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两个线性无关的向量组相乘所得的矩阵一定是线性无关的么？
超级斗帝428
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不是的呀。据你的字面意义，我举反例如下：如 111,
112是两个线性无关的向量组，每个向量组只有一个向量；左作列向量，右作行向量相乘，得到矩阵1 1 21 1 21 1 2这个矩阵的行列式为零，各向量是线性相关的。或者你说的不是这个意思？请再补充说明一下。...
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向量组与矩阵的秩
第三章 向量组与矩阵的秩§1§2 §3 §4 §5n维向量线性相关与线性无关 线性相关性的判别定理 向量组的秩与矩阵的秩 矩阵的初等变换§6§7初等矩阵与求矩阵的逆向量空间湖南科技大学 吴晓勤1从二维、三维向量谈起向量：既有大小又有方向的量.M2 ?? 向量表示：a 或 M 1 M 2以 M 1 为起点，M 2 为终点的有向线段.?M1? 向量的模： 向量的大小.| a | 或 | M 1 M 2 |单位向量：模长为1的向量. 或? 零向量： 模长为0的向量. 0湖南科技大学 吴晓勤2§1定义1? a1 ? ? ? ? a2 ? 或 ? ? ? ? ? ?a ? ? n?n维向量行向量 列向量n个数组成的有序数组（a1,a2,…,an）称为一个n维向量，简称向量。用小写的粗黑体字母来表示向量 。湖南科技大学 吴晓勤3数a1,a2,…,an称为这个向量的分量。ai称为这个向 量的第i个分量或坐标。分量都是实数的向量称为 实向量；分量是复数的向量称为复向量。 n维行向量可以看成1×n矩阵，n维列向量也常 看成n×1矩阵。 设k和l为两个任意的常数， , ? , ? 为任意的n维向 ? 量，其中? ? (a1 , a2 ,?, an )? ? (b1 , b2 ,?, bn )湖南科技大学 吴晓勤4如果? 和 ? 对应的分量都相等，即 ai=bi，i=1,2,…,n 就称这两个向量相等，记为 ? ? ? 定义2定义3 向量 （a1+b1,a2+b2,…,an+bn） 称为 ? 与 ? 的和，记为 ? ? ? 。称向量 （ka1,ka2,…,kan） 为? 与k的数量乘积，简称数乘，记为 k? 。湖南科技大学 吴晓勤5定义4 分量全为零的向量 （0，0，…，0） 称为零向量，记为0。? 与-1的数乘 ? （-1） =（-a1,-a2,…,-an） 称为? 的负向量，记为 ? ? 。向量的减法定义为 ? ? ? ? ? ? ( ? ? ) 向量的加法与数乘具有下列性质 ：湖南科技大学 吴晓勤6(1)交换律 ? ? ? ? ? ? ? (2)结合律 (? ? ? ) ? ? ? ? ? ( ? ? ? ) ( 3)? ? 0 ? ? 满足（1）―（8）的 (4)? ? ( ?? ) ? 0 (5)k (? ? ? ) ? k? ? k? 运算称为线性运算。(6)( k ? l )? ? k? ? l? (7)k ( l? ) ? ( kl )? (8)1? ? ? (9)0? ? 0 (10)k 0 ? 0 (11)如果k ? 0且? ? 0, 那么k? ? 0湖南科技大学 吴晓勤7例1 设3(?1-?)+2(?2+?)=5(?3+?),其中?1=(2,5,1,3), ?2=(10,1,5,10), ?3=(4,1,-1,1).求?. 解： 3?1-3?+2?2+2?=5?3+5? 6?= 3?1 +2?2 -5?3 ?= 1/2?1 +1/3?2 C5/6?3 =(1+10/3-20/6,5/2+1/3-5/6,1/2+5/3+5/6,3/2+10/3-5/6) =(1,2,3,4)湖南科技大学 吴晓勤8§2线性相关与线性无关矩阵与向量的关系： 通常把维数相同的一组向量简称为一个向量组， n维行向量组 ? 1 ,? 2 ,?? s 可以排列成一个s×n分块矩阵??1 ? ? ? ?? 2 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? s?其中 ? i为由A的第i行形成的子块， ? 1 ,? 2 ,?? s 称为A的行向量组。n维列向量组 ? 1 , ? 2 ,? ? s可以排成一个n×s矩阵B ? ( ? 1 , ? 2 ,? ? s ) 其中? j 为由B的第j行形成的子块，? 1 , ? 2 ,? ? s 称为B的列向量组。9湖南科技大学 吴晓勤定义5 向量组 ? 1 ,? 2 ,?? s 称为线性相关的，如果有 不全为零的数k1,k2,…,ks，使?k ?i ?1 isi? k1? 1 ? k 2? 2 ? ? ? k s? s ? 0反之，如果只有在k1=k2=…=ks=0时上式才成立，就 称 ? 1 ,? 2 ,?? s线性无关。 当 ? 1 ,? 2 ,?? s是行向量组时，它们线性相关就是指有 非零的1×s矩阵（k1,k2,…,ks）使? ?1 ? ? ? ?? 2 ? ( k1 , k 2 , ? k s )? ? ? 0 ? ? ? ?? ? ? s?湖南科技大学 吴晓勤10当? 1 ,? 2 ,?? s为列向量时，它们线性相关就是指有非 零的s×1矩阵(k1 , k2 ,?k s )?，使? k1 ? ? ? ? k2 ? (? 1 , ? 2 ,?? s )? ? ? 0 ? ? ? ?k ? ? s?湖南科技大学 吴晓勤11例1 判断向量组 ?? 1 ?? (1,0, ? ,0),?? 2 ? (0,1, ? ,0), ? ??????? ?? n ? (0,0, ? ,1) ?的线性相关性。解对任意的常数k1,k2,…,kn，令k 1? 1 ? k 2 ? 2 ? ? ? k n ? n ? ( k 1 , k 2 , ? , k n )所以 k1? 1 ? k 2? 2 ? ? ? k n? n ? 0 当且仅当k1=k2=…=kn=0 因此 ? 1 , ? 2 ,?? n 线性无关。? 1 , ? 2 ,?? n 称为基本单位向量。湖南科技大学 吴晓勤12例2讨论向量组?1 ?2 3 ?2 ? 11 2 1?3 ?3 2 -1的线性相关性。 解 即 对任意的常数k1,k2, k3，令 ? k1 1 ? k2? 2 ? k3? 3 ? 02 1 1 1 3? k 3 2 =02k1 ? k 2 ? 3 k 3 ? 0 3k1 ? 2k 2 ? 2 k 3 ? 0k1 3 ? k 2 2-1 k1= -4 , k2 =5, k3= 1k1 ? k 2 ? k 3 ? 0所以 ?1 ,?2 ,?3 线性相关.13湖南科技大学 吴晓勤例3 设向量组 ? 1 ,? 2 ,? 3线性无关， ? 1 ? ?1 ? ?， 2 ? 2 ? ? 2 ? ? 3 ， 3 ? ? 3 ? ? 1 ，试证向量组 ? 1 , ? 2 , ? 3 也 ? 线性无关。 证 对任意的常数，令k1 ? 1 ? k2 ? 2 ? k3 ? 3 ? (k1 ? k3 )? 1 ? (k1 ? k2 )? 2 ? (k2 ? k3 )设有k1,k2,k3,使 k1 ? 1 ? k 2 ? 2 ? k 3 ? 3 ? 0 由 ? 1 ,? 2 ,? 3线性无关，故有?k1 ? k 3 ? 0 ? ?k1 ? k 2 ? 0 ?k ? k ? 0 3 ? 2由于满足k1,k2,k3的取值只有k1=k2=k3=0 所以 ? 1 , ? 2 , ? 3 线性无关。湖南科技大学 吴晓勤14一般地,判断一个向量组? 1,?2,…,?m线性相关的基本 方法和步骤是: 1)假定存在一组数k1,k2,…,km ，使 k1?1+k2?2+…+km?m=0; 2)应用向量的线性运算和向量相等的定义,找出含未 知量k1,k2,…,km的齐次线性方程组; 3)判断方程组有无非零解; 4)如有非零解,则?1,?2,…,?m线性相关;如仅有零解,则 ?1,?2,…,?m线性无关.湖南科技大学 吴晓勤15定义6 向量?称为向量组 ?1, ?2,…, ?t的一个线性组合， 或者说?可由向量组 ?1, ?2,…, ?t线性表出(示),如果有 常数k1,k2,…,kt,使?=k1 ?1+k2 ?2+…+kt ?t. t 此时，也记 ? ? k??i ?1ii例1 试问下列向量?能否由其余向量线性表示,若能,写 出线性表示式: 1)?=(2,3,-1,-4),e1=(1,0,0,0), e2=(0,1,0,0), e3=(0,0,1,0), e4=(0,0,0,1). 2) ?=(1,1,1), ?1=(0,1,-1), ?2=(1,1,0), ?3=(1,0,2);湖南科技大学 吴晓勤16解：令?=k1 ?1 +k2?2+k3 ?3 于是得线性方程组 k2+k3=1 k1+k2=1 -k1+2k3=1 解方程组得k1=k3=1,k2=0 即?=?1+0?2+?3湖南科技大学 吴晓勤17定理1 向量组? 1 ,? 2 ,??（s≥2）线性相关的充要条件 s 是其中至少有一个向量能由其他向量线性表出。 证 设? 1 ,? 2 ,?? s中有一个向量能由其他向量线性表 出， ? 1 ? k 2? 2 ? k 3? 3 ? ? ? k s? s ? ? 1 ? k 2? 2 ? ? ? k s? s ? 0所以? 1 ,? 2 ,?? s 线性相关。如果? 1 ,? 2 ,?? s 线性相关，就有不全为零的数 k1,k2,…,ks，使 k1? 1 ? k 2? 2 ? ?k s? s ? 0设k1≠0,那么k3 ks k2 ?1 ? ? ? 2 ? ? 3 ? ?? ? s k1 k1 k1湖南科技大学 吴晓勤即 ? 1能由 ? 2 ,? 3 ,?? s 线性 表出。18例如，向量组 ?1 ? (2,?1,3,1) ? 2 ? (4,?2,5,4) ? 3 ? (2,?1,4,?1)是线性相关的，因为? 3 ? 3? 1 ? ? 21 一个向量线性相关??=0;无关? ??0. 2 两个向量线性相关?对应元素成比例;无关?对应 元素不成比例. 3 三个向量线性相关的几何意义是它们共面。湖南科技大学 吴晓勤19定理2 设向量组 ? 1 , ? 2 ,? ? t线性无关，而向量组 ? 1 , ? 2 ,?, ? t ,? 线性相关，则 ? 能由向量组 ? 1 , ? 2 ,?, ? t线性表出，且表示式是唯一的。 证 由于? 1 , ? 2 ,?, ? t ,? 线性相关，就有不全为零的 数k1,k2,…, kt,k，使 k1 ? 1 ? k 2 ? 2 ? ? ? k t ? t ? k? ? 0 由 ? 1 , ? 2 ,? ? t 线性无关有k≠0。kt k1 k2 ? ? ? ?1 ? ? 2 ? ?? ? t k k k即? 可由 ? 1 , ? 2 ,?, ? t线性表出。湖南科技大学 吴晓勤20设 ? ? l1 ? 1 ? l 2 ? 2 ? ? ? l t ? t ? h1 ? 1 ? h2 ? 2 ? ? ? ht ?为两个表达式。? ? ? ? ( l1 ? 1 ? l 2 ? 2 ? ? ? l t ? t ) ? ( h1 ? 1 ? h2 ? 2 ? ? ? ht ? t ) ? ( l 1 ? h1 ) ? 1 ? ( l 2 ? h2 ) ? 2 ? ? ? ( l t ? ht ) ? t ? 0且 ? 1 , ? 2 ,? ? t 线性无关得到 l1=h1, l2=h2, …，lt=ht因此表示式是唯一的。湖南科技大学 吴晓勤21定义7 如果向量组 ? 1 ,? 2 ,?? 中每个向量都可以由 s ? 1 , ? 2 ,? ? t 线性表出，就称向量组? 1 ,? 2 ,?? 可由 s? 1 , ? 2 ,? ? t 线性表出，如果两个向量组互相可以 线性表出，就称它们等价。每一个向量组都可以经它自身线性表出。 同时，如果向量组 ? 1 ,? 2 ,?? s 可以经向量组 ? 1 , ? 2 ,? ? t 线性表出，向量组 ? 1 , ? 2 ,? ? t 可以经向量组 ? 1 , ? 2 ,?? p 线性表出，那么向量组 ? 1 ,? 2 ,?? s可以经向量组 ? 1 , ? 2 ,?? p 线性表出。湖南科技大学 吴晓勤22如果? i ? ? kij ? j , i ? 1,2,?, sj ?1pt? j ? ? l j m? m , j ? 1,2,?, tm ?1有? i ? ? kij ? l jm? m ? ? ? kij l jm? m ? ? (? kij l jm )? mj ?1 m ?1 j ?1 m ?1 m ?1 j ?1tptppt向量组? 1 ,? 2 ,?? s 中每一个向量都可以经向量组 ? 1 , ? 2 ,?? p 线性表出。因而，向量组 ? 1 ,? 2 ,?? s 可以经向量组 ? 1 , ? 2 ,?? p 线性表出。湖南科技大学 吴晓勤23向量组的等价具有下述性质： (1)反身性：向量组? 1 ,? 2 ,?? s 与它自己等价；(2)对称性:如果向量组 ? 1 ,? 2 ,?? s与 ? 1 , ? 2 ,? ? t 等价， 那么 也与 ? 1 , ? 2 ,? ? s ? 1 ,? 2 ,等价。 ?? t(3)传递性:如果向量组 ? 1 ,? 2 ,?? s 与 ? , ? ,? ? 等价， 1 2 t ? 1 , ? 2 ,?? p 而向量组 又与 等价,那么 ? 1 , ? 2 ,? ? t ? 1 ,? 2 ,?? s 与 ? 1 , ? 2 ,?? p 等价。湖南科技大学 吴晓勤24小结 1、基本概念? ? ? k1? 1 ? k2? 2 ? ? ? kr? r ? ? ? ? 2、基本结论线性组合 组合系数 线性表示 线性相关 线性无关定理 定理向量组线性相关?齐次线性方程组有非零解. 向量组线性无关?齐次线性方程组只有零解； ｎ个ｎ维向量线性相关? aij ? 0.推论推论ｎ个ｎ维向量线性无关? aij ? 0.湖南科技大学 吴晓勤252、基本结论 定理 定理 向量组线性相关?齐次线性方程组有非零解. 向量组线性无关?齐次线性方程组只有零解； ｎ个ｎ维向量线性相关? aij ? 0. ｎ个ｎ维向量线性无关? aij ? 0.推论 推论定理 向量组线性相关?至少有一个向量可由其余向量 线性表示 ． 定理 向量组线性无关?任何向量都不能由其余向量 线性表示 ．湖南科技大学 吴晓勤26思考题：判断对错1. 若向量组 ? 1 ,? 2 ,?? s 线性相关，那么其中每个向 量可经其它向量线性表示。 2. 如果向量组 ? 1 , ? 2 ,? ? s 可经由向量 ?1 , ? 2 ,?? m 线 性表示，且 ?1 , ? 2 ,?? m线性相关，那么 ?1 , ? 2 ,? ? s 也 线性相关。 3. 如果向量 ? 可经由向量组 ? 1 ,? 2 ,?? s 线性 表示，且表示是唯一的，那么 ? 1 ,? 2 ,?? s 线性 无关。湖南科技大学 吴晓勤27思考题解答1. 错，2. 错，3. 对湖南科技大学 吴晓勤 湖南科技大学 吴晓勤28§3线性相关性的判别定理定理3 有一个部分组线性相关的向量组线性相关。 证 设向量组 ? 1 ,? 2 ,?? s有一个部分组线性相关。 设这个部分组为 ? 1 ,? 2 ,?? r 。则有不全为零的数 k1,k2, …,kr，使?k ? ? ?k ?i ?1 i i i ?1 isri?j ? r ?1? 0 ??sj?0因此 ? 1 ,? 2 ,?? s 也线性相关。 推论 含有零向量的向量组必线性相关。湖南科技大学 吴晓勤29定理4 设p1,p2, …,pn为1，2，…，n的一个排列， ? 1 ,? 2 ,?? s和 ? 1 , ? 2 ,? ? s 为两向量组，其中? a ip1 ? ? ai 1 ? ? ? ? ? ? a ip2 ? ? ai 2 ? ? i ? ? ?, ? i ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?a ? ? a ip ? ? in ? ? n?即 ? 1 , ? 2 ,? ? s 是对 ? 1 ,? 2 ,?? s 各分量的顺序进行重 排后得到的向量组，则这两个向量组有相同的线 性相关性。 证 对任意的常数k1,k2,…,ks，湖南科技大学 吴晓勤30? k1 a11 ? k 2 a 21 ? ? ? k s a s1 ? ? ? s ? k1 a12 ? k 2 a 22 ? ? ? k s a s 2 ? ? k i? i ? ? ? ? i ?1 ? ? ?k a ? k a ??? k a ? s sn ? ? 1 1n 2 2 n? k1 a1 p1 ? k 2 a 2 p2 ? ? ? k s a sp1 ? ? ? s ? k1 a1 p2 ? k 2 a 2 p2 ? ? ? k s a sp2 ? ? ki ? i ? ? ? ? i ?1 ? ? ? k1 a1 p ? k 2 a 2 p ? ? ? k s a sp ? n n n ? ?上两式只是各分量的排列顺序不同，因此k1 ? 1 ? k 2 ? 2 ? ? k s ? s ? 0当且仅当k1? 1 ? k 2? 2 ? ?k s? s ? 0所以? 1 ,? 2 ,?? s 和 ? 1 , ? 2 ,? ? s 有相同的线性相关性。湖南科技大学 吴晓勤31定理5 在r维向量组 ? 1 ,? 2 ,?? s 的各向量添上n-r个分 量变成n维向量组 ? 1 , ? 2 ,? ? s 。 (1)如果 ? 1 , ? 2 ,? ? s 线性相关， 那么 ? ,? ,?? 也线性相关。1 2 s(2)如果 ? 1 ,? 2 ,?? s线性无关， 那么 ? 1 , ? 2 ,? ? s也线性无关。 证 对列向量来证明定理。(? 1 ,? 2 ,?,? s ) ? A1? A1 ? ( ? 1 , ? 2 ,? ? s ) ? ? ? ?A ? ? 2?32湖南科技大学 吴晓勤如果 ? 1 , ? 2 ,? ? s 线性相关,就有一个非零的s?1矩阵X,使? A1 ? ? A1 X ? ( ? 1 , ? 2 ,? ? s ) X ? ? ? X ? ? ?A ? ?A X??0 ? ? 2? ? 2 ?从而 (? 1 ,? 2 ,?? s ) X ? A1 X ? 0因此, ? 1 ,? 2 ,?? s 也线性相关,即(1)式成立。 利用(1)式,用反证法容易证明(2)式也成立。湖南科技大学 吴晓勤33引理1 如果n阶方阵A的行列式等于零,那么A的行(列) 向量组线性相关。 定理6 n维向量组 ?1 , ? 2 ,?? n 线性无关的充要条件 是矩阵 ?? 1 ? ? a11 a12 ? a1n ??? ? ? a 2 21 A? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? n ? ?a n1 a 22 ? a n2 ? a 2n ? ? ? ? ? ? a nn ?的行列式不为零(A可逆)。此时,矩阵A的n个列向量也 线性无关。 证：如果 A ?0，即A可逆， (k1,k2, ? ,kn)A=0两边同时右乘A-1得 (k1,k2, ? ,kn) = 0湖南科技大学 吴晓勤34所以 ? 1 ,? 2 ,?? s 线性无关 。 反过来，如果 ?1 , ? 2 ,?? n 线性无关，反设 A ?0，由 引理1，A的行向量组?1 , ? 2 ,?? n线性相关，矛盾。 由上面的证明可以看出，当 A ?0时， A? ?0，可见A 的n个列向量也线性无关。 定理7 n+1个n维向量组 ? 1 ,? 2 ,?? n?1必线性相关。推论 当m&n时,m个n维向量组线性相关。湖南科技大学 吴晓勤35例1 讨论下列向量组的线性相关性: 1)(2,3),(-3,1),(0,-2); 2)(1,2,3),(2,2,1),(3,4,3); 3)(1,3,-2,2),(0,2,-1,3),(-2,0,1,5). 解：1)3&2,所以线性相关 2)三个行向量排成一列，构成方阵，其行列式为2?0， 所以线性无关。 3） 2(1,3,-2,2)-3(0,2,-1,3)+(-2,0,1,5)=0 所以线性相关。湖南科技大学 吴晓勤36复习定理5 在r维向量组 ? 1 ,? 2 ,?? s 的各向量添上n-r个分 量变成n维向量组 ? 1 , ? 2 ,? ? s 。 (1)如果 ? 1 , ? 2 ,? ? s 线性相关， 那么 ? ,? ,?? 也线性相关。1 2 s(2)如果 ? 1 ,? 2 ,?? s线性无关， 那么 ? 1 , ? 2 ,? ? s也线性无关。湖南科技大学 吴晓勤37引理1 如果n阶方阵A的行列式等于零,那么A的行(列) 向量组线性相关。 定理6 n维向量组 ?1 , ? 2 ,?? n 线性无关的充要条件 是矩阵 ?? 1 ? ? a11 a12 ? a1n ??? ? ? a 2 21 A? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? n ? ?a n1 a 22 ? a n2 ? a 2n ? ? ? ? ? ? a nn ?的行列式不为零(A可逆)。此时,矩阵A的n个列向量也 线性无关。 定理7 n+1个n维向量组 ? 1 ,? 2 ,?? n?1必线性相关。 推论 当m&n时,m个n维向量组线性相关。湖南科技大学 吴晓勤38定理8 如果向量组 ? 1 ,? 2 ,?? s可由 ?1 , ? 2 ,? ? t 线性 表出且s&t，那么 ? 1 ,? 2 ,?? s 线性相关。推论1 如果向量组 ? 1 ,? 2 ,?? s ，可由向量组 ? , ? ,? ? 1 2 t 线性表出，且 ? 1 ,? 2 ,?? s 线性无关，那么 s ? t 。 推论2 两个线性无关的等价的向量组必含有相同个 数的向量。湖南科技大学 吴晓勤39§4 向量组的秩与矩阵的秩定义8 一向量组的一个部分组称为一个极大线性无 关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这 向量组中向这部分组任意添一个向量（如果还有的 话），所得的部分组都线性相关。? 例 7 在向量组中， 1 ? (2,?1,3,1),? 2 ? (4,?2,5,4),? 3 ? (2,?1,4,?1) ? 1 ,? 2 为它的一个极大线性无关组。? 首先，由 ? 1与? 2 的分量不成比例， 1 ,? 2线性无关。再添入 ? 3 以后，由? 3 ? 3? 1 ? ? 2 可知所得部分组线 性相关，不难验证? 2 ,? 3 也为一个极大线性无关组。湖南科技大学 吴晓勤40定义8‘ 一向量组的一个部分组称为一个极大线性无 关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且这 向量组中任意向量都可由这部分组线性表出。向量组的极大线性无关组具有的性质： 性质1 一向量组的极大线性无关组与向量组本身等价。 性质2 一向量组的任意两个极大线性无关组都等价。 性质3 一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的 向量。湖南科技大学 吴晓勤41定义9 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称 为这个向量组的秩。如果向量组 ? 1 ,? 2 ,?? s 能由向量组 ? 1 , ? 2 ,? ? s 线 性表出，那么? 1 ,? 2 ,?? s的极大线性无关组可由 ? 1 , ? 2 ,? ? s 的极大线性无关组线性表出。因此 ? 1 ,? 2 ,?? s 的秩不超过 ? 1 , ? 2 ,? ? s的秩。定理9 向量组的任意线性无关的部分组都可扩充为 一个极大线性无关组。 推论 秩为r的向量组中任意含r个向量的线性无关 的部分组都是极大线性无关组。湖南科技大学 吴晓勤42例 求向量组a1 ? (1,0,0)T , a2 ? (0,1,0)T , a3 ? (0,0,1)T , a4 ? (1,1,1)T , a5 ? (1,1,0)T的秩，并求出它的一个最大无关组.a a 解 显然，1 , a2 , a3 线性无关， 1 , a2 , a3 ,? 4 ,? 5 中任意一个向量都可由 a1 , a2 , a3 线性表示，由a 定义8， 1 , a2 , a3 为向量组的一个最大无关组，且所给向量组的秩为3.湖南科技大学 吴晓勤43下面讨论向量组的秩与矩阵的秩之间的关系：设矩阵? a11 ? ? a21 ?? ? ? ?a ? m1 a12 ? a1n ? ? ?1 ? ? ? ? a22 ? a2 n ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ??1 ? 2 ? ? n ? ? ? ? ? ? ? am 2 ? amn ? ?? m ? ? ? ?Am?n? 其中 ? 1 , ? 2 ,?, ? m 为矩阵 A 的行向量组，1 , ? 2 ,?, ? n称为矩阵 A 的列向量组.湖南科技大学 吴晓勤44定义10 矩阵的行秩是指它的行向量组的秩，矩阵 的列秩是指它的列向量组的秩。定义11 在一个m?n矩阵A中任意选定k行和k列，位于 这些选定的行和列的交点上的k2个元素按原来的次序 所组成的k ?k级矩阵的行列式，称为A的一个k级子式。k k m ? n 矩阵共有 C m C n 个 k 阶子式.最低阶为 1 阶， 最高阶为 min{m, n} 阶.湖南科技大学 吴晓勤45如：矩阵3 ?9 3 ? ? 1 ? 0 1 ?3 4 ? A? ? ? ? ?2 ?3 9 6 ? ? ?组成的 取第1行、第3行和第1列、第4列交叉处的元素， 1 3 二阶子式是 ? 12 ?2 6 易见 A 的最高阶子式是3阶，共有4个3阶子式. 而在这个矩阵中, ? 1 3 ?9 3 ? ? ?9 ? ? 0 1 ?3 4 ? ? ? 都是矩阵 A 的子矩阵.湖南科技大学 吴晓勤3? ? 1 ? 0 1? ? ? ? ?2 ?3 ? ? ?46引理2 设 r ? n ，n维向量组 ?1 , ? 2 ,?? r 线性无关的 充要条件是矩阵 a ? a ? ?? ? ? a?? ? ?a 21 2 A?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? r ? ?a r 11 11a 22 ? a 2 n ? ? ? ? ? ? a r 2 ? a rn ?121n中存在一个不为零的r级子式。湖南科技大学 吴晓勤47定理10 矩阵的行秩等于列秩。 证 设矩阵A的行秩为r1,A的列秩为r2。 那么, A中有r1个行向量线性无关,由引理2 A中有一个r1级子式D不为零,那么A中子式D所在的 r1个列向量也线性无关;因而 r1 ? r2 由此, A’的列秩(A的行秩r1)? A’的行秩(A的列秩r2), 即有 r1 ? r2 。因此 r1 ? r2 统称矩阵的行秩和列秩为矩阵的秩,矩阵A的秩一般 记为R(A)。规定零矩阵的秩为0。湖南科技大学 吴晓勤48定理11 矩阵A的秩为r的充要条件是它有一个不为 零的r阶子式而所有r+1阶子式全为零,这时,这个非零 的r级子式所在的行和列就分别为A的行向量组和列 向量组的极大线性无关组。 1.若A为m?n矩阵,则A的秩不会大于矩阵的行数,也 不会大于矩阵的列数,即r(A)?min{m,n}; 2.r(AT)=r(A),r(kA)=r(A),k为非零常数; 3.若r(A)=r,则A中所有大于r阶的子式全为0,即r为A 中不等于0的子式的最大阶数; 4.若A的所有r+1阶子式都为0,则r(A)&r+1; 5.若A中存在一个r阶子式不为0,则r(A)?r.湖南科技大学 吴晓勤49例10 已知以下矩阵A的秩为3，求a的值。? a 1 1 1? ? ? 1 a 1 1? A?? ? 1 1 a 1? ? ? ?1 1 1 a ?湖南科技大学 吴晓勤50作习题一 P 71：业2，4－（3），5,6 P72：11，15－（1），19－（2）湖南科技大学 吴晓勤51§5矩阵的初等变换定义12 下面的三种变换称为矩阵的初等行变换: (1)对换矩阵两行的位置 [对换第i行和第j行的位置记为r(i,j)]. (2)矩阵的某行所有元素同乘以一个非零常数 [第i行乘以k记为r(i(k)] (3)把矩阵一行所有元素的k倍加到另一行对应的 元素上去[第i行的k倍加到第j行上去记为r(j+i(k))] 矩阵的初等行变换都是可逆的,且其逆变换也是 同类的初等行变换。湖南科技大学 吴晓勤52定理12 如果矩阵A经过有限次初等行变换变为B,则A 的行向量组与B的行向量组等价,而A的任意k个列向量 与B中对应的k个列向量有相同的线性关系。例11 求下列向量组 ? 1 ? (1,?2,2,3), ? 2 ? ( ?2,4,?1,3), ? 3 ? ( ?1,2,0,3), ? 4 ? (0,6,2,3), ? 5 ? ( 2,?6,3,4) 的一个极大线性无关组与秩。 解 作 行摆列变换法或列摆行变换法。? 1 ? 2 ?1 ?? 2 4 2 ? A? ? 2 ?1 0 ? 3 3 ? 3 2 ? r ( 2?1( 2 )) ?1 ? 2 ? 1 ? 3 ? 1 ?2 )) 0 6 ? 6? r ( 4?1(( ?3 )) ?0 0 ( ??r? ? ? ? ?0 3 2 3 ? 2 ? ? 3 4 ? 6 ?0 9 02? 6 ? 2? ? 2 ? 1? ? 3 ? 2? 053湖南科技大学 吴晓勤?1 ? 2 ? 1 ?0 0 0 ? ?0 3 2 ? 6 ?0 92? ?1 ? 2 ? 1 6 ? 2? r ( 2 , 3 ) ? 0 3 2 ? r ( 3,4 ) ? ?? ? ? 2 ? 1? ?0 9 6 ? ? 3 ? 2? 0 ?0 0 02? 2 ? 1? ? 3 ? 2? ? 6 ? 2? 02? ?1 ? 2 ? 1 0 ?0 3 2 2 ? 1? ( 3 2 ( ?3 )) ? ?r????? ? ?0 0 0 ?3 1 ? ? ? 0 6 ? 2? ?0 02? ?1 ? 2 ? 1 0 ?0 3 2 2 ? 1? 所以 ? , ? , ? 为一个极 ( 4? 3( 2 ? 1 2 4 ?r? ?))? ? ? ?0 0 0 ?3 1 ? ? ? 大无关组，且秩等于3。 0 0 0? ?0 0湖南科技大学 吴晓勤54行阶梯形矩阵:若有零行,则零行全部在矩阵的下方; 从第一行起,每行第一个非零元素前面零的个数逐行 增加.对于这样的矩阵，可画出一条阶梯线,线的下方 全为0;每个台阶只有一行,台阶数即是非零行数.它的 秩就是非零行的个数.例如1 0 0 0 0 2 0 0 2 3 5 6 8 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 3 2 0 0 0 4 0 0 6 5 1 0湖南科技大学 吴晓勤55例用初等变换求矩阵A的秩。A? 1 -2 2 -4 -2 4 3 -6 1 0 0 0 1 0 0 0 2 -1 8 0 -2 3 0 -6 -1 2 1 -3 1 0 5 1 1 0 1 0 1 2 3 4Ar2 ? 2 r1 r3 ? 2 r1 r4 ? 3 r1-2 2 0 4 0 2 0 -6 -2 2 0 2 0 0 0 0r2 r 3 C r21 2r 4 +3 r 21 0 0 0-2 2 0 2 0 0 0 0-1 1 0 01 0 5 11 5r3r4 ? r3-1 1 0 0=B1因为行阶梯形矩阵B1有3个非零行，所以R(A)=3湖南科技大学 吴晓勤56如果继续施行行初等变换，还可以化为更简单的形式r1 ? r3 r1 ? r21 2B11 0 0 01 0 0 0-2 0 0 0 -2 0 0 00 -2 0 2 1 0 0 0 1 0 0 0 0 -2 0 1 1 2 0 0 0 1 0 0 0r2=B2行阶梯形矩阵B2的特点是，非零行的第一个非零元 素为1，且1所在列的其他元素都为0，这样的矩阵为 行最简形矩阵。湖南科技大学 吴晓勤57若再经列初等变换，还可以化为更简单的形式1 0 0 0 -2 0 0 0 0 -2 0 1 1 2 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0=B2c2 ?2c1c4 ?2c11 0 0 00 0 0 1 0 1 2 0 0 0 0 0 00 0 1 0c4 ?1 2c30 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 1 01 c (2,3) 0 c(3,5) 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0=B3称为A的等价标准型。 特点：标准型的左上角是一个单位矩阵，其余元素全 为零.湖南科技大学 吴晓勤58m ? n 矩阵 A 总可经过初等变换化为标准形? Er F ?? ?OO? ? O ? m ?n此标准形由 m , n, r 三个数唯一确定，其中r 就是 行阶梯形矩阵中非零行 的行数.定义13 如果矩阵A经有限次初等变换化成B，就称 矩阵A与B等价。湖南科技大学 吴晓勤59矩阵的等价关系具有下列性质：(1)反身性：A与A等价。 (2)对称性：如果A与B等价，那么B与A等价。 (3)传递性：如果A与B等价， B与C等价， 那么A与C等价。 定理13 如果矩阵A与B等价，那么R(A)＝R(B) 。 定理14 每个矩阵都有等价标准形，矩阵A与B等价， 当且仅当它们有相同的等价标准形。 推论 两个同型矩阵等价的充分必要条件是它们的秩 相等。湖南科技大学 吴晓勤60所有与矩阵 A 等价的矩阵组成的一个集合， 称为一个等价类，标准形 是这个等价类中最简 单的矩阵.定义 设A为n阶方阵,若A?E,则称A为满秩矩阵;否 则称为降秩矩阵.湖南科技大学 吴晓勤61小结１、矩阵的初等变换（Elementary transformation）初等行(列)变换2、 如果矩阵 A 经过有限次初等变换变成矩阵 B ， 就称矩阵 A 与 B 等价 ，记作 A ~ B 3、矩阵等价具有的性质反身性;对称性;传递性.湖南科技大学 吴晓勤624、利用初等行变换可把矩阵 A 化为行阶梯形矩阵. 利用初等行变换，也可把矩阵化为行最简形矩阵. 利用初等行变换，再利用初等列变换最后可把矩阵 化为标准形矩阵. 5、矩阵的秩 ? 最高阶非零子式的阶数 ? 行阶梯形矩阵非零行的行数 ? 行最简形矩阵非零行的行数 ? 标准形矩阵中单位矩阵的阶数湖南科技大学 吴晓勤63§6初等变换与求矩阵的逆定义14 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵 称为初等矩阵。 初等矩阵都是方阵，互换E的第i行与第j行（或者互 换E的第i列与第j列）的位置，得1 O1E ?i, j ? ? 0 ? ? 1 ? 1 ? O ? 1 ? 1 ? ? 0 1 O 1湖南科技大学 吴晓勤64用常数k乘E的第i行 （或i列），得E ( i ( k )) ?1 O 1 k 1 O 11 O 1 ? k E ( i ? j ( k )) ? O ? 1 O 1 第j行 第 i行第i行；把E的第j行的k倍加 到第i行（或第i列的k 倍加到第j列）得湖南科技大学 吴晓勤65初等变换初等矩阵初等逆变换初等逆矩阵湖南科技大学 吴晓勤66这三类矩阵就是全部的初等矩阵，有E(i,j)-1＝E(i,j) E(i(k))-1=E(i(1/k)), E(i+j(k))-1=E(i+j(-k)) 定理15 对一个s×n矩阵A作一初等行变换就相当于 在A的左边乘上相应的s×s初等矩阵；对A作一初等列 变换就相当于在A的右边乘上相应的n×n初等矩阵。 推论1 矩阵A与B等价的充分必要条件是有初等方阵 P1，P2，…，Ps，Q1，…，Qt使 A＝P1P2…PsBQ1…Qt湖南科技大学 吴晓勤67推论2 n×n矩阵A可逆的充分必要条件它能表成一 些初等矩阵的乘积。 推论3 两个s×n矩阵A、B等价的充分必要条件为 存在可逆的s×s矩阵P与可逆的n×n矩阵Q使 A=PBQ 推论4 可逆矩阵总可以经过一系列初等行变换化成 单位矩阵。湖南科技大学 吴晓勤68初等变换法求逆矩阵方法是： 当 A ? 0时，由 A ? P1 P2 ? Pl，有Pl ?1 Pl ?1 ? P1?1 A ? E , 及 ?1 ? Pl ?1 Pl ?1 ? P1?1 ? A E ? ?1 ? ?P ? ?El ?1 ?1 l ?1 ?1 1Pl ?1 Pl ?1 ? P1?1 E ? A?1 , ?1P ? P A Pl P ? P E ??1 ?1 l ?1 ?1 1A ?1 ?即对 n ? 2n 矩阵 ( A E ) 施行初等行变换， 当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A?1 .湖南科技大学 吴晓勤69例 设求A-1。 解 对(A? E)作初等行变换?0 1 2 ( A E ) ? ?1 1 4 ? ?2 ? 1 0 ?? 0 1 2? A ? ?1 1 4? ? ? ? 2 ? 1 0? ? ??1 1 0 0? r (1, 2 ) ? ? 0 1 0? ?? ? 0 ? ? 0 0 1? ?2 ? ?0 124 0 1 0? 1 2 1 0 0? ? ? 1 0 0 0 1? ? 1?1 1 ( 3 1( ? ?r???2 ))? ?0 1 ? ? ?0 ? 3 ? r ( 2 ? 3 ( 1 )) ? r ( 1? 3 ( 2 )) ?1 0 ( 1? 2 ( ? ?r? ?1))? ?0 1 ? ? ?0 0 ?4 20 01 0?1 ?2 1?8 0 ?24 3 1 ? 2?1 1 4 0 1 0? 0? ( 3 2( 3 ? ?r???))? ?0 1 2 1 0 0? ? ? 0? ? ?0 0 ? 2 3 ? 2 1? 1? ? ? ? ? 1 ? 1 ? 1? ? ? 2?70湖南科技大学 吴晓勤? ?1 0 0 2 ( A E ) ? ?0 1 0 4 ? 3 0 0 1 ? ? 2 ?? 1 ? ?2 1 ? 1? 1 ? ? 2? ?1A ?1? ? 2 ?? 4 ? 3 ?? ? 2? 1 ? ?2 1 ? 1? 1 ? ? 2? ?1湖南科技大学 吴晓勤71小结1.初等行(列)变换初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型同．2. A 初等变换 B? A ~ B.3.矩阵等价具有的性质4. 单位矩阵5.一次初等变换?1?反身性; ?2? 对称性; ?3?传递性.初等矩阵.利用初等变换求逆阵的步骤是:?1? 构造矩阵? A? E ?;?2? 对? A? E ?施行初等行变换, 将A化为单位矩阵E后, 右边E对应部分即为A?1.湖南科技大学 吴晓勤72思考题用初等变换解矩阵方程： ? 5 1 ?2 ? ? 1 ?3 ? A ? ? 2 3 1 ? , B ? ? 2 2 ? ,求 X ，使 AX ? X ? B ? ? ? ? ?3 1 0 ? ? 3 ?1 ? ? ? ? ? 利用初等行变换求逆阵的方法，还可用于求A ?1 ( A B ) ? ( E A ?1 B )矩阵A?1 B ? .即( A B)初等行变换E A?1 B湖南科技大学 吴晓勤73§7向量空间定义15 设V为n维向量的集合，如果V非空且对于向 量加法及数乘运算封闭，即对任意的 ? , ? ? V 和常数k , 都有 ? ? ? ?V , k? ?V . 就称集合V为一个向量空间。例1 n维向量的全体Rn构成一个向量空间。3维向量 可以用有向线段来表示，所以R3也可以看作以坐标原 点为起点的有向线段的全体。 例2 n维零向量所形成的集合{0}构成一个向量空间。湖南科技大学 吴晓勤74例3 判别下列集合是否为向量空间. T １、V1 ? x ? ? 0 x2 ? xn ? x2 ,? , xn ? R解 if ? ? ? 0 a2 ? an ?T ? V1 , ? ? ? 0 b2 ? bn ?T ? V1 有 ? ? ? ? ? 0 a2 ? b2 ? an ? bn ? ? V1 ,T T???k ? R, ? k? ? ? 0 ka2 ? kan ? ? V1 ,２、V2 ? x ? ? 1 x2 ? xn ? x2 ,? , xn ? RT所以 V1是一个向量空间.解?k ? 2, ? 2? ? ? 2 2a2 ? 2an ? ? V2 , 所以 V2不是一个向量空间.T湖南科技大学 吴晓勤if ? ? ? 1 a2 ? an ? ? V2T??75例4 集合V ? {x ? ( x1 ,0,?,0, xn )T | x1 , xn ? R}T T是一个向量空间. 因为如果 ? ? (a1 ,0,?,0, an ) ? V , ? ? (b1 ,0,?,0, bn ) ? V , 则 ? ? ? ? (a1 ? b1 ,0,?,0, an ? bn )T ? V , ? ? R, ?? ? (?a1 ,0,?,0, ?an )T ?V . 例5 集合 V ? {x ? ( x1, x2 ,?, xn ) | ? xi ? 1, xi ? R}T n不是向量空间. 因为若 ? ? ( x1 , x2 ,?, xn )T ? V 则 ? xi ? 1. i ?1 取? ? 3 ， 则 ?? ? (?x1 , ?x2 ,?, ?xn )T 从而i ?1n? ?xi ? ? ? xi ? ? ? 3 ? 1i ?1 i ?1湖南科技大学 吴晓勤nn所以，?? ?V .76例6 设?1 ,? 2 ,?,? r 为一个已知向量组，记V ? {x ? ?1?1 ? ?2? 2 ? ? ? ?r? r | ?i ? R, i ? 1,2,?, r}则 V 为一个向量空间并且称 V 为由 ?1 ,? 2 ,?,? r所生成的向量空间. 证 若 x1 ? ?11?1 ? ?12? 2 ? ? ? ?1r? r ?V ,x2 ? ?21?1 ? ?22? 2 ? ? ? ?2r? r ?V ,则 x1 ? x2 ? (?11 ? ?21 )?1 ? (?12 ? ?22 )? 2 ? ? ? (?1r ? ?2 r )? r ?V ,对任意? ? R,?x1 ? ??11?1 ? ??12? 2 ? ? ? ??1r? r ?V ,湖南科技大学 吴晓勤所以V为向量空间.77定义由向量组 ?1 ,? 2 ,? ,? r 的一切线性组合构成的集合称为由?1 ,? 2 ,? ,? r 生成的向量空间，记为：L??1 ,? 2 ,?,? r ? ? ? x ? k1?1 ? k2? 2 ? ? ? kr? r ki ? R?定理 两个等价的向量组生成的向量空间相同. 证 设 V1 是由向量组 ?1 ,? 2 ,?,? r 生成的向量空间， V2 是由向量组 ?1 , ? 2 ,?, ? s 生成的向量空间， 而 ?1 ,? 2 ,?,? r 与 ?1 , ? 2 ,?, ? s 等价. 下证 V1 ? V2任取 ? ?V1 , 则一定存在 ?1 , ?2 ,?, ?r 使得 ? ? ?1?1 ? ?2? 2 ? ? ? ?r? r . 可证明? ? V2 V 即V1 ? V2 同理可证 V1 ? V2 所以， 1 ? V2 .湖南科技大学 吴晓勤78定义16 如果V1和V2都是向量空间且 V1 ? V2 ,就称V1 是V2的子空间。 定义17 设V为一个向量空间。如果V中的向量组 ?1 ,? 2 ,?? r 满足 (1) ?1 ,? 2 ,?? r线性无关； (2)V中任意向量都可以经 ? 1 ,? 2 ,?? r 线性表出， 那么，向量组 ? 1 ,? 2 ,?? r 就称为V的一个基，r称 为V的维数，并称V为一个r维向量空间。如果向量空间V没有基，就说V的维数为0，0维向量空 间只含一个零向量。 如果把向量空间V看作向量组，那么V的基就是它的极大 线性无关组，V的维数就是它的秩。当V由n维向量组成 时，它的维数不会超过n。 吴晓勤 湖南科技大学 79例设2 ? 1? ?2 A ? ?? 1 ,? 2 , ? 3 ? ? ? 2 ? 1 2 ? , ? ? ?? 1 , ? 2 ? ? ? ? ?? 1 2 2? ? ?? 1 4? ? 0 3? , ? ? ? ? 4 2? ? ?验证? 1 ,? 2 ,? 3是R3的一个基并将 ? 1 , ? 2 用这个基线性 表示出来。解 由 A ? 0 知? 1 ,? 2 ,? 3 线性无关， ? 1 ,? 2 ,?是R3的一个基。 因此 3 ? x11 x12 ? 设 ? 1 ? x11? 1 ? x21? 2 ? x31? 3 即 ?? 1 , ? 2 ? ? ?? 1 ,? 2 ,? 3 ?? x21 x22 ? ? 2 ? x12? 1 ? x22? 2 ? x32? 3 ? ?? x11 那么? x21 ? ? x31 ? x12 ? x22 ?＝A?1 ?? 1 , ? 2 ? ? A?1 B ? x32 ? ?湖南科技大学 吴晓勤? x31 ?x32 ? ?80如果P1，P2，…，Pl为初等矩阵，使 P1P2…PlA=E, ? x11 x12 ? 则A-1=P1P2…Pl且 ? x21 ? ? x31 ?x22 ? ? P1 P2 ? Pl B ? x32 ? ?因此只需对矩阵(A? 作初等行变换，当把A变为E时， B) B就变成了A-1B。湖南科技大学 吴晓勤81? 2 2 ? 1 1 4? ? ? 1 2 2 ? 4 2? (1 ? A B ? ? ? 2 ? 1 2 0 3? ?r?,3)? ? 2 ? 1 2 0 3? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 2 ? 4 2? ? 2 2 ? 1 1 4? ? ? ? ??? 1 2 2 ? 4 2? r (1( ?1)) ?1 ? 2 ? 2 4 ? 2? ( 3 2 ( ?2 )) ? ?r????? ?0 3 6 ? 8 7 ? r ( 3 ? 1( 2 )) ? ?? ? ? ? 0 3 6 ? 8 7? ? ? ? ?0 0 ? 9 9 ? 6? ? ? ? 0 6 3 ? 7 8? ? ?r ( 2 ? 1( 2 ))2? ? ?1 ? 2 0 2 ? 3 ? r ( 1 3 ( 2 )) ?????? ?0 3 0 ? 2 3 ? ? 2 ? ?0 0 1 ? 1 ? 3 ? ? ? ?1 r ( 3 ( ? )) 9 r ( 2 ? 3 ( ?6 ))2 ? ?1 0 0 3 1 r ( 2 ( )) ? 3 2 ( 1? 2 ( 2 ?r? ?))? ?0 1 0 ? ? 3 ? ? ?0 0 1 ? 1 ?4? 3? ? 1 ?, ? 2? 3? ?82湖南科技大学 吴晓勤2 ? ?1 0 0 3 ? 2 ?0 1 0 ? 3 ? ? ?0 0 1 ? 1 ?4? 3? ? 1? ? 2? 3? ?所以2 2 ?1 ? ?1 ? ? 2 ? ? 3 3 3 4 2 ? 2 ? ?1 ? ? 2 ? ? 3 3 3湖南科技大学 吴晓勤83作习题一 P 71：6业P72：11，15－（1），19－（2）P73:20-(2),21-(1) P73:23,27湖南科技大学 吴晓勤84
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