只有一个1HZ频率），也就是横坐标由时间变成了频率，也就是我们说的频域了。&/p&&p&简单来说，在时间信号处理中傅里叶变换就是将时域信号转换为频域信号的一个变换过程&/p&&p&这里，我们先来看看连续傅里叶变换，因为傅里叶英文的开头是F，所以我们使用大写的F来表示傅里叶变换，f(t)用来表示某连续非周期性的时域信号函数&/p&&figure&&img src=&/v2-c2a31f208dfbfe959957_b.png& data-rawwidth=&288& data-rawheight=&104& class=&content_image& width=&288&&&/figure&&p&看看我们的欧拉公式&figure&&img src=&/v2-ade1b4d041eee69b9451c9e_b.png& data-rawwidth=&358& data-rawheight=&62& class=&content_image& width=&358&&&/figure&&/p&&p&然后把欧拉公式代入傅里叶变换&/p&&p&角速度乘以时间，不就是了么，我们将这个变换函数写成这种形式&/p&&p&&figure&&img src=&/v2-c138a407558bac4ab3d37d12647ed1fb_b.png& data-rawwidth=&708& data-rawheight=&116& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&708& data-original=&/v2-c138a407558bac4ab3d37d12647ed1fb_r.png&&&/figure&再将带入公式得到&figure&&img src=&/v2-e5372fec3f116e8c03fcdc_b.png& data-rawwidth=&362& data-rawheight=&104& class=&content_image& width=&362&&&/figure&&/p&&p&结果变得显而易见了，简单来看，傅里叶变换与检波的手段多多少少的相似性---对sin与cos分别检波（为什么要使用同一频率sin，cos进行检波呢，因为对于一个频率的正弦波我们不仅仅要知道其存不存在，更需要知道其波幅及相位，用两个不同相位的正弦波进行检波，就可以取得其相位，在之后章节会进一步讨论）&/p&&h2&傅里叶级数的三角函数表达&/h2&&p&但仅从上面的检波手法来推断傅里叶变换，是不严谨的。&/p&&p&现在设一个函数由一个直流分量（简单来说就是一个常数）和多个正弦函数组成，那么它可以写成这种形式&/p&&figure&&img src=&/v2-e5372fec3f116e8c03fcdc_b.png& data-rawwidth=&362& data-rawheight=&104& class=&content_image& width=&362&&&/figure&&figure&&img src=&/v2-57ff038d4faadffd1cd2ef570f3938f6_b.png& data-rawwidth=&1526& data-rawheight=&109& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1526& data-original=&/v2-57ff038d4faadffd1cd2ef570f3938f6_r.png&&&/figure&&p&&/p&&p&for(n=0;n&N-1;n++)&/p&&p&{&/p&&p&Sum+=n;&/p&&p&}&/p&&p&由上式可知，表示这个三角函数的角速度或者叫角频率，当n=1时，我们管叫基频，管叫傅里叶级数（余弦信号形式）&/p&&br&&p&
利用三角函数的变换公式，上式可变形为&/p&&figure&&img src=&/v2-b471e01d9a_b.png& data-rawwidth=&787& data-rawheight=&128& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&787& data-original=&/v2-b471e01d9a_r.png&&&/figure&&p&设&figure&&img src=&/v2-630ad6d9f9c14b5aa0cf5e_b.png& data-rawwidth=&160& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&160&&&/figure&&figure&&img src=&/v2-9a44df3e0acec3692f5ca_b.png& data-rawwidth=&145& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&145&&&/figure&&/p&&p&那么，上式变为&figure&&img src=&/v2-54bfa1692fd_b.png& data-rawwidth=&490& data-rawheight=&104& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&490& data-original=&/v2-54bfa1692fd_r.png&&&/figure&&/p&&p&现在，让我们正式的引入正交性的性质，还记得检波手段么，这里，我们假设对f(x)用sin(nwt)进行检波，那么就有&/p&&figure&&img src=&/v2-5b8fc01cd1db1c386df582b2cac40d8d_b.png& data-rawwidth=&202& data-rawheight=&78& class=&content_image& width=&202&&&/figure&&p&假设f(x)中含有角频率的正弦波系数为，那么根据三角函数的正交性，上式就有&figure&&img src=&/v2-ce97eb0ebbc94758_b.png& data-rawwidth=&576& data-rawheight=&60& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&576& data-original=&/v2-ce97eb0ebbc94758_r.png&&&/figure&&/p&&p&进一步计算，可得&figure&&img src=&/v2-a3eef9dd379c4_b.png& data-rawwidth=&311& data-rawheight=&69& class=&content_image& width=&311&&&/figure&&figure&&img src=&/v2-58c7f05c4cd2fff82d5b82_b.png& data-rawwidth=&943& data-rawheight=&132& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&943& data-original=&/v2-58c7f05c4cd2fff82d5b82_r.png&&&/figure&&figure&&img src=&/v2-c45f1a6fadf8ae2fce860_b.png& data-rawwidth=&934& data-rawheight=&203& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&934& data-original=&/v2-c45f1a6fadf8ae2fce860_r.png&&&/figure&&/p&&h2&周期连续时间傅里叶级数&/h2&&p&现在，让我们来想象一个函数f(x)它是一个周期函数，那么根据傅里叶的理论，它能够表示成若干个（无穷个）一组“适当”的正弦曲线组合而成，在前面几个章节，我们通过欧拉公式，得到&figure&&img src=&/v2-34e5eedcb0906dae5c3dec8e263d93e7_b.png& data-rawwidth=&218& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&218&&&/figure&&/p&&figure&&img src=&/v2-01d29f3cee1d68cf8b30c00f0e9a8294_b.png& data-rawwidth=&1522& data-rawheight=&216& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1522& data-original=&/v2-01d29f3cee1d68cf8b30c00f0e9a8294_r.png&&&/figure&&br&&p&显然的，这个复指数信号的频率是，现在我们假设有另一组“适当”的正弦函数，它们的频率刚好是的整数倍并且幅度也不同，那么，这组信号我们可以使用&figure&&img src=&/v2-59ddb31b270e945ff31cbf7f1c22529f_b.png& data-rawwidth=&61& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&61&&&/figure&&/p&&p&来表示（k为自然数）。那么从上面的根据欧拉公式，我们也很容易得出下面的推导&figure&&img src=&/v2-d72fc1d8a45c514a0e79d158e04d8633_b.png& data-rawwidth=&308& data-rawheight=&78& class=&content_image& width=&308&&&/figure&&figure&&img src=&/v2-d63ddd087b4ef3a0aa926d_b.png& data-rawwidth=&304& data-rawheight=&78& class=&content_image& width=&304&&&/figure&&/p&&p&现在将这两个公式带入&/p&&figure&&img src=&/v2-5e7044460afc145d4a17ab0b6b6371f6_b.png& data-rawwidth=&645& data-rawheight=&149& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&645& data-original=&/v2-5e7044460afc145d4a17ab0b6b6371f6_r.png&&&/figure&&br&&p&得到&figure&&img src=&/v2-2a6be5b80_b.png& data-rawwidth=&625& data-rawheight=&104& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&625& data-original=&/v2-2a6be5b80_r.png&&&/figure&&/p&&p&化简后得&figure&&img src=&/v2-6ba8f29fc6a51bb68c80f1a551a8e86b_b.png& data-rawwidth=&608& data-rawheight=&104& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&608& data-original=&/v2-6ba8f29fc6a51bb68c80f1a551a8e86b_r.png&&&/figure&&figure&&img src=&/v2-c0e198f5347b5bded2afc2e_b.png& data-rawwidth=&652& data-rawheight=&104& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&652& data-original=&/v2-c0e198f5347b5bded2afc2e_r.png&&&/figure&&br&&/p&&p&因此，上式最终变为了&figure&&img src=&/v2-c0e12b5c0d2656e4aca8eb_b.png& data-rawwidth=&327& data-rawheight=&104& class=&content_image& width=&327&&&/figure&&/p&&p&设&figure&&img src=&/v2-2ae6c3b7037fb1cedf2f39fd65736e9f_b.png& data-rawwidth=&149& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&149&&&/figure&上式就写成了,n=k&/p&&figure&&img src=&/v2-239f77b3c9bb5cfbc9fea_b.png& data-rawwidth=&229& data-rawheight=&104& class=&content_image& width=&229&&&/figure&&figure&&img src=&/v2-b56dc7f82b3bcf70a77f8c_b.png& data-rawwidth=&1520& data-rawheight=&157& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1520& data-original=&/v2-b56dc7f82b3bcf70a77f8c_r.png&&&/figure&&figure&&img src=&/v2-70f2f86d188281edd19dc7_b.png& data-rawwidth=&76& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&76&&&/figure&&p&并对两边同时在一个周期内积分，那么我们就得到公式&/p&&p&&figure&&img src=&/v2-0e16a4deccffc_b.png& data-rawwidth=&468& data-rawheight=&104& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&468& data-original=&/v2-0e16a4deccffc_r.png&&&/figure&\进一步变形为&figure&&img src=&/v2-b24a811d850cdb6ecd22794_b.png& data-rawwidth=&468& data-rawheight=&104& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&468& data-original=&/v2-b24a811d850cdb6ecd22794_r.png&&&/figure&&figure&&img src=&/v2-39bb1d9d9d497bf3938e_b.png& data-rawwidth=&1491& data-rawheight=&162& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1491& data-original=&/v2-39bb1d9d9d497bf3938e_r.png&&&/figure&&br&&/p&&p&于是，得到&/p&&figure&&img src=&/v2-e2ab5e8befdeea738cbdc2_b.png& data-rawwidth=&467& data-rawheight=&105& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&467& data-original=&/v2-e2ab5e8befdeea738cbdc2_r.png&&&/figure&&p&也就是&/p&&figure&&img src=&/v2-84bd29ba53eaa95b3af782_b.png& data-rawwidth=&305& data-rawheight=&74& class=&content_image& width=&305&&&/figure&&p&实际上an就是我们所说的傅里叶级数，或者说是频域系数。通过这个系数的值，我们可以知道这个频率的波对原始波的能量贡献值，在之前的《信号的复数表示》章节中，我们可以了解到这个系数确定了该频率波的幅度，初相，从而完成信号时域到频域的分解，并且我们还知道了&/p&&figure&&img src=&/v2-2ae6c3b7037fb1cedf2f39fd65736e9f_b.png& data-rawwidth=&149& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&149&&&/figure&&br&&p&也就是说，通过ak的模&/p&&figure&&img src=&/v2-b701ca080d708cde393b8c1_b.png& data-rawwidth=&485& data-rawheight=&75& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&485& data-original=&/v2-b701ca080d708cde393b8c1_r.png&&&/figure&&p&我们知道对应角频率波的波幅（等于该频率幅值的一半）&/p&&p&通过&/p&&figure&&img src=&/v2-576fb9be4bc6acb39c88e08_b.png& data-rawwidth=&445& data-rawheight=&100& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&445& data-original=&/v2-576fb9be4bc6acb39c88e08_r.png&&&/figure&&p&可以得出对应角频率正弦波的相角。&/p&&h2&周期离散时间傅里叶级数&/h2&&p&在上一个章节中，讨论了周期连续时间信号的傅里叶级数求解方式，那么，连续信号可以求其级数，离散的是否也有这样一个公式呢&/p&&p&但在介绍离散变换变换前，我们先来了解连续和离散是什么，。其实顾名思义。比如给你一段长度100米的绳子，当然，这个100米的绳子是连续的，如果你在50米的地方剪短这根绳子，那么它就是不连续的了，假设我们把这根绳子切成若干个段。直到每个段都变成一个“点”，我们可以直接用数字编号每一个点，那么他就变成离散的了。&/p&&p&
用图像来继续说明，如图e.1，这是一个sinx的函数图像，当然，它是周期无限长且连续的&figure&&img src=&/v2-360ddb3d1a3ed_b.png& data-rawwidth=&512& data-rawheight=&289& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&512& data-original=&/v2-360ddb3d1a3ed_r.png&&&/figure&&br&&/p&&p&现在，我们每隔二分之π就取一个点，那么这些点在坐标系上就是周期离散的（e.2）&/p&&br&&figure&&img src=&/v2-eac104e0ac2da_b.png& data-rawwidth=&548& data-rawheight=&348& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&548& data-original=&/v2-eac104e0ac2da_r.png&&&/figure&&br&&p&说到这里，我们现在要介绍的变换，就是处理这些点的变换方式&/p&&p&首先，因为是等间距对周期信号采样，所以采样出的点也是周期性的，假设采样的点用数组x[n]来表示，也就是说假设周期为N，x[a]与x[a+Nk]是完全相等的值，也就是说，整个离散样本中取任意周期N内他们的累加和是一样的，同样的，x[n]仍然可以用“恰当”的正弦函数组合而成（或者说可以由基波频率为的一系列波形组合而成）基于这点，我们就可以将x[n]写成这种形式（k=&N&表示取任意连续N点即一个周期内点，不管如何取，结果都是一样的）&figure&&img src=&/v2-3e1eafe6_b.png& data-rawwidth=&245& data-rawheight=&78& class=&content_image& width=&245&&&/figure&&/p&&figure&&img src=&/v2-3d794c43da5f70b8a7ad4e5_b.png& data-rawwidth=&1481& data-rawheight=&109& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1481& data-original=&/v2-3d794c43da5f70b8a7ad4e5_r.png&&&/figure&&figure&&img src=&/v2-dd2b16fefdbaa9a6c03cf86_b.png& data-rawwidth=&538& data-rawheight=&91& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&538& data-original=&/v2-dd2b16fefdbaa9a6c03cf86_r.png&&&/figure&&p&我们取&figure&&img src=&/v2-df261bba011_b.png& data-rawwidth=&220& data-rawheight=&118& class=&content_image& width=&220&&&/figure&&/p&&p&可以知道，当K不等于N时的结果为0，仅当K等于N时的结果为N。同样的，我们再次将两边同时乘以得到&figure&&img src=&/v2-b404bce749ecc94a7253_b.png& data-rawwidth=&546& data-rawheight=&91& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&546& data-original=&/v2-b404bce749ecc94a7253_r.png&&&/figure&&br&&/p&&p&然后再同时对两边进行N项上求和&figure&&img src=&/v2-4fdb341a1_b.png& data-rawwidth=&639& data-rawheight=&80& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&639& data-original=&/v2-4fdb341a1_r.png&&&/figure&&br&&/p&&p&显然的，仅当k=r或n为N的整数倍时，右式才不为0，那么，上式就变为&/p&&figure&&img src=&/v2-1f88abbe4f22db728b050b1aad2280b0_b.png& data-rawwidth=&510& data-rawheight=&114& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&510& data-original=&/v2-1f88abbe4f22db728b050b1aad2280b0_r.png&&&/figure&&p&那么&/p&&figure&&img src=&/v2-2afcedb7ba8d01622d46_b.png& data-rawwidth=&420& data-rawheight=&98& class=&content_image& width=&420&&&/figure&&p&频谱系数求得！。&/p&&h2&非周期离散时间傅里叶变换&/h2&
如果严格来说，自然界大多是没有理想的周期信号的，那么，是否有办法处理非周期离散时间的信号么。&/p&
&p& 我们来看看这样一个离散信号（图e.3），它只有一个脉冲取样&figure&&img src=&/v2-eace92cfb70fb_b.png& data-rawwidth=&475& data-rawheight=&233& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&475& data-original=&/v2-eace92cfb70fb_r.png&&&/figure&&/p&&p&这个脉冲信号仅在-3，-2，-1上是有值的，其余的值都是0&/p&&p&那么我们是否可以把它当成一个周期无穷大的周期信号呢。&/p&&p&我们先来看看上一节中周期离散时间傅里叶级数的分析公式&figure&&img src=&/v2-0b4caa42f516fa4ee581_b.png& data-rawwidth=&281& data-rawheight=&104& class=&content_image& width=&281&&&/figure&&/p&&p&假如把这个分析公式套用在上述的信号中，那么因为仅在三点有值（其它都是0）并且周期是无穷大那么我们就得到了公式&figure&&img src=&/v2-0b4caa42f516fa4ee581_b.png& data-rawwidth=&281& data-rawheight=&104& class=&content_image& width=&281&&&/figure&&br&&/p&&p&当然，它和下面这个式子是等价的&figure&&img src=&/v2-cfdc87d65b7b9cc8c6af43_b.png& data-rawwidth=&269& data-rawheight=&104& class=&content_image& width=&269&&&/figure&&/p&&p&这样我们就将公式推广到了更加通用的公式类型&/p&&br&&p&现在定义函数&figure&&img src=&/v2-2df658b090f3b8ade3e544d_b.png& data-rawwidth=&286& data-rawheight=&104& class=&content_image& width=&286&&&/figure&&/p&&p&那么&figure&&img src=&/v2-6a37fc5abbd36beba9c91f_b.png& data-rawwidth=&174& data-rawheight=&78& class=&content_image& width=&174&&&/figure&&/p&&p&我们现在再将ar代入原式&/p&&figure&&img src=&/v2-bc1022a27bdc3fd4b17a17e482fe2543_b.png& data-rawwidth=&241& data-rawheight=&78& class=&content_image& width=&241&&&/figure&&p&中，得到&figure&&img src=&/v2-5f2bfacad362b39a88e7_b.png& data-rawwidth=&327& data-rawheight=&78& class=&content_image& width=&327&&&/figure&&figure&&img src=&/v2-9f002439cef81cfbcd38d1_b.png& data-rawwidth=&1128& data-rawheight=&188& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1128& data-original=&/v2-9f002439cef81cfbcd38d1_r.png&&&/figure&&/p&&p&从式中看出，随着N趋近于无穷大，趋近于无穷小，那么，上式就从累加变成了积分，且因为的周期为2π，且其仅在周期内有值，于是，上式也随之变为了&figure&&img src=&/v2-a1be6d3b1f5ecbea68eb4ba78de50498_b.png& data-rawwidth=&316& data-rawheight=&104& class=&content_image& width=&316&&&/figure&&/p&&h2&非周期离散有限长度傅里叶变换&/h2&&p&最后，我们将上述的变换公式进行进一步的推广，就是非周期离散有限长度傅里叶变换了，实际上它与周期离散傅里叶变换已经非常的接近了&figure&&img src=&/v2-a1720cdcdeed3c4e77cf16ba818ca60d_b.png& data-rawwidth=&286& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&286&&&/figure&&figure&&img src=&/v2-fa851cfc9cf899d4e3c678d_b.png& data-rawwidth=&264& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&264&&&/figure&&/p&&p&如果我们将有限长的信号推广到无限长的信号，那么我们先假设信号的样本点数为N个，那么，信号的n取值范围就可以定义在[0,N-1]&/p&&p&我们假设将这个有限长的区间补到无限长，除了[0,N-1]区间，我们仅仅需要在其他区间再补上N个同样的离散信号就行了，这并不影响其结果，那么我们就可以将有限长非周期离散信号变为周期离散信号了，这样我们就可以直接套用周期离散时间傅里叶变换的分析公式：&figure&&img src=&/v2-6534dccfe9c174d2ad26efb90b569997_b.png& data-rawwidth=&308& data-rawheight=&78& class=&content_image& width=&308&&&/figure&&/p&&p&为了方便计算，我们周期取[0,N-1]，那么，公式就变成了&/p&&figure&&img src=&/v2-3bff3acf40d5dfaee1485b_b.png& data-rawwidth=&262& data-rawheight=&104& class=&content_image& width=&262&&&/figure&&p&当然在实际应用中，我们常常设：&/p&&figure&&img src=&/v2-dd18a889ae413d19bee26f4f_b.png& data-rawwidth=&216& data-rawheight=&64& class=&content_image& width=&216&&&/figure&&p&那么就有了有限长非周期傅里叶变换的的分析公式：&figure&&img src=&/v2-ddcf3d5dd533ad4c87232e_b.png& data-rawwidth=&262& data-rawheight=&104& class=&content_image& width=&262&&&/figure&&figure&&img src=&/v2-e8f1ba3b3bbb8f806b2f1_b.png& data-rawwidth=&1203& data-rawheight=&263& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1203& data-original=&/v2-e8f1ba3b3bbb8f806b2f1_r.png&&&/figure&&/p&&h2&非周期离散时间傅里叶变换的应用&/h2&&p&在上面几个章节中，我们从周期连续时间的傅里叶级数逐步的推广到了有限长离散时间傅里叶变换。虽然内容不少，但是真正实际在日常用的多的，是有限长非周期离散时间傅里叶变换，为何？当然我们幸运的不是在一个老牛拉破车的年代计算只能靠人脑算盘，现在的信号处理除非一些数学推导应用，大多数实际生活应用都是靠计算机来完成的，而这也决定了我们的公式必须与计算机的硬件相关，我们的计算机目前存储空间是有限的，而连续的信号（不管是频域还是时域），就相当于由无穷多个点组成，很遗憾，现在仍然没有存储容量无穷大的内存，就算有，也没有能够处理无穷大数据的CPU，因此，我们无法直接处理连续的信号，观察上面几个变换，也就只有时域和频域都是有限长度且离散的有限长离散时域傅里叶变换能够满足我们的需求了。&/p&&p&
下面为了说明方便，我们将有限长度且离散的有限长离散时域傅里叶变换的分析公式统一简称为离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform）或者其英文缩写DFT，将它的逆变换（Inverse Discrete Fourier Transform）也就是综合公式简称为IDFT。&/p&&p&现在让我们来看看离散傅里叶变换对&figure&&img src=&/v2-bc26b6fa566ddab91af3c_b.png& data-rawwidth=&234& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&234&&&/figure&&figure&&img src=&/v2-733de7d598fa4ba1bc27f_b.png& data-rawwidth=&284& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&284&&&/figure&&/p&&p&其中，N表示信号的采样点数，n的范围是0到N-1，&figure&&img src=&/v2-afdf5cf20e_b.png& data-rawwidth=&133& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&133&&&/figure&的第一个点，&figure&&img src=&/v2-12e418bbfc224bb3262eac79f1039e91_b.png& data-rawwidth=&132& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&132&&&/figure&的第二个点，以此类推，k的取值范围是0到N-1，由f=&figure&&img src=&/v2-fc9bfd056d47dcd73d0de1_b.png& data-rawwidth=&24& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&24&&&/figure&可知，其分辨率等于&figure&&img src=&/v2-fd6ef104bd51_b.png& data-rawwidth=&211& data-rawheight=&78& class=&content_image& width=&211&&&/figure&&/p&&p&为了更加方便浅显地了解其中的计算，我们继续观察公式中的&figure&&img src=&/v2-5bb2047efc484fa2fd1cf0_b.png& data-rawwidth=&84& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&84&&&/figure&&/p&&p&仍然是我们熟悉的味道，现在我们使用欧拉公式替换它于是离散傅里叶变换的公式变成了&figure&&img src=&/v2-f8d247fc8eb32f19c3a60bcb6ebd9fea_b.png& data-rawwidth=&515& data-rawheight=&104& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&515& data-original=&/v2-f8d247fc8eb32f19c3a60bcb6ebd9fea_r.png&&&/figure&当k=0时&figure&&img src=&/v2-2e7b0d0cbf7bceca_b.png& data-rawwidth=&514& data-rawheight=&104& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&514& data-original=&/v2-2e7b0d0cbf7bceca_r.png&&&/figure&&/p&&p&可以看到，它实际上是所有样本点的累加和，那么它意味着什么呢，我想象一个波形函数&figure&&img src=&/v2-c890d372d51aa72cd2d525d2eeb84610_b.png& data-rawwidth=&597& data-rawheight=&52& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&597& data-original=&/v2-c890d372d51aa72cd2d525d2eeb84610_r.png&&&/figure&&/p&&figure&&img src=&/v2-ab4a96da833b7f863789cba_b.png& data-rawwidth=&1510& data-rawheight=&382& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1510& data-original=&/v2-ab4a96da833b7f863789cba_r.png&&&/figure&&p&它表示基频成分，因为我们从公式中可以看到，频率都是其整数倍，至于多少倍，就是由k值决定的。&/p&&p&
现在，让我们用一个实际的范例来验证离散傅里叶变换&/p&&br&&p&假设正弦函数&figure&&img src=&/v2-a6ee5c709cee7b6ab3fe_b.png& data-rawwidth=&186& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&186&&&/figure&&/p&&p&我们假设对这个函数进行采样，采样频率是4HZ，那么，实际上我们将在0.25s，0.5s，0.75s，1s处取得其样本点，那么，对应的值应该是&figure&&img src=&/v2-bbb5c84cc2fb896e2252_b.png& data-rawwidth=&455& data-rawheight=&61& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&455& data-original=&/v2-bbb5c84cc2fb896e2252_r.png&&&/figure&&/p&&p&现在对其进行离散傅里叶变换那么&/p&&p&因为有四个样本点，所以，N的值是4，k的取值范围是0-N-1，也就是0到3了&/p&&br&&p&我们先来计算的值&figure&&img src=&/v2-dbd39dcd7ce55c7b521a7ba2a8ad5136_b.png& data-rawwidth=&557& data-rawheight=&104& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&557& data-original=&/v2-dbd39dcd7ce55c7b521a7ba2a8ad5136_r.png&&&/figure&&br&&/p&&p&这点没错，因为没有直流分量，所以它理所当然是0&/p&&p&继续是的值&figure&&img src=&/v2-edec2cd41fba3c2c39f6_b.png& data-rawwidth=&566& data-rawheight=&109& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&566& data-original=&/v2-edec2cd41fba3c2c39f6_r.png&&&/figure&&figure&&img src=&/v2-5ca5aea07f78a89df1ab064c4ae7e223_b.png& data-rawwidth=&631& data-rawheight=&60& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&631& data-original=&/v2-5ca5aea07f78a89df1ab064c4ae7e223_r.png&&&/figure&&/p&&figure&&img src=&/v2-8ceb94d4b8c7e2f6c827_b.png& data-rawwidth=&1555& data-rawheight=&200& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1555& data-original=&/v2-8ceb94d4b8c7e2f6c827_r.png&&&/figure&&figure&&img src=&/v2-5a6f66aaab26e0d2edec_b.png& data-rawwidth=&189& data-rawheight=&50& class=&content_image& width=&189&&&/figure&&p&也确实是1HZ。 &/p&&p&
现在是的值&/p&&figure&&img src=&/v2-cae8a5abf8306b71aee9fea50c830ed7_b.png& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&139& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&/v2-cae8a5abf8306b71aee9fea50c830ed7_r.png&&&/figure&&p&这是2HZ的值，显然，它为0&/p&&p&最后x3值是
&figure&&img src=&/v2-2b7d507dfa37459cce53d05a3ad356c7_b.png& data-rawwidth=&757& data-rawheight=&158& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&757& data-original=&/v2-2b7d507dfa37459cce53d05a3ad356c7_r.png&&&/figure&&/p&&p&的值是2，但是我们知道，并不包含3HZ的波，实际上根据香农采样定律，4HZ的采样只能表达2HZ的波，因此这个点实际上是不准确的。但是，出现2的结果并不是偶然，我们接着往下看。&/p&&h2&巧妙的对称性，共轭&/h2&&p&如果说对称是世界上共有的一种美的表达，那么，在几何平面上，无穷多的函数就拥有这种对称性，在对称美这一个方面，出色的数学家也许并不逊色于毕加索。&/p&&p& 当然深究的话就是后话了，在这里我们来简单看看几个拥有对称性的简单函数：&figure&&img src=&/v2-dbb19e5baa80c_b.png& data-rawwidth=&106& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&106&&&/figure&&/p&&figure&&img src=&/v2-af4cf7dbbbbbe13e85288_b.png& data-rawwidth=&773& data-rawheight=&486& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&773& data-original=&/v2-af4cf7dbbbbbe13e85288_r.png&&&/figure&&p&这是一个非常简单的二元一次方程，可以从图f.2中看到，他是关于y轴对称的，这句话如果用数学的语言来将，非常简单且直观的，我们可以用下面的公式来表达这个“对称”的思想&figure&&img src=&/v2-05db49bb3f2fc3b76d02_b.png& data-rawwidth=&141& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&141&&&/figure&&/p&&p&对于这类关于满足上述公式的函数，我们管它叫偶函数。&/p&&p&现在再让我们看另外一个函数&figure&&img src=&/v2-f92292fdc8e6eb79ae50ac0_b.png& data-rawwidth=&93& data-rawheight=&78& class=&content_image& width=&93&&&/figure&&/p&&p&它的函数图像如图f.3&figure&&img src=&/v2-830ed274e1b1e3554fc4_b.png& data-rawwidth=&492& data-rawheight=&470& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&492& data-original=&/v2-830ed274e1b1e3554fc4_r.png&&&/figure&&/p&&p&可以看到，函数的图像是原点对称的，相等，我们用如下公式表示这种“原点对称”关系&figure&&img src=&/v2-cfe3e80d4b1bd_b.png& data-rawwidth=&161& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&161&&&/figure&&/p&&p&我们管它叫奇对称&/p&&p&当然，对称未必一定要是y轴或者是原点，现在我们将&figure&&img src=&/v2-dbb19e5baa80c_b.png& data-rawwidth=&106& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&106&&&/figure&&/p&&p&的函数图像向右平移两个单位，变成&figure&&img src=&/v2-56293ffc7d52ec796b48c083_b.png& data-rawwidth=&174& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&174&&&/figure&&/p&&p&这样，它就关于x=2这条竖线对称了（f.4）&figure&&img src=&/v2-03e59bfc6131da8cce1f8cce_b.png& data-rawwidth=&475& data-rawheight=&408& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&475& data-original=&/v2-03e59bfc6131da8cce1f8cce_r.png&&&/figure&&br&&/p&&p&这回我们在数学上用这个方程式来表示它关于x=2对称&figure&&img src=&/v2-592eabbe77c_b.png& data-rawwidth=&221& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&221&&&/figure&&/p&&p&通过变形，它可以写成&br&&/p&&figure&&img src=&/v2-0a2de21da8a43f8ba519b4c_b.png& data-rawwidth=&175& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&175&&&/figure&&p&最后，我们用更加通用的方程式来表示某个函数f(x)关于x=N/2这条垂线对称&figure&&img src=&/v2-53b8db0f0e245e612b99_b.png& data-rawwidth=&178& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&178&&&/figure&&/p&&p&现在，让我们来看看共轭是什么：&/p&&p&你看过几米的《向左走，向右走》么，共轭是数学中一个文艺而浪漫的代名词，一句相当文艺诗来总结这个关系，就是：&/p&&p&向左走，向右走，纵使背道而驰，相隔万里，但只要心连接在一起，也终会在大洋的彼岸，迎来相会的交点。&/p&&p&文艺的诗歌艺术生看到后也许就开始感叹，多么美的诗句，世间万物芸芸众生，千里有缘一线牵，感谢我能遇见你，但对于地理大神也许不削一顾：这不就是说地球是圆的么，数学系的牛人毅然站出来，别做梦了少年，你们只会越离越远，就算到了世界末日，你们也碰不到一块儿。&/p&&p&结果，文艺青年赢的了女神的芳心。理工大神则斩获了“屌丝”的称号&/p&&p&实际上，共轭我们可以理解成相关联，也就是所谓的“缘分”，就是这一对数存在某种联系的意思，这里我们不深究更深层次的含义，我们主要说说共轭复数，首先，复数的形式是：&figure&&img src=&/v2-134dfea06cbf6c_b.png& data-rawwidth=&227& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&227&&&/figure&&/p&&p&它的共轭是&figure&&img src=&/v2-c579fa86851bba44b980ee3ed2f77727_b.png& data-rawwidth=&67& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&67&&&/figure&&/p&&p&非常简单的一句概括：实部相等，虚部取反，这两个复数互为共轭。&/p&&p&那么，和我们之前说的对称性相结合的话什么是共轭对称性呢&/p&&p&我们这样给出定义：&/p&&p&当一个函数f其实部为偶函数，虚部为奇函数时，此函数就为共轭对称函数，即f(x)的共轭等于f(-x)，举一个非常简单的例子：&figure&&img src=&/v2-99d498ccd5b8a524eef2ad_b.png& data-rawwidth=&196& data-rawheight=&49& class=&content_image& width=&196&&&/figure&&/p&&p&显然的，实部是个偶函数，虚部xi是个奇函数，因此它是一个共轭对称函数，现在，我们来看看离散的范例，假设有以下复数序列&figure&&img src=&/v2-45a463cafd39_b.png& data-rawwidth=&329& data-rawheight=&55& class=&content_image& width=&329&&&/figure&&/p&&p&我们分别提取实部与虚部那么分别是&/p&&p&实部：1,2,3,3,2,1&/p&&p&虚部：1,2,3，-3，-2，-1&/p&&p&我们很清晰的看到了序列的对称性，实部偶对称，虚部奇对称。在这里，因为他是离散的序列，所以我们管它叫共轭对称序列。&/p&&h2&离散傅里叶变换的共轭对称性&/h2&&p&
对称之美存在世间万物中的每一个角落，作为信号与系统中最美的变换函数之一，她也存在这种对称性。&/p&&p&我们回到离散傅里叶变换的公式：&figure&&img src=&/v2-1a7b2dce904ffabcbff8e1e0bc139e17_b.png& data-rawwidth=&221& data-rawheight=&104& class=&content_image& width=&221&&&/figure&&/p&&p&我们假设：&figure&&img src=&/v2-9f1f1b24ab97f19c91e7752bcbb136a5_b.png& data-rawwidth=&133& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&133&&&/figure&依据欧拉公式，可以得出&figure&&img src=&/v2-46fc21b58fb4d121e89a0be7_b.png& data-rawwidth=&301& data-rawheight=&78& class=&content_image& width=&301&&&/figure&&/p&&p&那么，上式可以写成&figure&&img src=&/v2-2bf7cc5fd4_b.png& data-rawwidth=&189& data-rawheight=&104& class=&content_image& width=&189&&&/figure&&/p&&p&我们设k=N-k，并将它带入&figure&&img src=&/v2-f4ec838f5caf58e2a86772a_b.png& data-rawwidth=&52& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&52&&&/figure&&/p&&p&当中，那么就有&figure&&img src=&/v2-1b8a6a205c4f23cf7ecbf0_b.png& data-rawwidth=&692& data-rawheight=&208& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&692& data-original=&/v2-1b8a6a205c4f23cf7ecbf0_r.png&&&/figure&&br&和&figure&&img src=&/v2-4f65d415d6b37b358f2d943ef5d59f89_b.png& data-rawwidth=&384& data-rawheight=&78& class=&content_image& width=&384&&&/figure&&br&&/p&&p&进行对比，发现，实部相同虚部相反，假如输入的信号为实信号时，刚好呈共轭对称性，将它代入离散傅里叶变换方程后&figure&&img src=&/v2-86f1fb16eac1_b.png& data-rawwidth=&298& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&298&&&/figure&&figure&&img src=&/v2-a82055c9cdfda_b.png& data-rawwidth=&250& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&250&&&/figure&&/p&&p&其中*的意思就是共轭。也就是说离散傅里叶变换具有这种共轭对称性（输入为实信号时）。&/p&&p&
但共轭对称的范围是1~N-1，因此当k=0时，它的共轭对称并不存在（序列范围是0~N-1），所以我们需要额外讨论k=0时的情况：&figure&&img src=&/v2-18cbec61b80ebd_b.png& data-rawwidth=&766& data-rawheight=&154& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&766& data-original=&/v2-18cbec61b80ebd_r.png&&&/figure&&/p&&p&也就是之前所说的直流分量了。&/p&&p&
现在回到之前我们所求函数&figure&&img src=&/v2-4be906fe0c3bb1fb590c01a4cec477a1_b.png& data-rawwidth=&200& data-rawheight=&59& class=&content_image& width=&200&&&/figure&&/p&&p&的序列离散傅里叶变换的结果&/p&&figure&&img src=&/v2-2efaeddcbbe_b.png& data-rawwidth=&261& data-rawheight=&229& class=&content_image& width=&261&&&/figure&&p&根据共轭对称性得&/p&&figure&&img src=&/v2-f87b0b5fbce325fc43213fb_b.png& data-rawwidth=&189& data-rawheight=&66& class=&content_image& width=&189&&&/figure&&figure&&img src=&/v2-91f5d79ff3b7ed607ad0ad_b.png& data-rawwidth=&596& data-rawheight=&85& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&596& data-original=&/v2-91f5d79ff3b7ed607ad0ad_r.png&&&/figure&&h2&快速傅里叶变换&/h2&&p&在上文的范例中，我们仅仅是计算了序列长度只有4的离散傅里叶变换，也可以看到非常麻烦，倘若序列再长点的话，工作量就会呈指数级增长，我们使用矩阵运算来表达离散傅里叶变换的运算过程&figure&&img src=&/v2-24e5fbb91e3f2_b.png& data-rawwidth=&410& data-rawheight=&156& class=&content_image& width=&410&&&/figure&&/p&&p&可以看到需要16次乘法运算，按照时间复杂度来算的话，它的复杂度是O()，当然，这还没算上sin cos与复数加减法带来的性能开销。所以，如果你想将一段2000长度的离散信号进行DFT运算，意味着你至少需要做400万次的运算，巨大的性能花销，导致了DFT在以前并不被看好，毕竟除非一些非常重要的信号，谁会花大量的人力物力去做这几百万次的运算呢，即使是在今天，几百万次的计算开销在有了计算机的帮助之后，也并不算一个小数目，倘若对于那些实时的频域分析，这些计算开销都是非常昂贵的，不过幸运的是，一个DFT的优化算法很快被开发出来，我们称之为快速傅里叶变换（Fast Fourier Transformation），当然，其本质上仍然是DFT只是算法上进行了优化使它更加适合于计算机处理，不过话说归说，不给出理论证明的广告都是瞎扯淡，那么，接下来就继续看看，DFT是如何被优化的：&/p&&p&首先第一点，我们仍然先把离散傅里叶变换对贴上来&figure&&img src=&/v2-6ebdfc9cc6d5a061f3987_b.png& data-rawwidth=&226& data-rawheight=&104& class=&content_image& width=&226&&&/figure&&figure&&img src=&/v2-fe21be0f9dfd0f25deb9c5cf07d67b72_b.png& data-rawwidth=&269& data-rawheight=&104& class=&content_image& width=&269&&&/figure&&br&&/p&&p&现在，我们假设对离散序列x[n]的离散傅里叶变换写作&figure&&img src=&/v2-f7fffaca6c98_b.png& data-rawwidth=&199& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&199&&&/figure&&/p&&figure&&img src=&/v2-1710fde184b9c866dfe9be2a1c166e3d_b.png& data-rawwidth=&1521& data-rawheight=&250& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1521& data-original=&/v2-1710fde184b9c866dfe9be2a1c166e3d_r.png&&&/figure&&br&&figure&&img src=&/v2-acb5f3ebbea_b.png& data-rawwidth=&283& data-rawheight=&115& class=&content_image& width=&283&&&/figure&&p&就可以写成&/p&&figure&&img src=&/v2-043e5d706f06d11ca9949_b.png& data-rawwidth=&633& data-rawheight=&131& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&633& data-original=&/v2-043e5d706f06d11ca9949_r.png&&&/figure&&p&进一步变形，得到&figure&&img src=&/v2-4ecc4b9737_b.png& data-rawwidth=&597& data-rawheight=&135& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&597& data-original=&/v2-4ecc4b9737_r.png&&&/figure&&br&&/p&&figure&&img src=&/v2-5a5d64d13feb9f_b.png& data-rawwidth=&1172& data-rawheight=&439& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1172& data-original=&/v2-5a5d64d13feb9f_r.png&&&/figure&&figure&&img src=&/v2-f1af8c9d97c_b.png& data-rawwidth=&1514& data-rawheight=&208& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1514& data-original=&/v2-f1af8c9d97c_r.png&&&/figure&&br&&br&&p&后面两个式子是不是非常眼熟，没错，一个DFT变换变成了2个DFT变换，不同的是，后面序列的长度只有前面的一半，为了保证后面两个DFT变换成立，k的范围也应随之变为了【0，二分之n】&/p&&figure&&img src=&/v2-826cbbdff148_b.png& data-rawwidth=&661& data-rawheight=&217& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&661& data-original=&/v2-826cbbdff148_r.png&&&/figure&&br&&p&既然，前半部分可以变为两个DFT变换，那么后半部分呢，我们使用k+来表示离散序列后半部分，那么，DFT就变为了&figure&&img src=&/v2-ec1baed492be64effba60_b.png& data-rawwidth=&555& data-rawheight=&150& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&555& data-original=&/v2-ec1baed492be64effba60_r.png&&&/figure&&/p&&p&进一步变形得到&figure&&img src=&/v2-93e7e3765adaeada48bcf1b7f8140eaa_b.png& data-rawwidth=&484& data-rawheight=&132& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&484& data-original=&/v2-93e7e3765adaeada48bcf1b7f8140eaa_r.png&&&/figure&&/p&&p&根据欧拉公式，因为&figure&&img src=&/v2-810d2da8f1dd039a3ce2_b.png& data-rawwidth=&436& data-rawheight=&95& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&436& data-original=&/v2-810d2da8f1dd039a3ce2_r.png&&&/figure&&/p&&p&所以&figure&&img src=&/v2-f233b007accdf07966c5ffcf6798f96e_b.png& data-rawwidth=&512& data-rawheight=&105& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&512& data-original=&/v2-f233b007accdf07966c5ffcf6798f96e_r.png&&&/figure&&/p&&p&可以看到，仅仅是多了一个，其它都与之前的推导相同，那么这也就是为什么我们要将离散序列分为奇数列与偶数列的原因了，偶数列不变，奇数列多个负号，于是，公式变为了&figure&&img src=&/v2-c72ae68dcce_b.png& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&207& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/v2-c72ae68dcce_r.png&&&/figure&&/p&&p&那么，公式总结为&figure&&img src=&/v2-e30d19ab7_b.png& data-rawwidth=&586& data-rawheight=&222& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&586& data-original=&/v2-e30d19ab7_r.png&&&/figure&&/p&&p&那么，计算的复杂度就从&figure&&img src=&/v2-8dd1ed33c9f925de6848c30_b.png& data-rawwidth=&266& data-rawheight=&48& class=&content_image& width=&266&&&/figure&,只要n的值大于2，计算的时间复杂度无疑是降低了，我们进一步对多项式进行分解，直到最后仅剩下2个离散点的傅里叶变换，那么，它的复杂度将会降低至&figure&&img src=&/v2-88bfd0ee32a60dc3dca11f_b.png& data-rawwidth=&117& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&117&&&/figure&&/p&&p&，同时，这也就要求我们的离散序列项的个数必须是2的整数次幂，因此，这种快速傅里叶变换又叫做基2快速傅里叶变换，当然同样的，也有其它基底的快速傅里叶变换，但这里就不做更多的讨论了。&br&&/p&&h2&快速傅里叶逆变换&/h2&
&p&快速傅里叶逆变换完全可按照正变换的过程进行推导，实际上就是换汤不换药，根据IDFT公式&figure&&img src=&/v2-bd1eab0ade844f5c3d0623e_b.png& data-rawwidth=&269& data-rawheight=&104& class=&content_image& width=&269&&&/figure&&/p&&p&同样的，我们将离散序列X[n]分成两组，例如X[0],X[2],X[4],x[6]……x[2i]为偶数序列，记为x[2i],，而将X[1],X[3],X[5]….X[2i+1]记为X[2i+1],意思是奇(odd)序列&/p&&p&那么，公式可以写成&/p&&figure&&img src=&/v2-1baab5cfdbfa9_b.png& data-rawwidth=&742& data-rawheight=&176& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&742& data-original=&/v2-1baab5cfdbfa9_r.png&&&/figure&&p&进一步变形，得到&/p&&figure&&img src=&/v2-34e706ff8da0f830828a_b.png& data-rawwidth=&796& data-rawheight=&269& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&796& data-original=&/v2-34e706ff8da0f830828a_r.png&&&/figure&&p&后式与DFT正变换，仅仅只是W指数正负的不同，我们只需要修改下符号就可以了。&/p&&p&按照上面步骤同样推导出（因推导步骤一样，推导过程略）：&/p&&figure&&img src=&/v2-781a6cae291f9cb957ca24_b.png& data-rawwidth=&781& data-rawheight=&179& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&781& data-original=&/v2-781a6cae291f9cb957ca24_r.png&&&/figure&&h2&使用C语言编写DFT/IDFT代码&/h2&&br&&p&
回到离散傅里叶变换对&/p&&figure&&img src=&/v2-128cfe9bbb6a_b.png& data-rawwidth=&530& data-rawheight=&242& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&530& data-original=&/v2-128cfe9bbb6a_r.png&&&/figure&&p&我们需要先将它们变成容易编码的格式，首先是正变换&/p&&figure&&img src=&/v2-b2d9c84cb304d72a65ac1a_b.png& data-rawwidth=&639& data-rawheight=&114& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&639& data-original=&/v2-b2d9c84cb304d72a65ac1a_r.png&&&/figure&&p&利用欧拉公式，变为&/p&&p&&figure&&img src=&/v2-dd17cfb40d538422fcbe2_b.png& data-rawwidth=&526& data-rawheight=&85& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&526& data-original=&/v2-dd17cfb40d538422fcbe2_r.png&&&/figure&然后是逆变换&figure&&img src=&/v2-0ffc17bdd53_b.png& data-rawwidth=&425& data-rawheight=&120& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&425& data-original=&/v2-0ffc17bdd53_r.png&&&/figure&利用欧拉公式，变形为&/p&&figure&&img src=&/v2-da94f05b9b3f84d94ee9_b.png& data-rawwidth=&594& data-rawheight=&197& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&594& data-original=&/v2-da94f05b9b3f84d94ee9_r.png&&&/figure&&p&首先因为频域涉及到复数运算（输入信号一般为实信号）因此我们需要复数结构体complex,现定义结构体&/p&&figure&&img src=&/v2-1cdda92a473ca387bee98_b.png& da}