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乐视视频（le.com）All rights reserved.导读：解题技巧：1．利用导数研究函数的极值的一般步骤：，【思路点拨】利用导数及函数的性质解题，【方法技巧】函数导数的内容在历届高考中主要切线方程、导数的计算，考查分类讨论的数学思想，数式结构，多以解答题形式出现，属中高档题。解题技巧：1．利用导数研究函数的极值的一般步骤：（1）确定定义域。（2）求导数f?(x)。（3）①或求极值，则先求方程f?(x)=0的根，再检验f?(x)在方程根左右值的符号，求
数式结构，多以解答题形式出现，属中高档题。
解题技巧：1．利用导数研究函数的极值的一般步骤：
（1）确定定义域。（2）求导数f?(x)。（3）①或求极值，则先求方程f?(x)=0的根，再检验f?(x)在方程根左右值的符号，求出极值。（当根中有参数时要注意分类讨论）
②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f?(x)=0的根的大小或存在情况，从而求解。 2．求函数y?f(x)的极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
例3：（2010?天津高考理科?Ｔ2１）已知函数f(x)?xe?x(x?R) （Ⅰ）求函数f(x)的单调区间和极值；
（Ⅱ）已知函数y?g(x)的图象与函数y?f(x)的图象关于直线x?1对称，证明当x?1时，
（III）如果x1?x2，且f(x1)?f(x2)，证明x1?x2?2
【命题立意】本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力。
【思路点拨】利用导数及函数的性质解题。 【规范解答】
（Ⅰ）解：f’(x)?(1?x)e?x，令f’(x)=0,解得x=1， 当x变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表
所以f(x)在(??,1)内是增函数，在(1,??)内是减函数。 函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=
（Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)e
令F(x)=f(x)-g(x),即F(x)?xe
?(x?2)ex?2
于是F'(x)?(x?1)(e2x?2?1)e?x
当x&1时，2x-2&0,从而e2x-2?1?0,又e?x?0,所以F’(x)&0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数。 又F(1)=e?e?0，所以x&1时，有F(x)&F(1)=0,即f(x)&g(x). (Ⅲ)证明：（1）
若(x1?1)(x2?1)?0,由（?）及f(x1)?f(x2),则x1?x2?1.与x1?x2矛盾。 （2）若(x1?1)(x2?1)?0,由（?）及f(x1)?f(x2),得x1?x2.与x1?x2矛盾。
根据（1）（2）得(x1?1)(x2?1)?0,不妨设x1?1,x2?1.
由（Ⅱ）可知，f(x2)&g(x2),则g(x2)=f(2-x2)，所以f(x2)&f(2-x2),从而f(x1)&f(2-x2).因为所以2?x2?1，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内是增函数，所以x1&2?x2,即x1?x2&2。 x2?1，
四、利用导数研究函数的图象
考情聚焦：1．该考向由于能很好地综合考查函数的单调性、极值（最值）、零点及数形结合思想等重要考点，而成为近几年高考命题专家的新宠。
2．常与函数的其他性质、方程、不等式、解析几何知识交汇命题，且函数一般为含参数的高次、分式、指、对数式结构，多以解答题中压轴部分出现。属于较难题。
例4：（2010?福建高考理科?Ｔ20）(Ⅰ)已知函数f(x)=x-x，其图像记为曲线C.
（i）求函数f(x)的单调区间；
(ii)证明：若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1（x1,f(x1）处的切线交于另一点P2（x2,f(x2).曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3 （x3 f(x3)），线段P1P2,P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1,S2，则
为定值： s2
（Ⅱ）对于一般的三次函数g（x）=ax+bx+cx+d(a?0)，请给出类似于(Ⅰ)(ii)的正确命题，并予以证明。
【命题立意】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括、推理论证、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归转化思想、特殊与一般的思想。
【思路点拨】第一步（1）利用导数求解函数的单调区间，（2）利用导数求解切线的斜率，写出切线方程，并利用定积分求解S1,S2及其比值；第二步利用合情推理的方法对问题进行推广得到相关命题，并利用平移的方法进行证明。
【规范解答】（Ⅰ)
(i)f'(x)?3x2?1?(3x?1)(3x?1)，令f'(x)?0得到
，令f'(x)?0有?，因此原函或x???x?
数的单调递增区间为(??,?
)和(,??)；单调递减区间为(?
(ii)f'(x)?3x2?1，P，(x,x?x)f'(x)?3x1的切线方程为：，因此过点P23
?y?3x?1x?2x???11
y??3x12?1??x?x1??x13?x1，即y??3x12?1?x?2x13，由?得
x3?x??3x12?1?x?2x13，所以x?x1或x??2x1，故x2??2x1，进而有
3?1??2x1274
?3x12x?2x13?dx??x4?x12x2?2x13x??x1，用x2代替x1，重复上面的计
S?算，可得x3??2x2和2
x2，又x2??2x1?0，?S2?x1?0，因此有1? 44S216。
（Ⅱ）【命题】若对于任意函数g(x)?ax3?bx2?cx?d的图像为曲线C'，其类似于(I)(ii)的命题为：若对任意不等于?
的实数x1，曲线与其在点P曲线C'与1(x1,g(x1))处的切线交于另一点P2(x2,g(x2))，3a
其在点P2(x2,g(x2))处的切线交于另外一点P1P2、P3(x3,g(x3))，线段P2P3与曲线C'所围成面积为
S1、S2，则
【证明】对于曲线y?ax?bx?cx?d，无论如何平移，其面积值是恒定的，所以这里仅考虑
y?ax3?bx2?cx的情形，y'?3ax2?2bx?c，P1(x1,ax1?bx1?cx1)，f'(x1)?3ax1?2bx1?c，
因此过点P1的切线方程为：
?y?(3ax?2bx?c)x?2x?bx?11113
，得到：y?(3ax12?2bx1?c)x?2x1?bx12，联立?32
??y?ax?bx?cx
ax3?bx2?3ax12?2bx1x?bx12?2x1?0，
化简：得到
b?2ax12b2?4a2x12?6abx1?ac从而(x?x1)(ax?b?2ax1)?0所以P2(?,)同样运用(i)中方法便
可以得到x3?所以
?4x1??2x2 a
S11?。 S216
【方法技巧】函数导数的内容在历届高考中主要切线方程、导数的计算，利用导数判断函数单调性、极值、最值等问题，试题还与不等式、三角函数、数列、立几、解几等知识的联系，类型有交点个数、恒成立问题等,其中渗透并充分利用构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要的思想方法，主要考查导数的工具性作用。
例5．（2010?江西高考理科?Ｔ１２）如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)?0)，则导函数y?S'(t)的图像大致为
【命题立意】本题将各知识点有机结合，属创新题型，主要考查对函数的图像识别能力，灵活分析问题和解决问题的能力，考查分段函数，考查分段函数的导数，考查分类讨论的数学思想，考查函数的应用，考查平面图形面积的计算，考查数形结合的思维能力．
【思路点拨】本题结合题意及图像的变化情况可用排除法；也可先求面积的函数，再求其导数，最后结合
图像进行判断.
【规范解答】选A．方法一：在五角星匀速上升过程中露出的图形部分的面积共有四段不同变化情况，第一段和第三段的变化趋势相同，只有选项A、C符合要求，从而先排除B、D，在第二段变化中，面积的增长速度显然较慢，体现在导函数图像中其图像应下降，排除选项C，故选
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高中数学经典的解题技巧和方法（导数及其应用）
【编者按】导数及其应用是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试的热点跟增长点，无论是期中、期末还是会考、高考，都是高中数学的必考内容之一。因此，马博士教育网数学频道编辑部特意针对这两个部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们，让同学们有更多、更好、更快的方法解决数学问题。好了，下面就请同学们跟我们一起来探讨下集合跟常用逻辑用语的经典解题技巧。
首先，解答导数及其应用这两个方面的问题时，先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题，同学们应该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题：
1.导数概念及其几何意义
（1）了解导数概念的实际背景。
（2）理解导数的几何意义。
2．导数的运算
（1）能根据导数定义求函数的导数。
（2）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。
（3）能求简单的复合函数（仅限于形如的复合函数）的导数。
3．导数在研究函数中的应用
（1）了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）。
（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间了函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。
4．生活中的优化问题
会利用导数解决某些实际问题
5．定积分与微积分基本定理
（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念。
（2）了解微积分基本定理的含义。
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