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第四节非齐次线性方程组1．非齐次线性方程组Ax=b的解的结构
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3秒自动关闭窗口AX=0和AX=B的线性无关解的个数关系的讨论
摘要：本文给出了非齐次线性方程组AX=B和对应的齐次线性方程组AX=0的线性无关解个数的关系及其证明.并指出了此关系在解AX=0和AX=B过程中的应用.
关键字：齐次线性方程组& 非齐次线性方程组
线性无关解
The Relationship of the Numbers of the
Linearly Independent Solutions of the Equations AX=0 and AX=B
Abstract:&&&
This essay is to analyse the relationship of the numbers of the
linearly independent solutions of AX=0 and AX=B ,as well as the
proofs. What`s more ,it shows how to use this relationship to deal
with the Systems of Linear Equations AX=0 and AX=B.
Keyword: Homogeneous System of Linear
Equations , Nonhomogeneous System of Linear Equations, The Linearly
Independent Solutions
文[1]中给出了线性方程组(AX=0和AX=B)解的结构.
我们知道齐次线性方程组AX=0的所有解构成一个向量空间（解空间），但是非齐次线性方程组AX=B的所有解不可能构成一个向量空间（因为向量空间中必须有0向量，而0显然不是AX=B的解）.那么我们能否讨论AX=0和AX=B两者之间线性无关解的个数关系呢？例如：已知AX=B有四个线性无关解，我们是否能由此确定：对应的齐次方程组AX=0线性无关解的个数呢？下边就讨论此问题.
&&& AX=B有p
1个线性无关解 ==& AX=0有p个线性无关解
设AX=B的p 1个线性无关解为：X1┈ Xp
可见：A(X1-X2)=(B-B)=0&& 说明：
X1-X2是AX=0的解
A(X2-X3)=(B-B)=0&&
说明：X2-X3是AX=0的解
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
A(Xp-Xp 1)=(B-B)=0& 说明： Xp-Xp 1是AX=0的解
& 又设：K1(X1-X2)
K2(X2-X3) … Kp(Xp-Xp 1)=0
则：K1X1 (-K1 K2)X2 (-K2 K3)X3 ┈ (-Kp-1 Kp)Xp (-Kp)Xp 1=0
因为：X1,X2┈Xp 1线性无关
所以：K1=-K1 K2=-K2 K3=┈=-Kp=0
推出： K1=K2=K3=┈=Kp=0
也就是说：(X1-X2),(X2-X3)┈(Xp-Xp 1)是AX=0的p个线性无关解；
齐次线性方程AX=0有p个线性无关解,且对应的非齐次线性方程AX=B有解
==&& AX=B有p 1个线性无关解
&&& 证明：
设 AX=0的p个线性无关解为：X1,X2┈,Xp
因为AX=B有解，所以可设：AX=B的一个特解为X*
下证： X* X1, X* X2,┈┈ X* Xp, X*是AX=0的p 1个解且是线性无关的.
因为：A(X* X1)=A X* AX1=B 0=B
说明X* X1是AX=B的解
同理：X* X1，┈，X* Xp， X*都是AX=B的解
设：K1(X* X1) K2(X* X2) ┈ Kp(X* Xp) Kp 1(X*)=0
即(K1 K2 ┈Kp Kp 1) X* K1X1 K2X2 ┈
KPXp=0&&&&&
（1）假设：K1 K2 ┈Kp Kp 1=0，代入（*）式，
得：K1X1 K2X2 ┈ KPXp=0
因为 X1,X2,┈,Xp线性无关
K1=K2=┈Kp=0& KP 1=0
在此假设下P 1个解线性无关！
（2）假设：K1 K2 ┈Kp Kp 1 0
由（*）式得：X*=-1(K1X1 K2X2 ┈KpXp)/(K1 K2 ┈ Kp 1)
则：AX*=-A(K1X1 K2X2 ┈KpXp)/(K1 K2 ┈ Kp
1)=0&&&&&&&&
这与A X*=B矛盾.
综合（1）（2）假设我们得出X* X1, X* X2,┈┈ X* Xp,
X*是线性无关的.
由定理一和定理二我们容易得到更一般的结论（定理三）
非齐次线性方程AX=B有解，则：AX=B有且仅有p 1个线性无关解
&==& AX=0有且仅有P个线性无关解.
定理三表明：在非齐次线性方程AX=B有解的前提下：如果我们知道了AX=B线性无关解的个数，就可以知道对应的AX=0线性无关解的个数；同样如果我们知道了AX=0线性无关解的个数，就可以知道对应的AX=B线性无关解的个数.
下面我们看06年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）第20题已知非齐次线性方程组
有3个线性无关的解.
（1）&&&&&&
证明方程组系数矩阵A的秩r (A)=2
（2）&&&&&&
求a ,b 的值及通解.
分析：AX=B
有3个线性无关解，由定理一知：对应的齐次方程组AX=0有2个线性无关解.
所以 &&即： .
又A= &中有一个子式 知 ，
综上所述：r (A)=2，从而（1）题获证.
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