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数学 函数 积分 10.2
数学 函数 积分 10.2&自考数学一 微积分 历年真题_百度文库
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自考数学一 微积分 历年真题
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2015年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之1、集合、函数和方程（创作：天骄教研室）
专题之1、集合、函数和方程一、选择题。1．(2010年中南财经政法大学)若函数f(x)=mx+n(x≥0)的图象与函数g(x)的图象关于直线y=x对称,又f()=2,g(1)=0,则函数f(x)的值域为A.(0,+∞)B.[0,1)C.(0,1]D.[0,+∞)2．(2009年华中科技大学)已知a,b为常数,若f(x)=x2+2x+a,f(bx)=4x2-4x+1,则f(ax+b)&0的解集为A.{x∈R|x&1}B.{x∈R|x&1}&C.{x∈R|x≠1}D.{x∈R|-1&x&1}3．(2009年复旦大学)定义全集X的子集A?X的特征函数为fA(x)=,这里,XA表示A在X中的补集,那么,对A,B?X,下列命题中不准确的是
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2014年高考数学一轮复习热点难点精讲精析：第2章&&函数、导数及其应用（12份）人教版2
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函数、导数及其应用（12份）人教版&/a&
2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：2.8函数的图象
一、作函数的图象
1、相关链接
(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的函数或解析几何中熟悉的曲线的局部(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)时，就可根据这些函数的奇偶性、周期性、对称性或曲线的特征直接作出.
(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.[来源:]
(3)描点法：当函数的表达式不适合用以上两种方法时，则可采用描点法，其一般步骤为：
第一步：确定函数的定义域以限制图象的范围.
第二步：化简函数表达式.
第三步：讨论函数的性质(如奇偶性、单调性、周期性、对称性等).
第四步：列表(尤其注意特殊点，如：零点、最高点、最低点及与坐标轴的交点).
第五步：描点、连线.
注：当函数表达式是高次、分式、指数、对数及三角函数式等较复杂的结构时，常借助于导数探究图象的变化趋势从而画出图象的大致形状.
2、例题解析
【例1】作出下列函数的图象
(2)y=|log2(x+1)|;
(3)y=a|x|(0&a&1);
【方法诠释】对于(1)先求定义域，化简解析式，用直接法画图象；对于(2)、(3)和(4)可通过图象变换画出图象；对于(5)可借助于导数用描点法作出其大致图象.
解析：(1)∵函数的定义域为{x|x&0}且y=elnx=x(x&0)，∴其图象如图(1).
(2)将函数y=log2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y=|log2(x+1)|的图象，如图(2).
[来源:学&科&网]
(3)方法一：
所以只需作出函数y=ax(0&a&1)中x&0的图象和中x&0的图象，合起来即得函数y=a|x|的图象.如图(3).
方法二：作出y=ax(0&a&1)的图象，去掉y轴左边图象，保留y轴右边图象，并作关于y轴对称的图象，即得y=a|x|的图象，如图(3).
(4)故函数图象可由图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位而得，如图(4).
令y&=0,得x1=-1，x2=3，
令y&&0，得单调增区间为(-&,-1)和(3,+&).令y&&0,得单调减区间为(-1，3)，所以函数在x1=-1,x2=3处取得极值分别为和-9，由此可得其图象大致如图(5).
注：要准确作出函数的大致图象，需做到：
(1)熟练掌握六类基本初等函数的图象；
(2)掌握平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换以及导数法等常用的方法技巧.[来源:学_科_网]
二、识图与辨图
1、相关链接
&一&知图选式的方法
(1)从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；
(2)从图象的变化趋势，观察函数的单调性；
(3)从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；
(4)从图象的循环往复，观察函数的周期性.
利用上述方法，排除、筛选错误与正确的选项.
&二&知式选图的方法：[来源:学科网ZXXK]
(1)从函数的定义域，判断图象左右的位置；从函数的值域，判断图象上下的位置；
(2)从函数的单调性(有时可借助导数判断)，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；
(5)从函数的极值点判断函数图象的拐点.
利用上述方法，排除、筛选错误与正确的选项.[来源:学|科|网]
注：注意联系基本函数图象的模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上也能寻找突破口．
2、例题解析
【例1】(1)(2012&南阳模拟)函数y=x+cosx的大致图象是( )
(2)定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如图所示，则在(-2，0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是( )
【方法诠释】(1)对函数求导，利用排除法求解.(2)由f(x)的奇偶性作出其在(-2，0)上的图象.由图象判断其单调性，再逐个验证选项中函数在(-2，0)上的单调性是否与f(x)在(-2，0)上的单调性不同，从而作出判断.
解析：(1)选.
由y=x+cosx,得y&=1-sinx,令y&=0,得sinx=1，即函数y=x+cosx有无穷多个极值点，从而排除选项，又x=0时，y=1,即图象应过(0，1)点，再排除，比较、与y轴交点纵坐标与的大小知应选.
(2)选.由奇偶性知函数f(x)在(-2，0)上的图象如图所示：
则知f(x)在(-2，0)上为单调减函数，而y=x2+1,y=|x|+1和作出其图象知在(-2，0)上均为减函数.又y=x3+1,x&0时，y&=3x2&0，
故y=x3+1在(-2，0)上为增函数，与f(x)的单调性不同，故选.
注：识图与辨图是一个比较综合的问题.解答该类问题的关键是要充分从解析式与图象中发现有价值的信息，最终使二者相吻合.
三、函数图象的应用
1、相关链接
（1）利用函数的图象研究函数的性质
对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.[来源:学+科+网Z+X+X+K][来源:学科网ZXXK]
（2）利用函数的图象研究方程根的个数
当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)=0的根就是函数f(x)图象与x轴的交点的横坐标，方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象的交点的横坐标.
（3）利用函数的图象研究不等式
当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.
2、例题解析
【例】已知函数f(x)=x|m-x|(x&R)，且f(4)=0.[来源:]
(1)求实数m的值；
(2)作出函数f(x)的图象并判断其零点个数；
(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间；
(4)根据图象写出不等式f(x)&0的解集；
(5)求集合M={m|使方程f(x)=m有三个不相等的实根}.
【解题指南】求解本题先由f(4)=0,求得函数解析式，再根据解析式结构选择适当的方法作出函数的图象，进而应用图象求解(3)(4)(5)三个小题.
【规范解答】(1)∵f(4)=0，∴4|m-4|=0，即m=4；[来源:学科网ZXXK]
(2)∵f(x)=x|m-x|
∴函数f(x)的图象如图：
由图象知f(x)有两个零点.
(3)从图象上观察可知：f(x)的单调递减区间为［2，4］；
(4)从图象上观察可知：
不等式f(x)&0的解集为：{x|0&x&4或x&4}.
(5)由图象可知若y=f(x)与y=m的图象有三个不同的交点，则0&m&4,
∴集合M={m|0&m&4}.
注：利用函数的图象能直观地解决函数的性质问题、方程根的个数问题、函数的零点个数问题及不等式的解集与恒成立问题，但其关键是作出准确的函数图象，数形结合求解.否则若图象出现失误，将得到错误的结果.
2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：
2.9函数与方程
1、零点的判定
○相关链接○
（1）解方程：当能直接求解零点时，就直接求出进行判断。
（2）用定理：零点存在性定理。
注：如果函数在[a,b]上的图象是连续不断的曲线，且是函数在这个区间上的一个零点，但不一定成立。
(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断
○例题解析○[来源:学+科+网Z+X+X+K]
〖例〗判断下列函数在给定区间是否存在零点。
（1） f(x)=x2-3x-18,x&[1,8];
f(x)=log2(x+2)-x,x&[1,3]
分析：第（1）问利用零点的存在性定理或直接求出零点，第（2）问利用零点的存在性定理或利用两图象的交点来求解。
解答：（1）方法一：
∵f(1)=12-3&1-18=-20&0,
f(8)=82-3&8-18=22&0,[来源:Z&xx&]
∴f(1)&f(8)&0,
故f(x)=x2-3x-18,
x&[1,8]存在零点
令f(x)=0得x2-3x-18=0，x&[1,8]。
∴ (x-6)(x+3)=0,
∴x=6&[1,8],x=-3[1,8],
∴f(x)=x2-3x-18,
x&[1,8]存在零点
（2）方法一：∵f(1)=log23-1&log22-1=0,f(3)=log25-3&log28-3=0,
∴f(1)&f(3)&0,故f(x)=log2(x+2)-x,x&[1,3]存在零点。
方法二：设y=log2(x+2),y=x,，在同一直角坐标系中画出它们的图象，从图象中可以看出当时，两图象有一个交点，因此f(x)=log2(x+2)-x,x&[1,3]存在零点。
注：(1)判断函数零点所在的区间，当方程f(x)=0无法解出或函数y=f(x)的图象不易作出时，常用函数零点存在的判定定理判断.
(2)判断方程的解所在的区间常转化为函数的零点问题.
[来源:学|科|网]
2、函数零点个数的判定
○相关链接○
函数零点个数的判定有下列几种方法：
(1)解方程法：令f(x)=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；[来源:]
(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间［a,b］上是连续不断的曲线，且f(a)&f(b)＜0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质；
(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
○例题解析○
判断函数在区间上零点的个数，并说明理由。
分析：求的值判断函数在上的单调性函数零点个数。
注：在判断函数y=f(x)零点个数时，若方程f(x)=0易解，则用解方程法求解；否则若可转化为两熟悉函数图象交点问题，用图象法求解，但图象画的太粗糙易出现失误；若图象不易画则可利用零点存在的判定定理及函数的性质综合求解.
3、与二次函数有关的零点分布问题
○相关链接○
设是实系数一元二次方程的两实根，下面为几类常见二次函数零点分布情况需满足于的条件：
根的分布（且均为常数）[来源:学科网ZXXK]
满足的条件[来源:学科网]
[来源:学科网ZXXK]
只有一根在之间
○例题解析○
〖例〗（1）m为何值时，f(x)=x2+2mx+3m+4①有且仅有一个零点；②有两个零点且均比-1大；
（2）若函数f(x)=|4x-x2|+a有4个零点，求褛a 取值范围。
分析：（1）二次函数结合图象求解，也可用方程思想求解；（2）利用函数图象求解。
解答：（1）①若函数f(x)=x2+2mx+3m+4有且仅有一个零点，则等价于&D=4m2-4(3m+4)=0,即4m2-12m-16=0,即m2-3m-4=0,解得m=4或m=-1
②方法一：方程思想
若f(x)有两个零点且均比-1大，设两零点分别为x1,x2,则x1+
x2=-2m, x1&x2=3m+4,
故m的取值范围是
方法二：函数思想
若f(x)有两个零点且均比-1大，结合二次函数图象可知只需满足，故
∴m的取值范围是。
（2）若f(x)=|4x-x2|+a有4个零点，即4x-x2|+a=0有四个根，即|4x-x2|=-a有四个根，令g(x)=
|4x-x2|,h(x)=-a.则作出g(x)的图象,
由图象可知要使|4x-x2|=-a有四个根，则g(x)与h(x)的图象应有4个交点。
故需满足0&-a&4,即-4&a&0.∴a
的取值范围是（-4，0）。[来源:Z_]
4、由函数零点的存在情况求参数的取值
○相关链接○
已知函数有零点(方程有根)求参数取值常用的方法和思路：
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.
○例题解析○
〖例〗(2012&临沂模拟)已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,
(1)若g(x)=m有实数根，求m的取值范围；
(2)确定m的取值范围，使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.
【方法诠释】解答(1)可用基本不等式求出最值或数形结合法求解，(2)转化为两个函数f(x)与g(x)有两个交点，从而数形结合求解.
解析：(1)方法一：等号成立
的条件是x=e,故g(x)的值域是［2e,+&)，因此，只需m&2e,则g(x)=m就有零点.
方法二：作出的大致图象如图：
可知若使g(x)=m有零点，则只需m&2e.
(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出的大致图象.
[来源:学科网]
∵f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2，
∴其图象的对称轴为x=e,开口向下，最大值为m-1+e2.故当[来源:学|科|网]
m-1+e2&2e,即m&-e2+2e+1时，g(x)与f(x)有两个交点，即
g(x)-f(x)=0有两个相异实根.∴m的取值范围是(-e2+2e+1,+&).
注：有些二次、高次、分式、指数、对数及三角式、含绝对值方程根的存在问题，常转化为求函数值域或两熟悉函数图象交点问题求解.
2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：
2.10函数模型及其应用
1、一次函数与分段函数模型
○相关链接○
（1）在现实生活中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升（自变量的系数大于0）或直线下降（自变量的系数小于0）；
（2）很多实际问题中变量间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数。如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数。
（3）分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起。要注意各段变量的范围，特别是端点值。[来源:Z,]
○例题解析○
〖例1〗电信局为了配合客户不同需要，设有A，B两种优惠方案．这两种方案应付话费y(元)与通话时间x(分钟)之间的关系如图所示，其中MN∥CD.
(1)若通话时间为2小时，按方案A，B各付话费多少元？
(2)方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？
(3)通话时间在什么范围内，方案B比方案A优惠？
思路解析：本题是求在不同的条件下，两种方案所付话费以及话费的比较，但由于题设中以图象的形式给出两方案的付费函数，所以在解题方法上，可先求出函数的解析式，然后再求其他解．[来源:学*科*网]
解答：设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系为和，由图知M（60，98），N（500，230），C（500，168），MN∥CD；则
（1）通话2小时的费用分别是116元、168元。
∴方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3元。
（3）由图知，当0&x&60时，＜；
当60&x&500时，由＞得
解得[来源:学.科.网Z.X.X.K]
当x＞500时，＞。
综上，通话时间在内，方案B比方案A优惠。
〖例2〗我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元.小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时.
(1)设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15&x&40),乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15&x&40).试求f(x)和g(x);
(2)问：小张选择哪家比较合算？为什么？
【解析】(1)f(x)=5x(15&x&40),
(2)由f(x)=g(x)得，
即x=18或x=10(舍).
当15&x&18时，f(x)-g(x)=5x-90&0,
∴f(x)&g(x),即选甲家；
当x=18时，f(x)=g(x),即可以选甲家，也可以选乙家；
当18&x&30时，f(x)-g(x)=5x-90&0,
∴f(x)&g(x),即选乙家;
当30&x&40时，f(x)-g(x)=5x-(2x+30)=3x-30&0,∴f(x)&g(x),即选乙家.
综上所述，当15&x&18时，选甲家，当x=18时，可以选甲家，也可以选乙家，当18&x&40时，选乙家.
2、二次函数与分段函数模型
○相关链接○
二次函数的应用主要有以下方面：
(1)利用二次函数关系式或图象求最值.
(2)利用二次函数单调性求参数取值或范围.
(3)二次函数如果是分段表示，则应注意分段区间端点值的应用.
(4)利用二次函数对应方程根的分布求参数范围.
〖例1〗某飞机制造公司一年中最多可生产某种型号的飞机100架。已知制造x架该种飞机的产值函数为R(x)=3000x-20x2
(单位：万元），成本函数
C（x)=500x+4000
(单位：万元）。利润是收入与成本之差，又在经济学中，函数&（x)的边际利润函数M&x)定义为：M&x)=&(x+1)-&(x).
①求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；（利润=产值-成本）
②问该公司的利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相等的最大值？
解：①P(x)= R(x)- C（x)=
-20x2+ (x&N*,且x&[1,100])；
MP(x)= P(x+1)-
P(x)=-40x+2480(x&N*,且x&[1,100])；[来源:学+科+网Z+X+X+K]
②P(x)= -20（x-）2+74125
(x&N*,且x&[1,100])；则当x=62或63时，P（x)max=74120（元），因为MP(x)
=-40x+2480为↘，则当x=1时，MP(x)max =2440元，故利润函数与边际利润函数不具有相等的最大值。
〖例2〗北京奥运会纪念章某特许专营店销售纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向北京奥组委交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x元。
（1）写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y（元）与每枚纪念章的销售价格x的函数关系式（并写出这个函数的定义域）。
（2）当每纪念章销售价格x为多少元时，该特许专营店一年内利润y（元）最大，并求出这个最大值。
思路解析：（1）利润=（售价-进价-管理费）&（销售的纪念章数），注意价格取值是分段的；
（2）分段函数求最值时，要分段求，然后比较大小。
解答：（1）依题意
些函数的定义域为（0，40）。
当0&x20,则当x=16时，ymax=32400（元）；
当20&x&40,则当x=时，ymax=27225（元）。
综上可得当x=16 时，该特许专营店获得的利润最大为32400元。
注：分段函数是一类重要的函数，生活中很多实例都是分段函数模型，解决此类问题主要是构造分段函数，然后分步解决，构造分段函数时要力求准确、简捷，做到分段合理，不重不漏。
3、指数函数模型
○相关链接○[来源:Z_]
(1)指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来表示；
(2)应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型将有关已知数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型.
(3)y=a(1+x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解．
○例题解析○[来源:Z+]
〖例1〗急剧增加的人口已经使我们赖以生存的地球不堪重负．控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前．
(1)世界人口在过去的40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？
(2)我国人口在2006年底达到13.14亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在2016年底至多有多少亿？
以下对数值可供计算时使用:
思路解析：(1)本题求每年人口增长率,但已知40年内翻一番,所以在解题方法上,可用方程的思想来解；
(2)本题是计算10年后我国人口的数量，由于题设中已知10年前以及每年的增长率，所以在解题方法上，可先找到函数关系，直接计算求解．
解答：(1)设每年人口平均增长率为x,n年前的人口数为a,n年后的人口数为y，则y=a(1+x)n,
依题意得：2a=a(1+x)40,即2=(1+x)40,
两边取对数得，lg2=40lg(1+x),
则lg(1+x)==0.007 525,
所以1+x&1.017,得x&0.017,
故每年的人口平均增长率约是1.7%.
(2)依题意得y&13.14(1+1%)10,
两边取对数得，lgy&lg13.14+10lg(1+1%)&1.161 6,y&14.51,故2
016年至多有人口14.51亿.
〖例2〗某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%,试解答下面的问题：
（1）写出该城市人口总数y（万人）与年份x（年）的函数关系式；
（2）计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）；
（3）计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人（精确到1年）。
（1．01210=1．127，1.01215=1.196,1.01216=1.210）
思路解析：列出前几年该城市人口总数y与年份x的函数关系观察规律，总结出y与x的函数关系按要求求解（2）、（3）两小题[来源:Z&xx&]
解答：（1）1年后该城市人口总数为y=100+100&1.2%=100&(1+1.2%),
2年后该城市人口总数为
y=100&(1+1.2%)+100&(1+1.2%)2&1.2%=100&(1+1.2%)2
同理，3年后该城市人口总数为：y=100&(1+1.2%)3
X年后该城市人口总数为y=100&(1+1.2%)x(x&N).[来源:学科网]
（2）10年后人口总数为100&（1+1.2）10&112.7(万)
（3）设x年后该城市人口将达到120万人，即100&（1+1.2%）x=120,x=log1.0121.20&16（年）。
因此，大约16年以后城市人口将达到120万人。
注：高考数学试题中联系生活实际和生产实际的应用问题，其创意新颖，设问角度独特，解题方法灵活，一般文字叙述长，数量关系分散且难以把握。解决此类问题关键要认真审题，确切理解题意，进行科学的抽象概括，将实际问题纳为相应的数学问题，然后利用函数、方程、不等式等有关知识解答。
4、利用函数刻画实际问题
○相关链接○
用函数图象刻画实际问题的解题思路
将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可.
○例题解析○
【例】如图所示，向高为H的容器A，B，C，D中同时以等速注水，注满为止：
(1)若水深h与注水时间t的函数图象是下图中的(a)，则容器的形状是______;
(2)若水量v与水深h的函数图象是下图中的(b)，则容器的形状是______;
(3)若水深h与注水时间t的函数图象是下图中的(c)，则容器的形状是______;
(4)若注水时间t与水深h的函数图象是下图中的(d)，则容器的形状是______.
【方法诠释】根据实际问题中水深h,水量v和注水时间t之间的关系，结合图象使之吻合即可.
解析：(1)该题图中的(a)说明了注入水的高度是匀速上升的，只有C中的容器能做到，所以应填C；
(2)该题图中的(b)说明了水量v增长的速度随着水深h的增长越来越快，在已知的四个容器中，只有A中的容器能做到，所以应填A；
(3)该题图中的(c)说明水深h与注水时间t之间的对应关系，且反映出来的是升高的速度是由快到慢再到快，在已知的四个容器中，只有D中的容器能做到，所以应填D；
(4)该题图中的(d)说明水深h与注水时间t之间的对应关系，且反映出来的是水深升高的速度是先慢后快，在已知的四个容器中，只有B中的容器能做到，所以应填B．
答案：(1)C (2)A (3)D (4)B[来源:学&科&网Z&X&X&K][来源:学|科|网]
注：用函数刻画实际问题的关键是分析所给实际问题中两个变量间的关系，从中发现其变化的规律，并与函数的图象、性质联系起来，从而使问题解决.
5、利用已知函数模型解决实际问题
○相关链接○
利用已知函数模型解决实际问题的步骤
若题目给出了含参数的函数模型，或可确定其函数模型的图象,求解时先用待定系数法求出函数解析式中相关参数的值,再用求得的函数解析式解决实际问题.
○例题解析○
【例】(1)某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=3
000+20x-0.1x2(0&x&240,x&N)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是(
(A)100台 (B)120台
(C)150台 (D)180台
(2)为了预防流感,某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中
的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比;药物释放完毕后，y与t的函数关系式为 (a为常数)，如图所示，
根据图中提供的信息，求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为______.
【方法诠释】(1)结合二次函数的性质及实际意义解题即可.
(2)结合图象通过特殊点用待定系数法求出关系式.
解析：(1)选C.∵要使生产者不亏本，
则有3 000+20x-0.1x2&25x,
解上式得：x&-200或x&150,
又∵0&x&240,x&N，
∴x的最小值为150.
(2)药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与
时间t(小时)成正比,则设函数y=kt(k&0),将点(0.1,1)代入可
得k=10,则y=10t;将点(0.1,1)代入得
则所求关系式为
6、自建模型解决实际问题
○相关链接○
建立函数模型解决实际问题的步骤
(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质；
(2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题；
(3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题；
(4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论．
○例题解析○
【例3】(2012&北京模拟)某特许专营店销售上海世博会纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需要向上海世博局交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时，该店一年可销售2
000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元，则增加销售400枚；而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x元.
(1)写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y(元)与每枚纪念章的销售价格x元之间的函数关系式(并写出这个函数的定义域);
(2)当每枚纪念章销售价格x为多少时，该特许专营店一年内利润y(元)最大，并求出这个最大值.
【方法诠释】(1)首先应根据题意确定出销售价格x的取值范围;
再分别求出减少,增加一元时的销售利润,从而得到一年所得利润y(元)的函数关系式.
(2)根据函数关系式的结构特征，选择适当的求最值方法求解.
解析：(1)依题意销售价格x&(7,40)，即定义域为(7,40)，而当7＜x&20，x&N+时，则增加销售400(20-x)枚,
故其一年内销售所获得利润为
y=［2 000+400(20-x)］(x-7);
当20＜x＜40，x&N+时，则减少销售100(x-20)枚.
故其一年内销售所获得利润为
y=［2 000-100(x-20)］&(x-7)，
若7＜x&20,则当x=16时,ymax=32 400(元).
若20＜x＜40,则当x=23或24时,
ymax=27 200(元).
综上可得当x=16时，该特许专营店获得的利润最大,为32 400元.
注：解决这类问题常见的两个误区
(1)不会将实际问题转化为函数模型，从而无法求解.
(2)在求解过程中忽视实际问题对变量参数的限制条件.
2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：
2.11导数及其应用
一、变化率与导数、导数的运算
（一）利用导数的定义求函数的导数
1、相关链接
（1）根据导数的定义求函数在点处导数的方法：
①求函数的增量；
②求平均变化率；
③得导数，简记作：一差、二比、三极限。
（2）函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数。
2、例题解析
〖例1〗求函数y=的在x=1处的导数。
〖例2〗一质点运动的方程为。
（1） 求质点在[1，1+&Dt]这段时间内的平均速度；
（2） 求质点在t=1时的瞬时速度（用定义及求求导两种方法）
分析（1）平均速度为；
（2）t=1时的瞬时速度即在t=1处的导数值。
解答：（1）∵
∴&Ds=8-3(1+&Dt)2-(8-3&12)=-6&Dt-3(&Dt)2,
（2）定义法：质点在t=1时的瞬时速度[来源:学&科&网Z&X&X&K]
求导法：质点在t时刻的瞬时速度
，当t=1时，v=-6&1=-6.
注：导数的物理意义建立了导数与物体运动的瞬时速度之间的关系。对位移s与时间t的关系式求导可得瞬时速度与时间t的关系。根据导数的定义求导数是求导数的基本方法，请按照&一差、二比、三极限&的求导步骤来求。
（二）导数的运算
1、相关链接
（1）运用可导函数求导法则和导数公式，求函数在开区间（a,b）内的导数的基本步骤：
①分析函数的结构和特征；
②选择恰当的求导法则和导数公式求导；[来源:学&科&网]
③整理得结果。[来源:学&科&网Z&X&X&K]
（2）对较复杂的函数求导数时，诮先化简再求导，特别是对数函数真数是根式或分式时，可用对数的性质转化真数为有理式或整式求解更为方便。
（3）复合函数的求导方法
求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为求基本函数的导数解决。
①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量；
②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量；[来源:Z。xx。k.Com]
③根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；
④复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程。
2、例题解析
〖例〗求下列函数的导数。[来源:学#科#网Z#X#X#K]
思路分析：本题考查导数的有关计算，借助于导数的计算公式及常见的初等函数的导数，可以容易求得.
解答：(1)方法一：由题可以先展开解析式然后
再求导：y=(2x2-1)(3x+1)=6x3+2x2-3x-1，
∴y&=(6x3+2x2-3x-1)&
=(6x3)&+(2x2)&-(3x)&=18x2+4x-3.
方法二：由题可以利用乘积的求导法则进行求导：
y&=(2x2-1)&(3x+1)+(2x2-1)(3x+1)&
=4x(3x+1)+3(2x2-1)=12x2+4x+6x2-3
=18x2+4x-3.
(2)根据题意把函数的解析式整理变形可得：
(3)根据求导法则进行求导可得：
y&=(3xex)&-(2x)&+e&=(3x)&ex+3x(ex)&-(2x)&=3xln3&ex+3xex-2xln2=(3e)xln3e-2xln2
(4)根据题意利用除法的求导法则进行求导可得：
(5)设&=3-2x，则y=(3-2x)5是由y=&5与&=3-2x复合而成，所以y&=f&&&&&x=(&5)&&(3-2x)&=5&4&(-2)=-10&4=-10(3-2x)4.
规律总结：一般说来，分式函数求导，要先观察函数的结构特征，可化为整式函数或较为简单的分式函数；对数函数的求导，可先化为和、差的形式；三角函数的求导，先利用三角函数公式转化为和或差的形式.复合函数的求导过程就是对复合函数由外层逐层向里求导.每次求导都针对最外层，直到求到最里层为止.所谓最里层是指此函数已经可以直接引用基本初等函数导数公式进行求导.
（三）导数的几何意义
【例】已知曲线，
（1） 求曲线在点P(2,4)处的切线方程；
（2） 求曲线过点P(2,4)的切线方程；
（3） 求斜率为4的曲线的切线方程。
思路分析：&该曲线过点P(2，4)的切线方程&与&该曲线在点P(2，4)处的切线方程&是有区别的：过点P(2，4)的切线中，点P(2，4)不一定是切点；在点P(2，4)处的切线，点P(2，4)是切点.
解答：（1）上，且
∴在点P(2,4)处的切线的斜率k==4;
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.
（2）设曲线与过点P(2,4)的切线相切于点A（x0，），则切线的斜率，∴切线方程为（）=（-），即
∵点P(2,4)在切线上，∴4=2，即，∴，
∴（x0+1）(x0-2)2=0
解得x0=-1或x0=2
故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.
（3）设切点为（x0,y0）
则切线的斜率为k=x02=4,
x0=&2.切点为（2，4），（-2，-4/3）
∴切线方程为y-4=4(x-2)和y+4/3=4(x+2)
即4x-y-4=0和12x-3y+20=0
注：(1)求函数f(x)图象上点P(x0,f(x0))处的切线方程的关键在于确定该点切线处的斜率k，由导数的几何意义知k=f&(x0)，故当f&(x0)存在时，切线方程为y-f(x0)=f&(x0)(x-x0).
(2)要深入体会切线定义中的运动变化思想：①两个不同的公共点&两公共点无限接近&两公共点重合(切点)；②割线&切线.
（3）可以利用导数求曲线的切线方程，由于函数y=f(x)在x=x0处的导数表示曲线在点P(x0,f(x0))处切线的斜率，因此，曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程，可按如下方式求得：
第一，求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率；
第二，在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程y=y0+f&(x0)(x-x0)；如果曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，由切线的定义
可知，切线的方程为x=x0.
二、导数在函数中的应用与生活中的优化问题举例
（一）利用导数研究函数的单调性
1、相关链接
（1）求可导函数单调区间的一般步骤和方法，如下图：
①确定函数f(x)的定义域;
②求f&(x) ，令f&(x)=0，求出它们在定义域内的一切实根；
③把函数f(x)的间断点（即f(x)无定义点）的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间。
④确定f&(x)在各个开区间内的符号，根据f&(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性。
注：当f(x)不含参数时，也可通过解不等式f&(x)&0（或f&(x)&0）直接得到单调递增（或递减）区间。
（2）证明可导函数f(x)在（a,b）内的单调性的步骤
①求f&(x);
②确认f&(x)在（a,b）内的符号；
③作出结论：f&(x)&0时为增函数；f&(x)&0时为减函数。
（3）已知函数的单调性，求参数的取值范围，应注意函数f(x)在（a,b）上递增（或递减）的充要条件应是f&(x)&0（或f&(x)&0），x&（a,b）恒成立，且f&(x)
在（a,b）的任意子区间内都不恒等于0，这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f&(x)
=0，甚至可以在无穷多个点处f&(x0) =0，只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间。
2、例题解析
〖例〗】(2011&北京模拟)若函数f(x)=lnx-ax2-2x存在单调递减区间,求实数a的取值范围.
思路解析：函数f(x)存在单调减区间,就是不等式f&(x)&0有实数解,考虑到函数的定义域为(0,+&),所以本题就是要求f&(x)&0在(0,+&)上有实数解.
解答：f&(x)= -ax-2=.因为函数f(x)存在单调递减区间,所以f&(x)&0有解.又因为函数的定义域为(0,+&),则ax2+2x-1&0在x&(0,+&)内有解.
(1)当a＞0时,y=ax2+2x-1为开口向上的抛物线,ax2+2x-1&0,总可以找到x＞0的解;
(2)当a＜0时,y=ax2+2x-1为开口向下的抛物线,要使ax2+2x-1&0总有大于0的解,则&D=4+4a&0且方程ax2+2x-1=0至少有一个正根,此时-1&a＜0.
(3)当a=0时,显然符合题意.
综上所述,实数a的取值范围是［-1,+&).
（二）利用导数研究函数的极值与最值
1、相关链接
（1）求函数f(x)极值的步骤
①确定函数f(x)的定义域；
②求导数f&(x);
③求方程f&(x)=0的根。
④检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点（最好通过列表法）。如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果f&(x)在点x0的左右两侧符号不变，则f(x0)不是函数极值。
（2）可导函数极值存在的条件
①可导函数的极值点x0一定满足f&(x0)=0,但当f&(x0)=0时，x0不一定是极值点。如f(x)=x3,f&(0)=0,但x=0不是极值点。
②可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f&(x)=0，且在x0左侧与右侧f&(x0)的符号不同。
（3）设函数f(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤
①求函数y=f(x)在（a,b）内的极值；
②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。[来源:学+科+网Z+X+X+K][来源:Z|]
③根据最值的定义，求在闭区间[a,b]上连续，开区间（a,b）,内可导的函数的最值时，可将过程简化，即不用判断使f&(x)=0成立的点是极大值点还是极小值点，直接将极值点与端点的函数值进行比较，就可判定最大（小）值。
④定义在开区间（a,b）上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点。
2、例题解析
〖例1〗已知函数f(x)=x3+ax2+bx+5,记f(x)的导数为f&(x).
(1)若曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为3，且x=时，y=f(x)有极值,求函数f(x)的解析式.
(2)在(1)的条件下，求函数f(x)在［-4,1］上的最大值和最小值.
思路解析：在求解(1)时，可以通过切线斜率和极值点求得a,b的值，从而求得函数的解析式.在求解(2)时只需要列出极值变化表，对比区间端点值求得最值即可.
（1）由题意，得
解得，所以
（2）由（1）知，
当变化时，的变化情况如表：
∴在上的最大值为13，最小值为-11.
〖例2〗已知函数
（1）当时，求证函数上是增函数；
（2）当a=3时，求函数在区间[0，b]上的最大值。
解答：(1)时，故在R上是增函数。(4分)
①若时，得：
(Ⅰ)若时，在[0，b]上单增，故
(Ⅱ)若时，因故.
②若时，由①知在上的最大值为2，下求在上的最大值，因
综合①、② 知： (12分)
（四）利用导数解决实际生活中的优化问题
1、相关链接[来源:]
利用导数解决生活中的优化问题时：
(1)既要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还要注意确定函数关系式中自变量的定义区间.
(2)一定要注意求得函数结果的实际意义，不符合实际的值应舍去.
(3)如果目标函数在定义区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点.
2、例题解析
〖例〗某地政府为科技兴市,欲将如图所示的一块不规则的非农业用地建成一个矩形的高科技工业区.已知AB&BC,OA∥BC,且AB=BC=2AO=4
km,曲线段OC是以点O为顶点且开口向右的抛物线的一段,如果要使矩形的相邻两边分别落在AB,BC上,且一个顶点落在曲线段OC上,问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大?并求出最大的用地面积(精确到0.1 km2).
[来源:学,科,网Z,X,X,K]
思路解析：矩形工业园的用地面积与它落在抛物线段OC上的具体位置有关，因此应设法将落在OC上的点用一个变量表示出来，然后用这一变量表示矩形工业园的用地面积，而要设出相应的变量，则应首先建立直角坐标系.[来源:]
解答：以O点为坐标原点，OA所在的直线为y轴建立直角坐标系(如图所示)，
依题意可设抛物线为y2=2px(p＞0)且C(4,2).
∴22=2p&4,∴p=,故所设抛物线方程为y2=x(0&x&4).
设P(x, )(0&x&4)是曲线段OC上的任意一点，则在矩形PQBN中，|PQ|=2+，|PN|=4-x,所以工业区的面积为S=|PQ|&|PN|=(2+)(4-x) =-2x+4+8，
∴S&=-2+2，
令S&=0，得3x+4-4=0,( +2)(3-2)=0,∴x=.
故当x&［0, )时，S&＞0,S是关于x的增函数；
当x&［,4］时，S&＜0,S是关于x的减函数，
∴x=时，S取得最大值，
此时|PQ|=2+=,|PN|=4-x=,
∴S=&9.5,∴Smax&9.5(km2).
∴把工业园规划成长为km,宽为km的矩形，工业园的面积最大，最大面积约为9.5 km2.
注：①生活中的优化问题，往往涉及到函数的最值，求最值可利用单调性，也可直接利用导数求最值，要掌握求最值的方法和技巧。
②在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合。用导数求解实际问题中的最大（小）值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点也就是最值点。
2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：2.12定积分
一、定积分的概念与微积分基本定理
（一）定积分的计算（利用定义）
1、相关链接
（1）由定积分定义求定积分的步骤为[来源:学科网ZXXK]
①分割；
②近似代替；
③求和；
④取极限。
（2）关于定积分的概念应注意的问题
①积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母无关，即
②定义中区间的分法和的取法都是任意的。
③在定积分的定义中，限定下限小于上限，即a&b,为了方便计算，人们把定积分的概念扩大，使下限不一定小于上限，并规定：=，=0。
2、例题解析
〖例1〗用定积分的定义计算定积分的值。
分析：n等分区间[a,b]近似代替求和取极限
解答：将区间[a,b]等分，设分点分别为a=x0&x1&x2&&&xi+1&xi&&&xn=b,取&i=,显然，作和式
〖例2〗用定积分的定义求直线x=1,x=2,y=0和曲线y=x3围成的图形的面积
解析：（1）分割
用分点将区间[1，2]等分成个小区间，如图所示
，每个区间的长度为[来源:学*科*网]
&Dx=,过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形ABCD分割成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作
（2）近似代替
取各小区间的左端点记为，用以点的纵坐标为一边，以小区间长为其邻边的小矩形面积代替第i个小曲边梯形的面积，可近似地表示为
因为每个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以个小矩形面积的和就是曲边梯形ABCD面积S的近似值，即
&&&&&&&&&&①
（4）取极限
当分点数目越多，即&Dx越小，和式①的值就越接近于曲边梯形ABCD的面积S，当，即&Dx0时，和式①的极限就是所求的曲边梯形ABCD的面积。
（二）定积分的计算（利用微积分基本定理）
1、相关链接
（1）求函数f(x)在某个区间上的定积分，关键是求函数f(x)的一个原函数，正确运用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系；若原函数不易寻找时，先把f(x)进行变形。
（2）计算简单定积分的步骤
①把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差；
②利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和与差；
③分别用求导公式找到F(x)，使得F&(x)=f(x);[来源:Z_]
④利用牛顿&莱布尼兹公式求出各个定积分的值；
⑤计算所求定积分的值。
2、例题解析
〖例〗（1）；（2）；（3）[来源:学科网][来源:学科网ZXXK]
解析：（1）
（2）因为，所以；
（三）求分段函数（带绝对值的函数）的积分
1、相关链接
（1）分段函数的定积分
①分段函数在区间[a,b]上的积分可分成几段积分的和的形式；
②分段的标准是使每一段上的函数表达式是确定的，一般按照原函数分段的情况分，无需分得过细。
（2）奇偶函数在对称区间上的积分
①若f(x)为偶函数，且在关于原点对称的区间[-a,a]上连续，则;
②若f(x)为奇函数，且在关于原点对称的区间[-a,a]上连续，则
2、例题解析
〖例1〗（1）求函数在区间上的积分。
〖思路解析〗（1）f(x)在[0，5]上的定积分，可按照f(x)的分段标准，分成[0，1]，三段的定积分的和；（2）由，可分为二段定积分，再求和。
解答：（1）由定积分性质知[来源:学科网]
〖例2〗求的定积分
思路分析：利用微积分基本定理，但不能直接应用求解，可先通过换元转化为可利用定积分公式求解的形式。
∴=[来源:学科网]
注：为了消去被积函数中的根式，可令，则，因为定积分与定积分的变量符号无关，所以，从而将问题转化为我们熟悉的被积函数式，再利用定积分公式求得积分值。
（四）利用定积分的几何意义求定积分
〖例〗利用定积分的几何意义求的值。
思路解析：画出被积函数的图象，求出对应图形的面积，由定积分的几何意义便可求出积分值。
解答：表示的图象与所围成的图形的面积，如图：
由得且（y&0），∴表示以原点为圆心，a为半径的上半圆，其面积为，∴
方法提示：1.定积分的几何意义非常重要，函数的奇偶性又是解决定积分有关问题的重要工具，利用这两点能简捷地解决定积分的有关问题，结论如下：
设函数f(x)在闭区间［-a，a］上连续，则：(1)若f(x)是偶
函数，则 =2 f(x)(2)若f(x)是奇函数，
2.当函数f(x)在区间［a,b］上恒为正时，定积分
f(x)dx的几何意义是由直线x=a，x=b(a&b)，y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积.
3.根据定积分的几何意义，若f(x)&0，则在［a,b］上的阴影面积S=；若f(x)&0，则在［a,b］上的阴影面积S=-.
注：当被积函数的原函数不易求，而被积函数的图象与所围成的曲边梯形面积易求时，用曲边梯形面积的代数和的方法求定积分。
二、定积分的简单应用
（一）利用定积分求图形的面积
1、相关链接
（1）利用定积分求曲边梯形面积的步骤
①画出曲线的草图，确定图形范围；
②借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；
③将曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和或差；
④计算定积分，写出答案。
注：利用定积分
（2）关键环节
①认定曲边梯形，选定积分变量；
②确定被积函数与积分上、下限。[来源:Z,]
注：被积函数实际上就是曲边梯形上边界的函数减去下边界的函数，当某一边界是不同函数的图象时就要分段去求。
2、例题解析
〖例1〗求由抛物线，直线x=2，y=0所围成的图形的面积
思路分析：画出图象求出抛物线与x轴交点用定积分求面积
解答：作出直线x=2，曲线的草图，
所求面积为图中阴影部分的面积。
由得抛物线与x轴的交点坐标是（-1，0）和（1，0），因此所求图形的面积为：
〖例2〗求曲线与直线y=x-4围成的图形面积
解答：作出直线y=x-4，曲线的草图，所求面积为图中阴影部分的面积。
解方程组得，
即直线y=x-4与曲线交点的坐标分别为（2，-2）和（8，4）
所以所求图形的面积为[来源:学_科_网Z_X_X_K]
（二）定积分在物理方面的应用
1、相关链接[来源:学#科#网Z#X#X#K]
（1）物体作变速直线运动的速度v(t)等于加速度函数a=a(t)在时间区间[m,n]上的定积分。
（2）求变力作功的方法
①求变力作功，要根据物理学的实际意义，求出变力F(x)的表达式，这是求功的关键；
②由功的物理意义知，物体在变力F(x)的作用下，沿力F(x)的方向做直线运动，使物体从x=a移到x=b(a&b).因此，求功之前还应求出位移起始位置与终止位置；
③根据变力作功公式即可求出变力F(x)所作的功。
2、例题解析
〖例〗列车以72km/h速度行驶，当制动时列车获得加速度a=-0.4m/s2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？
思路分析：作变速运动的物体在一段时间间隔内所走过的路程，可以利用该物体运动的速度关于时间的函数在该时间段上的积分来解。所以一个物体在一段时间内的位置，只要求出其运动的速度函数，再求出该时间段上的定积分即可。
解答：已知列车速度v=72km/h=20m/s，列车制动时获得的加速度为a=-0.4m/s2，设列车开始制动到经过t秒后的速度为v，则v=v0+，令v=0，得t=50s。
设该列车由开始制动到停止时所走路程是，则
所以列车应在进站前50s，以及离车站500m处开始制动。
（三）定积分的综合应用
〖例〗如图所示，已知曲线与曲线交于点O、A，直线x=t(0&t&1)与曲线C1、C2分别相交于点D、B，连接OD、DA、AB。
（1）写出曲边四边形ABOD（阴影部分）的面积S与t的函数关系式S=f(t)；
（2）求函数S=f(t)在区间上的最大值。
思路分析：（1）曲边四边形分为&DABD和曲边三角形ODB，求出A、B、D三点的坐标，可求面积；
（2）可利用导数求最大值。
解答：（1）由解得或∴O（0，0），A（a,a2）。又由已知得B（t,-t2+2at）,D(t,t2),
（2）f&(t)=t2-2at+a2,令f&(t)=0，即t2-2at+a2=0。解得t=(2-)a或t=(2+)a.
∵0&t&1,a&1,∴t=(2+)a应舍去。
若(2-)a&1,即a&时，
∵0&t&1，∴f&(t)&0。
∴f(t)在区间上单调递增，S的最大值是f(1)=a2-a+.
若(2-)a&1,即1&a&时，
当0&t&(2-)a时，f&(t)&0.
当(2-)a&t&1时，f&(t)&0.
∴f(t)在区间(0, (2-)a]上单调递增，在区间[(2-)a，1]上单调递减。
∴f(t)的最大值是f((2-)a)=[ (2-)a]3-a[(2-)a]2+a2(2-)a=.
综上所述。
注：应用导数与积分求面积的最值，其基本思路是：将面积表示成某个变量的函数，利用函数的有关知识求解；若阴影部分的边界不同，可分不同情况讨论解决。
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