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2015年考研数学专项练习试题及答案函数与极限.doc 10页
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2015年考研数学专项练习试题及答案函数与极限
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高等数学第一章函数与极限试题
1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，表示“M的充分必要条件是N”，则必有
（A） F(x)是偶函数f(x)是奇函数.
（B） F(x)是奇函数f(x)是偶函数.
（C） F(x)是周期函数f(x)是周期函数.
（D） F(x)是单调函数f(x)是单调函数
2．设函数则
x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点.
x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点
x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点.
x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点.
3．设(x)=，x≠0,1,则[]= (
4．下列各式正确的是 (
5．已知，则(
6．极限：(
7．极限：=（
8．极限：=（
9. 极限：=（
10．极限: =（
二. 填空题
12. =_______________.
13. 若在点连续，则=_______________；
14. ___________；
15. _________________；
16. 若函数，则它的间断点是___________________
17. 绝对值函数
其定义域是
其定义域是
，值域是三个点的集合
19. 无穷小量是
20. 函数在点x0 连续，要求函数y ? f (x) 满足的三个条件是
三. 计算题
22.设f(e)=3x-2,求f(x)(其中x&0);
23.求(3－x);
26. 已知，求的值；
27. 计算极限
28.求它的定义域。
29. 判断下列函数是否为同一函数：
⑴　f(x)＝sin2x＋cos2x
⑶　　　　　
30. 已知函数 f(x)＝x2-1，
求f(x+1)、f(f(x))、f(f(3)+2)
35. 判断下列函数在指定点的是否存在极限
39. 求当x→∞时，下列函数的极限　
40. 求当x→∞时，下列函数的极限41.
48. 研究函数在指定点的连续性
49. 指出下列函数在指定点是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。 ,x＝1
50. 指出下列函数在指定点是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。
51. 指出下列函数在指定点是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。
52. 证明f(x)＝x2是连续函数
55. 试证方程2x3－3x2＋2x－3＝0在区间[1,2]至少有一根
57. 试证正弦函数
y = sin x 在 (-∞, +∞) 内连续。
58. 函数f (x) = (x( = 在点x = 0处是否连续？
59. 函数= 是否在点连续？
60. 求极限 .
1.A 【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.
方法一：任一原函数可表示为，且
当F(x)为偶函数时，有，于是，即 ，也即，可见f(x)为奇
正在加载中，请稍后...考研数学；基础题部分：；基础题部分的题目至少有1/3是可以通过技巧进行解；大题部分：；每年的大题的基本题难度和选择题的相近；10年；函数极限，反常积分判收敛法，曲线曲积分及第一类曲；线性代数中的正交变化和二次型随机变量分布与数理统；09年；函数极限，定积分求旋转体的体积，曲面积分运算，数；随机变量分布与数理统计；08年；函数极限，对定积分上限变量的求导，曲面
考研数学 基础题部分： 基础题部分的题目至少有1/3是可以通过技巧进行解题， 选择填空的技巧见给你的武忠祥的介绍 大题部分： 每年的大题的基本题难度和选择题的相近。 总结一下近5年的大题情况。 10年 函数极限，反常积分判收敛法，曲线曲积分及第一类曲线积分，幂级数求和，变上限函数，几何体的形心 线性代数中的正交变化和二次型 随机变量分布与数理统计 09年 函数极限，定积分求旋转体的体积，曲面积分运算，数项的求和，多元函数的极值，二阶微分方程，拉格朗日 特征值和规范形 随机变量分布与数理统计 08年 函数极限，对定积分上限变量的求导，曲面曲线积分，展开傅里叶级数，多元函数的极值，一元微分方程求解 行列式的运算 随机变量分布与数理统计 07年 函数极限的运算，函数的微分及其性质，二重变换及运算，曲线曲面积分，微分方程的计算 线性方程组的求解，特征值特征向量的计算，矩阵的变换及行列式 随机变量分布与参数估计 06年 函数的极值计算，级数项的展开，函数的微分和性质，二重积分变换及运算，曲线曲面积分 矩阵及行列式的变换，线性方程组的求解，特征值和特征矩阵的计算， 随机变量分布与参数估计
通过以上五年的分析可以看出以下几点： 1、 题型是基本固定的，如果章节合并之后，基本是每一章都出一道题，大题是没有特殊值替代的技巧的，要普通思维一步步做，不要想什么跳跃思维，但是是若干个基础知识点的结合，另一方面大题比较灵活的地方在于对题干的认识，是这个意思，题干中的每一句话都要转化成对应的知识点，所以要先看结论后读题干，每一句话都是一个条件，都会有暗示的作用。 例如： 2010年的17题 （1） 比较?10lnt?(ln(1?t))?dt和?|lnt|tndt的大小说明为什么 0n1（2） 记un??lnt?(ln(1?t))?dt求极限un 01n
m2很明显第一问，想到积分的比较定理，就是?m1f1(x)dx和?m2m1f2(x)dx，由于这里的积分上下限是相同的，所以比较被积分项，同时这里看到所给项都是指数形式所以想到用比值法，当然也可以开方之后比较，可以得出??101lnt?(ln(1?t))?dt??|lnt|tndt 0n1第二问，明显的就是在第一问的基础之上的得出结论的，明显在第一问得到条件 0lnt?(ln(1?t))?dt??|lnt|tndt，想到夹逼定理，但是不知道底线是多少，0n1所以先对右侧进行积分，由于lnt步积分的方法很快得到?0，?|lnt|tdt???lnt?tndt利用分001n1?10|lnt|tndt?0，所以猜测limun?0 n???好的解题是一件很自然的事情，是和出题者思路不谋而合的过程。 2、 奇数年的题目出的较为简单，偶数年的题目较难，比如去年的概率题，还有单调区间及其极值的问题，都比较复杂。08年的线性方程组的计算题，所以你一定要放心，明年的题目不会太难的。 3、 对10年的大题进行一个考点的总结，基本上不会出这个范围的，放心的看看，是没有问题的。
1、 最令人讨厌的题型 高等数学： 1、 未知变量题 比如09年18题，05年18题，04年15题，02年6大题等这些题的特点就是有不确定的未知量，比如不能确定具体的值是什么。
特点： 抽象的未知数，不知道该如何下手。 ?、?，这些未知量只有存在性，但是解决方法： 一、 中值定理，微分中值，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，洛尔定理 二、 拉格朗日乘数法，常用方法之一，特点明显，所以在习题中常见，出现在 08年17题，07年17题，2002八题 一般是有完整的条件，要求在完整的条件下求一个未知方程的目标值。 三、 构造特殊函数法，一般是把要求的不确定变量移到等式的一边，构造原函数 这其中的三点都十分的重要，需要一一进行解析。 （1） 中值定理等的解析 近年来考察相关考点的题有09年18题（洛尔定理，拉格朗日中值定理，）04年15题，05年18题（洛尔定理）， 中值定理的题的解题思路： 可以发现在解题中中值定理和构造函数法是经常一起使用的，这是因为中值定理是解题的核心，而构造函数则是解题的关键，很多人都是知道用中值定理解题，但是不知道该如何利用构造函数法来求解。对于中值定理的解析主要讲如何利用中值定理的思想，或者合理的定位中值定理的思想。 f(a)?f(b)至少存在一点?使得f(?)'?0，洛尔中值定理中最明显的特征就是要找到f(a)?f(b)，所以对于很多的问题而言，存在不包含分数洛尔定理：的等式就意味着有可能要利用洛尔定理进行解题。以07年19题为例
例：设函数f(x)，g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)?g(a)，f(b)?g(b)证明：存在??(a,b)，使得f''(?)?g?''( )分析：看到等式想想到洛尔定理，移项构造函数，同时发现在条件中给了相等的条件，但是给了两个等式，就想到是f(x)，g(x)结合的形式，通过移项得到f''(?)?g''(?)?0这就涉及到如何构造函数的问题了，设此时的函数为F(x)，F'(x)?f''(x)?g''(x)，则容易得出F(x)?f'(x)?g'(x)，同时由于所求?(x)??F(x)?f(x)?g(x)，分别带入点a，b得的等式为二阶导数，而题目所给的为未求导的条件所以可能需要用到两次中值定理。未求导函数可能是?(a)?f(a)?g(a)?0，?(b)?f(b)?g(b)?0，然后继续看条件，发现还有条件没有用到就是：在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，也就是说设f(x)，g(x)在(a,b)区域内的最大值别设为x1,x2，那么f(x1)=g(x2)也就是说f(x1)>g(x1)，f(x2)<g(x2)，也就是说?(x1)?0，?(x2)?0，也就是说在设存在点x0?(x1，x2)那么?(x0)?0于是，就很容易的根据洛尔定理可知 设存在点?1?(a,x0)，?2?(x0,b)，使得F(?1)?F(?2)?0，另设存在点??(?1,?2)使得F'(?)?0即存在点f(?)?g(?)，解答略。
拉格朗日定理：存在一点使得f(a)?f(b)?f(?)' a?b拉格朗日中值定理和洛尔中值定理比起来，最大的区别在于分式的形式，或者在等式中存在a?b项并且没有积分符号，这也是拉个朗日中值定理和积分中值定理之间的差别。拉格朗日中值定理的函数的构造相比于洛尔中值定理要麻烦一些，具体的通过例题查看：04年15题 例：设e?a?b?e2，证明ln2b?ln2a?我们把等式一边的移项得到ln24(b?a) 2e分析：很明显不等式中包含b?a项，所以考虑用拉格朗日的方法求解，同样b?ln2a?4(b?a)?0同时除以b?a得到2eln2b?ln2a4?2?0，如果按照拉格朗日中值定理的条件，上述的不等式可b?ae42以化为f'(?)?2?0，??(a,b)则函数为f(x)?lnx ，于是问题就转化e2ln(?)4成?2?0，其中??(ab,，设函数?e2ln(?)41?ln?2F(?)??2F'(?)?2?由于e?a???b?e所以2?e?2而F(e)?0所以e?a?时F(?)?0，即F'(?)?0??b2?e
4?0成立，证毕。 2?ef(a)?f(b)f(?)'?柯西中值定理：至少存在一点 'g(a)?g(b)g(?)?柯西中值定理所用的就比较少，考研期间见过的用到柯西中值定理的题大概只有一道，还是与拉格朗日中值定理结合使用的。所以柯西中值定理只要了解一下就好，考的时候注意要证明的结果中有两个函数的表达形式。 积分中值定理：存在一点使得2ln(?)积分中值定理也是一个比较常用的定理，除了典型的式子a?b之外，还要有积分符号或者是有原函数与导函数的等式（也有可能是不等式）同时出现在记过中的形式。举一个例子 ?abf(x)dx?f(?)(a?b) 例：设f(x)在[0,1]上连续，且单调不减，证明任给x?(0,1)有不等式 ??0f(x)dx???f(x)dx 01分析：很明显该式中没有a?b项，观察积分上下限和不等式?0?f(x)dx，?右边有??(??0)，那么?0f(x)dx0??01再根据条件f(x)在1?(1?0)那么?f(x)dx?f(?)即证明f(?)?f(?)，0[0,1]上连续，且单调不减，再根据前面f(?)?f(?)即证明???， ?f(?)，看右边的?f(x)dx，左边1，重新整理一下思路： 1， 假设存在两点1??2， 其中???0，即f(?)?f(?) a0f(?)??10f(x)dx，f(?)??f(x)dxa?0?0 13， 所以采用逐步不等式的方法?1?10f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx ???f(x)dx??f(x)dx??f(?)?(1?a)f(?)??f(?)?(1?a)f(?)0?a?0（2） 拉格朗日乘数法的解析 拉格朗日乘数法属于常考基本考点，近年来考察相关考点的题有08年17题 ?f(?)??a0f(x)dx证毕 ?x2?y2?2z2?0例：已知曲线C：求C上距离xOy面最远的点和最近的??x?y?3z?5点。 分析：由于求解是是条件极值所以，设未知数?，由于目标函数值 f(x)?min/maxz，即求min/max(z2)设条件目标函数为 F(x,y,z)?z2??1(x2?y2?2z2)??2(x?y?3z?5)
设函数f(x)在（a,b）上连续且在点（a,b）两点的值异号，则在（a,b）之间至少有一个点c使得f（c）=0
得方程组 ??Fx(x,y,z)?0?2?1x??2?0?F?y(x,y,z)?0??2?1y??2???F(x,y,z)?0即?0?2z?4??x?1?x??5?z1z?3?2?0解得?y?1或??y??5 ?x2?y2?2z2?0?x2?y2?2z2?0??z?1??z??5???x?y?3z?5?0??x?y?3z?5?0得到zmax?5，zmin?1，所以最远的点是(?5,?5,?5)最近点为(1,1,1) （3） 构造函数法的解析 近年来考察相关考点的题有09年18题，07年19题，05年18题，04年15题，01年七题 构造函数法是考研数学中最精妙的方法之一，需要对于问题有深刻的理解，对问题基本算法很熟悉，但也不是不可以通过总结得出构造函数的一般思路的。 一般的思路是移项，看函数的表达式形式决定改如何构造函数。 09年18题 例：证明拉格朗日中值定理 分析：要证明等式f(b)?f(a)?f(?)'(b?a)首先进行移项得到： f(b)?f(a)?f(?)'(b?a)?0将?换成x，并将等式的右面设成F(x)得到等式F(x)?f(b)?f(a)?f(x')(b?a)那么要证F(x)?0就必须要证明在F(x)的原函数?(x)中有两个值是相等的（利用洛尔定理），这里的只有输入变量只有a，b，所以在?(x)?(f(b)?f(a))x?f(x)(b?a)的条件下?(a)??(b)?f(a)b?f(b)a，故存在点??(a,b) 使得点F(?)?0，证毕。 07年19题见前面拉格朗日法 05年18题 例：已知函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)?0， f(1)?1，证明 （1）存在??(0,1)使得f(?)?1?? （2）存在两个不同的点?,??(0,1)使得f'(?)f'(?)?1 分析：还是利用这个方法移项，将?换成x得到F(x)?f(x)?1?x 求F(x)的原函数?(x)??f(x)?x?122x要证明?(0)??(1)，则分别带入0,1得到?(0)??f(x),x?0?(1)??f(x)?12,x?1但是题目中所给的最高项才是f(0)?0，没有给出?f(x)的表达式，所以这种方法是不通的，需要找其他的方法，还有一个方法就是零点定理,即若F(0)?F(1)?0那么在(0,1)范围内，有一点?使得F(?)?0，很明显根据已知条件 F(1)?1?0,F(0)??1?0,得证。 第二问
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　1 ?2 在紧张的复习中,中公考研提醒您一定要充分利用备考资料和真 题,并且持之以恒,最后一定可以赢得胜利。更多考研数学复习资料 欢迎关注中公考研网。 中公考研,... 　三、解答题(本题共 9 小题,满分 94 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15、 (本小题满分 9 分) 1 4 第 2 页共 4 页 1 求极限 lim(cos... 　2(?1)n n! (1 ? x)n?1 在紧张的复习中,中公考研提醒您一定要充分利用备考资料和真 题,并且持之以恒,最后一定可以赢得胜利。更多考研数学复习资料 欢迎... 　2017考研:数学必考大题(1)_研究生入学考试_高等教育_教育专区。中公教育东莞分校 2017 考研:数学必考大题(1)一、极限计算 整张试卷共 23 题,其中第 15 题... 　考研数学经典题目_研究生入学考试_高等教育_教育专区。1. 知识点:函数和极限 ...M 解:本题考查的是中值定理,题目难度不大,关键是能够利用所给条件选择合适的... 　第三章 中值定理综述:中值定理的证明一直是考研数学的难点.在考研数学一的考试中,这一部分的出 题的频率比较稳定,一般两年出一道大题.从考试的情况来看,考生在... 　考研数学高数真题分类―级数_研究生入学考试_高等教育_教育专区。中公考研提供考研...考试在级数中的大题一般 出在幂级数上, 这一部分的内容可以概括为三个问题:... 　?5,1? 上的最大值为 f ? 中公考研, 让考研变得简单! 查看更多考研数学...?1,0? 在紧张的复习中,中公考研提醒您一定要充分利用备考资料和真 题,并且持...后使用快捷导航没有帐号？
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请教关于张宇视频极限中的一道题
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如图，根据我目前复习到的，在使用等价无穷小代换时，分子或分母上只有两个部分是乘除幂的关系时，其中一个或全部才能使用等价代换;而如果是加减连接的两个公式，任何一个是无法进行替代的。
关于这个结论，是否正确？
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本帖最后由 三峡大学考研 于
23:37 编辑
减法中两个同阶但不等价的无穷小可以直接替换，这个定理全书的课后习题中有证明
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也可理解为两个拆开后的极限是存在的
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幂也不能随便换，会出错
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相减的等价后只要不相互抵消且与分母精确度相同就可以等价
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历年考研数学一真题及答案()
历年考研数学一真题
（经典珍藏版）1987 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上) (1) 当 x =_____________ 时 , 函数 y ? x ? 2 x 取得 极小值. (2)由曲线 y ? ln x 与两直线 y ? e ? 1 ? x 及 y ? 0 所 围成的平面图形的面积是_____________.1? x及 x ?1 ?1y ? 2 z ?1 都平行且过原点的平面方 ? 1 1程为_____________.(4)设 L 为取正向的圆周 x 2 ? y 2 ? 9, 则曲线积分? ? (2 xy ? 2 y)dx ? ( xL2? 4 x)dy =_____________.(5) 已 知 三 维 向 量 空 间 的 基 底 为α1 ? (1,1, 0), α 2 ? (1, 0,1), α 3 ? (0,1,1),则 向 量 β ? (2, 0, 0) 在此基底下的坐标是_____________.二、(本题满分 8 分) 求 正 的 常 数lima与b,使 等 式x 1 t2 dt ? 1 成立. x ?0 bx ? sin x ?0 a ? t2(3)与两直线y ? ?1 ? tz ? 2?t三、(本题满分 7 分)1(1) 设f、g为 连 续 可 微 函 数?u ?v , . ?x ?x(1)设 limx?af ( x) ? f (a ) ? ?1, 则在 x ? a 处 ( x ? a)2, u ? f ( x, xy), v ? g ( x ? xy), 求(A) f ( x) 的导数存在,且 f ?(a) ? 0 (B) f ( x) 取得极大值 (C) f ( x) 取得极小值 (D) f ( x) 的导数不存在 (2)设f ( x ) 为已知连续函数 , I ? t(2) 设矩阵 A 和 B 满足关系式 AB = A ? 2B, 其中?3 0 1 ? ? A?? ?1 1 0 ? , 求矩阵 B. ? ?0 1 4 ? ??s t 0f (tx)dx, 其中四、(本题满分 8 分) 求微分方程 y??? ? 6 y?? ? (9 ? a 2 ) y? ? 1 的通解 , 其中 常数 a ? 0.t ? 0, s ? 0, 则 I的值 (B)(A)依赖于 s 和 t 依赖于 s 、 t 和 x (C)依赖于 t 、 x ,不依赖于 s五、选择题(本题共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分.每小题给出的四个选项中 ,只有一个符合 题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号 内)2(D)依赖于 s ,不依赖于 t (3)设常数 k ? 0, 则级数 ? (?1)n k ?2 n? n ?1n(A)发散 绝对收敛(B)(C)条件收敛 (D)散敛性与 k 的取值有关 (4)设 A 为 n 阶方阵，且 A 的行列式 | A |? a ? 0, 而A*六、 （本题满分 10 分） 求幂级数 ?1 n ?1 的收敛域，并求其和函数. x 2n n ?1 n??是 A 的伴随矩阵，则 | A* | 等于 (A) a (C) a (D) an ?1(B) 1a七、 （本题满分 10 分） 求曲面积分I ? ?? x(8 y ? 1)dydz ? 2(1 ? y 2 )dzdx ? 4 yzdxdy,?n其中 ? 是由曲线 f ( x) ? ?? ?z ? y ?1 1 ? y ? 3 绕 y 轴旋转一周而成的曲面,其法向量与 y 轴正向的夹角恒大于 ? . 2 x?0 ? ?八、 （本题满分 10 分） 设函数f ( x ) 在闭区间 [0,1] 上可微, 对于 [0,1] 上的每一个 x, 函数 f ( x ) 的值都在开区间 (0,1) 内, 且 f ?( x) ? 1, 证明在 (0,1) 内有且仅有一个 x, 使得 f ( x) ? x.九、 （本题满分 8 分）3问 a, b 为何值时,现线性方程组x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 0 x2 ? 2 x3 ? 2 x4 ? 1 ? x2 ? (a ? 3) x3 ? 2 x4 ? b 3 x1 ? 2 x2 ? x3 ? ax4 ? ?1有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.十、填空题(本题共 3 小题,每小题 2 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上) (1)设在一次实验中,事件 A 发生的概率为 p, 现进行 n 次独立试验,则 A 至少发生一次的概率为____________; 而事件 A 至多发生一次的概率为____________. (2)有两个箱子,第 1 个箱子有 3 个白球,2 个红球, 第 2 个箱子有 4 个白球,4 个红球.现从第 1 个箱子中随机地取 1 个球放到第 2 个箱子里,再从第 2 个箱子中取出 1 个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第 2 个箱子中取 出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________. (3) 已 知 连 续 随 机 变 量 ____________.X的概率密度函数为f ( x) ?1?e? x2? 2 x ?1,则X的 数 学 期 望 为 ____________,X的方差为4十一、 （本题满分 6 分） 设随机变量 X , Y 相互独立,其概率密度函数分别为f X ( x) ?1 00 ? x ?1 其它, fY ( y ) ?e? y 0y?0 , y?0求 Z ? 2 X ? Y 的概率密度函数.561988 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分) (1)求幂级数 ?2(2) 设f ( x)连 续 且?x3 ?10f (t )dt ? x,则f (7) =_____________.(3)设周期为 2 的周期函数,它在区间 (?1,1] 上 定义为 f ( x) ?2 x2?1 ? x ? 0 0 ? x ?1,则的傅里叶 ( Fourier ) 级( x ? 3) 的收敛域. n3n n ?1? n数在 x ? 1 处收敛于_____________. (4) 设 4 阶矩阵 A ? [α, γ 2 , γ3 , γ 4 ], B ? [β, γ 2 , γ3 , γ 4 ], 其中 α, β, γ 2 , γ 3 , γ 4 均为 4 维列向量, 且已知行列式A ? 4, B ? 1, 则行列式 A ? B = _____________.(2) 设 f ( x) ? e x , f [? ( x)] ? 1 ? x 且 ? ( x) ? 0 , 求 ? ( x) 及其定义域. (3) 设 ? 为曲面 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1 的外侧 , 计算曲面3 3 3 积分 I ? ? ?? x dydz ? y dzdx ? z dxdy. ?三、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 二、填空题(本题共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分.把答案填在题中横线上) (1) 若1 f (t ) ? lim t (1 ? ) 2tx , x ?? x15 分.每小题给出的四个选项中 ,只有一个符合 题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号则f ?(t )=内) (1)设7_____________.f ( x ) 可导且 f ?( x0 ) ?1 , 则 ?x ? 0 时 , f ( x) 在 2x0 处的微分 dy 是(A) ??? xdv ? 4??? dv?1 ?2(A)与 ?x 等价的无穷小 与 ?x 同阶的无穷小 (C)比 ?x 低阶的无穷小 比 ?x 高阶的无穷小 (2)设 y ?(B)(B) ??? ydv ? 4??? ydv?1 ?2(C) ??? zdv ? 4??? zdv?1 ?2(D)(D) ??? xyzdv ? 4??? xyzdv?1 ?2?(4) 设幂级数 ? an ( x ? 1)n 在 x ? ?1 处收敛 , 则此n ?1f ( x) 是方程 y?? ? 2 y? ? 4 y ? 0 的一个解且级数在 x ? 2 处 (A)条件收敛 绝对收敛 (C)发散 收敛性不能确定 (5) n 维向量组 α1 , α 2 ,? , α s (3 ? s ? n) 线性无关的 (D) (B)f ( x0 ) ? 0, f ?( x0 ) ? 0, 则函数 f ( x) 在点 x0 处(A)取得极大值 (B)取得极小值 (C)某邻域内单调增加 (D)某邻域内单调减少 (3) 设 空 间 区 域充要条件是 (A) 存 在 一 组 不 全 为 零 的 数 k1 , k2 ,?, ks , 使k1α1 ? k2α 2 ? ? ? ks α s ? 08?1 : x 2 ? y 2 ? z 2 ? R 2 , z ? 0, ?2 : x 2 ? y 2 ? z 2 ? R 2 , x ? 0, y ? 0, z ? 0,则(B) α1 , α 2 ,?, α s 中任意两个向量均线性无关点处的切线重合,求函数 y ? y ( x).(C) α1 , α 2 ,?, α s 中存在一个向量不能用其余向 量线性表示 (D) α1 , α 2 ,?, α s 中存在一个向量都不能用其余 向量线性表示 为六、 （本题满分 9 分） 设位于点 (0,1) 的质点 A 对质点 M 的引力大小k (k ? 0 为常数 , r 为 A 质点与 M r2之间的距离 ), 质点 M 沿直线 y ?2x ? x2自 B(2, 0) 运动到 O(0, 0), 求在此运动过程中质点 A 对质点 M 的引力所作的功. 四、(本题满分 6 分) 设 u ? yf ( x ) ? xg ( y ), 其中函数 f 、 g 具有二阶连y x七、 （本题满分 6 分）?1 0 0 ? ?1 0 0 ? ? ? ? 已知 AP ? BP, 其中 B ? ?0 0 0 ? , P ? ? ? 2 ?1 0 ? , ? ? ?0 0 ?1? ? ?2 1 1? ?续导数,求 x? 2u ? 2u ? y . ?x 2 ?x?y求 A, A 5 . 五、(本题满分 8 分) 设函数 y ? y( x) 满足微分方程 y?? ? 3 y? ? 2 y ? 2e x , 八、 （本题满分 8 分） 其图形在点 (0,1) 处的切线与曲线 y ? x ? x ? 1 在该29?2 0 0? ?2 0 0 ? ? ? ? 已知矩阵 A ? ?0 0 1 ? 与 B ? ? ?0 y 0 ? 相似. ? ? ?0 1 x ? ? ?0 0 ?1? ?(1) 设在三次独立试验中 , 事件 A 出现的概率 相等,若已知 A 至少出现一次的概率等于 19 , 则事27(1)求 x 与 y. (2)求一个满足 P?1件 A 在一次试验中出现的概率是____________.AP ? B的可逆阵 P.(2) 若在区间 (0,1) 内任取两个数 , 则事件”两 数之和小于 6 ”的概率为____________.5九、 （本题满分 9 分） 设函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上连续,且在 (a, b) 内有f ?( x ) ? 0, 证明:在 ( a, b) 内存在唯一的 ? , 使曲线(3) 设随机变量 X 服从均值为 10, 均方差为 0.02 的正态分布,已知? ( x) ? ?x??y ? f ( x) 与两直线 y ? f (? ), x ? a 所围平面图形面积1 ? u2 e du, ? (2.5) ? 0.9938, 2?(9.95,10.05)2则S1 是曲线 y ? f ( x) 与两直线 y ? f (? ), x ? b 所围平面X落 在 区 间内 的 概 率 为____________.图形面积 S2 的 3 倍. 十一、 （本题满分 6 分） 十、填空题(本题共 3 小题,每小题 2 分,满分 设 随 机 变 量 6 分.把答案填在题中横线上)10X的 概 率 密 度 函 数 为f X ( x) ?1 3 , 求随机变量 Y ? 1 ? X 2 ? (1 ? x )的概率密度函数 fY ( y ).111989 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷( A ? 2I) ?1 =_____________.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中 ,只有一个符合 15 分.把答案填在题中横线上) (1) 已 知 _____________. (2) 设f ( x ) 是连续函数 , 且f ?(3) ? 2,则limh ?0f (3 ? h) ? f (3) 2h=题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号 内) (1)当 x ? 0 时,曲线 y ? x sin 1xf ( x) ? x ? 2? f (t )dt , 则01(A)有且仅有水平渐近线 (B)有且仅有铅直渐近线f ( x ) =_____________.(3) 设平面曲线 L 为下半圆周 y ? ? 线积分 ?L ( x 2 ? y 2 )ds =_____________. (4) 向 量 场div u1 ? x , 则曲2(C)既有水平渐近线,又有铅直渐近线 (D)既无水平渐近线,又无铅直渐近线 处的散度 (2)已知曲面 z ? 4 ? x 2 ? y 2 上点 P 处的切平面平 行于平面 2 x ? 2 y ? z ? 1 ? 0, 则点的坐标是 (A) (1, ?1, 2)12在点P (1,1, 0)div u =_____________.?3 0 0? ?1 0 0 ? ? ? ? (5) 设 矩 阵 A ? ?1 4 0 ? , I ? ? ?0 1 0 ? , 则 矩 阵 ? ? ?0 0 3? ? ?0 0 1 ? ?(B) (?1,1, 2) (C) (1,1, 2) (D) (?1, ?1, 2) (3) 设线性无关的函数都是二阶非齐次线性 方程的解是任意常数,则该非齐次方程的通解是 (A) c1 y1 ? c2 y2 ? y3 (B) c1 y1 ? c2 y2 ? (c1 ? c2 ) y3 (C) c1 y1 ? c2 y2 ? (1 ? c1 ? c2 ) y3 (D) c1 y1 ? c2 y2 ? (1 ? c1 ? c2 ) y3 (4)? n ?1(5)设 A 是 n 阶矩阵,且 A 的行列式 A ? 0, 则 A 中 (A)必有一列元素全为 0 必有两列元素对应成比例 (C)必有一列向量是其余列向量的线性组合 (D)任一列向量是其余列向量的线性组合 (B)三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分) (1) 设 z ?f (2 x ? y ) ? g ( x, xy ),其中函数f (t )二阶?2 z 可导 , g (u, v) 具有连续二阶偏导数,求 . ?x?yf ( x) ? x 2 , 0 ? x ? 1,设函数而S ( x) ? ? bn sin n? x, ? ? ? x ? ??, 其中(2) 设曲线积分 ?c xy 2 dx ? y? ( x)dy 与路径无关 , 其中 ? ( x) 具有连续的导数,且 ? (0) ? 0, 计算bn ? 2?10f ( x)sin n? xdx, n ? 1, 2,3,?, 则 S (? 1 ) 等于 2(A) ? 1 2 (C) 1 4(B) ? 1 4 (D) 1 213?(1,1)(0,0)xy 2 dx ? y? ( x)dy 的值.(3) 计算三重积分 ??? ( x ? z )dv, 其中 ? 是由曲面?z ? x 2 ? y 2 与 z ? 1 ? x 2 ? y 2 所围成的区域.问 ? 为何值时,线性方程组 四、(本题满分 6 分) 将函数 f ( x) ? arctan 1 ? x 展为 x 的幂级数.1? xx1 ? x3 ? ?4 x1 ? x2 ? 2 x3 ? ? ? 26 x1 ? x2 ? 4 x3 ? 2? ? 3五、(本题满分 7 分) 设 f ( x) ? sin x ? ?0 ( x ? t ) f (t )dt , 其中 f 为连续函数, 求 f ( x).x有解,并求出解的一般形式. 八、 （本题满分 8 分） 假设 ? 为 n 阶可逆矩阵 A 的一个特征值,证明 (1) 1 为 A 的特征值.?1六、 （本题满分 7 分） 证明方程 ln x ?? x ? ? 1 ? cos 2 xdx 在区间 (0, ??) 0 e? (2) A ?为 A 的伴随矩阵 A 的特征值.*内有且仅有两个不同实根.九、 （本题满分 9 分） 设半径为 R 的球面 ? 的球心在定球面七、 （本题满分 6 分）x 2 ? y 2 ? z 2 ? a 2 (a ? 0) 上,问当 R 为何值时,球面 ? 在定球面内部的那部分的面积最大?14准差(均方差)为 2 的正态分布 ,而 Y 服从标准正 十、填空题(本题共 3 小题,每小题 2 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上) (1)已知随机事件 A 的概率 P( A) ? 0.5, 随机事件B态分布.试求随机变量 Z ? 2 X ? Y ? 3 的概率密度函 数.的概率 P( B) ? 0.6 及条件概率 P( B | A) ? 0.8, 则和事件 A ? B 的概率 P( A ? B) =____________. (2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次 , 其命中率分别为 0.6 和 0.5,现已知目标被命中, 则它是甲射中的概率为____________. (3) 若随机变量 ? 在 (1, 6) 上服从均匀分布 , 则 方程 x 2 ? ? x ? 1 ? 0 有实根的概率是____________.十一、 （本题满分 6 分） 设随机变量 X 与 Y 独立,且 X 服从均值为 1、标151990 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)x ? ?t ? 2(5)已知向量组α1 ? (1, 2,3, 4), α 2 ? (2,3, 4,5), α 3 ? (3, 4,5, 6), α 4 ? (4,5, 6, 7),则该向量组的秩是_____________.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中 ,只有一个符合 题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号(1)过点 M (1, 2 ? 1) 且与直线 面方程是_____________.y ? 3t ? 4 垂直的平z ? t ?1内) 数 , 则 (1) 设f ( x)(2)lim(x ??设a为非零常x?a x ) =_____________. x?a1 0是 连 续 函 数 , 且 F ( x) ? ?x f (t )dt , 则e? x(3)设函数 f ( x) ?x ?1 x ?1F ?( x) 等于,则(A) ? e? x f (e? x ) ? f ( x) (B) ? e? x f (e? x ) ? f ( x)f [ f ( x)] =_____________.(4) 积 分 _____________.?20dx ? e ? y dy22x的 值 等 于(C) e? x f (e? x ) ? f ( x) (D) e? x f (e? x ) ? f ( x)16(2) 已 知 函 数f ( x)具有任意阶导数,且 2 的正整数时 , f ( x) 的 n(A)不可导 可导,且 f ?(0) ? 0 (C)取得极大值 取得极小值(B)f ?( x) ? [ f ( x)]2 , 则当 n 为大于阶导数 f ( n ) ( x) 是 (A) n ![ f ( x)]n?1 (B) n[ f ( x)]n ?1 (C) [ f ( x)]2 n (D) n ![ f ( x)]2 n) (3)设 a 为常数,则级数 ? [ sin(na ? 2n ?1 ?(D)(5)已知 β1 、β2 是非齐次线性方程组 AX ? b 的两 个不同的解 , α1 、 α 2 是对应其次线性方程组 AX ? 0 的基础解析 , k1 、 k2 为任意常数,则方程组 AX ? b 的n 1 ] n通解(一般解)必是 (A) k1α1 ? k2 (α1 ? α 2 ) ? β1 ? β 22(A)绝对收敛 (B)条件收敛 (C)发散 收敛性与 a 的取值有关 (4) 已 知f (0) ? 0, limx ?0(B) k1α1 ? k2 (α1 ? α 2 ) ? β1 ? β 22(D)(C) k1α1 ? k2 (β1 ? β2 ) ? β1 ? β22 (D) k1α1 ? k2 (β1 ? β2 ) ? β1 ? β2 2f ( x)在 x ? 0 的某个邻域内连续,且 三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分)17f ( x) ? 2, 则在点 x ? 0 处 f ( x) 1 ? cos x(1)求 ? 1 ln(1 ? x2)dx.0(2 ? x)(2)设 z ?f (2 x ? y, y sin x), 其中 f (u , v) 具有连续的六、 （本题满分 7 分） 设不恒为常数的函数f ( x ) 在闭区间 [ a, b] 上连二阶偏导数,求?2 z . ?x?y?2 x续 , 在 开 区 间 ( a, b) 内 可 导 , 且 (3) 求微分方程 y?? ? 4 y? ? 4 y ? e 解). 七、 （本题满分 6 分） 四、(本题满分 6 分) 求 幂 级 数 ? (2n ? 1) x n 的 收 敛 域 , 并 求 其 和 函n ?0 ?f (a ) ? f (b).证明在的通解 ( 一般( a, b) 内至少存在一点 ? , 使得 f ?(? ) ? 0.设四阶矩阵?1 ?1 0 0 ? ?2 ?0 1 ?1 0 ? ? ? , C ? ?0 B?? ?0 0 1 ?1? ?0 ? ? ? ?0 0 0 1 ? ?0 1 3 4? 2 1 3? ? 0 2 1? ? 0 0 2?数.五、(本题满分 8 分) 求曲面积分I ? ?? yzdzdx ? 2dxdyS且矩阵 A 满足关系式A(E ? C?1B)?C? ? E其中 E 为四阶单位矩阵 , C?1 表示 C 的逆矩阵 , C? 表 示 C 的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵 A.18其中 S 是球面 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 4 外侧在 z ? 0 的部分.八、 （本题满分 8 分） 求 一 个 正 交 变 换 化 二 次 型2 2 f ? x12 ? 4 x2 ? 4 x3 ? 4 x1 x2 ? 4 x1 x3 ? 8 x2 x3 成标准型.十、填空题(本题共 3 小题,每小题 2 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上) (1)已知随机变量 X 的概率密度函数f ( x) ? 1 ?x e , ?? ? x ? ?? 2九、 （本题满分 8 分） 质点 P 沿着以 AB 为直径的半 圆周,从点 A(1, 2) 运动到点 B(3, 4) 的 过程中受变力 F 作用(见图). F 的 大小等于点 P 与原点 O 之间的距 离,其方向垂直于线段 OP 且与 y 轴正向的夹角小于 ? . 求变力 F 对? ? ?则 X 的概率分布函数 F ( x) =____________. (2)设随机事件 A 、 B 及其和事件的概率分别是 0.4、 0.3 和 0.6,若 B 表示 B 的对立事件,那么积事 件 AB 的概率 P( AB ) =____________. (3)已知离散型随机变量 X 服从参数为 2 的泊 松 ( Poisson) 分布 , 即 P{ X? k} ? 2k e ?2 , k ? 0,1, 2,? , 则随 k!2机变量 Z ? 3 X ? 2 的数学期望 E ( Z ) =____________. 十一、 （本题满分 6 分） 设二维随机变量 ( X , Y ) 在区域 D : 0 ? x ? 1, y ? x19质点 P 所作的功.内服从均匀分布 , 求关于 X 的边缘概率密度函数 及随机变量 Z ? 2 X ? 1 的方差 D( Z ).201991 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上) (1)设2 x ? 1? t2 ,则 d y =_____________. dx 2 y ? cos t无穷小,则常数 a =_____________.?5 ?2 (5) 设 4 阶方阵 A ? ? ?0 ? ?0A ?10? 1 0 0? ? , 则 A 的逆阵 0 1 ?2 ? ? 0 1 1? 2 0=_____________.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中 ,只有一个符合 (2) 由方程 xyz ? x ? y ? z ? 2 所确定的函数2 2 2题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号z ? z ( x, y )在 点(1, 0, ?1)处 的 全 微 分 内)1 ? e? x 1 ? e? x2dz =_____________.(3) 已 知 两 条 直 线 的 方 程 是l1 : x ?1 y ? 2 z ? 3 x ? 2 y ?1 z ? ? ; l2 : ? ? . 则过 l1 且平行 1 0 ?1 2 1 1(1)曲线 y ?2(A)没有渐近线 仅有水平渐近线 (C)仅有铅直渐近线21(B)于 l2 的平面方程是_____________. (4) 已知当 x ? 0 时 ,(1 ? ax ) ? 1 与 cos x ? 1 是等价1 2 3(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线 (2) 若 连 续 函 数f ( x) ? ?2? 0顶点的三角形区域 , D1 是 D 在第一象限的部分,则f ( x)满 足 关 系 式?? ( xy ? cos x sin y)dxdy 等于Dt f ( )dt ? ln 2, 则 f ( x) 等于 2x(A) 2?? cos x sin ydxdyD1(A) e (B) eln 2ln 2(B) 2?? xydxdyD12x(C) 4?? ( xy ? cos x sin y)dxdyD1(D)0(C) e (D) e2xx? ln 2(5)设 n 阶方阵 A 、B 、C 满足关系式 ABC ? E, 其 中 E 是 n 阶单位阵,则必有? ? n ?1 n ?1? ln 2(3) 已 知 级 数 ? (?1)n?1 an ? 2, ? a2 n?1 ? 5, 则 级 数(A) ACB ? E (B) CBA ? E (C) BAC ? E (D) BCA ? E? a 等于n ?1 n?(A)3 (B)7 (C)8 (D)9 (4) 设 D 是平面 xoy 上以 (1,1) 、 (?1,1) 和 (?1, ?1) 为22三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分) (1)求 lim (cosx ? 0??x)2 .? (2)设 n 是曲面 2 x 2? 3 y ? z ? 6 在点 P(1,1,1) 处的2 2的傅里叶级数,并由此求级数 ?1 2 n ?1 n?的和.指向外侧的法向量,求函数 u ?? 沿方向 n 的方向导数.6x2 ? 8 y 2 z在点 P 处 六、 （本题满分 7 分） 设函数1 3(3) ??? ( x 2 ? y 2 ? z )dv, 其中 ? 是由曲线?y2 ? 2z 绕 z x?0f ( x)在 [0,1] 上 连 续 , (0,1) 内 可 导 , 且(0,1)轴旋转一周而成的曲面与平面 z ? 4 所围城的立 体.3?2 f ( x) dx ? f (0),f ?(c) ? 0.证明在内存在一点c,使七、 （本题满分 8 分） 已 知四、(本题满分 6 分) 过点 O(0, 0) 和 A(? , 0) 的曲线族 y ? a sin x(a ? 0) 中 , 求一条曲线 L, 使沿该曲线 O 从到 A 的积分α1 ? (1,0, 2,3), α2 ? (1,1,3,5), α3 ? (1, ?1, a ? 2,1), α4 ? (1, 2, 4, a ? 8)及 β ? (1,1, b ? 3, 5). (1) a 、b 为何值时 , β 不能表示成 α1 , α 2 , α3 , α 4 的线 性组合? (2) a 、b 为何值时 , β 有 α1 , α 2 , α3 , α 4 的唯一的线性? (1 ? y )dx ? (2 x ? y)dy 的值最小.3 L五、(本题满分 8 分) 将函数 f ( x) ? 2 ? x (?1 ? x ? 1) 展开成以 2 为周期23表示式?写出该表示式.八、 （本题满分 6 分） 设 A 是 n 阶正定阵 , E 是 n 阶单位阵,证明 A ? E 的 行列式大于 1.P{ X ? 0} =____________.(2) 随机地向半圆 0 ? y ?2ax ? x 2 (a 为正常数 )内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域 的面积成正比 , 则原点和该点的连线与 x 轴的夹九、 （本题满分 8 分） 在上半平面求一条向上凹的曲线 , 其上任一 点 P( x, y ) 处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ 长度的倒数 ( Q 是法线与 x 轴的交点 ), 且曲线角小于 ? 的概率为____________.4十一、 （本题满分 6 分） 设二维随机变量 ( X , Y ) 的密度函数为f ( x, y ) ?在点 (1,1) 处的切线与 x 轴平行.2 e ? ( x ? 2 y ) x ? 0, y ? 0 0 其它求随机变量 Z ? X ? 2Y 的分布函数. 十、填空题(本题共 2 小题,每小题 3 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上) (1)若随机变量 X 服从均值为 2、 方差为 ? 的正2态分布,且P{2 ? X ? 4} ? 0.3,则24(2) 函数 u ? ln( x 2 ? y 2 ? z 2 ) 在点 M (1, 2, ?2) 处的梯 度 grad uM=_____________.f ( x) ?(3) 设?1 1? x2?? ? x ? 0 , 则其以 2? 0? x ??x ??为周期 的 傅 里 叶 级 数 在 点 _____________. (4) 微 分 方 程y处 收 敛 于y? ? y tan x ? cos x的 通 解 为=_____________.? a1b1 ?a b A?? 2 1 ?? ? ? anb1 a1b2 a2b1 ? anb2 ? a1bn ? ? a2bn ? ?, ? ? ? ? ? anbn ?A1992 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上) (1) 设函数 y ? y( x) 由方程 e x? y ? cos( xy) ? 0 确定 , 则 dy =_____________.dx(5)设其中ai ? 0, bi ? 0, (i ? 1, 2,?, n).r ( A ) =_____________.则 矩 阵的 秩二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中 ,只有一个符合25题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号 内) (1)当 x ? 1 时,函数 x (A)等于 2 等于 0 (C)为 ? 不存在但不为 ? (2)级数 ? (?1)n (1 ? cos a )( 常数 a ? 0)n ?1 ?(A)只有 1 条 (B)只有 2 条? 1 x1 e ?1 的极限 x ?12(C)至少有 3 条 (B) 不存在(D)(4) 设 f ( x) ? 3x3 ? x 2 x , 则使 f ( n ) (0) 存在的最高 (D) 阶数 n 为 (A)0n(B)1 (C)2 (D)3?1? ?0? ? ? ? (5) 要 使 ξ1 ? ? 0 ? , ξ 2 ? ? ? 1? 都是线性方程组 ? 2? ? ?1? ? ? ? ?AX ? 0 的解,只要系数矩阵 A 为(A)发散 (B)条件收敛 (C)绝对收敛 (D)收敛性与 a 有关 (3) 在曲线 x ? t , y ? ?t 2 , z ? t 3 的所有切线中 , 与 平面 x ? 2 y ? z ? 4 平行的切线26(A) ? ?2 1 2?(B) ? ? (C) ? ?2 0 ?1? ? ?0 1 1 ??1 0 2? 1 ?1? ?求微分方程 y?? ? 2 y? ? 3 y ? e?3 x 的通解.?0五、(本题满分 8 分) 计 算 曲 面 积 分 其中?? 0 1 ?1? ? (D) ? ? 4 ?2 ?2 ? ? ?0 1 1 ? ??? ( x?3? az 2 )dydz ? ( y 3 ? ax 2 )dzdx ? ( z 3 ? ay 2 )dxdy,为上半球面 z ? a 2 ? x 2 ? y 2 的上侧. 三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分)x 1 (1)求 lim e ? sin x ? . 2 x ?0六、 （本题满分 7 分） 设f ??( x ) ? 0, f (0) ? 0,1? 1? xx(2)设 z ? f (e sin y, x ? y ), 其中 f 具有二阶连续2 2证 明 对 任 何 x1 ? 0, x2 ? 0, 有f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ).偏导数,求? z . ?x?y2(3)设 f ( x) ?3 1 ? x2 x ? 0 , 求 ?1 f ( x ? 2)dx. x?0 e? x七、 （本题满分 8 分） 在变力 F ? yzi? ? ? ? ? zxj ? xyk 的作用下,质点由原点2四、(本题满分 6 分)27沿直线运动到椭球面 x 2 ?ay2 z2 ? ? 1 上第一卦限的 b2 c2点 M (? ,? , ? ), 问当 ? 、? 、? 取何值时,力 F 所做的功W 最大?并求出 W 的最大值.?? 1? ?1? ?1? ?1? ? ? ? ? ? ? ? ? ξ1 ? ?1? , ξ 2 ? ? 2 ? , ξ 3 ? ? 3 ? , 又向量 β ? ? 2 ? . ? 1? ? 4? ?9? ? 3? ? ? ? ? ? ? ? ?(1)将 β 用 ξ1 , ξ 2 , ξ 3 线性表出. 八、 （本题满分 7 分） 设向量组 α1 , α 2 , α3 线性相关 , 向量组 α 2 , α 3 , α 4 线 性无关,问: (1) α1 能否由 α 2 , α3 线性表出?证明你的结论. (2) α 4 能否由 α1 , α 2 , α3 线性表出?证明你的结论. 十、填空题(本题共 2 小题,每小题 3 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上) (1)P ( A) ? P ( B ) ? P (C ) ?(2)求 A nβ(n 为自然数).已1 1 , P ( AB ) ? 0, P( AC ) ? P( BC ) ? , 4 6知九、 （本题满分 7 分） 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 ?1 ? 1, ?2 ? 2, ?3 ? 3, 对应 的特征向量依次为则事件 A 、B 、C 全不发生的概率为____________. (2)设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布, 则数学期望 E{ X ? e?2 X } =____________.十一、 （本题满分 6 分）28设随机变量N ( ? , ? 2 ), YZ ? X ?YX与 Y 独立 ,X 服从正态分布 上的均匀分布,试求服从[ ?? , ? ]的概率分布密度 ( 计算结果用标准正态1 分布函数 ? 表示,其中 ?( x) ? 2??x??e?t2 2dt ) .291993 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上) (1) 函数 F ( x) ? ? x (2 ?1(5)设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零 ,且 A 的秩为n ? 1,则线性方程组AX ? 0的通解为_____________.1 )dt ( x ? 0) 的单调减少区 t二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中 ,只有一个符合 题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号 内) (1) 设 f ( x) ? ?0 sin(t 2 )dt , g ( x) ? x3 ? x 4 , 则 当 x ? 0 时 , f ( x) 是 g ( x ) 的sin x间为_____________. (2)由曲线3 x 2 ? 2 y 2 ? 12 绕 z?0y 轴旋转一周得到的旋转面在点 (0,3, 2) 处的指向外侧的单位法向量为_____________. (3) 设函数 f ( x) ? ? x ? x (?? ? x ? ? ) 的傅里叶级2数展开式为 a0 ? ? (an cos nx ? bn sin nx), 则其中系数 b32n ?1?(A)等价无穷小 同价但非等价的无穷小 (C)高阶无穷小(B)的值为_____________. (D) (4) 设 数 量 场u ? ln x ? y ? z ,2 2 2则 低价无穷小div(grad u ) =_____________.30(2)双纽线 ( x ? y ) ? x ? y 所围成的区域面积2 2 2 2 2可用定积分表示为 (A) 2?04 cos 2? d? (B) 4?04 cos 2? d? (C) 2?04???? e? x 2 x ?x (C) e ? e ? 1 2 x ?x (D) 1 ? e ? e 2(B) ex?cos 2? d??1 2 3? ? (5)已知 Q ? ? ? 2 4 t ? , P 为三阶非零矩阵,且满 ? ?3 6 9? ?(D) 1 ?04 (cos 2? ) 2 d?2足 PQ ? 0, 则l1 : x ?1 y ? 5 z ? 8 ? ? 1 ?2 1(3) 设 有 直 线x? y ?6 2y ? z ? 3与 l2 :(A) t ? 6 时 P 的秩必为 1 (B) t ? 6 时 P 的秩必为 2则 l1 与 l2 的夹角为6 3(A) ? (C) ?(B) ? (D) ?4 2(C) t ? 6 时 P 的秩必为 1 (D) t ? 6 时 P 的秩必为 2(4)设曲线积分 ?L [ f (t ) ? e x ]sin ydx ? f ( x) cos ydy 与 路径无关,其中f (0) ? 0, 则 f ( x ) 等于f ( x)具有一阶连续导数,且三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分) (1)求 lim(sin 2 ? cos 1 ) x .x ??xx(A) e?x?e 2xx (2)求 ? x xe dx.e ?131(3) 求 微 分 方 程 x 2 y? ? xy ? y 2 , 满 足 初 始 条 件yx ?1(2)设 b ? a ? e, 证明 ab? ba .? 1 的特解.七、 （本题满分 8 分） 四、(本题满分 6 分)2 计算 ? ?? 2 xzdydz ? yzdzdx ? z dxdy, 其中 ? 是由曲面 ?已知二次型2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) ? 2 x12 ? 3 x2 ? 3 x3 ? 2ax2 x3 (a ? 0)通过正交变z ? x 2 ? y 2 与 z ? 2 ? x 2 ? y 2 所围立体的表面外侧.换化成标准形 正交变换矩阵.2 2 f ? y12 ? 2 y2 ? 5 y3 , 求参数 a 及所用的五、(本题满分 7 分)(?1) n (n 2 ? n ? 1) 求级数 ? 的和. 2n n ?0?八、 （本题满分 6 分） 设 A 是 n ? m 矩阵 , B 是 m ? n 矩阵,其中 n ? m, I 是 n 阶单位矩阵 , 若 AB ? I, 证明 B 的列向量组线性无六、(本题共 2 小题,每小题 5 分,满分 10 分) 关. (1) 设 在 [0, ??) 上 函 数f ( x)有连续导数,且 九、 （本题满分 6 分）f ?( x) ? k ? 0, f (0) ? 0, 证明 f ( x ) 在 (0, ??) 内有且仅有一个零点.32设物体 A 从点 (0,1) 出发 , 以速度大小为常数 v 沿 y 轴正向运动 . 物体 B 从点 (?1, 0) 与 A 同时出发 , 其速度大小为 2v, 方向始终指向 A, 试建立物体 B 的 运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件.十一、 （本题满分 6 分） 设 随 机 变 量f ( x) ?X的 概 率 分 布 密 度 为1 ?x e , ?? ? x ? ??. 2(1)求 X 的数学期望 EX 和方差 DX . (2)求 X 与 X 的协方差 ,并问 X 与 X 是否不相十、填空题(本题共 2 小题,每小题 3 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上) (1)一批产品共有 10 个正品和 2 个次品,任意 抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二 次抽出的是次品的概率为____________. (2) 设随机变量 X 服从 (0, 2) 上的均匀分布 , 则 随机变量Y ? X2关? (3)问 X 与 X 是否相互独立?为什么?在(0, 4)内的概率分布密度fY ( y ) =____________.331994 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷α 的转置,则 A n =_____________.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中 ,只有一个符合 15 分.把答案填在题中横线上) (1) lim cot ? (x ?01 1 ? )= sin x x_____________.题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号 内) (1) 设(2)曲面 z ? e ? 2 xy ? 3 在点 (1, 2, 0) 处的切平面方x程为_____________. (3) 设 u ? e? x sin x , 则y? ? sin x 4 3 4 2 M ?? ? cos xdx,N ? ? ? (sin x ? cos x)dx,P ? ? 2? ( x 2 sin 3 x ? cos 4 x)dx, ? 1 ? x2 ? ? 2 2 22?? 2u 在 点 (2, 1 ) 处 的 值 为 ?x?y ?则有 (A) N ? P ? M_____________. (B) M (4)2 2?P?N ?P设区域D为x2 ? y 2 ? R2 ,则 (C) N ? M (D) P ? Mx y ( 2 ? 2 )dxdy =_____________. ?? a b D?N(5) 已知 α ? [1, 2,3], β ? [1, 1 , 1 ], 设 A ? α?β, 其中 α? 是2 334(2) 二元函数f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处两个偏导数f x?( x0 , y0 ) 、 f y?( x0 , y0 ) 存在是 f ( x, y ) 在该点连续的(A) b ? 4d (B) b ? ?4d (C) a ? 4c (D) a ? ?4c (5)已知向量组 α1 , α 2 , α3 , α 4 线性无关,则向量组 1994 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 (B) 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上) (1) lim cot ? (x ?0(A)充分条件而非必要条件 (B)必要条件而非充分条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分条件又非必要条件 (3) 设 常 数 ? ? 0, 且 级 数 ? an2 收 敛 , 则 级 数n ?1 ?? (?1)n ?1?nan n2 ? ?(A)发散 条件收敛 (C)绝对收敛 (D)收敛性与 ? 有关 (4) limx ?01 1 ? )= sin x x_____________.a tan x ? b(1 ? cos x) c ln(1 ? 2 x) ? d (1 ? e? x2)? 2, 其中 a 2 ? c 2 ? 0, 则(2)曲面 z ? e x ? 2 xy ? 3 在点 (1, 2, 0) 处的切平面方 程为_____________.35必有(3) 设 u ? e? x sin x , 则y? 2u 在 点 (2, 1 ) 处 的 值 为 ?x?y ?则有 (A) N ? P ? M_____________. (B) M (4) 设2?P?N ?P区域D为x ?y ?R ,2 2 2则 (C) N ? M (D) P ? M?? ( aDx2 2?y )dxdy =_____________. b22 3?N(5) 已知 α ? [1, 2,3], β ? [1, 1 , 1 ], 设 A ? α?β, 其中 α? 是α 的转置,则 A n =_____________.(2) 二元函数f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处两个偏导数f x?( x0 , y0 ) 、 f y?( x0 , y0 ) 存在是 f ( x, y ) 在该点连续的(A)充分条件而非必要条件 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中 ,只有一个符合 题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号 内) (1)M ? ? 2??(B)必要条件而非充分条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分条件又非必要条件 (3) 设 常 数 ? ? 0, 且 级 数 ? an2 收 敛 , 则 级 数n ?1 ?设? ?? (?1)n ?1?nan n2 ? ??sin x cos 4 xdx,N ? ? 2? (sin 3 x ? cos 4 x)dx,P ? ? 2? ( x 2 sin 3 x ? cos 4 x)dx, 2 ? ? 2 1? x 2 236(A)发散(B)条件收敛 (C)绝对收敛 (D)收敛性与 ? 有关 (4) limx ?0三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分)x ? cos(t 2 )(1)设2a tan x ? b(1 ? cos x) c ln(1 ? 2 x) ? d (1 ? e? x )? 2, 其中 a ? c ? 0, 则2 2y ? t cos(t ) ? ?2t21 2 u1cos udu,求 dy 、 ddx2ydx 2必有 (A) b ? 4d (B) b ? ?4d (C) a ? 4c (D) a ? ?4c (5)已知向量组 α1 , α 2 , α3 , α 4 线性无关,则向量组 (A) α1 ? α 2 , α 2 ? α3 , α3 ? α 4 , α 4 ? α1 线性无关 (B) α1 ? α 2 , α 2 ? α3 , α3 ? α 4 , α 4 ? α1 线性无关 (C) α1 ? α 2 , α 2 ? α3 , α3 ? α 4 , α 4 ? α1 线性无关 (D) α1 ? α 2 , α 2 ? α3 , α3 ? α 4 , α 4 ? α1 线性无关37在t ??2的值.f ( x) ? 1 1? x 1 ln ? arctan x ? x 4 1? x 2(2) 将函数 的幂级数. (3)求 ?展开成 xdx . sin(2 x) ? 2sin x四、(本题满分 6 分) 计算曲面积分 ??Sxdydz ? z 2 dxdy , 其中 S 是由曲面 x2 ? y 2 ? z 2x 2 ? y 2 ? R 2 及 z ? R, z ? ? R( R ? 0) 两平面所围成立体表面的外侧.五、(本题满分 9 分) 设f ( x)八、 （本题满分 8 分） 设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为x1 ? x2 ? 0 x2 ? x4 ? 0具有二阶连续函数 , f (0) ? 0, f ?(0) ? 1, 且,[ xy ( x ? y ) ? f ( x) y ]dx ? [ f ?( x) ? x 2 y ]dy ? 0 为一全微分方又已知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为 程,求 f ( x) 及此全微分方程的通解.k1 (0,1,1, 0) ? k2 (?1, 2, 2,1).(1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解析. 六、(本题满分 8 分) (2) 问线性方程组 ( Ⅰ ) 和 ( Ⅱ ) 是否有非零公 设f ( x ) 在点 x ? 0 的某一邻域内具有二阶连续? f ( x) 1 ? 0, 证明级数 ? f ( ) 绝对收敛. x n n ?1导数,且 limx ?0共解 ? 若有 , 则求出所有的非零公共解 . 若没有 , 则说明理由.七、 （本题满分 6 分） 九、 （本题满分 6 分） 已知点 A 与 B 的直角坐标分别为 (1, 0, 0) 与 (0,1,1). 设 A 为 n 阶非零方阵 , A* 是 A 的伴随矩阵 , A? 是 A 线段 AB 绕 x 轴旋转一周所成的旋转曲面为 S. 求由S 及两平面 z ? 0, z ? 1 所围成的立体体积.的转置矩阵,当 A*? A?时,证明 A ? 0.38十、填空题(本题共 2 小题,每小题 3 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上) (1)已知 A 、 B 两个事件满足条件 P( AB) ? P( AB), 且 P( A) ? p, 则 P( B) =____________. (2)设相互独立的两个随机变量 X , Y 具有同一 分布率,且 X 的分布率为X(1)求 Z 的数学期望 EZ 和 DZ 方差. (2)求 X 与 Z 的相关系数 ? xz . (3)问 X 与 Y 是否相互独立?为什么?01 211 2P则 随 机 变 量 ____________.Z ? max{ X , Y }的 分 布 率 为十一、 （本题满分 6 分） 设随机变量 X 和 Y 分别服从正态分布 N (1,32 ) 和1 N (0, 42 ), 且 X 与 Y 的相关系数 ? xy ? ? , 设 Z ? X ? Y , 23 2391995 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上) (1) lim(1 ? 3x) sin x =_____________.x ?0 2A ?1BA ? 6A ? BA,且?1 ?3 ? A ? ?0 ? ? ?0 ? ?0 1 4 0? 0? ? 0?, ? ? 1? 7? ?则B=_____________.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 (2) (3)d 0 x cos t 2 dt = dx ?x2_____________.(a ? b)? c ? 2,15 分.每小题给出的四个选项中 ,只有一个符合 则 题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号 内) (1) 设 有 直 线 L :x ? 3y ? 2z ?1 ? 0 2 x ? y ? 10 z ? 3 ? 0设[(a ? b) ? (b ? c)]? (c ? a) =_____________.(4) 幂 级 数 ? n n n x 2 n?1 的 收 敛 半 径 2 ? (?3)n ?1?,及平面R=_____________. (5) 设 三 阶 方 阵A, B? : 4 x ? 2 y ? z ? 2 ? 0, 则直线 L满 足 关 系 式(A)平行于 ? 在? 上 (C)垂直于 ?40(B)(D)与 ? 斜交 (2) 设在 [0,1] 上f ??( x) ? 0,(A) ? un 与 ? u 2 都收敛n ?1 ? n ?1 ?n??则f ?(0), f ?(1), f (1) ? f (0)(B) ? un 与 ? u 2 都发散n ?1 ? n ?1n或 f (0) ? f (1) 的大小顺序是 (A) f ?(1) ? (B) f ?(1) ?f ?(0) ? f (1) ? f (0)(C) ? un 收敛,而 ? u 2 发散n ?1 ? n ?1 ?n?(D) ? un 收敛,而 ? u 2 发散n ?1 n ?1nf (1) ? f (0) ? f ?(0) f ?(1) ? f ?(0)(5)? a11 a12 A?? ? a21 a22 ? ? a31 a32f (0) ? 0设a13 ? ? a11 a12 ? a23 ? , B ? ? ? a21 a22 ? a33 ? ? ? a31 a32 a13 ? ?0 1 0 ? ?1 0 0 ? ? ? ? ? a23 ? , P1 ? ?1 0 0? , P2 ? ? ?0 1 0 ? , ? ? a33 ? ? ?0 0 1 ? ? ?1 0 1 ? ?(C) f (1) ? f (0) ? (D) f ?(1) ? (3) 设f (0) ? f (1) ? f ?(0)f ( x)可导 , F ( x) ? f ( x)(1 ? sin x ), 则则必有 (A) AP1P2 = B (B) AP2 P1 = B (C) P1P2 A = B (D) P2 P1A = B是 F ( x) 在 x ? 0 处可导的 (A)充分必要条件 (B)充分条件但非必要条件 (C)必要条件但非充分条件 (D)既非充分条件又非必要条件 (4)设 un ? (?1)n ln(1 ?1 ), 则级数 n41三、(本题共 2 小题,每小题 5 分,满分 10 分)(1) 设 u ? f ( x, y, z ), ? ( x 2 , e y , z ) ? 0, y ? sin x, 其 中f ,?MA ? OA , 且 L 过点 ( 3 , 3 ), 求 L 的方程.2 2都具有一阶连续偏导数,且 ???z? 0. 求du . dx(2) 设 函 数f ( x)1在 区 间 [0,1] 上 连 续 , 并 设六、(本题满分 8 分) 设函数 Q( x, y ) 在平面 xOy 上具有一阶连续偏导 数 , 曲线积分 ?L 2 xydx ? Q( x, y )dy 与路径无关 , 并且?10f ( x)dx ? A, 求 ? dx ? f ( x) f ( y)dy.0 x1四、(本题共 2 小题,每小题 6 分,满分 12 分) (1) 计 算 曲 面 积 分对任意(1,t ) (0,0)t恒有???zdS ,其中?为锥面?( t ,1)(0,0)2 xydx ? Q( x, y )dy ? ?2 xydx ? Q( x, y )dy, 求 Q( x, y ).z ? x 2 ? y 2 在柱体 x 2 ? y 2 ? 2 x 内的部分.(2)将函数 的余弦函数.f ( x) ? x ? 1(0 ? x ? 2) 展开成周期为4七、 （本题满分 8 分） 假设函数f ( x ) 和 g ( x ) 在 [ a, b] 上存在二阶导数 ,f (b) ? g ( a ) ? g (b) ? 0, 试证:并且 g ??( x) ? 0, f (a) ? 五、(本题满分 7 分) 设曲线 L 位于平面 xOy 的第一象限内 , L 上任一 点 M 处 的 切 线 与 y 轴 总 相 交 , 交 点 记 为 A. 已 知42(1)在开区间 (a, b) 内 g ( x) ? 0. (2) 在 开 区 间f (? ) f ??(? ) ? . g (? ) g ??(? )( a, b)内 至 少 存 在 一 点 ?, 使则 X 的数学期望 E ( X 2 ) =____________.2八、 （本题满分 7 分） 设 三 阶 实 对 称 矩 阵A(2)设 X 和 Y 为两个随机变量,且 的 特 征 值 为P{ X ? 0, Y ? 0} ? 3 4 , P{ X ? 0} ? P{Y ? 0} ? , 7 7?0 ? ? ?1 ? ?1, ?2 ? ?3 ? 1, 对应于 ?1 的特征向量为 ξ1 ? ? ?1 ? , 求 ? ?1 ? ?A.则 P{max( X , Y ) ? 0} ? ____________.十一、 （本题满分 6 分） 设随机变量 X 的概率密度为 九、 （本题满分 6 分） 设 A 为 n 阶矩阵 , 满足 AA? ? I(I 是 n 阶单位矩阵f X ( x) ?Xe? x 0x?0, x?0, A? 是 A 的转置矩阵 ),A ? 0, 求 A ? I .求随机变量 Y ? e 的概率密度 fY ( y ).十、填空题(本题共 2 小题,每小题 3 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上) (1)设 X 表示 10 次独立重复射击命中目标的 次数,每次射中目标的概率为 0.4,431996 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上) (1)设 lim( x ? 2a ) x ? 8, 则 a =_____________.x ??(5) 设A是4?3矩阵,且A的秩r ( A ) ? 2,而? 1 0 2? ? B?? ? 0 2 0 ? , 则 r ( AB) =_____________. ? ? ?1 0 3 ? ?二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中 ,只有一个符合 题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号x?a(2) 设一平面经过原点及点 (6, ?3, 2), 且与平面 内)4x ? y ? 2z ? 8垂 直 , 则 此 平 面 方 程 为ydy (1)已知 ( x ? ay )dx ? 为某函数的全微分, a 则 2 ( x ? y)_____________. 等于 (3) 微 分 方 程 y?? ? 2 y? ? 2 y ? e 的 通 解 为x(A)-1 _____________. (B)0 (4) 函数 u ? ln( x ? y ? z ) 在点 A(1, 0,1) 处沿点 A2 2(C)1 指 向 点B (3, ?2, 2)方 向 的 方 向 导 数 为 (D)2_____________.44(2) 设f ?(0) ? 0, limx ?0f ( x)具 有 二 阶 连 续 导 数 , 且, f (0) ? 0, f ?(0) ? 0, F ( x) ? ? ( x 2 ? t 2 ) f (t ) dt , 且当 x ? 0 时0xf ??( x) ? 1, 则 x, F ?( x) 与 x k 是同阶无穷小,则 k 等于(A)1 (A) f (0) 是 f ( x) 的极大值 (B)2 (B) f (0) 是 f ( x) 的极小值 (C)3 (C) (0, f (0)) 是曲线 y ? (D)f (0) 不是f ( x) 的拐点(D)4f ( x ) 的极值 , (0, f (0)) 也不是曲线y ? f ( x) 的拐点(3) 设 an ? 0(n ? 1, 2,?), 且 ? an 收 敛 , 常 数n ?1?a1 0 0 0 a2 b2 (5)四阶行列式 0 a3 b3 b4 0 0b1 0 的值等于 0 a4? ? ? ? (0, ), 则级数 ? (?1) n (n tan )a2 n?2n ?1n(A) a1a2 a3a4 ? b1b2b3b4 (B) a1a2 a3a4 ? b1b2b3b4 (C) (a1a2 ? b1b2 )(a3a4 ? b3b4 ) (D) (D) (a2 a3 ? b2b3 )(a1a4 ? b1b4 )(A)绝对收敛 (B)条件收敛 (C)发散 散敛性与 ? 有关 (4) 设 有f ( x)连续的导数45三、(本题共 2 小题,每小题 5 分,满分 10 分)(1)求心形线 r ? a(1 ? cos ? ) 的全长,其中 a ? 0 是 常数. (2) 设x1 ? 10, xn ?1 ? 6 ? xn (n ? 1, 2,?),求级数 ?1 n n ?1 ( n ? 1)22?的和.试证数列六、(本题满分 7 分) 设对任意 x ? 0, 曲线 y ?x0{xn } 极限存在,并求此极限.f ( x) 上点 ( x, f ( x)) 处的切线在 y 轴上的截距等于 1 ? x f (t )dt , 求 f ( x) 的一般表 四、(本题共 2 小题,每小题 6 分,满分 12 分) (1) 计 算曲 面积分 ?? (2 x ? z )dydz ? zdxdy, 其 中 SS达式.为有向曲面 z ? x 2 ? y 2 (0 ? x ? 1), 其法向量与 z 轴正向 的夹角为锐角. (2) 设 变 换u ? x ? 2y v ? x ? ay七、 （本题满分 8 分） 设f ( x)在 [0,1] 上具有二阶导数 , 且满足条件可 把 方 程f ( x) ? a, f ??( x) ? b, 其中 a, b 都是非负常数 , c 是 (0,1)?2 z ?2 z ?2 z ?2 z 6 2? ? 2 ? 0 简化为 ? 0, 求常数 a. ?x ?x?y ?y ?u?v内任意一点.证明b f ?(c) ? 2a ? . 2八、 （本题满分 6 分） 五、(本题满分 7 分) 设 A ? I ? ξξT , 其中 I 是 n 阶单位矩阵 , ξ 是 n 维非46零列向量 , ξT 是 ξ 的转置.证明 (1) A21%和 2%,现从由 A 和 B 的产品分别占 60%和 40%的 一批产品中随机抽取一件 , 发现是次品 , 则该次 品属 A 生产的概率是____________. (2)设 ? ,? 是两个相互独立且均服从正态分布?A的充分条件是 ξT ξ ? 1.(2)当 ξT ξ ? 1 时 , A 是不可逆矩阵.九、 （本题满分 8 分） 已 知 二 次 型 的秩为N (0, (1 2 ) ) 2的随机变量 , 则随机变量 ? ? ? 的数学期望 E ( ? ? ? ) =____________.2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) ? 5x12 ? 5x2 ? cx3 ? 2 x1 x2 ? 6 x1 x3 ? 6 x2 x32, (1)求参数 c 及此二次型对应矩阵的特征值. (2)指出方程 f ( x1 , x2 , x3 ) ? 1 表示何种二次曲面.十一、 （本题满分 6 分） 设 ? ,? 是两个相互独立且服从同一分布的两 个随机变量,已知 ? 的分布率为 P(? ? i) ? 1 , i ? 1, 2, 3.3又设 X 十、填空题(本题共 2 小题,每小题 3 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上) (1) 设工厂 A 和工厂 B 的产品的次品率分别为47? max(? ,? ), Y ? min(? ,? ).(1)写出二维随机变量的分布率:XY12312 3 (2)求随机变量 X 的数学期望 E ( X ).481997 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分(5)袋中有 50 个乒乓球,其中 20 个是黄球,30 个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球 , 取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是 _____________.15 分.把答案填在题中横线上)1 x =_____________. (1) lim x ?0 (1 ? cos x ) ln(1 ? x ) 3sin x ? x 2 cos二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中 ,只有一个符合(2)设幂级数 ? an x n 的收敛半径为 3,则幂级数n ?1?题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号 内) (1) 二元函数 点 (0, 0) 处 (A)连续,偏导数存在 (B)连续,偏导数不存在49? na ( x ? 1) 的收敛区间为_____________.n ?1 n ?1 n?(3) 对数螺线 ? ? e? 在点 ( ? ,? ) ? (e 2 , ? ) 处切线的2?f ( x, y ) ?直角坐标方程为_____________.?1 2 ?2 ? 3? (4) 设 A ? ? ?4 t ?,B 为 三 阶 非 零 矩 阵 , 且 ? ? 3 ?1 1 ? ?AB ? O, 则 t =_____________.xy ( x, y ) ? (0, 0) x ? y2 ,在 0 ( x, y ) ? (0, 0)2(C)不连续,偏导数存在 (D)连续,偏导数不存在 (2) 设 在 区 间 [a, b] 上 令S1 ? ?b a不为常数? a1 ? ? b1 ? ? c1 ? ? ? ? ? ? (4)设 α1 ? ? a2 ? , α 2 ? ?b2 ? , α3 ? ? ?c2 ? , 则三条直线 ? ? ? ? a3 ? ? ?b3 ? ? ? c3 ? ?a1 x ? b1 y ? c1 ? 0, a2 x ? b2 y ? c2 ? 0, a3 x ? b3 y ? c3 ? 0f ( x) ? 0, f ?( x) ? 0, f ??( x) ? 0.1 f ( x)dx, S2 ? f (b)(b ? a), S3 ? [ f (a) ? f (b)](b ? a), 2则 (A) S1 ? S2 ? S3 (B) S2 ? S1 ? S3 (C) S3 ? S1 ? S2 (D) S2 ? S3 ? S1 (3)设 F ( x) ? ?xx ? 2?( 其中 ai2 ? bi2 ? 0, i ? 1, 2,3 ) 交于一点的充要条件 是 (A) α1 , α 2 , α3 线性相关 (B) α1 , α 2 , α3 线性无关 (C)秩 r (α1 , α 2 , α3 ) ? 秩 r (α1 , α 2 )esin t sin tdt , 则 F ( x)(D) α1 , α 2 , α3 线性相关 , α1 , α 2 线性无关 (5) 设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 的方差 分别为 4 和 2,则随机变量 3 X ? 2Y 的方差是 (D)50(A)为正常数 (B)为负常数 (C)恒为零(A)8(B)16 (C)28 (D)44变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新 技术人数之积成正比,比例常数 k ? 0, 求 x(t ).三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分) (1) 计 算I ? ??? ( x 2 ? y 2 )dv,?四、(本题共 2 小题,第(1)小题 6 分,第(2)小 题 7 分,满分 13 分) (1) 设直线 l :x? y ?b ? 0 x ? ay ? z ? 3 ? 0其中 ? 为平面曲线y 2 ? 2 z 绕 z 轴旋转一周所成的曲面与平面 z ? 8 所 x?0在平面 ? 上 ,而平围成的区域. (2)计算曲线积分 ? ? ( z ? y)dx ? ( x ? z )dy ? ( x ? y)dz,c面 ? 与曲面 z ? x 2 ? y 2 相切于点 (1, ?2, 5), 求 a, b 之值. (2) 设 函 数xf (u )具有二阶连续导数,而其中 c 是曲线x2 ? y 2 ? 1 x? y?z ?2从 z 轴正向往 z 轴负向看?2 z ?2 z z ? f (e sin y ) 满足方程 2 ? 2 ? e 2 x z , 求 f (u ). ?x ?yc 的方向是顺时针的.(3)在某一人群中推广新技术是通过其中掌握 新技术的人进行的,设该人群的总人数为 N , 在t ? 0 时刻已掌握新技术的人数为 x0 , 在任意时刻 t五、(本题满分 6 分) 设f ( x)连续 , ? ( x) ? ?0 f ( xt )dt , 且 limx ?01f ( x) ? A( A x为常数),求 ? ?( x) 并讨论 ? ?( x) 在 x ? 0 处的连续性.已掌握新技术的人数为 x(t )( 将 x(t ) 视为连续可微51六、(本题满分 8 分) 设 a1 ? 0, an?1 ? 1 (an ?2 1 )(n ? 1, 2,?), 证明 an1)试确定 a, b 参数及特征向量 ξ 所对应的特征 值. 2)问 A 能否相似于对角阵?说明理由.(1) lim an 存在. x ?? (2)级数 ? (n ?1 ?an ? 1) 收敛. an ?1八、 （本题满分 5 分） 设 A 是 n 阶可逆方阵 , 将 A 的第 i 行和第 j 行对 七、(本题共 2 小题,第(1)小题 5 分,第(2)小 换后得到的矩阵记为 B. 题 6 分,满分 11 分) (1)证明 B 可逆. (1)设 B 是秩为2的 5 ? 4 矩阵, α1 ? [1,1, 2,3] , α 2 ? [?1,1, 4, ?1] , α3 ? [5, ?1, ?8,9]T T T是齐次(2)求 AB?1.线性方程组 Bx ? 0 的解向量,求 Bx ? 0 的解空间的 九、 （本题满分 7 分） 一个标准正交基.? 2 ?1 2 ? ?1? ? ? ? (2)已知 ξ ? ? 1 ? 是矩阵 A ? ? ? 5 a 3 ? 的一个 ? ? ? ?1? ? ? ?1 b ?2 ? ?从学校乘汽车到火车站的途中有 3 个交通岗, 假设再各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立 的,并且概率都是 2 . 设 X 为途中遇到红灯的次数,552特征向量.求随机变量 X 的分布律、分布函数和数学期望. 十、 （本题满分 5 分） 设总体 X 的概率密度为f ( x) ?(? ? 1) x? 00 ? x ?1 其它其中 ? ? ?1 是未知参数 , X 1 , X 2 ,?, X n 是来自总体 X 的一个容量为 n 的简单随机样本,分别用矩估计 法和极大似然估计法求 ? 的估计量.531998 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分(5) 设 平 面 区 域D由曲线y?1 x及直线y ? 0, x ? 1, x ? e2 所围成 , 二维随机变量 ( X , Y ) 在区域D上服从均匀分布 , 则 ( X , Y ) 关于 X 的边缘概率密度在 x ? 2 处的值为_____________. 15 分.把答案填在题中横线上) (1) limx ?01 ? x ? 1 ? x ? 2 =_____________. x2二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中 ,只有一个符合 题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号 内)(2)设 z ? 1 f ( xy) ? y? ( x ? y), f , ? 具有二阶连续导 x 数,则? z =_____________. ?x?y2(3) 设 l 为 椭 圆x2 y 2 ? ? 1, 4 3其 周 长 记 为 a, 则(1)设 f ( x) 连续,则 (A) xf ( x 2 ) (C) 2 xf ( x 2 )d x tf ( x 2 ? t 2 )dt = dx ?0? ? (2 xy ? 3xL2? 4 y 2 )ds =_____________.(B) ? xf ( x 2 ) (D) ?2 xf ( x 2 )(4)设 A 为 n 阶矩阵 , A ? 0, A* 为 A 的伴随矩阵 , E 为 n 阶单位矩阵.若 A 有特征值 ? , 则 ( A* )2 ? E 必有特 征值_____________.54(2) 函数 f ( x) ? ( x 2 ? x ? 2) x3 ? x 不可导点的个数 是(A)3(B)2(C)1 (D)0y ? y ( x)0 ? P( A) ? 1, P( B) ? 0, P( B | A) ? P( B | A), 则必有(3) 已 知 函 数?y ? y?x ??, 1 ? x2在任意点 x 处的增量(A) P( A | B) ? P( A | B) (B) P( A | B) ? P( A | B) (C) P( AB) ? P( A) P( B)且 当 ?x ? 0 时 , ? 是 ?x 的 高 阶 无 穷小, y (0) ? ? ,则 y (1) 等于 (A) 2? (B) ? (C) e (D) ? e 4? 4?(D) P( AB) ? P( A) P( B)(4)设矩阵? a1 b1 c1 ? ?a b c ? ? 2 2 2? ? ? a3 b3 c3 ? ?是 满 秩 的 , 则 直 线 与直线x ? a1 y ? b1 z ? c1 ? ? a2 ? a3 b2 ? b3 c2 ? c3三、(本题满分 5 分) 求直线 l : x ? 1 ?1 y z ?1 在平面 ? : x ? y ? 2 z ? 1 ? 0 ? 1 ?1x ? a3 y ? b3 z ? c3 ? ? a1 ? a2 b1 ? b2 c1 ? c2上的投影直线 l0 的方程,并求 l0 绕 y 轴旋转一周所 成曲面的方程.(A)相交于一点 重合 (C)平行但不重合 (D)异面 (5) 设A, B(B)四、(本题满分 6 分) 确 定 常 数 ?, 使 在 右 半 平 面x?0上的向量是 两 个 随 机 事 件 , 且55A( x, y) ? 2 xy( x 4 ? y 2 )? i ? x 2 ( x 4 ? y 2 )? j为某二元函数u ( x, y ) 的梯度,并求 u ( x, y ).z ? ? a 2 ? x 2 ? y 2 的上侧 , a 为大于零的常数.五、(本题满分 6 分) 从船上向海中沉放某种探测仪器 , 按探测要 求,需确定仪器的下沉深度 y( 从海平面算起)与下 沉速度 v 之间的函数关系.设仪器在重力作用下, 从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还 受到阻力和浮力的作用 . 设仪器的质量为 m, 体积 为 B, 海水密度为 ? , 仪器所受的阻力与下沉速度成 正比,比例系数为 k (k ? 0). 试建立 y 与 v 所满足的微七、(本题满分 6 分)2? ? ? ? ? sin n sin n sin ? ? 求 lim ? ? ?? ? . x ?? 1 1? n ? 1 ? n? n? ? 2 n? ?八、 （本题满分 5 分） 设正向数列 {an } 单调减少,且 ? (?1) n an 发散,试n ?1 ?问级数 ? (n ?1?1 n ) 是否收敛?并说明理由. an ? 1九、 （本题满分 6 分） 分方程,并求出函数关系式 y ? y (v). 设y? 六、(本题满分 7 分)? ( z ? a ) dxdy 计算 ?? axdydz , 其中 ? 为下半平面 2 2 2 122 ?f ( x) 是区间 [0,1] 上的任一非负连续函数.(1) 试 证 存 在 x0 ? (0,1), 使 得 在 区 间 [0, x0 ] 上 以f ( x0 )为 高 的 矩 形 面 积 , 等 于 在 区 间 [ x0 ,1] 上 以(x ? y ? z )y ? f ( x) 为曲边的曲边梯形面积.56(2) 又 设f ?( x) ? ?f ( x)在区间(0,1)内可导,且 十二、 （本题满分 5 分） 已知方程组2 f ( x) , 证明(1)中的 x0 是唯一的. x十、 （本题满分 6 分） 已知二次曲面方程x ? ay ? z ? 2bxy ? 2 xz ? 2 yz ? 4 可以经过正交变换2 2 2a11 x1 ? a12 x2 ? ? ? a1,2 n x2 n ? 0(Ⅰ)a21 x1 ? a22 x2 ? ? ? a2,2 n x2 n ? 0 ? an1 x1 ? an 2 x2 ? ? ? an ,2 n x2 n ? 0? x? ?? ? ? y ? ? P ?? ? 化为椭圆柱面方程 2 ? ? 4? 2 ? 4, 求 a, b 的值 ? ? ? ? ? ? ?z? ? ?? ? ?的一个基础解析为(b11 , b12 ,? , b1,2 n )T , (b21 , b22 ,?, b2,2 n )T ,?, (bn1 , bn 2 ,?, bn ,2 n )T . 试写出线性方程组b11 y1 ? b12 y2 ? ? ? b1,2 n y2 n ? 0 b21 y1 ? b22 y2 ? ? ? b2,2 n y2 n ? 0 ? bn1 y1 ? bn 2 y2 ? ? ? bn ,2 n y2 n ? 0和正交矩阵 P. (Ⅱ) 十一、 （本题满分 4 分） 设 A 是 n 阶矩阵,若存在正整数 k , 使线性方程组A k x ? 0 有解向量 α, 且 A k ?1α ? 0.的通解,并说明理由.证明:向量组 α, Aα,? , A k ?1α 是线性无关的.57十三、 （本题满分 6 分）设两个随机变量 X , Y 相互独立,且都服从均值 为0、方差为 1 的正态分布,求随机变量 X ? Y 的方2设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随 机地抽取36位考生地成绩,算得平均成绩为66.5 分,标准差为15分.问在显著性水平0.05下,是否 可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70 分?差.十四、 （本题满分 4 分） 从正态总体 N (3.4, 62 ) 中抽取容量为 n 的样本, 如果要求其样本均值位于区间 (1.4, 5.4) 内的概率 不小于0.95,问样本容量 n 至少应取多大? 附:标准正态分布表? ( x) ? ?z? ( x)z并给出检验过程. 附: t 分布表P{t (n) ? t p (n)} ? p0.95 35 1.30.975 2.1??1 ? t2 e dt 2?236 2.331.281.6451.960.900 0.950 0.975 0.990十五、 （本题满分 4 分）581999 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号 内) (1) 设 则f ( x ) 是连续函数 , F ( x) 是 f ( x )的原函数 ,15 分.把答案填在题中横线上) (1) lim( 12 ?x ?0x1 ) =_____________. x tan x(A)当 f ( x) 是奇函数时 , F ( x) 必是偶函数 (B)当 f ( x) 是偶函数时 , F ( x) 必是奇函数 (C) 当f ( x ) 是周期函数时 , F ( x) 必是周期函数(2)d x sin( x ? t ) 2 dt =_____________. dx ?02x(3) y?? ? 4 y ? e 的通解为 y =_____________. (D)当 f ( x) 是单调增函数时 , F ( x) 必是单调增函 (4)设 n 阶矩阵 A 的元素全为 1,则 A 的 n 个特征 数 值是 _____________. (5) 设两两相互独立的三事件 A, B 和 C 满足条 件: ABC ? ?, P( A) ? P( B) ? P(C ) ? 1 ,2?1 ? cos x x?0 (2) 设 f ( x) ? ? , 其中 g ( x) 是有界函 x ? 2 ? x g ( x) x ? 0 ?且已知 P( A ? B ? C ) ? 9 , 则 P( A) =_____________. 16 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分数,则 f ( x) 在 x ? 0 处 (A)极限不存在 极限存在,但不连续 (B)15 分.每小题给出的四个选项中 ,只有一个符合59(C)连续,但不可导 (D)可导 (3)0 ? x ?1 ?x ? f ( x) ? ? 1 2 ? 2x ? x ? 1 ? ? 2S ( x) ? a0 ? ? an cos n? x, ?? ? x ? ??, 2 n ?11?当 n ? m 时,必有行列式 | AB |? 0 (5) 设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 分别服 设 , 从正态分布 N (0,1) 和 N (1,1) ,则 (A) P{ X ? Y ? 0} ? 1 (B) P{ X ? Y ? 1} ? 12 (C) P{ X ? Y ? 0} ? 1 2 (D) P{ X ? Y ? 1} ? 1 22其中 an ? 2?0 f ( x) cos n? xdx 于 (A) 12 (C) 3 4(n ? 0,1, 2,?), 则 S (? 5 ) 等2三、(本题满分 6 分) (B) ? 12 (D) ? 3 4设y ? y ( x), z ? z ( x)是 由 方 程z ? xf ( x ? y )和F ( x, y, z ) ? 0 所确定的函数 , 其中 f和 F 分别具有一dx(4)设 A 是 m ? n 矩阵, B 是 n ? m 矩阵,则 (A)当 m ? n 时,必有行列式 | AB |? 0 (B)当 m ? n 时,必有行列式 | AB |? 0 (C)当 n ? m 时,必有行列式 | AB |? 0 (D)60阶连续导数和一阶连续偏导数,求 dz .四、(本题满分 5 分) 求 I ? ?L (e x sin y ? b( x ? y))dx ? (e x cos y ? ax)dy, 其 中a, b为正的常数,L为从点A(2a, 0)沿曲线为清除井底的淤泥,用缆绳将抓斗 放入井底 , 抓起污泥后提出井口 ( 见 图).已知井深 30m,抓斗自重 400N,缆 绳 每 米 重 50N, 抓 斗 抓 起 的 污 泥 重 2000N,提升速度为 3m/s,在提升过程 中,污泥以 20N/s 的速率从抓斗缝隙 中漏掉 . 现将抓起污泥的抓斗提升至 井口,问克服重力需作多少焦耳的功? ( 说明 : ① 1N ? 1m=1Jm,N,s,J 分别 表示米,牛,秒,焦.②抓斗的高度及位 于井口上方的缆绳长度忽略不计.)y ? 2ax ? x 2到点 O(0, 0) 的弧.五、(本题满分 6 分) 设函数 y( x)( x ? 0) 二阶可导且 y?( x) ? 0, y(0) ? 1. 过 曲线 y ? y( x) 上任意一点 P( x, y ) 作该曲线的切线及x 轴的垂线,上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S1 , 区间 [0, x] 上以 y ? y( x) 为曲线的曲边 梯 形 面 积 记 为 S2 , 并 设 2S1 ? S2 恒 为 1, 求 曲 线y ? y ( x) 的方程.六、(本题满分 7 分) 论证:当 x ? 0 时, ( x 2 ? 1) ln x ? ( x ? 1) 2 . 七、(本题满分 6 分)八、(本题满分 7 分) 设 S 为 椭球面61x2 y 2 ? ? z 2 ? 1 的 上半部 分 , 点 2 2P ( x, y , z ) ? S , ?为 S 在点 P 处的切平面 , ? ( x, y, z ) 为点充分必要条件是 B 的秩 r (B) ? n. 十二、(本题满分 8 分) 设随机变量 X 与 Y 相互独立 , 下表列出了二维O(0, 0, 0) 到平面 ? 的距离,求?? ? ( x, y, z ) dS .Sz九、(本题满分 7 分) 设 an ? ??随机变量 ( X , Y ) 联合分布率及关于 X 和关于 Y 的边tan xdx :n4 0(1)求 ? 1 (an ? an? 2 ) 的值.n ?1?缘分布率中的部分数值,试将其余数值填入表中?nn 收敛. (2)试证:对任意的常数 ? ? 0, 级数 ? a? n ?1的空白处. Xy1y21 8n十、(本题满分 8 分)? a ?1 c ? b 3? 设矩阵 A ? ? ? 5 ? , 其行列式 | A |? ?1, 又 A ? ?1 ? c 0 ?a ? ?y3P( X ? xi ) ? pi?Yx1x2P(Y ? yi ) ? p? j1 8 1 6的伴随矩阵 A 有一个特征值 ?0 ,属于 ?0 的一个特征*向量为 α ? (?1, ?1,1)T , 求 a, b, c 和 ?0 的值. 十一、(本题满分 6 分) 设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定 , B 为 m ? n 实矩 阵 , B 为 B 的转置矩阵 , 试证 BTT1十三、(本题满分 6 分) 设X的概率密度为AB为正定矩阵的62? 6x ? (? ? x) 0& x ? ? , X1 , X 2 ,?, X n 是取自总体 X f ( x) ? ? ? 3 ? 其它 ?0的简单随机样本 (1)求 ? 的矩估计量 ?? . (2)求 ?? 的方差 D(??).632000 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷的概率相等,则 P( A) =_____________.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中 ,只有一个符合 15 分.把答案填在题中横线上) (1) ?01题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号2 x ? x 2 dx =_____________.内) (1) 设f ( x ) 、 g ( x ) 是恒大于零的可导函数 , 且(2)曲面 x 2 ? 2 y 2 ? 3z 2 ? 21 在点 (1, ?2, ?2) 的法线方 程为_____________.f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ? 0 ,则当 a ? x ? b 时,有(3) 微 分 方 程 _____________.xy?? ? 3 y? ? 0的 通 解 为 (A) f ( x) g (b) ?f (b) g ( x)1 ? ? x1 ? ?1 ? ?1 2 ? ? ? ? ? (4) 已知方程组 ? 2 3 a ? 2 ? ? ? x 2 ? ? ? 3? 无解 , 则 ?1 a ?2 ? ?? ? x3 ? ? ? ?0? ? ?a = _____________.(B) f ( x) g (a) ?f ( a ) g ( x)f (b) g (b)(C) f ( x) g ( x) ? (D) f ( x) g ( x) ?f (a) g (a)(5) 设两个相互独立的事件 A 和 B 都不发生的 概率为 1 , A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不发生964(2) 设 S : x 2 ? y 2 ? z 2 ? a 2 ( z ? 0), S1 为 S 在第一卦限 中的部分,则有(A) ?? xdS ? 4?? xdSS S1示 (C)向量组 α1 ,? , α m 与向量组 β1 ,? , β m 等价 (D)矩阵 A ? (α1 ,? , α m ) 与矩阵 B ? (β1 ,?, βm ) 等价 (5)设二维随机变量 ( X , Y ) 服从二维正态分布, 则随机变量 ? ? X ? Y 与 要条件为 (A) E ( X ) ? E (Y ) (B) E ( X 2 ) ? [ E ( X )]2 ? E (Y 2 ) ? [ E (Y )]2 (C) E ( X 2 ) ? E (Y 2 ) (D) E ( X 2 ) ? [ E ( X )]2 ? E (Y 2 ) ? [ E (Y )]2? ? X ?Y(B) ?? ydS ? 4?? xdSS S1(C) ?? zdS ? 4?? xdSS S1(D) ?? xyzdS ? 4?? xyzdSS S1(3)设级数 ? un 收敛,则必收敛的级数为n ?1?不相关的充分必(A) ? (?1) n unn ?1?n(B) ? un2n ?1?(C) ? (u2 n?1 ? u2 n )n ?1?(D) ? (un ? un?1 )n ?1?(4)设 n 维列向量组 α1 ,?, α m (m ? n) 线性无关,则n 维列向量组 β1 ,? , β m 线性无关的充分必要条件为(A) 向量组 α1 ,? , α m 可由向量组 β1 ,? , β m 线性表 示 (B) 向量组 β1 ,? , β m 可由向量组 α1 ,? , α m 线性表65三、(本题满分 6 分) 求 lim(x ??2 ? ex 1? e4 x1?sin x ). x四、(本题满分 5 分) 设z?x x f ( xy, ) ? g ( ) , 其中 f y y具有二阶连续偏导七、(本题满分 6 分) 求幂级数 ?1 xn 的收敛区间,并讨论该 n n n n ?1 3 ? ( ?2)?数 , g 具有二阶连续导数,求?2 z . ?x?y区间端点处的收敛性. 五、(本题满分 6 分) 计算曲线积分 I ? ? ?(1, 0)Lxdy ? ydx 4x2 ? y 2,其中 L 是以点八、(本题满分 7 分) 设有一半径为 R 的球体 , P0 是此球的表面上的 一个定点 , 球体上任一点的密度与该点到 P0 距离 的平方成正比 ( 比例常数 k ? 0 ),求球体的重心位为中心 , R 为半径的圆周 ( R ? 1), 取逆时针方向.六、(本题满分 7 分) 设对于半空间 x ? 0 内任意的光滑有向封闭曲2x 面 S , 都有 ? ?? xf ( x)dydz ? xyf ( x)dzdx ? e zdxdy ? 0, 其中 S置.九、(本题满分 6 分) 设 函 数f ( x)函数x ?0f ( x)在 (0, ??) 内 具 有 连 续 的 一 阶 导 数 , 且在[0, ? ]上 连 续 , 且lim? f ( x) ? 1, 求 f ( x) .66??0f ( x)dx ? 0,? f ( x) cos xdx ? 0. 试 证 : 在 (0, ? ) 内 至 少0?存在两个不同的点 ?1 , ?2 , 使 f (?1 ) ? f (? 2 ) ? 0.占百分比分别为 xn 和 yn , 记成向量 ? n ? . y?n?x ? ?十、(本题满分 6 分)?1 0 ?0 1 * ? 的 伴 随 矩 阵 A ? ?1 0 ? ? 0 ?3 0 0? 0 0? ?, 1 0? 且 ? 0 8?(1) 求 ? 式: ?? xn ?1 ? ? ? yn ?1 ?与 ? n ? 的关系式并写成矩阵形 y?n?x ? ?设矩阵A? xn ?1 ? ? xn ? ? ? A ? ?. ? yn ?1 ? ? yn ?? 4? ? ? ? ?1? ? ?(2) 验证 η1 ? ? ? , η2 ? ? ? 是 A 的两个线性无关 1 1 的特征向量,并求出相应的特征值.ABAB?1? BA?1? 3E ,其中 E 为4 阶单位矩阵,求矩阵.?1? ?2? ? xn ?1 ? x 1? (3)当 ? ? ? ? ? ? 时,求 ? y ? . ? n ?1 ? ? y1 ? ? 1 ? ? ? ?2?十一、(本题满分 8 分) 某适应性生产线每年 1 月份进行熟练工与非 熟练工的人数统计 , 然后将 1 熟练工支援其他生6十二、(本题满分 8 分) 某流水线上每个产品不合格的概率为p (0 ? p ? 1) ,各产品合格与否相对独立,当出现 1 个产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老 非熟练工经过培训及实践至年终考核有 2 成为熟5练工.设第 n 年 1 月份统计的熟练工与非熟练工所67不合格产品时即停机检修.设开机后第 1 次停机时已生产了的产品个数为 X ,求 X 的数学期望E ( X ) 和方差 D( X ) .十三、(本题满分 6 分) 设某种元件的使用寿命?2 e ?2( x ?? ) x ? ? f (? ) ? ? x ?? ?0X的概率密度为, 其中 ? ? 0 为未知参数 . 又设x1 , x2 ,? , xn 是 X 的一组样本观测值,求参数 ? 的最大似然估计值.682001 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷P{ X ? E ( X ) ? 2} ? _____________.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中 ,只有一个符合 15 分.把答案填在题中横线上) 题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号 (1) 设 y ? e (a sin x ? b cos x)(a, b 为任 意常数 ) 为x内) 某二阶常系数线性齐次微分方程的通解 ,则该方 (1)设函数 程为_____________. (2) r ? x ? y ? z2 2 2f ( x ) 在定义域内可导 , y ? f ( x) 的图, 则 div(grad r )(1, ?2,2)=形如右图所示,则 y ?f ?( x) 的图形为_____________. (3) 交 换 二 次 积 分 的 积 分 次 序: ? ?1 dy? 2 f ( x, y )dx ＝_____________. (4) 设A 2 ? A ? 4E ? O0 1? y, 则( A ? 2E) ?1=_____________. (5) D( X ) ? 2 , 则根据车贝晓夫不等式有估计69(A) dz |(0,0) ? 3dx ? dy (B) 曲面 z ? (A) 为 {3,1,1} (C) 曲线 量为 {1, 0, 3} (D) 曲线 (B) 量为 {3, 0,1} (3)设 f (0) ? 0 则 f ( x) 在 x =0 处可导 ? (A) limh ?0f ( x, y )在 (0, 0, f (0, 0)) 处的法向量z ? f ( x, y ) y?0在 (0, 0, f (0, 0)) 处的切向z ? f ( x, y ) y?0在 (0, 0, f (0, 0)) 处的切向f (1 ? cos h) 存在 h2(B)(C)limh ?0f (1 ? e h ) 存在 h sin h) (C) lim f (h ? 2 存在 h ?0 h (D) lim f (2h) ? f (h) 存在 h ?0 h?1 ? (4)设 A ? ?1 ?1 ? ?1 1 1 1? ?4 ? ? 1 1 1? 0 ,B ? ? ?0 1 1 1? ? ? 1 1 1? ?0 0 0 0 0 0 0 0 0 0? ? 0 ? ,则 A 与 B 0? ? 0?(D) (2) 设f ( x, y )在点(0, 0)的附近有定义,且f x? (0,0) ? 3, f y? (0,0) ? 1 则70(A)合同且相似 (B)合同但不相似 (C)不合同但相似 (D)不合同且不相似 (5)将一枚硬币重复掷 n 次,以 X 和 Y 分别表示 正面向上和反面向上的次数 , 则 X 和 Y 相关系数 为 (A) -1 (B)0 (C) 12四、(本题满分 6 分) 设 函 数z ? f ( x, y )在 点 ,(1,1)可 微 , 且 ,求f (1,1) ? 1, f x?(1,1) ? 2, f y? (1,1) ? 3d 3 ? ( x) dxx ?1? ( x) ? f ( x, f ( x, x)).五、(本题满分 8 分) 设 f ( x) ?1 ? x2 arctan x x ? 0 ,将 f ( x ) 展开成 x 的 x 1 x?0幂级数,并求 ? (D)1(?1) n 的和. 2 n ?1 1 ? 4n?六、(本题满分 7 分) 三、(本题满分 6 分)e 求 ? arctan 2x ex2 2 2 2 2 2 计算 I ? ? ? L ( y ? z )dx ? (2 z ? x )dy ? (3x ? y )dz ,dx .其中 L 是平面x ? y ? z ? 2 与柱面x ? y ? 1 的交线,从 Z 轴正向看去 , L 为逆时针方向.71七、(本题满分 7 分) 设 证明: (1)对于 ?x ? (?1,0) ? (0,1) ,存在惟一的 ? ( x) ? (0,1) , 使f ( x ) = f (0) + xf ?(? ( x) x) 成立. f ( x ) 在 (?1,1) 内具有二阶连续导数且 f ??( x ) ? 0 .九、(本题满分 6 分) 设 α1 , α 2 ,?, α s 为线性方程组 AX ? O 的一个基础 解系,β1 ? }