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【数学教材复习指导之高数终结版】教材重要例题习题收藏
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高数部分：（配同济六版教材）第一章
函数与极限（考研必考章节，其中求极限是本章最重
要的内容，要掌握求极限的集中方法）
第一节 映射与函数（一般章节）
一、集合（不用看） 二、映射（不用看)三、函数(了解）注：P1--5 集合部分只需简单了解P5--7不用看P7--17
重点看一下函数的四大性态：单调、奇偶、周期、
有界P17--20 不用看P21
习题 1.11、2、3大题均不用做4大题只需做（3）（5）（7）（8）5--9 均做10大题只需做（4）（5）（6）11大题只需做（3）（4）（5）12大题只需做（2）（4）（6）13做 14不用做 15、16重点做17--20应用题均不用做
第二节 数列的极限（一般章节
本章用极限定义证
的题目考纲不作要求，可不看） 一、数列极限的定义（了解）
二、收敛极限的性质（了解）P26--28 例1、2、3均不用证 p28--29 定理1、2、3的证明不用自己证但要会理解P30 定理4不用看P30--31 习题1-2 1大题只需做（4）（6）（8）2--6均不用做
第三节 （一般章节）（标题不再写了 对应同济六版教材标题一、（了解）
二、（了解）P33--34
例1、2、3、4、5只需大概了解即可P35 例6
例7 不用做P36--37
定理2、3证明不用看 定理3’ 4” 完全不用看 p37习题1--31--4 均做
5--12 均不用做
（重要） 一、无穷小（重要）
二、无穷大（了解） p40 例2不用做
p41 定理2不用证p42习题1--4 1做 2--5 不全做
第五节(注意运算法则的前提条件是各自存在)p43 定理1、2的证明要理解p44推论1、2、3的证明不用看p48 定理6的证明不用看p49 习题1--51题只需做(3)(6)(7)(8)(10)(11)(13)(14)2、3要做
4、5重点做
极限存在准则(重要)
两个重要极限(重要
两个重要极限要会证明p50 准则1的证明要理解p51
重要极限一定要会独立证明(经典重要极限)p53另一个重要极限的证明可以不用看p55--56柯西极限存在准则不用看p56习题1--7 1大题只做(1)(4)(6)2全做
4全做，其中(2)(3)(5)重点做
(重要）p58--59
定理1、2的证明要理解p59 习题1--7
（基本必考小题）p60--64
要重点看第八节 基本必出考题p64 习题1--8 1、2、3、4、5要做
其中4、5要重点做6--8不用做
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（了解）p66--67 定理3、4的证明均不用看p69 习题1--91、2要做3大题只做（3）——（6）4大题只做（4）——（6）5、6均要重点做
第十节 （重要，不单独考大题，但考大题会用到） 一、（重要） 二、（重要）
p72三、一致连续性（不用看）p74习题1--10 1、2、3、5要做，要会用5的结论。4、6、7不用做 p74
总习题一除了7、8、9（1）（3）（4）之外均要做
其中要重点做的是3（1）（2）、5、11、14
第二章 (小题必考章节）第一节（重要）一、引例（数三可只看切线问题举例）二、导数的定义（重难点，考的频率很高）三、导数的几何意义（重要） 另：【数一数二要知道导数的物理意义，数三要知道导数的经济意义（边际与弹性）
四、函数的可导性与连续性关系（要会证明，重要） p79 导数的定义要重点掌握，基本必出考题p81--82
例1--例6 认真做以便真正掌握导数的定义p85
可导性与连续性的关系要会证明） p86
习题2--1不用做的是1、2、9（1）--（6）、10、12、13、14其余都要做其中重点做的是6、7、8
、16、18、19
第二章 第二节 （考小题）
四、基本求导法则与求导公式（要非常熟）p88--89 （1）（2）（3）的证明均不用看p89 例1 不用做p90 定理2的证明要理解p91--92 例6--8重点做p92 定理3证明不用看p96 例7不用做
习题2--22题（1）（5）（7）（10）、3（1）、4、12均不用做其余全做
其中13、14要重点做
第二章第三节 （重要，考的可能性大） p100
例3不用做p103 习题2--35、6、7、11均不用做，其余全做！其中4、12要重点做
第二章 第四节（考小题） p107--110 由参数方程所确定的函数的导数 数三不用看 p111三、相关变化率（不用看） p111 习题2--41大题（1）（4）、3（1）（2）、9--12均不用做数三5--8也不用做
其中4重点做
第二章 第五节 （考小题） p119四、微分在近似计算中的应用（不用看，基本上只要有近似两个字，考纲均不作要求） 习题2--55--12均不用做
其他的全做 p125 总习题二4、10、15--18均不用做，其余全做！其中2、3、6、7、14要重点做！数三不用做12、13
第三章 （考大题难题经典章节，绝对重点章节） 第一节(最重要，与中值定理应用有关的证明题）一、罗尔定理（要会证） 二、拉格朗日中值定理（要会证）三、（柯西中值定理（要会证）
另外，要会证明费马定理 p128--133 费马定理 罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 一定要会独立证明，极其重要 p134 习题3--1除13、15不用做，其余全部【重点】做
第三章 第二节（重要，基本必然要考） p134--135 洛必达法则 要会证明 习题3--2习题全做 其中1、（1）（5）（10）（12）（15）（16）、3、4要重点做
第三章 第三节 （掌握其应用，可以不用证明公式其本身） p140--141 泰勒公式的证明不用看 p145 习题3--3 8、9不用做，其余全做，其中，10 （1）（2）（3）要重点做
第三章 第四节 （考小题） p152 习题3--4 3（1）（2）（5）、5（1）（2）、8（1）（2）、9（1）（3）（5）、10（2）不用做，其余全做，重点做3（3）（6）（8）、4、5（3）（5）、6、13、15
第三章 第五节（考小题为主） p160 例5不用做p161 例6不用做p162 例7不用做 p162 习题3--5 1（2）（3）（6）（9）、8--16均不用做，其余全做
第三章 第六节 （重要基础章节）p169 习题3--6 1 不用做
2--5都要做
第三章 第七节（了解，只有数一数二考，数三不用看） 一、弧微分（不用看） 二、（了解）三、（了解）p175四、（不用看） p177 习题3--7数三均不用做数一数二只需做1--6
第三章 第八节 （只要有近似，考研不考，不用看）p182 总习题三数一、数二全做 数三15不用做其中，2（2）、3、7、8、9、10（3）（4）、11（3）、12、17、18、20要重点做
第四章 （重要、相对于数一、数三，数二考大题的可能性更大） 第一节（重要）一、（理解）二、（会背，且熟练准确）三、（理解) p186 例4不用做p188--189 基本积分表一定要记得熟练、准确p192 习题4--12（1）--（4）（6）（7）（9）（10）（11）（16）、3、4、6均不用做其余全做
第四章 第二节（重要，其中第二类换元法更加重要） p207 习题4--21、2（1）（2）（3）（8）（9）（10）（13）（25）均不用做，其余全做
第四章 第三节（考研必考）p212 习题4--3 全做（分部积分法极其重要） 第四节（重要）p218 习题4--4 全做 第五节（不用看） p221 总习题四
第五章 （重要，考研必考）第一节（理解）一、定积分问题举例（了解，其中变速直线运动的路程，数三不用看）二、定积分定义（理解）p228 三、定积分的近似计算（不用看）p231--234 四、定积分的性质（理解）性质1--7要理解，且能熟练应用，其中性质7最重要，要会独立证明 p234 习题5--11、2、3、6、8、9、10均不用做，其余全部做，且重点做5、11、12
登录百度帐号推荐应用浅谈求极限的多种方法_参考网
浅谈求极限的多种方法
邵文凯摘要：极限是高等数学中最基础也很重要的一个概念，大学中很多概念都建立在极限的基础上，比如函数的连续性概念、函数导数的概念、定积分的概念、无穷级数的概念以及广义积分等。掌握好极限的运算方法是学习高等数学的必需环节。本文通过几个例子大概归纳了极限的若干种计算方法，对于学好高等数学大有好处。关键词：极限；解析法；等价替换；四则运算法则；无穷小分出法；洛必达法则一、引言极限是高等数学中最基础也很重要的一个概念.整个高等数学以极限思想展开，掌握极限的运算方法有助于理解连续性，导数，定积分，无穷级数及广义积分等概念。常用的极限计算方法有很多，这里我们通过例题进行归纳总结，系统学习。二、极限的几种求法1利用定义法求极限（1）观察作图法针对一些容易作出图形的函数，我们可以通过作图直观观察该函数的趋势。三、结语本文虽然归纳了函数极限的一些运算方法，但是在解答极限时，我们还要针对不同题型仔细分析，灵活选择适当的方法或者多种方法混合使用，这样将效果更好。研讨式教学法对英语专业学生自主学习能力培养作用的探究孙方方摘要：本研究通过研讨式教学法这一独特视角来研究英语专业学生自主学习能力的培养。先从已有研讨式教学法的研究文献中分析总结已有的研究成果，明确本课题研究现状。并通过发放调查问卷、访谈、课堂观察等方式了解英语专业新生研讨课情况。并以自主学习理论与研讨式教学法理论为支撑，用实验来检验研讨式教学法是否能有效培养与提高学生英语自主学习能力和创新能力并激发学生的学习兴趣。最后，本文分别从学校、老师和学生三方面提出解决新生研讨课中存在的问题的应对措施，实现课程教学模式深彻转变和人才培养质量的可持续提高。关键词：研讨式教学法；英语专业学生；自主学习能力一、引言研讨式教学法源于早期的德国大学，现已成为西方发达国家高校中的一种主要教学方法。1997年湖南师范大学文学院博士生导师郭汉民教授为探索在高校实施素质教育的途径，也大胆进行教改实践，创造了全新的研讨式教学模式。此后，国内多位学者从不同侧面对研讨式教学提出自己的观点和看法，很多一线教育工作者也非常关注并积极推行这种新型的教学模式。二、理论基础2.1研讨式教学法理论研讨式教学是以解决问题为中心的教学方式，通过由教师创设问题情境，然后师生共同查找资料，研究、讨论、实践、探索，提出解决问题办法的方式，使学生掌握知识和技能。它包括阅读自讲式、讨论式、案例和讲授式等多种具体教学方式。研讨式教学要求以“导”为主，设置贴近学生生活、富有吸引力的情境，要求教师了解学生原有知识基础和能力水平。要求学生通过查阅资料、研究并解决问题。教师变原来组织教学为讨论讲解，引导学生利用资料，表达自己看法，并参与学生的研讨。2.2自主学习理论Henri Holec被认为“自主学习”研究的先父，HenfiHolec（1981）认为“自主学习”就是学习者在学习过程中“能够为自己的学习负责任”，并就学习各方面的问题进行决策，尤其是制定学习目标，确定学习内容和进度，选择学习方法监控学习过程，评估学习效果等五个方面。Little（1991）从心理学的角度把自主学习解释为本质上是学习者学习过程和学习内容的心理联系、是一种独立的、进行批评性思考、做出决定并能实施独立行为的能力。总的来说，自主学习是一种以人本主义心理学为基础的现代学习理论，也是一种学习模式，是学习者在总体目标的宏观调控下，在教师的指导下，根据自身的条件和需要判定并完成具体学习目标的学习模式。三、实验研究设计3.1研究问题（1）英语专业学生自主学习能力如何？（2）研讨式教学法对英语专业学生自主学习能力培养的作用如何？3.2研究对象为了更好的探究研讨式教学法对培养英语专业学生自主学习能力培养这一课题，本研究选取了河南省某民办高校2014.级普通本科英语专业64名学生1班32名，其中男生5名，女生27名；2班共32名，其中男生7名，女生25名。两个班级的英语水平基本相同。两个班由统一教师任教，教学内容、教学时数及课后练习材料基本一致。1班为实验班，教师用进行授课；2班为对照班，由同一位教师用传统的教学方式进行授课。实验从2015年9月开始到2016年2月结束，为期20周。3.3研究方法及工具本研究采取查阅相关文献资料，教育实验法、访谈法、问卷调查法，并对调查得出的数据用SPSSl7.0进行统计分析。3.4研究结果在研究后期，本研究分析并讨论实验班、对照班学生英语考试成绩的变化。并对访教师访谈和问卷调查结果进行统计分析。3.4.1实验班与对照班综合英语成绩的对比分析为了进一步研究研讨式教学法对英语专业学生自主学习能力培养的作用，本研究对实验班和对照班的测前和测后综合英语考试成绩进行对比研究，用SPSS处理数据，计算出实验班、对照班的测试平均分，成绩是否呈正态分布。通过独立样本T检验来检测成绩是否存在显著差异性，P≤0.05时存在显著差异。根据上表可以了解到，对照班学生平均分比实验班成绩.相当，标准差分别为实验班11.68，对照班10.93。比较结果显示F=0.139，P=0.601，P&0.05。这说明，实验前实验班的英语测试成绩与对照班的成绩并无显著差异。也就是说实验前两个班学生的英语水平基本一致，确保了研究的有效性。后测数据结果表明：实验班学生平均分（80.81），明显高于对照班学生平均分（76.85）；标准差分别为8.23和11.66，说明对照班学生成绩的离散度比实验班的大。数据结果显示F=4.136，p=0.036，P&0.05。这说明实验班的英语测试成绩与对照班的成绩存在显著差异。这也说明，他们平时除了课堂的学习外，积极利用—课余时间学习英语，自主学习能力较强。这说明，研讨式教学法除了带给学生新型的授课模式以外，同时也激发了他们的学习兴趣，提高了他们的自主学习能力。
3.4.2问卷调查和教师访谈统计结果本研究的问卷调查分为学生卷与教师卷，分别要求实验班对照班在试验前期和后期做同一张问卷调查，教师卷则在实验后期进行。通过对比实验班和对照班的问卷调查结果可以发现，英语专业学生的自主学习能力不强，对于没有参加过研讨课的同学来说，他们对自主学习能力的认知不是很到位，而对于参加过研讨课的同学来说，他们对自主学习能力的认知却很明确和到位，并能利用课下的大量时间，以多种方式学习英语。可见，研讨式教学法对英语专业学生自主学习能力的培养确实有很大的积极作用。教师问卷中，笔者针对调查学生的问题也与老师们做了沟通。大多数老师认为，自己的课堂上学生表现的比较积极，但是学生们大多数缺乏持之以恒的精神，积极性大多伴随着心情变化。在教师访谈中，大部分教师表示研讨式教学法确实能够调动学生学习的积极性，可是理论知识有欠缺，希望学校加强教师培训，推广研讨式教学法，从而扩大学生受益面。四、讨论与分析4.1取得的成效（1）从情感意志方面培养了新生自主学习意识；（2）建立新型的师生关系；（3）创建了互助互爱互学的学生关系，锻炼意志力；（4）养成良好自主学习习惯。4.2存在的问题（1）英语专业学生自主学习的能力不强；（2）教师“主导”角色的显性弱化；（3）学生受益面不大。4.3.解决策略教师应更新教育观念，同时也应更新教师观和学生观，加强理论知识的学习和对研讨式教学法的研究。学生要转变观念，学习英语不只是为了通过专业考试，其最终目标是为了培养语言的综合技能，提高英语语言的交际能力。其次，培养和发现自己的学习兴趣，最后，确立学习目标，制定出适合自己的长期、中期、近期学习目标及详细计划，并坚持执行学校应该加强研讨课教师的培训。学校应该完善研讨课评价体系加强与其他课程内容的关联性及延续性等问题。建立健全配套的支持制度，要有丰富的教学促进资源和教学技能培训。研究表明有海外留学经验的教师对研讨课的适应性更强（武晓军2012）。因此，如果条件允许，学校可以将教师培训渠道拓展到国外成功开设此类项目的高校，为研讨课的师资储备力量。五、结语研讨式教学法是一个既能转变老师讲课模式，同时又能提高学生自主学习能力，激发学生的学习兴趣的新型教学方法。因此，学校应该大力支持研讨式教学法，合理安排课时，扩大其涉及面，为提高学生的自主学习能力而努力。英语专业学生也应该提高自身的自主学习能力，改变唯分是图的学习目的，提高语言的综合技能，培养自己终身学习能力。
2016年19期
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1．定义： 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：； （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。利用导数的定义求极限　这种方法要求熟练的掌握导数的定义。2．极限运算法则定理1 已知 ，都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有 （1）（2）（3） 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。.?利用极限的四则运算法求极限这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。　 8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限例1
解：原式= 。注：本题也可以用洛比达法则。例2
解：原式= 。例3 解：原式 。3．两个重要极限（1）
说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 例如：，，；等等。 利用两个重要极限求极限例5 解：原式= 。注：本题也可以用洛比达法则。例6 解：原式= 。例7 解：原式= 。4．等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。定理3 当时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：～～～～～～ 。说明：当上面每个函数中的自变量x换成时（），仍有上面的等价关系成立，例如：当时，
； ～ 。 定理4 如果函数都是时的无穷小，且～，～，则当存在时，也存在且等于，即=。利用等价无穷小代换（定理4）求极限 例9
解：～，～，原式= 。例10 解：原式= 。注：下面的解法是错误的： 原式= 。 正如下面例题解法错误一样：
。例11 解：， 所以， 原式= 。（最后一步用到定理2）五、利用无穷小的性质求极限有限个无穷小的和是无穷小，有界函数与无穷小乘积是无穷小。用等价无穷小替换求极限常常行之有效。例 1.
2. 5．洛比达法则 定理5 假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数和满足：（1）和的极限都是0或都是无穷大； （2）和都可导，且的导数不为0； （3）存在（或是无穷大）； 则极限也一定存在，且等于，即= 。说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“”型或“”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。利用洛比达法则求极限说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时，洛比达法则还可以连续使用。例12 （例4）解：原式= 。（最后一步用到了重要极限）例13 解：原式= 。例14 解：原式== 。（连续用洛比达法则，最后用重要极限）例15 解：例18 解：错误解法：原式= 。 正确解法：应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。例19 解：易见：该极限是“”型，但用洛比达法则后得到：，此极限不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：原式= （分子、分母同时除以x） = （利用定理1和定理2）6．连续性 定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果是函数的定义去间内的一点，则有 。利用函数的连续性（定理6）求极限例4 解：因为是函数的一个连续点， 所以 原式= 。7．极限存在准则 定理7（准则1） 单调有界数列必有极限。四、利用单调有界准则求极限首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性，再求解方程可求出极限。例1. 设，求极限。 定理8（准则2） 已知为三个数列，且满足：（1）
（2） ， 则极限一定存在，且极限值也是a ，即。10.?夹逼定理利用极限存在准则求极限例20 已知，求解：易证：数列单调递增，且有界（0&&2），由准则1极限存在，设 。对已知的递推公式 两边求极限，得： ，解得：或（不合题意，舍去）所以 。例21 解： 易见：因为 ，所以由准则2得： 。9.?洛必达法则与等价无穷小替换结合法对于一些函数求极限问题，洛必达法则和等价无穷小结合御用，往往能化简运算，收到奇效。　 　 11.?泰勒展开法　 12.?利用定积分的定义求极限法积分本质上是和式的极限，所以一些和式的极限问题可以转化为求定积分的问题。　 　 8.?利用复合函数求极限　 十、利用级数收敛的必要条件求极限级数收敛的必要条件是：若级数收敛，则，故对某些极限，可将函数作为级数的一般项，只须证明此技术收敛，便有。例 十一、利用幂级数的和函数求极限当数列本身就是某个级数的部分和数列时，求该数列的极限就成了求相应级数的和，此时常可以辅助
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