2001高等代数 三亿文库
2001高等代数
2005年首都师师范大学硕士研究生入学考试 高等代数试卷 专业：基础数学、应用数学、计算数学、概率与数理统计；研究方向：各方向。 一、（16分）证明多项式x?32x?1在有理数域上不可约。 二、（16分）设V是数域F的上全体n阶方阵作成的线性空间，A，B，C，D?V，对任意X?V，定义?(X)?AXB?CX?XD，证明： 1、?是V的线性变换； 2、当C=D时，?为可逆线性变换当且仅当|AB|?0。 三、（16分）设(f(x),g(x))表示数域F上多项式f(x),g(x)的首1最大公因式，证明，如果(f1(x),f2(x))?1，则对任意的g(x)?F[x],有 4(f1(x)f2(x),g(x))?((f1(x)g(x))(f2(x)g(x))。 四（18分）设V是数域F上的骊性空间，?1,?2,?,?n是V的基，于是由 ?(?i)??i?1,i?1,2,?,n?1,?(?n)?0定义了V的一个线性变换?， 1、试求?在基?1,?2,?,?n下的矩阵A； 2、证明??0,?nn?1?0； nn?13、设?是V的线性变换且满足??0,?中?的矩阵A相同。 ?0,则存在V的基，使?在该基下的矩阵与1五、（18分）设?0是非齐次线性方程组AX=B的一个解，?1,?2,?,?r是它的导出组的基础解系，证明： 1、?0，?0??1,?0??2,?,?0??r线性无关； 2、n元向量?是这个方程组的解的充要条件是存在r?1数 使得??k1(?0??1)?k2(?0??2)???kr(?0??r)。 ki(i?1,2,?,r),k1?k2???kr?1，六、（18分）设C与D为n阶实矩阵，A?C?C,B?D?D,?,?为正实数，证明： 1、存在方阵P，使?A??B?P?P； 2、若C与D之一为可逆矩阵，则上述矩阵P可逆。 七、（16分）设A，B与两个n阶复矩阵，是B的特征多项式，证明，?(A)为可逆矩阵的充要是A与B没有公共的条件征值。 八、（16分）设A是n阶实方阵，X与?均为实n元列向量，证明，线性方程组AX??是有解的充要条件是?与线性方程组A?X?0的解空间正交。 九、（16分）设V是实数域R上的n维线性空间，若能在V上定义一个二元函数，记为[?,?]，满足以下性质： ,]?[,??]k?，对任意?,??V,k?R； （1），[k?（2）[???,?]?[?,?]?[?,?]，对任意?,?,??V； （3）[?,?]??[?,?]，对任意?,??V； （4）对对任意??V\\{0}，存在??V，使[?,?]?0。 则称V为S?空间，在n维S?空间V中，回答下列问题： 1、证明，对任意，?,?,??V,k?R，有[?,???]?[?,?]?[?,?]，[?,?]?0； 2、设?是V上的一个可逆线性变换且满足，对任意?,??V，有[?(?),?(?)]?[?,?]。设U是V的一个??不变子空间，令U?{v?V|,[u,v]?0,?u?U}，证明U是u?U是V的??不变子空间； 3、设n?2,U是V的一个由?和?生成的子空间且[?,?]?0，证明U?{0}； 4、是否存在一维和三维S?空间？说明理由。
???2007年首都师师范大学硕士研究生入学考试 高等代数试卷 专业：基础数学、应用数学、计算数学、概率与数理统计、运筹学与控制论、数学物理、数学教育、数学与信息技术 研究方向：各方向。 一、（第1、3、4小题每题5分，第2小题10分，共25分） 设p(x)?x3?2x?2?Q[x]为有理数域Q上的一个多项式。 1、证明p(x)在Q[x]上不可约； 2、设f(x)?x4?a1x3?a2x2?a3x?a4?Z[x]为整系数多项式，证明：f(x)与p(x)不互素当且仅当(a1,a2,a3,a4)为以下线性方程组的一个整数解。
?2y1?y2?y4?2?2y?2y?y?4?124??2y1?y3??2???4y1?3y3?y4?64323、假设f(x)?x?x?2x?x?1，证明对于p(x)的任何一个复数根?，有f(?)?0。 4、证明：对于的任何一个复数根?，存在次数不大于2的多项式u(x)?Q[x]，使得u(?)f(?)?1,其中f(x)同第3小题。 二、（15分）设A为欧氏空间V的一个正交变换，W?{??V|A???},U?{??A?|??V}，证明：V的线性子空间W与U相互正交，且有V?W?U 三、（10分）设A为n阶方阵，E为n阶单位矩阵，证明：A?E?r(A?E)?r(A?E)，其中r(A?E),r(A?E)分别表示矩阵A?E,A?E的秩。 四、（20分）设一个二次曲面在坐标系[o,x,y,z]下的方程为 223x2?23y2?8z2?2xy?8xz?8yz?24，求一个正交直角坐标变换T， ?x??u?????y?T???v? ?z??w?????使得以上二次曲面在新直角坐标系下的方程为它的标准形，然后描述此二次曲面。 五、（10分）设X为实数域R上的一个3阶方阵，从矩阵X开始，连续对矩阵作如下初等变换：（1）第一行乘5加到第三行，（2）第三列乘?2加到第二列，（3）交换第一行与第二行，结果得到了三阶单位矩阵，求矩阵X。 六、（（第1小题10分，第2小题15分，共25分） 1、设A为复数域C上的一个n阶方阵，已知它的特征多项式为f(x)?(x?a)n?1(x?b)，其中a?b，假设A的任意三个特征向量都是线性相关的，对于复数??C以及正整数l，证明：VA,l?{??Cn|(A??En)l??0}是复数域C上线性空间C的A?不变子空间（把nA看成C上的一个线性变换），并求C上线性空间VA,l的维数，其中En为n阶单位矩阵。 n?2?1?12???1?1?33? 2、设A???013?2???0001??（1）证明：A是满足1小题中矩阵的条件，即A的特征多项式为f(x)?(x?a)n?1(x?b)，并求a,b的值。 （2）证明：A的任意三个特征向量都是线性相关的。 （3）令??(0,0,0,1)?为C中的一个列向量，求列向量?1,?2,?3?C4使得C上4阶矩阵 4?b?0?1S?(?1,?2,?3,?)满足SAS???0??00a?，其中a,b为（1）中求得的值。 ?1?a???ab??七、（10分）记V????|a,b?C,a?d?0?，对任一A?V，定义V上的线性变换??cd??T为：对任意X?V，T(X)?AX?XA，假设A??与这些特征值对应的特征向量。 八、（每小题10分，共20分） 1、设p(x)?Q[x]是有理数域Q上的t次多项式，各项为aixi,(0?i?n?1)，证明： ?10??，试求：T的所有特征值及?0?1?p0(x1)Dn?p1(x1)?pn?1(x1)p0(x2)p1(x2)????p0(xn)p1(xn)?pn?1(xn)?a0a1?an?1n?j?i?1?(xj?xi) pn?1(x2)?32、设f(x)?x?1，证明：多项式函数f(x),f(x?1),f(x?2),f(x?3)d在Q上线性无关。 九、（每小题5分，共25分）设A为一个n阶正定阵，B为一个n阶实反对称矩阵，即B??B， 证明： 1、存在n阶实可逆矩阵T，使A?TT； 2、B的特征值或者是0或为纯虚数； 3、A?B为可逆矩阵。 TT
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n阶方阵A,如果A^2+A=2E,证明：A能与对角阵相似?有谁知道啊
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定理：A可对角化的充要条件是A的极小多项式没有重根.A^2+A-2E=(A-E)(A+2E),A的极小多项式必定是这个多项式的因子,没有重根,故A可对角化.楼上的做法前一半正确,后一半不对,行列式为0是必然的,要分析矩阵的元素才能得到矛盾.
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从（A-E)(A+E)=-(A-E)，则有（A-E)(A+2E)=0,此时取行列式，A-E或A+2E的行列式子满足为零，即特征值为1或者-2 或者是1和-2，，，这样，A相似于特征值为1或-2的对角阵因为如果不是对角阵的话，就不满足特征值行列式为零也就是（A-E）（A+2E）=0两边取行列式不成立貌似是这样。。。...
扫描下载二维码二阶矩阵A，B，A^2+B^2=0,证明：det(AB-BA)≤0【高等代数吧】_百度贴吧
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A，B都是实矩阵吧？看到过一个很巧妙的做法：(A+iB)(A-iB)=A^2+B^2+i(BA-AB)，因此det(AB-BA)=det(i(A+iB)(A-iB))=-1*det(A+iB)*det(A-iB)&=0.
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1设A=(aij)m×n，且r(A)=r，则A总可以表示成r个秩为1的矩阵之和2若，A的伴随矩阵A*的秩为1，则必有______．&&(A)a=b或a+2b=0&(B)a=b或a+2b≠0&&(C)a≠b且a+2b=0&(D)a≠b且a+2b≠03设A为三阶非零矩阵，，r(AB)=1，则正确的是______．&&(A)t=2时，r(A)=1&(B)t=2时，r(A)=2&&(C)f≠2时，r(A)=1&(D)t≠2时，r(A)=24设齐次线性方程组&&&&其中a≠0，b≠0，a≥2．试讨论a，b为何值时，方程组仅有零解、有无穷多解?在有无穷多解时．求出所有的解君，已阅读到文档的结尾了呢~~
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