我的图书馆
&· &· &·
[显示]基础概念
[显示]一元微分
[显示]一元积分
[显示]多元微积分
[显示]微分方程
[显示]相关数学家
一个导管中气流的模拟，使用
借由求解得到的泵浦外壳热分布图，假设外界是较低温度的温度分布，热由泵浦内部传出，由外界冷却。
微分方程指描述未知函数的与之间的关系的。微分方程的解是一个符合方程的。而在初等数学的代数方程，其解是常数值。
微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题[1]:p.1。中许多涉及变力的、问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在、、和人口统计等领域都有应用。
数学领域对微分方程的研究着重在几个不同的面向，但大多数都是关心微分方程的解。只有少数简单的微分方程可以求得。不过即使没有找到其解析解，仍然可以确认其解的部分性质。在无法求得解析解时，可以利用的方式，利用电脑来找到其数值解。 理论强调对于微分方程系统的量化分析，而许多数值方法可以计算微分方程的数值解，且有一定的准确度。
1.1 常微分方程及偏微分方程1.2 线性及非线性1.3 举例
2.1 普遍性的数学描述2.2 微分方程的解2.3 简易微分方程的求解方法
2.3.1 一阶线性常微分方程2.3.2 二阶常系数齐次常微分方程
2.4 约束条件2.5 解的存在性及唯一性
3 历史4 相关概念5 和差分方程的关系6 著名的微分方程
6.1 物理及工程6.2 生物学6.3 经济学
7 参见8 参考资料
8.1 参考文献
微分方程可分为以下几类，而随着微分方程种类的不同，其相关研究的方式也会随之不同。
常微分方程及偏微分方程[]
（ODE）是指一微分方程的未知数是单一自变数的函数[2]。最简单的常微分方程，未知数是一个实数或是复数的函数，但未知数也可能是一个向量函数或是矩阵函数，后者可对应一个由常微分方程组成的系统。微分方程的表达通式是：
常微分方程常依其阶数分类，阶数是指自变数导数的最高阶数[1]:p.3，最常见的二种为一阶微分方程及二阶微分方程。例如以下的贝塞尔方程：
（其中y为）为二阶微分方程，其解为。
（PDE）是指一微分方程的未知数是多个自变数的函数[2]，且方程式中有未知数对自变数的。偏微分方程的阶数定义类似常微分方程，但更细分为、及的偏微分方程，尤其在二阶偏微分方程中上述的分类更是重要。有些偏微分方程在整个自变数的值域中无法归类在上述任何一种型式中，这种偏微分方程则称为混合型。像以下的方程就是偏微分方程：
线性及非线性[]
常微分方程及偏微分方程都可以分为线性及非线性二类。
若微分方程中没有出现自变数及微分项的平方或其他乘积项，也没有出现应变数及其微分项的乘积，此微分方程为，否则即为非线性微分方程。
齐次线性微分方程是线性微分方程中更细的分类，微分方程的解乘上一系数或是与另一个解相加后的结果仍为微分方程的解。
若线性微分方程的系数均为常数，则为常系数线性微分方程。常系数线性微分方程可以利用转换为代数方程[1]:p.315-316，因此简化求解的过程。
针对非线性的微分方程，只有相当少数的方法可以求得微分方程的解析解，而且这些方法需要微分方程有特别的。长时间时非线性微分方程可能会出现非常复杂的特性，也可能会有现象。有关非线性微分方程的一些基本问题，例如解的存在性、唯一性及初始值非线性微分方程的，以及边界值非线性微分方程都是相当难的问题，甚至针对特定非线性微分方程的上述基本问题都被视为是数学理论的一大突破。例如2000年提出的7个中，其中一个是，都是探讨其解的数学性质[3]，至2012年8月为止此问题尚未被证明。
线性微分方程常常用来近似非线性微分方程，不过只在特定的条件下才能近似。例如单摆的运动方程为非线性的微分方程，但在小角度时可以近似为线性的微分方程。
以下是常微分方程的一些例子，其中u为未知的函数，自变数为x，c及ω均为常数。
非齐次一阶常系数线性微分方程：
齐次二阶线性微分方程：
描述的齐次二阶常系数线性微分方程：
非齐次一阶非线性微分方程：
描述长度为L的的二阶非线性微分方程：
以下是偏微分方程的一些例子，其中u为未知的函数，自变数为x及t或者是x及y。
齐次一阶线性偏微分方程：
，是椭圆型的齐次二阶常系数线性偏微分方程：
，是三阶的非线性偏微分方程：
普遍性的数学描述[]
许多或是的基本定律都可以写成微分方程的形式。在及中，微分方程用来作为复杂系统的。微分方程的数学理论最早是和方程对应的科学领域一起出现，而微分方程的解就可以用在该领域中。不过有时二个截然不同的科学领域会形成相同的微分方程，此时微分方程对应的数学理论可以看到不同现象后面一致的原则。
例如考虑光和声音在空气中的传播，以及池塘水面上的波动，这些都可以用同一个二阶的偏微分方程来描述，此方程即为，因此可以将光和声音视为一种波，和水面上的水波有些类似之处。所发展的热传导理论，其统御方程是另一个二阶偏微分方程－，看似和热传导不同，但也适用同一个统御方程，而经济学中的布莱克-休斯方程也和热传导方程有关。
微分方程的解[]
微分方程的解通常是一个表达式（含一个或多个待定常数，由初始条件确定）。例如：
其中是待定常数；
例如，如果知道
简易微分方程的求解方法[]
一阶线性常微分方程[]
对于一阶线性常微分方程，常用的方法是常数变易法：
对于方程：
可知其通解：
然后将这个通解代回到原式中，即可求出的值
二阶常系数齐次常微分方程[]
对于二阶常系数齐次常微分方程，常用方法是求出其特征方程的解
对于方程：
其特征方程：
根据其特征方程，判断根的分布情况，然后得到方程的通解：
一般的通解形式为 （在的情况下）:
（在的情况下）:
（在共轭复数根的情况下）：
约束条件[]
微分方程的约束条件是指其解需符合的条件，依常微分方程及偏微分方程的不同，有不同的约束条件。
常见的约束条件是函数在特定点的值，若是高阶的微分方程，会加上其各阶导数的值，有这类约束条件的常微分方程称为。
若是二阶的常微分方程，也可能会指定函数在二个特定点的值，此时的问题即为。若指定二点数值，称为（第一类边值条件），此外也有指定二个特定点上导数的边界条件，称为（第二类边值条件）等。
常见的问题以为主，不过边界条件则是指定一特定的值或导数需符定特定条件。
解的存在性及唯一性[]
存在性是指给定一微分方程及约束条件，判断其解是否存在。唯一性是指在上述条件下，是否只存在一个解。
针对常微分方程的，可判别解的存在性，则可以判别解的存在性及唯一性。
针对偏微分方程，可以判别解的存在性及唯一性。 可以判断常微分方程的解是否存在。
微分方程的起源约在十七世纪末，为了解决物理及天文学问题而产生，大约和微积分的发展同时。在1693年的《教师学报》中提到常微分方程，在1691年建立的微分方程，并求得其函数。微分方程在十八世纪中期成为一个独立的学科[4]，而微分方程也带动许多当时的科学发展，例如海王星的发现就和微分方程的分析有关[5]。
偏微分方程是由开始的，他在1822年发表《热的解析理论》，提出的偏微分方程，并且利用求得级数解，并且开始有关的研究。另外在十九世纪有关 的研究也是偏微分方程的重要发展。和都有许多的贡献，后来提出了相关及等概念，并带动、及后来相关的研究。而的及弹性介质的也是在十九世纪提出的偏微分方程。[5]。后来许多的理论都是以偏微分方程的形式出现，的基础方程式也是偏微分方程，中的也有类似偏微分的。
相关概念[]
（DDE）是一个单一自变数的方程，此变数一般称为时间，未知数在某一时间的导数和特定函数在之前时间的值有关。
（SDE）是一个未知数为，且方程中有包括已知随机过程（例如)的方程，不过虽名为微分方程，其中没有微分项。
（DAE）是包括自变数微分项的方程，但是为自变数微分项的。
和差分方程的关系[]
微分方程的理论和的理论有密切的关系，后者的座标只允许离散值，许多计算微分方程数值解的方法或是对于微分方程性质的研究都需要将微分方程的解近似为对应差分方程的解。
著名的微分方程[]
物理及工程[]
中的经典力学中的经典力学中的中的中的热力学中的定义的中的中的中的中的流体力学中的中的中的，其解包括了浑沌现象
–生物族群增长模型–生物个体增长模型–掠食者和猎物的动态模型–应用在中–神经的
参考资料[]
^ 1.0 1.1 1.2 刘睦雄; 张任业. 微分方程. 华泰书局. 1988. ^ 2.0 2.1 翁秉仁. . EpisteMath. 中央研究院数学所、台大数学系. [] （中文）.^ , Clay Mathematics Institute.^ . 高等数学. 北京航空航天大学现代远程教育学院. [] （中文）.^ 5.0 5.1 . 中国科学技术大学. [] （中文）.
参考文献[]
D. Zwillinger, Handbook of Differential Equations (3rd edition), Academic Press, Boston, 1997.A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. .W. Johnson, , John Wiley and Sons, 1913, in E. L. Ince, Ordinary Differential Equations, Dover Publications, 1956E. A. Coddington and N. Levinson, Theory of Ordinary Differential Equations, McGraw-Hill, 1955P. Blanchard, R. L. Devaney, G. R. Hall, Differential Equations, Thompson, 2006P. Abbott and H. Neill, Teach Yourself Calculus, 2003 pages 266-277R. I. Porter, Further Elementary Analysis, 1978, chapter XIX Differential Equations
TA的推荐TA的最新馆藏[转]&[转]&
喜欢该文的人也喜欢齐次方程_百度百科
声明：百科词条人人可编辑，词条创建和修改均免费，绝不存在官方及代理商付费代编，请勿上当受骗。
方程（homogeneous equation）是数学的一个方程。指简化后的方程中所有非零项的相等。也叫所含各项关于未知数的次数。其方程左端是含未知数的项，右端等于零。通常齐次方程是求解问题的过渡形式，化为齐次方程后便于求解。
齐次方程定义一
1、所含各项关于未知数具有相同次数的方程,例如
等。它们的左端,都是的或齐次多项式。2、右端为零的方程(组)亦称为齐次方程(组)，例如齐次()、齐次微分方程等。
齐次方程定义二
1、乘积的。
等等为线性方程当
时称为齐次方程。
2、如果一个一阶微分方程
的函数，即
，则这个方程是齐次方程。
齐次方程释义
“齐次”从词面上解释是“次数相等”的意思。
微分方程中有两个地方用到“齐次”的叫法：
的方程称为“齐次方程”，这里是指方程中每一项关于x、y的次数都是相等的，例如
都算是二次项，而
算0次项，方程
中每一项都是0次项，所以是“齐次方程”。
（其中p和q为关于x的函数）的方程称为“齐次线性方程”，这里“线性”是指方程中每一项关于未知函数y及其导数y',y'',……的次数都是相等的（都是一次），“齐次”是指方程中没有自由项（不包含y及其导数的项），方程
就不是“齐次”的，因为方程右边的项x不含y及y的导数，因而就要称为“非齐次线性方程”。
另外在里也有“齐次”的叫法，例如
称为二次齐式，即二次齐次式的意思，因为f中每一项都是关于x、y的二次项。
齐次方程齐次方程的形式
如果一阶微分方程
的函数，即
，则称这方程为齐次方程。例如
是齐次方程，因为其可化为
齐次方程齐次方程的特点和解法
（1）特点：方程中每一项的次方相同，且都可以化为一般形式
（2）解法：令
，于是原方程可化为
，成为可分离变量的微分方程，求解后再用
即得原方程的通解。[2]
齐次方程可化为齐次方程的微分方程
为常数，且
解出h与k，可将原方程化为齐次方程
，代入原方程后可化为可分离变量的微分方程，既有
陆美芳，欧志旋主编．高等数学．南宁：广西人民出版社，2008.08：139
张天德，刘长文编．高等数学同步精讲．济南：山东科学技术出版社，2012.10：206-207
本词条内容贡献者为
副研究员审核
中国科学院微电子研究所}