【求值域】一道高中的数学函数题目，只是求一求它的值域。。。 | 死理性派小组 | 果壳网 科技有意思
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高二时遗留下来的一道题目，现在我高三，但看着，却想不起来怎么做了。问现在的数学老师，她用tanθ三角函数做出来了，但过程比较复杂。我记得高二时的数学老师只用了几步，很简单就算出来结果了。。。我尝试着求导，但做着做着就想去撞墙了……这题目，你们怎么看？
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占个位置- -马上给答案~
分子分母同除以 x^2，然后将x-1/x 换元为y
我靠为什么说我的答案要审核！！！！！！！！！！1
求导的答案被审核了 ...三角换元也被审核了..
我觉得这种技能考完微积分考试就再也用不到了。。。交给计算机完事儿
难道不是因式分解后解决的？
初步目测了一下，这是个在全实数域上连续的函数，可以发现分母的次数要高于分子，结果就是当x取正负无穷时函数都是趋于0的（实际上是+0和-0）。。。进一步发现函数存在0点f(1)=0，并且有f(x&1)&0;f(x&1)&0，因此在x=1附近足够小的区域内函数是单调上升的。。。综合以上两点来看，该函数一定存在某个极值点，使得在该点函数取得最大/最小值。。。所以，剩下的就简单了，直接求一阶导，算出所有的极值点，然后依次代回，找到取得的最大值和最小值，就是函数的值域了。。。对于求导，其实也可以进一步简化，因为除式求导的分母是原来分母的平方，因此必定是正的，可以直接省略。。
应用数学硕士，维基百科编辑
的话：分子分母同除以 x^2，然后将x-1/x 换元为y这个是正解（应该就是你高二数学老师用的方法）
我当初怎么没想到利用果壳写作业呢
呃，我刚才把1看成i了.........我就说高二的老师怎么会出这种题
用google 画函数图象：可见，值域是[-1/4, +1/4]
的话：我当初怎么没想到利用果壳写作业呢突然在考虑是不是学业水平测试时上果壳求援
的话：呃，我刚才把1看成i了.........我就说高二的老师怎么会出这种题i不是虚数单位吗？高中有学习的啊。。。
的话：突然在考虑是不是学业水平测试时上果壳求援江苏考生，中！
的话：求导的答案被审核了 ...三角换元也被审核了..呃。。。虽然我想看，但还是谢谢你了（你可以传图片的）。。。求导一定很烦的。。。
的话：分子分母同除以 x^2，然后将x-1/x 换元为y中！现在记起来了。。。你怎么想到的？
的话：i不是虚数单位吗？高中有学习的啊。。。但是高中不会学复变函数的啊.......虚数在高中等于没有.....虚数在高中不会出现在方程或函数解析式里面的
的话：呃。。。虽然我想看，但还是谢谢你了（你可以传图片的）。。。求导一定很烦的。。。另外，这种程度的求导而已，你就觉得烦了？（对数求导法可以稍微偷下懒，不过这个函数直接求导也就是分分钟的事情）
的话：突然在考虑是不是学业水平测试时上果壳求援山东考生从我们这届起严格了TAT..为什么2007年入初中的山东孩纸赶上了所有的教育改革..
的话：山东考生从我们这届起严格了TAT..为什么2007年入初中的山东孩纸赶上了所有的教育改革..你没看江苏，这几年改个不停，听说现在的高一届，原本不算分数的物理又要算进总分了。。。
的话：你没看江苏，这几年改个不停，听说现在的高一届，原本不算分数的物理又要算进总分了。。。从初中开始学业水平考试高中文理不分科体育进高考英语没听力基本能力撤销综合卷用全国卷什么的还不够整的么..
的话：从初中开始学业水平考试高中文理不分科体育进高考英语没听力基本能力撤销综合卷用全国卷什么的还不够整的么..文理不分科，这确实。。。我听力不好。。。没听力一部分同学肯定乐了~~话说，四川自从汶川地震后，设备受损，也取消了听力啊。
的话：文理不分科，这确实。。。我听力不好。。。没听力一部分同学肯定乐了~~话说，四川自从汶川地震后，设备受损，也取消了听力啊。现在连高考总分变不变都要去猜..就算基本能力60分取消后因为全国综合卷300分补上了英语少的分又该肿么办..
x肯定为任意值啊～只要分母不为0～是不是哦？？
的话：x肯定为任意值啊～只要分母不为0～是不是哦？？值域，不是定义域啊亲。。。
的话：值域，不是定义域啊亲。。。难怪高考只有76分的数学成绩了。。。。
的话：难怪高考只有76分的数学成绩了。。。。——。——
表酱紫嘛～
我解出来了，x = sqrt(2)-1, -sqrt(2)-1时，f(x)有最小值-1/4。x = sqrt(2)+1, -sqrt(2)+1时，f(x)有最大值1/4。
我是从图像上猜出答案的，至于解析过程我也没想清楚，而且我觉得以上提出的各种解法都有问题，说“x-1/x 换元为y”能把详细过程列出来么？
我在高中的时候流传甚广的做法：直接求导。如果老师说不能求导，就求导算出最值然后解分式不等式
的话：我是从图像上猜出答案的，至于解析过程我也没想清楚，而且我觉得以上提出的各种解法都有问题，说“x-1/x 换元为y”能把详细过程列出来么？我使用百度贴吧的涂鸦板画的。。。
的话：我在高中的时候流传甚广的做法：直接求导。如果老师说不能求导，就求导算出最值然后解分式不等式不能求导，那怎么继续求导啊？
的话：不能求导，那怎么继续求导啊？草稿纸上是用求导算的，写在作业/试卷里就不说是求导算出来的了
在高考公平上，山东的孩子最苦逼。
的话：我使用百度贴吧的涂鸦板画的。。。得到1/(t+4/t)之后怎么做？高中数学方法一点印象都没有了。
的话：得到1/(t+4/t)之后怎么做？高中数学方法一点印象都没有了。能够得出t=2/t=-2,然后分别带入，就出来了
你老是一定是有强迫症，用不成三角换元法誓不罢休的。.
的话：能够得出t=2/t=-2,然后分别带入，就出来了为嘛是t=2, -2？
粒子物理博士
的话：为嘛是t=2, -2？t*t=4,高中时老师似乎讲那个是个什么函数的，然后这样算出t再带入。（高中东西有的原理忘了，但是做的时候就会顺出来）
的话：t*t=4,高中时老师似乎讲那个是个什么函数的，然后这样算出t再带入。（高中东西有的原理忘了，但是做的时候就会顺出来）化成t后求导就行了
的话：化成t后求导就行了填空题的话求导浪费时间了，大题就不能这么直接算，就得求导了
的话：填空题的话求导浪费时间了，大题就不能这么直接算，就得求导了这个求导很简单，也花不了什么时间呃囧
的话：这个求导很简单，也花不了什么时间呃囧有口算就出结果的方法为什么要多做功呢？填空又不用步骤
的话：有口算就出结果的方法为什么要多做功呢？填空又不用步骤而且这个也不太好口算求导吧另外这个题目是上海高一上半学期学的填空题么不是（我们2个月前刚上完来着)
的话：而且这个也不太好口算求导吧另外这个题目是上海高一上半学期学的填空题么不是（我们2个月前刚上完来着)不用求导，就口算t*t=4,t=2,t=-2,然后带入，不用求导算的。求导不是我说的
的话：不用求导，就口算t*t=4,t=2,t=-2,然后带入，不用求导算的。求导不是我说的好吧我错了orz我知道可以用不等式，不过求导求习惯了= =
的话：你老是一定是有强迫症，用不成三角换元法誓不罢休的。.其实她只是不会其他方法。。。
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高考数学函数求值域的答题方法
学习啦【答题技巧】 编辑：文桦
　　函数求值域问题(含求最大最小值),是在实数范围内来讨论的。在中学教材中没有作为专门课题,散见于根式,二次函数,幂、指、对数函数,三角函数,反三角函数,平均值不等式,复数,立体几何,解析几何等问题中,然而在近年中,年年都考这一知识点。 函数求值域问题,既是重点,又是难点。以下是学习啦小编今天为大家精心准备的：高考函数求值域的相关答题方法。欢迎阅读与参考!
　　高考数学函数求值域的答题方法大全如下：
　　一.观察法
　　通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
　　例1求函数y=3+&(2-3x)的值域。
　　点拨：根据算术平方根的性质，先求出&(2-3x)的值域。
　　解：由算术平方根的性质，知&(2-3x)&0，故3+&(2-3x)&3。∴函数的值域为{y∣y&3｝.
　　点评：算术平方根具有双重非负性，即：(1)被开方数的非负性，(2)值的非负性。
　　本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。练习：求函数y=[x](0&x&5)的值域。(答案：值域为：{0，1，2，3，4，5｝)
　　二.反函数法
　　当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
　　例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
　　点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
　　解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y&1的实数,故函数y的值域为{y∣y&1,y&R｝。
　　点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。
　　这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案：函数的值域为{y∣y1｝)
　　三.配方法
　　当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域
　　例3：求函数y=&(-x2+x+2)的值域。
　　点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
　　解：由-x2+x+2&0,可知函数的定义域为x&[-1，2]。此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4&[0，9/4]∴0&&-x2+x+2&3/2,函数的值域是[0,3/2]
　　点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。
　　配方法是数学的一种重要的思想方法。练习：求函数y=2x-5+&15-4x的值域.(答案:值域为{y∣y&3})
　　四.判别式法
　　若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。
　　例4求函数y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。
　　点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。
　　解：将上式化为(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0(*)当y&2时,由&D=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)&0，解得：2当y=2时,方程(*)无解。∴函数的值域为2点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b&&(cx2+dx+e)的函数。
　　练习：求函数y=1/(2x2-3x+1)的值域。(答案：值域为y&-8或y&0)。
　　五.最值法
　　对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。
　　例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)&0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。
　　点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。
　　解：∵3x2+x+1&0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3&0同解，解之得-1&x&3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1&x&3/2),∴z=-(x-2)2+4且x&[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。当x=-1时，z=-5;当x=3/2时，z=15/4。∴函数z的值域为{z∣-5&z&15/4｝。
　　点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。
　　练习：若&x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为()A.(-&，+&)B.[-7，+&]C.[0，+&)D.[-5，+&);(答案：D)。
　　六.图象法
　　通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。
　　例6求函数y=∣x+1∣+&(x-2)2的值域。点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。
　　解：原函数化为-2x+1(x&1)y=3(-12)显然函数值y&3,所以，函数值域[3，+&]。
　　点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。
　　七.单调法
　　利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。
　　例7求函数y=4x-&1-3x(x&1/3)的值域。
　　点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)=-&1-3x,y=f(x)+g(x)，其定义域为x&1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。
　　解：设f(x)=4x,g(x)=-&1-3x,(x&1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)=4x-&1-3x在定义域为x&1/3上也为增函数，而且y&f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为{y|y&4/3｝。
　　点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。
　　练习：求函数y=3+&4-x的值域。(答案：{y|y&3｝)
　　八.换元法
　　以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。
　　例8求函数y=x-3+&2x+1的值域。
　　点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。
　　解：设t=&2x+1(t&0),则x=1/2(t2-1)。于是y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4&1/2-4=-7/2.所以，原函数的值域为{y|y&-7/2｝。
　　点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。
　　练习：求函数y=&x-1&x的值域。(答案：{y|y&-3/4｝
　　九.构造法
　　根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。
　　例9求函数y=&x2+4x+5+&x2-4x+8的值域。
　　点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。
　　解：原函数变形为f(x)=&(x+2)2+1+&(2-x)2+22作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位正方形。设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=&(2-x)2+22,KC=&(x+2)2+1。由三角形三边关系知，AK+KC&AC=5。当A、K、C三点共线时取等号。∴原函数的值域为{y|y&5｝。
　　点评：对于形如函数y=&x2+a&&(c-x)2+b(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。
　　练习：求函数y=&x2+9+&(5-x)2+4的值域。(答案：{y|y&5&2｝)
　　十.比例法
　　对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。
　　例10已知x,y&R，且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。
　　点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。
　　解：由3x-4y-5=0变形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)∴x=3+4k,y=1+3k,∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。当k=-3/5时，x=3/5,y=-4/5时，zmin=1。函数的值域为{z|z&1｝.
　　点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。
　　练习：已知x,y&R，且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域。(答案：{f(x,y)|f(x,y)&1｝)
　　十一.利用多项式的除法
　　例11求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。
　　点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。
　　解：y=(3x+2)/(x+1)=3-1/(x+1)。∵1/(x+1)&0，故y&3。∴函数y的值域为y&3的一切实数。
　　点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。
　　练习：求函数y=(x2-1)/(x-1)(x&1)的值域。(答案：y&2)
　　十二.不等式法
　　例12求函数Y=3x/(3x+1)的值域。
　　点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。
　　解：易求得原函数的反函数为y=log3[x/(1-x)],由对数函数的定义知x/(1-x)&0，1-x&0。解得：01或y
　　高考考前冲刺：
　　一、返璞归真，研读教材。
　　教材既是我们平时学习的主要工具，也是命题的重要依据，所以，一定要认真研读教材，&思前想后&，牢记所有的公式、定义、定理及使用条件，切实理解、掌握课本上的重要结论和典型方法。梳理知识，构建知识网络，力求做到提起一根线带起一大串。
　　二、固本溯源，强化主干。
　　主干知识重要技能要加强训练、强化记忆。主干知识如：两数(函数、数列)、两式(不等式、三角式)、两线(直线与平面、直线与圆锥曲线)、两率一量(概率与统计、函数的变化率、向量)等;重要技能如：作图与函数图像的变换技能、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性的判断技能、空间图形与平面图形的处理技能、直线与圆锥曲线位置关系问题的探究技能、不等关系的求解和论证技能、函数的单调性、极值、最值的探究技能、心算与估算技能等，这些必须做到心中有数。
　　三、有的放矢，查缺补漏。
　　相当一部分同学考试的分数不高，不少是会做的题做错，特别是基础题，即人们常说的&会而不对、对而不全&的错误。究其原因，有属于知识方面的，也有属于方法方面的。因此，要找出错题本，加强对以往错题的研究，找错误的原因，对易错知识点进行列举，对易误用的方法进行归纳。找准了错误的原因，就能对症下药，使犯过的错误不再发生，会做的题目不再做错。
　　四、颗粒归仓，规范答题。
　　规范化包括：解题过程有必要的文字说明或叙述，不能出现跳步，注意解完后再看一下题目。看你的解答是否符合题意，谨防因解题不全或失误，答题或书写不规范而失分。总之，要吃透题&情&，合理分配时间，做到一准、二快、三规范。特别是要注意解题结果的规范化。这些都是高考考前冲刺复习计划安排。
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高一数学求函数的定义域与值域的常用方法(含答案)
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