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设函数f(x)=log2x-logx2(0＜x＜1),数列{an}满足f()=2n(n=1,2,3,…),(1)求数列{an}的通项公式;(2)判定数列{an}的单调性.
解:(1)由f(x)的定义域为(0,1),所以0＜＜1，即an＜0.&&& 又f()=2n,即log2-2=2n,∴an-=2n,得an=n±.由an＜0得an=n-.(2)∵==＜1,又an+1＜0,an＜0,∴an＜an+1,&&& 即{an}是单调递增的.
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讨论函数f（x）=limn→∞1-x2n&1+x2n•x（0≤x＜+∞）的连续性，并作出函数图象．
分析：由题设条件可知，f（x）=x&&&&&&&&&&(0≤x＜1)0&&&&&&&&&(x=1)-x&&&&&&&(x＞1).因为limx→1+f（x）=limx→1+（-x）=-1，limx→1-f（x）=limx→1-x=1，所以limx→1f（x）不存在．所以f（x）在x=1处不连续，f（x）在定义域内的其余点都连续．解答：解：当0≤x＜1时，f（x）=limn→∞1-x2n1+x2n&•x=x；当x＞1时，f（x）=limn→∞1-x2n1+x2n•x=limn→∞1x2n-11x2n&+1•x=-x；当x=1时，f（x）=0．∴f（x）=x&&&&&&&&&&(0≤x＜1)0&&&&&&&&&(x=1)-x&&&&&&&(x＞1).∵limx→1+f（x）=limx→1+（-x）=-1，limx→1-f（x）=limx→1-x=1，∴limx→1f（x）不存在．∴f（x）在x=1处不连续，f（x）在定义域内的其余点都连续．图象如图所示．点评：应先求出f（x）的解析式，再判断连续性．分段函数讨论连续性，一定要讨论在“分界点”的左、右极限，进而判断连续性．
科目：高中数学
已知，g（x）=lnx，（x＞0，a∈R是常数）．（1）求曲线y=g（x）在点P（1，g（1））处的切线l．（2）是否存在常数a，使l也是曲线y=f（x）的一条切线．若存在，求a的值；若不存在，简要说明理由．（3）设F（x）=f（x）-g（x），讨论函数F（x）的单调性．
科目：高中数学
（;朝阳区二模）设函数f(x)=alnx+2a2&x(a≠0)．（1）已知曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l的斜率为2-3a，求实数a的值；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）在（1）的条件下，求证：对于定义域内的任意一个x，都有f（x）≥3-x．
科目：高中数学
已知函数f（x）=(x2-2ax)ex，x＞0bx，x≤0，g（x）=clnx+b，且x=2是函数y=f（x）的极值点．（Ⅰ）当b=-2时，求a的值，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当b∈R时，函数y=f（x）-m有两个零点，求实数m的取值范围．（Ⅲ）是否存在这样的直线l，同时满足：①l是函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线②l与函数y=g（x）&的图象相切于点P（x0，y0），x0∈[e-1，e]，如果存在，求实数b的取值范围；不存在，请说明理由．
科目：高中数学
已知函数f（x）=12m(x-1)2-2x+3+lnx．（Ⅰ）设m∈R，讨论函数f（x）的单调性．（Ⅱ）设m＞0，曲线C：y=f（x）在点（1，1）处的切线l与C有且仅有一个公共点，求实数m的值．
科目：高中数学
已知函数f(x)=x3-32ax2+b，a，b为实数，x∈R，a∈R．（1）当1＜a＜2时，若f（x）在区间[-1，1]上的最小值、最大值分别为-2、1，求a、b的值；（2）在（1）的条件下，求经过点P（2，1）且与曲线f（x）相切的直线l的方程；（3）试讨论函数F（x）=（f′（x）-2x2+4ax+a+1）•ex的极值点的个数．
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