第19卷 第4期1998上海冶金高等专科学校学报
JournalofShanghaiCollegeofMetallurgyVol.19,No.41998
积分公式应用注记
(上海冶金高等专科学校公共课部 上海 200233)
定积分起源于求平面图形的面积,空间立体的体积,曲线段的长度,物体的重心等几何和物理问题。古希腊人早就开始了求面积和体积的工作,但他们所求的不过是一些简单的问题,并且在每一个这样的问题中都需要运用相多复杂和独特的技巧,缺乏一种统一的数学方法,直到17世纪牛顿)莱布尼兹建立了微积分之后,才给出了一个统一的方法,并把求面积,体积、长度这一类问题和求原函数联系起来。但出现在牛顿)莱布尼兹的著作中或手稿中的微积分,其表述却不那么严格,经过200年之后,才由黎曼用严格的形式给出了定积分的概念,而现在一般工科高等数学教科书都是以黎曼形式给出定积分的。
定积分的基本公式的创立使微分与积分从概念和计算上同时联系起来,是使微积分学理论形式为体系的一个重要标志,此公式的理论意义和实用价值是不待言的。一般说来,这个公式容易理解,应用起来也很方便,但是,若不把有些概念搞清楚,应用时也可能会出现错误。为此,本文谈谈关于定积分公式中条件的理解和应用时应注意的问题。
1 公式的条件及应用
定积分基本公式明确提出公式成立的条件有以下两条。
1)f(x)在[a,b]上连续。
2)F(x)是f(x)在[a,b]上的任一原函数,即PxI[a,b]有Fc(x)=f(x)。
我们知道,定理的结论是由该定理的条件推导出来的,初接触公式的人们自然会产生两个疑问:其一:f(x)的原函数是否存在?其二:如何求f(x)的原函数?其实,在条件1之下,前者答案是肯定的,例如 (x)=Qf(t)dt就是f(x)的一个原函数,因此条件1的必要性就在于保证条件2中F(x)的存在性,至x
于后者则可通过求不定积分得到。
利用基本公式易得微分中值定理与积分中值定理之间的关系,事实上,据此公式
( )由积分中值定理有:f(x)IC[a,b]Fc(x)=f(x)]vNI[a,b]使得
F(b)-F(a)=f(x)dx=Qabf(N)(b-a)=Fc(N)(b-a)
即推出条件强一些(不仅要Fc(x)存在,且Fc(x)要连续)的微分中值定理。
( )由微分中值定理有:f(x)IC[a,b],Fc(x)=f(x)]vNI(a,b)使得
f(x)dx=QabF(b)-F(a)=Fc(N)(b-a)=f(N)(b-a)
即得到积分中值定理。应用积分中值定理可以求解含参数积分的极限问题,一般工科高等数学中经常出现如limfn(x)dx]ab
No.4庄海根:积分教学中的体会257题目作为提高题,但在应用定理时稍不注意就发生错误。
例1 求nlimy]
_],|sinN|&1。3limny]Q0P/3sinxdxnQ0P/3sinnxdx=sinnN(n-0)=sinN33sinnN=0sinnxdx=limny]30
以上所得结果正确,但解法却是错误的(顺便提一下,有些高数习题解答都采用以上解法),事实上,此问QP/3题是一个数列an=方Q0P/3sinxdx的极限问题:a1=
P/3nQ0P/3sinxdx,a2=Q0P/3sinxdx,an=2Q0P/3sinnxdx,,对于不同的n,应用积分中值定理:a1=
a2Q=Qsinxdx=0P/302sinxdx=sinN1(-0)
N]1I[0,332sinN2(-0)
an=Q0P/3sinnxdx=sinnNn(-0)
很显然,对应于不同的n,积分中值定理中的N是不相同的。例1的错解就在于对所有的n的积分中值定理所得的N认为是相同的。此题正确的解法应为
an=Q0P/3sinnxdx=sinnNn3
0[sinNn[(22)NnI[0,],0[sinNn[sin33=
由两边夹定理limsinnNn=0,即ny]
当然,{sinnx}在[0,
不讨论。P/3Q0sinxdx=limP/3sinNn=0ny]nn]上一致收敛于零,此时极限运算与积分可以交换顺序,直接可以得出结果,这里3
基本积分公式把求定积分问题转化为求原函数。把定积分计算与求不定积分巧妙的结合是积分学发展中的一个转折点,使得计算定积分变得极为方便。因此,以和式极限(黎曼形式)定义了定积分,作为一个应用,可以用基本积分公式来解决一些较为复杂的和式极限问题。
例2 计算limny]np+1
解 原式=nlim[()+()+,+()]=y]nnnn
例3 计算limsinny]E1nk=nQ10xpdx=p+12+cos
258上 海 冶 金 高 等 专 科 学 校 学 报
解 原式=limny]nEk=12+cosn==Q2+cosx0P(^sin~(ny]))nn3
2 公式使用中的要点
1)要学会准确地使用公式,下面举几个易犯的错误。
在区间[-1,1]上不连续,且x=0是一个无穷间-1x
断点,故不能使用公式。另外,ln|x|在x=0无意义,故也不是在[-1,1]上的一个原函数。其实y=在xx
[-1,1]上无界,故不可积。1-1Q错解:Qdx=[ln|x|]x1-1dxx1=0,其错误在于y=例5 求022dx(1-x)2+x2(2-x)
由于被积函数在[0,2]上连续且恒在,所以这一积分必定大于零,另一方面直接验证(arctgdx2
)=那么(是否可以这样做?)由牛顿)))莱布尼兹公式1-x(1-x)2+x2(2-x)
022dx=arctg|0=0221-x(1-x)+x(2-x)
它在x=1处有间断,x=1是第一类间断点,因此不是被积函数1-x显然这里公式用错,原因在于arctg
在[0,2]上的原函数,正确的解法为
dx=220(1-x)+x(2-x)
=lim+Ey012dx+220(1-x)+x(2-x)Q212dx(1-x)2+x2(2-x)Q01-E(arctglim+dx1-x)dx+Ey0Q1+2(arctg1-x)dxEdx
22=limarctg+limarctg=2=P++2Ey0Ey0
2)基本公式把计算定积分化归为求原函数,再将上下限代之求差,而过去的不定积分换元法与分部积分法是求原函数的两个方法,现在的定积分换元法与分部积分法将上述两过程巧妙地结合起来,这样做,可使积分计算进一步化简,需要指出的是工科高等数学教科书给出的5定积分换元法则6中,/函数x=U(t)在
[A,B]上是单调的0完全不必,且此法则可推广为
定理 设f(x)IC[A,B];a,bI[A,B],x=U(t),如果U(A)=a,U(B)=b;U(t)ICc[A,B](不妨设A&B)且{U(t)|tI[A,B]}A[A,B],则
f(x)dx=Qf[U(t)]Uc(t)dt Qb
显然此法也可写为
F(x)IC[A,B][xc(x
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包罗服务：
1、全程24小时在线答疑
2、1次择校择专业指导
3、3次计划调整服务
4、3次阶段性测评
5、5次作文批改
2018金融硕士全程班 咨询伟德国际话：
2018金融硕士定制全程班
2018经济类联考综合全程班
2018考研经济类综合导学班
经济类联考数学全程规划班
掌握经济类联考数学的复习方法，制订全年复习规划
《考研经综数学导学讲义》
2013年经济类联考数学真题解析
初步了解考研经济类联考（数学）
《2014年经济类联考综合真题及其答案》
逻辑全程导学规划课
了解逻辑考查的内容、考查的重点题型，熟悉全年复习规划
写作全程导学规划课
了解考研管综写作的行文要求
《考研经综写作导学讲义》
逻辑2014真题解析
了解2014逻辑真题的主要考查内容，试题结构，推测2016逻辑真题的命题趋向
《2014年经济类联考综合真题及其答案》
写作2014真题解析
了解2014写作真题的立意，了解写作所要考查的方向和意义
2018考研经济类综合基础班
高等数学基础班
周全学习高等数学的基本知识点，理解基本概念，掌握基本运算方法，为强化提高打下基础。
《考研经综数学基础讲义》
《经济类联考综合阅卷人核心教程》
通过例题讲解法，学习逻辑推理和论证的考查知识点
了解写作行文要求、写作留意点、易错点
《考研经综写作基础讲义》
2018考研经济类综合强化班
强化课程，依据考试大纲及历年真题介绍分别高等数学、线性代数、概率论主要知识点，归纳总结命题方向和常见的解题思想，结合强化课，帮手考生进一步强化解题思路。
《经济类联考综合阅卷人核心条记·数学》
《经济类联考综合阅卷人核心条记·数学》
概率论与数理统计
熟悉逻辑各题型的特点和体现形式，能熟练地运用各知识点和相关的逻辑方法解题
《考研管综逻辑强化讲义》
《经济类联考综合阅卷人核心条记·逻辑》
通过课程学习巩固考研写作的要点重点难点，并掌握写作的大体思路
《经济类联考综合阅卷人核心条记·写作》
《经济类联考综合阅卷人核心条记·写作》
2018考研经济类综合冲刺班
各科冲刺串讲，系统串讲各科知识体系，指导考生针对核心考点进行深度学习。
《考研经综数学冲刺讲义》
《经济类联考综合阅卷人核心推测4套卷》
提高运用各种知识点和逻辑方法解答各种类型的逻辑题的综合能力；消灭逻辑理解中的盲点和误区；提高解题的速度和准确率
《考研经综逻辑冲刺讲义》
《经济类联考综合阅卷人考前8天写作大推测》
掌握写作大小作文的模版，能利用模版衍生解决应试模版的能力，规范写作
《考研经综写作冲刺讲义》
2018考研经济类综合模考班
模考及讲评，查漏补缺，周全提高应试能力。
《考研管综数学模考讲义》
《经济类联考综合阅卷人核心推测4套卷》
发现并解决应试方法和技巧方面的问题，清楚应试应留意的事宜
《考研管综逻辑模考讲义》
通过应试技巧的学习，提供写作的速度，发现考试中的问题，及时解决，提高考试分值
《考研管综写作4套卷》
包罗服务：
1、全程24小时在线答疑
2、1次择校择专业指导
3、3次计划调整服务
4、3次阶段性测评
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2018考研英二全程班
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考研英语导学
考研英语导学
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2018考研英语
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大纲解析班赠予
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2018考研英语高分作文押题班
作文推测、讲评
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1、全程24小时在线答疑
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2018考研政治全程班
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2018考研政治基础班
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马克思主义原理
阮晔（张鑫）
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政治新大纲深度
解析与考点摘录
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2018考研政治
马克思主义原理
阮晔（张鑫）
毛泽东思想和中国特色社会主义理论概论
张鑫（桑宏斌）
中国近现代史纲要
思想道德修养与法律基础
当代世界经济与政治
2018考研政治
时政押题班
推测考研试题，让学生掌握重点
包罗服务：
1、全程24小时在线答疑
2、1次择校择专业指导
3、3次计划调整服务
4、3次阶段性测评
5、5次作文批改
6、随堂讲义免费下载
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全程答疑平台24小时之内答疑---学员通过在线答疑平台，提出问题（知识性问题、复习方法问题、择校择专业问题等等），专业答疑老师将在24小时内解决学员问题。
三次跟踪测评服务--根据学员自身情况及本科目特点，将分三个阶段对学员进行跟踪测评，便于同学及时反馈复习效果、调整复习计划，同时通过测评不停强化知识点的考查形式，总结答题技巧，掌握答题节奏，提高应考能力。
三次计划调整服务--根据学员自身的基础、有效的复习时间、考研的目标，结合学科特点以及历年高分学员的复习经验，在各差别复习阶段，通过复习计划平台为学员做针对性的复习计划调整。
五次作文批改服务--学员根据导学老师各个阶段安插的作文题目，通过作文平台提交自己的作文，老师进行专业化仿真批改，提高作文的写作能力，掌握写作的得分点以及积累写作的素材及模板。
全程班主任导学服务--全年三个阶段：基础阶段、强化阶段、冲刺阶段，班主任通过伟德国际话、QQ、YY直播教室等对学员进行专业化导学，指导学员科学部署复习，及时纠正复习过程中出现的问题
2016法硕专业课全程班
西医综合 咨询伟德国际话：
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2016农学专业课全程班
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全程答疑平台24小时之内答疑--学员通过在线答疑平台，提出问题(知识性问题、复习方法问题、择校择专业问题等等)，专业答疑老师将在24小时内解决学员问题。
三次跟踪测评服务--根据学员自身情况及本科目特点，将分三个阶段对学员进行跟踪测评，便于同学及时反馈复习效果、调整复习计划，同时通过测评不停强化知识点的考查形式，总结答题技巧，掌握答题节奏，提高应考能力。
三次计划调整服务--根据学员自身的基础、有效的复习时间、考研的目标，结合学科特点以及历年高分学员的复习经验，在各差别复习阶段，通过复习计划平台为学员做针对性的复习计划调整。
五次作文批改服务--学员根据导学老师各个阶段安插的作文题目，通过作文平台提交自己的作文，老师进行专业化仿真批改，提高作文的写作能力，掌握写作的得分点以及积累写作的素材及模板。
全程班主任导学服务-全年三个阶段：基础阶段、强化阶段、冲刺阶段，班主任通过伟德国际话、QQ、YY直播教室等对学员进行专业化导学，指导学员科学部署复习，及时纠正复习过程中出现的问题
2018翻译硕士专业课全程班
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2、三次跟踪测评服务--根据学员自身情况及本科目特点，将分三个阶段对学员进行跟踪测评，便于同学及时反馈复习效果、调整复习计划，同时通过测评不停强化知识点的考查形式，总结答题技巧，掌握答题节奏，提高应考能力。
3、三次计划调整服务--根据学员自身的基础、有效的复习时间、考研的目标，结合学科特点以及历年高分学员的复习经验，在各差别复习阶段，通过复习计划平台为学员做针对性的复习计划调整。
4、五次作文批改服务--学员根据导学老师各个阶段安插的作文题目，通过作文平台提交自己的作文，老师进行专业化仿真批改，提高作文的写作能力，掌握写作的得分点以及积累写作的素材及模板。
5、全程班主任导学服务-全年三个阶段：基础阶段、强化阶段、冲刺阶段，班主任通过伟德国际话、QQ、YY直播教室等对学员进行专业化导学，指导学员科学部署复习，及时纠正复习过程中出现的问题
2018治理学专业课全程班
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1、全程答疑平台24小时之内答疑--学员通过在线答疑平台，提出问题（知识性问题、复习方法问题、择校择专业问题等等），专业答疑老师将在24小时内解决学员问题。
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3、三次计划调整服务--根据学员自身的基础、有效的复习时间、考研的目标，结合学科特点以及历年高分学员的复习经验，在各差别复习阶段，通过复习计划平台为学员做针对性的复习计划调整。
4、五次作文批改服务--学员根据导学老师各个阶段安插的作文题目，通过作文平台提交自己的作文，老师进行专业化仿真批改，提高作文的写作能力，掌握写作的得分点以及积累写作的素材及模板。
5、全程班主任导学服务-全年三个阶段：基础阶段、强化阶段、冲刺阶段，班主任通过伟德国际话、QQ、YY直播教室等对学员进行专业化导学，指导学员科学部署复习，及时纠正复习过程中出现的问题
2018经济学专业课全程班
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1、全程答疑平台24小时之内答疑--学员通过在线答疑平台，提出问题（知识性问题、复习方法问题、择校择专业问题等等），专业答疑老师将在24小时内解决学员问题。
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