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海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文科）2015.1本试卷共 4 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项。 （1）已知全集 U ? {x ? R | x ? 0} ，集合 A ? {x ? R | x ? 2} ，则 CU A ? （ （A） {x ? R | x ? 2} （C） {x ? R | x ? 2} （2）如图所示，在复平面内，点 A 对应的复数为 z ， 则 z ?（A）（B） {x ? R | 0 ? x ? 2} （D） {x ? R | 0 ? x ? 2}y 1 O x）-2（A） 1 ? 2i（B） 1 ? 2i（C） ?2 ? i（D） ?2 ? i ）（3）已知直线 l1 : ax ? (a ? 2) y ? 1 ? 0 ， l2 : ax ? y ? 2 ? 0 . 若 l1 ∥ l2 ，则实数 a 的值是（ （A） 0 或 ?3 （B） 2 或 ?1 （C ） 0 （D） ?3（4）当向量 a ? c ? (?1,1) ，b ? (1, 0) 时，执行如图 所示的程序框图，输出的 i 值为（ ）（A） 5（B） 4（C） 3（D） 2（5）为了解某年级女生五十米短跑情况，从该年级 中随机抽取 8 名女生进行五十跑测试，她们的测 试成绩（单位：秒）的茎叶图（以整数部分为茎，第 1 页 共 82 页7 8 98 6 11 58 78小数部分为叶）如图所示.由此可估计该年级女生 五十米跑成绩及格 （及格成绩为 9.4 秒） 的概率为 （ ） （B） 0.625 （C） 0.5 （D） 0.125（A） 0.375（6）已知函数 f ( x) ? log2 ( x ? a) ? log2 ( x ? a)(a ? R) . 命题 p : ?a ? R ，函数 f ( x ) 是偶函数；命题 q : ?a ? R ，函数 f ( x) 在定义域内是增函数. 那么下列命题为真命题的 是（ ）（B） p ? q3（A） ? q（C） (?p) ? qV（D） p ? (?q)（7）某堆雪在融化过程中，其体积 V （单位： m ） 与 融化 时间 t （ 单位 ： h ）近 似满 足函 数关系 ：V (t ) ? H (10 ?1 3 t ) （ H 为常数） ，其图象如图所 10示 . 记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为v(m3 / h) . 那么瞬时融化速度等于 v(m3 / h) 的时刻是图中的（ ）O t1 t2 t3 t4 100 t（A） t1（B） t 2（C ） t 3（D） t 4E 为底面 ABCD 上的动点. 若三棱锥 B ? D1EC 的表 （8）在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中，点面积最大，则 E 点位于（ ）（A）点 A 处 （C）线段 AB 的中点处（B）线段 AD 的中点处 （D）点 D 处第 2 页 共 82 页二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 （9）抛物线 y ? ?2 x 的焦点坐标是______．2（10） 若双曲线 x ?2y2 ? 1的一条渐近线的倾斜角为 60 ? ， m.正（主）视图4则m?（ 11 ）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为 ________.侧（左）视图3?2 x ? y ? 2≤0, ? （ 12 ）设不等式组 ? x ? y ? 1 ≥ 0, 表示的平面区域为 D . ? x ? y ? 1≥ 0 ?则区域 D 上的点到坐标原点的距离的最小值是__ _ __．4 俯视图（13）在等比数列 {an } 中，若 a1 ? ?24 ， a4 ? ? 时， {an } 的前 n 项积 最大. ．8 ，则公比 q ? ________；当 n ? ________ 9（14）已知O : x2 ? y 2 ? 1. 若直线 y ? kx ? 2 上总存在点 P ，使得过点 P 的 O 的两条切线互相垂直，则实数 k 的取值范围是_________.三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 （15） （本小题满分 13 分）第 3 页 共 82 页( x? ? )( 0? ? ? 函 数 f ( x) ? co sπ示. （Ⅰ）写出 ? 及图中 x0 的值；π )的 部 分 图 象 如 图 所 2y1 2 O x0 x（Ⅱ）求 f ( x ) 在区间 [? , ] 上的最大值和最小值.1 1 2 3（16） （本小题满分 13 分） 某中学在高二年级开设大学先修课程《线性代数》 ，共有 50 名同学选修，其中男同学 30 名，女同学 20 名. 为了对这门课程的教学效果进行评估，学校按性别采用分层抽样的方法抽 取 5 人进行考核. （Ⅰ）求抽取的 5 人中男、女同学的人数； C C1 （Ⅱ）考核前，评估小组打算从选出的 5 人中随机 选出 2 名同学进行访谈， 求选出的两名同学 中恰有一名女同学的概率； （Ⅲ） 考核分答辩和笔试两项. 5 位同学的笔试成绩 分别为 115，122，105， 111，109；结合答辩情 况， 他们的考核成绩分别为 125， 132， 115， 121， 119.这 5 位同学笔试成绩与考核成绩的方差分别记2 2 2 2 为 s1 ， s2 ，试比较 s1 与 s2 的大小. （只需写出结B A A1B1论）（17） （本小题满分 14 分） 如图所示，在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中， AA 1C1C 是菱形，平面 1B 1B 为正方形， BBAA1B1B ? 平面 BB1C1C .（Ⅰ）求证： BC // 平面 AB1C1 ； （Ⅱ）求证： B1C ? AC1 ；CC1BB1 A1（Ⅲ） 设点 E , F , H , G 分别是 B1C, AA 1, A 1B 1, B 1C1 的中点， 试判断 E , F , H , G 四点是否共面，并说明理由.A第 4 页 共 82 页（18） （本小题满分 13 分） 已知椭圆 M : x2 ? 2 y 2 ? 2 . （Ⅰ）求 M 的离心率及长轴长； （Ⅱ）设过椭圆 M 的上顶点 A 的直线 l 与椭圆 M 的另一个交点为 B ，线段 AB 的垂直平分 线交椭圆 M 于 C , D 两点. 问：是否存在直线 l 使得 C, O, D 三点共线（ O 为坐标原点）？若 存在，求出所有满足条件的直线 l 的方程；若不存在，说明理由. （19） （本小题满分 13 分） 已知函数 f ( x) ?ex . x（Ⅰ）若曲线 y ? f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线方程为 ax ? y ? 0 ，求 x0 的值； （Ⅱ）当 x ? 0 时，求证： f ( x) ? x ； （Ⅲ） 问集合 {x ? R f ( x) ? bx ? 0}（ b ? R 且为常数） 的元素有多少个？ （只需写出结论）（20） （本小题满分 14 分） 数 列 {an } 的 前n 项 和 为 Sn ， 且 满 足 a1 ? 1 ， 2an?1 ? 2an ? p （ p 为 常 数 ，n ? 1, 2 , 3 , ）.（Ⅰ）若 S3 ? 12 ，求 Sn ； （Ⅱ）若数列 {an } 是等比数列，求实数 p 的值. （Ⅲ）是否存在实数 p ，使得数列 {1 } 满足：可以从中取出无限多项并按原来的先后次序排 an成一个等差数列？若存在，求出所有满足条件的 p 的值；若不存在，说明理由.第 5 页 共 82 页海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文）答案及评分参考一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） （1）B （5）B （2）D （6）C （3）A （7）C2015.1（4）D （8）A二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。有两空的小题，第一空 2 分，第二空 3 分） （9） (? , 0)1 2（10）3（11） 8 （14） (??, ?1] [1, ??)（12）2 2（13）1 ；4 3三、解答题（共 6 小题，共 80 分） （15） （共 13 分） 解： （Ⅰ）? 的值是π . 3??????2 分 ??????5 分4 x0 的值是 . 3（Ⅱ）由（Ⅰ）可知： f ( x) ? cos( πx ? 因为 x ? [?π ). 31 1 , ]， 2 3 π π 2π 所以 ? ? πx ? ? . 6 3 3 π 1 所以 当 πx ? ? 0 ，即 x ? ? 时， f ( x ) 取得最大值 1 ； 3 3 π 2π 1 1 当 πx ? ? ，即 x ? 时， f ( x ) 取得最小值 ? . 3 3 3 2分??????7 分 ??????10 分 ?????? 13（16） （共 13 分） 解：（Ⅰ）抽取的 5 人中男同学的人数为5 5 ? 30 ? 3 ，女同学的人数为 ? 20 ? 2 . 50 50??????4 分（Ⅱ）记 3 名男同学为 A1 , A2 , A3 ，2 名女同学为 B1 , B2 . 从 5 人中随机选出 2 名同学，所有 可能的结果有 A 1A 2, A 1A 3, A 1B 1, A 1B2 , A2 A 3 , A2 B 1 , A2 B2 , A 3B 1, A 3 B2 , B 1B2 ，共 10 个. ??????6 分第 6 页 共 82 页用 C 表示： “选出的两名同学中恰有一名女同学”这一事件，则 C 中的结果有 6 个， 它们是：A1B1, A1B2 , A2 B1 , A2 B2 , A3 B1 , A3 B2 .所以 选出的两名同学中恰有一名女同学的概率 P(C ) ?2 2 （Ⅲ）s1 . ? s2??????8 分6 3 ? . 10 5??????10 分 ??????13 分（17） （共 14 分） 证明： （Ⅰ）在菱形 BB1C1C 中， BC ∥ B1C1 . 因为 BC ? 平面 AB1C1 ， B1C1 ? 平面 AB1C1 ， 所以 BC // 平面 AB1C1 . （Ⅱ）连接 BC1 . 在正方形 ABB1 A 1. 1 中， AB ^ BB 因为 平面 AA 1C1C ，平 面 AA 1B 1 B ? 平 面 BB 1B 1B ??????3 分AB ? 平 面 平面 BB 1C 1 C? BB 1，ABB1 A1 ，所以 AB ^ 平面 BB1C1C . 因为 B1C ? 平面 BB1C1C ， 所以 AB ^ B1C . ??????6 分B B1 A1??????5 分CC1在菱形 BB1C1C 中， BC1 ^ B1C . 因 为ABC1 ? 平 面 ABC1 ， AB ? 平 面 ABC1 ，BC1AB = B ，??????8 分所以 B1C ^ 平面 ABC1 . 因为 AC1 ? 平面 ABC1 ， 所以 B1C ? AC1 . （Ⅲ） E , F , H , G 四点不共面. 理由如下： 因为 E , G 分别是 B1C, B1C1 的中点，第 7 页 共 82 页??????10 分 ??????11 分所以 GE ∥ CC1 . 同理可证： GH ∥ C1 A1 . 因为CC1 EGGE ? 平 面 E H G， GH ? 平 面 E H G，B H A F A1 B1GE GH = G ， CC1 ? 平 面 AAC 1 1C ， A 1C1 ? 平 面AAC 1 1C ，所以 平面 EHG ∥平面 AAC 1 1C . 因为 F ? 平面 AAC 1 1C ， 所以 F ? 平面 EHG ，即 E , F , H , G 四点不共面.??????14 分（18） （共 13 分）x2 ? y 2 ? 1，则 a ? 2, b ? 1. 解： （Ⅰ）由题意可知椭圆 M 的标准方程为： 2所以 椭圆 M 的长轴长为 2 2 . 因为 c ? a ? b ? 1，2 2??????2 分所以 e ?c 2 2 ，即 M 的离心率为 . ? a 2 2??????4 分（Ⅱ）若 C, O, D 三点共线，由 CD 是线段 AB 的垂直平分线可得：OA ? OB .分 由（Ⅰ）可得 A(0,1) ，设 B( x0 , y0 ) .2 2 所以 x0 ? y0 ? 1. 2 2 又因为 x0 ? 2 y0 ? 2，??????6??????7 分① ② ??????10 分由①②可得： ?? x0 ? 0, ? x0 ? 0, （舍） ，或 ? ? y0 ? 1 ? y0 ? ?1.??????11 分第 8 页 共 82 页当?? x0 ? 0, 时，直线 l 的方程为 x ? 0 ，显然满足题意. ? y0 ? ?1??????13 分所以 存在直线 l 使得 C, O, D 三点共线， 直线 l 的方程为 x ? 0 .（19） （共 13 分）ex x ? ex （Ⅰ）解： f '( x) ? . x2因为 切线 ax ? y ? 0 过原点 (0, 0) ，??????1 分e x0 e x0 x0 ? e x0 x 所以 ? 0 . 2 x0 x0解得：x0 ? 2 .??????3 分??????4 分f ( x) e x e x ( x 2 ? 2 x) ? 2 ( x ? 0) ，则 g '( x) ? （Ⅱ）证明：设 g ( x) ? . x x x4令 g '( x) ?e x ( x 2 ? 2 x) ? 0 ，解得 x ? 2 . x4??????6 分x 在 (0, ??) 上变化时， g '( x), g ( x) 的变化情况如下表xg '( x )(0, 2)K2(2, ++ J)0g ( x)e2 4e2 所以 当 x ? 2 时， g ( x) 取得最小值 . 4所以 当 x ? 0 时， g ( x) ???????8 分e2 41 ，即 f ( x) ? x .??????9 分（Ⅲ）解：当 b ? 0 时，集合 {x ? R f ( x) ? bx ? 0}的元素个数为 0； 当0 ? b ?e2 时，集合 {x ? R f ( x) ? bx ? 0}的元素个数为 1； 4第 9 页 共 82 页当b ?e2 时，集合 {x ? R f ( x) ? bx ? 0}的元素个数为 2； 4 e2 时， 集合 {x ? R f ( x) ? bx ? 0}的元素个数为 3. 4??????13 分当b ?（20） （共 14 分） 解： （Ⅰ）因为 a1 ? 1 ， 2an?1 ? 2an ? p ， 所以 2a2 ? 2a1 ? p ? 2 ? p ， 2a3 ? 2a2 ? p ? 2 ? 2 p . 因为 S3 ? 12 ， 所以 2 ? 2 ? p ? 2 ? 2 p ? 6 ? 3 p ? 24 ， 即 p ? 6. 所以 an?1 ? an ? 3(n ? 1, 2,3, ?????? 2 分).所以 数列 {an } 是以 1 为首项，3 为公差的等差数列. 所以 Sn ? 1? n ?n(n ? 1) 3n 2 ? n ?3 ? . 2 2?????? 4 分2 （Ⅱ）若数列 {an } 是等比数列，则 a2 ? a1a3 .由（Ⅰ）可得： (1 ? 解得： p ? 0 .p 2 ) ? 1? (1 ? p) . 2?????? 6 分当 p ? 0 时，由 2an?1 ? 2an ? p 得： an?1 ? an ?? 1.显然，数列 {an } 是以 1 为首项，1 为公比的等比数列. 所以 p ? 0 . （Ⅲ）当 p ? 0 时，由（Ⅱ）知： an ? 1(n ? 1, 2,3, 所以 ?????? 7 分).1 1 ? 1(n ? 1, 2,3, ) ，即数列 { } 就是一个无穷等差数列. an an所以 当 p ? 0 时，可以得到满足题意的等差数列.第 10 页 共 82 页当 p ? 0 时，因为 a1 ? 1 ， 2an?1 ? 2an ? p ，即 an ?1 ? an ?p ， 2所以 数列 {an } 是以 1 为首项，p 为公差的等差数列. 2所以 an ?p p n ?1? . 2 2下面用反证法证明：当 p ? 0 时，数列 { 差数列. 假设存在 p0 ? 0 ，从数列 { 列 {bn } 的公差为 d . ①当 p0 ? 0 时， an ? 0(n ? 1, 2,3,1 } 中不能取出无限多项并按原来次序排列而成等 an1 } 中可以取得满足题意的无穷等差数列，不妨记为 {bn } . 设数 an).所以 数列 {bn } 是各项均为正数的递减数列. 所以 d ? 0 . 因为 bn ? b1 ? (n ?1)d (n ? 1, 2,3, 所以 当 n ? 1 ?)，b1 b 时， bn ? b1 ? (n ? 1)d ? b1 ? (1 ? 1 ? 1)d ? 0 ，这与 bn ? 0 矛盾. d dp0 p 2 n ? 1 ? 0 ? 0 ，解得： n ? 1 ? . 2 2 p0②当 p0 ? 0 时，令所以 当 n ? 1 ?2 时， an ? 0 恒成立. p0所以 数列 {bn } 必然是各项均为负数的递增数列. 所以 d ? 0 . 因为 bn ? b1 ? (n ?1)d (n ? 1, 2,3, 所以 当 n ? 1 ?)，b1 b 时， bn ? b1 ? (n ? 1)d ? b1 ? (1 ? 1 ? 1)d ? 0 ，这与 bn ? 0 矛盾. d d?????? 14 分综上所述， p ? 0 是唯一满足条件的 p 的值.第 11 页 共 82 页北京市西城区 2014 ― 2015 学年度第一学期期末试卷高三数学（文科）第Ⅰ卷（选择题共 40 分）2015.1一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符 合题目要求的一项． 1．设集合 A ? {?1, 0,1, 2} ， B ? {x | x2 ? x} ，则集合 A （A） {?1, 0,1} （B） {?1, 2}B?（） （D） {?1,1, 2}（C） {0,1, 2}2．设命题 p ： ?x ? 0, 2x ? log2 x ，则 ? p 为（ （A） ?x ? 0, 2x ? log2 x （C） ?x ? 0, 2x ? log2 x） （B） ?x ? 0, 2x ≤log2 x （D） ?x ? 0, 2x≥log2 x3．在锐角 ? ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c. 若 a ? 2b ，sin B ?3 ，则（ 42 3）（A） A ?? 3（B） A ?? 6（C） sin A ?3 3（D） sin A ?4．执行如图所示的程序框图，输出的 x 值为（ （A） 4 （B） 5 （C） 6 （D） 7）开始 a=2，x=3y ? axy ? 10 x ? 3是 输出 x 结束 否 x=x+15．设函数 y ? f ( x) 的定义域为 R ，则“ f (0) ? 0 ”是“函数 f ( x) 为奇函数”的（第 12 页 共 82 页）（A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件（B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件6. 某天，甲要去银行办理储蓄业务，已知银行的营业时间为 9：00 至 17：00，设甲在当天 13：00 至 18：00 之间任何时间去银行的可能性相同，那么甲去银行恰好能办理业务的概率是 （ ） （A）1 3（B）3 4（C）5 8（D）4 57．设抛物线 W : y 2 = 4 x 的焦点为 F， 过 F 的直线与 W 相交于 A， B 两点， 记点 F 到直线 l： x= - 1 的距离为 d ，则有（ （A） | AB | ≥2d （C） | AB | ≤2d ） （B） | AB |= 2d （D） | AB |& 2d8. 如图，在空间四边形 ABCD 中，两条对角线 AC , BD 互相垂直，且长度分别为 4 和 6，平行 于这两条对角线的平面与边 AB, BC, CD, DA 分别相交于点 E , F , G, H ， 记四边形 EFGH 的面积 为 y，设BE = x ，则（ AB）（A）函数 y = f ( x) 的值域为 (0, 4] （B）函数 y = f ( x) 的最大值为 8 A H E B F D2 （C）函数 y = f ( x) 在 (0, ) 上单调递减 3（D）函数 y = f ( x) 满足 f ( x) = f (1- x)GC第Ⅱ卷（非选择题共 110 分）第 13 页 共 82 页二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 9. 复数 z ?i ，则 | z |? ______. 1? i10．设平面向量 a , b 满足 | a |? 3 ， | b |? 2 ， a ? b ? ?3 ，那么 a , b 的夹角 ? ? ____.2 11．一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最 长棱的棱长为_____. 1 1 正(主)视图2 1 侧(左)视图1 1 俯视图 12．设 F1 , F2 为双曲线 C：x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点，且直线 y ? 2 x 为双曲线 a 2 b2C 的一条渐近线，点 P 为 C 上一点，如果 | PF 1 | ? | PF2 |? 4 ，那么双曲线 C 的方程为____； 离心率为_____.13. 某小学教师准备购买一些签字笔和铅笔盒作为奖品， 已知签字笔每支 5 元， 铅笔盒每个 6 元，花费总额不能超过 50 元. 为了便于学生选择，购买签字笔和铅笔盒的个数均不能少于 3 个，那么该教师有_______种不同的购买奖品方案.?| x ? a |, x≤1, 14. 设函数 f ( x) ? ? ?log 3 x, x ? 1.（1）如果 f (1) ? 3 ，那么实数 a ? ___； （2）如果函数 y ? f ( x) ? 2 有且仅有两个零点，那么实数 a 的取值范围是___.第 14 页 共 82 页三、 解答题： 本大题共 6 小题， 共 80 分． 解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤． 15． （本小题满分 13 分）2 已知函数 f ( x) ? 1 ? 2sin ( x ? ) ，x∈R .π 4（Ⅰ）求函数 f ( x ) 的最小正周期； （Ⅱ）判断函数 f ( x ) 在区间 [ ?π π , ] 上是否为增函数？并说明理由. 6 616． （本小题满分 13 分） 已知数列 {an } 满足 a2 ? 5 ，且其前 n 项和 Sn ? pn2 ? n ． （Ⅰ）求 p 的值和数列 {an } 的通项公式； （Ⅱ）设数列 {bn } 为等比数列，公比为 p ，且其前 n 项和 Tn 满足 T5 ? S5 ，求 b1 的取值范 围．17． （本小题满分 14 分） 如图，在四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中， A1 A ? 底面 ABCD ，?BAD ? 90 ， AD // BC ， 且 A1 A ? AD ? 2BC ? 2 ， AB ? 1 . 点 E 在棱 AB 上，平面 A 相交于点 F. 1EC 与棱 C1 D 1 （Ⅰ）求证： A1F ∥平面 B1CE ； A1 （Ⅱ）求证： AC ? 平面 CDD1C1 ； （Ⅲ）写出三棱锥 B1 ? A1EF 体积的取值范围. （结论不 要求证明） B A E C D B1 C1 F D118． （本小题满分 13 分） 最近，张师傅和李师傅要将家中闲置资金进行投资理财. 现有两种投资方案，且一年后 投资盈亏的情况如下： （1） 投资股市：第 15 页 共 82 页投资结果 概 （2） 购买基金： 投资结果 概 （Ⅰ）当 p = 率 率获利不赔不赚亏损1 21 83 8获利不赔不赚亏损p1 3q1 时，求 q 的值； 2（Ⅱ）已知“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，求 p 的取值范围；（Ⅲ）已知张师傅和李师傅两人都选择了“购买基金”来进行投资，假设三种投资结果出现的可能性相同，求一年后他们两人中至少有一人获利的概率． 19． （本小题满分 14 分） 已知椭圆 C：x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为 F，右顶点为 A，离心率为 e，点 P(m,0)(m ? 4) 满 16 12足条件| FA | ?e. | AP |（Ⅰ）求 m 的值； （Ⅱ）设过点 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 M，N 两点，记 ?PMF 和 ?PNF 的面积分别为S1 ， S2 ，若 S1 ? 2S2 ,求直线 l 的方程.20． （本小题满分 13 分） 对于函数 f ( x), g ( x) ，如果它们的图象有公共点 P，且在点 P 处的切线相同，则称函数f ( x) 和 g ( x) 在点 P 处相切，称点 P 为这两个函数的切点.设函数 f ( x) ? ax2 ? bx(a ? 0) , g ( x) ? ln x . （Ⅰ）当 a ? ?1 , b ? 0 时, 判断函数 f ( x) 和 g ( x) 是否相切？并说明理由； （Ⅱ）已知 a ? b ， a ? 0 ，且函数 f ( x) 和 g ( x) 相切，求切点 P 的坐标； （Ⅲ）设 a ? 0 ，点 P 的坐标为 ( , ?1) ，问是否存在符合条件的函数 f ( x) 和 g ( x) ，使 得它们在点 P 处相切？若点 P 的坐标为 (e , 2) 呢？（结论不要求证明）21 e北京市西城区 2014 ― 2015 学年度第一学期期末第 16 页 共 82 页高三数学（文科）参考答案及评分标准2015.1 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 1．B 5．B 2．B 6．D 3．A 7．A 4 ．C 8．D二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9．2 210． 12．2π 311. 2 2 13． 9 注：第 12，14 题第一问 2 分，第二问 3 分.x2 y 2 ? ?1 4 165(? 1 , 3 ]14． ?2 或 4三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15． （本小题满分 13 分） （Ⅰ）解：因为 f ( x) ? 1 ? 2sin 2 ( x ? )π 4π ? cos 2( x ? ) 4分?????? 3? sin 2 x ，分?????? 52π ? π. 2 π π （Ⅱ）解：结论：函数 f ( x ) 在区间 [ ? , ] 上是增函数. 6 6所以函数 f ( x) 的最小正周期 T ? 分 理由如下：?????? 7 分 ?????? 9π π ≤ 2 x ≤ 2kπ ? ， 2 2 π π 解得 kπ ? ≤ x ≤ kπ ? ， 4 4由 2kπ ? 所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 [ kπ ? 分π π , kπ ? ] ， (k ? Z) . 4 4?????? 12第 17 页 共 82 页当 k ? 0 时，知 f ( x) 在区间 [ ? 所以函数 f ( x ) 在区间 [ ?π π , ] 上单调递增， 4 4?????? 13 分π π , ] 上是增函数. 6 616． （本小题满分 13 分） （Ⅰ）解：由题意，得 S1 ? p ? 1 ， S2 ? 4 p ? 2 ， 因为 a2 ? 5 ， S2 ? a1 ? a2 ， 所以 S2 ? 4 p ? 2 ? p ? 1 ? 5 ， 解得 p ? 2 . 分2 所以 Sn ? 2n ? n ．?????? 3当 n≥2 时，由 an ? Sn ? Sn ?1 ， 得 an ? (2n2 ? n) ? [2(n ? 1)2 ? (n ? 1)] ? 4n ? 3 . 验证知 n ? 1 时， a1 符合上式， 所以 an ? 4n ? 3 ， n ? N* . 分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ） ，得 Tn ? 分 因为 T5 ? S5 ，5 2 所以 b1 (2 ? 1) ? 2 ? 5 ? 5 ，?????? 5 分 ?????? 7 分?????? 8b1 (1 ? 2n ) ? b1 (2n ? 1) . 1? 2?????? 10解得 b1 ?45 ． 31?????? 12 分又因为 b1 ? 0 ， 所以 b1 的取值范围是 (??,0) 分(0,45 )． 31?????? 13第 18 页 共 82 页17． （本小题满分 14 分） A1 （Ⅰ）证明：因为 ABCD ? A1B1C1D1 是棱柱， 所以平面 ABCD∥ 平面 A1B1C1D1 . 又因为平面 ABCD 平面 A 1B 1C1D 1 所以 A1F ∥ CE . 又 A1F ? 平面 B1CE ， CE ? 平面 B1CE ， 所以 A1F ∥平面 B1CE . 分 （Ⅱ）证明：在四边形 ABCD 中， 因为 ?BAD ? 90 ， AD // BC ,且 AD ? 2 BC ， AD ? 2 ， AB ? 1 ，2 2 2 所以 AC 2 ? 12 ? 12 ? 2 ， CD ? 1 ? 1 ? 2 . 2 2 2 所以 AC ? CD ? AD ，D1 C1 FB1平面 A1ECF ? EC ， BA E CD平面 A1ECF ? A1F ，???????3 分??????? 6所以 ?ACD ? 90 ，即 AC ? CD . 分 因为 A1 A ? 平面 ABCD，AC ? 平面 ABCD ， 所以 A1 A ? AC . 因为在四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中， A1 A//C1C ， 所以 C1C ? AC . 又因为 CD, C1C ? 平面 CDD1C1 ， CD 所以 AC ? 平面 CDD1C1 .???????7???????9 分C1C ? C ，???????11 分 ???????14 分1 2 （Ⅲ）解：三棱锥 B1 ? A1EF 的体积的取值范围是 [ , ] . 3 318． （本小题满分 13 分）第 19 页 共 82 页（Ⅰ）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三 种 且三种投资结果相互独立，1 所以 p + + q =1. 3?????? 2分 又因为 p =1 ， 2?????? 3 分1 所以 q = ． 6（Ⅱ）解：由“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小， 得 q& 因为3 ， 81 p + + q =1， 3?????? 4 分所以 q =2 3 7 . - p & ，解得 p & 3 8 24?????? 7 分又因为 p + 所以 p≤ 所以1 + q = 1 ， q≥0 ， 32 . 3?????? 8 分7 2 & p≤ . 24 3（Ⅲ）解：记事件 A 为 “一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利” ， ???? 9 分 用 a ， b ， c 分别表示一年后张师傅购买基金“获利” 、 “不赔不赚” 、 “亏损” ，用 x ，y ， z 分别表示一年后李师傅购买基金“获利” 、 “不赔不赚” 、 “亏损” ，则一年后张师傅和李师傅购买基金，所有可能的投资结果有 3 ? 3 ? 9 种， 它们是：( a, x ) ， (a, y) ， ( a, z ) ， (b, x) ， (b, y ) ， (b, z ) ， (c, x) ， (c, y ) ， (c, z ) ，?????10 分所以事件 A 的结果有 5 种，它们是： ( a, x ) ， (a, y) ， ( a, z ) ， (b, x) ， (c, x) . ????? 11 分 因此这一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利的概率 P( A) ?5 . ????13 分 919． （本小题满分 14 分）第 20 页 共 82 页（Ⅰ）解：因为椭圆 C 的方程为x2 y 2 ? ? 1， 16 12??????2所以 a ? 4 , b ? 2 3 , c ? a2 ? b2 ? 2 , 分c 1 ? ，| FA |? 2 ，| AP |? m ? 4 . a 2 | FA | 2 1 因为 ? ? ， | AP | m ? 4 2则 e? 所以 m ? 8 . 分 （Ⅱ）解：若直线 l 的斜率不存在，则有 S1 ? S 2 ，不合题意. 分??????3 分??????5??????6若直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ， M ( x1 , y1 ) ， N ( x2 , y2 ) .? x2 y2 ? ? 1, 由 ? ? 16 12 ? ? y ? k ( x ? 2),得 (4k 2 ? 3) x2 ?16k 2 x ? 16k 2 ? 48 ? 0 ， 可知 ? ? 0 恒成立，且 x1 ? x2 ? 分 因为 ?PMF 和 ?PNF 的面积分别为 S1 ? 所以 ?????? 7 分 ?????? 816k 2 16k 2 ? 48 ， . x x ? 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 31 1 | PF | ? | y1 | ， S 2 ? | PF | ? | y2 | , 2 2?????? 9 分S1 | y1 | y ? ? ? 1 ? 2. S 2 | y2 | y2即 y1 ? ?2 y2 .2 所以 y1 ? y2 ? ? y2 ， y1 y2 ? ?2 y2 ? ?2( y1 ? y2 )2 ，?????? 11分 则 k ( x1 ? 2) ? k ( x2 ? 2) ? ?2[k ( x1 ? 2) ? k ( x2 ? 2)]2 ， 即 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? ?2( x1 ? x2 ? 4) 2 ，16k 2 ? 48 16k 2 16k 2 ? 2 ? ? 4 ? ? 2 ( ? 4) 2 ， 2 2 2 4k ? 3 4k ? 3 4k ? 3 5 解得 k ? ? . 2即第 21 页 共 82 页?????? 13 分所以直线 l 的方程为 y ?5 5 ( x ? 2) 或 y ? ? ( x ? 2) . 2 2?????? 14 分20． （本小题满分 13 分） （Ⅰ）解：结论：当 a ? ?1 , b ? 0 时,函数 f ( x) 和 g ( x) 不相切. 理由如下： 由条件知 f ( x) ? ? x2 ， 由 g ( x) ? ln x ，得 x ? 0 ， 又因为 f ?( x) ? ?2 x ， g ?( x) ? 1 ， x 分 所以当 x ? 0 时， f ?( x) ? ?2 x ? 0 ， g ?( x) ? 1 ? 0 ， x 所以对于任意的 x ? 0 ， f ?( x) ? g ?( x) . 当 a ? ?1 , b ? 0 时,函数 f ( x) 和 g ( x) 不相切. （Ⅱ）解：若 a ? b ，则 f ?( x) ? 2ax ? a ， g ?( x) ? 设切点坐标为 ( s, t ) ，其中 s ? 0 , 由题意，得 as 2 ? as ? ln s ， ① ② ???????4 分 ???????3 分 ???????2 ???????1 分1 ， x2as ? a ?由②，得 a ?1 ， s1 ， s (2 s ? 1) s ?1 代入①，得 ? ln s . 2s ? 1分（*）???????51 ? 0 ，且 s ? 0 ， s(2s ? 1) 1 所以 s ? . 2 x ?1 1 设函数 F ( x ) ? ? ln x ， x ? ( , ??) ， 2x ?1 2 ?(4 x ? 1)( x ? 1) 则 F ?( x) ? . x(2 x ? 1) 2因为 a ? 分 令 F ?( x) ? 0 ， 解得 x ? 1 或 x ????????61 (舍). 4第 22 页 共 82 页???????7 分当 x 变化时， F ?( x) 与 F ( x) 的变化情况如下表所示，xF ?( x) F ( x)1 ( ,1) 21 0(1, ??)?J?K ???????8分1 所以当 x ? 1 时， F ( x) 取到最大值 F (1) ? 0 ，且当 x ? ( ,1) (1, ??) 时 F ( x) ? 0 . 2因此，当且仅当 x ? 1 时 F ( x) ? 0 . 所以方程（*）有且仅有一解 s ? 1 . 于是 t ? ln s ? 0 ， 因此切点 P 的坐标为 (1, 0) . ???????9 分（Ⅲ）解：当点 P 的坐标为 ( , ?1) 时，存在符合条件的函数 f ( x) 和 g ( x) ，使得它们在点 P 处相切； ???????11 分1 e当点 P 的坐标为 (e2 , 2) 时，不存在符合条件的函数 f ( x) 和 g ( x) ，使得它们在点 P 处 相 切. 分 ???????13第 23 页 共 82 页东城区
学年第一学期期末教学统一检测 高三数学 （文科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共 5 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷 上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题要求的一项。共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 （1）已知集合 A ? x ? Z ?1 ? x ? 2 ，集合 B ? ?0， 2， 4? ，则 A??B?（A） ?0， 2? （C） ?? 1,0,2,4?2， 4? （B） ?0，（D） ?? 1,0,1,2,4?（2）下列函数中，既是奇函数，又在区间 (0， +?) 上为增函数的是 （A） y ? ln x （C） y ? 3x2 （3）设 x ? R ，则“ x ? 1 ”是“ x ? 1 ”的（B） y ? x3 （D） y ? sin x开始（A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件（B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件输入n（4）当 n ? 3 时，执行如图所示的程序框图， 输出的 S 值为 （A） 6 （C） 14 （B） 8 （D） 30k ? 1, S ? 0k ? k ?1S ? S ? 2kk ? n?否 输出 S 是3 ? （5）已知 cos ? ? ， ? ? ( ? , 0) ，则 sin 2? 的值为 4 2 3 （A） 8 3 （B） ? 83 7 （C） 83 7 （D） ? 8S结束（6）如图所示，为了测量某湖泊两侧 A ， B 间的距离，某同学首先选定了与 A ， B 不 共线的一点 C ，然后给出了四种测量方案： （△ ABC 的角 A ， B ， C 所对的边分 别记为 a ， b ， c ）第 24 页 共 82 页①测量 A ， C ， b ②测量 a ， b ， C③测量 A ， B ， a ④测量 a ， b ， BAB则一定能确定 A ， B 间距离的所有方案的序号为 （A）①②③ （C）①③④ （B）②③④ （D）①②③④（ 7 ）已 知 向量 a ? (1 , 3)， b ? (m , 2m ? 3) ， 平 面上 任 意 向量 c 都 可 以 唯一地 表 示为c ? ?a +?b (? , ? ? R) ，则实数 m 的取值范围是（A） (?? , 0) （C） (?? , ? 3)(0 , ? ?)(?3 , ? ?)（B） (?? , 3) （D） [ ?3 , 3)（8） 已知两点 M (?1, 0) ， 若直线 y ? k ( x ? 2) 上至少存在三个点 P ， 使得△ MNP N (1, 0) ， 是直角三角形，则实数 k 的取值范围是 （A） [ ? （C） [ ?1 1 , 0) (0 , ] 3 3 1 1 , ] 3 3（B） [?3 3 , 0) (0 , ] 3 3（D） [?5 , 5]第二部分（非选择题二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。共 110 分）（9）已知抛物线的方程为 y 2 ? 4 x ，则其焦点到准线的距离为________． （10）若2+i ? 1 ? mi ( m ? R) ,则 m ? ________． i（11）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体最长棱的棱长为 cm．3 4 3 3正(主)视图3侧(左)视图? x ? 1, ? （12）已知 x ， y 满足 ? x +y ? 4, 则 z ? 2 x ? y 的最大值为_______． ? x ? 2 y ? 1 ? 0, ?（13）设函数 f ( x) ? ?俯视图4?log 2 x, x ? 0, ?4 ,xx≤0,则 f ( f ( )) =________；若函数 g ( x) ? f ( x) ? k 存在1 2第 25 页 共 82 页两个零点，则实数 k 的取值范围是________． （14）某商场对顾客实行购物优惠活动，规定购物付款总额要求如下： ①如果一次性购物不超过 200 元，则不给予优惠； ②如果一次性购物超过 200 元但不超过 500 元，则按标价 给予 9 折优惠； ．． ③如果一次性购物超过 500 元，则 500 元按第②条给予优惠，剩余部分给予 7 折优惠． 甲单独购买 A 商品实际付款 100 元，乙单独购买 B 商品实际付款 ．．．．450 元，若丙一次性购 买 A ， B 两件商品，则应付款________ 元．三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15） （本小题共 13 分） 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ) （ A ? 0, ? ? 0 ）的最大值为 2 ，其图象相邻两条对称 轴之间的距离为? 6? . 2（Ⅰ）求 f ( x ) 的解析式及最小正周期； （Ⅱ）设 ? ? (0, ) ，且 f ( ) ? 1 ，求 ? 的值.? 2?2（16） （本小题共 13 分） 已知数列 ?an ? 是等差数列，数列 ?bn ? 是公比大于零的等比数列 ，且 a1 ? b1 ? 2 ，a3 =b3 ? 8 ．（Ⅰ）求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式； （Ⅱ）记 cn ? abn ，求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Sn .（17）（本小题共 14 分）第 26 页 共 82 页PB ? 底面 ABC ， 在三棱锥 P ? ABC 中， ?BCA ? 90 ，E 为 PC 的中点，M 为 AB的中点，点 F 在 PA 上，且 AF ? 2 FP . （Ⅰ）求证： AC ? 平面 PBC ； （Ⅱ）求证： CM 平面 BEF ； （Ⅲ）若 PB ? BC ? CA ? 2 ，求三棱锥 E ? ABC 的体积．（18） （本小题共 13 分） 为普及宪法知识，某中学举行了首届“宪法知识大赛”活动.为了了解本次竞赛学生的 成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为 100 分）作为样本（样本容 量为 n ）进行统计.按照 [50, 60) ， [60, 70) ， [70, 80) ， [80, 90) ， [90,100] 的分组作出频率分 布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在 [50, 60) ， [90,100] 的数据） ． （Ⅰ）求样本容量 n 和频率分布直方图中的 x ， y 的值； （Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩在 80 分以上（含 80 分）的学生中随机抽取两名学生参 加 “全民宪法知识大赛” ， 求所抽取的两名学生中至少有一人得分在 [90,100] 内的概率．频率 组距 0.040 x 0.016 0.010 y O 50 60 70 80 90 100 成绩（分）5 6 7 8 91 2 3 4 56 7 83 4（19） （本小题共 13 分）x2 2 已知椭圆 C1 ： ? y ? 1，椭圆 C2 的中心在坐标原点，焦点在 y 轴上，与 C1 有相同 4的离心率，且过椭圆 C1 的长轴端点. （Ⅰ）求椭圆 C2 的标准方程； （Ⅱ）设 O 为坐标原点，点 A ， B 分别在椭圆 C1 和 C2 上，若 OB ? 2OA ，求直线 AB 的第 27 页 共 82 页方程.（20） （本小题共 14 分） 已知函数 f ( x) ? a ln x ? bx2 ， a ， b ? R .（Ⅰ）若 f ( x ) 在 x ? 1 处与直线 y ? ?1 相切，求 a ， b 的值； 2 1 e（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求 f ( x ) 在 [ , e] 上的最大值；（Ⅲ）若不等式 f ( x) ? x 对所有的 b ? (?? , 0] ， x ? (e,e2 ] 都成立，求 a 的取值范围.第 28 页 共 82 页东城区
学年第一学期期末教学统一检测 高三数学参考答案及评分标准 （文科）一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） （1）A （5）D （2）B （6）A （3）A （7）C （4）C （8）B二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） （9） 2 （11） 34 （13） （10） ?2 （12） 71 4(0,1]（14） 520注：两个空的填空题第一个空填对得 3 分，第二个空填对得 2 分． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分） （15） （共 13 分） 解： （Ⅰ）因为函数 f ( x ) 的最大值为 2 ，所以 A ? 2 . 由图象相邻两条对称轴之间的距离为 所以 ? =2 .? ，得最小正周期 T ? ? . 2=2sin(2 x ? ) . 故函数的解析式为 f ( x）=2sin(? ? ） （Ⅱ） f ( ） ，由 f ( ) ? 1 得 sin(? ? ) ? 2 ? ? ? ? 因为 0 ? ? ? ，所以 ? ? ? ? ? . 2 6 6 3 ? ? ? 所以 ? ? ? ，故 ? = . 6 6 3 2?? 6?? 6????????????6 分? 61 . 2????????????13 分 （16） （共 13 分） 解： （Ⅰ）设等差数列 ?an ? 的公差为 d ，等比数列 ?bn ? 的公比为 q ，且 q ? 0 . 由 a1 ? 2 ， a3 ? 8 得 8=2+2d ，解得 d ? 3 . 所以 an ? 2 ? (n ?1) ? 3 ? 3n ? 1 ， n ? N .第 29 页 共 82 页?由 b1 ? 2 ， b3 ? 8 得 8=2q 2 ，又 q ? 0 ，解得 q ? 2 . 所 以bn ? 2 ?n?1?n2，2n ? N? .（ Ⅱ????????????7 分 ） 因 为cn ? abn ? 3? 2n ?1 ，所 以????????????9 分2 ? n Sn ? 3 ? ?n 1? 2? 6(= ?n ?1n.3 ? ???????????? 13 2 分（17） （共 14 分） 证明： （Ⅰ）因为 PB ? 底面 ABC ，且 AC ? 底面 ABC ， 所以 AC ? PB . 由 ?BCA ? 90 ，可得 AC ? CB ． 又 PBCB ? B ，PBC ．AC ? 所 以 ????????????5 分因为 AF ? 2 FP ， G 为 AF 中点，所以 F 为 PG 中点． 在△ PCG 中， E ， F 分别为 PC ， PG 中点， 所以 EF 所以 CG平面（Ⅱ）取 AF 的中点 G ，连结 CG ， GM ．CG ．又 CG ? 平面 BEF ， EF ? 平面 BEF ，平面 BEF ． 平面 BEF ．同理可证 GM 又 CGGM ? G ，平面 BEF ．所以平面 CMG又 CM ? 平面 CMG ， 所 以CM平面BEF ．（Ⅲ）取 BC 中点 D ，连结 ED .????????????11 分在△ PBC 中， E , D 分别为中点，所以 EDPB ．因为 PB ? 底面 ABC ,所以 ED ? 底面 ABC ．第 30 页 共 82 页PB ? BC ? CA ? 2 ， 1 1 1 V ? S ?ABC ? ED ? ? ? 2 ? ? ? ． 2 1 14 分 ????? 3 3 2由 （18） （共 13 分） 解： （Ⅰ）由题意可知，样本容量 n ?可得2 38 2 ? 50 ， y ? ? 0.004 ， 0.016 ?10 50 ?10x ? 0.100 ? 0.004 ? 0.010 ? 0.016 ? 0.040 ? 0.030 .????????????5 分（Ⅱ）由题意可知，分数在 [80, 90) 内的学生有 5 人，记这 5 人分别为 a1 ， a2 ， a 3 ， a4 ，a5 ，0的 0 ]学 生 有 2 人 ， 记 这 2 人 分 别 为 b1 ， 分 数 在 [ 9 0 , 1内b2 .????????7 分 抽取的两名学生的所有情况有 21 种，分别为： （ a1 ， a2 ） ， （ a1 ， a 3 ） ， （ a1 ， a4 ） ， （ a1 ， a 5 ） ， （ a1 ，b1 ） ， （ a1 ，b2 ） ， （ a2 ， a 3 ） ， （ a2 ， a4 ） ， （ a2 ， a 5 ） ， （ a2 ，b1 ） ， （ a2 ，b2 ） ， （ a 3 ， a4 ） ， （ a3 ， a5 ） ， （ a 3 ，b1 ） ， （ a 3 ， b2 ） ， （ a4 ， a 5 ） ， （ a4 ，b1 ） ， （ a4 ，b2 ） ， （a5，b1），（a5，b2），（b1，b2 ） .10 分??????????????????????其中两名同学的分数都不在 [90,100] 内的情况有 10 种，分别为： （ a1 ，a2 ） ， （ a1 ， ， （ a1 ，a4 ） ， （ a1 ， a 5 ） ， （ a2 ， a 3 ） ， （ a2 ，a4 ） ， （ a2 ， a 5 ） ， （ a 3 ，a4 ） ， （ a3 ， a3 ） ， （ a4 ， a 5 ）. a5 ） 所 以 抽 取 的 两 名 学 生 中 至 少 有 一 人 得 分 在 [90,100] 内 的 概 率10 11 P ?1 ? ? .??????13 分 21 21（19） （共 13 分） 解 ： （ Ⅰ ） 由C1方程可得第 31 页 共 82 页e=3 ． 2??????3 分依题意可设椭圆 C2 的方程为y 2 x2 3 ? ? 1(a ? 2) ，由已知 C1 的离心率为 ， 2 a 4 2则有a2 ? 4 3 ? ，解得 a2 ? 16 . a2 4椭 圆故C2的方程为y 2 x2 ? ? 1. 16 4????????????6 分（Ⅱ）设 A ， B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) ， ( x2 , y2 ) ，由 OB ? 2OA 及（Ⅰ）知，O ，A ，B 三点共线且点 A ，B 不在 y 轴上， 因此可设直线 AB 的方程为 y ? kx .x2 2 4 +y ? 1 中，解得 x12 ? 将 y ? kx 代入 ； 1 ? 4k 2 4将 y ? kx 代入y 2 x2 16 ? ? 1 中，解得 x2 2 ? . 4 ? k2 16 416 16 ? ，解得 k ? ?1 . 2 1+4k 4 ? k2方 程 为又由 OB ? 2OA ，得 x22 ? 4x12 ，即 故 直 线AB的y?x或y ? ?x .（20） （共 14 分）????????????13 分解： （Ⅰ） f ?( x ) ?a ? 2bx . x? f ?(1) ? 0, ?a ? 2b ? 0, 1 ? ? 由函数 f ( x ) 在 x ? 1 处与直线 y ? ? 相切，得 ? 1 即? 1 2 f (1) ? ? . ??b ? ? . ? ? 2 ? 2解 得?a ? 1, ? ? 1 b? . ? ? 2第 32 页 共 82 页????????????4 分（Ⅱ）由（Ⅰ）得 f ( x) ? ln x ?1 2 x ，定义域为 (0, ??) ． 2此时 f ?( x) ?1 1 ? x2 ?x = .令 f ?( x) ? 0 ， 解得 0 ? x ? 1 ， 令 f ?( x) ? 0 ， 得 x ?1． x x 1 ， 1 ）上单调递增，在（ 1 ， e ）上单调递减， e 1 [ , e] e所以 f ( x ) 在（所以f ( x)在上的最大值为1 f (1) ? ? ． 2????????????8 分（Ⅲ）若不等式 f ( x) ? x 对所有的 b ? (?? , 0] ， x ? (e,e2 ] 都成立， 即 a ln x ? bx 2 ? x 对所有的 b ? (?? , 0] ， x ? (e,e2 ] 都成立， 即 a ln x ? x ? bx 2 对所有的 b ? (?? , 0] ， x ? (e,e2 ] 都成立， 即 立．a ln x ? x ? 0对x ? (e,e2 ]恒成???????11 分即a ?x 对 x ? (e,e2 ] 恒成立， ln x x 在区间 (e,e2 ] 上的最大值． ln x即 a 大于或等于令 h( x ) ?ln x ? 1 x 2 = h?( x) ? 0 ， h( x) 单调递增， ，则 h?( x） 2 ，当 x ? (e,e ] 时， (ln x) ln xx e2 e2 ， x ? (e,e2 ] 的最大值为 h(e 2 ) ? ．即 a ? ． ln x 2 2所以 h( x) ?e2 , ? ?) 所以 a 的取值范围是 2 ． [????????????1第 33 页 共 82 页北京市朝阳区
学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（文史类）（考试时间 120 分钟 满分 150 分）2015.1本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分第一部分（选择题 共 40 分）一、 选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 设 i 为虚数单位，则复数 z ? 1 ? i 的模z=C.A. 1B. 22D. 2 22 2. 已知全集 U ? R ，若集合 A ? x x ? x ? 0 ，则 ? UA???A.? x x ? 0 ，或 x ? 1?B.? x x ? 0 ，或 x ? 1?C.?x 0 ? x ? 1?D. x x ? 1??3.一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4正视图侧视图俯视图第 34 页 共 82 页4.执行如右图所示的程序框图,则输出的 i 的值是A.3B.4C.5D.65.若 a , b 是两个非零的平面向量，则 “ a = b ”是“ (a + b) ? (a ? b) = 0 ”的 A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 如图，塔 AB 底部为点 B ，若 C , D 两点相距为 100m 并且与点 B 在同一水平线上，现从C , D 两点测得塔顶 A 的仰角分别为 45o 和 30o ，则塔 AB 的高约为（精确到 0.1m，3 ? 1.73 ， 2 ? 1.41 ）A. 36.5 B. 115.6 C. 120.5 D. 136.5AD第 35 页 共 82 页CB7. 已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? ?? ? x( x ? 1) x ? 1, 若直线 y ? a 与函数 f ( x ) 的图象恰有 x 2 ? 2 x ? 1, ? ?C. ? 0, 2? D. 1, 2两个公共点，则实数 a 的取值范围是 A.? 0, 2 ?B. ? 0, 2 ?? ?8. 如图，在正方体中 ABCD ? A 1B 1C1D 1 ， M 为 BC 的中点，点 N 在四边形 CDD 1C1 及其 内部运动．若 MN ? AC 1 1 ，则 N 点的轨迹为 A. 线段 B. 圆的一部分 C. 椭圆的一部分 D.双曲线的一部分D1 A1 N. B1C1D A M BC第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卡上．9. 双曲线 C :x2 ? y 2 ? 1 的离心率是 4；渐近线方程是．10.为了解某厂职工家庭人均月收入情况,调查了该厂 80 户居民月收入,列出频率分布表 如下:按家庭人 均月收入分组 (百元) 第一 组 第二 组 第三 组 第四 组 第 五组 第六 组?10,16 ?0.1?16, 22 ?0.2? 22, 28 ?0.15? 28, 34 ?a?34, 40 ? ?40,46?0.1 0.1频率则这 80 户居民中, 家庭人均月收入在 ?? 元之间的有户 （用数字作答） ；假设家庭人均月收入在第一组和第二组的为中低收入家庭,现从该厂全体职工家庭中随机 抽取一个家庭,估计该家庭为中低收入家庭的概率是第 36 页 共 82 页.11. 已知圆 C 的圆心位于第二象限且在直线 y ? 2 x ? 1 上，若圆 C 与两个坐标轴都相切，则 圆 C 的标准方程是 ______.12. 某单位有职工共 60 人，为了开展社团活动，对全体职工进行问卷调查，其中喜欢体育运 动的共 28 人， 喜欢文艺活动的共 26 人， 还有 12 人对体育运动和文艺活动都不喜欢， 则 喜欢体育运动但不喜欢文艺活动的人共有 人.? y ? 0, ? 13. 在平面直角坐标系中，若关于 x, y 的不等式组 ? y ? x, 表示一个三角形区域，则实 ? y ? k ( x ? 1) ?数 k 的取值范围是______.14. 设 f ( x) ? a1 cos2 x ? (a2 ?1)sin x cos x ? 3sin 2 x （ a12 ? a22 ? 0 ） ，若无论 x 为何值， 函数 f ( x ) 的图象总是一条直线，则 a1 ? a2 的值是______. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分 13 分） 某幼儿园有教师 30 人，对他们进行年龄状况和受教育程度的调查，其结果如下： 35 岁以下 35 ～ 50 岁 （含 35 岁 和 50 岁） 50 岁以上 本科 5 17 研究生 2 3 合计 7 20213（Ⅰ）从该幼儿园教师中随机抽取一人，求具有研究生学历的概率； （Ⅱ）从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取 2 人，求有 35 岁以下的研究生或 50 岁以上的研究生的概率. 16. （本小题满分 13 分）b = (sin x, ? cos x) ，c = (? cos x, ? sin x) ，x ? R ， 已知平面向量 a = (sin x, cos x) ，函数 f ( x) ? a ? (b ? c) .第 37 页 共 82 页（Ⅰ）求函数 f ( x ) 的单调递减区间；（Ⅱ）若 f ?2 ?? ? ，求 sin ? 的值. ?? ?2? 217. （本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥 P ? ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，PD ? 平面 ABCD ．点 E 是 线段 BD 的中点，点 F 是线段 PD 上的动点． （Ⅰ）若 F 是 PD 的中点，求证： EF //平面 PBC ； （Ⅱ）求证： CE ? BF ； （Ⅲ）若 AB ? 2 ， PD ? 3 ，当三棱锥 P ? BCF 的体积等于 上的位置，并说明理由.4 时，试判断点 F 在边 PD 3PFD E A BC18.（本小题满分 13 分） 已知公比为 q 的等比数列 ?an ? (n ? N ) 中， a2 ? 2 ，前三项的和为 7 .?（Ⅰ）求数列 ?an ? 的通项公式； （Ⅱ）若 0 ? q ? 1 ，设数列 {bn } 满足 bn ? a1 ? a2 ? ... ? a n ， n ? N ,求使 0 ? bn ? 1 的 n 的 最小值.?19. （本小题满分 13 分） 已知函数 f ( x) ? e x ? a ln x ， a ? R . （I）若 x ? 1 是 f ( x ) 的极值点，求a 的值：（Ⅱ）当 a ? e 时，求证： f ( x) ? e .第 38 页 共 82 页20. （本小题满分 14 分） 已知离心率为x2 y 2 3 的椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与直线 x ? 2 相交于 P, Q 两点（点 a b 2P 在 x 轴上方） ， 且 PQ ? 2 ． 点 A, B 是 椭 圆 上 位 于 直 线 PQ 两 侧 的 两 个 动 点 ， 且?APQ ? ?BPQ ．（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程； （Ⅱ）求四边形 APBQ 面积的取值范围．北京市朝阳区
学年度高三年级第一学期期末统一考试数学答案（文史类）一、选择题： （满分 40 分）题号 答案 1 B 2 A 3 D 4 B 5 C 6 D2015.17 B8 A二、填空题： （满分 30 分）题 9 号 10 11 12 13 14答 案5 ； 21 y?? x 21 1 1 28;0.3 （x + ) 2 ? ( y ? ) 2 ? 3 3 922k?04（注：两空的填空，第一空 3 分，第二空 2 分） 三、解答题： （满分 80 分） 15. （本小题满分 13 分） 解： （Ⅰ）设： “从该幼儿园教师中随机抽取一人，具有研究生学历”为事件 A ， 由题可知幼儿园总共有教师 30 人，其中“具有研究生学历”的共 6 人.第 39 页 共 82 页则 P ( A) =6 1 = . 30 5 1 . ………4 分 5答：从该幼儿园教师中随机抽取一人，具有研究生学历的概率为（Ⅱ）设幼儿园中 35 岁以下具有研究生学历的教师为 A1 ， A2 ，35～50 岁(含 35 岁和 50 岁) 具有研究生学历的教师为 B1 ， B2 ， B3 ， 50 岁以上具有研究生学历的教师为 C ，从 幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取 2 人，所有可能结果有 15 个，它们是： （ A1 ， A2 ） ， （ A1 ，B1 ） ， （ A1 ，B2 ） ， （ A1 ，B3 ） ， （ A1 ，C ） ， （ A2 ，B1 ） ， （ A2 ，B2 ） ， （ A2 ， B3 ） ， （ A2 ， C ） ， （ B1 ， B2 ） ， （ B1 ， B3 ） ， （ B1 ， C ） ， （ B2 ， B3 ） ， （ B2 ，C） ，（ B3 ， C ） ， 记“从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取 2 人，有 35 岁以下的研究生或 50 岁以上的研究生” 为事件 D ， 则 D 中的结果共有 12 个， 它们是： （ A1 ，A2 ） ， （ A1 ， ， （ A1 ， B2 ） ， （ A1 ， B3 ） ， （ A1 ， C ） ， （ A2 ， B1 ） ， （ A2 ， B2 ） ， （ A2 ， B3 ） ， B1 ） （ A2 ， C ） ， （ B1 ， C ） ， （ B2 ， C ） ， （ B3 ， C ） ，故所求概率为 P ( D) =12 4 = ． 15 5答：从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取 2 人，有 35 岁以下的研究生或 50 岁以上的研究生的概率为 16.（本小题满分 13 分） （Ⅰ）因为 a = (sin x, cos x) ， b = (sin x, ? cos x) ， c = (? cos x, ? sin x) ， 所以 (b ? c) ? ?sin x ? cos x,sin x ? cos x ? ，4 . 5………………13 分f ( x) ? a ? (b ? c) = sin x(sin x ? cos x) ? cos x(sin x ? cos x) .? 2 sin(2 x ? ) . 4 ? ? ?? ?? ?? ? x ? k? ? 则当 2k ? ? ? 2 x ? ? 2k ? ? 时，即 k ? ? 时， 2 4 2 8 82 2 则 f ( x) ? sin x ? 2sin x cos x ? cos x = sin 2 x ? cos 2 x ?函数 f ( x ) 为减函数， k ? Z . 所以函数 f ( x ) 的单调递减区间是 ? k ? ?? ??? ?? ? , k? ? ? ， k ? Z . 8 8?………………7 分第 40 页 共 82 页（Ⅱ）由（Ⅰ）知， f ( x) ?? 2 sin(2 x ? ) ，又 42 ?? ? ， f ? ?? ?2? 2则 2 sin(? ? ) ?? 4? 1 2 ， sin(? ? ) ? . 4 2 2 ? 42 2 因为 sin (? ? ) ? cos (? ? ) ? 1 ，所以 cos(? ? ) ? ?? 4? 43 . 2π π π π ? ?? ? sin ? ? sin ?(? ? ) ? ? ? sin(? ? ) cos ? cos(? ? ) sin . 4 4 4 4 4 4? ?所以当 cos(? ? ) ?? 43 1 2 3 2 6? 2 时， sin ? ? ? ； ? ? ? 2 2 2 2 2 4当 cos(? ? ) ? ?? 43 1 2 3 2 2? 6 时， sin ? ? ? . ? (? ) ? ? 2 2 2 2 2 4………………13 分17. （本小题满分 14 分） （Ⅰ）证明： 在 ?PDB 中，因为点 E 是 BD 中点，点 F 是 PD 中点， 所以 EF // PB ． 又因为 EF ? 平面 PBC ， PB ? 平面 PBC ， 所以 EF //平面 PBC ．…………4 分 （Ⅱ）证明： 因为 PD ? 平面 ABCD ， 且 CE ? 平面 ABCD ， 所以 PD ? CE ． 又因为底面 ABCD 是正方形，且点 E 是 BD 的中点， 所以 CE ? BD ． 因为 BD A F PD E BCPD ? D ，所以 CE ? 平面 PBD ，而 BF ? 平面 PBD ，所以 CE ? BF ． ????9 分 （Ⅲ）点 F 为边 PD 上靠近 D 点的三等分点． 说明如下： 由（Ⅱ）可知， CE ? 平面 PBF ． 又因为 PD ? 平面 ABCD ， BD ? 平面 ABCD ，所以 PD ? BD .第 41 页 共 82 页设 PF ? x ． 由 AB ? 2 得 BD ? 2 2 ， CE ? 2 ， 所以 VP ? BCF ? VC ? BPF ? 由已知1 1 1 2 ? ? PF ? BD ? CE ? ? 2 2 ? 2 x ? x ． 3 2 6 32 4 x ? ， 所以 x ? 2 ． 3 3因为 PD ? 3 ，所以点 F 为边 PD 上靠近 D 点的三等分点．????14 分18. （本小题满分 13 分） （Ⅰ）由已知得， ??a2 ? 2 1 ，解得 q ? 2 ， a1 ? 1 或 q ? ， a1 ? 4 ． 2 ?a1 ? a2 ? a3 ? 71 2n ?3 则数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n?1 或 an ? ( ) ， n ? N? ……………5 分 n ?3 （Ⅱ）因为 0 ? q ? 1 ，所以 an ? ( ) ， n ? N? .1 21 ? bn ? a1 ? a2 ? ... ? a n ? ( ) ?2? 1 2由 0 ? bn ? 1 ，即 0 ? ( )? 0 ?. n .? . (1 n ( n2? 5 ) ?( ) ， n ? N? . 23 )1 2n ( n ?5) 2? 1 ，即n( n ? 5) ? 0 ，即 2…………………13 分即 n ? 5 .则使 0 ? bn ? 1 的最小的 n 的值为 6 ．19. （本小题满分 13 分） （I）函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) .x 因为 f ?( x ) ? e ?a , x又 x ? 1 是 f ( x ) 的极值点,所以 f ?(1) ? e ? a ? 0 ，解得 a ? e . 经检验， x ? 1 是 f ( x ) 的极值点， 所以 a 的值为 e . （Ⅱ）证明： 方法 1： 当 a ? e 时， f ( x) ? ex ? eln x . 所以 f ?( x) ? e x ? ………5 分e xe x ? e . ? x x若 0 ? x ? 1 ，则 1&e x ? e ，所以 xe x ? e ，所以 xe x ? e&0 .第 42 页 共 82 页所以函数 f ( x ) 在 (0,1) 单调递减. 若 x ? 1 ，则 e x &e ，所以 xe x &e ，所以 xe x ? e&0 . 所以函数 f ( x ) 在 (1, ??) 单调递增. 所以当 x ? 1 时， f ( x)min ? f (1) ? e . ( x ? 0 时， e x ? e ln x ??? ; x ??? 时， e x ? e ln x ??? .) 所以 f ( x) ? e . 方法 2： 当 a ? e 时， f ( x) ? ex ? eln x ， 所以 f ?( x) ? e x ? ………13 分e xe x ? e . ? x x设 g ( x) ? xe x ? e ，则 g ?( x) ? e x ( x ? 1) ，所以 g ( x) 在 (0, ??) 单调递增. 又 g (1) ? 0 ，所以当 x ? (0,1) 时， g ( x) ? 0 ，即 f ?( x) ? 0 ，所以 f ( x ) 在 (0,1) 单调递减； 当 x ? (1, ??) 时， g ( x) ? 0 ，即 f ?( x) ? 0 ，所以 f ( x ) 在 (1, ??) 单调递增. （接下来表述同解法 1 相应内容） 所以 f ( x) ? e . ………13 分20.（本小题满分 14 分）x2 y2 b 1 3 解： （Ⅰ）由已知得 e ? ，则 ? ，设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1(b ? 0) a 2 4b b 2由题意可知点 P(2,1) 在椭圆上， 所以4 1 ? 2 ? 1 ．解得 b2 ? 2 ． 2 4b b故椭圆 C 的标准方程为x2 y 2 ? ? 1． 8 2………4 分（Ⅱ）由题意可知，直线 PA ，直线 PB 的斜率都存在且不等于 0． 因为 ?APQ ? ?BPQ ，所以 kPA ? ?kPB ． 设直线 PA 的斜率为 k ，则直线 PA : y ? 1 ? k ( x ? 2) （ k ? 0 ） ．第 43 页 共 82 页由?? x2 ? 4 y 2 ? 8 ? y ? kx ? (1 ? 2k ),得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8k (1 ? 2k ) x ? 16k 2 ?16k ? 4 ? 0 ……(1).依题意，方程（1）有两个不相等的实数根，即根的判别式 ? ? 0 成立.2 2 2 2 即 ? ? 64k (1 ? 2k ) ? 4(1 ? 4k ) 16k ? 16k ? 4 ? 0 ,??化简得 16(2k ? 1)2 ? 0 ，解得 k ? ?1 . 216k 2 ? 16k ? 4 因为 2 是方程（1）的一个解，所以 2 ? xA ? ． 1 ? 4k 2所以 xA ?8k 2 ? 8k ? 2 ． 1 ? 4k 21 ，此时直线 PA 与椭圆相切. 2当方程（1）根的判别式 ? ? 0 时， k ? ?由题意，可知直线 PB 的方程为 y ? 1 ? ?k ( x ? 2) ． 同理，易得 xB ?8(?k )2 ? 8(?k ) ? 2 8k 2 ? 8k ? 2 ． ? 1 ? 4(?k )2 1 ? 4k 2由于点 A, B 是椭圆上位于直线 PQ 两侧的两个动点， ?APQ ? ?BPQ ， 且能存在四边形 APBQ ，则直线 PA 的斜率 k 需满足 k ? 设四边形 APBQ 面积为 S ，则1 . 2S ? S?APQ ? S ?BPQ ?1 1 PQ ? 2 ? x A ? PQ ? xB ? 2 2 2?1 8k 2 ? 8k ? 2 8k 2 ? 8k ? 2 PQ ? xB ? xA ? ? 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 216k 1 ? 4k 2?由于 k ?1 ，故 22S?16 k 1 ? 4k?16 1 ?4 k k.第 44 页 共 82 页当k ?1 1 1 1 ? ，即 0 ? S ? 4 . ? 4 k ? 4 ，即 0 ? 时， 1 2 k ?4 k 4 k1 t(此处另解：设 t ? k ，讨论函数 f (t ) ? ? 4t 在 t ? ??1 ? , ?? ? 时的取值范围. ?2 ?f ?(t ) ? 4 ?则当 t ?1 4t 2 ? 1 1 ? 2 ，则当 t ? 时， f ?(t ) ? 0 ， f (t ) 单调递增. 2 2 t t1 时， f (t ) ? (4, ??) ，即 S ? ? 0, 4 ? .) 2………14 分所以四边形 APBQ 面积 S 的取值范围是 ? 0, 4 ? .第 45 页 共 82 页丰台区
学年度第一学期期末练习 高三数学（文科） 第一部分（选择题共 40 分）2015.01选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求 的一项． 1．在复平面内，复数2i 对应的点的坐标是 1? i(A) (-1,1) (B) (-1, -1) (C) (1, -1) (D) (1,1) 2．等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，如果 a1=2，a3+ a5=22，那么 S3 等于 (A) 8 (B) 15 (C) 24 (D) 30 3．命题 p： ? x&0， e x ? 1 ，则 ? p 是 (A) ? x0 ? 0 ， e 0 ? 1x(B) ? x0 ? 0 ， e 0 ? 1xx (C) ? x ? 0 ， e ? 1x (D) ? x ? 0 ， e ? 14．已知 a ? 2log 3 2 ， b ? log 1 2 ， c ? 24?1 3，则 a，b，c 的大小关系是 (C) c & a &b (D) a&c&b(A) a & b & c(B) c & b & a5．甲、乙两名同学在 5 次体能测试中的成绩的茎叶图如图所示，设 x1 ， x2 分别表示甲、乙 两名同学测试成绩的平均数， s1 ， s 2 分别表示甲、乙两名同学测试成绩的标准差，则有 (A) x1 ? x2 ， s1 ? s2 (C) x1 ? x2 ， s1 ? s2 (B) x1 ? x2 ， s1 ? s2 (D) x1 ? x2 ， s1 ? s2 8 甲 6 8 6 2 7 8 乙 6 3 8 6 76．已知函数 y ? a ? sin bx （b&0 且 b≠1）的图象如图所示，那么函数 y ? logb ( x ? a) 的图 象可能是y1y1yO-11234x-2-1 O -112x2 1(A)(B)第 46 页 共 82 页Oπ2πxy1y11 2 3 4O-1x-2-1 -1O 12x(C) (D) 7．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个锥体的侧视图和俯视图，则该锥 体的正视图可能是(A)(B)侧视图俯视图(C) (D) 8．在平面直角坐标系 xOy 中，如果菱形 OABC 的边长为 2，点 A 在 x 轴上，则菱形内（不含 边界）整点（横纵坐标都是整数的点）个数的取值集合是 (A) {1，2} (B) {1，2，3} (C) {0，1，2} (D) {0，1，2，3}第二部分（非选择题 共 110 分）一、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 9．已知集合 A ? {x x ? 2x ? 0} ， B ? {1, 2,3, 4} ，则 A2B?． ．开始 A=1，B=1 A=A+3B-1 B=B+1 否10．已知向量 a ? b ，且 a ? ( x,1) ， b ? (1, ?2) ，那么实数 x= ； a ? b ? 11．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是___．? x ? 2 y ? 4 ? 0, ? 12． 如果变量 x， y 满足条件 ? x ? 2 y ? 8 ? 0, 且 z ? 3x ? y ， 那么 z 的取值范围是___． ? x ? 0, ?13．已知圆 C： x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0 ，那么圆心坐标是 ；如果圆 C 的弦 AB 的中2 2A&15 是 输出 B点坐标是(-2，3)，那么弦 AB 所在的直线方程是___． 14．设函数 f ( x ) 与 g ( x) 是定义在同一区间 [ a, b] 上的两个函数，如果函数结束第 47 页 共 82 页y ? f ( x) ? g ( x) 在区间 [a, b] 上有 k (k ? N* ) 个不同的零点，那么称函数 f ( x) 和 g ( x) 在区间 [ a, b] 上为“ k 阶关联函数”．现有如下三组函数： ① f ( x) ? x ， g ( x ) ? sin? x； 2③ f ( x) ?| x ? 1| ， g ( x) ?② f ( x) ? 2? x ， g ( x) ? ln x ；x．其中在区间 [0, 4] 上是“ 2 阶关联函数”的函数组的序号是___． （写出所有 满足条件的函 ．． 数组的序号） 二、解答题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共 13 分） 已知函数 f ( x) ? 2sin x cos x ? cos(2 x ? ) ? cos(2 x ? ) ， x ? R ． （Ⅰ）求 f (? 6? 6? ) 的值； 12 ? 2（Ⅱ）求函数 f ( x) 在区间 [ , ?] 上的最大值和最小值，及相应的 x 的值．16.（本小题共 13 分） 某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加 汉字听写考试， 将所得数据进行分组， 分组区间为： [50,60)， [60,70)， [70,80)， [80,90)， [90,100]， 并绘制出频率分布直方图，如图所示． （Ⅰ）求频率分布直方图中的 a 值；从该市随机选取一名学生，试估计这名学生参加考 试的成绩低于 90 分的概率； （Ⅱ）设 A，B，C 三名学生的考试成绩在区间[80,90)内，M，N 两名学生的考试成绩在 区间[60,70)内，现从这 5 名学生中任选两人参加座谈会，求学生 M，N 至少有一人被选中的 概率； （Ⅲ）试估计样本的中位数落在哪个分组区间内 (只需写出结论) ． （注：将频率视为相应的概率）第 48 页 共 82 页频率 组距0.03 0.025 0.02a0.01O506070 8090 100 考试成绩（分）17.（本小题共 14 分） 如图， 在四棱锥 S-ABCD 中， 底面 ABCD 为菱形， ∠BAD=60°， 平面 SAD⊥平面 ABCD， SA=SD， E，P，Q 分别是棱 AD，SC，AB 的中点． （Ⅰ）求证：PQ∥平面 SAD； S （Ⅱ）求证：AC⊥平面 SEQ； （Ⅲ）如果 SA=AB=2，求三棱锥 S-ABC 的体积．PD E A Q BC18.（本小题共 13 分） 已知函数 f ( x) ? x ?1 ?1 ． ex（Ⅰ）求函数 f ( x ) 的极小值； （Ⅱ）过点 B(0, t ) 能否存在曲线 y ? f ( x) 的切线，请说明理由．19.（本小题共 14 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C ：x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个顶点为 A(?2, 0) ， a 2 b2离心率为6 ． 3（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程； （Ⅱ）直线 l 过点 A ，过 O 作 l 的平行线交椭圆 C 于 P，Q 两点，如果以 PQ 为直径的圆 与直线 l 相切，求 l 的方程．第 49 页 共 82 页20.（本小题共 13 分） 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足 S n ? ? an ?n ， (? ? ?1 ， n ? N* ) ． ? ?1（Ⅰ）如果 ? ? 0 ，求数列 {an } 的通项公式； （Ⅱ）如果 ? ? 2 ，求证：数列 {an ? } 为等比数列，并求 Sn ； （Ⅲ）如果数列 {an } 为递增数列，求 ? 的取值范围．1 3（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效） 丰台区
学年度第一学期期末练习 2015．01 高三数学（文科）答案及评分参考一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 题号 答案 1 A 2 B 3 B 4 D 5 B 6 C 7 A 8 C二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 9．{3，4} 12． [2,9] 10．2； 10 13． (?1, 2) ； x ? y ? 5 ? 0 11．4 14．①③注：第 10，13 题第一个空 2 分；第二个空 3 分。 三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15. 解： （Ⅰ） f ( x) ? 2 sin x cos x ? cos( 2 x ??6) ? cos( 2 x ??6)? sin 2 x ? (cos 2 x cos?? sin 2 x sin ) ? (cos 2 x cos ? sin 2 x sin ) 6 6 6 6???? sin 2x ? 3 cos2x? 2 sin( 2 x ??3)．第 50 页 共 82 页所以 ???????7 分f(?12) ? 2s?2? 2．i（另解） f (?12) ? 2 sin ? sin?12cos?12? cos( 2 ??6? sin?2? cos?3? ) ? cos( 2 ? ? ) 12 6 12 6????? 2．??2 分 （Ⅱ）因为?????? x ?? ， 2 4? ? 7? ? 2x ? ? 所以 ． 3 3 3 ? 7? 所以 当 2 x ? ? ，即 x ? ? 时， ymax ? 3 ； 3 3 ? 3? 7? 当 2x ? ? ， 即x? 时， ymin ? ?2 ． 3 2 12所以当 x ? ? 时， ymax ? 3 ；当 x ?????????13 分7? 时， ymin ? ?2 ． 1216. 解： （Ⅰ） a ? 0.1 ? 0.03 ? 0.025 ? 0.02 ? 0.01 ? 0.015 估 计 这 名 学 生 参 加 考 试 的 成 绩 低 于 90 分 的 概 率 为 1-0.15=0.85 ???????3 分 （Ⅱ）从这 5 位学生代表中任选两人的所有选法共 10 种，分别为：AB，AC ，AM， AN，BC，BM，BN，CM，CN，MN．代表 M，N 至少有一人被选中的选法共 7 种，分别为： AM，AN，BM，BN，CM，CN，MN． 设“学生代表 M，N 至少有一人被选中”为事件 D，P ( D )=?11 分7 ． 10 7 ． 10在 分 组 区??????答：学生代表 M，N 至少有一人被选中的概率为 （ 内． Ⅲ ） 样 本 的 中 位 数 ???????13 分 落间[70,80)17. （Ⅰ）证明：取 SD 中点 F，连结 AF，PF． 因为 P，F 分别是棱 SC，SD 的中点， 所以 FP∥CD，且 FP=1 CD． 2S又因为菱形 ABCD 中，Q 是 AB 的中点， 所以 AQ∥CD，且 AQ =1 CD． 2所以 FP//AQ 且 FP=AQ． 所以 AQPF 为平行四边形．第 51 页 共 82 页A EFPDCQB所以 PQ//AF． 又因为 PQ ? 平面 SAD ，AF ? 平面 SAD ，所 以 SAD ． （Ⅱ）证明：连结 BD， 因为 △SAD 中 SA=SD，点 E 棱 AD 的中点， 所以 SE⊥AD． 又 平面 SAD⊥平面 ABCD， 平面 SAD 平面 ABCD=AD， SE ? 平面 SAD ， 所以 SE⊥平面 ABCD， 所以 SE⊥AC． 因为 底面 ABCD 为菱形， E，Q 分别是棱 AD，AB 的中点， 所以 BD⊥AC，EQ∥BD． 所以 EQ⊥AC， 因为 SE EQ=E， PQ// ???????5 分 平 面SFPD E A Q BC所 以 AC⊥ SEQ． ???????11 分 （Ⅲ）解：因为菱形 ABCD 中，∠BAD=60°，AB=2， 所以 S?ABC =平面1 AB ? BC ? sin ?ABC = 3 ． 2因为 SA=AD=SD=2，E 是 AD 的中点，所以 SE= 3 ． 由（Ⅱ）可知 SE⊥平面 ABC， 所以三棱锥 S-ABC 的体积 V = S ?ABC ? SE ? 1 ． 14 分 18. 解： （Ⅰ）函数的定义域为 R． 因为 f ( x) ? x ? 1 ? 所以 f ?( x) ?1 3???????1 ， exex ?1 ． ex令 f ?( x) ? 0 ，则 x ? 0 ．xf ?( x ) f ( x)(??, 0)K0 0 极小值(0, ??)+ J第 52 页 共 82 页所以f(极小值?1 e0．x) ???????6 分?（Ⅱ）假设存在切线，设切点坐标为 ( x0 , y0 ) ， 则切线方程为 y ? y0 ? f '( x0 )( x ? x0 )1 ) ? (1 ? e? x0 )( x ? x0 ) x0 e x ?1 将 B(0, t ) 代入得 t ? 0 x ? 1 ． e0 x ?1 方程 t ? 0 x ? 1 有解，等价于过点 B(0, t ) 作曲线 f ( x ) 的切线存在． e0 x ?1 ?x 令 M ( x ) ? x ? 1 ， 所以 M ?( x ) ? x ． e e ?x 当 M ?( x ) ? x ? 0 时， x0 ? 0 ． e即 y ? ( x0 ? 1 ? 所以 当 x ? (??,0) 时， M ?( x) ? 0 ，函数 M ( x) 在 x ? (??,0) 上单调递增； 当 x ? (0, ??) 时， M ?( x) ? 0 ， M ( x) 在 x ? (0, ??) 上单调递减． 所以 当 x0 ? 0 时， M ( x)max ? M (0) ? 0 ，无最小值．x0 ? 1 ? 1 有解； e x0 x ?1 当 t ? 0 时，方程 t ? 0 x ? 1 无解． e0 综上所述， 当 t ? 0 时存在切线； 当 t ? 0 时不存在切线．当 t ? 0 时，方程 t ? 13 分 19. 解： （Ⅰ）依题意，椭圆的焦点在 x 轴上， 因为 a ? 2 ， 所以 c ? 所??????c 6 ， ? a 34 2 6 2 2 2 ，b ? a ? c ? ． 3 3以 椭 圆 的 方 程 为x2 3 y 2 ? ? 1． 4 4???????4 分（Ⅱ）依题意，直线 l 的斜率显然存在且不为 0，设 l 的斜率为 k ， 则可设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ，第 53 页 共 82 页则原点 O 到直线 l 的距离为 d ?| 2k | k 2 ?1．设 P( x1 , y1 ) ， Q( x2 , y2 ) ， 则 ?? y ? kx ?x ? 3y ? 42 2消 y 得 (3k 2 ? 1) x2 ? 4 ．可得 P(2 3k 2 ? 1,2k 3k 2 ? 1) ， Q( ?2 3k 2 ? 1,?2k 3k 2 ? 1)．因为 以 PQ 为直径的圆与直线 l 相切，所以1 | PQ |? d ，即 | OP |? d ． 22 3k ? 12所以 ()2 ? (2k 3k ? 12)2 ? (| 2k | k ?12)2 ，解得 k ? ?1 ． 所 以 直 线l的方程为x? y?2?0或x ? y ? 2 ? 0．???????14 分20. 解： （Ⅰ） ? ? 0 时， Sn ? ?n ， 当 n ? 1 时， a1 ? S1 ? ?1 ， 当 n ? 2 时， an ? Sn ? Sn?1 ? ?1 ， 所 以 ???????3 分an ? ?1 ．（Ⅱ）证明：当 ? ? 2 时， S n ? 2 an ?n ， 3 n ?1 Sn ?1 ? 2an ?1 ? ， 3 1 相减得 an ?1 ? 2an ? ． 3 1 1 所以 an ?1 ? ? 2( an ? ) ， 3 3 1 1 2 又因为 a1 ? ， a1 ? ? ? 0 ， 3 3 3第 54 页 共 82 页所以数列 {an ? } 为等比数列，1 3所以1 2n an ? ? 3 3???????8 分，Sn ? 2an ?n 2n ?1 n ? 2 ? ? ． 3 3 3当 n ? 1 时，则 S1 ? ? a1 ?（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，显然 ? ? 01 1 ，得 a1 ? 2 ． ? ?1 ? ?1 n 当 n ? 2 时， S n ? ? an ? ， ? ?1 n ?1 S n ?1 ? ? an ?1 ? ， ? ?1 ? 1 an ?1 ? 2 相减得 an ? ， ? ?1 ? ?1 1 ? 1 ? (an ?1 ? )． 即 an ? ? ?1 ? ?1 ? ?1 1 ? ? 2 ?0． 因为 ? ? ?1 ，所以 a1 ? ? ?1 ? ?1 1 } 为等比数列． 所以 {an ? ? ?1 ? ? n ?1 1 1 ? n 1 ( ) ? ? ( ) ? 所以 an ? 2 ． ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1因为数列 ?an ?为递增数列，? 1 ?0 ? ?? ?1 所以 ? 或 ? ? ?1 ? ? ? ?1所 以? 1 ?0 ? ? ? ?1 ， ? ? ?0 ? ?1 ? ? ?1 ?围 是?? ? ?1 ．的 取 值 范 ????????13 分? ?1或（若用其他方法解题，请酌情给分）第 55 页 共 82 页大兴区
学年高三期末检测题 数学（文科）一、选择题，共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项。 （1）集合 M ? ?x x ? 0? ，集合 N ? ?x 1 ? x ? 0? ，则 M （A） (0,1) （C） (??, ?1)N 等于（B） (??,0) （D） (??,1)（2）如图，在复平面内，复数 z1 和 z2 对应的点分别是 A 和 B ，则 z1 z2 等于 （A） ?2 ? i （C） 2 ? i （3）在 ?ABC 中， a ? 2 ， b ? 3 ， B ? （A） （C）π 6 π 3（B） ?1 ? 2i （D） 1 ? 2iπ ，则 A 等于 3-2 -1y 2 A 1 2 B x1O -1 -2（B）π 4π 3π （D） 或 4 4（4）下列函数中，在 (0, ??) 上为减函数的是 （A） y ? log2 ( x ? 1) （C） y ? x （B） y ? ?1 x ?11 （D） y ? ( ) x ?1 2（5）已知等比数列 {an } 的公比 q ? 1 ， a3 ? 4 ， a4 ? a5 ? 2a3 ，则 {an } 前 5 项和 S 5 等于 （A） 4 （C） 20 （B） 11 （D） 31（6）已知直线 l ? 平面 ? ，直线 m ? 平面 ? ，有下列四个命题：①若 ? ∥ ? ，则 l ? m ； ②若 ? ? ? ，则 l ∥ m ；③若 l ∥ m ，则 ? ? ? ；④若 l ? m ，则 ? ∥ ? ． 其中，正确命题的序号是 （A）①② （B）③④第 56 页 共 82 页（C）①③（D）②④?ABC 所在平面内有一个点 P ， （7） 已知 D 为 ?ABC 的边 BC 的中点， 满足 PA ? PB ? PC ，则| PD | 的值为 | AD |（A）1 3（B）1 2（C） 1（D） 2（8）设双曲线 C1 ，抛物线 C2 的焦点均在 x 轴上，C1 的中心与 C2 的顶点均为原点，从每条曲 线上至少取一个点，将其坐标记录如下：x12 22322 43y22 6则在 C1 和 C2 上点的个数分别是 （A）1，4 （C）4，1 （B）2，3 （D）3，3二、填空题，共 6 小题，每题 5 分，共 30 分。 （9）已知 f ( x) ? xe x ，则 f ?(1) ? . .（10）函数 f ( x) ? cos2 2x ? sin 2 2 x 的最小正周期是? y ≥ 2x ? 2 （11）若实数 x, y 满足 ? ? y ≥ ? x ? 1 ，则 z ? 2 x ? y 的最小值为 ? y ≤ x ?1 ?.（12）已知向量 a ? (sin ? ,1) ， b ? (1,cos? ) ，其中 0 ? ? ? π ，若 a ? b ，则 ? ? ________. （13） 已知圆 M ：x2 ? y 2 ? 4 ， 在圆 M 上随机取一点 P， 则 P 到直线 x ? y ? 2 的距离大于 2 2 的概率为 .] （14）定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ( x) 满 足 f ? x? 4? ? f? x ? ， 且 在 [ 0 , 2上? x(1 ? x),0 ≤ x ≤1, 5 f ( x) ? ? ， 则 f( )? 2 ?sin πx, 1 ? x ≤ 2则实数 k 的取值范围是 . ； 若方程 f ( x) ? k 在 [0, 4) 上恰有 4 个根，第 57 页 共 82 页三、解答题，共 6 小题，共 80 分。 （15）已知 cos( ? ? ) ?π 23 π , ? ? ( , π) . 5 2 5 sin ? cos 2 x 的增区间. 6（Ⅰ）求 cos ? 的值； （Ⅱ）求函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ?（16）已知数列 {an } 为等差数列， a5 ? 11, 且 a4 ? a8 ? 26 ． （Ⅰ）求数列 {an } 的通项； （Ⅱ）设 bn ? 2an ? an ，求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn .（17）某校高三年级共有 300 人参加数学期中考试，从中随机抽取 4 名男生和 4 名女生的试 卷，获得某一道题的样本，该题得分的茎叶图如图。 男 7 5 2 0 女 4 8 2 31 1(Ⅰ) 求样本的平均数； (Ⅱ) 设该题得分大于样本的平均数为合格， 根据样本数据估计该校高三年级有多少名同 学此题成绩合格； (Ⅲ)在这 4 名男生和 4 名女生中，分别随机抽取一人，求该题女生得分不低于男生得分 的概率.（18）如图, 已知边长为 2 的的菱形 ABCD 与菱形 ACEF 全等，且 ?FAC ? ?ABC ,平面ABCD ? 平面 ACEF ，点 G 为 CE 的中点.（Ⅰ）求证： AE / / 平面 DBG ； （Ⅱ）求证： FC ? BG ； （Ⅲ）求三棱锥 E ? BGD 的体积.EGFC O D AB第 58 页 共 82 页（19）已知椭圆 C :x2 y 2 3 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的一个顶点是 (0,1) ，离心率为 ． 2 a b 2（Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）已知矩形 ABCD 的四条边都与椭圆 C 相切，设直线 AB 方程为 y ? kx ? m ，求矩 形 ABCD 面积的最小值与最大值.（20）定义函数 G( x, y) ? x y ，其中， x ? 0 ， y ? 0 ． （Ⅰ）设函数 f ( x) ? G(1, x 3 ? 3x) ，求 f ( x) 的定义域； （Ⅱ）设函数 h( x) ? G(2, log2 ( x3 ? ax2 ? bx ? 1)) 的图像为曲线 C ，若存在实数 b 使得曲 线 C 在 x ( x ?[4,8]) 处有斜率为 ?8 的切线，求实数 a 的取值范围； （Ⅲ）当 x ? N? , y ? N? 且 x ? y 时，试比较 G ( x, y ) 与 G ( y, x) 的大小（只写出结论） ．文科参考答案与评分标准一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 题号 答案 1 A 2 D 3 B 4 D 5 B 6 C 7 C 8 B二、填空题（每小题 5 分，共 30 分） （9） （10）2eπ 2 3 π 4第 59 页 共 82 页（11） 1 （12）（13）1 4 1 1 4 4（14） 1 ; (? , ) （第一个空 3 分，第二个空 2 分） 三、解答题（共 80 分） （15） （本题满分 13 分） （Ⅰ）解：由 cos( ? ? ) ?π 23 3 ，得 sin ? ? ， 5 516 25??????2 分又 sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 ，所以 cos2 ? ? 因为 ? ? ( , π ) ，所以 cos? ? ? （Ⅱ） f ( x) ? 3 sin x cos x ?π 24 5??????5 分5 sin ? cos 2 x 65 3 ? 3 sin x cos x ? ? cos 2 x 6 53 1 sin 2 x ? cos 2 x ??????3 分 2 2 π ??????5 分 ? sin(2 x ? ) 6 π π π 由 2kπ ? ≤ 2x ? ≤ 2kπ ? , k ? Z 2 6 2 π π 得 kπ ? ≤ x ≤ kπ ? ， ??????7 分 6 3 π π 所以，函数 f ( x) 的增区间是 [kπ ? , kπ ? ](k ? Z) . ??????8 分 6 3 ?(16)（本题满分 13 分） 解： （Ⅰ）设 {an } 的公差为 d ，则 a5 ? a1 ? 4d ? 11 ， a1 ? 3d ? a1 ? 7d ? 26 解得 a1 ? 3 ， d ? 2 所以 an ? 2n ? 1 （Ⅱ） bn ? 2an ? an = 2 2n?1 ? (2n ? 1) ??????4 分 ??????5 分 ??????2 分Sn ? b1 ? b2 ?? bn? (23 ? 25 ??? 22n?1 ) ? [3 ? 5 ?? (2n ? 1)] ??????4 分??????6 分 ??????8 分23 (1 ? 4n ) 3 ? 2n ? 1 ? ?n 1? 4 21 ? (22n?3 ? 8) ? n2 ? 2n 3第 60 页 共 82 页（17） （本题满分 13 分） 解（Ⅰ）样本平均数是5 ? 7 ? 4 ? 8 ? 11 ? 12 ? 12 ? 13 ?9 8 1 , 2 1 2??????3 分（Ⅱ）由茎叶图提供的数据，在 8 人的样本数据中有 4 人分数大于 9 分，所以，样本中超 过 9 分的人数占样本总数的 ??????2 分据此估计，高三年级 300 人中，估计有 300 ? =150 人超过 9 分。 ??????5 分 （Ⅲ）设从 8 人中随机抽取男、女生各一人的得分用 ( x, y) 表示，其中 x 表示男生得分， y 表 示女生得分，则所有不同的情况是(5, 4),(5,8),(5,12),(5,13), (7,4),(7,8),(7,12),(7,13), (11, 4),(11,8),(11,12),(11,13), (12, 4),(12,8),(12,12),(12,13) 共 16 种，??????2 分其中，女生成绩不低于男生的有 (5,8),(5,12),(5,13) ， (7,8),(7,12),(7,13) ，(11,12),(11,13) ， (12,12),(12,13) 共 10 种，所以，女生得分不低于男生得分的概率 P ???????4 分10 ? 0.625 16??????5 分（18） （本题满分 14 分） 解： （Ⅰ）连结 OG , 因为四边形 ABCD 是菱形， 所以， CO ? OA ,又 CG ? GE , 所以， OG 为三角形 ?ACE 的中位线…………….2 分 所以， OG ∥ AE . 又 OG ? 平面 DBE , AE ? 平面 DBEC O D A B G F………………..1 分E? AE / / 平面 DBE?????????4 分(Ⅱ)因为四边形 ABCD 是菱形，所以 AC ? BD 。 又平面 ABCD ? 平面 ACEF ，且交线为 AC? BD ? 平面 ACEF ,又? FC ? 平面 ACEF?????????2 分? BD ? CF??????3 分第 61 页 共 82 页? 在菱形 ACEF 中， AE ? CF , OG // AE? OG ? CF ? CF ? 平面 BGD?????????4 分? BD ? OG ? O, BD, OG ? 平面 BGD?????????5 分 ?????????6 分? CF ? BG(Ⅲ)由题知， AB ? BC ? AC =2,故 ?ABC ? 60 , 在三角形 DAB 中， AD ? AB ? 2 , ?DAB ? 120 ,所以 BD = 2 3 .????1 分 又 ?ABC ? ?FAC ,所以 ?FAC ? 60 ,所以 ?FCA 是等边三角形， 所以 CF ? 2, AE ? 2 3 , 所以 S?BDG ?1 BD ? OG ? 3 2????????2 分又 CF ? 面 BDG ，所以，点 C 到面 BDG 的距离 h ? CF ?1 41 2????????3 分 所以 VE ? BDG ? VA? BDG ? VC ? BDG ? S?BDG ? h ?1 31 2?????4 分（19） （本题满分 14 分） 解： （Ⅰ）由题意，椭圆 C : 所以 b ? 1x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0) 的一个顶点是 (0,1) ， a 2 b2 ?????????1 分又，离心率为 解得 a ? 2 ，c 3 3 ，即 ? ， a 2 ? b2 ? c2 2 a 2?????????3 分故椭圆 C 的方程是 （Ⅱ）当 k ? 0 时，x2 ? y2 ? 1 4?????????4 分椭圆的外切矩形 ABCD 面积为 8. ??????1 分 当 k ? 0 时， 椭圆的外切矩形 ABCD 的边 AB 所在直线方程为 y ? kx ? m ， 所以，直线 BC 和 AD 的斜率均为 ?1 . k第 62 页 共 82 页由?? x2 ? 4 y 2 ? 4 ，消去 y 得 ? y ? kx ? m??????2 分(4k 2 ? 1) x2 ? 8kmx? 4m2 ? 4 ? 0 ? ? (8km)2 ? 4(4k 2 ? 1)(4m2 ? 4) ? 0化简得： m2 ? 4k 2 ? 1??????3 分所以，直线 AB 方程为 y ? kx ? 4k 2 ? 1 直线 DC 方程为y ? kx ? 4k 2 ? 12 4k 2 ? 1 k2 ? 1????5 分直线 AB 与直线 DC 之间的距离为1 2 4( ? ) 2 ? 1 2 4 ? k2 k ? 同理，可求 BC 与 AD 距离为 1 1 ? k2 (? )2 ? 1 k????6 分2 4k 2 ? 1 2 4 ? k 2 9 则矩形 ABCD 的面积为 S ? ? ?4 4? 2 2 1 k ?1 1? k k2 ? 2 ? 2 k由均值定理8 ? S ? 10??????9 分2 仅当 k ? 1 ，即 k ? ?1 时 S 有最大值 10.因此，当 k ? ?1 时 S 有最大值 10； 当 K=0 时，S 有最小值 8. (20)（Ⅰ）因为 G( x, y) ? x y , x, y ? (0,??)3 由 f ( x) ? G( x3 ? 3x,1 ) ，则有 x ? 3x ? 0??????10 分???2 分 ???3 分所以 函数的定义域为 （? 3， 0） ? （ 3， ? ?） （Ⅱ）因为 G( x, y) ? x , x, y ? (0,??)y所以 g ( x) ? G(2,log2 ( x3 ? ax2 ? bx ? 1)) ? x3 ? ax2 ? bx ? 1log2 ( x 3 ? ax2 ? bx ? 1) ? 0 ，得 x 3 ? ax2 ? bx ? 0 ．???2 分第 63 页 共 82 页因为 g ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b ? ?8 ，得 b ? ?3x 2 ? 2ax ? 8 ．所以x 3 ? ax2 ? bx ? x 3 ? ax2 ? x(?3x 2 ? 2ax ? 8) ? ?2x 3 ? ax2 ? 8x ? 03 2存在 x ?[4,8] 使 ? 2x ? ax ? 8 x ? 0 ．2 所以 2 x ? ax ? 8 ? 0 ，???4 分存在 x ?[4,8] 使 a ? ?2 x ?8 ， x???5 分所以 a ? (?2 x ?8 ) max , x由于 ?2 x ?8 在 x ? [4,8] 上单调递减， x所以当 x ? 4 时， ? 2 x ?8 有最大值为 ? 10 . x???6 分 ???7 分所以， a 的取值范围是 (??, ?10).（Ⅲ）当 x ? N? , y ? N? , x ? 2 时，x ? 1, y ? 2 ， 或 x ? 2, y ? 3 时， G( x, y) ? G( y, x) ???1 分x ≥ 3 时， G( x, y) ? G( y, x)???3 分第 64 页 共 82 页昌平区
学年第一学期高三年级期末质量抽测 数学试卷(文科)2015.1考生注意事项： 1.本试卷共 6 页， 分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分， 满分 150 分， 考试时间 120 分钟． 2．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考试编号填写清楚．答题卡上第一部分(选 择题)必须用 2B 铅笔作答， 第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答， 作图时必须使 用 2B 铅笔． 3．修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液．请保持卡面整洁，不要折叠、 折皱、破损．不得在答题卡上作任何标记． 4． 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答， 未在对应的答题区域作答或超出答题区 域的作答均不得分．第Ⅰ卷（选择题符合题目要求的一项．) 1. 已知集合 M ? {x ? 1}, N ? {x | x ? 0}, 则 M A. x x ? 1共 40 分）一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出N 等于C.??B.? x x ? 1?? x 0 ? x ? 1?D. ?2．下列函数中，在区间(0， A． y ? cos xπ )上是减函数的是 2C． y ? x2B． y ? sin xD． y ? 2 x ? 13. 在 ?ABC 中， ?A ? 60? , AC ? 2, BC ? 3, ，则 ? B 等于 A. 120 B.90C.60D. 454．某四棱锥的三视图如图所示，其中正(主)视图 是等腰直角三角形 , 侧 (左) 视图是等腰三角形 ,俯 视图是正方形,则该四棱锥的体积是 A． 828 B． 3 C． 4D．1111正（主）视图侧（左）视图4 3第 65 页 共 82 页俯视图5. “ ? ? ? ”是“ sin ? ? sin ? ”的 A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C．充要条件 D.既不充分也不必要条件6. 已知直线 m 和平面 α，β，则下列四个命题中正确的是 A. 若 ? ? ? ， m ? ? ，则 m ? ? C. 若 ? / / ? ， m / /? ，则 m / / ? B. 若 ? / / ? ， m ? ? ，则 m ? ? D. 若 m / /? ， m / / ? ，则 ? / / ?7. 某位股民购进某只股票， 在接下来的交易时间内， 他的这只股票先经历了 n 次涨停(每 次上涨 10%)，又经历了 n 次跌停(每次下跌 10%)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其它费用) 是 A. 略有盈利 情况 B. 略有亏损 C.没有盈利也没有亏损 D.无法判断盈亏8. 已知数列 {an } 满足 3an?1 ? an ? 4 (n ? 1 ，n ? N* ), 且 a1 ? 9, 其前 n 项之和为 S n ，则 满足不等式 | S n ? n ? 6 |? A.71 成立的 n 的最小值是 40B.6 C.5 D.4第Ⅱ卷（非选择题共 110 分）二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） ． 9. 计算： (1 ? i)(1 ? 2i) = .（ i 为虚数单位）开始 输入 x 是10. 执行如图所示的程序框图，如果输入 ?2 ，那么输出的结果 是 ，如果输入 4 ，那么输出的结果是 ．x?0否y ? 2log2 xy ? 3? x ? 1输出 y 结束 第 66 页 共 82 页? x ? y ≤ 1, ? 11. 设 x ， y 满足约束条件 ? y ≤ x, 则 z ? 2 x ? y 的最大值是 ? y ≥ 0, ?12. 平面向量 a 与 b 的夹角为 60 ， a ? (1, 0) ， | b |= 2 ，则 | 2a - b | = 13. 双曲线 C : 同的 焦点，则 m ? _____________...x2 ? y 2 ? 1 的离心率是_________；若抛物线 y 2 ? 2mx 与双曲线 C 有相 314. 在下列函数① y ? 3x ?1 , ② y ? log3 x, ③ y ? x2 ? 1, ④ y ? sin x, ⑤ y ? cos( x ? 中，满足 “ 对任意的 x1 ， x2 ? ( 0 , 1 ) ，则 f ? ________.(填上所有正确的序号)? ) 6? x1 ? x2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 恒成立 ” 的函数是 ?? 2 ? 2 ?三、解答题(本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 15.（本小题满分 13 分） 已知函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? (I) 求函数 f ( x ) 的最小正周期； (II)当 x ? [0, ] 时，求函数 f ( x ) 的最大值及取得最大值时的 x 值．1 cos 2 x ? 1. 2? 216.（本小题满分 13 分） 有 20 名学生参加某次考试，成绩（单位：分）的 频率分布直方图如图所示： （I）求频率分布直方图中 m 的值； (Ⅱ) 分别求出成绩落在 [70,80),[80,90),[90,100] 中 的学生人数； （III）从成绩在 [80,100] 的学生中任选 2 人，求所选 学生的成绩都落在 [80,90) 中的概率．第 67 页 共 82 页O 50 60 70 80 90 100成绩（分）频率 组距6m 5m 4m 3m 2m17.（本小题满分 13 分） 在等比数列 ?an ? 中， a2 ? 2, a5 ? 16 . （I）求等比数列 ?an ? 的通项公式； （II）若等差数列 ?bn ? 中，b1 ? a5 , b8 ? a2 ，求等差数列 ?bn ? 的前 n 项的和 Sn ，并求 Sn 的 最大值.18. （本小题满分 14 分） 如图， 在四棱锥 P ? ABCD 中， 底面 ABCD 为平行四边形，P?DAC =90 ， O 为 AC 的中点， PO ? 底面 ABCD .（I）求证： AD ? 平面 PAC ; （II） 在线段 PB 上是否存在一点 M ， 使得 OM // 平面 PAD ？ 若存在，写出证明过程；若不存在，请说明理由.D A O C B19. （本小题满分 14 分） 已知函数 f ( x) ? e x ? xe x ?1. （I）求函数 f ( x ) 的最大值； （Ⅱ）设 g ( x) ?f ( x) , 其中 x ? ?1, 且x ? 0 ，证明: g ( x) ＜1. x20. （本小题满分 13 分）y 2 x2 2 已知椭圆 C： 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ，其四个顶点组成的菱形的面积 a b 2是 4 2 ，O 为坐标原点，若点 A 在直线 x ? 2 上，点 B 在椭圆 C 上，且 OA ? OB . （I） 求椭圆 C 的方程；第 68 页 共 82 页（II）求线段 AB 长度的最小值； （III）试判断直线 AB 与圆 x2? y 2 ? 2 的位置关系，并证明你的结论.昌平区
学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷(文科)参考答案及评分标准 一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．)题号 答案 1 C 2 A 3 D 4 D 5 A 6 B 7 B 8 C 2015.1二、填空题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．) 9. 3 ? i 12. 2 10. 10 ； 4 13. 11. 2 14. ① ③2 3; ?4 3三、解答题(本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 15.（本小题满分 13 分） 解： （Ⅰ）因为 f ( x) ?3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 2 2………… 4 分 ………… 6 分 ………… 7 分? ? sin(2 x ? ) ? 1 6 2? ? ?. 所以 T ? 2 ? ? （Ⅱ）因为 f ( x) ? sin(2 x ? ) ? 1 ， 0 ? x ? ， 6 2 ? ? ?? 所以 ? 2 x ? ? ． 6 6 6 ? ? ? 所以当 2 x ? ? 即 x ? 时， 6 2 6函数 f ( x) 的最大值是 2.…………9 分…………13 分16.（本小题满分 13 分） 解： （I）由题意 10 ? (2m ? 3m ? 4m ? 5m ? 6m) ? 1 ， m ? 0.005 . ………3 分第 69 页 共 82 页（II）成绩落在 [70,80) 中的学生人数为 20 ? 10 ? 0.03 ? 6 ， 成绩落在 [80,90) 中的学生人数 20 ? 10 ? 0.02 ? 4 成绩落在 [90,100] 中的学生人数 20 ? 10 ? 0.01 ? 2 . ……………6 分（III）设落在 [80,90) 中的学生为 a1 , a2 , a3 , a4 ，落在 [90,100] 中的学生为 b1 , b2 ， 则 ?1 ? {a1a2 , a1a3 , a1a4 , a1b1 , a1b2 , a2a3 , a2a4 , a2b1 , a2b2 , a3a4 , a3b1 , a3b2 , a4b1 , a4b2 , b1b2 } ，基 本事件个数为 n ? 15 ， 设 A＝“此 2 人的成绩都在 [80,90) ”，则事件 A 包含的基本事件数 m ? 6 ， 所以事件 A 发生概率 P ( A) ?m 6 2 ? ? . n 15 5……………13 分17.（本小题满分 13 分） 解： （I）在等比数列 ?an ? 中，设公比为 q ， 因为 a2 ? 2, a5 ? 16 , 所以 ?? a1q ? 24?a ? 1 , 得 ? 1 ?q ? 2 ? a1q ? 16……………5 分所以 数列 ?an ? 的通项公式是 an ? 2n?1 . （II）在等差数列 ?bn ? 中，设公差为 d . 因为 b1 ? a5 , b8 ? a2 ,?b1 =a5 ? 16 ?b1 ? 16 ?b =16 , ? , ?1 , ? 所以 ?b8 ? a2 =2 ?b1 +7d =2 ? d = ? 2方法一……………9 分S n ? b1n ?n( n ? 1 ) d ? ? n 2 ? 17n ， 2……………13 分当 n ? 8 或 9 时， Sn 最大值为 72. 方法二由 bn ? 18 ? 2n ,当 bn ? 18 ? 2n ? 0 ,解得 n ? 9 ,即 a9 ? 0, a8 ? 2. 所以当 n ? 8 或 9 时， Sn 最大值为 72. ……………13 分第 70 页 共 82 页18. （本小题满分 14 分）}