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高中立体几何知识总结
作者：佚名 资料来源：网络 点击数：
高中立体几何知识总结
文 章来源莲山课件 w ww.5 y kj.Co m 立体几何知识总结
简单几何体的侧面积及体积：
柱锥台的侧面积：
其中（掌握侧面展开图）
柱锥台的体积：
球的表面积、体积：，。（球中的勾股定理：）
空间位置关系：
1、，，面面
2、空间平行关系的判定：
（1）两直线平行的判定：
①平行于同一直线的两直线平行；
②线面平行，经过此线的平面与原平面的交线与此线平行；
③两平面平行，被第三平面截得的两交线互相平行；
④垂直于同一平面的两直线平行。
（2）线面平行的判定：
①平面外的一直线与平面内的一直线平行，则它与此平面平行；
②两平面平行，一平面内任一直线都平行于另一平面。
（3）面面平行的判定：
①一平面内的两条相交直线与另一平面平行，则此二平面平行；
②垂直于同一直线的两平面平行。
3、空间垂直关系的判定：
（1）两直线垂直的判定：
①夹角是直角的两直线垂直；
②线面垂直，则此线垂直于此面内任一直线；
③三垂线定理、逆定理。
（2）线面垂直的判定：
①一直线若垂直于平面内的两条相交直线，则垂直于此平面；
②两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一直线也垂直于此平面；
③一直线垂直于两平行平面中的一个，则垂直于另一个；
④两平面垂直，则一平面内垂直于交线的直线垂直于另一平面。
（3）面面垂直的判定：
①相交成直二面角的两平面垂直；
②一平面经过另一平面的一条垂线，则此二平面垂直。
1、过平面外的两点，且与此平面垂直的平面有（&&& ）
(A)一个；&&&&&&&&&&&& (B)无数个&&&&&&&&&&&& (C)不存在；&&&&&&&& (D)一个或无数个。
2、已知直线（&&& ）
(A)& (B)&(C)&(D)
3、满足以下哪个条件的几何体是长方体（&&& ）
(A)侧面都是矩形的直棱柱；&&&&& &&&&&& (B)侧面都是长方形的四棱柱；
(C)底面是矩形的直棱柱；&&&&&&&& &&&&&& (D)对角面（过不相邻两侧棱）是矩形的四棱柱。
4、在三棱锥P-ABC的四个面中，最多有几个直角三角形（&&& ）
(A)1个&&&&&&&&&&&&&&&& (B)2个&&&&&&&&&&&&&&&& (C)3个&&&&&&&&&&&&&&&& (D)4个
5、球面上有三个点A,B,C，且AB=3，BC=4，AC=5，球心到平面ABC的距离为球半径的一半，那么此球的半径是（&&& ）
(A)&&&&&&&&&&&&& &&&&&& (B)&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (C)&&&&&&&&&&&& (D)
6、长方体共顶点的三个面面积分别为，则它的外接球的表面积和体积分别为________、________。
7、圆台的上下底面积分别为，侧面积为，这个圆台的体积是________；
8、已知直线，给出下列命题：①；②；③；④。其中，正确命题的序号有__________。
9、设表示两个平面，是外的一条直线，给出三个结论：
①；②；③。&& 以其中两个为条件，另一个为结论可以构成三个命题，请写出其中的一个真命题：__________________________________。
10、圆心角是120&半径为3的扇形所围成的圆锥面，其表面积是_______，其容积是_______。
11、将如图由两个等腰三角形构成的直角梯形，沿BD折成直二面角，在折后图形中，给出：
①CD&平面ABD；②AB&平面ADC；
③&CAD是二面角C-AB-D的平面角；
④DA&平面ABC。
其中正确的命题有________________。
12、如图正四棱锥V-ABCD中，AC交BD于点M，若AC=6，VC=5，求此正四棱锥的体积及侧面积。
13、如图正方体中，E、F、G分别是棱BC、CD、CC1的中点，求证：
（1）平面EFG//平面AB1D1；（2）平面AB1D1&平面AA1C1C。
14、四棱锥P-ABCD的底面是菱形，PC&平面ABCD，E是PA的中点，
求证：（1）PC//平面BDE；（2）平面BDE&平面ABCD。
15、P是矩形ABCD所在平面外一点，PA&平面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点，又&PDA=45&. 求证：（1）AF//平面PEC；（2）平面PEC&平面PCD。
16、四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，M、N分别是AB、PC的中点，MN&PC，MN&AB。
求证：（1）MN//平面PAD；（2）平面PAD&平面PDC。
*17（06广东高考题）、如图、分别是⊙、⊙的直径，与两圆所在的平面均垂直，，是⊙的直径，,.
(I)求二面角的大小；
(II)求直线与所成的角的余弦值。
空间向量与立体几何
一．基本方法：&&
利用向量证明平行
线线平行（面面平行）方法：
线面平行方法：利用共面向量定理，如果两个向量、 不共线，则向量 与向量、共面的充要条件是存在实数对x,y，使=x+y．
利用向量求距离
点到平面的距离
方法1：直接作出距离，然后用向量进行计算．
方法2：已知为平面的一条斜线段，为平面的法向量，
则到平面的距离=.
两条异面直线距离：
方法：、为异面直线，、间的距离为：.
其中与、均垂直，、分别为两异面直线上的任意两点
3、利用向量求角
（1）异面直线所成角：
向量和的夹角&,&(或者说其补角)等于异面直线a和b的夹角.
（2）直线和平面所成的角
（法向量法）与平面的斜线共线的向量和这个平面的一个法向量的夹角&,&(或者说其补角)是这条斜线与该平面夹角的余角.
（3）求二面角的大小。&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&& 方法1：转化为分别是在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的两个向量的夹角（注意：要特别关注两个向量的方向）．&&&&&&&&&&&&&
方法2：先求出二面角一个面内一点到另一个面的距离及到棱的距离，然后通过解直角三角形求角．
方法3：（法向量法）、分别是平面和平面的法向量，那么&，&(或者其补角)与二面角-l-的大小相等。
二、分类训练
(一)．求距离
例1：如图，正四棱锥的高，底边长。
求& (1)异面直线和之间的距离.
(2)点O到平面SBC的距离
(3)直线AD与平面SBC的距离
基础训练：1.长方体中则与间的距离为(&& )
&&&&&&&&&&&& (A)1&&&&& (B) &&&&(C) &&&(D)& 2
2.如图,在三棱锥A-BCD中,AC&底面BCD,BD&DC,BD=DC,AC=a,&ABC=30&,则点C到平面ABD的距离是(&& )
&&&&&&&&&&
3.已知是各条棱长均等于的正三棱柱，
是侧棱的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)求点到平面的距离.
(二)．求角度
例2. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB、C1D1的中点，求平面EB1FD与ADD1A1所成的二面角的余弦值。
基础训练：1.在正方体ABCD&A1B1C1D1中,M,N分别为棱AA1和B的中点,若&为直线CM与所成的角,则=&&&&& (&& )&
&&&&&&&& &
2.有块直角三角板ABC,&A=30&,&c=90&,BC边在桌面上,当三角板和桌面成45&角时,AB边与桌面所成角的大小(&& )
3．已知正四棱锥S-ABCD的底边长为4,高为6,点M是高SO的中点,点G是侧面SBC的重心，求直线MG与底面ABCD所成的角。
(三)。综合应用
1. (04浙理)在正三棱柱ABCDA1B1C1中,已知AB=1,D在棱上,且BD=1,,若AD与平面所成的角为&,则&=(&&&& )
2.三棱锥P-ABC中,PA、PB、PC所成的角均为60&,点A到PB的距离为，则点A到平面PBC的距离为（&& ）
3. 长方体ABCD-A1B1C1D1中，，AB=2，E为AB的中点，则到平面&的距离&&&&&&& &
4．四棱柱ABCDDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱C1C1&，C1D1，D1&D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件&&&&&&&& &时，有平面B1BDD1。&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
5.已知斜三棱柱ABCDA1B1C1中，&BAC＝90&，&BAA1＝120& &CAA1＝60&，
&AB＝AC＝1，AA1＝2，O是B1C和BC1的交点．
（Ⅰ）用基向量、、表示向量；
（Ⅱ）求异面直线AO与BC所成的角；
（Ⅲ）判定平面ABC与平面BB1C1C是否垂直？ 并说明理由
6．正三棱柱ABC&A1B1C1，M是A1C上的点，
N是BC1上的点，且CM=BN．
求证：MN∥平面A1B1C1．
7． PD垂直正方形ABCD所在平面，AB＝2，E是PB的中点，且AE与PD所成角为．（Ⅰ）求PD的长；（ Ⅱ）在AD上是否存在一点F，使得EF&平面PBC，若存在，请确定F点的位置，若不存在，请说明理由．
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