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画梁的剪力图及弯矩图的教学经验与体会
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画梁的剪力图及弯矩图的教学经验与体会
关注微信公众号FQMM剪力图和弯矩图MM一、剪力、弯矩方程与剪；aa为了清楚地表明剪力和弯矩沿梁轴线变化的大小和；示各截面的剪力或弯矩为纵坐标，按方程作图；FFb象；DBABQ3445B5FQ?FQ(x)lFalM；FA?FbFaFB?l，l(b)；x点，梁在AC和CB两段内的剪力和弯矩不能用同一；mab截面之左的外力表示，则得BAxCxxAB8；FbM(x)?FAx?x
FQMM剪力图和弯矩图 MM
一、剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图 一般剪力和弯矩是随着截面的位置不同而变化。如取梁的轴线为x轴，F=qa由以上分析可知，xx的函数，即 以坐标m=qa表示横截面的位置，则剪力和弯矩可表示为q2qm2=2qa2B2aaFBFAA11a22C3CMCm2=2qa2aBFBq2a，
上述关系式表达了剪力和弯矩沿轴线变化的规律，分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。 aa
为了清楚地表明剪力和弯矩沿梁轴线变化的大小和正负，把剪力方程或弯矩方程用图线F表示，称为剪力图或弯矩图。作图时按选定的比例，以横截面沿轴线的位置为横坐标，以表示各截面的剪力或弯矩为纵坐标，按方程作图。 y例8-3
图8-12(a)所示的简支梁为齿轮传动轴的 FbaCBA计算简图，试列出它的剪力方程和弯矩方程，并作剪力
(a) xx图和弯矩图。 lFF解 （1）计算梁的支反力
取整个梁AB为研究对 FFb象。由平衡条件：?MA(F)?0和?MB(F)?0，得
DBABQ3445B5FQ?FQ(x)lFalMFablxx
（2）列出剪力方程和弯矩方程
以梁的左端A为坐标
原点，选取坐标系如图8-12(a)所示。集中力F作用于C
FA?FbFaFB?l，l
(b) x点，梁在AC和CB两段内的剪力和弯矩不能用同一方程
y来表示，应分段考虑。设各段任意截面的剪力和弯矩均以
mab截面之左的外力表示，则得
BAxCxxAB8xxxFbFlFAC段
（1） FbM(x)?FAx?xFml
（2） lxFaFQ(x)?FA?F??BC段Ml
malFbFaM(x)?FAxx?F(x?a)?(?F)x?Fa?(l?x)llmb
(4) FQ(x)?FA?Q
（3）按方程分段作图
由式（1）与式（3）可知，AC段和BC段的剪力均为常数，所以剪力图是平行于x轴的直线。AC段的剪力为正，故剪力图在x轴上方；BC段剪力为负，故剪力图在x轴之下，如图8-12(b)所示。
由式（2）与式（4）可知，弯矩都是x的一次方程，所以弯矩图是两段斜直线。根据式（2）、（4）确定三点 x?0，M(x)?0 lFabl
x?a，x?l，M(x)?0 M(x)?由这三点分别作出AC段与BC段的弯矩图，如图8-12(c)。 例8-4
简支梁AB受集度为q的均布载荷作用，如图8-13(a)所示，作此梁的剪力图和弯矩图。
解 （1）求支反力
由载荷及支反力的对称性可知两个支反力相等，即 FA?FB?
（2）列出剪力方程和弯矩方程
以梁左端A为坐标原点，选取坐标系如图所示。距原点为x的任意横截面上的剪力和弯矩分别为 ql2 ql?qx2
(1) xql1M(x)?FAx?qx?x?qx2222
(2) FQ(x)?FA?qx?
（3）作剪力图和弯矩图
由式（1）可知，剪力图是一条斜直线，确定其上两点后即可绘出此梁的剪力图（图8-13b）。由式（2）可知，弯矩图为二次抛物线，要多确定曲线上的几点，才能画出这条曲线。例如
xl/4l/23l/4l0 M(x)0 3ql322ql823ql3220
通过这几点作梁的弯矩图，如图8-13(c)所示。
由剪力图和弯矩图可以看出，在两个支座内侧的横截面上剪力为最大值：FQmax?ql2。1Mmax?ql28，而在此截面上剪力FQ?0。 在梁跨度中点横截面上弯矩最大
图8-14所示简支梁，跨度为l，在C截面受一集中力偶m作用。试列出梁的FQ(x)M(x)AB剪力方程和弯矩方程，并绘出梁的剪力图和弯矩图。 lFQMFalxql2ql2xMFablx3qa232qa28yAxFAxamClbxFBB(a)
(c) l4y3l43qa232xxlMAFAQAxBFFQmlxMxMmalxmbl 图8-14
解 （1）求支反力
由静力平衡方程?MA(x)?0，?MB(x)?0得 Fl x FA?FB?
（2）列剪力方程和弯矩方程
由于集中力m作用在C处，全梁内力不能用一个方程来表示，故以C为界，分两段列出内力方程 ml ml
mM(x)?FAx?xl
FQ(x)?FA?ml
mM(x)?FAx?m?x?ml
(4) FQ(x)?FA?
（3） 画剪力图和弯矩图
由式（1）、（3）画出剪力图，见图8-14(b)；由式（2）（4）画出弯矩图，见图8-14(c)。 二、 弯矩、剪力与分布载荷集度之间的微分关系 F(x)F(x)
在例8-4中，若将M(x)的表达式对x取导数，就得到剪力Q。若再将Q的表达式对x取导数，则得到载荷集度q。这里所得到的结果，并不是偶然的。实际上，在载荷集度、剪力和弯矩之间存在着普遍的微分关系。现从一般情况出发加以论证。
设图8-15(a)所示简支梁，受载荷作用，其中有载荷集度为q(x)的分布载荷。q(x)是x的连续函数，规定向上为正，选取坐标系如图所示。若用坐标为x和x?dx的两个相邻横截面，从梁中取出长为dx的一段来研究，由于dx是微量，微段上的载荷集度q(x)可视为均布载荷，见图8-15(b) 。 F(x)M(x)，在坐标为x?dx的横截面上的内力设坐标为x的横截面上的内力为Q和为FQ(x)?dFQ(x)和M(x)?dM(x)。假设这些内力均为正值，且在dx微段内没有集中力和集中力偶。微段梁在上述各力作用下处于平衡。根据平衡条件?Fy?0，得 FQ(x)?[FQ(x)?dFQ(x)]?q(x)dx?0dFQ(x)由此导出
（8-1） M?0设坐标为x?dx截面与梁轴线交点为C，由?C，得
略去二阶微量M(x)?dM(x)?M(x)?FQ(x)dx?q(x)dxdx?02 q(x)dxdx2，可得 dM(x)?FQ(x)
（8-2） 将式（8-2）对x求一阶导数，并利用式（8-1），得 d2M(x)?q(x)2
（8-3） F(x)M(x)之间的微分关系。公式（8-1）～（8-3）就是载荷集度q(x)、剪力Q和弯矩它表示：
（1）横截面的剪力对x的一阶导数，等于梁在该截面的载荷集度，即剪力图上某点切线的斜率等于该点相应横截面上的载荷集度。
（2）横截面的弯矩对x的一阶导数，等于该截面上的剪力，即弯矩图上某点切线的斜率等于该点相应横截面上的剪力。
（3）横截面的弯矩对x的二阶导数，等于梁在该截面的载荷集度q(x)。由此表明弯矩图d2M(x)?q(x)2q(x)q(x)dx的变化形式与载荷集度的正负值有关。若方向向下（负值），即＜0，弯矩图为向上凸曲线；反之，q(x)方向向上（正值），则弯矩图为向下凸曲线。
根据微分关系，还可以看出剪力和弯矩有以下规律： dFQ(x)?q(x)?0F(x)?q(x)?0dx
（1） 梁的某一段内无载荷作用，即，由可知，Q常量。 dM(x)?FQ(x)?0FQ(x)?0M(x)?常量，x
若，剪力图为沿轴的直线，并由dx可知，弯矩图为平行于x轴的直线。 FQ(x)x若等于常数，剪力图为平行于轴的直线，弯矩图为向上或向下倾斜的直线。 F(x)
（2）梁的某一段内有均布载荷作用，即q(x)等于常数，则剪力Q是x的一次函数，M(x)是x的二次函数。剪力图为斜直线；若q(x)为正值，斜线向上倾斜；若q(x)负弯矩d2M(x)?q(x)2q(x)dx值，斜线向下倾斜。弯矩图为二次抛物线，当为正值，即＞0时，弯矩d2M(x)?q(x)2q(x)图为下凸曲线；当为负值，即dx＜0时，弯矩图为上凸曲线。
（3）在集中力偶作用处，剪力图发生突变，突变的绝对值等于该集中力的数值。此处弯矩图由于切线斜率突变而发生转折。
（4）在集中力偶作用处，剪力图不受影响，而弯矩图发生突变，突变的绝对值等于该集中力偶的数值。 2kN2kN2kNO1kN1kN1kN1kN4m1kN4m4m4m3m1kN4m4m3kN3mxF5mxxxx3kNxxFF3kN3kN3kNFF3kN3kNFFQ5mFQ5m5m5m5m5mF20.5kN．m7kNM7kN．．．．．20.5kN20.5kN20.5kNmm20.5kNm20.5kN20.5kNmm．3kNm．16kN3kNMMMMMMm2kN2kN．．．．．．mm16kN16kNm16kNmm．16kNm16kN1kN16kN1kN6kNm．．．．．．6kNm6kNm6kN6kN3kNm6kNmx3kN6kNmmx5mF5mFx．xxxxxx．20.5kNm20.5kNmMM．．．m表示。16kN6kNm
上述结论可用表8-1
m16kN．．．．．6kNm．6kNm6kNm6kNm6kN6kNmm．6kN．m表6kNm8-1 各种形式载荷作用下的剪力图和弯矩图 m3kN．m3kN．载荷情况 x6kN．mx剪力图 弯矩图
梁梁梁梁梁QFQQQFQFQFQFF梁梁FQQ>0FQ>0FQ>0Q>0FFQFQ>06kN．mMMMMMFQ>0MMFQ>0FQ>0FQFQ>0>0QQF>0Q>0F>0QQF>0FxxQQF<0F0>0xx0=q=q0=qqq0=0梁0=q=0q=0QqFq梁==00FQFQ>0xxMxxxxxxxxxxMQF<0FQ0FQ<0FQ0FQ<0F0QQQ<0FQ<0QQQQFFFQ<0<0FF<0<0xxxMMMMMQQMFMQQFFF<0<0FQ<0q<0q<0qqq<0<0<0<0qqq<0xQFFQFQQFQQFQ<0FQqq<0<0q0qq<0<0q<00qq>0>0>0>0q>0FQq>0q0q>0q>0>0q>0q=qqq=q常数=常数常数常数==常数q=常数qq==常数常数q<0q<0xxqxxxMxqxxxM0>0q>0xxxFFFFFCq=常数FCxxxxCFCCCCFQQFQFQMMMQFFMFQQFMMQFM转折转折转折转折转折突变突变突变突变转折突变突变转折突变QFMFQCMFFFFFFC突变转折转折突变FxxxCCxxxxCCCCCCCCCxxxxCCxFCFCCxxxxCxCxmmmmmmmCCCCCCCmMMMM突变M突变QQFQmQQFFFFFQ突变M突变MQFM突变FQQM突变突变FQ突变突变不变不变不变不变不变不变不变CCCCC不变C不变CCCCCmmmmmxxxmxxxxmxxxmxCCCCCCCxxxxmCxCxx
利用剪力图和弯矩图的特点，可以定性 ydx地描绘剪力图和弯矩图，或校验剪力图和弯 (FQx)+dFQ(x)FQ(x)矩图。 CO 例8-6 图8-16(a)所示简支梁，受均布
(a) xM(x)M(xq=q(x)载荷和集中力共同作用，试绘梁的内力图。 )+dM(x)xdx
解 （1）计算支反力
由?MA(F)?0，得 FAAq=3kN/mB2m1m6kNC1mFDDxAB?(q?AB)??6kN?AC?FD?AD?02
(b) F=mFF=M=．Fq=1?q?AB2?6kN?ACAEBCFD?D2?3kNAD所以
A10B2q(x)FQ3kNO1mMO3kNm1.5kN．3kNx，得
(c) 7kN?q?AB?6kN?FD?0
FA3kN2kNF?3kN
（2）根据载荷作用位置把梁分成三段，并
20.5kN．m对各段的内力图形状作出分析判断，求出各段内力图的起点、终点和极值点的内力值，然后Mm16kN．将其列表如下：
6kN．mQFF由?
4m4my?04m3mm3kN．
梁段 q/kN?m?1A?B?xB?C?C?D?6kN．m－３ 剪力图形状 左高右低斜直线 弯矩图形状 开口向下抛物线 横截面x值梁0??FQ１ 2??０ 水平线 斜直线 ０ 水平线 斜直线 3??/m FQ>02?M??3FQ>03??4??3值 0M值/kN?m
注：表中△→0。 FQq/=0kN30?30xFQ<0?3Q<0Fx3FQ1.5q0Mq0xq=常数FCFQC突变FMx转折Cx三亿文库包含各类专业文献、幼儿教育、小学教育、行业资料、各类资格考试、高等教育、外语学习资料、文学作品欣赏、应用写作文书、专业论文、剪力图和弯矩图1(基础)75等内容。　
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工程力学C-第10章 弯曲内力
第10章 弯曲内力基本内容：1、引言2、梁的计算简图 3、剪力与弯矩4、剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图本章要点： 剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图§10-1 引言一、弯曲变形的实例qP受力特点：外力垂直于杆件的轴线。 ―― 称为横向力变形特点：杆件的轴线由直线变成曲线 以弯曲变形为主的杆件――梁二、平面弯曲的概念纵向对称面 横截面对称轴变形前的轴线 变形后的轴线若梁上的外载荷都作用在纵向对称平面内，则梁弯曲变 形后的轴线为纵向对称平面内的平面曲线。 ―― 这种弯曲称为平面弯曲或对称弯曲。 发生平面弯曲的两个条件： (1) 具有纵向对称平面； (2) 外力作用于纵向对称平面内。 材料力学 ―― 主要研究平面弯曲的情形。§10-2 梁的计算简图一、梁的支座分类 按支座对梁的约束情况，可简化为三种基本形式:1、固定端： 限制梁端截面沿水平和垂直方向移动和绕某一轴转动。端截面处有0个自由度 限制被支撑的横截面沿水平和垂直方向移动。 2、固定铰支座： 被支撑的横截面有1个自由度 3、可动铰支座： 使杆件可沿支承面方向移动和绕支承点的转动。 被支撑的横截面 有2个自由度二、梁的载荷分类 1、集中载荷 载荷的作用范围远小于杆件轴向尺寸。 2、分布载荷 沿轴向连续分布在杆件上的载荷，常用q 表示单位长 度上的载荷，称为载荷集度。如风力，水力，重力。 3、集中力偶 分布载荷集中载荷集中力偶三、几种静定梁的基本形式 利用平衡方程可确定全部支反力的梁，称为静定梁. 仅利用平衡方程不能确定全部支反力的梁，称为静不定梁. 1、简支梁 一端为固定铰支座，一端为活动铰支座。 2、外伸梁 一端或两端向外伸出的简支梁。3、悬臂梁一端固支，一端自由。§10-3 剪力与弯矩一、剪力和弯矩 P1 m 步骤：1）先求约束反力RA 、RB ； （ （2）由截面法求横截面上的内力；A m x （如：求 m ― m 截面的内力） RA P1 ? Y ? 0, RA ? P1 ? Q ? 0 y a mP2 P3x B RB截面形心OyaQ ? RA ? P 1?MO? 0, ? RA x ? P ( x ? a) ? M ? 0 1A RAxmQ mM xP2QP3 x RBM ? RA x ? P ( x ? a ) 1Mm§10-3 剪力与弯矩一、剪力和弯矩 P1P2 P3m x B RByA RA y A RAa x P1 aQ ? RA ? P 1剪力 ―― 在数值上等于截面 以左（或以右）所有外力在y 轴上投影代数和；mm xmQ m截面形心OM ? RA x ? P ( x ? a ) 1弯矩 ―― 在数值上等于截面 以左（或以右）所有外力对截 面形心取矩的代数和；M xP2QP3 x RBMm二、剪力和弯矩的正负号规定 1. 剪力的正负使梁微段发生顺时针转动的剪力Q为正，反之为负。Q（＋）QQQ（－）截面左侧： 向下的Q为正， 向上的Q为负； 截面右侧： 向上的Q为正， 向下的Q为负。二、剪力和弯矩的正负号规定 2. 弯矩的正负 使梁微段发生上凹下凸变形的弯矩 M 为正，反之为负。 截面左侧： 逆时针转向的 弯矩M为正， 顺时针转向的 弯矩M为负； 截面右侧： 顺时针转向的 弯矩M为正， 逆时针转向的 弯矩M为负。M M（＋） （－）M例1图示简支梁，试求指定截面的剪力Q和弯矩M 。8 kN解： （1）先求约束反力；?MB? 0,? RA ? 6 ? 8 ? 4.5 ? 12 ? 3 ?1.5 ? 01 A2m212 kN /m? Y ? 0,RA ? 15kN12 1.5 m3mB RBRA ? 8 ? 12 ? 3 ? RB ? 0RA1. 5 m 1. 5 m 8 kN 1. 5 mRB ? 29 kN（2）由截面法求Q、M 1 ― 1截面：A RA1O截面形心2m? Y ? 0,?MORA ? 8 ? Q1 ? 0Q1 ? 7kN1 Q1M1? 0, ? RA ? 2 ? 8 ? 0.5 ? M1 ? 0M 1 ? 26 kN ? m例1图示简支梁，试求指定截面的剪力Q和弯矩M 。8 kN解：2 ― 2截面：? Y ? 0,Q2 ? 12 ?1.5 ? RB ? 0A RA2m1 11. 5 m 1. 5 m 8 kN 1. 5 m2 212 kN /m 1.5 mQ2 ? ?11kNBRB?MO? 0,3m? M 2 ? 12 ?1.5 ? 0.75 ? RB ?1.5 ? 0M 2 ? 30 kN ? mA1O截面形心2mRA1 Q1M1取左段时： Q向下假设为正； M逆时针假设为正。 说明： 取右段时： Q向上假设为正； M顺时针假设为正。2M2Q2 212 kN /m1.5 mB RB3. 剪力、弯矩的正负与横向外力的关系 （1）剪力： 取左半部分： Q ? RA ? 8 A向上的外力在截面上引起正的剪力； 向下的外力在截面上引起负的剪力。8 kN 截面形心 1. 5 m1O2m取右半部分： Q ? 12 ?1.5 ? RB向下的外力在截面上引起正的剪力； 向上的外力在截面上引起负的剪力。RA1Q1M1（2）弯矩： 取左半部分：M 1 ? RA ? 2 ? 8 ? 0.5向上的外力在截面上引起正的弯矩； 向下的外力在截面上引起负的弯矩。212 kN /mM2Q2 2B1.5 m取右半部分： M 2 ? ?12 ?1.5 ? 0.75 ? RB ?1.5向上的外力在截面上引起正的弯矩； 向下的外力在截面上引起负的弯矩。RB例 2 图示简支梁，试求指定截面的剪力Q和弯矩M 。 解： （1）先求约束反力 RA 、 RB （2）求指定截面Q和M 2 ― 2截面：aRA? Y ? 0,RBRA ? P ? Q2 ? 0Q2 ? RA ? P?MO? 0, ? RA x2 ? P( x2 ? a) ? m1 ? m2 ? M 2 ? 0 M 2 ? RA x2 ? P( x2 ? a) ? m1 ? m2a1 ― 1截面： ? Y ? 0, Q1 ? RB ? 0Q1 ? ? RBM2RAQ2M1?MO? 0, RB (l ? x1 ) ? m1 ? m2 ? M1 ? 0M1 ? RB (l ? x1 ) ? m1 ? m2Q1RB4. 剪力、弯矩的正负与横向外力偶的关系Q2 ? RA ? PM 2 ? RA x2 ? P( x2 ? a) ? m1 ? m2aQ1 ? ? RBM1 ? RB (l ? x1 ) ? m1 ? m2弯矩： 取左半部分 顺时针转向的外力偶引起正的弯矩 逆时针转向的外力偶引起负的弯矩 取右半部分 逆时针转向的外力偶引起正的弯矩 顺时针转向的外力偶引起负的弯矩RARBaM2RAQ2M1Q1RB例 3 已知:P 、M=Pl、l 求：横截面D- 、E、A+的剪力和弯矩。 解： （1）计算支反力 P? M ? 0, FBl ? P ? 2l ? Pl ? 0 ? Y ? 0, FB ? FA ? P ? 0AM ? Pl A E0.5lBD解得： FA ? ?2 P, FB ? 3P0.5lFBlAFA? Y ? 0, FA ? QE ? 0?ME（2）计算截面 E 的剪力和弯矩MA EMEQEMA? c1 M A?? Y ? 0, F ? M ? 0, MA? 0, M E ? FA ? 0.5l ? M ? 0 F 0.5l A Q 解得： E ? ?2 P, M E ? 0 （3）计算截面A+ 和D-的剪力和弯矩 同理：AFA ? ? ?0Q A?P? QA? ? 0A?? FA ? ? ? M ? 0QD? ? PM D? ? 0D?M D?c2QD? ?DQ 解得： A? ? ?2 P, M A? ? Pl? ?0§10-4 剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图一、剪力方程与弯矩方程Q ? Q(x)M ? M (x)x ―― 表示梁横截面的位置表示剪力和弯矩沿梁轴线变化规律的代数方程。二、剪力图与弯矩图 以纵坐标表示剪力(Q)与弯矩(M)，横坐标 x 表示梁横截面的 位置，得到的剪力和弯矩的变化曲线，称为剪力和弯矩图。 剪力和弯矩图 ―― 梁的内力图例 4 试列出图示悬臂梁的剪力、 弯矩方程，并求梁的Q、M 图。 解： （1）剪力、弯矩方程y PxA x l B?P 0? x ?l M (x) ? ? Px 0 ? x ? lQ(x) ?（2）剪力、弯矩图QxPQ ? 常数 ―― 水平直线M | x ?0 ? 0 ―― 斜直线 M | x ?l ? ? PlM（3）剪力、弯矩最大值xQ max ? PMmax? PlPl例 5 试列出图示悬臂梁的剪力、弯矩 方程，并做梁的Q、M 图。 解： （1）剪力、弯矩方程y q xAQ(x) ? ? qx 1 2 M (x) ? ? qx 2Q | x ?0 ? 00? x?lx0? x?l―― 斜直线lBQ x（2）剪力、弯矩图Q | x ?l ? ?qlM 1 2 M | x ?0 ? 0 M | l ? ? ql x? 8 2 ―― 二次抛物线 1 2 M | x ?l ? ? ql 21 2 ql 8qlx求弯矩的极值点：dM ( x) d ? q 2 ? ? ?qx ?0 ? ?? x ? dx dx ? 2 ?x?0M ( x) | x ?0 ? 01 2 ql 2（3）剪力、弯矩最大值Q max ? qlMmaxql 2 ? 2例 6 试列出图示简支梁的剪力、弯矩 方程，并求梁的Q、M 图。 解： （1）先求约束反力RA ? ql 2 RB ? ql 2yA RAqxxql 2lB RB（2）剪力、弯矩方程Q(x) ? RA ? qx ?ql ? qx 0? x?l 2 qlx q 2 1 ? x 0? x?l M (x) ? R A x ? qx ? x ? 2 2 2Qx l /2ql 2（3）剪力、弯矩图ql Q( x ) | x ? 0 ? 2 M ( x) | x ?0 ? 0Q ( x ) | x ?l ? ?M ( x) | x ?l ? 0ql 2Mql 2 8x求弯矩的极值点：dM ( x) d ? qlx q 2 ? ql ? ? ? x ? ? ? qx ? 0dx dx ? 2 2 ? 2l /2l x? 2ql 2 M ( x) | l ? x? 8 2例 7 图示简支梁，受集中力偶作用。 y 试列出剪力、弯矩方程，并求梁的Q、 M 图。 A 解： 1）先求约束反力 （ RA m RA ? RB ? l Q （2）剪力、弯矩方程 m 0? x?a Q(x) ? ? R A ? ? l AC段： m M (x) ? ? RA x ? ? x 0 ? x ? a l m Q(x) ? ? RB ? ? a? x?l l CB段： m M (x) ? ? RA x ? m ? (l ? x) a ? x ? l l M （3）剪力、弯矩图RBmCxbBxa lxm lmb l ma lM | x ?0 ? 0mb M |x ?a ? ? lM |x ?a ? ? ?ma lxM | x ?l ? 0例8 求：梁的剪 力图和弯矩图。 解： 求支反力yAFAM ? 160 KN? mq ? 20 KN mP ? 20 KNFA ? 72 KNC2m8mBFB60D2mxFB ? 148 KNQ (1) 在集中力作用处， (KN) 72 截面两侧的剪力发 生突变；集中力的 方向向上为正向突 变，反之为负突变；(2) 在均布载荷作 用范围内，截面上 的剪力表现为一条 斜直线，载荷方向 朝上，直线斜率为 正，反之为负；20x88(3) 梁端截面处剪力的大小与端截面上集中力有 关，在左端集中力方向朝上，剪力为正，反之为 负，在右端集中力方向朝下，剪力为正，反之为 负； (4) 梁横截面上剪力在集中力偶作用处 不发生突变。例8 求：梁的剪 力图和弯矩图。yAFAM ? 160 KN? mq ? 20 KN mP ? 20 KNC2m8mBFB113 .6D2mx(1) 在集中力偶作用 处，截面两侧的弯 M (KNm) 144 矩发生突变；集中 力偶顺时针转向为 正向突变，反之为 负向突变； 16x80(2) 在均布载荷作用范围内，截面上的弯矩表现为一条抛物线，载 荷方向朝上，抛物线开口朝上，反之朝下； (3) 梁中间作用有集中力处，弯矩图的斜率发生突变，集中力方 向向上则发生正向突变，反之为负向突变； (4) 梁端截面处无集中力偶作用，两端截面处弯矩为零；作业：10―1 (c)、(d)10―2 (d) 、(f) 10―6 10―7
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copyright &copyright 。文档资料库内容来自网络，如有侵犯请联系客服。　　　梁的内力图绘制的目的是用图示方法形象地表示出剪力q、弯矩m沿梁长变化的情况，绘制梁的内力图是材料力学教材中的一个重点和难点内容，熟练、正确地绘制内力图是材料力学的一项基本功，也是后续课程结构力学的基础。绘制梁内力图的方法有静力法、简捷法和叠加法，其中简捷法是利用剪力、弯矩和荷载集度之间的微分关系作图的一种简便方法，通常是用来确定梁的危险截面作为强度计算的依据，因此熟练掌握简捷法作梁的内力图是十分必　　dm(x)dx=q(x)　　dq(x)dx=q(x)　　d2m(x)dx2=q(x)　　利用弯矩、剪力与荷载集度之间的微分关系及其几何意义，可总结出下列一些规律，用来校核或绘制梁的剪力图和弯矩图，其规律如下表所示：　　注意：根据函数图线的几何意义，当q＞0（向上）时，弯矩图为开口向下的二次抛物线；反之q＜0（向下）一时，弯矩图为开口向上的二次抛物线，即抛物线的凹性和凸性和均布荷载的方向保持一致。　　1.5 能根据计算的各控制面的q和m作图　　 作图时要求基线长度和梁的轴线等长，截面对应，纵标值、正负号、图名和单位缺一不可。　　　　2 应用举例　　　　2.1 用简捷法作图示梁的内力图 (特点:无弯矩极值,有剪力突变)　　　　ra=11kn（↑） rb=7kn（↑）　　(2)根据梁上的荷载情况，将梁分为ac和bc两段　　(3)计算控制截面的q值　　ac为均布荷载段，剪力图为斜直线，其控制截面剪力为　　qa右=ra=11kn qc左=10-7=3kn　　bc段为无荷载区段，剪力图为水平线，其控制截面剪力为　　qc右=rb=-7kn　　画出剪力图如图2(b)所示　　（4）计算控制截面弯矩，画弯矩图　　 ac为均布荷载段，由于q向下，弯矩图为凸向下的二次抛物线，该段中q≠0,因此没有m极,其控制截面弯矩为　　ma右=0 mc左=rb×2=14kn&#8226;m　　bc段为无荷载区段，弯矩图为斜直线，其控制截面弯矩为 　　mc右=rb×2=14kn&#8226;m mb左=0　　 画出弯矩图如图2(c)所示。　　2.2 用简捷法作图示梁的内力图(特点:有弯矩极值,有弯矩突变)　　【解】（1）求支座反力　　ra=6kn（↑） rc=18kn（↑）　　（2）根据梁上的荷载情况，将梁分为ab和bc两段共2页: 1
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　　（3）计算控制截面剪力，画剪力图　　ab段为无荷载区段，剪力图为水平线，其控制截面剪力为　　qa右=ra=6kn　　bc为均布荷载段，剪力图为斜直线，其控制截面剪力为　　qb右=ra=6kn　　qc左=-rc=-18kn　　画出剪力图如图3(b)所示。　　（4）计算控制截面弯矩，画弯矩图　　ab段为无荷载区段，弯矩图为斜直线，其控制截面弯矩为 　　ma右=0 　　mb左=ra×2=12kn&#8226;m　　bc为均布荷载段，由于q向下，弯矩图为凸向下的二次抛物线，其控制截面弯矩为　　mb右=ra×2+me=6×2=12=24kn&#8226;m　　mc左=0　　从剪力图可知，此段弯矩图中存在着极值，应该求出极值所在的截面位置及其大小。　　设弯矩具有极值的截面距右端的距离为a，由该截面上剪力等于零的条件可求得a值，即　　q(x)=-rc+qa=0　　a=rcq=186=3m　　弯矩的极值为　　mmax=rc&#8226;a-12qa2=18×3-6×322=27kn&#8226;m　　画出弯矩图如图3(c) 所示。　　　　3 结语　　　　由以上两题可知：　　（1）在集中力作用截面处，剪力图发生突变，突变的大小等于集中力的大小；　　（2）在集中力偶作用处，剪力图无变化，弯矩图将发生突变，突变的大小等于集中力偶矩的大小；（3）若在梁的某一截面上剪力为零，即弯矩图在该点的斜率为零，则在该截面处弯矩存在极值。　　　　参考文献　　［1］@沈养中,董平. 材料力学［m］.北京:科教出版社,2002.　　［2］@孔七一. 工程力学［m］.北京:人民交通出版社,2005.共2页:
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