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函数的单调性与极值._百度文库
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函数的单调性与极值.
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请填写真实有效的信息，以便工作人员联系您，我们为您严格保密。考研数学重要考点：多元函数极值问题
多元函数极值和最值是考研数学的重要考点，主要考查条件极值以及闭区域内连续函数的最值，数一还应注意与空间解析几何混合一起出综合题。
一、多元函数的一般极值
对于多元函数的一般极值（或无条件极值），我们可以先求出多元函数驻点，然后用充分条件进行判断，需要特别注意函数为隐函数的情形。
对于闭区域内连续函数的最值一般先求出区域内的驻点（无需判断是否为极值），然后求出边界上的最值，以边界方程为约束条件利用条件极值求法，最后比较函数值大小关系.
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高数微积分极值与最值
第八节 多元函数的极值与最值1一、问题的提出实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每 瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估 计，如果本地牌子的每瓶卖 x 元，外地牌子的 每瓶卖 y 元，则每天可卖出 70 ? 5 x ? 4 y 瓶本 地牌子的果汁，80 ? 6 x ? 7 y瓶外地牌子的果汁 问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可 取得最大收益？每天的收益为 f ( x , y ) ?( x ? 1)(70 ? 5 x ? 4 y ) ? ( y ? 1.2)(80 ? 6 x ? 7 y )求最大收益即为求二元函数的最大值.2二、多元函数的极值观察二元函数 z ? ? xy ex2 ? y2的图形31、二元函数极值的定义设函数 z ? f ( x , y )在点( x0 , y0 )的某邻域内有定义， 对于该邻域内异于 ( x0 , y0 ) 的点 ( x , y ) ：若满足不等式 f ( x, y ) ? f ( x0 , y0 )，则称函数在 ( x0 , y0 ) 有极大值；若 满足不等式 f ( x, y ) ? f ( x0 , y0 )，则称函数在 ( x0 , y0 ) 有 极小值；极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.4例1 函数 z ? x 2 ? y 2 例２ 函数 z ? ? x 2 ? y 2在 (0,0) 处有极小值． 在 (0,0) 处有极大值．例３ 函数 z ? xy 在 (0,0) 处无极值．52、多元函数取得极值的条件定理 1（必要条件） 设 函 数 z ? f ( x , y ) 在 点 ( x0 , y0 ) 具 有 偏 导 数 ， 且 在 点( x0 , y0 ) 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零： f x ( x0 , y0 ) ? 0， f y ( x0 , y0 ) ? 0 .证: 不妨设 z ? f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 处有极大值,都有 f ( x , y ) ? f ( x0 , y0 ) , 故当 y ? y0 ， x ? x0 时，有 f ( x , y0 ) ? f ( x 0 , y0 ) ,则对于( x0 , y0 ) 的某邻域内任意 ( x , y ) ? ( x0 , y0 )说明一元函数 f ( x , y0 ) 在 x ? x 0 处有极大值,必有f x ( x0 , y0 ) ? 0 ; 类似地可证f y ( x0 , y0 ) ? 0 . 6推广: 如果三元函数 u ? f ( x , y , z ) 在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数，则它在 P ( x0 , y0 , z0 )有极值的必 要条件为 f x ( x0 , y0 , z0 ) ? 0， f y ( x0 , y0 , z0 ) ? 0 ，f z ( x0 , y0 , z0 ) ? 0.仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均 称为函数的驻点. 驻点 极值点(具有偏导数的函数)例如, 点(0,0) 是函数z ? xy 的驻点，但不是极值点.7温馨提示：偏导数不存在的点 也可能是函数的极值点。 例如： 不存在。也不存在， 但是极大值点。所以，与一元类似要想研究极值需找出所有驻点 导数不存在的点。问题：如何判定一个驻点是否为极值点？8定理 2（充分条件） 设函数 z ? f ( x , y )在点( x0 , y0 )的某邻域内连续， 有一阶及二阶连续偏导数， f y ( x 0 , y0 ) ? 0 ， 又 f x ( x0 , y0 ) ? 0,令 f xx ( x0 , y0 ) ? A, f xy ( x0 , y0 ) ? B , f yy ( x0 , y0 ) ? C ，则 f ( x , y )在点( x0 , y0 )处是否取得极值的条件如下： （1） AC ? B ? 0时具有极值，2当 A ? 0 时有极大值， 当 A ? 0 时有极小值； （2） AC ? B ? 0时没有极值；2（3） AC ? B 2 ? 0时可能有极值,也可能没有极值， 还需另作讨论．9对这一定理不作证明,仅介绍它的记忆之法:10例4求由方程 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 2 x ? 2 y? 4 z ? 10 ? 0 确定的函数z ? f ( x , y ) 的极值解 将方程两边分别对 x, y 求偏导? 2 x ? 2 z ? z? ? 2 ? 4 z? ? 0 x x ? ? 2 y ? 2 z ? z?y ? 2 ? 4 z?y ? 0由函数取极值的必要条件知, 驻点为 P (1,?1) ,将上方程组再分别对 x, y 求偏导数,111 A ? z?? |P ? , xx 2? z21 ? B ? z?? |P ? 0, C ? z?yy |P ? , xy 2? z函数在P 有极值.1 故 AC ? B ? ? 0 ( z ? 2) , 2 (2 ? z )将 P (1,?1) 代入原方程, 有 z1 ? ?2,z2 ? 6 ,1 当 z1 ? ?2 时， A ? ? 0 , 4所以 z ? f (1,?1) ? ?2 为极小值；1 当 z 2 ? 6 时， A ? ? ? 0 , 4所以z ? f (1,?1) ? 6 为极大值.12求函数 z ? f ( x , y )极值的一般步骤：(偏导存在条件下)第一步 解方程组 f x ( x , y ) ? 0,f y ( x, y) ? 0求出实数解，得驻点.第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 ) ，求出二阶偏导数的值 A、B、C.第三步 定出 AC ? B 的符号，再判定是否是极值.213三、条件极值、拉格朗日乘数法实例： 小王有200元钱，他决定用来购买两 种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他 购买 x 张磁盘，y盒录音磁带达到最佳效果， 效果函数为 U ( x , y ) ? ln x ? ln y．设每张磁 盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200 元以达到最佳效果． 问题的实质：求 U ( x , y ) ? ln x ? ln y 在条 件 8 x ? 10 y ? 200下的极值点．14无条件极值：对自变量除了限制在定义域内以外，并无其他条件.条件极值：对自变量有附加条件的极值．解决办法： （1）化为无条件极值（用代入法） （2）直接求极值。（拉格朗日乘数法）15一些较简单的条件极值问题可以把它转化为 无条件极值来求解――降元法，但这种方法需要 经过解方程和代入的手续，对于较复杂的方程就 不容易作到，有时甚至是不可能的解决条件极值问题的一般方法 是 Lagrange乘数法――升元法 求 z = f ( x , y ) 在条件? ( x, y ) ? 0下的极值 其几何意义是在曲线L : ? ( x, y ) ? 0上求一点( x0 , y0 )使f ( x, y ) ? f ( x0 , y0 ) 或f ( x, y ) ? f ( x0 , y0 )16其中点 ( x , y )在曲线 L 上假定点P (x0 , y0 ) 为条件极值点在(x0 , y0 ) 的某个邻域内f( x , y )可微? x ,? y 连续 且不同时为0 不妨设 ? y ? 0于是 ? ( x , y ) ? 0确定了一个隐函数y = y(x)故 z= f [x , y(x)]在P(x0 , y0)处取得极值故dz 即 P? 0 dx f x ( x0 , y0 ) ? f y ( x , y0 ) y?( x0 ) ? 0又由隐函数的微分法知dy ? x ( x0 , y0 ) P ?? dx ? y ( x0 , y0 )17代入上式f y ( x0 , y0 ) f x ( xo , yo ) ? ? x ( x0 , y0 ) ? 0 ? y ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) 令 ??? 得 ? y ( x0 , y0 )P (x0 ,y0 )为条件极值点的必要条件为f x ( x0 , y0 ) ? ?? x ( x0 , y0 ) ? 0 f y ( x0 , y0 ) ? ?? y ( x0 , y0 ) ? 0? ( x 0 , y0 ) ? 018拉格朗日乘数法 要找函数 z ? f ( x , y )在条件? ( x , y ) ? 0下的 可能极值点， 先构造函数 F ( x , y ) ? f ( x , y ) ? ?? ( x , y ) ， 其中 ? 为某一常数，可由 ? ? Fx ? f x ( x , y ) ? ?? x ( x , y ) ? 0, ? ? ? F y ? f y ( x , y ) ? ?? y ( x , y ) ? 0, ? F?? ? ? ( x , y ) ? 0. ? 解出 x , y , ? ，其中 x, y 就是可能的极值点的坐标.19zz=f(x,y)o..yLxP条件极值点M无条件极值点20拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况： 要找函数u ? f ( x , y , z , t ) 在条件 ? ( x , y , z , t ) ? 0 ，? ( x , y , z , t ) ? 0 下的极值， 先构造函数F ( x , y , z , t ) ? f ( x , y , z , t ) ? ?1? ( x , y , z , t ) ? ? 2? ( x , y , z , t ) 其中?1 , ? 2 均为常数，可由 偏导数为零及条件解出 x , y , z , t ，即得极值点的坐标.21例5x y z 求内接于椭球 2 ? 2 ? 2 ? 1 a b c222的最大长方体的体积,长方体的各面平行于坐标面解一 设内接于椭球且各面平行于坐标面的长方体在第 一卦限的顶点的坐标为( x , y , z ) 则长方体的体积为V=8xyzx y z 令 F ? xyz ? ? ( ? ? ? 1) 2 2 2 a b c2x Fx ? yz ? ? 2 ? 0 a 2z Fz ? xy ? ? 2 ? 0 c2222y Fy ? xz ? ? 2 ? 0 b x2 y2 z2 2 ? 2 ? 2 ?1 a b c22三式分别乘以x,y,z后相加得3 xyz ? ?2?a b c 解得 x ? , y ? ,z ? 3 3 3 2x 2y 或 yz ? ? ? 2 xz ? ? ? 2 a b 2 2 2 2 2 x z y b x x y 两式相除 ? 2 ? 2 ? 2 同理 2 ? 2 x a y a b a c即x2 y2 z2 2 ? 2 ? 2 a b ca b c ,y? ,z ? 代入解得 x ? 3 3 323解二任意固定 z0 (0& z0 & c )先在所有高为2 z0 的长方体中求体积最大者因为高是固定的，故当底面积最大时体积最大今上底面为内接于椭圆x2 2边平行于 x,y 轴的长方形 当长方形的边长分别为2 2 2 z0 2 z0 2 ? a 1 ? 2 ,2 ? b 1 ? 2 （一元函数极值问题） 24 2 2 c c2 ? z0 ? ?a 1 ? 2 ? c ? ? z ? z0?y2 22 ? z0 ? ?b 1 ? 2 ? c ? ??1长方形面积最大得到高为 2z0 的长方体中最大体积为 2 2 z0 z0 V ( z0 ) ? 4ab(1 ? 2 ) z0 V ?( z0 ) ? 4ab(1 ? 3 2 ) c c c z0 ? V( z0 ) 最大 3 a b c 这时长方体在第一卦限的顶点的坐标为 ( , , )x y z 作变换 X ? ,Y ? , Z ? a b c 2 2 2 问题变成在 X ? Y ? Z ? 1 下求 XYZ 的最大值 1 易知为立方体 ? X ? Y ? Z ? a b c 3 ?x? ,y? ,z ? 25 3 3 3333解三解四 即求 x ? y ? z 的最大值 2 2 2222ab c而此三个正数的和一定（=1）x2 y2 z2 1 a b c 当 2 ? 2 ? 2 ? 积最大 ? x ? ,y? ,z ? 3 3 3 a b c 326例6 将给定的正数 m 分成三个非负数x,y,z 之和使x a y b z c最大a b c其中a, b, c 为给定的正数解 令D为平面 x + y + z = m 在第一卦限的部分u ? x y z ( x, y, z ) ? D由于在D的边界上，总有 u = 0 而在D内有u & 0 且u 在D上连续，故必存在 最大值，且一定在D 内取得 另一方面 由于 u 和 lnu 在D内有相同的极值点 故问题转化为求lnu 在条件 x + y + z = m 下的极值。27令F ? ln u ? ? ( x ? y ? z ? m )? a ln x ? b ln y ? c ln z ? ? ( x ? y ? z ? m ) 则 Fx ? a ? ? ? 0 x b Fy ? ? ? ? 0 与 x + y + z = m 联立解得 y c Fz ? ? ? ? 0 zam bm cm x? ,y? ,z ? a?b?c a?b?c a?b?ca a bbc c m a ? b? c ? umax ? ( a ? b ? c )a ? b ? c28拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况： 要找函数 u ? f ( x , y , z , t ) 在条件 ? ( x , y , z , t ) ? 0，? ( x , y , z , t ) ? 0 下的极值， 先构造函数 F ( x , y , z , t ) ? f ( x , y , z , t ) ? 其中 ?1 , ?2 均为常数，可由 偏导数为零及条件解出 x, y, z, t ，即得极值点的坐标.?1? ( x, y, z, t ) ? ?2? ( x, y, z , t )注: 拉格朗日函数分别对各自变量及拉格朗日乘数 求偏导数，并令其为零。29四、多元函数的最值与一元函数相类似，我们可以利用函数的 极值来求函数的最大值和最小值.、有界闭区域上连续函数求最值的一般方法：将函数在D内的所有驻点和不可导点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.30求最值步骤： 1、求D内驻点和不可导点。 2、求边界上的条件极值点 （用代入法或拉格朗日乘数法） 3、求边界的边界上的最值疑点。 4、计算这些点的函数值，比较大小， 最大的为最大值，最小的为最小值。31例7 求二元函数 z ? f ( x , y ) ? x 2 y(4 ? x ? y ) 在直线 x ? y ? 6， x轴和 y 轴所围成的闭区域 D 上的最大值与最小值.解如图,先求函数在D 内的驻点，yx? y?6Do xD32? f x? ( x , y ) ? 2 xy (4 ? x ? y ) ? x 2 y ? 0 解方程组 ? ? ( x , y ) ? x 2 (4 ? x ? y ) ? x 2 y ? 0 ? fy得区域 D 内唯一驻点( 2,1), 且 f ( 2,1) ? 4 ,y再求 f ( x, y ) 在D 边界上的最值， 在边界 x ? 0 和 y ? 0 上 f ( x, y ) ? 0,在边界 x ? y ? 6 上，即 y ? 6 ? x有 f ( x , y ) ? x (6 ? x )( ?2) ,2x? y?6o D x? 由 f x ? 4 x ( x ? 6) ? 2 x ? 0 ,2得 x1 ? 0, x2 ? 4 ? y ? 6 ? x | x ?4 ? 2, f (4,2) ? ?64,比较后可知 f ( 2,1) ? 4 为最大值, f (4,2) ? ?64 为最小值.33x? y 例 8 求z ? 2 的最大值和最小值. 2 x ? y ?1( x 2 ? y 2 ? 1) ? 2 x( x ? y ) 解 由 zx ? ? 0, 2 2 2 ( x ? y ? 1) ( x 2 ? y 2 ? 1) ? 2 y( x ? y ) zy ? ? 0, 2 2 2 ( x ? y ? 1)1 1 1 1 , ) 和( ? ,? ) , 得驻点( 2 2 2 234x? y ?0 因为lim 2 2 x ?? x ? y ? 1 y ??即边界上的值为零.1 1 1 z( , ) ? , 2 2 21 1 1 z( ? ,? ) ? ? , 2 2 21 1 所以最大值为 ，最小值为? . 2 2351 1 ? x? y s t lim 2 ? lim x ?? x ? y 2 ? 1 s?0 1 2 1 2 y ?? t ?0 ( ) ? ( ) ? 1 s t ?t ? s ?t s ? lim 2 s?0 s ? t 2 ? s 2 t 2 t ?00??t ? s ?tss ? t ?s t2 2 2 2??t ? s ?ts2st ? s t2 2?2?s t?t ? s ? ? 036注：要求函数在D上的最大值和最小值往往 相当复杂，在通常遇到的实际问题中， 如果根据问题的性质，可以判断出该函 数的最值一定在D的内部取得，而函数 在D内又只有一个驻点，可判定该点即 为所求最值点。37例9将正数 12 分成三个正数 x , y, z 之和 使得 u ? x 3 y 2 z 为最大.解 令 F ( x , y , z ) ? x 3 y 2 z ? ? ( x ? y ? z ? 12) ,则? ? 3 x2 y2z ? ? ? 0 ? Fx ? ? F y ? 2 x 3 yz ? ? ? 0 ? ? Fz? ? x 3 y 2 ? ? ? 0 ? ? x ? y ? z ? 12 ?3 2解得唯一驻点(6,4,2) ，故最大值为 umax ? 6 ? 4 ? 2 ? 6912 .38x y z 例 10 在第一卦限内作椭球面 2 ? 2 ? 2 ? 1 a b c的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四 面体体积最小，求切点坐标.222解 设 P ( x 0 , y0 , z 0 ) 为椭球面上一点,x y z 令 F ( x, y, z ) ? 2 ? 2 ? 2 ? 1, a b c2 y0 2 z0 2 x0 ? ? 则 Fx |P ? 2 ， F y | P ? 2 ， Fz? | P ? 2 a b c过 P ( x0 , y0 , z0 ) 的切平面方程为39222y0 z0 x0 ( x ? x0 ) ? 2 ( y ? y 0 ) ? 2 ( z ? z 0 ) ? 0 , 2 c a bx ? x0 y ? y0 z ? z0 化简为 ? 2 ? 2 ? 1, 2 a b c该切平面在三个轴上的截距各为b2 c2 a2 x ? ， y ? ，z ? , z0 y0 x0 1 a 2b 2c 2 所围四面体的体积 V ? xyz ? , 6 6 x0 y0 z 0402 2 2 x0 y0 z 0 在条件 2 ? 2 ? 2 ? 1下求 V 的最小值, a b c令 u ? ln x0 ? ln y0 ? ln z0 ,G ( x 0 , y0 , z 0 )2 2 2 x 0 y0 z 0 ? ln x0 ? ln y0 ? ln z0 ? ? ( 2 ? 2 ? 2 ? 1) , a b c? ?G? ? 0, G? ? 0, Gz ? 0 x y ? 2 2 2 , 由? x y0 y0 0 ? 2 ? 2 ? 2 ?1? 0 ?a b c0 0 041? 1 2?x0 a ? x ? a2 ? 0 x0 ? 0 ? 3 ? 1 ? 2?y0 ? 0 b ， ?y 可得 y 0 ? b2 ? 0 3 ? 即 c ? 1 ? 2?z0 ? 0 z0 ? 2 ? z0 3 c ? 2 2 2 x0 y0 z0 ? ? 当切点坐标为 ? 2 ?1? 0 ? a 2 b2 c ? a b c ( ， ， )时, 3 3 3四面体的体积最小Vmin3 ? abc . 242小结 多元函数的极值（取得极值的必要条件、充分条件）拉格朗日乘数法 多元函数的最值43思考题若 f ( x 0 , y ) 及 f ( x , y 0 ) 在( x 0 , y 0 ) 点均取得 极值， f ( x , y ) 在点( x 0 , y0 ) 是否也取得极值？ 则44思考题解答不是.例如 f ( x , y ) ? x ? y ,2 2当 x ? 0 时， f (0, y ) ? ? y 在( 0,0) 取极大值;2( 当 y ? 0 时， f ( x ,0) ? x 在 0,0) 取极小值;2( 但 f ( x , y ) ? x ? y 在 0,0) 不取极值.2 245练习：选择题已知函数f (x, y)在点(0, 0)的某个邻域内连续,f ( x , y ) ? xy 则 且 lim 2 2 2 ? 1, x ?0 ( x ? y ) y?0(A) 点(0, 0)不是f (x, y)的极值点. (B) 点(0, 0)是f (x, y)的极大值点. (C) 点(0, 0)是f (x, y)的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点(0, 0)是否为f (x, y) 的极值点.46f ( x, y) ? xy lim 2 ? 1, 2 2 x?0 ( x ? y ) y ?0f ( x, y ) ? xy ? 1 ? o?? ? 2 2 2 (x ? y )2 2 2 2 2f ( x, y) ? xy ? ( x ? y ) ? o?? ?( x ? y )2f ( x, y) ? xy ? ( x 2 ? y 2 )2 ? o?? ?( x 2 ? y 2 )2 lim f ( x, y ) ? 0 ? f (0,0)x ?0 y ?0( x2 ? y 2 )2 lim 不存在， y ? kx 3 x ? ?0 xy y ? ?0令y ? x 令y ? ? x4 f ( x, x) ? x 2 ? 4x（ ? o?? ? 1 ） 4 f ( x,? x) ? ? x 2 ? 4x（ ? o?? ? 1 ）在（0，0）的任何邻域内都有大于0和小于0的点，所以不是极值点47例 求函数z ? 1 ? x ? x 2 ? 2 y在x ? 0, y ? 0与 直线 x ? y ? 1 围成的三角形闭域D上的最大(小)值.解 (1) 求函数在D内的驻点 ? z x ? ?1 ? 2 x 由于 ? ? zy ? 2 ? 0 所以函数在D内无极值. (2) 求函数在 D边界上的最值 (现最值只能在边界上)48yx? y?1DOxz ? 1 ? x ? x2 ? 2 y＊在边界线 x ? 0, 0 ? y ? 1上,yz ? 1? 2y x? y?1 D dz ? 2 ? 0, z ? 1 ? 2 y 单调上升. 由于 O x dy 所以, z (0,0) ? 1 最小, z (0,1) ? 3 最大.y ? 0, 0 ? x ? 1上, z ? 1 ? x ? x 2 ＊在边界线 1 1 3 dz 由于 ? ?1 ? 2 x , 有驻点 x ? ,函数值 z( ,0) ? 2 4 2 dx又在端点(1,0)处, 有 z (1,0) ? 1.49yz ? 1 ? x ? x2 ? 2 y＊在边界线 x ? y ? 1, 0 ? x ? 1上,DOx? y?1z ? 1 ? x ? x 2 ? 2(1 ? x ) ? 3 ? 3 x ? x 2 dz 由于 ? ?3 ? 2 x ? 0 (0 ? x ? 1), 函数单调下降, dx z ( 0 ,0 ) ? 1 所以, 最值在端点处. z (0,1) ? 3 1 (3) 比较 z (0,0), z (1,0), z (0,1) 及z ( ,0) z (1,0) ? 1 2 1 3 1 3 zmax ? z(0,1) ? 3 z( 2 ,0) ? 4 zmin ? z ( ,0) ? 2 4x50求 f ( x, y) ? x 2 ? 4 y 2 ? 9在D : x 2 ? y 2 ? 4上 例：的最大值与最小值. 解 令f x ? 2 x ? 0, f y ? 8 y ? 0 ? 驻点 (0,0) 2 2 将x ? y ? 4代入f ( x, y ), 得f ( x, y ) ? 3 y ? 13 ? g( y ) 令g?( y ) ? 6 y ? 0 ? y ? 02y ? [?2,2]此时 x ? ? 4 ? y 2 ? ?2当y ? ?2时,均有x ? 0（一元函数求最值要考虑端点。）f (0,0) ? 9 f (?2,0) ? 13 f (0,?2) ? 2551故f ( x, y)在D上的最大值为 , 最小值为. 25 9例 已知长方体长宽高的和为18, 问长、宽、高 各取什么值时长方体的体积最大？ 解 设长方体的长、宽、高分别为 x、y、z , 由题意 x ? y ? z ? 18 z ? 18 ? x ? y长方体的体积为 V ? xyz ? xy(18 ? x ? y )? 18xy ? x y ? xy x 区域D： ? 0, y ? 0, x ? y ? 1822V x ? 18 y ? 2 xy ? y 2 ? 0 ?? ? V y ? 18 x ? x 2 ? 2 xy ? 0? 驻点(6,6)由于V在D内只有一个驻点, 且长方体体积 一定有最大值, 故当的长、宽、高都为6时长方 体体积最大. 52例：1 求 点(1,1, )到 曲 面 ? x 2 ? y 2的 最 短 距 离 z . 2 解 设( x , y, z )是曲面上的点,它与已知点的距离为 1 2 2 2 d ? ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? ( z ? ) 2 目标函数 为简化计算,令 1 2 2 2 f ( x , y , z ) ? ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? ( z ? ) 2 问题化为在 约束条件 z ? x 2 ? y 2 下求f ( x , y , z ) 的最小值.531 2 设 L( x , y , z ) ? ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? ( z ? ) 2 ? ?(z ? x2 ? y2 ) (1) ? Lx ? 2( x ? 1) ? 2?x ? 02 2? ? Ly ? 2( y ? 1) ? 2?y ? 0 ? ? 1? ? ? Lz ? 2? z ? ? ? ? ? 0 2? ? ? ? z ? x2 ? y2 ?(2) (3) (4)由(1), ( 2)得 x ? y 代入(4)得 z ? 2x 2x ?1 1 x ?1 1 由(1)得? ? ? 代入( 3)得 z ? ? x 2 2x 2x541 x ?1 1 1 2 ? 故 2x ? 由z ? 2x 与 z ? ? 2 2x 2x 2x 3 3 3 1 1 4 ,y? ,z ? 得唯一驻点 x ? 4 4 2 由于问题确实存在最小值，2? 31 31 34? 故在点? ， ， ?处 d有最小值 ? 4 4 2 ? ? ?? 1 ? ? 4 ? 1? 2? ? 1? ? ? ? 2 ? ? 4 ? ? ? ?3232还有别的简单方法吗用几何法!55求函数 ? x 2 ? y 2在圆 x ? 2 )2 ? ( y ? 2 )2 ? 9 z (上的最大值与最小值.解 (1) 先求函数z ? x 2 ? y 2 在圆内的可能的极值点;?zx ? 2 x ? 0 ? 驻点 (0,0) ? ?z y ? 2 y ? 0(2) 再求z ? x 2 ? y 2 在圆上的最大、最小值. 为此作拉格朗日乘函数:L( x , y ) ? x 2 ? y 2 ? ?[( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 9]56L( x, y) ? x 2 ? y 2 ? ?[( x ? 2 )2 ? ( y ? 2 )2 ? 9]? Lx ? 2 x ? 2? ( x ? 2) ? 0 ? L ? 2 y ? 2? ( y ? 2 ) ? 0 ? y ? ( x ? 2 )2 ? ( y ? 2 )2 ? 9 ? 由(a ), (b)可知 x ? y, 代入(c )得 5 2 2 x? y? 和x ? y ? ? 2 2(a ) (b)(c )2 2? ?5 2 5 2? ? z ,? ? z , ?、 ? ? ( 3) 比较 z (0,0)、? 2 ? 2 ? ? 2 ? 2在圆 x ? 2 ) ? ( y ? 2 ) ? 9上， ( 最大值为 z ? 25, 最小值为 z ? 0.2 257设有一小山,取它的底面所在的平面为xOy坐标 面,其底部所占的区域为 D ? {( x , y ) x 2 ? y 2 ? xy ? 75},h( x, y ) ? 75 ? x 2 ? y 2 ? xy. 小山的高度函数为 (1) 设M(x0 , y0)为区域D上一点,问h(x, y)在该点 沿平面上什么方向的方向导数最大? 若记此方向导数 的最大值为g(x0 , y0), 试写出g(x0 , y0)的表达式.(2) 现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在 山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点. 也就 是说,要在D的边界线 x 2 ? y 2 ? xy ? 75上找出使(1)中 的g(x, y)达到最大值的点.试确定攀岩起点的位置.58解 (1) 由梯度的几何意义知, h(x, y)在点M(x0 , y0) 处沿梯度 gradh( x , y ) ( x0 , y0 )? ( y0 ? 2 x0 , x0 ? 2 y0 )方向的方向导数最大, 方向导数的最大值为该 梯度的模, 所以g( x0 , y0 ) ? ( y0 ? 2 x0 )2 ? ( x0 ? 2 y0 )22 2 ? 5 x0 ? 5 y0 ? 8 x0 y0 .(2) 令 f ( x, y ) ? g 2 ( x, y ) ? 5 x 2 ? 5 y 2 ? 8 xy, 由题意,只需求 f ( x , y ) 在约束条件x 2 ? y 2 ? xy ? 75 下的最大值点. 令 L( x, y ) ? 5 x 2 ? 5 y 2 ? 8 xy ? ? (75 ? x 2 ? y 2 ? xy),59L( x, y ) ? 5 x 2 ? 5 y 2 ? 8 xy ? ? (75 ? x 2 ? y 2 ? xy), 则 ? Lx ? 10 x ? 8 y ? ? ( y ? 2 x ) ? 0, (1) ? ? Ly ? 10 y ? 8 x ? ? ( x ? 2 y ) ? 0, (2) ? (3) ? 75 ? x 2 ? y 2 ? xy ? 0(1) + (2): ( x ? y )( 2 ? ? ) ? 0, 从而得 y ? ? x或? ? 2.若? ? 2,由(1)得 y ? x, 再由(3)得 x ? ?5 3, y ? ?5 3. 若y ? ? x , 由(3)得 x ? ?5, y ? ?5. 可作为攀登的起点. 于是得到4个可能的极大值点 M1 (5, ? 5), M 2 ( ?5, 5), M3 (5 3, 5 3), M4 (?5 3, ? 5 3). f ( M1 ) ? f ( M 2 ) ? 450, f ( M 3 ) ? f ( M 4 ) ? 150.60或由（1）得 由（2）得10x ? 8 y ? ? ?2 x ? y ? 10 y ? 8 x ? ? ?2 y ? x ?2 2 两式相比：再化简得： x ? yx ??y61
极值问题是数学研究中非常重要的问题,是经典微积分最...而且函数的最大值、最小值问题与函数的极值有密切...微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分,是...夹逼定理、中值定理、微积分基本定理等是《微 积分...由求运动速度、曲线的切线和极值等问题产生了导数和...微积分与极限思想微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想, “无限...《求最大值和最小值的方法》 中提出了使用无限小量求极值点的方法,几乎相当...高等数学D微积分试题及答案_理学_高等教育_教育专区...则此函数的最大值为 ___ x →1 1? x 4、已知...函数的极值点未必是它的驻点 5、曲线上凹弧与凸弧...350 ,即可解得利润的最大值 们常用的方法, 即函数思想结合 “微积分” 去...我们利用导数来研究函数的单调性, 然后讨论导数与函数的极值、 导数与函数的最...大一高等数学微积分的论文 回答:1 浏览:7474 我要的是论文 10 分 提问时间: 19:16 相关资料: 美国教授对中国学生写文章的建议 相关资料 更多资料&...考研高数之微积分_研究生入学考试_高等教育_教育专区。高数第一章 函数、极限和...0 ,则 f ( x0 ) 为极小值。 ☆注意:驻点不一定是极值点,极值点也不...大学微积分1方法总结_数学_自然科学_专业资料。大学微积分1方法技巧的经典总结 ...为唯一的极值且为极大值或极小值,即 f ( x0 ) 为最大 值或最小值,即可...都与求函数极值 有关,而导数和微积分的重要应用之...这位数学家计算的结果是,要用最少的材料,制作成 ...假设函数 在0 的某领域内有定义,如果 0 的值小于...微积分(Calculus)是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分 支。微...三是求函数的极大值、极小值。四是求曲线 的弧长,求曲线所围成的面积,曲面...
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