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求教上下极限的直观理解是什么
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课本上的上下极限定义是：设｛Xn｝有界，令Ln＝inf｛Xn，X（n＋1），X（n＋2）……｝，Hn＝sup｛Xn，X（n＋1），X（n＋2）……｝，则称L＝sup｛Ln｝为下极限，H＝inf｛Hn｝为上极限1652这个主要是方便证明或是求解只要构造出数列LniHn就可以转化为普通的收敛数列极限的比较或运算了而直观来看，上极限就是楼上说的“所有收敛子列的极限的最大者”这个只用来理解不容易用来证明，...
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扫描下载二维码关于上下极限的教学心得
关于上下极限的教学，一直是数学分析老师很头疼的问题。书上的关于序列{a_n}上、下极限的定义的确很难理解，如果完全按照书本上的定义照本宣科，教学效果不会很好。大体上就是与如下的维基百科所描述的一样（维基百科也是我非常喜欢的网页，我经常去那里看东西，丰富我的教学），
http://zh.wikipedia.org/wiki/上极限和下极限
后来我大胆尝试，设 A_n={a_n,a_n+1,a_n+2,……}，首先对这个集合取闭包:
\bar{A_n}，则这依然是一个单调递减的集合，但是是闭集。因此我们得到了一个类似于单调减少的闭集套，接下来将所有的这些闭集交在一起：∩_{n
∞}\bar{A_n}，我们就得到了序列{a_n}的所有聚点的集合（从未听说过这样的集合表示！），其中往往只剩下有限的几个点了，那么最大的就是上极限，最小的就是下极限，简直就是“瓮中捉鳖”。因为A_n={a_n,a_n+1,a_n+2,……}可以看做是甩掉了前面的有限项，但是，可以甩掉的，仅仅是孤立点！聚点是你永远甩不掉的！所以，不论n等于什么，所有聚点都永远在\bar{A_n}之内！当n趋向于无穷的时候，孤立点就全部被甩了出
来！剩下的就只有聚点！这样的讲述非常地想象生动亲切自然，而且将上、下极限的本质讲了出来！也大大地降低了理解上、下极限的难度。我的这个思维主要来自
于闭集套，同时综合了所有我可以查得到的关于上下极限定义的版本，再进行创新。因为同学们已经对闭集套熟知了，所以按照这样的思路理解起来当然感觉容易多
了。而我们的课本里、网上都是一边取A_n一边取上确界，然后再取极限。因为上确界也非常难以理解，而且往往也不在这个集合里面，所以如果仅仅是按照书上的定义来讲，教学效果不可能很好。上、下极限的概念不仅仅很重要（没有上下极限的概念，等于不明白极限的本质！），而且在数学分析这门课里面是最难理解的概念之一，可不可以讲清楚上、下极限的概念，当然是对数学分析老师的考验。
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来源：图灵社区编辑:Gemini如果没有极限的概念, 那么微积分将不复存在. 这意味着, 我们将用大量的时间来研究它们. 事实证明, 虽然恰当地定义一个极限是件相当棘手的事情, 但你仍然有可能对极限有个直观理解, 而无须深入其中的具体细节. 这对于解决微分和积分问题已经足够了. 因此, 本章仅仅包含对极限的直观描述; 正式描述请参见附录 A. 总的来说, 以下就是我们会在本章讲解的内容：对于极限是什么的直观概念;左、右与双侧极限, 及在 ∞ 和 -∞ 处的极限;何时极限不存在;三明治定理 (也称作 “夹逼定理”).1.1　极限：基本思想让我们开始吧. 我们从某个函数&f&和&x&轴上的一点出发, 该点称为&a. 需要理解的是：当&x&非常非常接近于&a, 但不等于&a&时,&f&(x) 是什么样子的？这是一个非常奇怪的问题, 人类相对晚近才发展出微积分很可能就是因为这个原因吧.这里有一个例子, 说明了为什么要提出这样的问题. 令&f&的定义域为&&(除 2 以外的所有实数), 并设&f&(x) =&x&- 1. 这可以写作：f&(x) =&x&- 1　当&x&≠ 2.这看起来好像是一个古怪的函数. 毕竟, 到底为什么要将 2 从定义域中去除掉呢？其实, 在下一章就会看到,&f&很自然地就是个有理函数 (参见 4.1 节的第二个例子) 不过现在, 让我们姑且接受&f&的定义, 并画出其图像, 如图 3-1 所示.图　3-1那么&f&(2) 是什么呢？或许你会说&f&(2) = 1, 但这是大错特错了, 因为 2 根本不在&f&的定义域中. 你所能给出的最好回答就是&f&(2) 是无定义的. 另一方面, 当&x&非常非常接近于 2 的时候, 我们可以找到一些&f&(x) 的值, 并看看将会有什么发生. 例如,&f&(2.01) = 1.01,&f&(1.999) = 0.999. 稍作思考, 你会发现当&x&非常非常接近于 2 的时候,&f&(x) 的值会非常非常接近于 1.还有, 只要令&x&充分地接近于 2, 那么你想多接近于 1 就能多接近于 1, 却又不是真的达到 1. 例如, 如果你想要&f&(x) 在 1 ± 0.0001 内, 可以取在 1.9999 和 2.0001 之间的任意的&x&值 (当然, 除了&x&= 2, 这是禁止的). 如果你想要&f&(x) 在 1 ± 0.000 007 内, 那么选取&x&的时候, 你不得不更细心一点. 这一次, 你需要取在 1.999 993 和 2.000 007 之间的任意值了 (当然, 还是除了 2).这些思想会在附录 A 的 A.1 节里有更详细的描述. 不过现在, 让我们回到正题, 直接写出如果你大声将它读出来, 它听起来应该像是 “当&x&趋于 2,&f&(x) 的极限等于 1”. 再次说明, 这意味着, 当&x&接近于 2(但不等于 2) 时,&f&(x) 的值接近于 1. 那到底有多近呢？你想要多近就能多近. 以上陈述的另外一个写法是f&(x) → 1 当&x&→ 2.这个写法更难用来计算, 但其意义很清晰：当&x&沿着数轴从左侧或者从右侧趋近于 2 时,&f&(x) 的值会非常非常接近于 1(并保持接近的状态!).现在, 取上述函数&f&并对它做一点改动. 假设有一个新的函数&g, 其图像如图 3-2 所示.图　3-2函数&g&的定义域是所有实数, 并且&g&(x) 可以被定义为如下的分段函数：是什么呢？这里的关键是,&g(2) 的值和该极限是不相关的! 只有那些在&x&接近于 2 时的&g(x) 的值, 而不是在 2 处的值, 才是问题的关键. 如果忽略&x&= 2, 函数&g&和之前的函数&f&就是完全相同的. 因此, 尽管&g(2) = 3, 我们还是有&这里的要点是, 当你写出的时候, 等式左边实际上不是&x&的函数! 要记住, 以上等式是说, 当&x&接近于 2 时,&f&(x) 接近于 1. 事实上, 我们可以将&x&替换成其他任意字母, 上式仍然成立. 例如, 当&q&接近于 2 时,&f&(q) 接近于 1, 因此我们有也可以写成如此等等, 直到用光了所有的字母和符号! 这里的要点是, 在极限中, 变量&x&只是一个虚拟变量. 它是一个暂时的标记, 用来表示某个 (在上述情况下) 非常接近于 2 的量. 它可以被替换成其他任意字母, 只要替换是彻底的; 同样, 当你求出极限的值时, 结果不可能包含这个虚拟变量. 所以对虚拟变量你要灵活处理.1.2　左极限与右极限我们已经看到, 极限描述了函数在一个定点附近的行为. 现在想想看, 你会如何描述图 3-3 中&h&(x) 在&x&= 3 附近的行为.图　3-3当然, 就趋于极限的行为而言,&h&(3) = 2 实际上是无关紧要的. 现在, 当你从左侧接近于&x&= 3 时会发生什么呢？想象一下, 你是图中的远足者, 顺着山势上下.&h&(x) 的值会告诉你, 当你的水平位置是&x&时, 你所在高度是多少. 因此, 如果你从图的左边向右走, 那么当你的水平位置接近于 3 时, 你所在高度就会接近于 1. 当然, 当到达&x&= 3 时你会陡然坠落 (更不用说那个古怪的小突起), 但暂时我们不关心. 这时任何在&x&= 3 右侧的值, 包含&x&= 3 本身对应的值, 都是无关紧要的. 因此, 就可以看到&h&(x) 在&x&= 3 的左极限等于 1.另一方面, 如果你从图的右边向左走, 那么当你的水平位置接近于&x&= 3 时, 你所在高度就会接近于 -2. 这就是说,&h&(x) 在&x&= 3 的右极限等于 -2. 这时任何在&x&= 3 左侧 (包含&x&= 3 本身) 的值都是无关紧要的.可将上述发现总结如下：　及　.在上面第一个极限中 3 后的小减号表示该极限是一个左极限, 第二个极限中 3 后的小加号表示该极限是一个右极限. 要在 3 的后面写上减号或加号, 而不是在前面, 这是非常重要的! 例如, 如果你写成那么指的是&h&(x) 在&x&= -3 时的通常的双侧极限, 而不是&h&(x) 在&x&= 3 时的左极限. 这确实是两个完全不同的概念. 顺便说一下, 在左极限的极限符号底下写&x&→ 3+&的理由是, 此极限只涉及小于 3 的&x&的值. 也就是说, 你需要在 3 上减一点点来看会有什么情况发生. 类似地, 对于右极限, 当你写&x&→ 3+&的时候, 这意味着你只需要考虑如果在 3 上加一点点会有什么情况发生.正如我们将在下一节看到的, 极限不是总存在的. 但这里的要点是：通常的双侧极限在&x&=&a&处存在, 仅当左极限和右极限在&x&=&a&处都存在且相等! 在这种情况下, 这三个极限 (双侧极限、左极限和右极限) 都是一样的. 用数学的语言描述, 我们说,等价于如果左极限和右极限不相等, 例如上述例子中的函数&h, 那么双侧极限不存在. 我们写作不存在或使用缩写 “DNE” 表示 “不存在”.1.3　何时不存在极限我们刚刚看到, 当相应的左极限和右极限不相等时双侧极限不存在. 这里有一个更戏剧性的例子. 考虑&f&(x) = 1/x&的图像, 如图 3-4 所示.&&是什么呢？ 双侧极限在那里不大可能存在. 因此, 我们先来试着求一下右极限,&. 看一下图像, 当&x&是正的且接近于 0 时,&f&(x) 看起来好像非常大. 特别是, 当&x&从右侧滑到 0 时, 它看起来并不接近于任何数; 它就是变得越来越大了. 但会有多大呢？ 它会比你能想象到的任何数都大! 我们说该极限是无穷大, 并写作图　3-4类似地, 这里的左极限是 -∞, 因为当&x&向 0 上升时,&f&(x) 会变得越来越负. 这就是说由于左极限和右极限不相等, 故双侧极限显然不存在. 另一方面, 考虑函数&g, 其定义为&g&(x) = 1/x2, 其图像如图 3-5 所示.图　3-5此函数在&x&= 0 处的左极限和右极限都是 ∞, 因此你也可以说&. 顺便说一下, 现在我们有了一个关于 “垂直渐近线” 的正式定义：现在, 可能会出现左极限或右极限不存在的情况吗？答案是肯定的! 例如, 让我们来看一个怪异的函数&g, 其定义为&g&(x) = sin (1/x). 此函数的图像看起来会是什么样的呢？首先, 让我们来看一下&x&的正值. 由于 sin (x) 在&x&= π, 2π, 3π, ··· 上的值全为 0, 因而 sin (1/x) 在 1/x&= π, 2π, 3π, ··· 上的值全为 0. 我们取其倒数, 会发现 sin (1/x) 在&&上的值全为 0. 这些数就是 sin (1/x) 的&x&轴截距. 在数轴上, 它们看起来如图 3-6 所示.图　3-6正如你看到的, 当接近于 0 的时候, 它们都挤在了一起. 由于在每一个&x&轴截距之间, sin (x) 向上走到 1 或向下走到 -1, 因此, sin (1/x) 也一样. 把目前已知的画出来, 可得到图 3-7.图　3-7那么&&是什么呢？以上图像在&x&= 0 附近很杂乱. 它无限地在 1 和 -1 之间振荡, 当你从右侧向&x&= 0 处移动时, 振荡会越来越快. 这里没有垂直渐近线, 也没有极限1. 当&x&从右侧趋于&x&= 0 时, 该函数不趋于任何数. 因此可以说,&&不存在 (DNE). 我们会在下一节将&y&= sin (1/x) 的图像补充完整.1正式的证明请参见附录 A 的 A.3.4 节.1.4　在 ∞ 和 -∞ 处的极限还有一类需要研究的极限. 我们已经研究了在接近一点&x&=&a&时的函数行为. 然而在有些情况下, 重要的是要理解当&x&变得非常大时, 一个函数的行为如何. 换句话说, 我们感兴趣的是, 研究当变量&x&趋于 ∞ 时函数的行为. 我们想写出并以此表示, 当&x&很大的时候,&f&(x) 变得非常接近于值&L, 并保持这种接近的状态. (更多详情请参见附录 A 的 A.3.3 节. ) 重要的是要意识到, 写出 “” 表示&f&的图像在&y&=&L&处有一条右侧水平渐近线. 类似地, 当&x&趋于 -∞ 时, 我们写出它表示当&x&变得越来越负 (或者更确切地说, -x&变得越来越大) 时,&f&(x) 会变得非常接近于值&L, 并保持接近的状态. 当然, 这对应于函数&y&=&f&(x) 的图像有一条左侧水平渐近线. 如果愿意, 你也可以把这些转化为定义：当然, 像&y&=&x2&这样的函数没有任何水平渐近线, 因为当&x&变得越来越大时,&y&值只会无限上升. 用符号表示, 我们可以写作&. 反过来, 极限也有可能不存在. 例如,&. sin (x) 会变得越来越接近何值 (并保持这种接近状态)呢？它只是在 -1 和 1 之间来回振荡, 因此绝不会真正地接近任何地方. 此函数没有水平渐近线, 也不会趋于 ∞ 或 -∞; 你所能作的最好回答是,&&不存在 (DNE). 证明请参见附录 A 的 A.3.4 节.让我们回到上一节看到的函数&f&, 其定义为&f&(x) = sin (1/x). 当&x&变得非常大时会怎么样呢？首先, 当&x&很大时, 1/x&会非常接近于 0. 由于 sin (0) = 0, 那么 sin (1/x) 就会非常接近于 0.&x&越大, sin (1/x) 就会越来越接近于 0. 我的论证有点粗略, 但希望能说服你相信22如果你不信, 请参见附录 A 的 A.4.1 节!因此, sin (1/x) 在&y&= 0 处有一条水平渐近线. 这就能够扩展我们之前画的&y&= sin (1/x) 的图像, 至少是向右边做扩展. 我们仍旧担心当&x&注意到我们使用了 sin (x) 是&x&的奇函数的事实来由 sin (-1/x) 得到 -sin (1/x). 这样一来, 由于奇函数有一个很好的性质, 就是其图像关于原点对称 (参见 1.4 节), 可以完整地画出&y&= sin (1/x) 的图像, 如图 3-8 所示.图　3-8同样, 很难画出当&x&在 0 附近时的情况.&x&越接近 0, 此函数就会振荡得越激烈. 当然, 该函数在&x&= 0 处无意义. 在上图中, 我选择避免在中间画得密密麻麻, 而是把那里的激烈振荡留给你想象.大的数和小的数希望我们都认同 1 000 000 000 000 是一个大的数. 那么 -1 000 000 000 000 呢？或许这会引起争议, 但我要让你把它看作是一个大的负数, 而不是一个小的数. 举个小的数的例子, 0.000 000 001, 同时 -0.000 000 001 也是一个小的数 (更确切地说, 是一个小的负数). 有趣的是, 我们不打算把 0 看作是个小的数：它就是零. 因此, 下面就是我们对于大的数和小的数的非正式定义：如果一个数的绝对值是非常大的数, 则这个数是大的;如果一个数非常接近于 0(但不是真的等于 0), 则这个数是小的.尽管上述定义在我们的实际应用中很有帮助, 但这实在是一个没有说服力的定义. “非常大” 和 “非常接近于 0” 分别意味着什么？好吧, 我们考虑极限正如之前看到的, 它表示当&x&是一个足够大的数时,&f&(x) 的值就会几乎等于&L. 可问题是, 多大才是 “足够大” 呢？这取决于你想让&f&(x) 距离&L&有多近! 不过, 从实际应用的角度出发, 如果&y&=&f&(x) 的图像看上去开始变得靠近在&y&=&L&的水平渐近线, 那么这个数&x&足够大. 当然, 一切都依赖于函数&f&的定义, 例如图 3-9 中的两种情况.图　3-9在这两种情况下,&f&(10) 都不在&L&的附近. 在左图中, 当&x&至少是 100 时,&f&(x) 看上去非常接近于&L, 因此, 任何比 100 大的数都是大数. 在右图中,&f&(100) 远离&L, 因此, 现在的 100 就不是足够大了. 在这种情形下, 你可能需要走到 200. 那么你能够只选取一个像 1 000 000 000 000 这样的数, 然后说它已经很大了吗？不可以, 因为一个函数有可能一直起伏不定, 直到比如 5 000 000 000 000 才变得趋于它的水平渐近线. 这里的要点是, “大的” 一词必须考虑到相关的某个函数或极限才有意义. 幸好, 没有最大, 只有更大, 往上还大有余地 —— 甚至一个像 1 000 000 000 000 这样的数, 相对于 10100&(古戈尔) 来说还是相当小, 而 10100&与 101 000 000&比起来又是那么微不足道 …… 顺便说一下, 我们会经常使用术语 “在 ∞ 附近” 来代替 “大的正的数”. (在字面意义上说, 一个数不可能真的在 ∞ 附近, 因为 ∞ 无穷远. 不过在&x&→ ∞ 时的极限的语境中, “在 ∞ 附近” 的说法还是说得通的.)当然, 所有这些也都适用于&x&→ -∞ 时的极限, 你只需在上述所有大的正的数之前添加一个负号. 在这种情况下, 我们有时会说 “在 -∞ 附近” 来强调我们所指的是大的负的数.另一方面, 我们会经常看到极限　或 　.在上述三种情况下, 我们知道, 当&x&足够接近于 0 时,&f&(x) 的值几乎是&L. (对于右极限,&x&还必须为正; 而对于左极限,&x&还必须为负. ) 那么&x&必须离 0 多近呢？这取决于函数&f&. 因此, 当说一个数是 “小的”(或者 “接近于 0”) 时, 必须结合某个函数或极限的语境来考虑, 就像在 “大的” 情形中一样.尽管这一番讨论让之前的非正式定义确实变得更严谨了一些, 但它仍不算完美. 如果你想了解更多, 真的应该查看一下附录 A 的 A.1 节和 A.3.3 节.1.5　关于渐近线的两个常见误解现在是时候来纠正一些关于水平渐近线的常见误解了. 首先, 一个函数不一定要在左右两边有相同的水平渐近线. 在 3.3 节&f&(x) = 1/x&的图像中, 左右两侧都有&y&= 0 这条水平渐近线. 也就是说,　和　.然而, 考虑图 3-10 中&y&= tan-1&(x) (或反三角函数&y&= arctan (x), 你可以使用这两种写法中的任意一种) 的图像.图　3-10此函数在&y&= π/2 处有一条右侧水平渐近线, 在&y&= -π/2 处有一条左侧水平渐近线, 它们是不同的. 也可以用极限来表示：因此, 一个函数的确可以有不同的右侧和左侧水平渐近线, 但最多只能有两条水平渐近线 (一条在右侧, 另一条在左侧). 它也有可能一条都没有, 或者只有一条. 例如,&y&= 2x&有一条左侧水平渐近线, 但没有右侧水平渐近线 (参见 1.6 节的图像). 这和垂直渐近线相反：一个函数可以有很多条垂直渐近线 (例如,&y&= tan (x) 有无穷多条垂直渐近线).另外一个常见误解是, 一个函数不可能和它的渐近线相交. 或许你曾学到, 渐近线是一条函数越来越接近但永远不会相交的直线. 这并不正确, 至少当你讨论的是水平渐近线时. 例如, 考虑定义为&f&(x) = sin (x) /x&的函数&f&, 这里我们只关心当&x&是很大的正数时的函数行为. sin (x) 的值在 -1 和 1 之间振荡, 因此, sin (x) /x&的值在曲线&y&= -1/x&和&y&= 1/x&之间振荡. 此外, sin (x) /x&和 sin (x) 有相同的零点, 即 π, 2π, 3π, ··· . 综合所有的信息, 其图像如图 3-11 所示.图　3-11图像中用虚线表示的曲线&y&= 1/x&和&y&= -1/x&形成了正弦波的包络. 毫无疑问, 正如你从图像中看到的,必定成立. 这意味着,&x&轴是&f&的水平渐近线, 尽管&y&=&f&(x) 的图像与&x&轴一次又一次地相交. 为了证明上述极限, 我们需要应用所谓的三明治定理. 这个证明就在下一节的结尾部分.1.6　三明治定理三明治定理&(又称作夹逼定理) 说的是, 如果一个函数&f&被夹在函数&g&和&h&之间, 当&x&→&a&时, 这两个函数&g&和&h&都收敛于同一个极限&L, 那么当&x&→&a&时,&f&也收敛于极限&L.以下是对该定理的一个更精确的描述. 假设对于所有的在&a&附近的&x, 我们都有&g&(x) ≤&f&(x) ≤&h&(x), 即&f&(x) 被夹在&g&(x) 和&h&(x) 之间. 此外, 我们假设&&且&. 那么我们可以得出结论：; 即当&x&→&a&时, 所有三个函数都有相同的极限. 一如往常, 一图胜千言 (见图 3-12).图　3-12在图像中用实线表示的函数&f&被夹在其他两个函数&g&和&h&之间; 当&x&→&a&时,&f&(x) 的极限被迫趋于&L. (三明治定理的证明参见附录 A 的 A.2.4 节. )对于单侧极限, 我们也有一个类似版本的三明治定理, 只是这时不等式&g&(x) ≤&f&(x) ≤&h&(x) 仅在&a&的我们关心的一侧成立. 例如,是什么呢？y&=&x&sin (1/x) 的图像和&y&= sin (1/x) 的图像很相似, 只是现在, 前面有一个&x&致使函数陷于包络&y&=&x&和&y&= -x&之间. 图 3-13 是&x&在 0 和 0.3 之间时的函数图像.图　3-13从图中可以看到, 当&x&趋于 0 时, 函数仍旧有激烈的振荡, 但现在它们被包络线抑制着. 特别是, 这里求我们想要的极限正是三明治定理的一个完美应用. 函数&g&是下方的包络线&y&= -x, 而函数&h&是上方的包络线&y&=&x. 我们需要证明对于&x&> 0, 有&g&(x) ≤&f&(x) ≤&h&(x). 由于只需要&f&(x) 在&x&= 0 处的右极限, 所以我们不关心&x& 0 时, 要怎样证明&g&(x) ≤&f&(x) ≤&h(x) 呢? 我们将会用到任意数 (在我们的例子中是 1/x) 的正弦都处于 -1 和 1 之间这一事实：现在用&x&乘以这个不等式, 由于&x&> 0, 得到而这正是我们需要的&g&(x) ≤&f&(x) ≤&h&(x). 最后, 注意到　及　.因此, 由于当&x&→ 0+&时, 夹逼的函数&g&(x) 和&h&(x) 的值收敛于同一个数 0, 所有&f&(x) 也一样. 也就是说, 证明了要记住, 如果前面没有因子x, 上式显然不成立; 正如我们在3.3 节看到的, 当&x&→ 0+&时, sin (1/x) 的极限不存在.我们还没有解决上一节结尾部分的那个极限证明问题! 回想一下, 要证明的是为了证明此式, 需要用到三明治定理一个稍有不同的形式, 涉及在 ∞ 处的极限. 在这种情况下, 如果对于所有的很大的&x, 都有&g&(x) ≤&f&(x) ≤&h&(x) 成立; 又如果已知&&且&. 就可以说,&. 这与有限处极限的三明治定理几乎是一样的. 为了确立上述极限, 还要用到, 对于所有的&x, 都有 -1 ≤ sin (x) ≤ 1, 但这次, 对于所有的&x&> 0, 要用该不等式除以&x&得到现在, 令&x&→ ∞, 由于 -1/x&和 1/x&的极限都是 0, sin (x) /x&的极限也必为 0. 也就是说, 由于　和　,也必有综上, 三明治定理说的是：这也适用于左极限或右极限; 在那种情况下, 不等式只需要在&a&的相应一侧对于&x&成立即可. 当&a&是 ∞ 或 -∞ 时它也适用; 在那种情况下, 要求对于所有的非常大的 (分别是正的或负的)x, 不等式成立.1.7　极限的基本类型小结我们已经看过了极限的多种基本类型. 下面展示一些各种基本类型的代表性图像, 以此来结束本章.(1) 在&x&=&a&时的右极限, 见图 3-14. 这时在&x&=&a&的左侧以及&x&=&a&处&f&(x) 的行为是无关紧要的. (也就是说, 当讨论右极限时, 对于&x&≤&a,&f&(x) 取何值都不要紧. 事实上, 对于&x&≤&a,&f&(x) 甚至不需要被定义. )图　3-14(2) 在&x&=&a&时的左极限, 见图 3-15. 这时在&x&=&a&的右侧以及&x&=&a&处&f&(x) 的行为是无关紧要的.图　3-15(3) 在&x&=&a&时的双侧极限, 见图 3-16. 在左图中, 左极限和右极限存在但不相等, 因此, 双侧极限不存在. 在右图中, 左极限和右极限存在并相等, 因此, 双侧极限存在并等于左右极限值.&f&(a) 的值是无关紧要的.图　3-16(4) 在&x&→ ∞ 时的极限, 见图 3-17.图　3-17(5) 在&x&→ -∞ 时的极限, 见图 3-18.图　3-18
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