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微积分之屠龙宝刀：笑傲极限、连续、导数、积分法
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　　★请把微积分想像成一座建筑在稳固地基上的稳固老屠子。当你打算把它卖给新的买主时，少许色彩明亮的油漆妆点，就能化腐朽为神奇。《微积分之屠龙宝刀》的三位作者亚当斯、哈斯与汤普森，就做到了这一点。　　——德福林（Keith&Devlin）&加州对玛莉利学院理学院院长　　★这本宝书替微积分的基础观念，做了精彩而且贴近读者的介绍，内容幽默，使人印象深刻，又极其实用。必修徽积分的十万个学生引颈期盼的，正是这本宝书。　　——格兰姆（Ron&Graham）&前美国数学会（AMS）理事长、AT&T实验室首席科学家　　★有人能把徽积分课本写得轻松喻快，读起来津津有味吗？的确有，想不到吧，《微积分之屠龙宝刀》就是！　　——班考夫（Thomas&Banchoff）&美国数学协会（MAA）主席、布朗大学教学教授　　★这本书内容过于清晰、直接、搞笑，可能危及微积“让学生迷惑、补考重修”这历久不衰的重要功能。本人建议：学校应该把这本书列为禁书！　　——Willam&Thurston(1982年菲尔兹奖得主)
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iframe(src='///ns.html?id=GTM-T947SH', height='0', width='0', style='display: visibility:')无穷小：古典微积分向极限微积分进化的导火索,数学 ,考研保研-大学生社区-赛氪
无穷小：古典微积分向极限微积分进化的导火索
赛氪考研·中国科学院大学
学习高等数学时，我相信不少同学都有以下疑惑：
（1）对于链式求导法则，是否可以理解为约去，所以等号左右两边相等？
（2），是不是直接消去了？
今天的这篇文章，将为大家解答上述两个问题。
微积分起初是由牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立起来的，可称之为&古典微积分&。古典
微积分最大的好处是很直观，但因为无穷小存在着严重的缺陷，以此为基础的古典微积分一直被人们质疑和攻击。所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想。
当时，极限这一概念也缺乏严格的定义，且依然无法摆脱无穷小的影子。直至19世纪，维尔斯特拉斯提出了极限的静态的定义，给微积分提供了严格的理论基础。直到今天我们高等数学课本中的极限定义来源于此。
1&古典微积分
牛顿和莱布尼兹各自独立发明了以无穷小概念为基础的微积分，下面我采取莱布尼兹的微积分符号进行说明。
1.1 导数为什么出现？
导数的出现不是牛顿和莱布尼兹发明的，之前数学家已经在对曲线的切线进行研究了，但是牛顿和莱布尼兹在解决曲面下面积的时候把导数的定义确定下来了。曲线下的面积在微积分出现之前是一个很复杂的问题，微积分求解的主要思想是把线下的面积划分成了无数个矩形面积之和：
直觉告诉我们，如果n越大，则这个近似越准确：
无穷小量就在这里出现了，无穷小量是建立微积分的基础。在具体计算曲面下面积，即我们现在所说的定积分的时候，必然会遇到导数的问题，所以很自然的开始了对导数的定义和讨论。
1.2 导数的古典定义
在曲线上取两点，连接起来，就称为曲线的割线：
割线可以反应曲线的平均变化率，也就是说这一段大概总的趋势是上升还是下降，上升了多少，但是并不精确。
有了切线之后我们进一步去定义导数：
从这张图得出导数的定义，而和被称为和的微分，都为无穷小量，所以导数也被莱布尼兹称为微商（微分之商）。
1.3 无穷小量导致的麻烦
上一节的图实际上是有矛盾的：
所以就切线的定义而言，微积分的基础就是不牢固的。
无穷小量的麻烦还远远不止这一些，&的导数是这样计算的：
仔细看看运算过程，先是在约分中被约掉，然后又在加法中被忽略，就是说，先被当作了非0的量，又被当作了0，这就是大主教贝克莱（就是在高中政治书被嘲笑的唯心主义的代表）所攻击的像幽灵一样的数，一会是0，一会又不是0；此外，无穷小量和无穷小量相除为什么可以得到不一样的值，难道不应该都是1？更严重的是，无穷小量还违反了阿基米德公理，康托尔证明过，如果阿基米德公理被违背的话会出大问题。
一边是看起来没有错的微积分，一边是有严重缺陷的无穷小量，牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立起来的微积分理论，其严格性受到了挑战。
&对于数学，严格性不是一切，但是没有了严格性就没有了一切&。
1.4 对于古典微积分的总结
切线：通过无穷小量定义了切线
导数：导数就是切线的斜率
微分：微分是微小的增量，即无穷小量
2&基于极限重建微积分
无穷小量导致的麻烦，数学家们一直都想要修补，但是这个问题要等到200年后。19世纪极限概念的清晰之后，这一问题才得到解决，即完全摈弃无穷小量，基于极限的概念，重新建立了微积分。
现在用&&语言来定义的极限，仍然是被誉为&现代分析之父&的19世纪德国数学家维尔斯特拉斯给出的，如下图所示。可以看到，极限的描述并没有用到什么无穷小量。
2.2 导数的极限定义
用极限重新严格定义了导数，已经脱离了微商的概念，此时，导数应该被看成一个整体。（现在的高等数学教材中，清一色地用极限定义导数。了解了古典微积分和极限微积分后，你应该知道为什么了吧）
不过我们仍然可以去定义什么是微分，说到这里，真是有点剧情反转，原来是先定义了微分再有的导数，现在却是先定义了导数再有的微分。
由&可以得出，&由两部分组成，通过图来观察一下几何意义。
这里，我们给出微分的定义：
最后我们可以得到：。
2.3 对于极限微积分的总结
导数：被定义为一个极限，其意义就是变化率
微分：是一个线性函数，其意义就是变化的具体数值
切线：有了导数之后就可以被确定下来了
3常见疑问的解答
微积分实际上被发明了两次，古典微积分和极限微积分可以说是两个东西。我们再来比较一下古典微积分和极限微积分。
3.1 古典微积分与极限微积分的对比
古典微积分是先定义微分再定义导数，极限微积分是先定义导数再定义微分。
古典微积分的导数是基于无穷小量定义的，极限微积分的导数是基于极限定义的。
古典微积分的微分是无穷小量，极限微积分的微分是一个线性函数。
古典微积分的定积分是求无穷小矩形面积的和，极限微积分的定积分是求黎曼和。
古典微积分的切线是可以画出来的，极限微积分的切线是算出来的。
古典微积分的建立过程很直观，极限微积分的建立过程更抽象。
古典微积分最大的好处就是很直观，不过也是因为太直观了，所以我们一直都无法忘记它带来的印象，也对我们理解极限微积分造成了障碍。也让我们在实际应用中造成了错误的理解。
3.2 疑问的解答
问：对于链式求导法则，是否可以理解为约去，所以等号左右两边相等？
答：在古典微积分中，可以理解为消去，但是在极限微积分中我们应该认识到，这两个实际上是不同的线性函数（不是一个数），因此不能消去。
问：，这里是不是直接消去了？
答：古典微积分中，确实表明是无穷多个矩形的底边，消去也是合理的；而极限微积分中，是求黎曼和，我们可以把当作左括号，当作右括号，就好比(2+6)=8，计算完毕之后，括号自然就消失了。
在现在的高等数学课本中，古典微积分其实已经被摒弃了，我们应该知道这一点，即使有些老师讲述极限微积分时，为了便于理解，加入了古典微积分的几何理解，但我们要清楚重新从极限的角度去认识微积分。
知乎：马同学
微积分读本（普林斯顿）
微积分（施皮格尔）
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微积分总览
极值和二阶导数
这一讲主要探讨的对象是“振动函数”sinx和cosx，它们的导数性质非常奇妙(sinx)'=cosx，(cosx)'=-sinx。斯特朗教授通过将三角函数和圆周联系起来，巧解(sinx)/x在x→0时趋近于1这一极限，系统地推导了这两个三角函数的导数性质。注意看斯特朗教授是如何处理(sinx)/x和(1-cosx)/x这两个最重要的0/0极限的。
乘法法则和除法法则是导数应用中最基础的法则，斯特朗教授通过对这两个法则通俗易懂的推导，系统性地解决了幂函数f(x)=xⁿ的导数问题。注意看乘法法则和矩形面积的奇妙类比
复合函数f(g(x))可以看作由内函数g和外函数f嵌套组成的函数链，其可以导数通过链式法则求出。将内函数g(x)记作y，外函数f(y)记作z。复合函数的导数由链式法则dz/dx=(dz/dy)(dy/dx)给出，可以理解为分子分母同时乘以了一个dy。很多函数都能通过这种形式求导，比如sin(3x)、正态分布相关函数e^(-x²/2)均可以通过链式法则转化为两个简单函数，轻松求导。链式法则是微积分中最重要的法则之一。
[第10课]极限和连续函数
这一讲用“窄带”(narrow band)的说法通俗地讲解了极限和连续的概念。所谓极限存在，就是不管取多窄的窄带，数列足够靠后的数字，都会落在窄带(A+ε,A-ε)之内。所谓函数连续，就是只要x足够接近a，就能保证f(x)足够接近f(a)。详细解释请参阅视频
这一讲通俗地解释是什么是逆函数，并解释了逆函数的图像不过是原函数沿y=x（45°直线）翻转得到的图像。在摄氏度华氏度转换等几个实例之后，又系统地通过逆函数的概念，从指数函数延伸出了对数函数的概念，并着重强调了对数的性质，为之后引入求导做准备。
这一讲的主题通过逆函数（又译作反函数）的求导法则，将求导法则总结性的列了出来（包括四则运算求导法则、链式法则、逆函数求导法则）。这一讲讲到了两个重要的实例lny和arcsiny的求导，指明逆函数求导法则可以通过链式法则推导。另外，关于(lny)'=1/y，斯特朗教授有经典点评。
这一讲首先直观地用数量级的观念讲解了线性增长、多项式增长、指数增长等之间的快慢关系。如果x=10的3次方，指数函数10的x次方达到10的1000次方，也就是10后面1000个0。这一讲的另外一个重要内容是对数图，清晰地讲解了对数尺度（以logx为刻度）的好处，它能将各种增长转化为线性形式，并举出了一些典型的例子。
这一讲介绍了微积分的两种应用，深入浅出地讲明白了两种应用的实质，并将两种方法进行了对比讲解，说明了其内涵其实是一样的。线性近似，f(x)=(x-a)f'(a)，是求函数近似值最简单使用的方法，在各项工程领域均有广泛的应用。而牛顿法，是近似解方程的标准方法，目前仍广泛应用于计算器和计算机程序中。
这一讲从幂级数入手，讲到了如何求函数幂级数的简单方法，即让函数的各阶导数和幂级数的各阶导数相匹配。然后由e^x, sinx和cosx的幂级数，连贯地引出欧拉公式e^(iθ)=cosθ+isinθ，并就此通俗地引入了复数的概念。课程的最后选讲了两个幂级数：几何级数和对数级数，并诠释了两者间的联系。
这一讲的主题是常系数线性微分方程my''+2ry'+ky=0。教授指出了这种方程在物理、工程、自科、社科等领域的广泛应用，强调它是最重要的微分方程。他以弹簧的振动为例，通俗地解释了各常数的物理意义（m质量、r阻尼、k胡克系数）。课程后半部分举重若轻地讲解了这种方程的解法——代入e^(λt)来求解，详细内容见课程。
关于增长的微分方程
六大函数、六大法则及六大定理
学校：麻省理工学院
讲师：Prof Gilbert Strang
授课语言：英文
类型：数学 国际名校公开课
课程简介：微积分的介绍，面向高中生和大学新生，主要是一个入门。除了视频，还有幻灯片和实例。本课程的目的是从错综复杂的微积分课本和习题中跳出来，以一种总览（Big Picture）的简洁形式重新审视微积分。
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