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数理方程实验教学改革的实践
2013年48期目录
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　　摘要：将传统数理方程教学与现有物理实验、工科专业应用相结合，开设数理方程实验。将数理方程的理论求解、实验测量以及计算机仿真应用融为一体，切实培养了学生分析、解决实际问题的能力，有力促进了学生的创新性和学习能动性的培养。 中国论文网 /9/view-4705264.htm　　关键词：数理方程实验；教学改革；数学建模 　　中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：（5-03 　　一、引言 　　数学物理方程是人们对一些物理规律、物理过程和物理状态进行研究后归结出来的一些偏微分方程，是微积分学产生以后，在实践中产生并且不断向前发展的教学分支之一[1]。数理方程教学的直接目标是帮助学生掌握必要的数学知识和工具，为后续专业基础课和专业课作准备；其长远目标是训练学生的数学思维及运用数学工具解决实际问题的能力[2]。但该课程被公认为“老师难教、学生难学、作业难做”[3]，而且随着近几年新技术的发展与变化，各高校为了适应宽口径科技人才培养的需要，将这门课的课时进行了进一步压缩。因此，要保持教学内容和提高教学质量，任课教师迫切需要对教学手段进行改革。通过对数理方程以往教学情况的实际调研来看，学生们对这门课普遍感觉畏惧、难以产生兴趣。产生这种情绪的原因主要有两点：（1）数学推导很长、很多，例题比较抽象，过于陈旧，容易让人乏味。（2）不知道数理方程课对其专业学习到底有何作用，因此不愿多花精力，想混及格就行[3]。我们教研组经过研究和讨论认为，没有学不好或学不会的知识，只是学生的主观能动性还没有得到充分挖掘。因此，我们让学生自由组合成三人小组，指导他们结合专业方向设计能够用数理方程中三类典型偏微分方程进行数学建模的实际物理或者专业实验，然后进行相关物理量的测量、分析，同时进行数学模型的理论计算和计算机软件仿真等工作，并将其实验报告作为平时分重要参考。经过近两届学生的实践发现，该课程的通过率得到了极大提高，学生的反映也很积极，甚至让人惊喜，有些学生据此进一步参加了数学建模比赛、物理实验创新竞赛、大学生创新训练计划等，取得了良好的教学效益。 　　二、数理方程实验教学的目的、特点和作用 　　开授数理方程实验课的目的就是引导学生以研究、分析、解决实际问题为导向，全面掌握数理方程这门课所包含的数学建模、数学分析、求解方法等，并培养学生实际动手实验能力和应用计算机解决相关专业问题的能力。相对于传统数理方程教学而言，数理方程实验教学有三个新特点：（1）传统数理方程的教学形式是以教师为中心，以课堂教学为中心；而数理方程实验则更多地强调以学生为中心，以课外实践为中心。（2）传统的数理方程教学追求理论的完整性、步骤的连贯性，繁杂冗长的数学推理不可避免；而数理方程实验针对具体问题进行数学建模和求解，研究目标明确，因而可以通过简明实践来理解理论。（3）每个数理方程实验的内容具有相对的独立性，可以将数学、物理、专业知识、计算机应用等众多不同的领域结合起来，并借此介绍一些目前科学技术前沿广泛运用的知识，如非线性方程、小波变换、积分方程等。数理方程实验要求将实际物理实验（或者专业实验）、数学建模，以及计算机仿真三者融为一体，最后形成实验报告。因此数理方程实验教学具有以下三个方面的作用。 　　1.激发了学生的主观能动性。在数理方程实验中，学生们需要寻找满足波动方程、输运方程或者恒定场方程的实例，并进行设计性实验，因此学习过程中分工合作、共同探讨的气氛得以形成。通过实验测量、计算、仿真过程中逐步取得的成功，学生们对数理方程的学习兴趣极大地提高；通过将复杂难懂的物理、工程问题直观地显示于物理现象或精美图表，学生们更喜欢主动地去研究、计算机编程计算专业课中的各种问题。 　　2.促进了学生的自学、编程和书面表达等多方面能力的提高，真正提高了学生的动手、动脑能力。因为要编程求解数理方程，首先要理解、掌握相关数学知识，这就迫使他们查阅、学习相关资料，并下意识地对教师所讲解的数学知识产生强烈关注，毕竟“社会需要是科技发展的最大动力”。而撰写实验报告对于培养学生的书面表达能力、逻辑思维能力很有助益。通过将实验测量数据与理论计算结果、计算机仿真结果进行比较，学生们更加感性地接受了理论指导实践，实践拓展理论的研究思路。 　　3.培养了学生的专业素养和创新意识。通信、电子类专业一般都会开设《高频电路基础》、《微波技术与天线》、《电磁场传输理论》等课程，因此在引入三类典型二阶线性偏微分方程、讲解“分离变量法”、“格林函数法”及特殊函数时，都尽量以这些课程中的问题为模型，然后让学生利用专业实验室的仪器设计实验，再结合数学建模的思想去完成数理方程实验。这样不仅可以让学生学习专业课时轻松自如，还会刺激他们思考实验过程中碰到的各种问题。 　　三、数理方程实验示例 　　通过近几年的积累，我们得到了很多以三类典型偏微分方程：波动方程、输运方程和恒定场方程为数学模型的物理实验和专业实验的案例，下面分别介绍一二。 　　1.波动方程实验示例。《微波技术与天线》是通信、电子类专业的必修课，该课程中对于微波电路的分析主要有两种方法：（1）场分析的方法；（2）“路”分析的方法[4]。这两种方法都可以作为数理方程实验的案例，例如均匀传输线方程即可以作为波动方程应用的典型案例。均匀传输线（如图1）可等效为具有分布参数的电路，因此可用“路”的分析方法建立传输线方程，并导出传输线方程的解。通过应用Kirchhoff电压定律和Kirchhoff电流定律，可推导出均匀传输线中电压和电流所满足的方程。 　　■=Ri（z，t）+L■■=Gi（z，t）+C■ （1） 　　这是均匀传输线方程，也称电报方程。对于时谐电压和电流，可用复振幅表示为u（z，t）=Re[U（z，t）ejωt]，i（z，t）=Re[I（z，t）ejωt]，将它们带入式（1）并消元，即可得时谐传输线波动方程：
　　■-γ2U（z）=0■-γ2I（z）=0 （1） 　　其中γ=■称为传播常数，若R≈G≈0，式（2）即为理想传输线中电压、电流的一维波动方程。 　　在这个实验当中，若此理想输线无限长，并已知其初始电压和初始电流分布，则可根据式（1）求出电压和电流的“初始位移φ（z）”、“初始速度ψ（z）”，代入D’Alembert公式： 　　u（z，t）=■[φ（z+at）+φ（z-at）]+■■ψ（ξ）dξ （3） 　　可求得传输线上电压和电流的传播情况。 　　若理想传输线是有限长度，实验中就可引入边界条件。如终端短路，则V|z=l，为电压场量的Dirichlet齐次边界条件，再由式（1）第二式可得Iz|z=l=0，为电流场量的Neumann齐次边界条件；如终端开路，则I|z=l=0，为电流场量的Dirichlet齐次边界条件，再由式（1）的第一式可得Vz|z=l=0，为电压场量的Neumann齐次边界条件。应用高等数学中二阶常微分方程的解法即可得式（2）的通解： 　　U（z）=A1e-γz+A2eγz=0I（z）=■（A1e-γz-A2eγz） （4） 　　其中，Z■=■称为特性阻抗，然后再根据边界条件求得电压和电流的分布。 　　有条件的高校可用网络分析仪、50Ω微带线、50Ω BNC连接线、开路负载、短路负载、高阻微波同轴检测探头等进行相关实验测量，我们还可以借助电子电路仿真软件Multisim或者安捷伦公司的Advanced design system进行上述微波电路的仿真，具体实验和仿真可参考文献[5-7]。最后要求将数学模型求解的结果、实验测量结果、仿真软件计算结果放在同一表格或者同一张图中进行比较，这样可以得到一份很好的数理方程与专业知识相结合的实验报告。 　　另外，两端固定均匀弦的微小横振动问题是所有数理方程教材的经典例题，我们可以用两端固定的橡皮筋进行振动模拟，然后数码摄像机进行拍摄纪录，通过计算机处理得到其橡皮筋任意一点在任意时刻的位移，并与Matlab编程计算结果进行比较。还有，通过在水槽中用试管滴水得到二维水波振荡，用数码相机连拍功能获取不同时刻水波振动状态，可与理论计算结果进行比较。学生通过这些实验不仅理解了方程的含义、求解方法，还学会了如何用这些实验来测量弦的密度、波的传播速度等重要物理参量。 　　2.输运方程实验示例。半导体物理学、化学和生物学中许多问题都可归集为反应扩散方程（或称输运方程）问题，在诸多重要物理参数测量方面有很多应用，如气体、液体扩散系数的测量等。目前很多学校都能开展“测定气体导热系数”物理实验，所需仪器主要有FB-202型气体导热系数测定仪、温度计、气压计等。其物理模型为：在圆柱形容器内的沿轴线方向上有一根温度恒为T1的钨丝（如图2），容器内壁的温度近似为室温T2（T1>T2），钨丝的半径为r1，钨丝长为L，容器的半径为r2，由于T1>T2，容器中的待测气体必然形成一个沿径向分布的温度梯度，由于热传导，钨丝温度下降，本实验用热线恒温自动控制系统来维持钨丝温度恒为T1。如对其进行数学建模，得其输运方程方程模型： 　　■-■Δu（■，t）=f（■，t） （5） 　　其中u为温度分布，c为气体比热容，ρ为气体密度，k即为所求热传导系数。由于每秒钟气体热传导所耗散的热量就等于维持钨丝的温度恒为T1时所消耗的电功率，所以圆柱形容器中气体的温度分布保持为一个稳定的径向分布的温度场， 　　■+■■+■■=0 r1<r<r2u|■=T1，u|■=T2 （6） 　　然后用分离变量法求解此数学定解问题，得u（r）=（T1-T2）Inr/In（r1/r2）。学生以三人为一小组做实验，记录实验数据，再用Matlab或Origin进行数据处理，然后与理论模型计算值进行比较，最后进行误差分析，完成实验报告。通过此实验学生不仅掌握了如何测量气体的热传导系数，加深了对输运方程的理解，还学会了如何使用数据处理软件，对学生今后的学习很有裨益。 　　3.恒定场方程实验示例。一般高校的普通物理实验室都开设静电场描绘实验，使用实验仪器有：AC-12静电场描绘电源、静电场描绘仪等（如图3（a）所示）。以同心水槽中电位分布为研究对象，可得二维极坐标系下Laplace方程定解问题： 　　Δu=0， a≤r≤bu|■=V1，u|■=V2 （7） 　　学生可用分离变量法求得其理论解，还可以用Comsol、Matlab等仿真软件比较容易的得到其电位分布图，再通过与实验中打点得到的电位分布图进行比较（图3（b）），从而直观、深刻地理解物理原型、数学模型，并至少掌握了一种计算机仿真软件的应用。此实验中根据不同电极形状的水槽，还可让学生在不同坐标系下（如双曲坐标系、直角坐标系）进行分离变量法，从而对Sturm-Liuville本征值问题有更深刻的认识。 　　总的来说，数理方程实验的完成首先需要教师指导学生学习、掌握相关数学知识和求解方法，然后引导学生进行相关物理、或者专业实验的设计、测量，并根据物理规律分析这些实验的物理原型，建立起数学模型，再由学生自己进行计算机编程计算或利用现有商业软件进行仿真，最后通过观察、比较数学模型理论结果、实验测量数据和计算机软件仿真结果，进行总结，完成数理方程实验报告。 　　在科学技术快速发展的今天，教师在传授一门课的基本知识的同时，应比以往任何时候更注重传授学习和研究这门课程的方法，完成由引导式学习到自主学习的根本性转变[8]。通过一年来数理方程实验教学的探索和实践，我们发现数理方程实验课能够利用学校现有教学仪器和设备，将物理知识、专业知识、数学知识，以及计算机应用结合在一起，实现“教学、实践、科研”三位一体[9]的教学模式。学生们通过课题式的研究觉得的数理方程是很有用的一门课，能够学以致用，缩短了书本理论到专业应用的距离，该课程的通过率相应地也得到了极大提高。有很多同学通过设计数理方程实验得到启发，进一步参加了数模竞赛、物理实验创新竞赛、大学生创新训练计划等各类比赛，取得了良好的教学效益。另外，我们认为数理方程实验反过来对物理实验、专业课程实验设计也有借鉴意义。 　　参考文献： 　　[1]梁昆淼.数学物理方法[M].第3版.北京：高等教育出版社，1998. 　　[2]季孝达，汪芳庭，陆英.“数学物理方法”课程建设的设想和实践[J].教育与现代化，-37. 　　[3]王正斌，毛巍巍，杨志红.“数理方程”课程教学改革探索[J].宜春学院学报（自然科学），）：23-25. 　　[4]廖承恩.微波技术基础[M].西安：西安电子科技大学出版社，1998. 　　[5]彭沛夫.微波技术与实验[M].北京：清华大学出版社，2007. 　　[6]高远，蒋健，朱昌平.电磁场传输线理论仿真实验的设计与实现[J].实验技术与管理，2011，（8）：87-89. 　　[7]王正斌，许立炜.数理方程实验教学初探[J].中国科技信息，2008，（12）：239-240. 　　[8]许立炜.高校数学教育改革的初步尝试—数学实验课的开设[J].南京邮电学院学报，）：1-22. 　　[9]胡成华，史玲娜，周平，等.大学物理与大学物理实验课程“三位一体”教学模式的研究与实践[J].物理与工程，）：55-58. 　　基金项目：南京邮电大学教改项目（JG00712JX19）：“数理方程”实验化教学改革探索 　　作者简介：王正斌（1978-），男，江苏南京人，博士，副教授，主要研究方向：电磁场与微波技术。
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基于洛伦兹力散度声源磁声成像关键技术研究.pdf113页
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要 摘 要 磁声耦合效应成像是一种新型的旨在对早期病变组织进行诊断的功能成像 方法。该方法利用磁声耦合效应，通过外加电磁场激励信号把反映组织电特性的
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