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【线性代数】设n阶矩阵A的行列式|A|=d≠0,求|A*|A的伴随矩阵
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由于A×A*=|A|E（E为A的同阶单位矩阵,这里是n阶）所以|A|×|A*|=|A×A*|=||A|E|=|A|^n=d^n；|A*|=|A|^(n-1)=d^(n-1)
|A|^n怎么得到的？
|A|E这个n阶矩阵的值
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扫描下载二维码线性代数的八种核心题型 题型一
求矩阵的行列式或行列式的值 题型二
求矩阵的逆或判断矩阵可逆 题型三
解矩阵方程 题型四
向量组的线性相关性的判定或证明 题型五
向量组的线性表示 题型六
判断含参数的线性方程组何时有解，有解时求线性方程组的解 题型七
求矩阵的特征值与特征向量或逆问题 题型八
与二次型有关的问题 线性代数中重要的运算有 1.行列式（数字型、字母型）的计算； 2.求逆矩阵； 3.求矩阵的秩； 4.求方阵的幂； 5.求向量组的秩与极大线性无关组，线性相关的判定或求参数； 6.求齐次线性方程组的基础解系； 7.求非齐次线性方程组的通解； 8.求特征值与特征向量（定义法，特征多项式基础解系法）； 9.判断与求相似对角矩阵； 10.用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵（亦即用正交变换化二次型为标准形）. 线性代数中常见的证明题题型有 1.证｜A｜＝0； 2.证向量组?1,,?m的线性相关性，亦可引伸为证?1,,?m是齐次方程组Ax＝0的基础解系； 3.证秩的等式或不等式； 4.证明矩阵的某种性质，如对称，可逆，正交，正定，可对角化，零矩阵等； 5.证齐次方程组是否有非零解；线性方程组是否有解（亦即?可由?1,组论证其同解性或有无公共解； 6.证二次型的正定性，规范形等。 线性代数的八种思维定势 1.若题设条件与代数余子式Aij或A有关，则用行列式按行（列）展开定理以及AA?AA?AE. 2.若涉及A,B到是否可交换，即AB?BA，则立刻联想到用逆矩阵的定义去分析. 3.若题设n阶方阵A满足f(A)?0，要证aA?bE可逆，则先分解出因子aA?bE再说. 4.若要证明一组向量?1,?2,*,?m线性表出）；对给出的两个方程**,?s线性无关，先考虑用定义再说. 5.若已知AB?O，则将B的每一列作为Ax?0的解来处理再说. 6.若有题设条件要求确定参数的取值，则联想到是否有某行列式为零再说. 7.若已知A的特征向量?0，则先用定义A?0??0?0处理一下再说. 8.若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说.
一、 行列式 1. n阶行列式共有n个元素，展开后有n!项，每项是来自不同行不同列元素的乘积的代数和. 2. 行列式常用记号
A,det(aij),2D表示, 重点是利用性质熟练准确的计算出行列式的值. 记号r2?kr1表示第一行的k倍加到第二行； c2?kc1表示第一列的k倍加到第二列,这一记号不满足交换性. AOOBACOBi?j3. 行列式有三种类型：数字型、抽象型、含参型。另外要会计算矩阵的行列式，如： A?1，A，A，AB，kA，A??E，T*， 4. 代数余子式和余子式的关系：Aij???1?5. 代数余子式的性质 i?jMij； Mij???1?Aij ① Aij和aij的大小无关，Aij和aij的位置有关； ② 某行（列）的元素乘以其它行（列）元素对应的代数余子式之和为0； ③ 某行（列）的元素乘以该行（列）元素对应的代数余子式之和为A. 6. 行列式的重要公式 ① 主对角行列式的值等于主对角线上元素的乘积； ② 上、下三角行列式即 ?0,0?的值等于主对角线上元素的乘积； ③ 范得蒙行列式：大指标减小指标的连乘积，共④ A??1?2...?n， 其中?i为A的特征值； ⑤ 拉普拉斯展开式
n(n?1)项的乘积； 2CACAOAO???AB； BnOBCBOBAmO?OBnAmC???1?mnAB； nT⑥ AB?BA成立的前提是A,B为同阶方阵；
kA?kA，A为n阶方阵；
A?A； A为n阶可逆阵，则A?1?7. 证明A?0常用的方法 1?；
A?AAn?1 ； ① 证明A??A；
A?kA?k?1? ② 用反证法. 假设A?0，则A可逆，……，得到矛盾. ③ 构造齐次线性方程组Anx?0，证明其有非零解. ④ 利用秩，证明 ⑤ 证明??0是An的特征值. ⑥ 证明A的列（行）向量组是线性相关的.
1. 对于n阶矩阵A：AA*?A*A?AE 无条件恒成立； 2. 求A要注意两点:
(1)A中第i行元素的代数余子式在A中是第i列;
(2)求Aij时不要忘记(?1)i?j. **?ab??d?b?*，则A????．
【注:对于二阶矩阵来说(主对角线对调,副对角线变号)】 ?cd???ca??12?4. 矩阵是表格，推导符号为波浪线或箭头；行列式是值，求值时用等号. 典型错误：????2 34??3. 设A??5. 一列乘一行为矩阵，一行乘一列为数 6. 注意单位矩阵的恒等变形
E?E?E7. 求矩阵的逆或判断矩阵可逆
若题设n阶方阵A满足f(A)?0，要证aA?bE可逆，则先分解出因子aA?bE，若T?1?P?1P?PP?1，召之即来，挥之即去，变来变去. ?aA?bE?*,则aA?bE可逆,且?aA?bE??B?kE?11B kA*A*?1② 用伴随矩阵
AA?AA?AE?A （当A?0时，适用较低阶方阵求逆） ?E?A?AA*?E|A?1 ③ 用初等行变换
(A|E)??④ A可逆?A?0 ⑤ 设A,B分别是m阶,n阶可逆矩阵,则: 行???A?1?AO??????OB??O?A?1?AC??????OB??O8. 看到条件AB?kE,?1?1?OO??OA??, （主对角分块）；
???1??BOB?1????A?1?1B?1??， （副对角分块） O?O?， ?1?B??1?A?1?A?1CB?1??AO??,（拉普拉斯）
?????1?1?1B?CB????BCAk?0，想到两点：①BA?kE，即AB?BA；
②A,B均可逆. 9.求A的思路（行造零---造出逆矩阵）:
?A?上到下E???????0*?
下到上?*?????????00?某行乘k*???????E?A?1?. 10.伴随矩阵： ?????nr(A)?n?①、伴随矩阵的秩：r(A*)??1r(A)?n?1(一个四阶矩阵其伴随的秩只可能为4,1,0，不可能为2,3) ?0r(A)?n?1?②、A*?AA?1；
A*?A11. (A?1)*?(A*)?1(AB)T?BTATn?1**；
(A)?An?2A；
(A*)?1?(A?1)*?(A*)T?(AT)* (AB)?1?B?1A?1 A*n?1*；
?kA??kA . A(A?1)T?(AT)?1(AB)*?B*A*12. 若A为n阶方阵，则A中的每一个元素的余子式为A的一个n?1阶子式；
A有一个n?1阶子式?0?A中有一个元素的余子式?0?A*?O?r(A*)?1 13. 关于分块矩阵的重要结论: 其中设A,B,C均可逆, ?A1?
若A?????A2???,??As?则 Ⅰ. A?A1A2As?A1?1??1 Ⅱ. A??????A2?1???,??As?1???A1n?n
Ⅲ. A??????A2n??? ??Asn??14.A是n阶可逆矩阵 ?A?0（A是非奇异矩阵） ?A*?0（A*是可逆矩阵） ?r(A)?n（A是满秩矩阵） ?齐次方程组Anx?0仅有零解 ?对?b?Rn，非齐次线性方程组Anx?b总有唯一解 ????
矩阵的初等变换，矩阵的秩 ?Er?OO??； O?m?nA与E等价（既可以是行等价也可以是列等价） A可表示为若干个初等矩阵的乘积（A?PPPs） 12A的行(列)向量组线性无关 A的特征值全不为0 ?ATA是正定矩阵 1.一个m?n矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：F??2.行最简形矩阵 ①、只能通过初等行变换获得； ②、每行首个非0元素必须为1； ③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0； 3.初等行变换的应用 ?E|A?1 (1) 求方阵A的逆阵， (A|E)??行?E|A?1B，则X?A?1B (2) 解矩阵方程AX?B，将(A|B)??行?????E|A?1b，则x?A?1b. (3) 求解线性方程组.对于n个未知量n个方程An?nx?b，若(A|b)??行???B (B为阶梯型矩阵)，则B的不全为零的行数即为R(A). (4) 求矩阵的秩R(A).A??(5) 求列向量组?1,?2,4.矩阵秩的基本性质： ①、0?r(Am?n)?min(m,n)；且A?O?r(A)?0，A?O?r(A)?1 ②、r(AT)?r(A)； 行,?m的一个极大线性无关组.将??1,?2,,?m??行最简形式，…… 上传我的文档
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华中科技大学线性代数试题及答案_(1)
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线性代数 为什么如果n阶矩阵A r（A）等于n-1 那么它的伴随矩阵的秩是大于等于1?怎么证明的啊我怎么就看不出来呢
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结论：r(A) ===> r(A*)=nr(A)=n-1 ===> r(A*)=1r(A) r(A*)=0利用等式A·A* = |A|·E_n （n阶单位矩阵）即可得第一个关系.当r(A)＜n,有|A|=0,于是：若r(A)小于n-1,则每个n-1阶子阵的行列式为0,从而由A*的定义知A*=0； 若r(A)等于n-1,则由A·A* = |A|·E_n知,A·A* = 0.但是由不等式 r(AB) ≥ r(A) + r(B) - n 知,0 = r(A·A*) ≥ r(A) + r(A*) - n = n-1 + r(A*) -n = r(A*) -1 即r(A*) ≤ 1.但是A至少有一个n-1阶子阵的行列式不为0,于是由A*的定义知r(A*) = 1
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r(A)=n-1,说明A至少有一个不为0的n-1阶子式。于是，A*就至少有一个元素不为0，A*的秩就大于等于1
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