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高一数学求函数解析式方法
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求解高中数学含参变量函数问题的思路和方法
TIMES2014年第22期
求解高中数学含参变量函数问题的思路和方法
武汉市弘桥中学　武汉　汉阳　430050
摘　要：含参变量函数问题是数学教学当中最重要且最难的部分，也是高考数学中经常出现的题目，掌握含参变量函数问题对于高考数学获得较好成绩十分有益。本文介绍了含参变量函数问题的主要类型，并根据作者自身的工作经验总结了该类型问题的求解思路和方法。
关键词：高中数学；含参变量函数；求解方法含参变量问题作为高中数学非常重要的一部分，经常直接或变相的出现在数学高考试卷中。据统计，在很多高考数学的选择或填空题中都会出现含参变量的函数问题，而且在最后的压轴大题中也会类似的含参变量问题，例如高考解析几何问题中，出现频率较高的就是求解参数取值范围的问题。所以掌握含参变量问题的主要解决方法，是任何一个想取得较好高考数学成绩的高中学生必须做到的。本文主要从含参变量函数问题的类型和常用求解方法，两个方面进行分析的。一　常见含参变量函数问题的类型
通过统计研究，我们很容易发现常见的含参变量函数问题主要有哪些。首先设不等式f(x,m)≥0，或f(x,m)≤0，为式（*），其中m为多项式f(x,m)的参变量。那么常见的求解含参变量问题的类型主要有以下几种：（1）对于任意的
参变量mM，使式子（*）恒成立，求解主变量x的取值范
围；（2）对于任意的主变量xX，使式子（*）恒成立，
求解参变量m的取值范围；（3）存在参变量mM，使式子
（*）成立，求解主变量x的取值范围；（4）存在主变量xX，使式子（*）成立，求解参变量m的取值范围。当然，其中X，MR。无论是填空、选择题，还是压轴的解析题，当出现含参变量问题时，其实其本质都是以上四种类型的一个。所以分析出题目到底是哪种类型，再顺着针对相应类型问题的解题思路，就可以较轻松的把问题解出来了。二　含参变量函数问题的求解思路和方法
解决以上四种含参变量问题的思路和方法有很多种，下面文章就通过例子介绍几种常用的方法。
1.参变元与主变元转化法。参变元与主变元转化法主要是指在解析含参变量问题时，有时需要把参变量视为函数的自变量，然后再将主变量视为函数自变量，这样通过参变元与主变元方法的互相转化来求解问题。我们通过下面这个例
子来理解该方法：对于任意的m[-1,1]，函数f(x)=x2+(m-4)x+4-2m的值大于零总成立，求x的取值范围。
通过分析，我们知道该问题属于上述类型的第一种，即已知参变量的取值范围，关于主变量和参变量的表达式恒成立，求主变量的取值范围。现在我们采用参变元与主变元转化法来解答该题。首先把参变量m视为该函数的自变量，即h(m)=(x-2)m+x2-4x+4，那么问题就转化成对于任
[-1,1]，h(m)>0恒成立，即
成立，也就是
成立，在此我们又将主变量转化为了自变量，
从而得出主变量的取值范围为{x|x3}。
2.分离变量法。分离变量法是解答含参变量函数问题最常用的方法之一，主要是通过把参变量分到不等式一边，再进
行分析求解。具体的方法我们通过以下的例子进行介绍理解：已知对于任意x[0,2]不等式|m-2x|-x+1>0恒成立，求实数m的取值范围。
通过分析，我们知道该问题属于上述类型的第二种，即已知主变量的取值范围，关于主变量和参变量的不等式恒成立，求参变量的取值范围。首先我们根据绝对值符号的性质，找到零点，去掉绝对值符号，得
。然后采用分离变量法求
找到这两个不等式组的交
叉点，即若2x=3x-1，得x=1；若2x=x+1，也得x=1。由于x
[0,2]，所以接下来把区间分为x
[0,1）和x[1,2]，分别求出参变量m的取值范围，再求交集就可以得出最终的答案，即m的取值范围为{m|m>5或m<2}。
3.数形结合法。数形结合法也是解决含参变量函数问题较常用的方法之一，主要是在坐标系中将函数图像画出，再结合题目中给出的已知条件，从而得出答案。我们还结合2.2小节中的例子，采取数形结合的方法求解问题，首先我们可以设f(x)=|m-2x|，g(x)=x-1；然后在同一个坐标系中画出这两个函数的图像；再根据题目中的条件，对于区间[0,2]中任意的x，都有f(x)>g(x)，从而得出最后的结果。
4.利用函数性质求解问题法。利用函数性质求解问题法，顾名思义就是在解答含参变量函数问题时，结合函数的性质，例如函数的单调性、有界性、奇偶性、周期性、对称性等性质，从而求解含参变量函数问题。在有些题目中经常出现，给出参变量的值或取值范围，求解已知含参变量函数的单调区间；或已知含参变量函数的单调区间，求出参变量的值或取值范围等。三　结语
含参变量函数问题的求解方法有很多，例如补集法等，对于该类题型的求解过程中，若发现采用常用方法求解较复杂时，可使用较为特殊的方法。但总的来说，含参变量函数问题的求解主要还是将函数、导数以及不等式等知识有效的运用起来，从而使该类型题目迎刃而解的。该类型题目综合考查了学生的数学分析思想以及逻辑推理能力，所以需要学生认真学习掌握该类型题目的求解方法，不仅可以使自己取得较好的数学成绩，也可以锻炼自身拥有较好的思维能力。
参考文献：
[1]赵晔明.现代教育技术条件下高中数学教学研究[D].内蒙古师范大学,2009.
[2]李晓洁.高中数学教学中培养数学思维能力的实践研究[D].天津师范大学,2012.
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