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高等数学极限计算练习题.doc 45页
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高等数学极限计算练习题
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高等数学极限计算练习题
若当x?0时，??
?1与??cosx?1是等价无穷小，则a?
1313A　B　C．?　D．?．
2222　　　　　　　　　　
当x?0时，下述无穷小中最高A　x　B1　?cosx　C?x　　　　　　　　　　
?1　D　x?sinx
　　　　　　　　　答
求limn?ln?ln?之值． 求极限limnsin．
求极限limln． lim3x?0n??2nxsinx
的值?_____________
设有数列a1?a，a2?b ，an?2?求证：limyn?lim及liman．
设x1?a，x2?b．　xn?2?记：yn?
2xnxn?1xn?xn?1
，求limyn及limxn．
设limu?A，A?0；且limv?B
试证明：limu
A．?　　B．1　　C．0　　D．ln2　　　　　　　　　　
A．1　　B．e　　C．e　　D．2　　　　　　　　　　
设u?1?xsin求：lim
及limu之值，并讨论
的值等于_____________
A　　B．2　　C．1　　D．不存在
A.?1　B.1　C.
　D.不存在
?__________
的值等于____________
x?3x?2x?x?x?1
已知：limu??，limuv?A?0
问limv?？为什么？
关于极限lim
　　B　0　　C　
　D　不存在
　　　　　　　　　　　　　　答
设limx?xf?A，limg??，则极限式成立的是
A.limfx?xg?00
C.limx?xfg??
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25页12页68页41页81页81页12页70页45页75页高等数学（极限，夹逼定理的习题及解答）
用夹逼定理计算n-无穷大时，（  n       n)1/n   a    +b
09-10-18 &
第四章 中心极限定理习题 1.设为独立随机变量序列, }{nX,2,1,211}0{ 21}2{212= ===±=+nXPXPnnnnn 证明:服从大数定律. }{nX2.在一家保险合同里有10000个人参加保险,每人每年付12元保险费.在一年中一个人死亡的概率为0.006,死亡时其家属可向公司领得1000元,问: (1)保险公司亏本的概率多大 (2)保险公司一年的利润不少于40000元的概率是多少 3.试问对下列独立随机变量序列,李雅普洛夫定理是否成立 为什么 (1),2,1 ,21}{{==== =kKXPKXPkk (2),2,1 ,0 ,31}0{}{}{=&===== =kaXPKXPKXPkakak 4. 根据以往经验,某种元件的寿命服从均值为100小时的指数分布,现随机地取16只,设它们的寿命是相互独立的.求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率. 5. 有一批建筑房屋用的木柱,其中80%的长度不小于3米,现从这批木柱中随机取出100根,问其中至少有30根短于3米的概率是多少 6.一船舶在某海区航行,已知每遭受一次波浪的冲击,纵摇角大于3°的概率31=p,若船舶遭受了90000次波浪冲击,问其中有次纵摇角大于3°的概率是多少 7.对于一个学生而言,来参加家长会的家长人数是个随机变量,设一个学生无家长,1名家长,2名家长来参加会议的概率分别为0.05,0.8,0.15.若学校共有400名学生,设各学生参加会议的家长数相互独立,且服从同一分布. 求: (1)参加会议的家长数X超过450的概率. (2)有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率. 8. 某种电器元件的寿命服从均值为100h的指数分布,现随机地抽取100只,设他们的寿命相互独立,求这100只元件的平均寿命大于120h的概率. 9. 某学校有1000名住校生,每人以80%的概率去图书馆自习,问:图书馆应至少设多少个座位,才能以99%的概率保证去上自习的同学都有座位 第四章 中心极限定理习题解答 1. 证明:0)211(021)2(212)(21212= + + =++nnnnnnXE 1)211(021)2(21)2()]([)()(2212212222= + + ==++nnnnnnnnXEXEXD令 ∑==nkknXnY11,(n=1,2,…) 则 ()0nEY= 22111111()()()0nnnnkkkkDYDXDXnnnnn→∞===== = →∑∑ 01}{0,022→ =≤≥ ≤& ∞→nnnnnDYEYYPεεεε 由夹逼准则知, 0}{lim=≥ ∞→εnnnEYYP, 所以服从大数定律. }{nX2.解 (1) 根据题设条件,所求问题应该以&年&为单位来考虑.在年初,保险 公司总收入为 (元) 0=×设一年中死亡人数为X,则),(~pnBX,其中n=10000, p=0.006. 从而保险公司在这 一年应付出1000X(元),要使保险公司亏本,则必须 1000X &120000,即X &120(人) 因此由德莫佛—拉普拉斯定理, P{保险公司亏本}=P{X &120}&=)1(120)1(pnpnppnpnpXP 7.9)0(1)XnpPnpp=&= Φ ≈ (2) P{保险公司获利不少于40000元} }80{}000{≤=≥ =XPXP ≤=)1(80)1(pnpnppnpnpXP 995.0)59.2(59.2)1(==≤=ΦpnpnpXP 3. 解 (1) 021)(21)(= + =kkEXk kkkDXk= + =21)(21)(22;)1(21112+===∑∑==nnkDXBnknkkn 212222121δδδδ++++= + =kkkXEk ∑=++nkkknEXXEB1221δδ=∑=++nkknXEB1221δδ1211222111212[(1)]nnkknkkBnnδδδδδ+++++====+∑∑ 取2=δ,则 ∑=++nkkknEXXEB1221δδ∑=+=nkknn122)]1([40)12)(1(6)]1([42→ ++ +=∞→nnnnnn即李雅普诺夫定理的条件成立,故对于{}kX李雅普诺夫定理成立. (2) 031)(31)(= + =ααkkEXk ααα22223231)(31)(kkkEXDXkk= + == ∑∑====nknkknkDXB121232α, )2(222323131δαδαδαδ++++= + =kkkXEk ∑=++nkkknEXXEB1221δδ=∑=++nkknXEB1221δδ21121)2(]32[)32(δαδα+==+∑∑=nknkkk因为 dxxnknnknknnkn∫∑∑+= +=+=∞→+=∞→10111)1()(1)1(lim1limααααααα1= 所以 ∑=++∞→nkkknnEXXEB1221limδδ21121)2(2)12(1)2()32(limδαδαδαδα++++∞→+++=nnn011)2()12()32(lim2212= +++=+∞→δδδδααnn;故对于所给的{}kX李雅普诺夫定理成立. 4. 解:以表示第只电器的使用寿命,则)16,...,2,1(=kXkk,10000)(,100)(==kkXDXE记,即∑==161kkXXX表示这16只电器的使用寿命之和,据独立同分布的中心极限定理有: .01)8.0(1}1000016100001610016{}1920{= =Φ ≈×× ×× =XPXP 5. 解:以X表示100根木柱中长度小于3米的根树,则X是一个随机变量,由题意:,据棣莫弗-拉普拉斯定理: )3/1,100(~bX.2(154511005110030545110051100{}30{lXPXP=Φ ≈××× ××× =≥ 6.解 将船舶每遭受一次波浪冲击看作是一次试验,并假定:各次试验是独立的. 记随机变量X = {在90000次波浪冲击中,纵摇角大于3°的次数} 则 )31,90000(~BX, 31,9000==pn. 由德莫佛–拉普拉斯定理,得 P{29500 X 30500}≤≤})1(30500)1()1(29500{pnpnppnpnpXpnpnpP≤≤= ))1(29500())1(30500(pnpnppnpnp≈ΦΦ 9995.01)225(2)225()225(≈ = =ΦΦΦ 7. 解 (1) 记 )400,,2,1(}{==kkXk的家长人数个学生,来参加家长会对于第则 Xk 分布律为 Xk 0 1 2 P 0.05 0.8 0.15 易知 )400,,2,1(19.0)(,1.1)(===kXDXEkk, 且随机变量序列{Xk }独立同分布,故由林德贝格-列维中心极限定知 ),,,(40021=k∑==4001kkXX的标准化随机变量 19.04001.1400)()(4001× =∑=kkXXDXEX近似地服从标准正态分布N(1,0), 于是 }19.04001.140045019.04001.1400{1}450{1}450{× ≤× =≤ =&XPXPXP .1(1}147.119.04001.1400{1≈ ≈≤× =ΦXP (2) 记 Y = {有1名家长来参加会议的学生数},则 . )8.0,400(~BY由德莫佛–拉普拉斯定理,得 }2.08.04008.04003402.08.04008.0400{}340{××× ≤××× =≤YPYP ..2(}5.22.08.04008.0400{=Φ≈≤××× =YP8. 解:设 {} 只元件的寿命第iXi=)100,,2,1(=i则∑==10011iiXnX )100(=n 所以 &=&∑=nnnXPXPniiσσ120}120{1 02275.01201= Φ =nσ9. 解:设X={同时去图书馆上自习的人数},并设图书馆至少应设n个座位,才能以99%的概率保证去上自习的同学都有座位,即n满足 99.0}0{≥≤因为 X~B() 所以,由德莫佛—拉普拉斯中心极限定理,得 }2.08.010008.010002.08.010008.010002.08.010008.010000{}0{××× ≤××× ≤××× =≤&nXPnXP ()24.6365.12800Φ Φ≈n99.0065.12800≥ Φ≈n查表得,从而 ()99.033.2=Φ33.265.12800≥n5.829≥n 因此,图书馆至少应设830个座位.
请登录后再发表评论!题目见图，做1 2 3 5 和下面两道文字题
多看看课本吧！其实很简单！
用到个公式 x3-y3=(x-y)(x2+xy+y2)
其他答案（共1个回答）
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应该还好吧，不会很难的。不急，慢慢来等老师讲得差不多了，就会讲例题，你要好好听课老师布置的作业自己有去做就可以了，在不行你就去图书馆借本书来看，看上面例题的解法...
解：1.闭区间上的连续函数一定有最大，最小值。所以步骤是先求一阶导，得到驻点和使导数不存在的点，但只取它们中在定义域里的那些。比较这些点和区间端点的函数值，最大...
F(x,u)+F(x,v)+F(y,u)+F(y,v)
=lnxlnu+lnxlnv+lnylnu+lnylnv
=lnu(lnx+lny)+lnv(lnx+l...
答: 一棵树上13人头图解哪位知道准确答案，请给予正确答案的解释，谢谢。
答: x->0:lim(1+x)^(-1/x)
=1/[x->0:lim(1+x)^(1/x)
x->∞:limxsin(1/x)
=1/x->0:lim[...
答: 计算科学是一门什么样的学科？
答：计算学科（通常也称作计算机科学与技术）作为现代技术的标志，已成为世界各国经济增长的主要动力。但如何认识这门学科，它究竟属于理科...
答: 补课是比较错误的方式。我一直到高中毕业没补过课。爸妈也不管我，随我学什么。我打游戏和化学都挺好。现在在大学读书，很深刻地感受到教育是钱买不来的。在实验室做小型的...
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这不是个问题
这个问题分类似乎错了
这个不是我熟悉的地区
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第三方登录：lim(1/r^3)∫∫[√1+(√x)+(√y)]dxdy，
其中 D 是抛物线弓形闭区域：x^2≤y≤r^2。
题目明显有错x＜0怎么办？改为lim(1/r^3)∫∫√[1+(√|x|)+(√y)]dxdy，利用积分中值定理，解为：4/3。类题见山路水桥答疑平台（↓）
其他答案（共2个回答）
对确实对的，但是为了不引起不必要的逻辑上的问题，例如应用你学过的知识体系以外的定理，用不等式1/x+ln(1+e^x)＞ln(1+e^x)＞ln(e^x)=x来...
令6次根号（x-1)=m,
则3次根号（x-1)=m^2,根号（x-1)=m^3
x→2即m→1
∴lim[3次根号（x-1)-1]/[根号（x-1)-1](x...
第2题题目有误,估计是
lim (1+2/x)^(2x).
此时,答案为:e^4
lim (1+m/x)^(kx)=e^(km).
1+2/3+2^2/(3*5)+2^3/(3*5*7)+2^4/(3*5*7*9)+.....
&1+2/3+2^2/3^2+2^3/3^3+2^4/3^...
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