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小学数学公式,和它们的变形公式有哪些?
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小学生必背《数学公式》▲乘法定律：乘法交换律：a×b = b×a乘法结合律：a×b×c = a×(b×c)乘法分配律：a×c + b×c=c×(a + b)a×c - b×c=c×(a - b)▲除法性质：a÷b÷c = a÷(b×c)▲减法性质：a –b - c = a - (b + c)▲解方程定律：◇加数 +加数 = 和 ； 加数 = 和–另一个加数.◇被减数–减数 = 差； 被减数=差+减数； 减数=被减数–差.◇因数×因数 = 积； 因数 = 积÷另一个因数.◇被除数÷除数 = 商； 被除数=商×除数； 除数=被除数÷商.◆行程问题：路程=速度×时间； 时间=路程÷速度； 速度=路程÷时间.◆相遇问题：相遇路程=（甲速度+乙速度）×相遇时间；相遇时间=相遇路程÷（甲速度+乙速度）；甲速度=相遇路程÷相遇时间–乙速度；乙速度=相遇路程÷相遇时间–甲速度.◆工程问题：工作总量=工作效率×工作时间；工作时间=工作总量÷工作效率；工作效率=工作总量÷工作时间；工作总量=计划工作效率×计划工作时间；工作总量=实际工作效率×实际工作时间；实际工作时间=工作总量÷实际工作效率；实际工作效率=工作总量÷实际工作时间；◆买卖问题：总金额=单价×数量；数量=总金额÷单价；单价=总金额÷数量.
懂？应该很好理解。祝学习进步~
商不变，比，比例，小数的基性质
小数的基本性质：小数末尾添上0或者去掉0,小数的大小不变。 比的基本性质：比的前项和比的后项同时扩大（或缩小）相同的倍数,比值不变。 百分数的意义:表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数，百分数也叫做百分率或百分比。 小数的意义：用来表示十分之几、百分之几、千分之几的数，叫做小数，是分数意义的有部分。 比的意义：表示两个数相除的式子就是比。 它和分数的关系是：比的前项相当于分数的分子，后项相当于分数的分母，比号相当于分数线； 比和除法的关系是：比的前项相当于除法中的被除数，后项相当于除法的除数，比号相当于除号。
被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数(0除外),商不变,这是商不变的规律.
平面，立体图形和时间，重量的变形公式
呃呃。。重新发一下问题可以吗？收到了却没显示。
平面，立体图形和时间，重量的变形公式
平面，立体图形和时间，重量的变形公式
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三年级数学下册第三单元变式练习
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　　作　者：
　　出版时间：
　　开　本： 大16开
　　I S B N ： 0
　　定价：￥11.80内容简介　　将教材上的考点分课时、单元、归类、综合四方面进行训练，确实练全了教材上的所有考点。如果同学们将它和《》配套使用，那么你们的学习就会更上一层楼!目录　　课量全练全测
　　Unit1 Our School
　　PartA（1）
　　PartA（2）
　　PartA（3）
　　PartB（1）
　　PartB（2）
　　PartB（3）
　　Unit2 What Time Is It？
　　PartA（1）
　　PartA（2）
　　PartA（3）
　　PartB（1）
　　PartB（2）
　　PartB（3）
　　Unit3 Is This Your Skirt？
　　PartA（1）
　　PartA（2）
　　PartA（3）
　　PartB（1）
　　PartB（2）
　　PartB（3）
　　Recycle1
　　Recycle1（1）
　　Recycle1（2）
　　Recycle1（3）
　　Unit4 Its Warm Today
　　PartA（1）
　　PartA（2）
　　PartA（3）
　　PartB（1）
　　PartB（2）
　　PartB（3）
　　Unit5 How Much Is It？
　　PartA（1）
　　PartA（2）
　　PartA（3）
　　PartB（1）
　　PartB（2）
　　PartB（3）
　　Unit6 At a Farm
　　PartA（1）
　　PartA（2）
　　PartA（3）
　　PartB（1）
　　PartB（2）
　　PartB（3）
　　Recycle2
　　Recycle2（1）
　　Recycle2（2）
　　Recycle2（3）
　　单元全练全测
　　第一单元自我检测
　　第二单元自我检测
　　第三单元自我检测
　　第四单元自我检测
　　第五单元自我检测
　　第六单元自我检测
　　归类全练习全测
　　情景交际
　　综合全练习全测
　　期中自我检测（一）
　　期中自我检测（二）
　　期中自我检测（一）
　　期中自我检测（二）
　　听力录音原文
　　单元全练全测
　　归类全练全测
　　综合全练全测
　　答案全析全解
　　课时全练全测答案
　　单元全练全测答案
　　归类全练全测答案
　　综合全练全测答案
小学教材全练：一年级数学下/小学教材全练
　　作　者：
　　出 版 社： 陕西人民教育出版社
　　出版时间：
　　字　数： 220000
　　开　本： 大16开
　　I S B N ： 0
　　定价：￥11.80内容简介　　小学数学教材考点：直接运用公式、法则等解答的实际问题，教材例题的仿练题和变式题，综合运用基础知识解答的生活问题。目录　　课时全练全测
　　一 生活中的数
　　1 数铅笔
　　2 数豆子
　　4 小小养殖场
　　二 观察与测量
　　1 观察物体
　　2 桌子有多长
　　4 估一估 量一量
　　三 加与减（一）
　　1 小兔请客
　　2 采松果
　　3 青蛙吃害虫
　　4 拔萝卜
　　5 回收废品
　　四 有趣的图形
　　1 认识图形
　　2 动手做（一）
　　3 动手做（二）
　　4 动手做（三）
　　五 加与减（二）
　　1 图书馆
　　2 发新书
　　3 小小图书馆
　　4 跳绳
　　六 购物
　　2 买衣服
　　3 小小商店
　　七 加与减（三）
　　1 套圈游戏
　　2 乘船
　　3 乘车
　　八 统计
　　1 组织比赛
　　2 买气球
　　单元全练全测
　　第一单元自我测试
　　第二单元自我测试
　　第三单元自我测试
　　第四单元自我测试
　　第五单元自我测试
　　第六单元自我测试
　　第七单元自我测试
　　第八单元自我测试
　　综合全练全测
　　期末自我测试（一）
　　期末自我测试（二）
　　期末自我测试（三）
　　答案全析全解
　　课时全练全测答案
　　单元全练全测答案
　　综合全练全测答案
小学教材全练：五年级英语下/小学教材全练
　　作　者： 薛金星 主编
　　出 版 社： 陕西人民教育出版社
　　出版时间：
　　字　数： 240000
　　开　本： 大16开
　　I S B N ： 7
　　定价：￥11.80目录　　课时全练全测
　　Unit 1 This Is My Day
　　Part A（1）
　　Part A（2）
　　Part A（3）
　　Part B（1）
　　Part B（2）
　　Part B（3）
　　Unit 2 My Favourite Season
　　Part A（1）
　　Part A（2）
　　Part A（3）
　　Part B（1）
　　Part B（2）
　　Part B（3）
　　Unit 3 My Birthday
　　Part A（1）
　　Part A（2）
　　Part A（3）
　　Part B（1）
　　Part B（2）
　　Part B（3）
　　Recycle 1
　　Recycle 1（1）
　　Recycle 1（2）
　　Recycle 1（3）
　　Unit 4 What Are You Doing?
　　Part A（1）
　　Part A（2）
　　Part A（3）
　　Part B（1）
　　Part B（2）
　　Part B（3）
　　Unit 5 1ook at the Monkeys
　　Part A（1）
　　Part A（2）
　　Part A（3）
　　Part B（1）
　　Part B（2）
　　Part B（3）
　　Unit 6 A Fie1d Trip
　　Part A（1）
　　Part A（2）
　　Part A（3）
　　Part B（1）
　　Part B（2）
　　Part B（3）
　　Recycle 2
　　Recycle 2（1）
　　Recycle 2（2）
　　Recycle 2（3）
　　单元全练全测
　　第一单元自我检测
　　第二单元自我检测
　　第三单元自我检测
　　第四单元自我检测
　　第五单元自我检测
　　第六单元自我检测
　　归类全练全测
　　词汇与短语
　　阅读理解
　　书面表达
　　综合全练全测
　　期中自我检测（一）
　　期中自我检测（二）
　　期末自我检测（一）
　　期末自我检测（二）
　　期末自我检测（三）
　　听力录音原文
　　单元全练全测
　　归类全练全测
　　综合全练全测
　　答案全析全解
　　课时全练全测答案
　　单元全练全测答案
　　归类全练全测答案
　　综合全练全测答案
小学教材全练：三年级数学下/小学教材全练
　　作　者： 薛金星 主编
　　出 版 社： 陕西人民教育出版社
　　出版时间：
　　字　数： 200000
　　开　本： 大16开
　　I S B N ： 4
　　定价：￥11.80内容简介　　直接运用公式、法则等解答的实际问题，教材例题的仿练题和变式题，综合运用基础知识解答的生活问题。目录　　一　元、角、分与小数
　　1.买文具
　　2.货比三家
　　3.买书
　　4.寄书
　　森林旅游
　　二　对称、平移和旋转
　　1.轴对称图形
　　2.镜子中的数学
　　3.平移和旋转
　　4.欣赏与设计
　　三 乘法
　　1.找规律
　　2.住新房
　　3.电影院
　　旅游中的数学
　　四 面积
　　1.什么是面积
　　2.量一量
　　3.摆一摆
　　4.铺地面
　　五 认识分数
　　1.分一分（一）
　　2.分一分（二）
　　3.比大小
　　4.吃西瓜
　　六　统计与可能性
　　1.比一比
　　2.猜一猜
　　体育中的数学
　　单元全练全测
　　第一单元自我测试
　　第二单元自我测试
　　第三单元自我测试
　　第四单元自我测试
　　第五单元自我测试
　　第六单元自我测试
　　综合全练全测
　　期末自我测试（一）
　　期末自我测试（二）
　　期末自我测试（三）
　　答案全析全解
　　课时全练全测答案
　　单元全练全测答案
　　综合全练全测答案
小学教材全练：六年级英语下/小学教材全练
　　作　者： 薛金星 主编
　　出 版 社： 陕西人民教育出版社
　　出版时间：
　　字　数： 240000
　　开　本： 大16开
　　I S B N ： 7
　　定价：￥11.80内容简介　　《小学教材全练》将教材上的考点分课时、单元、归类、综合四方面进行训练，确实练全了教材上的所有考点。如果同学们将它和配套使用，那么你们的学习就会更上一层楼！目录　　课时全练全测
　　Unit 1 How Tall Are You?
　　Part A（1）
　　Part A（2）
　　Part A（3）
　　Part B（1）
　　Part B（2）
　　Part B（3）
　　Unit 2 What's the Matter, Mike?
　　Part A（1）
　　Part A（2）
　　Part A（3）
　　Part B（1）
　　Part B（2）
　　Part B（3）
　　Unit 3 Last Weekend
　　Part A（1）
　　Part A（2）
　　Part A（3）
　　Part B（1）
　　Part B（2）
　　Part B（3）
　　Unit 4 My Holiday
　　Part A（1）
　　Part A（2）
　　Part A（3）
　　Part B（1）
　　Part B（2）
　　Part B（3）
　　Recycle 1 Let's Take a Trip!
　　Recycle 1 （1）
　　Recycle 1 （2）
　　Recycle 1 （3）
　　Recycle 1 （4）
　　Recycle 1 （5）
　　Recycle 1 （6）
　　Recycle 2 A Farewell Pary
　　Recycle 1 （1）
　　Recycle 1 （2）
　　Recycle 1 （3）
　　Recycle 1 （4）
　　Recycle 1 （5）
　　Recycle 1 （6）
　　单元全练全测
　　第一单元自我检测
　　第二单元自我检测
　　第三单元自我检测
　　第四单元自我检测
　　复习一自我检测
　　复习二自我检测
　　归类全练全测
　　词汇与短语
　　阅读理解
　　书面表达
　　综合全练全测
　　期中自我检测（一）
　　期中自我检测（二）
　　期末自我检测（一）
　　期末自我检测（二）
　　总复习综合检测（一）
　　总复习综合检测（二）
　　总复习综合检测（三）
　　听力录音原文
　　单元全练全测
　　归类全练全测
　　综合全练全测
　　答案全析全解
　　课时全练全测答案
　　单元全练全测答案
　　归类全练全测答案
　　综合全练全测答案
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参与编辑人数：5位
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申请可获得以下专属权利：
贡献光荣榜“基于问题解决的小学数学教学”课题研究报告
一、问题的提出
“问题解决”是美国数学教育界80年代以来的主要口号。课题提出的可能性：时间推演到今天，现代信息技术的蓬勃发展，尤其是计算器的引入课堂，使得我们能够改变片面强调计算技能的传统数学教育，从而真正集中于学生解决问题能力的培养。问题提出的必要性：（1）从教育的功能和目标来看，问题的提出与解决从来就是数学教学功能的一个重要组成部分，但这只是被用作数学知识（概念、原理）教学的一种手段。“以问题解决作为学校数学教育的中心”则认为应把帮助学生学会“数学地思维”，提高解决问题的能力作为数学教育的主要目标。（2）《新课程标准》的课程目标培养的需要。新课程把“解决问题”作为目标中的一个具体要素，数学教师的首要责任是尽其一切可能来发展学生解决问题的能力。（3）再看我们学校的数学教学的现状，我们的学生比较适应用于特定问题的特定解法的“算法”学习，不像美国学生善于解决那种开放性的、含糊的、具有“现实意义”的并且需要更多创造性的非单纯练习题式的问题。显然，“问题解决”对于我们的数学教育具有特别重要的意义。基于这样的认识，所以我们把“基于问题解决的数学教学”作为学校“十五”期间的数学课题。
二、研究过程
一、研究目标
1、通过“问题解决教学”的研究,切实把握数学教学的实质,把问题作为数学教学的出发点和落脚点,
二、研究方法
三、研究内容及操作
在整个“十五”期间，我们围绕“问题”、“问题解决”、“问题解决的教学”这三方面，在理论认识上经历了从模糊到清晰的过程，在实践探索上经历了从浅表到深度的过程。
词典上对“问题”的解释是：需要研究讨论并加以解决的矛盾，可见“问题”必须有一定的困难，没有任何困难的数学“问题”不成其为问题，而只是练习题。问题解决中的“问题”较多的是指一种非单纯练习题式的问题（非良构性的、非标准）或实际应用的问题。
所有的问题有三个基本成分：⑴给定：一组给定的信息，即关于问题的一系列描述。⑵目标：问题要求的或结尾的状态，解决问题就是要把问题已经给定的状态转换到目标状态。⑶障碍：思维者无法立即找到正确答案，必须通过一定的方式来改变给定的状态，逐步达到目标状态。
作为问题解决教学，好问题是关键。通过研究实践，我们逐步认识到好问题必须具有可探索性、启发性、开放性、发展性、现实性、简易性。探索性是指问题“还要求人们具有某种程度的独立见解、判断力、能动性和创造精神。”但这种探索性的要求应当是与学生实际水平相适应的。启发性是指应有利于学生掌握有关的数学知识和思想方法，所以不应是“偏题”、“怪题”。开放性是指问题具有多种不同的解法，或有多种可能的解答。发展性，即由此可以引出新的问题。现实性是指具有一定的现实意义，或与学生的实际生活有着直接的联系。简易性即问题的表述应当简单易懂。
问题该以怎样的形式呈现？我们认为问题的呈现形式应多样化，可以是表格、图形、漫画、对话、文字等。如在学习100以内加减法时，安排下面的应用问题：梨有26箱，苹果有28箱（以图的形式呈现）,小货车一次能装50箱，这些梨和苹果能一次都运走吗？为什么？再比如给出一周内三种书的售书情况，然后用问题串的形式让学生预测一个月内三种书的售出情况，不计算看看最受欢迎的书是什么书？估计一下其中一种书每天的售出本数，一个月每种书各售出几本等等。新教材在问题的呈现形式上可谓生动活泼。问题的内容与呈现形式是我们研究的首要问题。
2、好问题哪里来？
⑴改造问题
按前面对问题的界定，我们可以发现课本练习中的很多题目只能算是训练性的习题。有时，我们必须对一些习题进行改造，使之成为“问题”。五年级数学书上有这样一类行程问题：小红和小强从相距800米的两地同时相对出发，小红每分行65米，小强每分行70米，4分钟后两人相距多少米？我们在学校的一次质量调研中把它改造成：在一条笔直的公路上，小红和小强从相距800米的两地同时出发，小红每分行65米，小强每分行70米，4分钟后，小红和小强两人相距多少米？（请你从不同的运动方向去考虑问题。）显然这是一个没有规定运动方向的开放性问题，需要学生从不同的运动方向去考虑。第一种是相对而行，算式是800－（70+65）×4。第二种是相背而行，算式是800+（70+65）×4，第三种是同向而行，小强在前，800＋（70－65）×4，第四种也是同向而行，小红在前，800－（70－65）×4。这样的改进比一般性习题更容易引起学生思维的紧张度，更能使学生整体把握行程问题的结构特征。
⑵引进问题
学生的生活是学习数学的一个重要基础，引进现实的、有意义的、富有挑战性的生活实际问题更能使学生看到数学的作用，也更能激发起学生解决问题的心向。如我们学校的王心洁老师在《按比例分配应用题》的应用练习中，设计了这样一题：前不久在老师住的那幢楼来了三个从外地到宜兴工作的人，小徐、小陈和小周，他们三人合租了501室一套房：
1号房17平方米
共30平方米（包括客厅、
卫生间、厨房）
2号房19平方米
3号房24平方米
每月租金540元，他们三人该如何分摊房租？写出你认为最合理的设计方案。
学生有的按住房面积的比按比例分配，算式是540× =153（元），540× =171（元），540× =216（元），有的学生是把公用面积平均分配给3人，按27：29：34分配，算式是540× =162（元），540× =174（元），540× =204（元）。
二、问题解决
弗赖灯塔尔认为：要尽可能让学生在一定基础上经历问题解决的过程，把要学的知识“再创造”出来。问题解决应当被看作是一种创造性的活动，是如何综合地、创造性地应用所学知识和方法去解决非常规性的问题，其核心并非是各种特殊的解题方法或技巧，而是一些一般的思想方法或思维模式，其目标并不是要发现可以机械地用来解决一切问题的“万能方法”，而是希望能通过对于解题过程特别是已有的成功实践的深入研究，总结出一般的对以后的解题活动有启发、指导作用的方法或模式。
1、理解问题。理解问题就是进入问题、弄清问题、形成问题的表征。表征是人们知觉和认识世界的一套规则。表征问题的形式有两种：一是心理表征（或内在表征），即在头脑中将问题中的文字表述转换成内部的表征以明确问题的已知和未知等信息。思考：什么是已知的？什么是所要求的？什么是可以引进的。二是外部表征，以适当的表格或图象对问题中已知的东西进行整理或是引进适当的符号使对象更易于处理。在最近进行的一次校内课题研究课上，四年级的秦琦老师上了一节《问题解决的策略》一课，内容是用列举条件和问题的方法表征问题。在课的研究过程中，尤其是听课后的评议中，老师们都意识到这种解题策略对于问题解决的重要性，问题解决能力强的学生的高明之处就在于他能用这种列举法便于发现条件与问题之间的关系，从而搭桥铺路，顺利求解。在我们学校的应用题教学中，低年级着重用直观图画帮助学生理解加减乘除四则运算的意义，用画应用题的方法帮助学生理解算理。如乘法应用题“校园里种了4行桃树，每行3棵，一共种了多少棵？”指导学生画出：&&&&&&&&& 。高年级则逐渐过渡到用线段图帮助分析，尤其是教学六年级较复杂的分数应用题时，我们非常注重指导学生画线段图，往往是一道应用题读起来较复杂，线段图画到完，解法则呼之欲出。
2、寻求解法。这一阶段的主要工作是对问题进行识别、归类，提出猜想，对猜想进行改进或验证，对问题的识别和归类的最基本的方法是对数学模式的辨认，从所给问题的情境中辨认出模式，是一个主动积极的思维过程，需要一定的策略，我们通常指导学生交替使用顺推和逆推的“搜索”策略，两面夹攻逐步逼近目标，辨认出有关模式。这里的“顺推”和“逆推”实际上就是数学中的分析法、综合法思路，这是两种基本策略。五年级的应用题教学学生之所以难，就是因为学生对应用题的结构、数量关系把握不好，分析法、综合法两种思路的指导与训练不到位。所以我们要求教师教低年级想中年级，教中年级想高年级，低年级注重原理、概念的教学，如四则运算的意义。中年级则是加强分析法与综合法两种解题思路的训练，注重应用题数量关系的分析。高年级注重解题策略的指导。如我们结合分数应用题的教学总结出了“画图直观法”、“抓不变量法”、“分数问题整数解决法”、“量率对应法”、“假设同样多法”等等具体的可操作的策略方法。在实践中我们发现解题策略并不是到高年级才要重视，其实在低年级段数学教师在问题解决的过程中就应该
3、表达解法。这一阶段的工作可能包括计算、测量、统计、作图等等在表达过程中，可能还会遇到意外的情况，这时需要解决问题者重新寻找新的解题策略，采用更合适的方法来解决问题。
学校五年级期中考试我改卷子，便出了这样一道题：太湖边的一个小渔村里住着一老一少两个渔夫。有一年，他们从4月1日起开始打鱼，每人给自己定了一条规矩。老渔夫说：“我连续打3天鱼休息1天。”年轻渔夫说：“我连续打5天鱼休息1天。”有一位城里的朋友想趁他们都休息的日子去看望他们。那么，在这一个月里，他可以选择哪些日子去呢？这个月里两位渔夫同时在外打鱼的日子有几天？考试后，我去组里了解该道题的解答情况，结果是出乎我的意料，原来被认为是数学“超级大国”的班级只有3个人解答对了两个问题，而素来被认为较差的一个班级则有二十多人做对。这是什么原因？我分别询问了两个班的老师，前者说：我平时强调应用题的解答一定要有算式，要用算式说明过程。后者说：平时我经常指导学生用列举法思考问题。的确，我出这道题的目的正是为了检测教师们在教学过程中是否注重对学生思维方法与学习方法的指导。看后一个班级学生的解答过程，他们都是在试卷上列出日期，然后圈出符合要求的日期，如：& 老渔夫 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10& 11& 12& 13& 14& 15& 16……
年轻渔夫1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10& 11& 12& 13& 14& 15& 16……
学生不用列出全部的日期，便可以得出只要是4和6的公倍数的日期便是两人共同在家休息的日子（12日、24日）。同时在外打渔的日子只要在1——30这三十个数中圈出4、6的倍数。
4、回顾反思。回顾整个解题过程，反思自己开始时遇到什么困难，是如何突围的，解决问题的过程中用到哪些知识，反思结果是否合理，是否有不同的解决问题的途径，以及与其他知识是否有联系等等。这一反思的环节对整个解决问题起着调节与监控的作用。
三、问题解决教学
& &&即用问题解决的思想、观点来改造数学教学，以提出发现问题为数学教学的切入口、起点，以问题解决的过程作为数学教学的主线，通过问题的解决来完成数学概念的形成、数学结论的获得以及数学知识的应用。
（一）提出问题。新课标要求学生初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，培养学生的问题意识。结合学校数学的主课题“基于问题解决的数学教学”，我在课堂上非常注重培养学生的问题意识。我们允许学生随时提问，随时说想法。在刚刚上的“加减法的意义”一课上，当我讲到“减法是加法的逆运算”时，学生1便问：减法是加法的逆运算，那加法是减法的逆运算吗？在肯定之后，生2又问：乘法和除法、乘方和开方是互逆的吗（在学习第一、第二级运算时在学生质疑后我曾简单介绍过乘方和开方）？生3问：减法是在加法的基础上得来的，那乘法是在什么基础上得来的？有学生回答：乘法是加法的简便运算。这时生4问：那乘方和乘法有什么关系？减法和除法有什么关系？面对学生对知识的渴求，我做了简单介绍。也许学生不是很明白，也许不是所有的学生能懂，但学生那种对知识的探究欲望得到了极大的满足，这种好奇心、求知欲和问题意识是比知识更重要的数学素养。它能使学生头脑中的知识结构永远呈现一种开放的态势，能让每个孩子拥有一双用数学视角观察世界的眼睛，让每个孩子拥有一个用数学思维思考世界的大脑。
1、创设问题情境。把实际问题抽去对象的物质性，然后赋予抽象的形式，就成了纯粹形式化的数学问题，我们在组织学生学习数学知识时要提供一些带有物质背景的实际问题，即把数学问题还原到生活原型中，让学生在一定的情境中提出，发现问题，直观感知数学就在身边，产生一种迫切的解决问题的心向，比如在圆面积计算教学时，我们就用多媒体设计了一幅羊吃草的情景：一只羊拴在一棵树上，这只羊转着转着，吃光了它能吃到的所有的草。现在一——四年级使用的江苏省编新课程教材非常注重问题情境的创设，我们对这些情境作了具体的分析与分类，发现可以归纳为这样几个主题：购物情境、校园活动情境、劳动场景（如果园的丰收）、活动场景、家庭生活场景等。我们在教学中要尽可能地创设学生熟知的问题情境，
2、捕捉发现问题。在提倡创新教育的今天，发现问题、提出问题以及对问题的敏感性显得格外重要。在学生学习中教师要创造条件提供机会，让学生多思多问，指导学生用“是什么”（what）、“怎么样”（how）、“为什么”（why）这样一些问句来发问、追问，从而培养学生的问题意识、提问习惯。让学生面对羊吃草的动画情景，提出数学问题，学生很自然地提问：这只羊吃了多大面积的草？相遇求路程应用题的教学过程中，我便一改以往传统的教学方法，把问题意识的培养作为本节课的重点。课上我出示了例题的前半题：“小明和小芳同时从家里走向学校，小明每分钟走70米，小芳每分钟走60米。经过4分钟，两人在校门口相遇。”并附上了图。我让学生根据条件补充问题。学生很快提出了这样一些问题：两人一共走了多少米？两家相距多少米？小明比小芳多走多少米？小明家到学校比小芳家到学校远多少米？然后先解决第一、二个问题，让学生针对第二个问题谈谈想法，学生很快发现：求“两家相距多少米”就是求“两人一共走多少米”。接着完成例题的教学，在此基础上，处理第三、四个问题。这样处理的好处是：学生更容易理解“两家相距多少米”、“小明家到学校比小芳家到学校远多少米”的实质含义，其次学生能在更广阔的问题背景上去审视行程问题的一些状况，（前两道题是求路程和，后两题是求路程差）这与单纯地给出例题，就题论题相比，学生的体验更丰富。在教学中，我们与其去赶进度、去走教案、去进行过量的练习，不如选择一个有意义的但又不太复杂的题目，去帮助学生深入挖掘题目的各个侧面，使学生通过这道题目，通过这道门，进入一个崭新的天地。
& 3、整理设计问题。以往对学生提出的问题我们很少指导学生进行筛选、整理、归纳，而设计问题则仅局限于教师对问题的设计，而这里提的整理设计问题应该是师生共同对学生提出的问题进行删、添、并、改，以问题的形式形成一节课的研究目标。记得钱阳辉校长在上《小数点位置移动引起小数大小的变化》一课，学生围绕课题提出了很多问题，这时教者便指导学生对问题进行了筛选、整理，归纳成三个问题：小数点位置怎样移动？小数的大小怎样变化？小数点的位置移动怎样引起小数大小的变化？以问题的形式为学生确立学习目标，以目标导学。
（二）解决问题。
1、充分展开三个过程。
充分展开知识生成的过程。叶澜教授设计的“长程两段”教学法，将每一结构单元的学习分为教学“结构”阶段和运用“结构”阶段。第一阶段主要用发现的方式，让学生从现实的问题出发，逐渐找出知识的结构和发现结构的步骤与方法，通过总结，形成知识、方法、步骤综合的“类结构”模式。这一部分的教学时间可适当放慢。即首次慢动，逐步加速。这个所谓的“首次”是指起始的原理知识以及核心知识，像正、反比例知识的教学，我们六年级的老师就作了变革，一反教材上的编排，用一节课的时间给出一系列相关的数量，让学生体会数量的相关性以及相关数量变化的情况。在此基础上让学生感悟正反比例的意义。在一些起始概念、支撑性概念的教学时，我们用比较多的时间来展开，而一旦夯实了底座，后面的教学便可逐步加速。如乘法口诀的教学、20以内进位加法、退位减法的教学也完全可先教“结构”，后面类似的内容则可以用“结构”学。这样的教学与按照教材的编排走一遍的教学相比，学生感悟到的东西要多得多，对思想、方法等的感受也更为深刻。
充分展开思维训练的过程。在应用题教学中，有时一道应用题用常规的方法解答，对学生而言不成为问题，但如果要求用另一种方法来解答，学生便会觉得是问题。如这学期开学时，书上有这样一道题：一本《数学童话》有360页，小林3天看了36页。照这样计算，看完这本书一共需要多少天？原来的解法是：360÷（36÷3）。学生解答完后我便要求他们用另一种方法来解答，以此作为思维训练的契机，学生通过积极的思维过程，借助头脑中关于“倍”的概念，钻研摸索出了“360÷36×3”这种打破常规的方法。试问：如果教师不再追问，学生能有这样的收获吗？当然，新课程所提倡的算法多样化以及我们一贯来提倡的一题多解等都是训练学生思维的很好途径。
充分展开思想方法渗透的过程。圆面积计算公式的推导，我们就用一节课的时间专门研究公式的推导，让学生经历了一个猜测、转化、验证的过程，通过剪一剪、拼一拼、想一想、议一议，相互启发、相互合作，把圆转化成了平行四边形、长方形、三角形、梯形等图，并找到了它们与圆之间的关系，从而通过不同的侧面得出了圆面积计算的公式。这节课上学生能深刻地感受到比数学知识更重要的知识背后所蕴藏的思想、方法，经历一个科学家大胆猜测、小心求证、发现结论的过程。
2、重新认识教师的作用。
在现代教学的理念中，大力提倡让学生做学习的主人，教师应是一位指导者、协作者、帮助者、服务者。这种提法不是要削弱教师的作用，而是更要研究教师如何引导。在问题解决的教学中我们认为教师的作用在于灵活运用各种问题解决教学的策略。
让学生看到过程。现在的数学教学有三种不同的层次：（1）展现解法、结果；（2）展现思路；（3）展现寻找思路的过程。让学生展现自己的探索过程，展现自己失败的过程，也让学生看到教师如何置身于思维困境，如何突围出来、寻找解法的过程。在解题结束后我们很注重对寻找解法过程的回放。
让学生看到联系。布鲁纳提出了四条数学学习原理：建构原理、符号原理、比较和变式原理、关联原理。数学知识有着内在的关联性，数学教学应该让学生看到这种联系，使学生获得的知识结构化的知识。我们在应用题教学中特别注重加强简单应用题的内在联系、加强复合应用题之间的联系、加强各种数学知识间的联系。如长方体、正方体侧面积的计算和圆柱体侧面积的计算的联系。
让学生看到更多。对问题解决中得到的思想、方法作特殊化、一般化的处理。如老师们用一根长22厘米的铁丝围成一个面积最大的长方形（边的长度为整厘米数），学生按一定的顺序列出各种答案，通过观察分析，发现长和宽的长度越接近，面积越大。由此可以进行推广，当两个数的和一定时，两个数越接近，两个数的乘积越大。
让学生看到变化。变式练习与传统教学中机械重复的巩固练习有着本质的区别，运用概念变式、背景复杂化和创设实际应用的情境等手段，变化知识非本质属性，突出本质属性。如二年级书上有一道题“现在有两种花，一种每枝1元，一种每枝2元，用5元钱去买花，如果两种花都要买到，最多买几枝？最少呢？”要学生口答。期中考试出卷我出了这样一道题：“有两种铅笔，一种2元钱一枝，一种1元钱一枝，用10元钱去买笔，最多买（）枝，最少买（ ）枝。”下面的教师看到题目大叫道：书上的题目是要求两种花都买，我们一直强调这一点，这下学生要上当了。我听了，笑着说：你讲解这类题时为什么没想到变式呢？老师们说：是呀，怎么没想到呢！考试结果证明：有相当一部分学生按“两种笔都买”的思路去解答。因为教师的就题论题，框住了学生的思维，从而使学生没能正确地把握问题的本质，沿着一种思维的定势走上了思维的歧路。变式显示着教师的一种功力，变式永远是一种好的教学方法，只有用灵活多变的教学策略才会教出思维灵活的学生。
3、问题解决策略的生成与运用。
在学生问题解决的过程中，各种策略与方法就像是学生前行的“拐棍”。在问题解决教学中我们不仅重视策略的指导，更注重策略的生成与内化。我们常用的策略有：
升格。当我们研究的是某些元素的关系时，可以考虑把问题归结为这些元素所在的整体的关系或性质的问题。通过对整体的性质或关系的考察而使原来的问题获得解决。如观察算式96－69=27&& 53－35=18&& 71－17=54& 92－29=63然后用观察到的规律计算91－19&& 73－37&&& 82－28等等算式。学生很快都发现了规律，但是学生并不满足，他们急切地想知道为什么会有这样的规律。于是问题就归结为(10a＋b)－(10b＋a)与（a－b）×9是否恒等这一问题。通过很简单的形式运算，学生便肯定了这一结果。升格的过程表现为对具体事物进行抽象，再在抽象水平上进行形式推理，然后用于解决具体问题。
降格。由于人们开始认识事物总是由简单到复杂，所以当复杂的事物一时认识不清的时候，不妨暂退到简单的情形。如把两元一次方程通过消元法、代入法化为一元一次方程的问题。这就是著名的数学家华罗庚先生所讲的巧妙的“退”的方法。华先生曾说过，善于“退”，足够地“退”，退到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。如有这样一道题：“有10级楼梯，可以一级级上，也可以两级两级上，这样一共有几种上楼梯的方法？”学生如果从10级楼梯下手，则情况复杂，很难列举完整所有的答案，所以只能退到最简单的状态，从2级、3级、4级、5级开始考虑，1级：1种方法，2 级：2种方法，3级：3种方法，4级：5种方法，5级：8种方法……学生通过对列举出的情况进行观察、比较，可以发现3级楼梯的方法是1级、2级楼梯的方法的和，5级楼梯的方法是3级、4级方法的和，依次类推便能准确地得出上10级楼梯的方法。
缩格。尽可能地对题目的条件与结论进行分析，抓住最基本的条件，把问题归结为单纯的相互独立的元素的问题。在解决数学问题中，经常利用这种化复杂图形为简单图形，化复杂量为基本量，化曲为直的缩格策略。如在进行圆周长和圆面积计算时就让学生充分感受化曲为直的缩格策略。
更格。即对数学题中提供的信息进行形态的转换，借以解决问题。如符号信息与形象信息的转换，它常常表现为数形的结合，可以是由数思形、由形思数、数形渗透、数形对照、数形交融等等。如有道题“一个长方形，长7厘米，宽6厘米，把它分割为边长恰好都是整厘米数的正方形，不要求各正方形大小完全相同，至少可以分割成几个这样的正方形？在图上画一画。”这道题就需要学生学生既要从图上去考虑、去分割，还要从面积的具体数量上去考虑，想一想42平方厘米可以分成哪几个平方数的和。见数又见形，就可以得到42=16＋9＋9＋4＋4，也就是至少可以分割成5个正方形。
实验措施与保证
“每日一题”、“思维训练”、“校本教材的开发”、“小课题研究”、师生“问题解决能力的竞赛”等等活动把问题解决课题的实施推向深入，同时我们还努力做到：一、永远保持一种课题研究的冲动、激情与自觉性，真真切切地通过该课题的研究来提升学校数学教学工作的水平与数学教师的专业水平。基尔帕特里克指出：“在整个教育史中很少有这样的课题能同时引起研究者和实践者如此的关注”，而“问题解决”却正是个例外。所以该课题确实具有研究的重大价值和研究的可能。二、把研究的着力点放在课堂教学的研究上，因为课堂可以孕育最新鲜的课题，课题研究又可以反哺一线的教学。所以我们要每学年要举行一些全校的课例研究，通过试教、听课、评议、反思等环节，提高课题研究的实效性。同时关照新课程标准关于问题解决的目标要求，结合组内的一人一节教研课，加强子课题的研究，缩小研究口径，挖掘研究深度。三、在课题研究中注重好问题的搜集、好课例的积累，注重研讨与反思的作用，注重提炼研究成果，在研究活动中开设的研究课，教师们都及时进行总结提升写出了教学案例。
问题的讨论
课题进行到现在，我们不能大言不惭地说我们取得了圆满的成功。但是收获与成绩是可以肯定的。在教师方面，通过课题的实施，教师们强化了研究的意识，逐步学会了在实践中思考，用思考导引实践的自动化研究的习惯，我想这正是一个实验小学教师有别于其他学校教师的基本要求。通过一学年一次的校内大型的课题课堂教学教学研讨活动，使一部分教师的课堂实战能力有了很大的提高，实验教师在各级各类课堂教学竞赛活动中取得了优异的成绩。其次，课题实验的最大受益者应该是学生，已经毕业的六（1）班学生思维活跃，问题意识、创新意识强，尤其是思维的质疑、批判、求异的特征明显。现在进行的六（16）班学生在数学能力方面也非常出色。
实验前测（2002——2003学年第一学期期中考试成绩）
平均分（x）
相对标准差（s）
实验班六（1）班
对照班六（2）班
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 备注：试卷满分为100分。
实验后测（2004——2005学年第二学期期末考试成绩）
平均分（x）
相对标准差（s）
实验班六（1）班
对照班六（2）班
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 备注：试卷满分为120分，系六年级毕业试卷。
我们也有很多的困惑，困惑之一：好问题哪里来？教师们深知一个好问题的重要，但是如何在教材的基础上改造问题，如何创设问题的情景，如何设计好问题，这是一项富有挑战性的工作，教师们因为能力的限制，常常感到困难。困惑之二：如何把我们平时的解题教学上升到问题解决的教学。平时的解题教学只重视就题论题，问题解决教学注重让学生闻一知十，一题带一类，它重视思考方法的习得、思想方法的渗透与解题策略的指导，同时更重视回顾反思与综合集成。但是教师往往不知具体该怎么做。困惑之三：问题解决的研究应该说有了很好的理论基础，如何通过我们的研究实现理论认识与实践操作上的突破，似乎很难。处理好四种关系：1、问题解决与思维训练的关系。2、问题解决过程中思维的发散与聚敛的关系。3、问题解决的课题层面与微观层面研究的关系。4、问题解决过程中如何体现有差异地发展。
课题不管能否结题，我们对该主题的研究将永远不会停止前行的脚步。
&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&执笔：汤建英
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