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实验六和实验七NaI(TI)闪烁谱仪及r能谱的测量+γ射线的吸收与物质吸收系数μ的测定
实验一NaI(Tl) 单 晶 γ 闪 烁 谱 仪一．实验目的1． 了解闪烁探测器的结构、原理。 2． 掌握 NaI(Tl)单晶γ 闪烁谱仪的几个性能指标和测试方法。 3． 了解核电子学仪器的数据采集、记录方法和数据处理原理。二．实验内容 1． 学会 NaI(Tl)单晶γ 闪烁谱仪整套装置的操作、调整和使用，调试一台谱仪至正常工作状态。 2． 测量 137Cs、60Co 的γ 能谱，求出能量分辨率、峰康比、线性等各项指标，并分析谱形。 3． 了解多道脉冲幅度分析器在 NaI(Tl)单晶γ 谱测量中的数据采集及其基本功能。 4． 数据处理（包括对谱形进行光滑、寻峰，曲线拟合等） 。 三．原理 1． NaI(Tl)闪烁探测器 ①概述 核辐射与某些物质相互作用会使其电离、激发而发射荧光，闪烁探测器就是利用这一特性来工作的。 下图是闪烁探测器组成的示意图。首先简要介绍一下闪烁探测器的基本组成部分和工作过程。 闪烁探测器有闪烁体、光电倍增管和相应的电子仪器三个主要部分组成。上图中探测器最前端是一个 对射线灵敏并能产生闪烁光的闪烁体，当射线(如γ 、?)进入闪烁体时，在某一地点产生次级电子，它使闪 烁体分子电离和激发， 退激时发出大量光子(一般光谱范围从可见光到紫外光， 并且光子向四面八方发射出 去)。在闪烁体周围包以反射物质，使光子集中向光电倍增管方向射出去。光电倍增管是一个电真空器件， 由光阴极、若干个倍增极和阳极组成；通过高压电源和分压电阻使阳极、各倍增极和阴极间建立从高到低 的电位分布。当闪烁光子入射到光阴极上，由于光电效应就会产生光电子，这些光电子受极间电场加速和 聚焦，在各级倍增极上发生倍增(一个光电子最终可产生 104~109 个电子)，最后被阳极收集。大量电子会在 阳极负载上建立起电信号，通常为电流脉冲或电压脉冲，然后通过起阻抗匹配作用的射极跟随器，由电缆 将信号传输到电子学仪器中去。 实用时常将闪烁体、光电倍增管、分压器及射极跟随器安装在一个暗盒中，统称探头；探头中有时在 光电倍增管周围包以起磁屏蔽作用的屏蔽筒(如本实验装置)，以减弱环境中磁场的影响；电子仪器的组成单元则根据闪烁探测器的用途而异，常用的有高、低压电源，线性放大器，单道或多道脉冲分析器等。 归结起来，闪烁探测器的工作可分为五个相互联系的过程： 1） 射线进入闪烁体，与之发生相互作用，闪烁体吸收带电粒子能量而使原子、分子电离和激发； 2） 受激原子、分子退激时发射荧光光子； 3） 利用反射物和光导将闪烁光子尽可能多地收集到光电倍增管的光阴极上，由于光电效应，光子在光阴 极上击出光电子； 4） 光电子在光电倍增管中倍增，数量由一个增加到 104~109 个，电子流在阳极负载上产生电信号； 5） 此信号由电子仪器记录和分析。 ②NaI(Tl)单晶γ 闪烁谱仪的主要指标： 1） 能量分辨率： 由于单能带电粒子在闪烁体内损失能量引起的闪烁发光所放出的荧光光子数有统计涨落；一定数量的 荧光光子打在光电倍增管光阴极上产生的光电子数目有统计涨落。这就使同一能量的粒子产生的脉冲幅度 不是同一大小而近似为高斯分布。能量分辨率的定义是：???? ? 100 % ?（1―1）由于脉冲幅度与能量有线性关系,并且脉冲幅度与多道道数成正比，故又可以写为???CH ? 100 % CH（1―2）Δ CH 为记数率极大值一半处的宽度（或称半宽度） ，记作 FWHM（Full Width at half maximum） 。CH 为记 数率极大处的脉冲幅度。 显然谱仪能量分辨率的数值越小，仪器分辨不同的能量的本领就越高。而且可以证明能量分辨率和入 射粒子能量有关。??1 ?? 100%（1―3）通常 NaI(Tl)单晶γ 闪烁谱仪的能量分辨率以 137CS 的 0.661MeV 单能Υ 射线为标准， 它的值一般是 10% 左右，最好可达 6~7%。 2）线性 能量的线性就是指输出的脉冲幅度与带电粒子的能量是否有线性关系，以及线性范围的大小。 NaI(Tl)单晶的荧光输出在 150KeV&EΥ &6MeV 的范围内和射线能量是成正比的。但是 NaI(Tl)单晶γ 闪 烁谱仪的线性好坏还取决于闪烁谱仪的工作 状况。例如当射线能量较高时，由于光电倍增 管后几个联极的空间电荷影响，会使线性变 坏。又如脉冲放大器线性不好等等。为了检查 谱仪的线性，必须用一组已知能量的γ 射线， 在相同的实验条件下， 分别测出它们的光电峰 位，作出能量―幅度曲线，称为能量刻度曲线 （或能量校正曲线） ，如右图所示。用最小二 乘法进行线性回归，线性度一般在 0.99 以上。 对于未知能量的放射源， 由谱仪测出脉冲幅度 后，利用这种曲线就可以求出射线的能量。3）谱仪的稳定性： 谱仪的能量分辨率，线性的正常与否与谱仪的稳定性有关。因此在测量过程中，要求谱仪始终能正常 的工作，如高压电源，放大器的放大倍数，和单道脉冲分析器的甑别阈和道宽。如果谱仪不稳定则会使光 电峰的位置变化或峰形畸变。在测量过程中经常要对 137Cs 的峰位，以验证测量数据的可靠性。为避免电子 仪器随温度变化的影响，在测量前仪器必须预热半小时。 2．单道脉冲幅度分析器和多道脉冲幅度分析器的工作原理 单道脉冲幅度分析器（简称“单道” ）是分析射线能谱的一种仪器。 所谓射线的能谱，是指各种不同能量粒子的相对强度分布；把它画到以能量 E 为横坐标，单位时间内 测到的射线粒子数为纵坐标的图上是一条曲线。根据这条曲线，我们可以清楚地看到此种射线中各种能量 的粒子所占的百分比。这一任务可以用单道或多道脉冲幅度分析器来完成。 那么，单道是如何测出能谱的？ 我们知道闪烁探测器可将入射粒子的能量转换为电压脉冲信号，而信号幅度大小与入射粒子能量成正 比。因此只要测到不同幅度的脉冲数目，也就得到了不同能量的粒子数目。由于γ 射线与物质相互作用机 制的差异，从探测器出来的脉冲幅度有大有小，单道就起到从中“数出”某一幅度脉冲数目的作用。 单道里有一个甄别电压 V0（此电压可以连续调节） ，称为阈值，它就象一道屏障一样，将所有低于 V0 的信号都挡住了，只有大于 V0 的信号才能通过。但这样只解决了一半问题，因为在通过的信号中实验者 只知道它们都比 V0 高，具体的幅度还是不能确定。因此在单道中还有一个窗宽?V，使幅度大于 V0+?V 的 脉冲亦被挡住，只让幅度为 V 0 ~ V 0 ? ?V 的信号通过（有的单道是 V 0 ? ?V / 2 ~ V 0 ? ?V / 2 ） ；当我们 把?V 取得很小时，所通过的脉冲数目就可以看成是幅度为 V0 的脉冲数目。 简单地说，单道脉冲分析器的功能是把线性脉冲放大器的输出脉冲按高度分类：若线性脉冲放大器的 输出是 0~10V，如果把它按脉冲高度分成 500 级，或称为 500 道，则每道宽度为 0.02V，也就是输出脉冲 的高度按 0.02V 的级差来分类。在实际测量能谱时，我们保持道宽?V 不变（道宽的选择必须恰当，过大 会使谱畸变，分辨率变坏，能谱曲线上实验点过少；道宽过小则使每道的计数减小，统计涨落增大，或者 使测量时间相应增加） ，逐点增加 V0，这样就可以测出整个谱形。 上面所描述的情况可以称之为单道工作在微分状态下；当单道工作在积分状态下时，只要脉冲高度大 于阈值电压单道就输出一个脉冲，即记录大于某一高度的所有脉冲数目。 单道是逐点改变甄别电压进行计数，测量不太方便而且费时，因而在本实验装置中采用了多道脉冲分 析器。多道脉冲分析器的作用相当于数百个单道分析器与定标器，它主要由 0~10V 的 A/D 转换器和存储 器组成，脉冲经过 A/D 转换器后即按高度大小转换成与脉高成正比的数字输出，因此可以同时对不同幅度 的脉冲进行计数，一次测量可得到整个能谱曲线，既可靠方便又省时。 3．γ 全能谱图分析 当核辐射的能量全部耗尽在闪烁体内时，探测器输出脉冲幅度与入射粒子能量成正比，因此可以根据 对脉冲幅度谱的分析来测定核粒子的能谱。NaI(Tl)单晶γ 谱仪既能对辐射强度进行测量，又可作辐射能量 分析， 同时具有对γ 射线探测效率高和分辨时间短的优点， 是目前广泛使用的一种辐射探测装置。 在工业、 医学的应用领域及核物理实验中，NaI(Tl)单晶γ 能谱仪有相当广泛的用途。 NaI(Tl)单晶γ 能谱仪由以下单元组成：闪烁探头(包括 NaI(Tl)晶体和光电倍增管)，高压电源，线性放 大器，脉冲幅度分析器(分为单道分析器和多道分析器)。 ①响应问题 下面介绍 NaI(Tl)闪烁γ 射线能谱仪对 冲幅度谱的形状进行分析。 γ 射线与物质相互作用时可能产生三种效应：光电效应、康普顿效应和电子对效应，这三种效应产生137Cs 的单能γ 射线(Eγ =0.661MeV)的响应问题，即对测得的脉的次级电子在 NaI(Tl)晶体中产生闪烁发光；如下图所示。表 1 列出了这些相互作用的基本过程。光电效应 表1 基本过程 1） 光电效应康普顿效应 γ 射线在 NaI(Tl)闪烁体中相互作用的基本过程电子对效应次级电子获得的能量 Tγ +原子→原子激发或→离子激发+电子 按T ?T ? E? ? E B （该层电子结合能）E? r (1 ? cos? ) 1 ? r (1 ? cos? )，r ?E? m0 c 22） 康普顿效应 γ +电子→ ? ? (散射)+反冲电子；?为散射角，从 0至最大能量2 E? 1 ? 2r连续分布，峰值在最大能量处。3） 电子对产生 γ +原子→原子+ e + e? ?电子对均分能量 E? ? 2m0c2由于单能γ 射线所产生的这三种次级电子能量各不相同，甚至对康普顿效应是连续的，因此相应一种 单能γ 射线，闪烁探头输出的脉冲幅度谱也是连续的。 γ 射线与闪烁体发生光电效应时，γ 射线产生的光电子动能为：Ee ? E? ? Bi（1―4）其中 BI 为 K、L、M 等壳层中电子的结合能。在γ 射线能区，光电效应主要发生在 K 壳层，此时 K 壳层 留下的空穴将为外层电子所填补，跃迁时将放出 X 光子，其能量为 Ex。这种 X 光子在闪烁晶体内很容易 再产生一次新的光电效应，将能量又转移给光电子。上述两个过程几乎是同时发生的，因此闪烁体得到的 能量将是两次光电效应产生的光电子能量和：E ? ( E? ? Bi ) ? Ex ? E?所以，由光电效应形成的脉冲幅度就直接代表了γ 射线的能量。（1―5）在康普顿效应中，γ 光子把部分能量传递给次级电子，自身则被散射。反冲电子(次级电子)动能为： E? （1―6） Ee ? 1 1? 2 E? (1 ? cos? ) 散射光子能量可近似写成：E ?? ?E? 1 ? 2 E? (1 ? cos? )（1―7）式（1―6） 、 （1―7）中?为散射γ 与入射γ 射线的夹角（散射角） 。 当?=180?时，即光子向后散射，称为反散射光子；此时Ee max ?E? 1 1? 4 E?（1―8） ；E ?? (? ? 180? ) ?E? 1 ? 4 E?（1―9）②NaI(Tl)谱仪测得的 137Cs 的γ 能谱 如下页图所示，测得的γ 能谱有三个峰和一个平台。最右边的峰 A 称为全能峰，这一脉冲幅度直接反映γ 射线的能量即 0.661MeV；上面已经分析过，这个峰中包含光电效应及多次效应的贡献，本实验装置 的闪烁探测器对 0.661MeV 的γ 射线能量分辨率为 7.5%。 平台状曲线 B 是康普顿效应的 贡献，其特征是散射光子逃逸后留 下一个能量从 0 到 E? /(1 ? 1/ 4E? ) 的连 续的电子谱。 峰 C 是反散射峰。由γ 射线透 过闪烁体射在光电倍增管的光阴极 上发生康普顿反散射或γ 射线在源 及周围物质上发生康普顿反散射， 而反散射光子进入闪烁体通过光电 效应而被记录所致。这就构成反散 射峰。 可以根据式 (3 ― 6) 算出反散射 峰能量为 E ?? (? ? 180? ) ? E? /(1 ? 4E? ) ? 0.662/(1 ? 4 ? 0.662) ? 0.184MeV 。 峰 D 是 X 射线峰，它是由 137Ba 的 K 层特征 X 射线贡献的。137Cs 的?衰变体 137Ba 的 0.661MeV 激 发态在放出内转换电子后造成 K 空位，外层电子跃迁后产生此 X 光子。 四．实验装置 实验器材包括：①γ 放射源 137Cs 和 60Co(强度≈2.0 微居里)；②200?mAl 窗 NaI(Tl)闪烁探头；③高压 电源、放大器、多道脉冲幅度分析器。 五．实验步骤 1． 连接好实验仪器线路，经教师检查同意后接通电源。 2． 开机预热后，选择合适的工作电压使探头的分辨率和线性都较好。 3． 把γ 放射源 137Cs 或 60Co 放在探测器前，调节高压和放大倍数，使 60Co 能谱的最大脉冲幅度尽量大而 又不超过多道脉冲分析器的分析范围。 4． 分别测 137Cs 和 60Co 的全能谱并分析谱形，指明光电峰、康普顿平台和反散射峰。 5． 利用多道数据处理软件对所测得的能谱进行数据处理，分别进行光滑化、寻峰、半宽度记录、峰面积 计算、能量刻度、感兴趣区处理等工作并求出各个光电峰的能量分辨率。 6． 根据实验测得的相对于 0.661MeV 、 1.17MeV 、 1.33MeV 的光电峰位置，作 E ― CH 能量定标曲线 （0.184MeV 的 137Cs 反散射峰也可记录在内） 。 7． 对上一步骤所得结果进行最小二乘拟合，求出回归系数，并判断闪烁探测器的线性。 8． 定标曲线的应用：测量 137Cs 谱形，积累一定计数（0.661MeV 峰顶计数达到 3000 以上）后寻找反散射 峰和康普顿峰，分别记下道数，并找出康普顿峰计数一半处的道位（对应?=1800 的 compton 反散射能 量） ，利用上一步得到的能量定标曲线求出反散射光子的能量和反冲电子能量并与理论值相比较，计算 百分误差，可以用公式（1―6） 、 （1―9）计算理论值。六．思考题 1． 简单描述 NaI(Tl)闪烁探测器的工作原理。 2． 反散射峰是如何形成的？3． 若只有137Cs 源，能否对闪烁探测器进行大致的能量刻度？4． Na(Tl)单晶γ 闪烁谱仪的能量分辨率定义是什么？如何测量？能量分辨率与哪些量有关？能量分辨率 的好坏有何意义？ 5． 为什么要测量 Na(Tl)单晶γ 闪烁谱仪的线性？谱仪线性主要与哪些量有关？线性指标有何意义？ 6. NaI(Tl)闪烁体中为什么要加 TI 元素? 7. 多道谱仪是如何组织和存储测量数据的？这样有什么好处？ 8. 光电倍增管是如何工作的？它的输出信号是什么极性？ 9. 闪烁晶体起什么作用？ 10. 在辐射防护方面，要了解放射源的哪些特性？ 11. X 射线与γ 射线有哪些相同点？哪些不同点？ 12. 射线与物质有哪些基本作用？ 七、实验报告要求 1. 实验报告只需要从上面的思考题中任选择 8 题作答，加上以下内容即可。不需要抄写其他部分。 2. 分别测 137Cs 和 60Co 的全能谱，记录并分析谱形，指明光电峰、康普顿平台、反散射峰以及发生?=180? 康普顿散射时反冲电子的能量所对应的位置。能谱图需要附加在实验报告中。 3. 利用多道数据处理软件对所测得的能谱进行数据处理，分别给出光电峰的半高宽度、峰面积及能量分辨 率。并标注在上交的能谱图中。 4. 叙述能量定标的意义及其过程。 5. 实验报告中应指明实验记录的能谱文件，并根据这个能谱文件作数据处理。 6. 实验完成一周后，将实验报告交至实验楼 S223 或 S216，联系电话 。最好在下一次上课时 交至 S223。实验二γ 射线的吸收与物质吸收系数μ 的测定一．实验目的1．了解γ 射线与物质相互作用的特性 2．了解窄束γ 射线在物质中的吸收规律及测量其在不同物质中的吸收系数 二．实验内容 1． 测量137Cs 的γ 射线（0.661MeV 光电峰）在一组吸收片（铅、铝）中的吸收曲线，并用最小二乘原理拟合求线性吸收系数。 2． 根据测到的的吸收系数计算材料的厚度。 三．原理 γ 辐射是处于激发态原子核损失能量的最显著方式， γ 跃迁可定义为一个核由激发态到较低的激发 态、而原子序数 Z 和质量数 A 均保持不变的退激发过程。带电粒子(?或?粒子等)在一连串的多次电离和激 发事件中不断地损失其能量，而γ 射线与物质的相互作用却在单次事件中便能导致完全的吸收或散射。简 单地说，光子(γ 射线)会与下列带电体发生相互作用：1）被束缚在原子中的电子；2）自由电子(单个电子)； 3）库仑场(核或电子的)；4）核子(单个核子或整个核)。 这些类型的相互作用可以导致下列三种效应中的一种：1）光子的完全吸收；2）弹性散射；3）非弹 性散射。因此从理论上讲，γ 射线可能的吸收和散射有 12 种过程，但在从约 10KeV 到约 10MeV 范围内， 大部分相互作用产生下列过程中的一种： ? 低能时以光电效应为主。一个光子把它所有的能量给予一个束缚电子；核电子用其能量的一部分来克 服原子对它的束缚，其余的能量则作为动能； ? 光子可以被原子或单个电子散射到另一方向，其能量可损失也可不损失。当光子的能量大大超过电子 的结合能时，光子与核外电子发生非弹性碰撞，光子的一部分能量转移给电子，使它反冲出来，而散 射光子的能量和运动方向都发生了变化，即所谓的康普顿效应，光子能量在 1MeV 左右时，这是主要 的相互作用方式； ? 若入射光子的能量超过 1.02MeV，则电子对的生成成为可能。在带电粒子的库仑场中，产生的电子对 总动能等于光子能量减去这两个电子的静止质量能(2mc2=1.022MeV)。光电效应康普顿效应电子对效应从上面的讨论可以清楚地看到，当γ 光子穿过吸收物质时，通过与物质原子发生光电效应、康普顿效 应和电子对效应损失能量； γ 射线一旦与吸收物质原子发生这三种相互作用， 原来能量为 h?的光子就消失， 或散射后能量改变、并偏离原来的入射方向；总之，一旦发生相互作用，就从原来的入射γ 束中移去。γ 射线与物质原子间的相互作用只要发生一次碰撞就是一次大的能量转移；它不同于带电粒子穿过物质时， 经过许多次小能量转移的碰撞来损失它的能量。带电粒子在物质中是逐渐损失能量，最后停止下来，有射程概念；γ 射线穿过物质时，强度逐渐减弱，按指数规律衰减，不与物质发生相互作用的光子穿过吸收层， 其能量保持不变，因而没有射程概念可言，但可用“半吸收厚度”来表示γ 射线对物质的穿透情况。 本实验研究的主要是窄束γ 射线在物质中的吸收规律。所谓窄束 γ 射线是指不包括散射成份的射线 束，通过吸收片后的γ 光子，仅由未经相互作用或称为未经碰撞的光子所组成。 “窄束”一词是实验上通 过准直器得到细小的束而取名。这里所说的“窄束”并不是指几何学上的细小，而是指物理意义上的“窄 束” 。即使射线束有一定宽度，只要其中没有散射光子，就可称之为“窄束” 。 窄束γ 射线在穿过物质时，由于上述三种效应，其强度就会减弱，这种现象称为γ 射线的吸收。γ 射 线强度随物质厚度的衰减服从指数规律，即I ? I 0 e ?? r Nx ? I 0 e ? ?x（2―1）其中，I0、I 分别是穿过物质前、后的γ 射线强度，x 是γ 射线穿过的物质的厚度（单位 cm） ，σ r 是光 电、 康普顿、 电子对三种效应截面之和， N 是吸收物质单位体积中的原子数， μ 是物质的线性吸收系数 （μ =σ rN，单位为 cm） 。显然μ 的大小反映了物质吸收γ 射线能力的大小。 需要说明的是，吸收系数μ 是物质的原子序数 Z 和γ 射线能量的函数，且：? ? ?ph ? ?c ? ?p式中 ? ph 、 ?c 、 ?p 分别为光电、康普顿、电子对效应的线性吸收 系数；其中： ?ph ? Z 、 ?c ? Z 、 ?p ? Z （Z 为物质的原子序5 2数） 。 γ 射线与物质相互作用的三种效应的截面都是随入射γ 射线的 能量 E?和吸收物质的原子序数 Z 而改变。γ 射线的线性吸收系数μ 是三种效应的线性吸收系数之和。右图给出了铅对γ 射线的线性吸 收系数与γ 射线能量的线性关系。 实际工作中常用质量厚度 Rm（g/cm2）来表示吸收体厚度，以消除密度的影响。因此（3―1）式可表 达为I ( R) ? I 0 e ? ?m R / ?取对数得：（2―2）由于在相同的实验条件下，某一时刻的计数率 N 总与该时刻的?射线强度 I 成正比，又对（3―2）式ln N ? ??m R ? ln N 0 ?（2―3）由此可见，如果将吸收曲线在半对数坐标纸上作图，将得出一条直线，如右图所示。 ? m / ? 可以从这 条直线的斜率求出，即?? m ln N 2 ? ln N 1 ? ? R2 ? R1（2―4）物质对?射线的吸收能力也经常用“半吸收厚度”表示。 所谓“半吸收厚度”就是使入射的?射线强度减弱到一半时的 吸收物质的厚度，记作：d1 ?2ln 2??0.693?（2―5）四．实验仪器装置 实验器材：①γ 放射源 137Cs(强度≈1.5 微居里)；②200?mAl 窗 NaI(Tl)闪烁探头；③高压电源、放大 器、多道脉冲幅度分析器；④Pb、Al 吸收片若干。做γ 射线吸收实验的一般做法是如上图（a）所示，在源和探测器之间用中间有小圆孔的铅砖作准直 器。吸收片放在准直器中间,前部分铅砖对源进行准直；后部分铅砖则滤去γ 射线穿过吸收片时因发生康普 顿散射而偏转一定角度的那一部分射线。这样的装置体积比较大，且由于吸收片前后两个长准直器使放射 源与探测器的距离较远，因此放射源的源强需在毫居里量级。但它的窄束性、单能性较好，因此只需闪烁 计数器记录。 本实验中，在γ 源的源强约 2 微居里的情况下，由于专门设计了源准直孔（φ 3?12mm） ，基本达到使 γ 射线垂直出射；而由于探测器前有留有一狭缝的挡板，更主要由于用多道脉冲分析器测γ 能谱，就可起 到去除γ 射线与吸收片产生康普顿散射影响的作用。因此，实验装置就可如上图（b）所示，这样的实验 装置在轻巧性、 直观性及放射防护方面有前者无法比拟的优点， 但它需要用多道分析器， 在一般的情况下， 显得有点大材小用，但在本实验中这样安排，可以说是充分利用现有的实验条件。 五．实验步骤 1． 调整实验装置，使放射源、准直孔、闪烁探测器的中心位于一条直线上。 2． 在闪烁探测器和 137Cs 放射源之间加上 0、1、2 片已知质量厚度的吸收片（所加吸收片最后的总厚度要 能吸收γ 射线 70%以上） ，进行定时测量（建议 t=900 秒） ，并存下实验谱图。 3． 将 137Cs 放射源的U罐盖子盖上，测量U罐盖子对射线的吸收情况。 4． 计算所要研究的光电峰净面积 Ai=Ag-Ab，这样求出的 Ai 就对应公式中的 Ii、Ni。 5． 分别用作图法和最小二乘法计算 Pb、Al 吸收片材料对 吸收系数。 6． 利用 Pb 对 137Cs 的γ 射线（取 0.661MeV 光电峰）的质量吸收系数估测放射源保护铅罐的盖子厚度。137Cs 的γ 射线（取 0.661MeV 光电峰）的质量六．实验结果分析与数据处理 前面已经提到，要求出材料对γ 射线的质量吸收系数，必须先计算 光电峰净面积 Ai=Ag―Ab。这里 Ag 为光电峰的毛面积，是峰谷之间（含 峰谷）每道计数之和；Ab 为本底面积，是全能峰两边峰谷连线组成的直 角梯形面积。如右图所示。 下面简单介绍介绍计算光电峰净面积的方法。 确定峰面积有很多方法，原则上可分两类，第一类叫计数相加法， 即把峰内测到的各道计数按一定公式相加，方法简单，但只适于确定单峰面积；第二类叫函数拟合法，即将所测到的数据拟合与一个函数，然后积分这个函数得到峰面积，此方法比较准确，也适于重迭峰，但计 算工作量较大。因为我们用以测吸收系数和测厚的是 采用计数相加法。 按照本底扣除和边界道选取方法的不同，计数相加法主要可分为以下几种方法，如下图所示。 1． 全峰面积法（TPA 法） 取两边峰谷 l、r，把 l 道至 r 道的所以脉冲计数相加， 本底以直线扣除。 这种方法的误差受本底扣除的方式及面积的影响较 大；但该方法利用了峰内全部的脉冲数，受峰的漂移和分 辨率变化的影响最小，同时也比较简单。 2． Covell 法 该方法是在峰的前后沿上对称地选取边界道，并以直 线连接峰曲线上相应于边界的两点，把此直线以下的面积作为本底扣除。 此方法提高了峰面积与本底面积的比值，结果受本底不确定的影响较小。但 n 的选择对结果的精度有 较大的影响，n 选太大，失去采用道数较少的优点；若 n 选得太小每则有容易受峰漂和分辨率变化的影响， 同时 n 太小则基线较高，从而降低了峰面积与本底面积的相对比值。 3．Wasson 法 该法边界道的取法与 Covell 法一样，但本底基线选择较低，与 TPA 法一样。 这一方法进一步提高了峰面积与本底面积的比值，本底基线的不准和计数统计误差对峰面积准确计算 的影响较小；而受分辨率变化的影响与 Covell 法相同，没有 TPA 法好。 在具体的实验数据处理中，我们推荐用 TPA 方法处理就可以了。其他两种方法了解一下就可以了。 七．思考题 1． 什么叫γ 吸收？为什么说γ 射线通过物质时无射程概念？谈谈对γ 射线与物质相互作用机制的认识。 2． 通过对几种不同物质的吸收系数的计算，谈谈在辐射的屏蔽防护方面材料的选择问题。 3． 物质对γ 射线的吸收系数与哪些因素有关？ 4． 线性吸收系数和质量吸收系数有何关系？。 5． 为什么防护γ 射线要用重的物质，而防护中子要用轻的物质？ 6． 在计算峰面积时，三种方法各有什么优缺点？ 7． 如何理解公式（1）表示的吸收？ 8． γ 射线的主要特点是什么？ 9． 描述γ 射线与物质的三种主要作用方式。 10.在作γ 射线吸收系数的实验时，应当注意哪些操作事项？ 11.本次实验中可能存在哪些误差？如何改进以提高实验精度？ 12.在决定测量时间时，需要考虑什么因素？ 八、实验报告要求 1. 实验报告只需要从上面的思考题中任选择 8 题作答，加上以下内容即可。不需要抄写其他部分。137Cs 的全能峰，峰形比较简单，为了计算方便，可2. 计算 Pb、Al 对 137Cs 的γ 射线 （取 0.661MeV 光电峰）的质量吸收系数。分别与下面的参考值进行对比， 分析产生误差的原因。实验得到的能谱图需要附加在实验报告中。 3. 利用 Pb 对 137Cs 的γ 射线（取 0.661MeV 光电峰）的质量吸收系数估测放射源保护铅罐的盖子厚度。 4. 实验报告中应指明实验记录的能谱文件，并根据这个能谱文件作数据处理。 5. 实验完成一周后，将实验报告交至实验楼 S223 或 S216，联系电话 。最好在下一次上课时 交至 S223。 参 1．几种材料对 137Csγ 射线的线性吸收系数： 材 料 ρ （g/cm2） 11.34 8.9 μ （cm-1） 1.213 0.642 材 料 Al Fe ρ （g/cm2） 2.7 7.89 μ （cm-1） 0.194 0.573 考Pb Cu2. 用本实验装置进行γ 射线在物质中的吸收规律实验所得谱形附录一NaI(Tl) 闪 烁 晶 体闪烁体按其化学性质可分为两类：一类是无机晶体闪烁体，通常是含有少量杂质(称为激活剂)的无机 盐晶体，如碘化钠(铊激活)单晶体、即 NaI(Tl)，碘化铯(铊激活)单晶体、即 CsI(Tl)，硫化锌(银激活)、即 ZnS(Ag)等；另一类是有机闪烁体，它们都是苯环碳氢化合物。闪烁体的发光机制比较复杂，在此对无机 晶体闪烁体的发光机制作一些简要的定性介绍。 无机晶体闪烁体属离子型晶体， 原子(离子)之间结合得比较紧密相互之间 影响比较大，晶格中原子电子能级加宽成为一系列连续的能带。其中最低能 量状态已为电子所填满，故称为满带；价电子都处于稍高的能量状态，这种 能带称为“价带” 。若价带未填满，则在外电场作用下将有净电流产生；若价 带已填满，则必须有电子被激发到更高的能带――导带上去，才能产生电流， 此时价带上有一空穴，导带上有一电子，即产生了一个自由电子――空穴对。 价带与导带之间的空隙中不存在电子能级，称为禁带；禁带有一宽度 Eg，它 和晶体的导电性质密切相关， 导体在 0.1eV 左右， 半导体在 0.63―2.5eV 之间， 无机闪烁体为绝缘透明物质，Eg&3eV，NaI 为 7.0eV。 也存在另一种情况：在闪烁晶体中产生的电子―― 空穴对仍束缚着，称为“激子” ，它们在晶格中一起运 动，在外电场中无净电流产生，其能带在导带之下，称 为“激带” 。自由的导带电子和价带空穴可以复合成激 子，激子也可以吸收热运动能量变成自由电子――空穴 对。 当核辐射进入闪烁体时，既可产生自由电子――空 穴对，也可以产生激子。而后电子从导带或激带跃迁到 价带，退激过程中放出光子；也存在着竞争过程――非 辐射跃迁，即通过放热(晶格振动)退激。 有一点需要指出， 纯的 NaI 晶体不是有效的闪烁体。 一是因为相应禁带宽度的光子能量在紫外光范围，不是可见光；二是退激发出的光子尚未逸出晶体就会被 晶体自身吸收。为了解决这一问题，在纯晶体中掺入少量杂质原子(如 Tl)，称为“激活剂” ，它们成为发光 中心，形成一套激发能级，能量比导带低，而基态却比价带高，这样跃迁产生的光子能量就比禁带宽度 Eg 小，那么它就不可能再使价带上的电子激发到导带上去，从而避免自吸收。 碘化钠闪烁晶体能吸收外来射线能量使原子、分子电离和激发，退激时发射出荧光光子。NaI(Tl)晶体 的密度较大(ρ =3.67g/cm3)，而且高原子序数的碘占重量的 85%，所以对γ 射线的探测效率特别高，同时 相对发光效率大；它的发射光谱最强波长为 415nm 左右，能与光电倍增管的光谱响应较好匹配。此外，晶 体的透明性也很好，测量γ 射线时能量分辨率也是闪烁体中较好的一种。 一个需要指出的问题是： 在闪烁体的选取上要注意闪烁体对所测的粒子要有较大的阻止本领， 以使入 射粒子(特别是能量较大的粒子)在闪烁体中能损耗较多的能量而退激产生光子。原先使用的国产 NaI(Tl)晶 体尺寸为?20×5mm，这一厚度对定标时测高能γ (E&1MeV)时的效率不够高，而且对高能β 粒子的计数率 也比较低；本装置的闪烁探测器采用的尺寸为?20×20mm 的 NaI(Tl)晶体可以说是一大改进，一方面可以 提高探测高能γ 部分的效率，另一方面也提高了实验中高能β 粒子的计数率。 NaI(Tl)晶体的缺点是容易潮解，吸收空气中的水分就会变质失效；因此我们采用了 200?m 的铝来密封；这就需要对β 穿过 Al 膜时的能量损失进行修正。在实验中我们发现，对于不同的β 粒子能量的损失 不尽相同；所以在实际的实验和数据处理中进行了能量损失的合理修正。附录二光电倍增管光电倍增管是一种常用的灵敏度很高的光探测器，它由光阴极、电子光学输入系统、倍增系统及阳极 组成，并且通过高压电源及一组串联的电阻分压器在阴极──倍增极(又称“倍增极”)──阳极之间建立 一个电位分布。光辐射照射到阴极时，由于光电效应，阴极发射电子，把微弱的光输入转换成光电子；这 些光电子受到各电极间电场的加速和聚焦，光电子在电子光学输入系统的电场作用下到达第一倍增极，产 生二次电子，由于二次发射系数大于 1，电子数得到倍增。以后，电子再经倍增系统逐级倍增，阳极收集 倍增后的电子流并输出光电流信号，在负载电阻上以电压信号的形式输出。K――光阴极；F――聚焦极；D1～D10――倍增极；A――阳极。根据倍增极的几何形状和排列方式，光电倍增管分为聚焦型(环状、直线)和非聚焦型(百叶窗式、盒栅 式)。 本装置采用 GDB44F 型百叶窗式光电倍增管， 其优点为脉 冲幅度分辨率较好，适用闪烁能谱测量。 它的主要指标应该包括以下几方面：光电转换特性、电子 倍增特性、噪声或暗电流、时间特性等；在此主要介绍光电转 换特性和电子倍增特性。 1） 光电转换特性――光阴极的光谱响应和灵敏度 光阴极是接收光子并放出光电子的电极，一般是在真空中把阴极材料蒸发在光学窗的内表面上，形成 半透明的端窗阴极；光阴极材料的品种有数十种，但最常用的只是五、六种，如锑铯化合物等。一般光电 倍增管光阴极前的光学窗有两种：硼玻璃窗或石英窗，前者适用于可见光，后者可透过紫外光。光阴极受 到光照射后发射光电子的几率是波长的函数，称为光谱响应。在长波端的响应极限主要由光阴极材料的性 质决定，而短波端的响应主要受入射窗材料对光的吸收所限制。了解光电倍增管的光谱响应特性有利于正 确选择不同管子使之与闪烁体的发射光谱相匹配。 在实际应用中，光电转换特性通常使用另一个宏观定义，即一定通量 F 的白光照射阴极所能获得的光 电子流（ik）称为光阴极光照灵敏度：Sk ?ik F（1）其中 ik 单位为微安；F 为光通量，单位为“流明”(lm)。 2） 电子倍增特性――光电倍增管的放大倍数及阳极灵敏度 ①光电倍增管的放大倍数（增益）M 由于倍增极的倍增作用，从光阴极发射出来的电子不断被倍增，最后可在阳极上得到大量电子。从光阴极射出，到达第一倍增极的一个电子，经过多次倍增后在阳极得到的电子数，称为光电倍增管电流放大 倍数（增益） 。M? 阳极接收到的电子数 第一打拿极收集到的电 子数在理想情况下一般可写成：M ?? n? ? a(VD) b其中 VD 为倍增极之间的电压，a、b 为经验常数。 如果倍增极电子传递效率为 g，那么增益 M 比较实际的表达式可写成：（2） （3）式中?是平均二次发射系数，n 为倍增极的级数。二次发射系数?是极间电压的函数，可用经验公式表示：M ? ( g? ) n对设计良好的聚焦型管子 g 约等于 1，对非聚焦型管子 g&1。 ②阳极光照灵敏度 S（4）放大倍数是光电倍增管的重要参数之一，但往往有些技术说明书不直接给出它的数值，而是在给出光 阴极光照灵敏度 Sk 的同时，给出光电倍增管的“阳极光照灵敏度”Sa，它们之间的关系是： 阳极电流ia Sa ? gcMSk ? 入射到阴极的光通量 F 明的光通量照在光阴极上时，在光电倍增管阳极上输出的电流（阳极电流）ia 的数值。 当入射光通量 F 增大时， 阳极电流 ia 在相当宽的范围内是线性增大的； 但 F 太大时， 就出现偏离线性。 原因之一是倍增极发射二次电子疲劳， 使放大倍数减小； 其二是最后几级倍增极和阳极上有空间电荷堆积； 也有可能是分压电阻选择不当，使最后几级倍增极以及阳极之间的电压降低，放大系数减小，这一问题可 以通过调整分压电阻来解决。 阳极光照灵敏度 Sa 和总电压的关系由式(3)、(4)、(5)可知： Sa ? V bn ，故 log Sa ? logV ，两个量的对 数成线性关系；因而随着电流增加到某一数值会出现非线性，logSa 增加变得缓慢；一般说来，加在光电倍 增管上的高压在 1000V 之内线性还是比较理想的。 需要指出的是： 闪烁探测器的线性问题是由多个因素共同作用的结果， 不仅光电倍增管是个重要因素， 闪烁晶体本身也存在能量线性问题。因此在实际应用中，必须考虑多方面的因素，比如各部件的匹配等， 而常用的解决方法则是调整光电倍增管的工作参数。 光电倍增管的管脚插入底座。底座是由分压器与射极跟随器组成。 1） 分压器（5）其中 Sa 的单位为 A/lm，gc 为第一倍增极对光电子的收集效率。阳极光照灵敏度的物理意义是：当一个流光电倍增管中各电极的电位由外加电阻分压器抽头供给。本实验使用正高压电路，阴极接地，阳极处 于高电位，输出端使用耐高压电容隔开。所加电压应根据说明书或不同用途以及管子的性能进行考虑；建议用户在使用本实验装置时采用我们的推荐值。 2）射极跟随器 射极跟随器具有电流放大作用(放大倍数一般为几十～一百以上)，但其电压放大倍数恒小于 1 而接近 于 1，且输出电压和输入电压同相，因此具有电压跟随的特点，频率响应较好。附录三一．多项式拟合 1．概述多项式拟合及能谱的光滑处理和寻峰在实际的物理实验中，我们经常测出某一未知形式函数 f ( x ) 在若干点 xi 处的值 要做的是根据这些数值点推导 f ( x ) 的近似表达式，这就是所谓的曲线拟合问题。yi （i=1,2??n） ，所在介绍曲线拟合之前首先要谈一下函数插值。所谓函数插值是根据插值原理建立一个次数不高于 n 的 插值多项式 Pn( x) 作为函数 f ( x ) 的近似表达式，基本要求是拟合曲线通过所有数据点。 而曲线拟合不要求通过所有数据点，只要求得出的近似函数能反映数据的基本关系，因此曲线拟合比 函数插值得到的结果更能反映客观实际。在某种意义上来说曲线拟合还更有实用价值，因为实际问题中所 提供的数据点往往很多，用函数插值势必得出次数很高的插值多项式，导致计算上的很多麻烦，而且高次 多项式的振荡问题也是一大弊端。因此实际工作中更多采用了曲线拟合的处理方法。 那么对给出的数据点 ( xi, yi ) 作拟合曲线时，怎样才算“拟合得最好”？或者说采取的原则是什么？一 般希望使各观测数据与拟合曲线的方差和最小，就能使拟合曲线更接近真实函数，即最小二乘原理。 2．算法 用一个 m 次多项式 y ( x ) ? a 0 ? a1 x ? a 2 x ? ?? ? amx2 m? ? ajx j 来拟合 n 个观测数据点，其中 mj ?0m远小于 n。 误差平方和： F (a 0, a1, a 2 ??am ) ? 求偏导数并使之为零，因此得到：n ?F ? 2?[ y( xk ) ? yk ]x kj ? 0 ； （ j ? 0,1,2??m ） ?aj k ?1 n n?[ y( x ) ? y ]k k k ?1n2，要求 F 的极小值则必须分别对 a0、a1、??am（1）即：?[a 0 ? a1 xk ? a 2 xk2 ? ?? ? amxkm ? yk ]xkj ? ?[a 0 xkj ? a1 xkj ?1 ? ?? ? amxkj ?m ? ykxkj ] ? 0 ，即系k ?1 k ?1数 a0、a1、??am 应满足如下方程组：a 0 ? x ? a1 ? xk ?1 j k k ?1nnj ?1 k? ?? ? a m ? xk ?1nj ?m k? ? y k x kjk ?1n（2）此方程组中有 m+1 个方程，通常称为法方程；其系数矩阵为一个对称矩阵，并且是正定的，可以求出 唯一解 a0、a1、??am 而后代入 m 次多项式即可得拟合结果。 3．多项式拟合阶数的选取 在对实验数据点进行多项式拟合的过程中，拟合阶数的选取是一个至关重要的问题；如果拟合阶数选 取过低则无法找准 y 与 x 的关系，若选取过高则高次多项式的振荡问题在所难免。在讨论这一问题之前先介绍几个概念。 数 a 0 、 a1 ?? a k 代入拟合多项式，则拟合值 y ? a 0 ? a1 x ? ?? ? a k x ，单个 y i 的残差为：k ?若用 y( x) ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ?? ? ak x k 来拟合数据点 ( xi, yi ) ，可以根据上面介绍的方法算出系???????vi ? y i ? y i残差平方和为：n n ? ? ??（3）R ? ? vi2 ? ?[ y i ? (a 0 ? a1 x ? ?? ? a k x k )]2i ?1 i ?1（4）可以用R 2 来估计观测值方差 ? y ： n ? k ?1?y ?R n ? k ?1（5）因此拟合阶数 K 的选取是否合适将直接关系到观测数据的方差估计。K 选取过小则由于未找准 y 与 x 的关系而引起很大误差；K 选取过大则由于 R 趋于稳定，而式（3―5）根号中分母变小同样会使方差估计 偏大。 原则上选取对应于 R 随 K 值开始变化不大时的 K 值。什么叫“R 随 K 值开始变化不大”呢？这需要 一个定量的判据，下面介绍一个统计性判据。 按 K 阶拟合可以得到相应的残差平方和 RK，按 K―1 阶拟合可以得到 RK―1。 根据 R 的统计性质可以证明Rk?2 k~ ? 2 (n ? k ? 1) ，Rk ?1? k2?1~ ? 2 (n ? k ) （参见复旦、清华、北大合编“原子核物理实验方法”第十八章的附录四） 。 假如由这两种阶数多项式拟合得到的方差在某一显著水平上没有明显差异， 则不必用 K 阶而考虑用 K ―1 阶来拟合；反之若方差有较大差异，则考虑用 K 阶来拟合。要检验两种分布的方差是否一致，可以用 F 分布来检验。2 2 2 假设 ? k ?1 ? ? k ? ? ，令 S k ? Rk ?1 ? Rk ，由 ? 分布加减法可以得到：2Sk?2?Rk ?1 ? Rk?2~ ? 2 (1)（6）Sk /1 Sk Rk ?2 而 2 和 2 互相独立，因此由 F 分布定义： Fk ? ~ F (1, n ? k ? 1) ，即 Rk ? ? /(n ? k ? 1) 2?Fk ?(n ? k ? 1) S k ~ F (1, n ? k ? 1) Rk（7）也就是说 FK 服从第一自由度为 1， 第二自由度为 n―k―1 的 F 分布 （有关 F 分布可以参考概率论和数理统 计的相关章节） 。 具体方法为：用最小二乘法对观测数据分别作 K 阶和 K―1 阶的多项式拟合，算出相应的 RK，RK―1 和 SK；按显著水平 ? ? 0.01 或 ? ? 0.05 查 F 分布表，找出相对于自由度为 1 和 n―k―1 的 F 分布的临界 值 F? ，比较 FK 和 F? 。当 FK ? F? 说明由 K、K―1 阶两种拟合结果一致，因此不必用 K；当 FK ? F? ， 说明两者有显著差异，有必要考虑 K 阶拟合。下面举一个实例来说明： 下表给出了变量 X 和 Y 的一组观测值，试确定用多项式来拟合的适宜阶数。 xi yi-0.92 0.716 -0.84 1.052 -0.66 1.521 -0.56 1.598 -0.50 1.767 -0.38 1.948 -0.26 0.0.10 2.157 2.270 0.24 2.260 0.38 2.078 0.50 2.040 0.62 1.829 0.66 1.705 0.92 1.134依此取 K=0，1，2，3 计算相应的 RK 和 SK，得下表结果： K 0 1 2 3 RK 2.5 0.0 2.4 0.0001 SK当取 K=3 时，在 ? ? 0.05 的显著水平下查 F 分布表（? 1 ? 1 ，? 2 ? n ? k ? 1 ? 14 ? 3 ? 1 ? 10）得F0.05 (1,10) ? 4.96 。又计算 F3 为：F3 ? (n ? k ? 1) S k 10S 3 10 ? 0.0001 ? ? ? 0.0417 Rk R3 0.0240由于 F3 ? 0. ? F0.05 (1.10) ，故在 ? ? 0.05 的显著水平下不取 K=3。 当 K=2 时，在 ? ? 0.05 的显著水平下查 F 分布表（? 1 ? 1 ，? 2 ? n ? k ? 1 ? 14 ? 2 ? 1 ? 11）得F0.05 (1,11) ? 4.84 。又计算 F2 为：F2 ? (n ? k ? 1) S k 11S 2 11? 0.4714 ? ? ? 1128 .3 Rk R2 0.0241由于 F2 ? 1128 .3 ? 4.84 ? F0.05 (1,11) ，故在 ? ? 0.05 的显著水平下可以考虑取 K=2。 综上所述，用二次多项式来拟合曲线。y ? 2.249 x ? 1.56834 x2二．能谱的光滑处理 为了减少能谱实验数据统计涨落的影响， 同时又要保留能谱形状最重要的特征， 可对数据采用光滑 （修 匀）技术。 事实上最简单而又直观的光滑方法是用纸和铅笔的作图方式，但它依赖于操作者的技巧和主观意识， 所以最好还是借助数据光滑的数学公式由计算机来进行这一工作。 1． 原理 不同的方法可以导出不同的数据光滑公式，常用的一种是多项式拟合移动法。该方法是：在实验谱上 所要光滑的一点的两边各取 m 个点，连同本身共 2m+1 个点，用一个以该点为中心的 q 次多项式对这一谱 段作最小二乘拟合，所得到的多项式在中心点的值即为光滑谱的值；然后逐点移动中心点作同样的计算， 得到整个光滑谱。2． 例：用二次多项式拟合点数为 5 点（即 m=2）时的光滑谱公式。 为简单起见，道数 xi 取-2、-1、0、1、2（其中 xi ? 0 为拟合中心道） ，相应计数观测值 y ? 2 、 y ?1 、 y 0 、y1 、 y 2 ，设拟合曲线为 y ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 。由最小二乘拟合的法方程组： a 0? xkj ? a1 ? xkj ?1 ? ?? ? am ? xkj ?m ? ? y k xkj 可以得到：k ?1 k ?1 k ?1 k ?1nnnn?n ? ? ? xi ? ?? x2 i ?有关数据计算如下：?x ? x ?x ? x ?x ? xi 2 i 3 i? ? a ? ? ? yi ? ?? 0? ? ? 3 ? ? ? a1 ? ? ? x i y i ? i ?? ? ? ? 4 ? a ?? x2 y ? 2 ? ? i ? i i ? ?2 i（8）xi-2 -1 0 1 2yiy-2 y-1 y0 y1 y2xi24 1 0 1 4ixi3-8 -1 0 1 8 0xi416 1 0 1 16 34xi y i-2y-2 -y-1 0 y1 2y2xi2 yi4y-2 y-1 0 y1 y2?代入法方程组写出：0?y10?10a 0 ? 10a 2 ? y ? 2 ? y ?1 ? y 0 ? y1 ? y 2 ? ?10a1 ? ?2 y ? 2 ? y ?1 ? y1 ? 2 y 2 ?10a ? 34a ? 4 y ? y ? y ? 4 y 2 ?2 ?1 1 2 ? 0解出：（9）1 ? ?a 0 ? 35 ( ?3 y ? 2 ? 12 y ?1 ? 17 y 0 ? 12 y1 ? 3 y 2 ) ? 1 ? ?a1 ? ( ?2 y ? 2 ? y ?1 ? y1 ? 2 y 2 ) 10 ? 1 ? a 2 ? ( 2 y ? 2 ? y ?1 ? 2 y 0 ? y1 ? 2 y 2 ? 14 ?（10）把解出的 a0 、 a1 、 a 2 代入方程 y ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ，就得到了对于这五道的拟合曲线。光滑后的计 数就是对中心道而言取拟合曲线上的数值，因此将 xi ? 0 代拟合曲线就得到对应该道计数的光滑值：y0 ? a0 ??1 ( ?3 y ?2 ? 12 y ?1 ? 17 y 0 ? 12 y1 ? 3 y 2 ) 35（11）对每道 I 都可选作中心道并在它的左右各取两道数据来拟合，因此五点光滑公式为：yi ?1 ( ?3 y i ?2 ? 12 y i ?1 ? 17 y i ? 12 y i ?1 ? 3 y i ? 2 ) 35（12）还可以求出一阶导数 y i 和二阶导数 y i ：????1 ?? ? y ? a ? ( ?2 y ? 2 ? y ?1 ? y1 ? 2 y 2 ) 1 i ? ? 10 ?? ? y ? ? 2a 2 ? 1 ( 2 y ? 2 ? y ?1 ? 2 y 0 ? y1 ? 2 y 2 ) i ? 7 ?类似地还可以导出七点、九点等的数据光滑公式。 3． 点数 m、拟合次数 q 的选取(13)拟合点数 m 如果太大则容易把峰拉平， 导致将峰顶计数填入峰谷； m 太小则不足以达到应有的光滑效 果。一般拟合点数 2m+1 不应大于峰的半宽度内所占有的道数。 拟合次数一般不应大于 4，防止高次多项式振荡。 综合考虑，通常用二次多项式的 5 点或 7 点光滑公式。 三．寻峰 利用计算机寻找能谱峰位的方法有好几种，如逐道比较法、导数法、对称零面积线性对合法、协方差 法等等。在此简单介绍其中的逐道比较法。 若峰位在 k 道，峰左右两侧的峰谷分别在 l 道和 r 道，则峰的底宽为 2 w ? r ? l ? 1 ，若 y 为计数，则 峰谷计数比为 s ? 2 y k /( yl ? y r ) 。因此： 峰顶： y k ? y k ?1 ? y k ?2 ； 峰谷： y l ? y l ?1 ， y r ? y r ?1 。 利用上面的式子进行逐道比较，若找到满足上式的 k、l、r，还要用 2w 和 S 作进一步判定。一般当2 w ? 2.5FWHM 且 s ? 1.2 时， 认为是真峰。 需要说明的是， 对于不同核素 2w 和 S 的合理取值有所差异。比如要寻找高本底上的弱峰，S 要小一些为好。 判定有峰后，还要进一步确定峰顶的具体位置。可以采用二阶多项式进行插值运算：找到 k 后取三点(k ? 1, y k ?1 ) 、 (k , y k ) 、 (k ? 1, y k ?1 ) 确定一个二次三项式 y ? a ? bx ? cx 2 （将三点代入即可就出 a、b、 c） ，求出极值点（ x ? ?b / 2c ）即为峰位。}