你会用导数判断函数的零点个数吗
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你会用导数判断函数的零点个数吗对于一些用传统方法难以判断的函数的零点个数问题，导数是一个非常有效的工具下面举例说明，供参考例1 若a?3, 试判断函数f(x)?x3?ax2?1在区间?0,2?上零点的个数 解析：令f(x)?x3?ax2?1,则f?(x)?3x2?2ax?x(3x?2a)因为a?3,0?x?2, 所以f?(x)?x(3x?2a)?0,函数f(x)在?0,2?上单减 又因为f(0)?1?0,f(2)?8?4a?1?9?4a?0,因此在?0,2?上函数f(x)的图象与x轴只有唯一交点,即函数f(x)?x?ax?1在区间?0,2?上只有一个零点 32点评：这里先用导数知识确定函数f(x)在所给区间上的单调性,再考虑区间端点的函数值的符号, 利用函数图象与x轴交点的个数确定函数零点的个数例2试判断方程2?x?2?0在R内有多少个实数根?解析：令f(x)?2?x?2,则f?(x)?2xln2?1?0,f(x)在R内单调递增 又f(0)??1,f(1)?1,因此f(x)在(?1,1)内有一个零点, 再由f(x)在R内单调递增可知, f(x)在R内只有一个零点, 即方程2?x?2?0在R内只有一个实数根 点评：这里先构造函数f(x),再用导数知识确定函数f(x)的单调性,最后选择合适的区间, 通过对端点的函数值符号的考察, 确定函数零点的个数,进而得到方程xxx2x?x?2?0在R内的实数根的个数例3试判断函数f(x)?sinx?xcosx在x??0,??上的零点个数解析：因为f(0)?1?0,f(?)???0,所以无法判断函数f(x)在?0,??上的零点个数用导数知识确定f(x)的单调性当0?x??时,f?(x)?cosx?cosx?xsinx?xsinx?0,所以f(x)在?0,??上单增,于是f(0)?f(x)?f(?),即1?f(x)??,f(x)的值域为?1,??因此函数f(x)在x??0,??上没有零点
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利用导数求解函数的零点问题
函数的零点是函数的重要概念之一，这类问题的处理，除了涉及函数零点的存在定理以外，一般还与函数的单调性、方程和不等式等知识有关。而上述内容又和导数有着紧密的联系，因此相关问题的求解，往往需要利用导数这一重要工具。
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北京陈经纶中学
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含参导函数零点问题的几种处理方法
杭州市余杭第二高级中学（浙江省杭州市余杭区人民大道1501号）
1座机电话号码89 摘要：函数的导数也是一个函数，称为导函数。导函数的零点决定着原函数的很多重要性质，如单调性，极值，最值等。因此研究导函数的零点有着极其重要的意义，本文主要就含参导函数中零点的几种处理方法作一阐述。
导数进入中学数学教材之后，给传统的中学数学内容注入了生机与活力，它具有深刻的内涵与丰富的外延。以函数为载体，以导数为工具，是近年高考中函数与导数交汇试题的显著特点和命题趋向。导数在求函数的单调性及极、最值等方面有着重要的应用，而这些问题都离不开一个基本点――导函数的零点，因为导函数的零点，既是原函数单调区间的分界点，也可能是原函数的极值点或最值点，可以说如果能把握导数的零点，就可以抓住原函数的性质要点，因此，导函数的零点问题对研究函数与导数的综合问题意义重大。但引入导数之后，高中阶段可处理的函数类型大大增加，特别是含有参数的函数问题，导函数的零点也变得更为复杂，有些函数的零点甚至是不易求出的，基于此，本文就含参数的导函数的零点问题，谈谈几种基本的处理方法。
方法一：直接求出，代入应用
对于导函数为二次函数问题，可以用二次函数零点的基本方法来求。
（1）因式分解求零点
例1 讨论函数的单调区间
解析：即求的符号问题。由可以因式分解，（Ⅰ）当时，不等式即为，此时不等式的解集为
（Ⅱ）当时不等式可以化为，只需比较与2的大小
①若，则，则不等式的解集为
②若，则不等式为，不等式的解集为
③若，则，此时不等式的解集为
（Ⅲ）当时，
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