本题难度：0.45&&题型：综合题
（2016o永州二模）已知f（x）=ax2-ex．（I）若函数f（x）在定义域上恒单调递减，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，求证：x1+x2＞2．
来源：2016o永州二模 | 【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
已知f（ex）=ax2-x，a∈R．（1）求f（x）的解析式；（2）求x∈（0，1]时，f（x）的值域；（3）设a＞0，若h（x）=[f（x）+1-a]ologxe对任意的x1，x2∈[e-3，e-1]，总有|h（x1）-h（x2）|≤a+恒成立，求实数a的取值范围．
下列说法中正确的是（　　）
A、命题“?x∈R，ex＞0”的否定是“?x∈R，ex＞0”B、命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题C、“x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”“对于x∈[1，2]，有（x2+2x）min≥（ax）max”D、命题“若a=-1，则函数f（x）=ax2+2x-1只有一个零点”的逆命题为真命题
下列说法正确的是（　　）
A、命题“?x∈R，ex＞0”的否定是“?x∈R，ex＜0”B、命题“已知x，y∈R，若x+y≠10”，则x≠5或y≠5是真命题C、x2+2x≥ax在x∈[0，2]上恒成立（x2+2x）min≥（ax）min在x∈[0，2]上恒成立”D、命题：若a=-1，则函数f（x）=ax2+2x-1只有一个零点的逆命题为真命题
下列说法正确的是（　　）
A、命题“?x∈R，ex＞0”的否定是“?x∈R，ex＞0”B、命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题C、“x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”“（x2+2x）min≥（ax）min在x∈[1，2]上恒成立”D、命题“若a=-1，则函数f（x）=ax2+2x-1只有一个零点”的逆命题为真命题
下列说法正确的是（　　）
A、命题“?x∈R，ex＞0”的否定是“?x∈R，ex＞0”B、命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题C、“x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”“（x2+2x）min≥（ax）max在x∈[1，2]上恒成立”D、命题“若a=-1，则函数f（x）=ax2+2x-1只有一个零点”的逆命题为真命题
解析与答案
（揭秘难题真相，上）
习题“（2016o永州二模）已知f（x）=ax2-ex．（I）若函数f（x）在定义域上恒单调递减，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，求证：x1+x2＞2．”的学库宝（/）教师分析与解答如下所示：
【分析】（1）求出函数的导函数由原函数递减得出导函数小于0恒成立．（2）设h（x）=f′（x）由两个极值点通过当a≤0a＞0判断函数的极值点有2个的条件从而求出a的范围．
【解答】解：（1）f′（x）=2ax-ex．f′（x）＜0恒成立．2ax-ex＜0．x=0时显然成立当x＞0时2ax＜ex．可得a＜ex2x．令g（x）=ex2x．g′（x）=exo2x-2ex(2x)2=2ex(x-1)(2x)2．令g′（x）=0x=1．当x＜1时g（x）单调递减．当x＞1时g（x）单调递增．g（x）min=g（1）=e2．即有a＜e2．x＜0时a＞ex2x恒成立由g′（x）＜0可得g（x）递减可得a≥0．综上可得0≤a＜e2（2）f′（x）=2ax-ex令h（x）=f′（x）．则x1x2是方程h（x）=0的两个根．h′（x）=2a-ex．①a≤0时h′（x）＜0恒成立h（x）单调递减．方程h（x）=0不可能有两个根．②a＞0时由h′（x）=0得x=ln2a．当x∈（-∞ln2a）时h′（x）＞0．h（x）单调递增．当x∈（ln2a+∞）时h′（x）＞0．h（x）单调递减．∴当h（x）max＞0时方程h（x）才有两个根．∴h（x）max=h（ln2a）=2aln2a-2a＞0．得a＞e2．∵f（x）的两个极值点为x1x2∴f′（x）=0的两个根为x1x2即2ax=ex有两个根a=ex2x有两个不同的根为x1x2令g（x）=ex2x则g′（x）=2ex(x-1)4x2g（x）在（-∞1）上单调递减在（1+∞）上单调递增∵当x∈（-∞0）时g（x）≤0故不妨设x1∈（01）x2∈（1+∞）对任意a1a2∈（e2+∞）设a1＞a2g（m1）=g（m2）=a1g（n1）=g（n2）=a2其中0＜m1＜1＜m20＜n1＜1＜n2∵g（x）在（-∞1）上单调递减在（1+∞）上单调递增．∵g（m1）＞g（n1）g（m2）＞g（n2）∴m1＜n1m2＞n2∴m2m1＞n2n1∴x2x1随a的减小而减小．令t=x2x12ax1=ex12ax2=ex2可化为：x2-x1=lnt（t＞1）则x1=lntt-1x2=tlntt-1∴x1+x2=(t+1)lntt-1令h（t）=(t+1)lntt-1则可证明h（t）在（1+∞）上单调递增故x1+x2随着t的增大而增大即x1+x2随着x2x1的增大而增大而当a=e2时x1+x2=2故x1+x2＞2
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
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知识点讲解
经过分析，习题“（2016o永州二模）已知f（x）=ax2-ex．（I）若函”主要考察你对
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
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F（X)=xe^x - 1的零点有几个.我这这样解答的导数为e^x +xe^x =0经计算在 -1 F（X）为最大值.把-1放入F（x）可知道小于0因此函数有俩零点.怎么错了啊
联盟巨猩7Dm88
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F（X)=xe^x - 1求导f'(x)=e^x+xe^x=(1+x)e^x在x=-1处有最小值 f'(-1)=-1/e-1
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你计算的是0点，求导有何用？求导算出来的是极值点
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经计算在 -1
F（X）为最大值。 这个错了，x=-1是极小值的而F(-1)<0而x趋近正无穷F(x)也趋近正无穷而x趋近负无穷时F(x)趋近-1所以F(x)仅有一个零点在（-1，正无穷）区间上。函数不是犹如开口向上的二次图像么
负无穷到 -1递减而
-1到正无穷递增...
扫描下载二维码762.　设f(x)在x0点某邻域内具有n阶连续导数且f′(x0)=f″(x0)=…=f(n-1)(x0)=0，f(n)(x0)≠0，证明:当n为奇数时f(x0)不是极值；当n为偶数时f(x0)为极值.
相关工具书解释
证　因f(n)(x0)≠0,不妨设f(n)(x0)0.由于f(n)(x)连续,因而.根据极限的保号性知,必存在x0的某一去心邻域U(x^0,δ),当x∈U(x^0,δ)时,f(n)(x)0,&#x15C4;x∈U(x^0,δ),f(x)在x0点处的(n-1)阶泰勒展开式为代...
(本文共343字)
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如何判断函数间断点是否为极值点如f(x)=e^x-2 x>0 f(x)=xe^x x
一米阳光kyab
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判断极值点 关键是判断极值点两边的单调性即可 !该题中 x＞0 时 显然 单调递增 x＜0时 显然 求导易得 x 在[-1.0]单调递增 [-∞,-1]单调递减的 可以模拟出函数图象 不难看出 在x=0 的附近 都是递增的 故 x=0不是极值点 x=-1是一个极值 点 且为极小值点 !其实极值点 一般都可能在导数为0的点 判断是否为极值 对于连续的可导函数 很简单 先求一阶导数 使其等于0 得到驻点 然后 求解二阶导数 代入驻点 判断 二阶导数的符号,如果大于0则为极小值 如果小于0 则为极大值!一般而言 极值点都在驻点或者间断点 等取得,具体据题而言!
我打追问的时候突然想明白了
答案说x=0是极大值点 理由是
当x<0时 f(x)=xe^x0时且x充分小时 f(x)=e^x-2<0
故f(0)=0是极大值
答案 的解释比较牵强吧 ！利用极限 可以得出当x大于0时 取右极限 为-1 也就是说当x 从右边无限接近于0时 函数值接近于—1 也不是接近于0，同时在右边还是单调递增的，就算是接近0的话 也不会是极值点！极值点两边的单调性一定是不同的，否则就不是极值点！按照大学教材对极值的定义来看 这个点绝对不是极值点，只要知道极值的判断方法就行了，放心考试不会出现这种问题的！
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