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数列极限的性质
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你可能喜欢《数学分析I》第2讲教案；第2讲数列极限概念及其性质；授课题目数列极限概念及其性质教学内容教学目的和要；一、数列极限概念；数列a1,a2,?,an,?,或简单地记为{an；关于数列极限，先举二个我国古代有关数列的例子．（；n22园内接正n边形的面积An?Rsin2?ns；22?（2）古代哲学家庄周所著的《庄子?天下篇》；12，第二天截下；12n122，??，
《数学分析I》第2讲教案 第2讲
数列极限概念及其性质 授课题目 数列极限概念及其性质 教学内容 教学目的和要求 教学重点及难点 教学方法及教材处理提示 1. 数列概念，2.数列收敛与发散的定义； 3. 无穷小数列及其性质；数列极限的唯一性、有界性、保号性、保不等式性． 通过本次课的教学，使学生能够较好地理解数列极限的分析定义、数列极限的唯一性、有界性、保号性、保不等式性；学会证明数列极限的基本方法，懂得数列极限的分析定义中 ?与 N的关系．学会若干种用数列极限的分析定义证明极限的特殊技巧. 教学重点：数列极限的分析定义； 教学难点：数列极限的分析定义中?与N的关系. (1) 本讲的重点是数列极限的分析定义，要强调这一定义在分析中的重要性．具体教学nlima中先教会他们证明lim，?0?0，( |a|?1)，然后教会他们用这些无穷kn??n??n
小量来控制有关的变量（适当放大但仍小于这些无穷小量）； 1(2)数列极限的分析定义仍是教学难点．对较好学生可要求他们用数列极限的分析定义证明较复杂的数列极限，还可要求他们深入理解数列极限的分析定义； (3) 关于数列极限的分析定义的掌握不可要求一步到位，要有一个学习过程，对多数学生可只布置一些简单证明题； （4）可对多数学生重点讲解极限唯一性质、有界性质的证明过程. 作业布置 作业内容：教材 P27:1，2（3，4）；7；8（1，2）. 讲授内容 一、数列极限概念
数列 a1,a2,?,an,?,或简单地记为{an}，其中an，称为该数列的通项． 关于数列极限，先举二个我国古代有关数列的例子． （1）割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”――刘徽. n22园内接正n边形的面积An?Rsin2?nsin(n?3,4,?），当n??时，An??R22?nn??R 22?（2）
古代哲学家庄周所著的《庄子?天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其含义是：一根长为一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限制地进行下去．
第一天截下12，第二天截下12n122，??，第n天截下12n，??这样就得到一个数列122,12,?,?1?,?．或?n?.n2?2?1不难看出，数列{}的通项12n随着n的无限增大而无限地接近于0．一般地说，对于数列{an}，若当n无限增大时an能无限地接近某一个常数a，则称此数列为收敛数列，常数a称为它的极限．不具有这种特性的数列就不是收敛数列．下面我们给出收敛数列及其极限的精确定义．
1 《数学分析I》第2讲教案
设{an}为数列，a为定数．若对任给的正数?，总存在正整数N，使得当，n>N时有|an?a|??则称数列{an收敛于a，定数a称为数列{an}的极限，并记作liman?a，或an?a(n??).读作“当nn??趋于无穷大时，an的极限等于a或an趋于a”．
若数列{an}没有极限，则称{an}为发散数列．下面举例说明如何根据??N定义来验证数列极限． 二、根据??N定义来验证数列极限 例2
证明lim1n?n???0，这里?为正数 ?1,故对任给的?>0，只要取N=?1???????1，则当n?N时，便有 ??证：由于 |1n??0|?1n?
即|1n??0|??.
这就证明了lim1n?n???0.
证明lim3n22n??n?33n22?3. 分析
由于|n?3?3|?9n?32?9n
(n?3). 因此，对任给的?>o，只要9n??，便有 |3n22n?3?3|??,
即当n?时，(2)式成立．故应取N?max{3,}. ??999证
任给??0,取N?max{3,}.据分析，当n?N时有|2?3|??,式成立.于是本题得证.
证明limq=0，这里|q|<1． n??3n2证
若q=0，则结果是显然的．现设0<|q|0．我们有
|q?0|?|q|?11?nhnn1(1?h)n, 并由(1?h)?1+nh得到|q|?|q?0|??，这就证明了limqn??nnn?1nh. 对任给的??0,只要取N?1?h,则当n?N时，得n?0.
注：本例还可利用对数函数y?lgx的严格增性来证明，简述如下：对任给的?>0(不妨设?<1)，为使nn只要nlg|q|?lg?
即n?|q?0|?|q|??， lg?lg|q|2
（这里0?|q|?1). 于是，只要取N?lg?lg|q|即可。 《数学分析I》第2讲教案
证明limnn??a?1，其中a>0． 证：()当a?1时，结论显然成立. 11 () 当a?1时，记??an?1，则??0.由 a?(1??)n?1?n??1?n(an?1)得 1an?1?a?1n.
（1） 1任给??0，由(1)式可见，当n?a?11??N时，就有an?1??，即|an?1|??.所以limnn??a?1. () 当0?a?1时，,１n－１??，则??0. 由a?1?1?n?(1??)?1?n??1?n??1??n?得 a?a?111?an?a?1nn.a?a?1?1n.?1
1任给??0，由（2式可见，当n?１?a?11??N时，就有1?an??，即|an?1|??.所以limnn??a?1.
关于数列极限的?―N定义，应着重注意下面几点： 1．?的任意性：尽管?有其任意性，但一经给出，就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出N，又?既?2时任意小的正数，那么,3?或?等等同样也是任意小的正数，因此定义1中不等式|an?a|??中的?可用2?2,3?或?等来代替． 22．N的相应性：
一般说，N随?的变小而变大，由此常把N写作N(?)，来强调N是依赖于?的；但这并不意味着N是由?所唯一确定的.
3．从几何意义上看，“当n>N时有|a?a|??”意味着：所有下标大于N的项aｎ都落在邻域U(a;?)内；而在U(a;?)之外，数列{an}中的项至多只有N个(有限个)．
若liman?0，则称{an}为无穷小数列．由无穷小数列的定义，不难证明如下命题： n??n定理2.1
数列{an}收敛于a的充要条件是：{an?a}为无穷小数列． 三、收敛数列的性质 定理2.2(唯一性)
若数列{an}收敛，则它只有一个极限．
定理2.3(有界性)
若数列{an}收敛，则{an}为有界数列，即存在正数M，使得对一切正整数有
|an|?M. 证：设liman?a取??1，存在正数N，对一切n>N有 n?? 3 《数学分析I》第2讲教案
a?1?an?a?1. 记
M?max{|a1|,|a2|,?|aN|,|a?1|,|a?1|}, 则对一切正整数n都有an?M．
注：有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分条件．例如数列??1?
定理2.4 (保号性)
若liman?a?0n???n?有界，但它并不收敛． ?(a,0(或<0)，则对任何a??(0,a) (或a?，存在正数N，使得当n?N时有an?a?(或an?a?)．
设a?0．取??a?a?(>0)，则存在正数N，使得当n?N时有a???an?a??，即an?a???a?，这就证得结果．对于a?0的情形，也可类似地证明．
注：在应用保号性时，经常取a??a2.即有an?a2，或an?a2
定理2.5(保不等式性)
设?an?与?bn?均为收敛数列．若存在正数N0，使得当n?N0时，有an?bn，则liman?limbn. n??n??
请学生思考：如果把定理2.5中的条件an?bn换成严格不等式an?bn，那么能否把结论换成liman?limbn?，并给出理由 . n??n??例1
设an?0?n?1,2,??．证明：若liman?a,则limn??n??an?a.
由定理2.5可得a?0. 若a?0，则由liman?0，任给??0，存在正数N，使得当n?N时有an??，从而an??即n??2an?0??,故有limn??an?0. an?aan?aan?aa若a?0，则有an?a??.任给??0，由liman?a，存在正数N，使得当n??n?N时有an?a?a?,从而an?a??．故得证．
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这里为什么取ε=1?这是函数极限的性质定理2局部有界性的证明&
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这个地方只要是取任意一个大于零的数即可,他取1只是选了个好写的数字,你取0.1、0.001什么的完全可以
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=x&lt，因为f(x)是增函数，所以f(a)&=f(x)&lt证明;X：（1）先证必要性因为f(x)在x&gt，lim(x-&=f(X)所以对x&=a，则f(a)&=f(x)&+∞)f(x)存在（2）再证充分性因为lim(x-&+∞)f(x)存在，不妨令其为A则根据极限定义，对任意e&0，存在正数X&=M所以根据“单调有界函数必有极限”的定理;=X时;=a，是对所有x&gt，有|f(x)-A|&eA-e&f(x)&A+e即f(x)在x&X上有上界当a&=a上有上界M，且单调递增
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